Optische Resonatoren

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1 Optische Resonatoren Matthias Pospiech Universität Hannover Optische Resonatoren p. 1

2 1. Grundlagen 2. Stabilitätskriterien 3. Transversale Moden 4. Longitudinale Moden 5. Experiment Optische Resonatoren p. 2 Inhalt

3 Aufbau von Resonatoren Abbildung 1: Grundaufbau eines Resonators Bezeichnungen: Länge des Resonators: L Krümmungsradien der Spiegel: R1,2 Durchmesser der Spiegel: 2a. Reflektivitäten: R1,2 Optische Resonatoren p. 3

4 Resonatortypen (a) konfokal (b) konzentrisch (c) hemisphärisch Abbildung 2: Verschiedene Typen von Resonatoren Verhältnis von Resonatorlänge zu Spiegelradien konfokal (sym.): R1 = R2 = L konzentrisch (sym.): R1 = R2 = 1/2L hemisphärisch: R1 =, R2 = R, L < R planparallel: R = Optische Resonatoren p. 4

5 Verluste im Resonator Verluste durch Transmission an den Spiegeln Beugung an den Grenzflächen Absorption in dem Medium Lichtstreuung Optische Resonatoren p. 5

6 Inhalt 1. Grundlagen 2. Stabilitätskriterien 3. Transversale Moden 4. Longitudinale Moden 5. Experiment Optische Resonatoren p. 6

7 Optisch Stabil optisch stabil: paraxialer Lichtstrahl verlässt den Resonator auch nach beliebig vielen Reflexionen an den Spiegeln nicht. Strahlen-Optik: keine Strahlenverluste (Annahme: perfekte Spiegel) aber: zusätzliche Beugungsverluste Optische Resonatoren p. 7

8 Optisch Stabil optisch stabil: paraxialer Lichtstrahl verlässt den Resonator auch nach beliebig vielen Reflexionen an den Spiegeln nicht. Strahlen-Optik: keine Strahlenverluste (Annahme: perfekte Spiegel) aber: zusätzliche Beugungsverluste Herleitung der Stabilitätskriterien mittels der Strahlen-Optik. (Herleitung über Gaußoptik z. B. in Laserspektroskopie von Demtröder) Optische Resonatoren p. 7

9 Strahlenoptik paraxiale Näherung: Steigung r = tan(α) sehr klein r α. Strahlenvektor: r(z) = ( r(z) r (z) ) = ( r(z) α ) Abbildung 3: Paraxialer strahl Optische Resonatoren p. 8

10 Strahlenoptik: Optische Elemente Optischen Elemente lassen sich durch zweidimensionale Matrizen M darstellen: r2 = Mr1 Ausbreitung durch mehere optische Elemente r2 = Mn M1r1 Optische Resonatoren p. 9

11 Strahlenoptik: Optische Elemente Optischen Elemente lassen sich durch zweidimensionale Matrizen M darstellen: r2 = Mr1 Ausbreitung durch mehere optische Elemente r2 = Mn M1r1 Beispiele für M: Ungestörte Ausbreitung Dünne Linse Sphärischer Spiegel 1 L /f /f 1 Sphärischer Spiegel und dünne Linse sind äquivalente optische Elemente. Optische Resonatoren p. 9

12 Herleitung: Stabilitätskriterien Wir betrachten einen vollständigen round-trip im Resonator und stellen diesen über Linsen dar. Die gesamte Transformation ist dann: r2 = [ 1 0 1/2f1 1 ] [ 1 L 0 1 ] [ 1 0 1/f2 1 ] [ 1 L 0 1 ] [ 1 0 1/2f2 1 ] r1 [Halblinse] [freier Raum] [Linse] [freier Raum] [Halblinse] Optische Resonatoren p. 10

13 Herleitung: Stabilitätskriterien Resonatorparameter g1 und g2: r2 = gi = 1 L = 1 L Ri 2fi [ (2g1g2 1) 2g2L 2g1(g1g2 1)/L (2g1g2 1) Bedingung: n-ten Strahldurchlauf rn+1 = M n r1 liegt noch im Resonator Stabilitätskriterium 0 < g1g2 < 1 ] r2 Optische Resonatoren p. 11

14 Optische Resonatoren p. 12 Stabilitatsdiagramm

15 Optische Resonatoren p. 13 Beispiele: Stabile und instabile Resonatoren

16 Inhalt 1. Grundlagen 2. Stabilitätskriterien 3. Transversale Moden 4. Longitudinale Moden 5. Experiment Optische Resonatoren p. 14

17 Transversale Moden Moden transversale Moden: Intensitätsverteilung senkrecht zur Achse des Resonators longitudinale Moden: Intensitätsverteilung in Achsenrichtung. Optische Resonatoren p. 15

18 Transversale Moden Moden transversale Moden: Intensitätsverteilung senkrecht zur Achse des Resonators longitudinale Moden: Intensitätsverteilung in Achsenrichtung. Bedingung für transversale Moden Feldverteilung im Resonator durch eine Überlagerung aller hinund zurücklaufenden Wellen. zur Ausbildung von Moden : stationäre Feldverteilung Stationäre Feldverteilung : Bei Reflexion ändert sich die räumliche Feldverteilung über dem Querschnitt des Resonators nicht. (Feld reproduziert sich bei Reflexion). Optische Resonatoren p. 15

19 Gaußmoden Die Gaußmoden sind Lösung der Helmholtzgleichung in paraxialer Näherung: (mit ϱ 2 = x 2 + y 2 ) 2 ϱu 2ik u z = 0 Helmholtzgleichung Symmetrien Zylinderkoordinaten (kreisförmige Spiegel) Laguerre-Gauss Moden kartesische Koordinaten (rechteckige Spiegel) Hermite-Gauss Moden Optische Resonatoren p. 16

20 Höhere Moden: Hermite-Gauss Moden Feldverteilung der Hermite-Gauss Moden Amn = Hm ( 2x w(z) ) Hn ( 2y w(z) ) 2 +y 2 e x w(z) 2 e iϕ(x,y,z) Hm, Hn: Hermitesche Polynome. Parameter n, m : Anzahl der Nullstellen in x und y Richtung Optische Resonatoren p. 17

21 Höhere Moden: Hermite-Gauss Moden Feldverteilung der Hermite-Gauss Moden Amn = Hm ( 2x w(z) ) Hn ( 2y w(z) ) 2 +y 2 e x w(z) 2 e iϕ(x,y,z) Hm, Hn: Hermitesche Polynome. Parameter n, m : Anzahl der Nullstellen in x und y Richtung Grundmode u(r) = w 0 w(z) exp [ ( ϱ w(z) ) 2 ] exp [ik ϱ2 2R(z) ] exp[i(kz ϕ(z))] Die Grundmode TEM00 bezeichnet man auch als Gaußmode Optische Resonatoren p. 17

22 Hermite-Gauss Moden Abbildung 4: Hermite-Gauss Moden TEMmn Optische Resonatoren p. 18

23 Laguerre-Gauss Moden (a) 00 (b) 01 (c) 11 (d) 10 (e) 02 (f) 12 Abbildung 5: Laguerre-Gauss Moden TEMpq Optische Resonatoren p. 19

24 Inhalt 1. Grundlagen 2. Stabilitätskriterien 3. Transversale Moden 4. Longitudinale Moden 5. Experiment Optische Resonatoren p. 20

25 Longitudinale Moden Bedingung für Longitudinale Moden stehende Wellen im Resonator Eigenfrequenzen νmnq abhängig von transversaler Mode (m, n) Länge des Resonators (q) Modenbezeichnung: TEMmnq Optische Resonatoren p. 21

26 Longitudinale Moden Bedingung für Longitudinale Moden stehende Wellen im Resonator Eigenfrequenzen νmnq abhängig von transversaler Mode (m, n) Länge des Resonators (q) Modenbezeichnung: TEMmnq Planparalleler Resonator (FPI) Länge L des Resonators ist ein ganzzahliges Vielfaches q der halben Wellenlänge: L = λ 2 q ν = c 2L q Optische Resonatoren p. 21

27 Resonanzfrequenzen Resonanzfrequenzen für beliebige Spiegel: νmnq = c 2L [q + (m + n + 1) F(g 1,g2)] q : ganzzahlig Optische Resonatoren p. 22

28 Resonanzfrequenzen Resonanzfrequenzen für beliebige Spiegel: νmnq = c 2L [q + (m + n + 1) F(g 1,g2)] q : ganzzahlig Der Faktor F(g1,g2) ist gegeben durch F(g1,g2) = 1 π cos 1 g1g2 = 0 für den planparallelen Resonator 1/2 für den konfokalen Resonator 1 für den konzentrischen Resonator Optische Resonatoren p. 22

29 Resonanzfrequenzen Resonanzfrequenzen für beliebige Spiegel: νmnq = c 2L [q + (m + n + 1) F(g 1,g2)] q : ganzzahlig Der Faktor F(g1,g2) ist gegeben durch F(g1,g2) = 1 π cos 1 g1g2 = 0 für den planparallelen Resonator 1/2 für den konfokalen Resonator 1 für den konzentrischen Resonator Spiegelabstand für den konfokalen Resonator L = λ 2 [q + 12 (m + n + 1) ] Optische Resonatoren p. 22

30 Freier Spektralbereich (FSR) (konfokal) Freier Spektralbereich: δν bezeichnet den Frequenzabstand zwischen zwei Moden. Für transversale Moden beträgt dieser: ( (m + n) = 1): δν = c 4d und für longitudinale Moden: ( (q) = 1) : δν = c 2d Abbildung 6: Resonanzfrequenzen des konfokalen Resonator Optische Resonatoren p. 23

31 Resonanzkennlinie Verluste im Resonator Resonanzkennlinie nicht beliebig scharf Halbwertsbreite: Frequenzdifferenz ν = ν1 ν2 der Frequenzen, für die die Intensität auf die Hälfte abgesunken ist IT(ν1) = IT(ν2) = 1 I 2 T(νm). Überwiegen die Verluste durch die Transmission der Spiegel, so ergibt sich analog zum Fabry-Perot Interferometer eine Halbwertsbreite von: ν = δν F Die Finesse F ist gegeben durch F = π R 1 R mit der Reflektivität R. Optische Resonatoren p. 24

32 1. Grundlagen 2. Stabilitätskriterien 3. Transversale Moden 4. Longitudinale Moden 5. Experiment Optische Resonatoren p. 25 Inhalt

33 Optische Resonatoren p. 26 Aufbau des Experiments mit Strahlengängen

34 Maximalen Länge des hemisphärischen Resonators Wir wissen: planparallele Platte: R = g1 = 1 L/ = 1 g2 = 1 L/R stabil für g1g2 > 0 g1g2 = 1 L/R > 0 L < R Unser Spiegel hat eine Krümmungsradius von R = 75mm L < 75mm Optische Resonatoren p. 27

35 Berechnung der Halbwertsbreite Reflektivitäten: R1 = 0, 999 R2 = 0, 98 Freier Spektralbereich: δν = c c 2L = 2 75mm = 2GHz Gesamtreflektivität: R = R1R2 = 0, 999 0, 98 0, 989 Finesse F = π R 1 R 296 Halbwertsbreite: ν = δν F = , 7MHz Optische Resonatoren p. 28

36 1. Grundlagen 2. Stabilitätskriterien 3. Transversale Moden 4. Longitudinale Moden 5. Experiment Fragen? Optische Resonatoren p. 29 Inhalt

37 Anhang Optische Resonatoren p. 30

38 Beispiele: Tabelle Resonatortyp Spiegelradien Parameter konfokal R1 + R2 = 2L g1 + g2 = 2g1g2 konzentrisch R1 + R2 = L g1 g2 = 1 symmetrisch R1 = R2 g1 = g2 konfokal symmetrisch R1 = R2 = L g1 = g2 = 0 konzentrisch symmetrisch R1 = R2 = 1/2L g1 = g2 = 1 eben b1 = b2 = g1 = g2 = +1 Tabelle 1: Resonatoren mit ihren Stabilitätsparametern Resonatorparameter: g = 1 L/R Optische Resonatoren p. 31

39 Berechnung der Modenstruktur Ersetze Resonator mit zwei Spiegeln durch eine äquivalente Anordnung von Lochblenden Abbildung 7: Äquivalente Anordnung von Lochblenden Optische Resonatoren p. 32

40 Berechnung der Modenstruktur Intensitätsverteilung ändert sich beim Durchgang durch jede Blende Abbildung 8: Veränderung der Feldverteilung durch Lochblenden (n 1)-ten Blende bestimmt Intensitätsverteilung der n-ten Blende Optische Resonatoren p. 33

41 Berechnung der Modenstruktur Eine stationäre Feldverteilung muss gelten An(x,y) = CAn 1(x,y) (wobei C 2 den Intensitätsverlust der Beugung angibt.) Berechne Feldverteilung An(x, y) iterativ über das Fresnelsche Integral: An(x,y) = i 2λ An 1(x,y ) 1 ϱ e ikϱ (1 + cosϑ)dx dy Optische Resonatoren p. 34

42 Berechnung der Modenstruktur Eine stationäre Feldverteilung muss gelten An(x,y) = CAn 1(x,y) (wobei C 2 den Intensitätsverlust der Beugung angibt.) Berechne Feldverteilung An(x, y) iterativ über das Fresnelsche Integral: An(x,y) = i 2λ An 1(x,y ) 1 ϱ e ikϱ (1 + cosϑ)dx dy Lösungen (nur für den konfokalen Resonator: R1 = R2 = L) Hermite-Gauß bzw. Laguerre-Gauß Moden Optische Resonatoren p. 34

43 Parameter der Gaußmode Strahlparameter q = z z0 Strahltaille (beam waist) w 2 (z) = w 2 0 [ 1 + (z/z 0) 2], w 2 0 = λz0/π Krümmungsradius R(z) = [ 1 + (z0/z) 2] Gouy Phase ϕ = tan 1 (z/z0) Rayleigh Zone b = 2z0 Divergenz Winkel Θ w0/z0 = λ/πw0 Optische Resonatoren p. 35

44 Äquivalente Resonatoren bisher: nur konfokaler Resonator aber: jeder Resonator mit sphärischen Spiegeln kann in die Phasenflächen des konfokalen Resonators eingebettet werden. Optische Resonatoren p. 36

45 Äquivalente Resonatoren Die Spiegel müssen bei z = z1 und z = z2 dieselben Krümmungsradien haben. Dann ändert sich die Feldverteilung nicht. Solche Resonatoren nennt man äquivalent. Optische Resonatoren p. 37

46 Modenantartung (konfokal) Der konfokale Resonator hat eine Modenentartung. Das heißt, das verschiedene Moden bei gleicher Resonanzfrequenz stabil sind. Betrachten wir dazu die transversalen Moden mit q = q1 und m + n = 2q2 q (1 + 2q 2) = q q 2 Diese fallen mit den longitudinalen Moden mit q = q1 + q2 und m + n = 0 zusammen. (q1 + q2) (1 + 0) = q 1 + q [q + 12 (m + n + 1) ] νmnq = c 2L (Resonanzfrequenzen) Optische Resonatoren p. 38

47 Aufhebung der Modenantartung (konfokal) Weicht der Spiegelabstand L etwas vom Krümmungsradius R der Spiegel ab, so wird diese Modenentartung wieder aufgehoben. (Der Faktor F(g1,g2) weicht von 1/2 ab). Abbildung 9: Spektrum nahezu konfokaler Resonatoren Optische Resonatoren p. 39