Master of Science in Pflege

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1 Master of Science in Pflege Modul: Statistik Einführung in die schliessende Statistik Oktober 212 Prof. Dr. Jürg Schwarz Folie 2 Programm 31. Oktober 212: Vormittag ( ) Vorlesung - Einführung, Stichprobenziehung - Wie ein Hypothesentest funktioniert, Punktschätzung und Konfidenzintervall Tutorat / Assignment: Einführung zum Thema - Informationen zum Entscheidbaum / Wahl eines Tests / Anhang in Assignment 3 Programm 31. Oktober 212: Nachmittag ( ) Anwendung in der Pflegewissenschaft: Beispiele - Pryjmachuk & Richards (27) Tutorat / Assignment - Begleitetes Lösen des Assignments Remains of the Day

2 Ziele der Vorlesung Folie 3 Sie kennen das Konzept des zentralen Grenzwertsatzes (vereinfacht). Sie kennen das Konzept standardisierter Werte (z-werte). Sie kennen das Konzept des Hypothesentests. Sie kennen die Schritte, die zum Hypothesentest gehören. Sie können mit SPSS Hypothesentests durchführen. Im Einzelnen können Sie einen t-test (Mittelwerte von zwei unabhängigen Stichproben) mit SPSS durchführen. die Punktschätzung sowie das Konfidenzintervall des Mittelwerts einer metrischen Variable mit SPSS berechnen. Einführung Beispiel Folie 4 Umfrage bei Pflegpersonal zu Herausforderungen im Bereich Palliative Care (HPC) Stichprobe mit n = 15 Pflegenden eines Spitals mit spezialisiertem Palliative Care Angebot Index HPC [ bis 6] Index Berufserfahrung [ bis 6] Ergebnis einer Clusteranalyse Mittelwert Index Mittelwert Drei Cluster Berufserfahrung Index HPC Gering Mittel Hoch Fragen Frage I: Welchen Wert hat der Index HPC in der Grundgesamtheit? Frage II: Gibt es beim Index HPC auch in der Grundgesamtheit einen Unterschied zwischen den Clustern?

3 Folie 5 Frage I Umgangssprachliche Fragestellung: Welchen Wert hat der Index HPC in der Grundgesamtheit? Forschungsfrage: Wie kann der "richtige Wert" für die Grundgesamtheit geschätzt werden? Wie verlässlich kann der Wert berechnet werden? Statistische Frage: (auch Fragen zur Stichprobenziehung) Welches ist der richtige Schätzer? (Ausblick: Ein Schätzer sollte erwartungstreu, konsistent und effizient sein.) Wie genau ist die Schätzung? Lösung Berechnung der Punktschätzung des Mittelwerts Berechnung des Konfidenzintervalls des Mittelwerts (Confidence interval, C.I., K.I., "Vertrauensbereich") "How to mit SPSS SPSS-Menü: Analysieren Deskriptive Statistiken Explorative Datenanalyse... Folie 6 Ergebnisse Index HPC Mittelwert Konfidenzintervall Gering 1.7 ±.15 Mittel 4.1 ±.21 Hoch 3.5 ±.23 Alle 3.2 ±.19 Der Mittelwert x der Stichprobe ist ein unbiased, effizienter und konsistenter Schätzer des Mittelwerts in der Grundgesamtheit. Typisches Beispiel einer statistischen Aussage: Der Schätzung des Mittelwerts des Index HPC für mittlerere Berufserfahrung in der Grundgesamtheit ist 4.1. Das Konfidenzintervall auf dem 95%-Konfidenzniveau reicht von 3.9 bis %-Konfidenzintervall [ , ] = [3.9, 4.3] Punktschätzer 4.1

4 Folie 7 Frage II Umgangssprachliche Fragestellung: Unterscheidet sich der Index HPC zwischen den Clustern? Forschungsfrage: Besteht der Unterschied nur in der Stichprobe oder auch in der Grundgesamtheit? Statistische Frage: Hypothesenbildung: H : "keine Differenz" (= keine signifikante Differenz): µ 1 = µ 2 H A : "Differenz" (= signifikante Differenz): µ 1 µ 2 Kann die Hypothese H verworfen werden? Lösung Vergleich der Mittelwerte mit einem t-test für unabhängige Stichproben "How to mit SPSS SPSS-Menü: Analysieren Mittelwerte vergleichen t-test unabhängiger Stichproben Folie 8 Ergebnisse Index HPC Vergleich Differenz K.I. der Differenz Freiheitsgrade t-wert Signifikanz Gering Mittel 2.4 [2.1, 2.6] Gering Hoch 1.8 [1.5, 2.] Mittel Hoch.6 [.3,.9] Die Unterschiede zwischen den Mittelwerten sind signifikant. Die Nullhypothese kann verworfen werden. Typische statistische Aussage: Der Index HPC von Pflegepersonal mit geringer Berufserfahrung unterscheidet sich signifikant von jenem von Pflegepersonal mit mittlerer Berufserfahrung (t-test: df = 94, t = 17.2, p =.). Die Differenz der Mittelwerte beträgt 2.4, das Konfidenzintervall der Differenz ist [2.1, 2.6].

5 Schliessende Statistik Aus der Einführung Folie 9 Beschreibende versus schliessende Statistik Beschreibende Statistik beschreibt die zu analysierenden Daten. ist auf die Stichprobe begrenzt, die eine Teilmenge von individuellen Beobachtungen ist. => Rückschlüsse oder Schlussfolgerungen über die Grundgesamtheit sind nicht möglich. Schliessende Statistik ist ein Methodenset mit dem aufgrund von Informationen einer Stichprobe Rückschlüsse oder Schlussfolgerungen über die Grundgesamtheit gemacht werden. das im Speziellen den statistischen Hypothesentest als wichtigste Methode verwendet. Die schliessende Statistik wird auch als... inferentielle respektive induktive Statistik bezeichnet, da der Prozess, mit dem Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit gezogen werden, Inferenz respektive Induktion heisst. Stichprobenziehung Intuitives Stichprobenwissen von Säuglingen Folie 1 Quelle: Xu (28) Das unerwartete Ereignis ("Unexpected": 9.9 Sekunden) weist im Vergleich zum erwartetend Ereignis ("Expected": 7.5 Sekunden) eine signifikant höhere Betrachtungszeit auf.

6 Stichprobe: Hintergrund und Eigenschaften Folie 11 Warum Stichprobenziehung? Die Grundgesamtheit ist oft zu gross oder nicht erreichbar Der Aufwand für eine Vollerhebung ist zu gross (Zeit, Geld, Personal) Manchmal kann die Grundgesamtheit zwar definiert nicht aber identifiziert werden Es gibt beispielsweise kein Verzeichnis der Nichtraucher Eigenschaften der Stichprobe Stichprobe... ist Teilmenge aller Untersuchungseinheiten soll untersuchungsrelevante Merkmale der Grundgesamtheit möglichst genau abbilden Wann ist eine Stichprobe "repräsentativ"? Drei Elemente tragen dazu bei, um diese Frage zu beurteilen: Stichprobe ist zufällig gezogen. Schätzverfahren, um von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit zu schliessen, ist bekannt. Genauigkeit, die unter anderem durch die Stichprobengrösse beeinflusst wird, ist bekannt. Quelle: BfS (29) Rückschlüsse von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit Folie 12 Beschreibende Statistik µ SP = 83.7 ±.4 Grundgesamtheit (GG) Alle Engländer Schliessende Statistik Stichprobentheorie x = 83.7 Stichprobe (SP) n = 5'685 Engländer Beschreibende Statistik x = 83.7 Mittelwert der Stichprobe 83.7 ±.4 Rückschluss auf die Grundgesamtheit Frage Wie gross ist das Körpergewicht der Männer in England? Stichprobentheorie Ziehung einer Zufallsstichprobe aus einer Grundgesamtheit. Schliessende Statistik Schätzung des Werts in der Grundgesamtheit, basierend auf dem Stichprobenmittelwert x. Jede Schätzung weist ein Konfidenzintervall auf. Schätzung: 83.7 Konfidenzintervall: ±.4 Jede Aussage muss mit der Grösse des Risikos für eine falsche Aussage bewertet sein.

7 Stichprobenverfahren Folie 13 Übersicht Teilerhebung vs. Vollerhebung Zufallsauswahl Bewusste Auswahl Willkürliche Auswahl Mehrstufige Stichproben * Einstufige Stichproben Einfache Zufallsstichprobe Geschichtete Zufallsstichprobe Klumpenstichprobe Quotenverfahren Andere systematische Verfahren proportional disproportional *Mehrstufige Stichprobven bestehen aus Kombinationen einstufiger Verfahren mit unterschiedlichen Auswahleinheiten. *Adaptiert nach Raithel (28) Wie ein Hypothesentest funktioniert Folie 14 Klinische Studie zum Körpergewicht von Studierenden Definition der Grundgesamtheit (N = 22') Studierende von schweizerischen Hochschulen: Gemessen wird das Körpergewicht Studentinnen (Frauen): Mittelwert µ = 65 kg / Standardabweichung σ = 12 kg Studenten (Männer): Mittelwert µ = 78 kg / Standardabweichung σ = 14 kg Stichprobe mit n = 15 Studenten (Männer) der Universität A Universität A Stichprobenwerte Mittelwert x = 8.3 Standardabweichung s = 13.4

8 Gedankenexperiment: Weitere Stichproben werden gezogen Folie 15 Körpergewicht in der Grundgesamtheit Mittelwert Standardabweichung µ = 78 σ = 14 Stichprobe 2:... Stichprobe 67: x 67 =78.9 Stichprobe 1: x 1 =77.8 Universität A x 2 = Stichproben mit Stichprobengrösse n = 15 Stichprobe Mittelwert Standardabweichung : Verteilung der Stichprobenmittelwerte (Simulation) Folie 16 Mittelwert Clear Run Delay Anzahl Mittelwert Mittelwert Clear Run Delay Anzahl Mittelwert Clear Run Delay Anzahl Mittelwert Mittelwert Clear Run Delay Mittelwert : Anzahl 67 Stichproben mit Stichprobengrösse n = Mittelwert

9 9'999 Stichproben mit Stichprobengrösse n = 15 Folie 17 Mittelwert Clear Run Delay : Mittelwert Anzahl Zentraler Grenzwertsatz Normalverteilung Die Verteilung der Stichprobenmittelwerte nähert sich einer Normalverteilung an unabhängig davon, welche Verteilung in der Grundgesamtheit vorliegt. Damit können Aussagen über einen Stichprobenmittelwert gemacht werden, ohne andere Stichprobenmittelwerte heranzuziehen. Mit wachsendem Stichprobenumfang wird die Normalverteilung immer besser angenähert. Gedankenexperiment: Unendlich viele Stichproben werden gezogen k Folie 18 Körpergewicht in der Grundgesamtheit Mittelwert Standardabweichung µ = 78 σ = 14 Zentraler Grenzwertsatz Gemäss zentralem Grenzwertsatz ist die Verteilung der Stichprobenmittelwerte eine Normalverteilung mit den Parametern µ und s.e. Stichprobe 1: x 1 Mittelwert Standardabweichung (Standardfehler) (standard error s.e.) µ = 78 σ 14 = = 1.14 n 15 Stichprobe 2: x 2... s.e. Stichprobe k: x k k Stichproben mit Stichprobengrösse n = 15 µ = 78 Verteilung der Stichprobenmittelwerte x i

10 Hypothesentest Hypothesenbildung Folie 19 Anmerkung: µ SP ist eine Schätzung, basierend auf dem Mittelwert x der Stichprobe. Es gilt µ SP = x ((siehe Folien 12 und 38). Umgangssprachliche Ebene Unterscheiden sich die Studenten der Universität A von schweizerischen Studenten? Ebene der Forschungsfrage Ist die Grundgesamtheit von Universität A verschieden von der definierten Grundgesamtheit? Statistische Ebene Hypothesenbildung H : Die Studenten der Universität A stammen aus der definierten Grundgesamtheit. Die Schätzung für das Körpergewicht ist gleich dem Wert in der Grundgesamtheit. µ SP = µ H A : Die Studenten der Universität A stammen nicht aus der definierten Grundgesamtheit. Die Schätzung für das Körpergewicht ist nicht gleich dem Wert in der Grundgesamtheit. µ SP µ Kann die Nullhypothese H verworfen werden? Die Nullhypothese H ist allgemein das, was nicht gesucht ist "Null und nichtig". Die Hypothesenstruktur mit H und H A folgt der Maxime des kritischen Rationalismus: Neues Wissen wird durch Widerlegen bestehenden Wissens generiert. Hypothesentest Schritt für Schritt Folie 2 Verteilung der Stichprobenmittelwerte unter H Gemäss zentralem Grenzwertsatz folgt die Verteilung der Stichprobenmittelwerte einer Normalverteilung mit den Parametern µ und s.e. Grundsätzlich ist unter H jeder Mittelwert möglich (Normalverteilung ist asymptotisch), doch Werte weit von µ entfernt sind weniger wahrscheinlich als Werte nahe bei µ. Verteilung der Stichprobenmittelwerte s.e. µ = 78 x = 8.3 Der Mittelwert der Universität A ist sehr weit weg vom Mittelwert der Grundgesamtheit. Es ist eher unwahrscheinlich, dass die Stichprobe A aus der Grundgesamtheit unter H stammt.

11 Folie 21 Wann wird die Nullhypothese H verworfen? H wird verworfen, wenn sich ein Stichprobenmittelwert so stark von µ unterscheidet, dass der Unterschied nur mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit auftritt. Diese Wahrscheinlichkeit und damit der Grenzwert ("Kritische Grenze"), die ein Stichprobenmittelwert erreichen muss, wird bereits vor der Untersuchung festgelegt. Liegt ein Stichprobenmittelwert links oder rechts der kritischen Grenzen, wird die Hypothese H verworfen. Dann unterscheidet sich der Mittelwert signifikant von µ. Verteilung der Stichprobenmittelwerte Kritische Grenze Kritische Grenze µ = 78 x = 8.3 Die kritische Grenze ist überschritten. Das Gewicht der Studenten der Universität A unterscheidet sich signifikant vom Mittelwert der Grundgesamtheit. Kritische Grenzen / Kritische Region Folie 22 Die kritische Grenze wird in der Regel so festgesetzt, dass ein beliebiger Mittelwert einer Stichprobe aus der Grundgesamtheit mit einer gesamten Wahrscheinlichkeit von 5% links oder rechts der kritischen Grenze liegt. Verteilung der Stichprobenmittelwerte Kritische Region (2.5% der Gesamtfläche) Werte in dieser Region treten mit 2.5% Wahrscheinlichkeit auf Kritische Region (2.5% der Gesamtfläche) Werte in dieser Region treten mit 2.5% Wahrscheinlichkeit auf µ = 78 x = 8.3 Kritische Grenze Kritische Grenze Das bedeutet auch: In 5% der Fälle, in denen H zutrifft, wird H fälschlicherweise verworfen. Diese Wahrscheinlichkeit wird Signifikanzniveau α oder Irrtumswahrscheinlichkeit genannt.

12 Folie 23 Verwerfungsbereich und Annahmebereich Wenn der Stichprobenmittelwert ausserhalb der kritischen Grenzen liegt, wird die Nullhypothese H verworfen der Unterschied ist signifikant. Wenn der Stichprobenmittelwert innerhalb der kritischen Grenzen liegt, wird die Nullhypothese H angenommen der Unterschied ist nicht signifikant. Verteilung der Stichprobenmittelwerte µ = 78 x = 8.3 Verwerfungsbereich von H Annahmebereich von H Verwerfungsbereich von H Folie 24 Intermezzo: Bestimmung der kritischen Grenzen mit Hilfe der z-transformation Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert µ, Varianz σ 2 und Standardabweichung σ Schreibweise X ~ N(µ, σ 2 ) Die Variable X wird transformiert (das heisst, es wird eine Berechnung durchgeführt) Transformation Z = X µ σ Die transformierte Zufallsvariable Z ist wieder normalverteilt, aber mit Mittelwert, Varianz 1 2 und Standardabweichung 1 Schreibweise Z ~ N(, 1 2 ) SPSS: Analysieren Deskriptive Statistiken Deskriptive Statistik...

13 Intermezzo: Bestimmung der kritischen Grenzen mit Hilfe der z-transformation Folie 25 X ~ N( µ, σ 2 ) σ Fläche unter der Kurve = 1 (1% Wahrscheinlichkeit) Z = X µ σ µ Originalverteilung Z ~ N(,1) 1 Fläche unter der Kurve = 1 (1% Wahrscheinlichkeit) Standardnormalverteilung Intermezzo: Grenzen einer symmetrischen Fläche der Standardnormalverteilung Folie 26 Fläche = 2.5% Fläche = 95% Fläche = 2.5% Grenze = Grenze = 1.96 Die Werte der Grenzen werden in Tabellen dargestellt. Gegebene Fläche zugehörige Werte 9.% ± % ± % ± % ± % ± 3.29

14 Intermezzo: Kritische Grenzen Folie 27 Die Werte der kritischen Grenzen können in der Standardnormalverteilung bestimmt werden. Zweiseitiger Test Einseitiger Test H : x = µ H : x µ H A : x µ H A : x > µ α/2 α/2 α Signifikanzniveau α Kritische Grenzen Kritische Grenzen 5% ± % ± Berechnung der Teststatistik Folie 28 Der Mittelwert der Stichprobe muss ebenfalls in die standardisierte Normalverteilung transformiert werden, bevor er mit den kritischen Grenzen verglichen werden kann. Die z-transformation führt zur Teststatistik z, die einer Normalverteilung folgt z x µ = σ <=> z folgt einer Normalverteilung <=> z-test n Falls die Standardabweichung der Grundgesamtheit σ unbekannt ist, muss sie aus der Stichprobe geschätzt werden. Anstelle von σ wird der Wert s der Stichprobe verwendet. In diesem Fall folgt die Teststatistik einer t-verteilung mit ν = n - 1 Freiheitsgraden. t = x µ s n <=> t folgt einer t-verteilung <=> t-test

15 Intermezzo: Berechnung von standardisierten Werten (z-transformation) Folie 29 Allgemeiner Fall µ σ Eigenschaften Verteilung ist normalverteilt mit Parameter µ und σ X ~ N(µ, σ 2 ) Transformation X µ Z = σ Mittelwertsverteilung s.e µ Eigenschaften Verteilung ist normalverteilt mit Parameter µ und s.e. X ~ N(µ, s.e. 2 ) µ = Mittelwert in GG σ = Standardabweichung in GG n = Stichprobengrösse s.e. = σ n Transformation Z = X µ σ n z-test für das Gewicht der Studenten der Universität A Folie 3 Stichprobe von n = 15 Studenten der Universität A mit Gewicht: x = 8.3, s = 13.4 Das Gewicht in der Grundgesamtheit ist bekannt: µ = 78, σ = 14 Hypothesen H : Gewicht der Studenten der Universität A ist gleich wie in der Grundgesamtheit H A : Gewicht der Studenten der Universität A ist nicht gleich wie in der Grundgesamtheit Signifikanzniveau α = 5% Kritischer Wert = ±1.96 (siehe Folie 27) Teststatistik (auch z-wert genannt): x µ = = = z 2.12 σ 14 n Teststatistik 2.12 ist grösser als der kritische Wert H wird verworfen. Das Gewicht der Studenten der Universität A unterscheidet sich signifikant vom Mittelwert der Grundgesamtheit.

16 Folie 31 p-wert Die Fläche ausserhalb des z-werts ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Stichprobenmittelwert kleiner respektive grösser ist als der Mittelwert der aktuellen Stichprobe. Diese Wahrscheinlichkeit, die eine Zufallsgrösse ist, wird p-wert der Stichprobe genannt. z-wert z-wert p-wert = Fläche links des z-werts + Fläche rechts des z-werts Folie 32 p-wert Gewicht der Studenten der Universität A Stichprobe von n = 15 Studenten der Universität A mit Gewicht: x = 8.3, s = 13.4 Das Gewicht der Grundgesamtheit ist bekannt: µ = 78, σ = 14 Signifikanzniveau α = 5% wie Folie 3 Kritischer Wert = ± Testgrösse: x µ z = = = 2.12 σ 14 n 15 p-wert = Fläche ausserhalb der z-werte p = 4.4 % (mit Taschenrechner berechnet) p < 5% p < α z-wert = z-wert = 2.12 Der p-wert ist kleiner als 5% => H wird verworfen. Unter H tritt ein z-wert von 2.12 lediglich mit Wahrscheinlichkeit 4.4% auf. Das Gewicht der Studenten der Universität A ist signifikant höher als in der Grundgesamtheit.

17 Folie 33 Einseitiges oder zweiseitiges Testen? Bei einem zweiseitigen Test gibt es keine Voraussetzung über die Richtung der Abweichung des Mittelwerts vom wahren Wert µ. Zweiseitiger Test nicht signifikant Ein einseitiger Test ist bei gleichem Wert des Mittelwerts schneller signifikant. Das heisst, die Nullhypothese H wird beim einseitigen Test eher verworfen. 2.5% µ 2.5% Dieser Gewinn an Teststärke entsteht, weil bereits vor dem Test die Richtung der Abweichung des Mittelwerts festgelegt worden ist. Die Richtung darf nur dann vorher festgelegt werden, wenn empirische Evidenz vorliegt oder eine gesicherte Theorie. Das heisst, die Richtung muss mit anderen Studien oder aus theoretischen Überlegung begründbar sein. Beispiel: Bei einer Studie zu Übergewichtigen kann angenommen werden, dass ihr Durchschnittsgewicht grösser ist als das in der Grundgesamtheit. Ein Test darf deshalb einseitig durchgeführt werden. Einseitiger Test signifikant µ 5.% t-test für eine Stichprobe mit SPSS Folie 34 Stichprobe von n = 15 Studenten der Universität A mit Gewicht: x = 8.3, s = 13.4 Das Gewicht der Grundgesamtheit ist bekannt: µ = 78 Nicht bekannt ist die Standarbabweichung σ in der Grundgesamtheit Zurück zur Anmerkung auf Folie 28 Hypothesen H : Gewicht der Studenten der Universität A ist gleich wie in der Grundgesamtheit H A : Gewicht der Studenten der Universität A ist nicht gleich wie in der Grundgesamtheit Signifikanzniveau α = 5%

18 Folie 35 SPSS Menü Analysieren Mittelwerte vergleichen T-Test bei einer Stichprobe... Testwert 78 entspricht dem Mittelwert in der Grundgesamtheit (µ ). Folie 36 SPSS-Ausgabe Mittelwert und Standardabweichung der Teilstichprobe mit 15 Studenten der Universität A T = wird gemäss Formel "t = " von Folie 28 berechnet. df (degrees of freedom) entspricht ν = n 1 von Folie 28: ν = 15 1 = 149 Sig. (2-seitig) ist der p-wert: 3.4% => p < 5% das heisst p < α Der p-wert ist kleiner als 5% => H wird verworfen. Das Gewicht der Studenten der Universität A ist signifikant höher als in der Grundgesamtheit.

19 Punktschätzung und Konfidenzintervall Punktschätzung Folie 37 Grundgesamtheit (GG) Alle Studenten Mittelwert µ = 78 Stichprobentheorie Intervall ± Schliessende Statistik Stichprobe (SP) n = 15 Studenten Punkt 8.3 auf dem Zahlenstrahl x = 8.3 Mittelwert der Stichprobe 8.3 ± 2.2 Punktschätzung mit Konfidenzintervall für die Grundgesamtheit Punktschätzung des Mittelwerts x Mittelwert der Stichprobe µ SP Punktschätzung für den Mittelwert der Grundgesamtheit µ Wahrer Mittelwert in der Grundgesamtheit (im allgemeinen unbekannt) Ein "Schätzer" ist eine Funktion, Folie 38 die einen Wert berechnet. Die Wahl des Schätzers für den Mittelwert basiert auf folgenden Kriterien: Erwartungstreue (auch: Unverzerrtheit oder Unbiasedness) Effizienz Konsistenz Ein Schätzer ist erwartungstreu, falls sein Erwartungswert gleich dem Wert des Mittelwerts in der Grundgesamtheit ist, den er schätzt. Ein erwartungstreuer Schätzer ist effizient, falls kein anderer erwartungstreuer Schätzer eine geringere Varianz der Stichprobenverteilung aufweist. Ein Schätzer ist konsistent, wenn eine Zunahme der Stichprobengrösse dazu führt, dass er näher am wahren Wert des Mittelwerts in Grundgesamtheit liegt. Der Mittelwert x einer Stichprobe ist ein erwartungstreuer, effizienter und konsistenter Schätzer des Mittelwerts der Grundgesamtheit: µ SP = x

20 Konfidenzintervall Folie 39 Ein Kochrezept Gegeben ist ein Fehlerrisiko α (Beispiel: α = 5%) Aus dem Mittelwert x einer Stichprobe kann das Intervall berechnet werden, in welchem µ mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 α liegt (Beispiel: 1% 5% = 95%). In die Berechnung fliessen die Stichprobengrösse n und die Standardabweichung s ein. Dieses Intervall heisst Konfidenzintervall. Die Wahrscheinlichkeit 1 α wird Konfidenzniveau genannt. Gegeben Fehlerrisiko α <=> Konfidenzniveau 1 α Dann beinhaltet das Intervall s x t α / 2, ν, x+ tα / 2, ν n s n den Mittelwert der Grundgesamtheit µ mit einem Konfidenzniveau 1 α. Der t-wert t α/2,ν wird aus der Tabelle auf Folie 42 herausgelesen, wobei für ν gilt ν = n 1 Konfidenzintervall mit SPSS I Beispiel: Studie zum Körpergewicht von Studierenden Stichprobe der Universität A mit n = 15 Studenten Folie 4 Analysieren Deskriptive Statistiken Explorative = = - 2.2

21 Konfidenzintervall mit SPSS II Folie 41 Punktschätzung Konfidenzintervall Universität A 8.3 ± %-Konfidenzintervall [ , ] = [78.2, 82.5] Punktschätzung 8.3 Der Mittelwert 8.3 ist eine erwartungstreue Punktschätzung für den wahren Wert in der Grundgesamtheit. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt der wahre Wert µ des Gewichts in der Grundgesamtheit im Intervall [ , ] = [78.1, 82.5]. Appendix: Tabelle der t-verteilung Folie 42 : Beispiel: df = 3 1 = %-Konfidenzniveau (zweiseitig) => t-wert zwischen und => t 1.969

22 Literatur Folie 43 BfS (29) Die Stichprobe: warum sie funktioniert. Broschüre auf der Homepage des Bundesamts für Statistik, Schweiz, Zugriff: Oktober 212: Raithel (28) Quantitative Forschung : ein Praxiskurs / Jürgen Raithel. - 2., durchges. Aufl. - Wiesbaden : VS Verlag für Sozialwissenschaften, 28. Xu (28) Fei Xu and Vashti Garcia: Intuitive statistics by 8-month-old infants. Proceedings of the National Academy of Sciences, PNAS (13) , 28 Inhaltsverzeichnis Folie 44 Ziele der Vorlesung 3 Einführung 4 Beispiel...4 Schliessende Statistik...9 Stichprobenziehung 1 Intuitives Stichprobenwissen von Säuglingen...1 Stichprobe: Hintergrund und Eigenschaften...11 Wie ein Hypothesentest funktioniert 14 Klinische Studie zum Körpergewicht von Studierenden...14 Hypothesentest...19 t-test für eine Stichprobe mit SPSS 34 Punktschätzung und Konfidenzintervall 37 Punktschätzung...37 Konfidenzintervall...39