Kapitel 6. Turbulente Strömungen. [Sch99] M. Schäfer. Numerik im Maschinenbau. Springer, Berlin, 1999.

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1 5.4 Alternative Formulierungen der Bewegungsgleichung [Sch99] M. Schäfer. Numerik im Maschinenbau. Springer, Berlin, [VM95] [Wes01] H. K. Versteeg and W. Malalasekera. An Introduction to Computational Fluid Dynamics The Finite Volume Method. Longman, Essex, P. Wesseling. Principles of Computational Fluid Dynamics. Springer, Berlin, Kapitel 6 Turbulente Strömungen Man unterscheidet zwischen laminaren Strömungen, die intuitiv als geordnet und regulär angesehen werden können, und turbulenten Strömungen, die oft auch als chaotisch, unregelmässig und stark fluktuierend bezeichnet werden. Den Übergang vom laminaren in den turbulenten Zustand einer Strömung bezeichnet man als Transition. In der Regel sind laminare Strömungen bei ausreichend grossen Reynoldszahlen instabil gegenüber kleinen Störungen. Diese Störungen wachsen an und führen über zunehmend kompliziertere Zwischenstadien schliesslich zum turbulenten Zustand, in dem ein intensiver Transport von Stoffen, Impuls und Energie stattfindet. Man geht im allgemeinen davon aus, dass der ausgebildete turbulente Zustand unabhängig ist von der Art, wie die Transition eingeleitet wurde. Turbulente Strömungen sind stets instationär, dreidimensional und wirbelbehaftet. Sie bilden eine Energiekaskade aus, die man sich vereinfacht so vorstellen kann, dass grössere Wirbel (engl. eddies) sukzessive Energie auf kleinere Wirbel übertragen, bis hinunter zu einer kleinsten Wirbelgrösse, auf der sie so stark von der molekularen Viskosität beeinflusst werden, dass die übertragene kinetische Energie in Wärme dissipiert wird. Die Energiequelle für diese Kaskade steckt in der antreibenden grossskaligen Strömung, z. B. der Aussenströmung einer Grenzschicht oder dem aufgeprägten Druckgradienten in einer Rohrströmung. Turbulente Strömungen weisen daher in der Regel ein breites Spektrum von Längen- und Zeitskalen auf. Die Abmessung L der grössten turbulenten Strukturen, das integrale Längenmass der Turbulenz, ist typischerweise von der Grössenordnung einer charakteristischen Abmessung des Strömungsfeldes, z. B. der Grenzschichtdicke. Die Abmessung l K der kleinsten turbulenten Bewegungen, deren kinetische Energie dissipiert wird, nennt man das Kolmogorovsche Längenmass. l K ist bei statistisch stationären Verhältnissen nur von der eingebrachten Leistung (welche in diesem Fall der Dissipationsrate entsprechen muss) und der kinematischen Viskosität des Fluids abhängig. Mittels einer Di-

2 6 Turbulente Strömungen Turbulente Strömungen mensionsanalyse, d. h. einer geeigneten Kombination der plausiblen Variablen (kinematische Viskosität ν und massenspezifische Dissipationsrate ε) kann man dann herleiten, dass ( ν 3 l K = ε ) 1 4. (6.1) Für die Verhältnisse zwischen den grössten und kleinsten Längen- und Zeitmassen in einem Turbulenzfeld gilt A B {}}{}}{{}} C { L l K Re 3/4 (6.2a) T t K Re 1/2. (6.2b) Dabei ist Re die mit dem integralen Längen- und Geschwindigkeitsmass des Turbulenzfeldes bestimmte Reynoldszahl. In Abbildung 6.1 sind experimentell gemessene Spektren E(k) der kinetischen Energie der turbulenten Fluktuationen von Grenzschichtströmungen bei grossen Reynoldszahlen gezeigt [Sad97]. Es lassen sich drei Bereiche der Wellenzahl k = 2π/λ (λ ist die Wellenlänge) voneinander unterscheiden: A: der Bereich der integralen, energietragenden Skalen, E(k)/(εν 5 ) 1/4 B: der Trägheitsbereich E(k) k 5/3, C: der Bereich der dissipativen Skalen. Eine detaillierte numerische Simulation der Turbulenz, die sogenannte Direkte Numerische Simulation oder Direct Numerical Simulation (DNS), erfordert die Auflösung aller relevanten Freiheitsgrade, das heisst die Auflösung aller Skalen bis hinein in den Dissipationsbereich, siehe Abschnitt 6.1. Es wird heute allgemein angenommen, dass turbulente Strömungen in allen Einzelheiten durch die Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben werden. Die Komplexität turbulenter Strömungen beruht hauptsächlich auf der nichtlinearen Wechselwirkung aller Skalen miteinander infolge des nichtlinearen konvektiven Terms der Impulsgleichung. Es gibt aber einige heuristische Hinweise, dass die tatsächliche Zahl der unabhängigen Freiheitsgrade bedeutend geringer sein könnte, als man aufgrund der Spektralanalyse vermuten würde. Ein Ziel der Turbulenztheorie ist es, die relevanten Freiheitsgrade zu identifizieren und k l K Abbildung 6.1: Kolmogorovsches universelles Skalierungsgesetz für eindimensionale longitudinale Energiespektren in Grenzschichten [Sad97].

3 6.1 Direkte Numerische Simulation Turbulente Strömungen Beschreibungsmöglichkeiten von turbulenten Strömungen zu finden, die einfacher und weniger aufwendig sind als die Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen mit allen auftretenden Freiheitsgraden. Bisher existieren hierzu nur Ansätze für sehr einfache Strömungen. Oft entfernt man daher gezielt räumliche Skalen aus dem Problem, formal durch die Anwendung eines Tiefpassfilters (Grobstruktursimulation, Abschnitt 6.3), oder indem man Gleichungen für die statistischen Mittelwerte herleitet (siehe Abschnitt 6.2). Mit vereinfachenden Annahmen für die Wechselwirkung der entfernten und der verbleibenden Skalen kann man unter Zuhilfenahme von Ergebnissen aus der Turbulenztheorie oder empirischheuristisch Schliessungen für die so hergeleiteten modifizierten Navier-Stokes- Gleichungen bekommen. Das fundamentale Problem der Turbulenz, dass es keine geschlossene Theorie zur Beschreibung, und damit zur Berechnung, ihrer statistischen Eigenschaften gibt, bleibt jedoch bestehen. In den folgenden Notizen kann nur ein kurzer Abriss gegeben werden. Für weitere Informationen zur Thematik dieses Kapitels wird auf die Bücher von Pope [Pop00], Sagaut [Sag05], Durbin et al. [DR01] und Wilcox [Wil94] verwiesen. Abbildung 6.2: Momentane Isofläche der Dichte bei einer direkten numerischen Simulation (DNS) eines rechteckigen turbulenten kompressiblen Freistrahls (B. Rembold) 6.1 Direkte Numerische Simulation Der Bereich der Skalen, die in einer turbulenten Strömung existieren, hängt gemäss Gl. (6.2) stark von der Reynoldszahl der Strömung ab. Betrachtet man zum Beispiel den turbulenten Freistrahl in Abbildung 6.2, erkennt man integrale Skalen von der Grösse des Freistrahl-Umfangs, kleiner und kleiner werdende Wirbel bis hin zu kaum noch sichtbaren Skalen im Dissipationsbereich. Für Atmosphärenströmungen beobachtet man eine Variation der relevanten turbulenten Längenmasse von ca m (grosse Tiefdruckgebiete) bis ca m (kleinste Wirbel). In einer Direkten Numerischen Simulation (DNS) werden alle relevanten Skalen des Spektrums einer transitionellen oder turbulenten Strömung numerisch aufgelöst, bis hin zu den dissipativen Skalen der Grössenordnung l K. Man kann daher nach Gleichung (6.2) abschätzen, dass in einer dreidimensionalen Strömung die Anzahl der in einer DNS mitzuführenden Freiheitsgrade mit der Reynoldszahl skaliert wie (L/l K ) 3 Re 9/4. Berücksichtigt man weiterhin, dass auch alle zeitlichen Skalen aufgelöst werden müssen, so erhält man einen weiteren Faktor Re 3/4, so dass der Rechenaufwand einer DNS proportional zu Re 3 anwächst. Für wandbegrenzte Strömungen werden diese Abschätzun- gen noch ungünstiger, da sich im wandnahen Bereich die kleinsten turbulenten Skalen proportional zu ν/u τ verhalten, wobei u τ = τ w /ρ die Schubspannungsgeschwindigkeit ist und τ w die Wandschubspannung. Für Grenzschichten kann man abschätzen, dass ungefähr u τ U C f URe 1/10 gilt (C f ist der Wandreibungskoeffizient). Dies führt in einer Dimension auf eine Anzahl von Freiheitsgraden proportional zu LURe 1/10 /ν = Re 9/10, so dass der Gesamtaufwand einer instationären, dreidimensionalen Simulation im ungünstigen Fall proportional zu Re 36/10 werden kann [Pio97]. Man verwendet daher bei direkten numerischen Simulationen aus Effizienzgründen Diskretisierungsverfahren hoher Ordnung mit guten Auflösungseigenschaften. Mit solchen Verfahren kann man zumindest erreichen, dass die Proportionalitätskonstante für die obigen Abschätzungen klein ist. Geeignet sind z. B. Spektralverfahren oder Differenzenverfahren hoher (z. B. vierter bis sechster) Ordnung. Zur Illustration der Zahlenverhältnisse sei noch folgende Abschätzung erwähnt: man hat grob abgeschätzt, dass man für eine DNS der Strömung um ein Verkehrsflugzeug bei typischen stationären Flugbedingungen etwa 1300 Jahre CPU Zeit auf einem 1 TFLOPs Computer benötigen würde, um die Strömung für den Zeitraum einer (physikalischen) Sekunde zu berechnen. Derzeitige

4 6.2 Reynolds-gemittelte Gleichungen und Turbulenzmodelle Turbulente Strömungen Schätzungen sagen, dass Computer mit einer Dauerleistung von 1 PFLOPs = 10 3 TFLOPs für in der Strömungsmechanik gebräuchliche Algorithmen bis etwa 2010 verfügbar sein könnten. Für grosse DNS wendet man heute in der Forschung in manchen Fällen bis zu mehreren CPU-Monaten auf. 6.2 Reynolds-gemittelte Gleichungen und Turbulenzmodelle Die heute am weitesten verbreitete und meist auch einzige praktikable Methode zur Berechnung praxisnaher turbulenter Strömungen ist die statistische Simulation, die von den statistisch gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen (Reynoldsaveraged Navier-Stokes equations, RANS) ausgeht. In kartesischer Tensornotation (mit Summationskonvention, siehe z.b. [Pop00]) lauten diese Gleichungen für den inkompressiblen Fall = 0, (6.3a) t + () = 1 + ( )+ν 2 j (6.3b) wobei , die statistischen Mittelwerte der Geschwindigkeitskomponenten und des Drucks bezeichnen. u i bezeichnet die Geschwindigkeitsfluktuationen gemäss der Aufspaltung Die Terme u i = + u i. (6.4) τ ij := (6.5) werden als Reynoldsspannungen oder turbulente Scheinspannungen bezeichnet und stellen weitere Unbekannte im Gleichungssystem dar, für die Schliessungsannahmen in Form eines Turbulenzmodells eingeführt werden müssen (dimensionsmässig konsistent wäre ρ als Spannung zu bezeichnen, jedoch vereinfacht die Definition (6.5) die Schreibweise). Turbulenzmodelle werden in [Wil94, DR01, Pop00] ausführlich behandelt. Bei den Turbulenzmodellen unterscheidet man zunächst zwei Gruppen: Wirbelzähigkeitsmodelle und Reynoldsspannungs-Modelle Wirbelzähigkeitsmodelle (eddy-viscosity models) Bei Wirbelzähigkeits-Turbulenzmodellen werden die Reynoldsspannungen direkt auf die Verformungsgeschwindigkeiten des mittleren Strömungsfeldes bezogen. In Verallgemeinerung des Newtonschen Schubspannungsansatzes für eine laminare Strömung U(y), τ/ρ = νdu/dy, macht man den Ansatz + δ ij 3 = ν T ( <ui > + ), (6.6) wobei ν T als Wirbelzähigkeit (eddy-viscosity) bezeichnet wird. Im Unterschied zur kinematischen Viskosität ν ist die Wirbelviskosität ν T keine Materialkonstante, sondern eine vom Turbulenzfeld abhängige Feldgrösse, für die wiederum heuristisch oder empirisch begründete Ansätze gemacht werden müssen. Wirbelzähigkeitsmodelle kann man weiter nach der Anzahl der zusätzlich mitgeführten Transportgleichungen klassifizieren, die für die Berechnung von ν T benutzt werden: (1) 0-Gleichungs-Turbulenzmodelle (algebraische Turbulenzmodelle): Als Beispiel sei ein einfaches, häufig benutztes algebraisches Turbulenzmodell für eine ebene Grenzschicht angegeben, das nach Baldwin und Lomax benannt ist (siehe [Wil94]). Für eine ebene (statistisch) zweidimensionale Grenzschicht mit Stromab-Profil (x 3 ) kann ein Mischungswegmodell nach Prandtl verwendet werden. Die Wirbelzähigkeit wird dabei wie folgt berechnet ν T = l 2 x 3 mit einem Mischungsweg l gemäss, (6.7) l = κx 3 (1 e x+ 3 /A), κ = (6.8) x + 3 bezeichnet den Wandabstand in den üblichen turbulenten Wandeinheiten, x + 3 = x 3u τ /ν. Die Konstante A ist vom Druckgradienten der Strömung abhängig. Für Grenzschichten ohne Druckgradient ist A = 26 eine gute Wahl. Die hier gegebene Form des Mischungswegmodells wird für den äusseren Bereich der Grenzschicht üblicherweise noch modifiziert, ν TO = αρu e δ F Kleb (x 3,δ) (6.9)

5 6.2 Reynolds-gemittelte Gleichungen und Turbulenzmodelle Turbulente Strömungen mit F Kleb = ( ( x3 ) ) , (6.10) δ wobei U e die Geschwindigkeit am Grenzschichtrand ist, δ die Grenzschichtdicke und δ die Verdrängungsdicke, und typischerweise α = gesetzt wird. (2) 1-Gleichungs-Turbulenzmodelle Bei diesen Modellen wird z.b. eine Transportgleichung für die kinetische Turbulenzenergie k = /2 verwendet. Ein Beispiel für ein 1-Gleichungs-Modell ist das Spalart-Allmaras-Modell, bei dem allerdings keine Transportgleichung für die Turbulenzenergie, sondern eine Transportgleichung für die Wirbelzähigkeit selbst gelöst wird [Wil94]. (3) 2-Gleichungs-Turbulenzmodelle (k-ε-modell) Bei diesen Modellen wird die Wirbelzähigkeit als Funktion von zwei Turbulenzgrössen dargestellt, für die zusätzliche Transportgleichungen zu lösen sind. Ein weitverbreitetes 2-Gleichungsmodell ist das k-ε-modell, bei dem die Wirbelzähigkeit aus der kinetischen Turbulenzenergie k und der turbulenten Energiedissipation ε berechnet wird gemäss ν T = c µ k 2 ε. (6.11) Für ausreichend grosse Reynoldszahlen lauten die (modellierten) Transportgleichungen für k und ε: Dk Dt = ( ) νt k + P k ε (6.12a) σ k Dε Dt = ( ) νt ε ε + c ε1 σ ε P k = ν T ( <ui > + k P ε 2 k c ε2 k (6.12b) ) <ui >. (6.12c) Standardwerte für die fünf Konstanten in diesem Modell sind c µ = 0.09, c ε1 = 1.44, c ε2 = 1.92, σ k = 1.0, σ ε = 1.3. (6.13) Das k-ε-modell in seiner hier angegebenen Form gilt nicht im Bereich niedriger Reynoldszahlen oder in der Nähe fester Wände, wo es modifiziert werden muss. Andere gebräuchliche 2-Gleichungsmodelle sind das k-ω-modell und das k-τ-modell, in denen anstelle der ε-gleichung eine solche für ω = ǫ/k bzw. für ein turbulentes Zeitmass τ = 1/ω = k/ǫ gelöst wird [Wil94, DR01] Reynoldsspannungs-Modelle (Second-Order Closures) Die Beschreibung des Reynoldsspannungstensors mit einer einzigen skalaren, isotropen Grösse ν T ist in vielen Fällen unzulänglich (z. B. in Drallströmungen oder rotierenden Strömungen). Bei Reynoldsspannungs-Modellen werden deshalb aus den Navier-Stokes-Gleichungen hergeleitete Transportgleichungen für die sechs einzelnen Komponenten der Reynoldsspannung t () =... (6.14) zusammen mit den gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen gelöst. Da in diesen Gleichungen aber wiederum unbekannte statistische Momente höherer Ordnung auftreten (Tripelkorrelationen, Druck-Scher-Korrelationen), müssen auch hier zahlreiche Schliessungsannahmen getroffen werden, die nicht unproblematisch sind. Für nähere Einzelheiten wird auf die Literatur verwiesen [Wil94, DR01]. 6.3 Grobstruktur-Simulation (Large-Eddy Simulation) Man kann die Zahl der aufzulösenden Freiheitsgrade einer turbulenten Strömung reduzieren, indem man einen Tiefpassfilter auf die Lösung u i der Navier-Stokes- Gleichungen anwendet ū i = u i (x 1,x 2,x 3) G(x 1 x 1) G(x 2 x 2) G(x 3 x 3) dx 1 dx 2 dx 3, (6.15) wobei man für den Filterkern (filter kernel) G(x x ), z. B. die Gaussfunktion 6 G(x x ) = π 2 e 6(x x ) 2 / 2 (6.16)

6 6.3 Grobstruktur-Simulation (Large-Eddy Simulation) Turbulente Strömungen oder die Funktion G(x x ) = { 1/, x x /2 0, sonst (6.17) wählt, mit als Filterweite. Für räumlich homogene Filter wie (6.16), (6.17) sind Filteroperation und Ableitungsoperationen kommutativ. Damit kann man die Navier-Stokes- Gleichungen für die gefilterte Lösung ū i herleiten ū i = 0 ū i t + ū iū j wobei der Term + 1 p = ν 2 ū i ρ x 2 j τ ij, (6.18a) (6.18b) τ ij = u i u j ū i ū j, (6.19) die Feinstrukturspannungen, d. h. die Wechselwirkung der Feinstruktur (subgridscales, SGS) mit der Grobstruktur (resolved scales) wiedergibt. Eine exakte Berechnung dieses Terms aus der Kenntnis von ū i alleine ist nicht möglich. Man benötigt vielmehr weitere Kenntnisse oder Annahmen, die dann zu sogenannten Feinstrukturmodellen (engl. subgrid-scale models) führen. Die Entwicklung und Verbesserung solcher Feinstrukturmodelle ist ein aktuelles Forschungsgebiet. Man beachte, dass die gefilterten Grössen u i (x,t) noch von Ort und Zeit abhängen und somit die Lösung der LES-Gleichungen (6.18) in der Regel wesentlich aufwendiger ist als die Lösung der RANS-Gleichungen (6.3) für die statistisch gemittelten Grössen . Einige einfache Feinstrukturmodelle sind nachfolgend dargestellt. Eine ausführliche Diskussion findet man in [Sag05]. (1) Smagorinsky-Modell [Sma63]: Ähnlich wie in Kapitel wird der Wirbelzähigkeitsansatz (engl. eddyviscosity ansatz) definiert als τ ij δ ij 3 τ kk = 2ν T Sij, (6.20) mit der Scherrate S ij = 1 2 ( ūi + ū j ). (6.21) Es existieren verschiedene Modelle für die Bestimmung der turbulenten Wirbelviskosität ν T. Für das Smagorinsky-Modell wählt man ν T = (C S ) 2 S (6.22) mit S = (2 S ij Sij ) 1/2 und der zunächst unbekannten Smagorinsky- Konstanten C S. Nimmt man ein Kolmogoroff-Spektrum mit einem k 5/3 Trägheitsbereich an, dann kann man C S abschätzen zu C S In der Praxis, insbesondere bei inhomogenen Strömungen (z. B. Grenzschichten), gibt dieses einfache Modell jedoch selten gute Ergebnisse, und C S muss dem jeweiligen Stömungstyp empirisch angepasst und in Wandnähe gedämpft werden (siehe auch Kapitel 6.2.1). (2) Dynamisches Smagorinsky-Modell [GPMC91]: Hier lässt man die Annahme fallen, dass C S räumlich und zeitlich konstant sei, verwendet aber den Wirbelzähigkeitsansatz (6.20) weiter und verbindet ihn mit dem Konzept eines dynamischen Koeffizienten. Um die dynamische Konstante C D abzuschätzen, führt man einen weiteren Filter ein mit einer grösseren Filterweite ˆ, typischerweise ˆ = 2. Man nennt diesen Filter den Testfilter. Zwischen den Grobstrukturspannungen L ij = ū i ū j ˆū iˆū j und den Feinstrukturspannungen τ ij besteht unter der Verwendung der Teststrukturspannungen T ij = û i u j ˆū iˆū j die sogenannte Germano-Identität [GPMC91] L ij = T ij ˆτ ij. (6.23) Man macht nun für die Feinstrukturspannungen und die Teststrukturspannungen denselben Ansatz τ ij δ ij 3 τ kk = 2C D 2 S S ij =: 2C D β ij (6.24a) T ij δ ij 3 T kk = 2C D ˆ 2 ˆ S ˆ Sij =: 2C D α ij. (6.24b) Damit kann man mit Hilfe der berechneten Grobstrukturspannungen L ij nach einer Kontraktion der entstehenden überbestimmten Tensorgleichungen die Konstante C D bestimmen als C D (x,t) = 1 K ij (α ij ˆβ ij ) 2 (α mn ˆβ mn )(α mn ˆβ mn ), (6.25)

7 6.3 Grobstruktur-Simulation (Large-Eddy Simulation) Turbulente Strömungen wobei K ij = L ij (δ ij /3)L kk. Grundlegende Annahme ist hierbei, dass die Testfilteroperation homogen in C D ist und derselbe Parameter C D für Teststrukturspannungen und Feinstrukturspannungen verwendet werden kann. Verglichen mit dem Smagorinsky-Modell zeigt das dynamische Modell deutlich verbesserte Ergebnisse bei inhomogenen Strömungen, benötigt aber in der Regel zusätzliche Modifikationen des Parameterfeldes C(x, t) (Mittelung in homogenen Koordinatenrichtungen, Abschneiden negativer Werte). (3) Skalen-Ähnlichkeitsmodell (scale similarity model) [BFR83]: Dieses Modell basiert auf der Annahme, dass die Wechselwirkung zwischen Feinstruktur und Grobstruktur durch die Skalen nahe der Abschneidewellenzahl des Filters dominiert wird. Spaltet man die Feinstruktur von u i ab als u i = u i ū i, so kann man die Feinstrukturkreuzspannungen modellieren als [DR01] P. A. Durbin and B. A. Pettersson Reif. Statistical Theory and Modeling for Turbulent Flows. John Wiley & Sons, Chichester, [GPMC91] M. Germano, U. Piomelli, P. Moin, and W. H. Cabot. A dynamic subgrid-scale eddy viscosity model. Phys. Fluids A, 3: , [Pio97] U. Piomelli. Introduction to the modelling of turbulence. In von Karman Institute Lecture Series von Karman Institute, [Pop00] S. B. Pope. Turbulent Flows. Cambridge University Press, [Sad97] S. G. Saddoughi. Local isotropy in complex turbulent boundary layers at high Reynolds number. J. Fluid Mech., 348: , C ij = ū i u j + ū ju i ū i u j + ū j u i (6.26) und die Feinstruktur-Reynoldsspannungen als R ij = u i u j u iu j. (6.27) Nach einigen Umformungen, der Einführung einer Proportionalitätskonstanten C B und durch Hinzufügen eines Wirbelzähigkeitsterms zur verbesserten Beschreibung der Feinstrukturdissipation erhält man folgendes Modell für die Feinstrukturspannungen τ ij δ ij 3 τ kk = C B ( ū i ū j ū i ū j δ ij 3 (ū kū k ū k ū k ) ) 2ν T Sij. (6.28) Mit C B 1 bis C B 1.1 liefert das Modell recht brauchbare Ergebnisse. Es ist aber mit ν T = 0 unzureichend dissipativ. [Sag05] [Sma63] [Wil94] P. Sagaut. Large-Eddy Simulation for Incompressible Flows. Springer, Berlin, rd edition. J. Smagorinsky. General circulation experiments with the primitive equations. Mon. Weath. Rev., 93:99 164, D. C. Wilcox. Turbulence Modeling for CFD. DCW Industries, Inc., La Cañada, California, Referenzen [BFR83] J. Bardina, J. H. Ferziger, and W. C. Reynolds. Improved turbulence models based on large eddy simulation of homogeneous, incompressible, turbulent flows. Technical Report TF-19, Dept. of Mechanical Engineering, Stanford University, Stanford, California, 1983.