Techische Uivesität Dotmud Sommesemeste 27 Fakultät fü Mathematik Übugsblatt 6 Pof D Detlev Hoffma 6 Jui 27 Maco Sobiech/ Nico Loez Lieae Algeba 2 Lösug zu Aufgabe 6: Voaussetzuge: Sei K ei Köpe ud sei m N Seie m N ud seie A i M i (K) fü i { m} Sei A A 2 A = A 3 A m M (K) mit = m i Zeige Sie: i= (a) Behauptug: A tigoalisieba A i tigoalisieba fü alle i { m} Beweis: Mit eie voige Aufgabe folgt P A (X) = det(a XI ) A XI A 2 XI 2 = det A 3 XI 3 = m i= det(a i XI ) = m i= P Ai (X) A m XI m Da die Zelegug i ieduzible Faktoe eideutig ist gilt P A zefällt geau da i Lieafaktoe we P Ai i Lieafaktoe zefällt fü alle i { m} Laut Volesug ist eie Matix geau da tigoalisieba we ih chaakteistisches Polyom i Lieafaktoe zefällt Somit ist die gewüschte Behauptug gezeigt (b) Behauptug: A diagoalisieba A i diagoalisieba fü alle i { m} Beweis: Aus dem Beweis vo (a) folgt: λ K ist geau da ei Eigewet vo A we es ei i { m} gibt sodass λ ei Eigewet vo A i ist Sei u λ ei Eigewet vo A Sei i { m} sodass λ ei Eigewet vo A i ist Da ist E i = {} {} j= i i mal Eig(A i λ) {} {} m j=i+ i mal ei Utevektoaum vo Eig(A λ) de: Ist x i Eig(A i λ) so gilt A A i A i A i+ A m x i = A i x i = λx i = λ x i
Seie j j die veschiedee Elemete vo {i { m} λ ist Eigewet vo A i } Da gilt E jk Eig(A λ) k= Die Summe ist aufgud de Defiitio de E jk soga diekt Ist u umgekeht x Eig(A λ) Scheibe x = x x 2 x m mit x i K i fü alle i { m} Da gilt λ x x 2 x m = λx = Ax = A x A 2 x 2 A m x m also A i x i = λx i ( i m) Ist λ ei Eigewet vo A i so gilt x i Eig(A i λ) Falls λ kei Eigewet vo A i ist so muss x i = gelte Also ist x E j E j Isgesamt folgt Eig(A λ) = E j E j ud damit dim Eig(A λ) = dim E jk = dim Eig(A jk λ) k= k= Laut Volesug ist A geau da diagoalisieba we A tigoalisieba ist ud m(p A λ) = dim Eig(A λ) (alg Vielfachheit = geom Vielfachheit) fü alle Eigewete λ vo A gilt Sei A u diagoalisieba Da zefällt P A = m i= P A i i Lieafaktoe ud damit wie i (a) gesehe auch P A P Am Aufgud de Eideutigkeit de Pimfaktozelegug folgt da m(p A λ) = m(p Ajk λ) k= fü alle Eigewete λ vo A Nu gilt stets dim Eig(B λ) m(p B λ) fü eie Matix B mit Eigewet λ Es gilt abe fü alle Eigewete λ vo A dass dim Eig(A jk λ) = dim Eig(A λ) = m(p A λ) = m(p Ajk λ) k= k= Somit ka fü kei k { } die echte Ugleichug dim Eig(A jk λ) < m(p Ajk λ) gelte Also gilt dim Eig(A i λ) = m(p Ai λ) fü alle Eigewete λ vo A i ( i m) Zusamme mit (a) folgt da dass A A m diagoalisieba sid Seie u A A m diagoalisieba So sid A A m tigoalisieba ud es gilt zudem dim Eig(A i λ) = m(p Ai λ) fü alle Eigewete λ vo A i ( i m) Mit (a) folgt da dass A tigoalisieba ist ud damit gilt wiede m(p A λ) = m(p Ajk λ) k= 2
fü alle Eigewete λ vo A (wobei A j A jm wiede geau die Teilmatize sid die auch λ als Eigewet besitze) Nu folgt aus de Diagoalisiebakeit vo A j A jm dass m(p A λ) = gilt Also ist auch A diagoalisieba m(p Ajk λ) = dim Eig(A jk λ) = dim Eig(A λ) k= k= Lösug zu Aufgabe 62: (a) Eie Awedug des Algoithmus zum Bestimme de Ivese liefet Isbesodee ist A ivetieba 2 2 A = 2 (b) Aus de Volesug ist bekat dass aufgud de Regulaität vo A die eideutige Lösug des lieae Gleichugssystems (A b) gegebe ist duch 2m m 2 A 2m 2 m m 3 b = Z 2m m 2 m m m Lösug zu Aufgabe 63: (a) Voaussetzuge: Sei A M (K) ud sei P A = i= c ix i K[X] das chaakteistische Polyom vo A Sei P A (A) = i= c ia i das Elemet des Riges M (K) das etsteht we ma im Polyom P A die Potez X i duch A i esetzt (wobei ja A = I gilt) Sei u S GL (K) ud sei B = S AS Behauptug: P B (B) = S P A (A)S Beweis: Aus de Volesug ist bekat dass P A = P B gilt Außedem gilt B i = S A i S fü alle i N P B (B) = P A (B) = i= = S P A (A)S c i B i = i= c i S A i S = i= S (c i A i )S = S ( c i A i ) S (b) Es sei S GL (K) so dass S AS = D Diagoalgestalt mit Diagoaleitäge d d hat Da gilt isbesodee P A (X) = P D (X) = (X d ) (X d ) Die Matix D d k I fü k { } ist eie Diagoalmatix dee Diagoaleitäge d d k d d k sid Isbesodee ist de k-te Diagoaleitag gleich Damit sieht ma k= (d d k ) P D (D) = (D d I ) (D d I ) k= (d d k ) i= 3
Dies ist abe die Nullmatix da auf de Diagoale ach obigem stets ei Fakto gleich ist Mit (a) folgt u P A (A) = SP D (D)S = Lösug zu Aufgabe 64: (a) Die Matix S ist icht eideutig! Betachte dazu beispielsweise A = B = () M (R) ud beispielsweise S = () S 2 = (2) GL (R) Da gelte offesichtlich S AS = B = S 2 AS 2 (b) Wi wähle de Köpe K = Z/2Z ud A = ( ) Da gilt P A(X) = (X + ) 2 es ist also de eizige Eigewet vo A Weite gilt Eig(A ) = Ke(A I 2 ) = Ke ( ) = {( ) ( )} Da Eigevektoe pe Defiitio vo veschiede sid ist ( ) also de eideutige Eigevekto vo A (c) Aus de Volesug ist bekat dass eie Matix A = ( a b c d ) M 2(Z/2Z) geau da icht tigoalisieba ist we ih chaakteistisches Polyom P A (X) icht zefällt Weite ist bekat dass das chaakteistische Polyom ei omietes Polyom vom Gad 2 i (Z/2Z)[X] ist Das eizige solche Polyom dass keie Nullstelle hat ist X 2 + X + Es gilt P A (X) = X 2 + (a + d)x + ad + bc Also ist A geau da icht tigoalisieba we a+d = ud ad+bc = gelte Aus de este Bedigug folgt (a d) = ( ) ode (a d) = ( ) woaus isbesodee ad = folgt Damit folgt aus de zweite Bedigug b = c = sodass u die beide Matize ( ) ( ) icht tigoalisieba sei köte Eie Beechug de chaakteistische Polyome diese beide Matize zeigt dass diese tatsächlich icht tigoalisieba sid 4
Lösug zu Aufgabe 65: (a) Zuächst bestimme wi das chaakteistische Polyom vo A Es gilt P A (X) = det Etw 3 Z 3 X 2 2 X 2 X X 2 X = ( X) det = ( X)(2 X) det Etw 4 Z = ( X)(2 X) det Sp + 3 Sp 3 X 2 2 X 2 X 2 X 3 X 2 2 X 2 X X 2 X 2 X X 3 Z - Z; Etw Sp = ( X) 2 (2 X) det ( X 2 2 X ) = ( X)3 (2 X) 2 Also zefällt P A (X) i Lieafaktoe (b) Aus (a) köe wi diekt ablese dass A die Eigewete ud 2 hat Fü λ { 2} beeche wi u also Ke(A λi 5 ) i fü i { 2 3 4 5} Wege Aufgabe 52 (b) (c) ud eiem Satz aus LiA köe wi dabei aufhöe sobald eimal dim Ke(A λi 5 ) i = dim Ke(A λi 5 ) i+ gilt (vgl auch Satz 345) λ = 2: i = : 2 2 2 2 () (4)+(5) (2)+2 (4) 2 2 Ke(L A 2id Q 5) = spa (4) (2) (3)+(5) 2 2 i = 2: Ma echet ach dass dim Ke(L A 2 id Q 5) = 2 gilt Somit folgt ach obige Bemekug H(L A 2) = Ke(L A 2id Q 5) = spa 2 5
λ = : i = : 2 2 2 2 ()+(2)+(5) (2)+2 (4) 2 (2) 2 () (4) () Ke(L A id Q 5) = spa i = 2: 2 2 (2)+2 () 2 (5) (5)+() Ke(L A id Q 5) 2 = spa i = 3: 2 2 (2) 2 (4)+(5) (4) (5) Ke(L A id Q 5) 3 = spa i = 4 ud i = 5: Beeche vo (A I 5 ) 4 zeigt dass (A I 5 ) 4 = (A I 5 ) 3 gilt Da gilt atülich auch (A I 5 ) k = (A I 5 ) 3 fü alle k 4 Isbesodee gilt H(L A ) = Ke(L A id Q 5) 5 = Ke(L A id Q 5) 4 = Ke(L A id Q 5) 3 = spa 6