Die Noether Theoreme

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1 Die Noether Theoreme Friedemann Brandt Antrittsvorlesung, 12. April 2000 Zur Wahl des Themas Kurzbiographie Noether Allgemeine Form der Theoreme Noethers Originalarbeit Eigene Arbeiten

2 Zur Wahl des Themas Relevanz von Symmetrien u. Erhaltungsgesetzen Ein alter Hut!? Noethers Arbeit ist von 1918; Noethers Theorem ist Standardstoff von Lehrbüchern und Vorlesungen Dennoch: Darstellung meist unvollständig (bisweilen haarsträubend) Ausnahme: Peter J. Olver, Applications of Lie Groups to Differential Equations, Springer-Verlag 1986 Zusammenhang mit eigenen Arbeiten

3 Emmy (Amalie) Noether Erlangen Höhere Töchter Schule 1900 Staatsexamen Lehramt (Engl., Franz.) Gasthörerin in Math. Unis Erlangen u. Göttingen (u.a. bei Hilbert, Klein, Minkowski, Schwarzschild) Doktorarbeit in Erlangen erste Veröffentlichungen Uni Erlangen, Forschung u. Lehre (ohne Stelle oder Gehalt) Uni Göttingen (auf Einladung Hilberts) Forschung u. Lehre 1919 Habilitation; Habilschrift enthält Invariante Variationsprobleme (Arbeit mit den Noether Theoremen ) Nicht-beamtete ausserord. Prof. geringes Stipendium für Lehrauftrag 1933 Amstenthebung durch Nazis Visiting Prof. in Bryn Mawr, USA Vorlesungen am IAS, Princeton Embolie nach Tumoroperation

4 Allgem. (u. moderne) Form der Theoreme Voraussetzung: Bewegungsgleichungen folgen mittels Variationsprinzip aus einer Wirkung (bzw. Lagrangefunktion) Theorem 1 (einfache Version) Zu jeder kontinuierlichen globalen Symmetrie der Wirkung korrespondiert ein erhaltener Strom (= eine Kontinuitätsgleichung) und umgekehrt. Theorem 2 (einfache Version) Zu jeder lokalen Symmetrie (= Eichsymmetrie) der Wirkung korrespondiert eine (Noether-) Identität zwischen den Bewegungsgleichungen und umgekehrt. Erweiterte Versionen: Theorem 1 gilt analog für Äquivalenzklassen globaler Symmetrien und erhaltener Ströme, Theorem 2 für Äquivalenzklassen lokaler Symmetrien und Noether- Identitäten.

5 Symmetrien und erhaltene Ströme Wirkung: I = d n x L(x, U) L(x, U) L(x µ, U a, µ U a, µ ν U a,...) U a = U a (x) 1. (Kontinuierliche) Globale Symmetrien Infinitesimale Transformationen: δ ɛ x µ = 0, δ ɛ U a = ɛ G a (x, U), ɛ = konstant Invarianzbedingung (Definition!) : δ ɛ L = ɛ µ K µ (x, U) Beispiel (n = 1, {x µ } = {t}, {U a } = {U}): I = dt L(U), L(U) = 1 2 U U V (U) δ ɛ U = ɛ U δ ɛ L = ɛ t L δ ɛ L = L(x, U + δ ɛ U) L(x, U) + O(ɛ 2 )

6 2. Lokale Symmetrien = Eichsymmetrien Infinitesimale Transformationen: δ λ x µ = 0 δ λ U a = R a (x, U, λ) = r a (x, U)λ + r aµ (x, U) µ λ +... λ = beliebige Funktion der x µ Invarianzbedingung: δ λ L = µ K µ (x, U, λ) Beispiel (n = 1, {x µ } = {t}, a = ): I = dt L(U) L(U) = = g ab U a U b U 1 U 1 U 2 U 2 U 3 U 3 U 4 U 4 δ λ U a = λ U a δ λ L = t (λl)

7 3. Erhaltene Ströme Erhaltene Ströme j µ (x, U) sind für jede Lösung der Bewegungsgleichungen divergenzfrei. Was bedeutet das konkret? Bewegungsgleichungen: δl δu a = 0, δl δu a = L U a µ L ( µ U a ) +... Stromerhaltung (= Kontinuitätsgl.): µ j µ (x, U) = G a (x, U) δl δu a Anmerkung: OBdA sind alle G a (x, U) Funktionen (statt Operatoren), denn µ j µ (x, U) = [ g a (x, U) + g aµ (x, U) µ +...] δl δu a führt auf dieselbe Bedingung für äquiv. Strom: µ [ j µ g aµ δl δu a +... } {{ } j µ j µ ] a = [ g µ g aµ +...] }{{} G a δl δu a

8 Beispiele für die Theoreme Beispiel für Theorem 1 L = 1 2 U U V (U), δ ɛ U = ɛ U Die Stromerhaltungsgleichung G a (x, U) δl δu a = µ j µ (x, U) liefert in diesem Fall die Energieerhaltung: U δl δu = U[Ü + V (U)] = t [ 1 2 U U + V (U)] }{{} Energie Beispiel für Theorem 2 L(U) = δ λ U a = λ U a U 1 U 1 U 2 U 2 U 3 U 3 U 4 U 4 Noether-Identität: U a δl δu a = 0

9 Beweis von Theorem 1 (einfache Version) : Sei δ ɛ L = ɛ µ K µ mit δ ɛ U a = ɛ G a (x, U), δ ɛ x µ = 0. Explizit: δ ɛ L = ɛ G a L U a + ɛ ( µg a ) G a δl δu a = µ = ɛ G a δl δu a + ɛ µ = ɛ µ K µ [ K µ G a [ G a L ( µ U a ) +... L ( µ U a ) +... L ( µ U a ) +... } {{ } j µ ] ] : Sei µ j µ = G a δl/δu a. Definiere δ ɛ U a = ɛ G a, δ ɛ x µ = 0. Damit: δ ɛ L = ɛ G a δl }{{ δu a +ɛ µ G a } µ j [ µ = ɛ µ j µ + G a L ( µ U a ) +... [ L ( µ U a ) +... } {{ } K µ ] ] qed

10 Beweis von Theorem 2 (einfache Version) : Sei mit δ λ L = µ K µ (x, U, λ) (1) δ λ x µ = 0 δ λ U a = R a (x, U, λ) = r a (x, U)λ + r aµ (x, U) µ λ [Der Einfachheit halber angenommen, dass R a keine 2. Ableitung von λ enthält.] Euler-Lagrange Ableitung von (1) nach λ liefert eine (Noether-) Identität: r a (x, U) δl [ δu a µ r aµ (x, U) δl ] δu a = 0 (2) : Sei (2) gegeben. Multipliziere (2) mit λ. Das Ergebnis läßt sich in die Form δ λ L = µ K µ (x, U, λ) bringen mit δ λ wie oben.

11 Anmerkung δx µ = 0 ist keine Beschränkung der Allgemeinheit. Sei nämlich δi = d n x µ K µ (3) (mit gleichen Integrationsgebieten rechts und links), wobei x µ = x µ ξ µ (x, U), Ũ a ( x) = (U a + δu a )(x) (3) ist equivalent zu wobei δl = µ K µ δx µ = 0 δu a (x) = δu a (x) + ξ µ µ U a (x) K µ = K µ + ξ µ L (Lieableitung) Insbesondere: δi = 0 δl = µ (ξ µ L)

12 Herleitung (bereits bei Noether zu finden): Betrachte {x µ } = {t}, {U a } = {U} und t = t ξ(t, U), Ũ( t) = (U + δu)(t) Ũ(t) = U(t) + δu(t) + ξ(t, U) U(t) Damit: δi = t 1 t 0 d t L( t, Ũ( t)) t1 t 0 dt L(t, U(t)) Substituiere im ersten Integral t = t + ξ δi = wobei t1 t 0 dt t [ξ(t, U(t))L(t, U(t))] + δi δt = 0, δu(t) = δu(t) + ξ(t, U) U(t) Dies liefert, wie behauptet, δi = t1 t 0 dt t K t 0, t 1 δl = t ( K + ξl).

13 Erweiterte Versionen der Theoreme 1. Triviale Eichsymmetrien Jede Wirkung hat unendlich viele triviale Eichsymmetrien! Diese verschwinden on-shell, δ λ U a 0 δ λ U a = N a (x, U, λ, ) δl δu a und sind von der Form δ λ U a = ( ) m µ1... µm (λ aµ 1...µ m bν 1...ν n ν1... νn mit λ aµ 1...µ m bν 1...ν n = λ bν 1...ν n aµ 1...µ m δl δu b) Triviale Noether-Identitäten: R a (x, U, ) δl δu a = 0, R a (x, U, ) 0 Beispiel: L = 1 2 U U, δ λ U = 2λ... U + λü δ λ L = t ( λ UÜ + 2λ U... U λüü) R(U) =... U Ü t

14 2. Triviale globale Symmetrien und Ströme Jede Wirkung hat unendlich viele triviale globale Symmetrien! Diese sind Eichtransformationen (triviale oder nichttriviale!) mit λ = λ(x, U), δ ɛ U a = δ λ(x,u) U a Triviale erhaltene Ströme: j µ ν K νµ, K νµ = K µν Beispiel: L(U) = U 1 U 1 U 2 U 2 U 3 U 3 U 4 U 4 δ λ U a = λ U a δ λ=ɛ U a = ɛ U a j = L U a L U a = 0

15 3. Erweiterte Version der Noether-Theoreme Zu jeder nicht-trivialen globalen Symmetrie korrespondiert ein nicht-trivialer erhaltener Strom und umgekehrt. Zu jeder nicht-trivialen Eichsymmetrie korrespondiert eine nicht-triviale Noether-Identität und umgekehrt. Noch präziser: Definiere Äquivalenzklassen globaler und lokaler Symmetrien, erhaltener Ströme und Noether- Identitäten durch Gleichheit modulo jeweils trivialer Symmetrien, Ströme, Noether-Identitäten. Die Äquivalenzklassen der globalen Symmetrien und erhaltenen Ströme korrespondieren Eins-zu-Eins. Die Äquivalenzklassen der Eichsymmetrien und Noether-Identitäten korrespondieren Eins-zu-Eins. Noether-Ströme von Eichsymmetrien sind trivial!