Motivation: Physikalische Kräfte können nicht durch eine Zahl allein beschrieben werden, denn sie besitzen eine Richtung und einen

Transkript

1 Höhere Mathematik 40 2 Lineare Algebra I 21 Vektoren und Vektorräume Motivation: Physikalische Kräfte können nicht durch eine Zahl allein beschrieben werden, denn sie besitzen eine Richtung und einen Betrag Man beschreibt sie durch Vektoren wirken die Kräfte in einer Ebene, durch zwei-dimensionale Vektoren [ α β ] Man kann solche Kräfte (Vektoren) addieren (Kräfteparallelogramm) Man kann eine solche Kraft aber auch mit einer Zahl multiplizieren: etwa mit λ = 2, was bedeutet, dass man den Betrag der Kraft verdoppelt, aber ihre Richtung beibehält, oder mit λ = 1, was bedeutet, dass man ihre Richtung umkehrt, aber ihren Betrag beibehält Im Folgenden bezeichnet K entweder R oder C Bemerkung: Allgemeiner ist K ein Körper Das ist eine Menge, auf der zwei Operationen (+ und ) definiert sind, die den Gesetzen genügen, die auf Folie 15 aufgelistet wurden und zb von R, C, aber auch von Q erfüllt werden 2 Lineare Algebra I Technische Universität Bergakademie Freiberg

2 Höhere Mathematik 41 Definition 21 Ein K-Vektorraum V := (V ; +, ) besteht aus einer Menge V, deren Elemente Vektoren genannt werden, und zwei Operationen: einer (Vektor-) Addition + und einer Skalarmultiplikation Die Addition ordnet zwei Vektoren a und b deren Summe a + b zu Die Skalarmultiplikation ordnet einer Zahl (einem Skalar) λ K und einem Vektor a einen neuen Vektor λ a zu Dabei müssen die folgenden Regeln gelten: (1) a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c V, (2) es gibt einen Vektor 0 mit a + 0 = a a V, (3) zu jedem a V gibt es ein a V mit a + ( a) = 0, (4) a + b = b + a a, b V, (5) (λµ) a = λ (µ a) λ, µ K und a V, (6) (λ + µ) a = λ a + µ a λ, µ K und a V, (7) λ (a + b) = λ a + λ b λ K und a, b V, (8) 1 a = a a V 21 Vektoren und Vektorräume Technische Universität Bergakademie Freiberg

3 Höhere Mathematik 42 Die (momentan) wichtigsten Beispiele für Vektorräume sind K n := a = α 1 α 2 α n : α j K, j = 1, 2,, n mit α 1 α 2 + β 1 β 2 := α 1 + β 1 α 2 + β 2 und λ α 1 α 2 := λα 1 λα 2 α n β n α n + β n α n λα n (λ K, α j, β j K) Addition und Skalarmultiplikation sind also komponentenweise definiert 21 Vektoren und Vektorräume Technische Universität Bergakademie Freiberg

4 Höhere Mathematik 43 Zwei Vektoren, a = [α j ] n j=1 und b = [β j] n j=1 Kn, sind genau dann gleich, wenn α j = β j für alle j = 1, 2,, n gilt Nullvektor und inverse Vektoren sind im K n durch 0 α 1 0 α 2 0 = bzw a =, falls a = 0 α n gegeben Bemerkungen zur Notation: Natürlich besteht ein prinzipieller Unterschied zwischen der algebraischen Struktur eines Vektorraums V = (V ; +, ) und der Menge V (der Vektoren) Trotzdem verwendet man für die Bezeichung eines Vektorraums (fast) immer nur V an Stelle des umständlichen (V ; +, ) α 1 α 2 α n, 21 Vektoren und Vektorräume Technische Universität Bergakademie Freiberg

5 Höhere Mathematik 44 Vektoren werden hier mit fetten kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet (a, b, ), der Nullvektor mit 0 (an der Tafel: a, b, bzw 0) In der Literatur findet man auch die Bezeichnungen a, b, bzw a, b, (Fraktur) bzw gotische Buchstaben für Vektoren Für Skalare stehen kleine griechische Buchstaben Koordinatenvektoren sind Spaltenvektoren Weil das oft zuviel Platz beansprucht, schreiben wir auch a = α 1 α 2 α n α j ist der j-te Koeffizient von a =: [α 1, α 2,, α n ] T Der Punkt, der für die Skalarmultiplikation steht, wird meistens unterdrückt 21 Vektoren und Vektorräume Technische Universität Bergakademie Freiberg

6 Höhere Mathematik 45 Satz 21 (Rechenregeln in Vektorräumen) Es sei V ein K-Vektrorraum Dann gelten: 0v = λ0 = 0 λ K und v V ( λ)v = λ( v) = (λv) λ K und v V ( λ)( v) = λv λ K und v V Definition 22 Ist U eine nicht-leere Teilmenge eines K-Vektorraums V mit u + v U für alle u, v U und λu U für alle u U und alle λ K (man sagt: U ist abgeschlossen unter Addition und Skalarmultiplikation), dann nennt man U einen Unterraum von V Jede Vektorraum V enthält als triviale Unterräume den gesamten Raum, also V, und den Nullraum {0 }, der nur aus dem Nullvektor besteht 21 Vektoren und Vektorräume Technische Universität Bergakademie Freiberg

7 Höhere Mathematik 46 Weitere Bezeichnungen: Ist X V, so ist span(x) := k λ j x j j=1 : k N, λ j K, x j X abgeschlossen unter + und, also ein Unterraum von V, genauer: der kleinste Unterraum von V, der X enthält Man nennt span(x) die lineare Hülle von X oder den von X erzeugten Unterraum von V Beispielsweise sind span{v} = {λv : λ K} und span{v, w} = {λv + µw : λ, µ K} Ein Vektor y der Form y = k λ j x j (λ j K) j=1 heißt Linearkombination der Vektoren x 1,, x k 21 Vektoren und Vektorräume Technische Universität Bergakademie Freiberg

8 Höhere Mathematik 47 Ist V ein Vektorraum, so heißt eine Teilmenge X V ein Erzeugendensystem von V, wenn man jeden Vektor v V als Linearkombination von Vektoren aus X darstellen kann Das bedeutet V = span(x) oder, anders formuliert, dass es für jedes v V Skalare λ 1, λ 2,, λ k K und Vektoren x 1, x 2,, x k X gibt mit v = λ 1 x 1 + λ 2 x λ k x k = k λ j x j Definition 23 Seien V ein K-Vektorraum und X V eine Teilmenge von V Die Vektoren aus X heißen linear unabhängig, wenn der Nullvektor nur trivial als Linearkombination von Vektoren aus X dargestellt werden kann; dh wenn aus k λ j x j = 0 (mit x j X und λ j K) stets λ 1 = λ 2 = = λ k = 0 j=1 folgt Vektoren, die nicht linear unabhängig sind, nennt man linear abhängig j=1 21 Vektoren und Vektorräume Technische Universität Bergakademie Freiberg

9 Höhere Mathematik 48 Seien V ein Vektorraum und X V eine Teilmenge von V Dann sind die Vektoren aus X genau dann linear unabhängig, wenn Folgendes gilt: Für alle x X ist span(x \ {x }) span(x) In diesem Sinn enthält eine Menge aus linear unabhängigen Vektoren keine Redundanz Definition 24 Sei V ein K-Vektorraum Ein Erzeugendensystem X von V, das aus linear unabhängigen Vektoren besteht, heißt Basis von V Ein Vektorraum V hat ia viele verschiedenen Basen, die aber alle dieselbe Anzahl von Elementen besitzen Diese Zahl, also die Anzahl der Vektoren, aus denen eine Basis von V besteht, heißt die Dimension von V (Schreibweise: dim(v )) Wir befassen uns (fast) nur mit endlich-dimensionalen Vektorräumen V (dh dim(v ) = n < ) Es gibt aber sehr wichtige unendlich-dimensionale Vektorräume (etwa den Raum der Polynome) 21 Vektoren und Vektorräume Technische Universität Bergakademie Freiberg

10 Höhere Mathematik 49 Sei X eine Basis des K-Vektorraums V Entfernt man aus X einen beliebigen Vektor x, dann ist X \ {x } kein Erzeugendensystem von V MaW: Eine Basis von V ist ein minimales Erzeugendensystem von V Fügt man zu X einen Vektor y (y / X) hinzu, dann sind die Vektoren aus X {y} nicht mehr linear unabhängig MaW: Eine Basis von V ist eine maximale Menge linear unabhängiger Vektoren aus V Satz 22 (Darstellung durch eine Basis) Ist X = {x 1,, x n } [X = {x j : j J}] eine Basis des n-dimensionalen [beliebigen] K-Vektorraums V, dann lässt sich jeder Vektor v V in eindeutiger Weise als Linearkombination der Basisvektoren darstellen Dh zu jedem v V gibt es eindeutig bestimmte Skalare λ 1,, λ n K [λ j K (j J), wobei nur endlich viele von 0 verschieden sind ] mit v = n j=1 λ jx j [v = j J λ jx j ] 21 Vektoren und Vektorräume Technische Universität Bergakademie Freiberg

11 Höhere Mathematik 50 e j := [0,, 0, }{{} 1, 0,, 0] T K n (j = 1, 2,, n) j te-komponente heißt j-ter (n-dimensionaler) Einheitsvektor Satz 23 Im K n sind k paarweise verschiedene Einheitsvektoren (k n) immer linear unabhängig Mehr als n Vektoren (aus dem K n ) sind immer linear abhängig Insbesondere ist {e 1, e 2,, e n } eine Basis des K n, die sog Standardbasis, und dim(k n ) = n Zwei Vektoren im R 2 bilden genau dann eine Basis des R 2, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen Drei Vektoren im R 3 bilden genau dann eine Basis des R 3, wenn sie nicht in einer Ebene liegen 21 Vektoren und Vektorräume Technische Universität Bergakademie Freiberg

12 Höhere Mathematik Matrizen Eine Matrix A K m n ist ein rechteckiges Zahlenschema, in dem mn reelle oder komplexe Einträge in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind: α 1,1 α 1,2 α 1,n α 2,1 α 2,2 α 2,n A = [α i,j ] 1 i m,1 j n = α m,1 α m,2 α m,n Die Zahl α i,j, die in der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Matrix A positioniert ist, heißt der (i, j)-te Eintrag von A Zwei Matrizen, A = [α i,j ] 1 i m,1 j n und B = [β i,j ] 1 i m,1 j n K m n, sind genau dann gleich, wenn α i,j = β i,j für alle i = 1, 2,, m und alle j = 1, 2,, n gilt Vektoren aus dem K n kann man als Matrizen aus K n 1 auffassen 22 Matrizen Technische Universität Bergakademie Freiberg

13 Höhere Mathematik 52 Der (i, j)-te Eintrag α i,j von A wird manchmal auch mit A[i, j] bezeichnet steht für die i-te Zeile von A, während die j-te Spalte von A bezeichnet A[i, :] := [α i,1, α i,2,, α i,n ] A[:, j] := [α 1,j, α 2,j,, α m,j ] T K m Auch für Matrizen werden Addition und Skalarmultiplikation komponentenweise erklärt: Für A = [α i,j ] 1 i m,1 j n, B = [β i,j ] 1 i m,1 j n K m n und λ K definiert man A + B := [α i,j + β i,j ] 1 i m,1 j n K m n und λ A := [λα i,j ] 1 i m,1 j n K m n 22 Matrizen Technische Universität Bergakademie Freiberg

14 Höhere Mathematik 53 Satz 24 (Rechenregeln für Matrizen) (K m n ; +, ) ist ein K-Vektorraum, dh A + (B + C) = (A + B) + C A, B, C K m n, es gibt eine Matrix O = [0] 1 i m,1 j n K m n, die sog Nullmatrix, mit A + O = A A K m n, zu jeder Matrix A = [α i,j ] 1 i m,1 j n K m n gibt es eine Matrix A = [ α i,j ] 1 i m,1 j n K m n mit A + ( A) = O, A + B = B + A A, B K m n, (λµ)a = λ(µa) λ, µ K und A K m n, (λ + µ)a = λa + µa λ, µ K und A K m n, λ(a + B) = λa + λb λ K und A, B K m n, 1 A = A A K m n 22 Matrizen Technische Universität Bergakademie Freiberg

15 Höhere Mathematik 54 Die Aussagen von Satz 21 gelten auch für Matrizen Definition 25 Ist A = [α i,j ] 1 i m,1 j n K m n, dann heißt A T := [α j,i ] 1 j n,1 i m K n m die Transponierte von A und A H := A T = [α j,i ] 1 j n,1 i m K n m die Konjugiert-Transponierte von A Transponiert man einen Vektor a = [α j ] K n, so ergibt sich ein Zeilenvektor a T = [α 1, α 2,, α n ] Für reelle Matrizen A sind A T und A H identisch Satz 25 (Rechenregeln für die Transposition) Für A, B K m n und λ K gelten: ( A T ) T = A, ( A H ) H = A, (λa) T = λa T, (λa) H = λa H, (A + B) T = A T + B T, (A + B) H = A H + B H 22 Matrizen Technische Universität Bergakademie Freiberg

16 Höhere Mathematik 55 Matrizenmultiplikation: Für A = [α i,j ] 1 i m,1 j n K m n und B = [β i,j ] 1 i n,1 j p K n p ist das Produkt C = [γ i,j ] 1 i m,1 j p K m p von A und B durch definiert Vorsicht: γ i,j = n α i,k β k,j (i = 1, 2,, m und j = 1, 2,, p) k=1 Das Produkt AB ist nicht für beliebige Matrizen A und B erklärt, sondern nur dann, wenn die Anzahl der Spalten von A und die Anzahl der Zeilen von B übereinstimmen Wenn beide Produkte AB und BA definiert sind (was beispielsweise für A, B K n n der Fall ist), gilt ia AB BA Aus AB = O (Nullmatrix) folgt keineswegs A = O oder B = O Selbst aus A 2 = AA = O folgt nicht A = O 22 Matrizen Technische Universität Bergakademie Freiberg

17 Höhere Mathematik 56 Falksches Schema für die Matrizenmultiplikation: β 1,1 β 1,j β 1,p β 2,1 β 2,j β 2,p β n,1 β n,j β n,p α 1,1 α 1,2 α 1,n γ 1,1 γ 1,j γ 1,p α i,1 α i,2 α i,n γ i,1 γ i,j γ i,p α m,1 α m,2 α m,n γ m,1 γ m,j γ m,p 22 Matrizen Technische Universität Bergakademie Freiberg

18 Höhere Mathematik 57 Ein Spezialfall der Matrizenmultiplikation ist die Matrix-Vektor-Multiplikation: Für A = [α i,j ] 1 i m,1 j n K m n und x = [x i ] 1 i n K n ist y = [y i ] 1 i m = Ax K m durch y i := n j=1 α i,j x j (i = 1, 2,, m) definiert y = Ax = n j=1 x ja j ist eine Linearkombination der Spalten a j von A: y = a 1 a 2 a n x 1 x 2 x n = x 1 a 1 +x 2 a 2 + +x n a n 22 Matrizen Technische Universität Bergakademie Freiberg

19 Höhere Mathematik 58 Satz 26 (Rechenregeln für die Matrizenmultiplikation) Die folgenden Rechenregeln gelten: (AB)C = A(BC) A K m n, B K n p, C K p q, A(B + C) = AB + AC A K m n, B, C K n p, (A + B)C = AC + BC A, B K m n, C K n p, λ(ab) = (λa)b = A(λB) λ K, A K m n, B K n p, Für die m-dimensionale Einheitsmatrix I m := gilt I m A = A für alle A K m n K m m, 22 Matrizen Technische Universität Bergakademie Freiberg

20 Höhere Mathematik 59 Satz 26 (Fortsetzung) Außerdem: Für die n-dimensionale Einheitsmatrix I n K n n gilt AI n = A A K m n, (AB) T = B T A T und (AB) H = B H A H A K m n, B K n p, AO n p = O m p und O q m A = O q n A K m n Jede Matrix A K m n induziert eine Abbildung (die wieder mit A bezeichnet wird) A : K n K m, x y = Ax Der Definitionsbereich von A ist also K n, der Wertebereich von A ist in K m enthalten Diese Abbildung ist linear, dh es gelten: A(x 1 + x 2 ) = Ax 1 + Ax 2 x 1, x 2 K n, A(λx ) = λax λ K, x K n 22 Matrizen Technische Universität Bergakademie Freiberg

21 Höhere Mathematik 60 heißt Nullraum (oder Kern) von A N (A) := {x K n : Ax = 0 } K n R(A) := {y = Ax K m : x K n } K m heißt Bild von A Satz 27 (Nullraum und Bild einer Matrix) Sei A K m n N (A) ist ein Unterraum von K n R(A) ist ein Unterraum von K m Es gilt dim N (A) + dim R(A) = n dim N (A) heißt Defekt von A dim R(A) heißt Rang von A Bezeichnen a 1, a 2,, a n K m die Spalten von A K m n, dann ist R(A) = span{a 1, a 2,, a m } 22 Matrizen Technische Universität Bergakademie Freiberg

22 Höhere Mathematik 61 Insbesondere ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten von A gleich dem Rang von A Satz 28 (Rang einer Matrix) Für A K m n gilt dim R(A) = dim R ( A T ) Die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten von A ist also gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Zeilen (und beide stimmen mit dem Rang von A überein) Es gilt rang(a) min{m, n} Ist A K m n und ist y R(A), dh es gibt (mindestens) ein x 0 K n mit Ax 0 = y, dann gilt {x K n : Ax = y} = {x 0 } + N (A) 22 Matrizen Technische Universität Bergakademie Freiberg

23 Höhere Mathematik Lineare Gleichungssysteme Ein System der Form a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1, a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b 2, a m,1 x 1 + a m,2 x a m,n x n = b m heißt lineares Gleichungssystem, genauer: ein System von m linearen algebraischen Gleichungen in n Unbekannten Mit der Koeffizientenmatrix a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = K m n, a m,1 a m,2 a m,n 23 Lineare Gleichungssysteme Technische Universität Bergakademie Freiberg

24 Höhere Mathematik 63 dem Vektor der Unbekannten x = [x 1, x 2, x n ] T sowie der rechten Seite b = [b 1, b 2,, b m ] T K m schreibt man kürzer: Ax = b Bezeichnen a 1, a 2,, a n K m die Spalten von A K m n, dann kann man Ax = b auch in der Form x 1 a 1 + x 2 a x n a n = b schreiben Gesucht sind also Koeffizienten x 1, x 2,, x n, so dass die rechte Seite b (mit diesen Koeffizienten) als Linearkombination der Spalten a 1, a 2,, a n dargestellt werden kann Ein lineares Gleichungssystem Ax = b heißt inhomogen, wenn b 0, und homogen, wenn b = 0 Ein homogenes System besitzt immer (mindestens) eine Lösung, nämlich x = 0 Die Lösungsmenge von Ax = 0 ist der Nullraum N (A) von A 23 Lineare Gleichungssysteme Technische Universität Bergakademie Freiberg

25 Höhere Mathematik 64 Satz 29 (Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme) Es seien A K m n mit den Spalten a 1, a 2,, a n und b K m Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist genau dann lösbar, wenn b span{a 1, a 2,, a n } = R(A) gilt: Ax = b ist lösbar b R(A) Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist genau dann eindeutig lösbar, wenn b R(A) gilt und die Spalten a 1, a 2,, a n linear unabhängig sind: Ax = b ist eindeutig lösbar b R(A) und rang(a) = n Ax = b besitzt keine Lösung b R(A) Ax = b besitzt genau eine Lösung b R(A) und rang(a) = n Beachten Sie, dass dieser Fall nur für m n eintreten kann Ax = b besitzt unendlich viele Lösungen b R(A) und rang(a) < n Ist x 0 eine (beliebige) spezielle Lösung von Ax = b, so sind alle Lösungen durch x 0 + N (A) = x 0 + {alle Lösungen von Ax = 0 } gegeben 23 Lineare Gleichungssysteme Technische Universität Bergakademie Freiberg

26 Höhere Mathematik 65 Bei speziellen Systemen kann man Lösungen sofort ablesen: Beispielsweise besitzt x 1 + x 3 x 4 = 5 x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 offenbar die Lösung x = [5, 2, 0, 0] T Allgemeiner: Hat das Gleichungssystem die Struktur ] [I m R] [ xb x N = I m x B + Rx N = b mit der (m m)-einheitsmatrix I m und einer Restmatrix R K m (n m), so ist für jede Wahl von x N der Vektor [ ] [ ] xb b RxN x = = x N eine Lösung des Systems (und jede Lösung besitzt diese Form) Die einfachste Wahl, nämlich x N = 0, liefert die Lösung x B = b, x N = 0 x N 23 Lineare Gleichungssysteme Technische Universität Bergakademie Freiberg

27 Höhere Mathematik 66 Unser Ziel ist daher, ein gegebenes Gleichungssystem Ax = b in ein äquivalentes (dh eines mit gleicher Lösungsmenge) der Form I m x B + Rx N = b umzuformen Dazu benötigen wir elementare Umformungen EU 1 Multiplikation einer Gleichung (Zeile) mit λ K, λ 0 EU 2 Addition des Vielfachen einer Gleichung (Zeile) zu einer anderen Gleichung (Zeile) EU 3 Vertauschung von zwei Gleichungen (Zeilen) EU 4 Umnummerierung von zwei Unbekannten (Vertauschung von zwei Spalten) Hier muss man sich allerdings merken, welche Unbekannten man umnummeriert hat Satz 210 Die elementaren Umformungen EU 1, EU 2, EU 3 und EU 4 verändern die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems nicht 23 Lineare Gleichungssysteme Technische Universität Bergakademie Freiberg

28 Höhere Mathematik 67 Der Beweis dieser Aussage basiert auf der Tatsache, dass man die ersten drei elementaren Umformungen durch Matrizen T i K m m beschreiben kann: Man geht von A bzw Ax = b über zu T i A bzw zu T i Ax = T i b (i = 1, 2, 3) Hinter EZU 4 versteckt sich eine Transformation der Form AT 4 (T 4 x ) = b mit T 4 K n n und T 2 4 = I n ZB wird durch T 2 = I m + λe j e T k das λ-fache der j-ten Zeile zur k-ten addiert Mit dem Gaußsche Algorithmus beschreiben wir jetzt ein Verfahren zur Lösung von Ax = b mit A K m n und b K m (wir dürfen davon ausgehen, dass A keine Nullzeile enthält) Dieser Algorithmus läuft ia in m Schritten ab Ziel des k-ten Schritts ist es, die Matrix A (und die rechte Seite b) mit elementaren Umformungen so zu transformieren, dass die k-te Spalte von A zum k-ten Einheitsvektor wird 23 Lineare Gleichungssysteme Technische Universität Bergakademie Freiberg

29 Höhere Mathematik 68 Durch die ersten k 1 Schritte wird Ax = b auf die Form Nr x 1 x 2 x k 1 x k x k+1 x n rechte Seite ã 1,k ã 1,k+1 ã 1,n b ã 2,k ã 2,k+1 ã 2,n b2 k ã k 1,k ã k 1,k+1 ã k 1,n bk 1 k ã k,k ã k,k+1 ã k,n bk k ã k+1,k ã k+1,k+1 ã k+1,n bk+1 m ã m,k ã m,k+1 ã m,n bm transformiert Wir beschreiben Schritt k der Gauß-Elimination: 23 Lineare Gleichungssysteme Technische Universität Bergakademie Freiberg

30 Höhere Mathematik 69 Teilschritt k 1 : Erzeuge in der (k, k) Position (Pivotelement) den Wert 1: Ist ã k,k 0? nein Gibt es ein i, k + 1 i m, mit ã i,k 0? nein Es gibt ein j, k + 1 j m, mit ã k,j 0! ja ja Vertausche Zeilen i und k Vertausche Spalten j und k (Merken!) Teile Zeile k durch ã k,k 23 Lineare Gleichungssysteme Technische Universität Bergakademie Freiberg

31 Höhere Mathematik 70 Teilschritt k 2 : Eliminiere die k te Spalte: Für jedes i {1, 2,, m} \ {k} addiere das ( ã i,k ) fache der k ten Zeile zur i ten Zeile Das lineare Gleichungssystem hat nun die Form Nr x 1 x 2 x k 1 x k x k+1 x n rechte Seite ã 1,k+1 ã 1,n b ã 2,k+1 ã 2,n b2 k ã k 1,k+1 ã k 1,n bk 1 k ã k,k+1 ã k,n bk k ã k+1,k+1 ã k+1,n bk+1 m ã m,k+1 ã m,n bm (Die Werte von ã i,j bzw b i haben sich ia natürlich verändert) 23 Lineare Gleichungssysteme Technische Universität Bergakademie Freiberg

32 Höhere Mathematik 71 Jetzt überprüft man, ob das Schema komplette Nullzeilen der Form Nr x 1 x n rechte Seite l enthält Solche Zeilen werden ersatzlos gestrichen das Schema Zeilen der Form Nr x 1 x n rechte Seite l 0 0 bl mit b l 0 enthält Ist dies der Fall, so brechen wir den Algorithmus ab: Das lineare Gleichungssystem besitzt keine Lösung Hat die Matrix A jetzt die Form A = [I k R], so haben wir unser Ziel erreicht und brechen den Algorithmus ab Andernfalls führen wir den (k + 1)-ten Schritt des Gauß-Algorithmus durch 23 Lineare Gleichungssysteme Technische Universität Bergakademie Freiberg

33 Höhere Mathematik 72 Ist das System Ax = b lösbar, so wird es durch dieses Verfahren nach spätestens m Schritten auf ein äquivalentes System der Form [I r R] x = b transformiert (wobei I r die Einheitsmatrix der Dimension r m und R eine Restmatrix der Dimension (r (n r)) bezeichnen) Die Lösungen des Systems sind dann { [ ] } xb L = x = : x N beliebig und x B = b Rx N x N 23 Lineare Gleichungssysteme Technische Universität Bergakademie Freiberg

34 Höhere Mathematik Determinanten Wir definieren die Determinante einer quadratischen Matrix A K n n induktiv: [ ] n = 1 : A = a 1,1, det(a) := a 1,1 [ ] a1,1 a 1,2 n = 2 : A =, det(a) := a 1,1 a 2,2 a 1,2 a 2,1 a 2,1 a 2,2 a 1,1 a 1,2 a 1,3 n = 3 : A = a 2,1 a 2,2 a 2,3, a 3,1 a 3,2 a 3,3 det(a) := +a 1,1 a 2,2 a 3,3 + a 1,2 a 2,3 a 3,1 + a 1,3 a 2,1 a 3,2 a 1,3 a 2,2 a 3,1 a 1,1 a 2,3 a 3,2 a 1,2 a 2,1 a 3,3 24 Determinanten Technische Universität Bergakademie Freiberg

35 Höhere Mathematik 74 Regel von Sarrus (für n = 3): a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,1 a 2,2 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,1 a 3,2,+ + + n > 3 (gilt für n 2): Sei A K n n Für i, j {1, 2,, n} bezeichne A i,j K (n 1) (n 1) diejenige Matrix, die man erhält, wenn man die Zeile i und die Spalte j in A streicht Sei j nun ein beliebiger Spaltenindex Wir definieren n det(a) := a i,j ( 1) i+j det(a i,j ) i=1 (Laplace Entwicklung nach der j-ten Spalte) 24 Determinanten Technische Universität Bergakademie Freiberg

36 Höhere Mathematik 75 Natürlich müsste man zeigen, dass diese Definition unabhängig ist von der gewählten Spalte j Satz 211 (Rechenregeln für Determinanten) Seien A, B K n n, λ K Dann gelten: det(a T ) = det(a) und det(a H ) = det(a) Für alle 1 j n: a 1,1 λa 1,j a 1,n a 1,1 a 1,j a 1,n a 2,1 λa 2,j a 2,n a 2,1 a 2,j a 2,n det = λ det a n,1 λa n,j a n,n a n,1 a n,j a n,n (multipliziert man eine Spalte von A mit λ, so multipliziert sich auch die Determinante mit λ) 24 Determinanten Technische Universität Bergakademie Freiberg

37 Höhere Mathematik 76 Satz 211 (Forsetzung) Außerdem: det(λa) = λ n det(a) Für alle 1 j, k n mit j k: det a 1,1 a 1,j + λa 1,k a 1,n a 2,1 a 2,j + λa 2,k a 2,n = det a 1,1 a 1,n a 2,1 a 2,n a n,1 a n,j + λa n,k a n,n a n,1 a n,n (die Determinante einer Matrix A ändert sich nicht, wenn man zu einer Spalte j das Vielfache einer anderen Spalte k addiert) det(ab) = det(a) det(b) 24 Determinanten Technische Universität Bergakademie Freiberg

38 Höhere Mathematik Invertierbare Matrizen Eine quadratische Matrix A K n n heißt invertierbar (oder regulär oder nichtsingulär), wenn es eine Matrix B K n n gibt mit AB = I n Die Matrix B ist dann eindeutig durch A bestimmt, wird die Inverse von A genannt und mit A 1 bezeichnet Satz 212 (Charakterisierung invertierbarer Matrizen) Es sei A K n n Dann sind die folgenden Aussagen einander äquivalent: A ist invertierbar det(a) 0 rang(a) = n, dh die Spalten (Zeilen) von A bilden eine Basis des K n Das homogene System Ax = 0 besitzt nur die triviale Lösung x = 0 Für jede rechte Seite b K n besitzt das System Ax = b genau eine Lösung (nämlich x = A 1 b) 25 Invertierbare Matrizen Technische Universität Bergakademie Freiberg

39 Höhere Mathematik 78 Die Inverse einer invertierbaren (2 2) Matrix [ a1,1 a 1,2 A = a 2,1 a 2,2 ] kann man explizit angeben: [ A 1 1 a2,2 a 1,2 = det(a) a 2,1 a 1,1 ] = 1 a 1,1 a 2,2 a 1,2 a 2,1 [ a2,2 a 1,2 a 2,1 a 1,1 ] Satz 213 (Rechenregeln für inverse Matrizen) Es seien A, B K n n invertierbar Dann gelten: A T [A H ] ist invertierbar: (A T ) 1 = (A 1 ) T [(A H ) 1 = (A 1 ) H ] A 1 ist invertierbar: (A 1 ) 1 = A AB ist invertierbar: (AB) 1 = B 1 A 1 25 Invertierbare Matrizen Technische Universität Bergakademie Freiberg

40 Höhere Mathematik 79 Zur Berechnung der Inversen: Die Matrix A K n n sei invertierbar Weil die j-te Spalte von A 1 per Definition das lineare Gleichungssystem Ax = e j mit dem j-ten Einheitsvektor e j erfüllt (j = 1, 2,, n), kann man die Inverse von A dadurch berechnen, dass man die n linearen Gleichungsysteme Ax = e j (j = 1, 2,, n) löst Diese n Gleichungssysteme unterscheiden sich nur durch ihre rechten Seiten, besitzen also alle dieselbe Koeffizientenmatrix! Wendet man den Gaußschen Algorithmus an, so ist es sinnvoll, alle n Systeme simultan zu behandeln: Gauß Algorithmus A I n I n A 1 Man nennt diese Methode, die Inverse zu berechnen, auch Gauß Jordan Verfahren 25 Invertierbare Matrizen Technische Universität Bergakademie Freiberg

41 Höhere Mathematik 80 Man kann diese Methode auch zur Lösung allgemeinerer linearer Matrixgleichungen verwenden: Gegeben seien zwei Matrizen, A K m n und B K m k Gesucht wird eine Matrix X K n k, die der Gleichung AX = B genügt Bezeichnen x j die j-te Spalte von X und b j die j-te Spalte von B, dann folgt Ax j = b j (j = 1, 2,, k) (k lineare Gleichungssysteme mit gleicher Koeffizientenmatrix) Man kann den Gaußschen Algorithmus also auch auf diese Situation anwenden Ist A K m m invertierbar, dann besitzt die Gleichung AX = B genau eine Lösung, nämlich A 1 B: Gauß Algorithmus A B I n A 1 B 25 Invertierbare Matrizen Technische Universität Bergakademie Freiberg

42 Höhere Mathematik Innenprodukt und Norm Definition 26 Seien x = [x j ] n j=1 und [y j] n j 1 Vektoren aus K n Dann heißt y H x = n x i y i K j=1 das (Euklidsche) Innenprodukt (auch Skalarprodukt) von x und y Bemerkungen: Für K = C ist y H x x H y Für K = R gilt aber y H = y T und man schreibt y T x (oder x T y) statt y H x für das Innenprodukt Wir behandeln hier nur ein spezielles (allerdings das wichtigste) Innenprodukt in K n Man kann sowohl andere Innenprodukte in K n erklären als auch Innenprodukte über beliebigen K-Vektorräumen betrachten, wobei in jedem Fall die drei Eigenschaften aus dem folgenden Satz erfüllt sein müssen 26 Innenprodukt und Norm Technische Universität Bergakademie Freiberg

43 Höhere Mathematik 82 Satz 214 (Eigenschaften des Innenprodukts) Das Euklidsche Innenprodukt in K n ist positiv definit: x H x > 0 x K n, x 0, [symmetrisch] Hermitesch: y H x = x H y [y T x = x T y falls K = R] x, y K n, linear: y H (λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) = λ 1 y H x 1 + λ 2 y H x 2 λ 1, λ 2 K, x 1, x 2, y K n Für x = [x j ] n j=1 Kn heißt x := ( x H x ) ( n ) 1/2 1/2 = x i 2 die (Euklidsche) Norm von x Anschaulich: x ist der Abstand des Punktes x K n vom Ursprung 0 i=1 26 Innenprodukt und Norm Technische Universität Bergakademie Freiberg

44 Höhere Mathematik 83 Satz 215 (Eigenschaften der Norm) Die Euklidsche Norm im K n ist positiv definit: x 0 x K n und x = 0 impliziert x = 0, homogen: λx = λ x λ K, x K n, und genügt der Dreiecksungleichung: x + y x + y x, y K n Satz 216 (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) Für alle Vektoren x, y K n gilt y H x x y ( y T x x y, falls K = R) Auch das Innenprodukt kann man geometrisch deuten: Schließen die (reellen) Vektoren x und y R n (x, y 0 ) den Winkel φ [0, 2π) ein, so gilt cos(φ) = y T x x y ( ( 1, 1), vgl Satz 216) 26 Innenprodukt und Norm Technische Universität Bergakademie Freiberg

45 Höhere Mathematik 84 Insbesondere sind die Vektoren x und y genau dann orthogonal (dh sie stehen senkrecht aufeinander: x y), wenn y T x = 0 gilt (Man dehnt diesen Begriff auf komplexe Vektoren x, y aus und nennt diese orthogonal, wenn y H x = 0) Eine Basis B = {b 1, b 2,, b n } des K n heißt eine Orthonormalbasis (kurz: ON-Basis), wenn b H j b i [b T j b i im reellen Fall] = { 1, für i = j, 0, für i j erfüllt ist Die Standardbasis des K n ist eine ON-Basis Satz 217 (Fourier-Koeffizienten) Ist B = {b 1, b 2,, b n } eine ON-Basis des K n, dann besitzt jeder Vektor x K n die eindeutige Darstellung (vgl Satz 22) x = n ( j=1 b H j x ) b j als Linearkombination aus Vektoren aus B 26 Innenprodukt und Norm Technische Universität Bergakademie Freiberg

46 Höhere Mathematik 85 Mit Hilfe einer Norm lässt sich ein Abstandsbegriff (Metrik) in K n einführen Der Abstand zweier Vektoren x, y K n wird durch erklärt Es gelten d(x, x ) = 0 x K n, d(x, y) > 0 x, y K n, x y, d(x, y) = d(y, x ) x, y K n, d(x, y) = x y d(x, y) d(x, z ) + d(z, y) x, y, z K n (Dreiecksungleichung), d(x + z, y + z ) = d(x, y) x, y, z K n (Translationsinvarianz) 26 Innenprodukt und Norm Technische Universität Bergakademie Freiberg

47 Höhere Mathematik Vektor- und Spatprodukt In physikalischen Anwendungen treten noch weitere Vektoroperationen auf: das Vektorprodukt und das Spatprodukt (Drehimpuls eines rotierenden Körpers, Lorentz-Kraft etc) Alle Vektoren, die in diesem Abschnitt auftreten, sind aus dem R 3 Drei linear unabhängige Vektoren a, b, c R 3 bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem, wenn von c aus gesehen a durch Drehung im Gegenuhrzeigersinn um einen Winkel ϕ [0, π) in die Richtung von b transformiert wird Andernfalls spricht man von einem Linkssystem Definition 27 Seien a, b R 3 linear unabhängig Der Vektor c = a b R 3 (lies: a kreuz b ) heißt Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt oder äußeres Produkt) von a und b, wenn c a und c b (und damit c span{a, b}), c = a b sin (a, b), a, b, c bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem 27 Vektor- und Spatprodukt Technische Universität Bergakademie Freiberg

48 Höhere Mathematik 87 b a b axb bxa a Bemerkung: Die erste Forderung legt die Gerade fest, auf der a b liegt, nämlich die eindeutig bestimmte Gerade (durch 0 ), die senkrecht auf der Ebene span{a, b} steht Die zweite Forderung legt die Länge des Vektors a b fest Nur zwei Vektoren (nämlich a b und b a) erfüllen diese beiden Forderungen, von denen einer durch die dritte Forderung ausgewählt wird 27 Vektor- und Spatprodukt Technische Universität Bergakademie Freiberg

49 Höhere Mathematik 88 Sind a und b linear abhängig (was insbesondere den Fall a = 0 oder b = 0 einschließt), so definieren wir a b := 0 Satz 218 (Eigenschaften des Vektorprodukts) Seien a, b, c R 3 und λ R Dann gelten a b ist die Fläche des Parallelogramms, das von a und b erzeugt wird b a = (a b) (a + b) c = a c + b c und a (b + c) = a b + a c λ(a b) = (λa) b = a (λb) Für die Einheitvektoren e 1, e 2, e 3 R 3 gelten: e 1 e 2 = e 3 und e 2 e 3 = e 1 und e 3 e 1 = e 2 27 Vektor- und Spatprodukt Technische Universität Bergakademie Freiberg

50 Höhere Mathematik 89 Damit kann man (unter Verwendung von Satz 218) das Vektorprodukt zweier Vektoren a = [α 1, α 2, α 3 ] T und b = [β 1, β 2, β 3 ] T explizit bestimmen: a b = (α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3 ) (β 1 e 1 + β 2 e 2 + β 3 e 3 ) = (α 2 β 3 α 3 β 2 )e 1 + (α 3 β 1 α 1 β 3 )e 2 + (α 1 β 2 α 2 β 1 )e 3 = [α 2 β 3 α 3 β 2, α 3 β 1 α 1 β 3, α 1 β 2 α 2 β 1 ] T Man merkt sich das am Besten mit Hilfe der formalen 3 3 Determinanten e 1 e 2 e 3 a b = det α 1 α 2 α 3, β 1 β 2 β 3 die man nach der Regel von Sarrus (vgl Abschnitt 24) berechnet 27 Vektor- und Spatprodukt Technische Universität Bergakademie Freiberg

51 Höhere Mathematik 90 Unter dem Spatprodukt (auch gemischtes Produkt) dreier Vektoren a, b, c R 3 versteht man die (reelle) Zahl [a b c] := a T (b c) Satz 219 (Eigenschaften des Spatprodukts) Es seien a, b, c R 3 Dann gelten: Sind a, b, a linear abhängig, so ist [a b c] = 0 Sind a, b, a linear unabhängig und bilden sie (in dieser Reihenfolge) ein Rechtssystem, so ist [a b c] > 0 Sind a, b, a linear unabhängig und bilden sie (in dieser Reihenfolge) ein Linkssystem, so ist [a b c] < 0 [b a c] = [c b a] = [a c b] = [a b c] [a b c] = [c a b] = [b c a] 27 Vektor- und Spatprodukt Technische Universität Bergakademie Freiberg

52 Höhere Mathematik 91 Das Spatprodukt ist eigentlich nichts Neues: Das Spatprodukt von a = [α 1, α 2, α 2 ] T, b = [β 1, β 2, β 3 ] T und c = [γ 1, γ 2, γ 3 ] T ist nämlich durch α 1 β 1 γ 1 [a b c] = det α 2 β 2 γ 2 α 3 β 3 γ 3 gegeben Geometrisch ist [a b c] das Volumen des Parallelepipeds (was auch als Spat bezeichnet wird), das von a, b und c erzeugt wird c b a 27 Vektor- und Spatprodukt Technische Universität Bergakademie Freiberg

53 Höhere Mathematik Anwendungen in der Geometrie Im Folgenden befassen wir uns fast nur mit dem R 3 Alle Resultate haben Entsprechungen im R 2, deren Formulierung eine langweilige Wiederholung wäre Die Gerade, die durch den Punkt p = [p 1, p 2, p 3 ] T und parallel zur Richtung a = [a 1, a 2, a 3 ] T 0 verläuft, hat die Parameterdarstellung x p 1 a 1 x = p + λa bzw y = p 2 + λ a 2, λ R (PRF) z (Punkt-Richtungs-Form einer Geraden) Ist q = [q 1, q 2, q 3 ] T ein weiterer Punkt, so ist der Abstand d von q zur Geraden (PRF) gegeben durch d = p 3 a (q p) a a 3 28 Anwendungen in der Geometrie Technische Universität Bergakademie Freiberg

54 Höhere Mathematik 93 Sind zwei (verschiedene) Punkte gegeben, p = [p 1, p 2, p 3 ] T und q = [q 1, q 2, q 3 ] T, so gibt es genau eine Gerade, die beide enthält, nämlich x p 1 q 1 p 1 x = p + λ(q p) bzw y = p 2 + λ q 2 p 2, λ R z p 3 q 3 p 3 (Zwei-Punkte-Form) Für zwei Geraden im R 3 liegt genau eine der drei folgenden Situationen vor: sie sind parallel (was den Spezialfall, dass sie identisch sind, beinhalten soll), sie schneiden sich in genau einem Punkt, sie sind windschief, dh sie sind weder parallel noch schneiden sie sich 28 Anwendungen in der Geometrie Technische Universität Bergakademie Freiberg

55 Höhere Mathematik 94 Zwei Geraden in Punkt-Richtungs-Form, x = p + λa und x = p + λã, sind genau dann parallel, wenn ihre Richtungsvektoren, a und ã, linear abhängig sind (dh wenn es ein µ R gibt mit ã = µa) In diesem Fall ist ihr Abstand d gegeben durch a ( p p) d = a Sind die Geraden, x = p + λa und x = p + λã, windschief, so ist ihr Abstand d = [a ã ( p p)] a ã Den Schnittpunkt zweier Geraden, x = p + λa und x = p + λã, bestimmt man durch Lösen des linearen Gleichungssystems p + λa = p + λã (drei Gleichungen für zwei Unbekannte: λ und λ) 28 Anwendungen in der Geometrie Technische Universität Bergakademie Freiberg

56 Höhere Mathematik 95 Hat dieses System keine Lösung, so sind die Geraden parallel (fallen aber nicht zusammen) oder windschief Gibt es mehr als eine Lösung (und damit unendlich viele), so sind die Geraden gleich Gibt es genau eine Lösung [λ, λ ] T, so schneiden sich die Geraden in genau einem Punkt, dessen Koordinaten man entweder aus p + λ a oder aus p + λ ã bestimmt In diesem Fall erfüllt der Schnittwinkel ϕ die Beziehung cos(ϕ) = a T ã a ã 28 Anwendungen in der Geometrie Technische Universität Bergakademie Freiberg

57 Höhere Mathematik 96 Eine Ebene im R 3, die durch den Punkt p = [p 1, p 2, p 3 ] T und parallel zu den beiden Richtungsvektoren a = [a 1, a 2, a 2 ] T und b = [b 1, b 2, b 3 ] T verläuft (a und b linear unabhängig), wird durch x = p+λa+µb bzw x y z = p 1 p 2 p 3 +λ beschrieben (Punkt-Richtungs-Form einer Ebene) a 1 a 2 a 3 +µ b 1 b 2 b 3, λ, µ R, Alternativ kann man eine Ebene durch drei Punkte p = [p 1, p 2, p 3 ] T, q = [q 1, q 2, q 3 ] T und r = [r 1, r 2, r 3 ] T (die nicht auf einer Geraden liegen) beschreiben: x = p + λ(q p) + µ(r p) bzw 28 Anwendungen in der Geometrie Technische Universität Bergakademie Freiberg

58 Höhere Mathematik 97 x y z = p 1 p 2 p 3 + λ q 1 p 1 q 2 p 2 q 3 p 3 + µ r 1 p 1 r 2 p 2 r 3 p 3, λ, µ R (Drei-Punkte-Form) Jeder Vektor, der senkrecht auf der Ebene x = p + λa + µb steht (dh der orthogonal zu a und b ist), heißt Normalenvektor der Ebene (bis auf Normierung ist das a b) Eine Ebene wird auch durch Vorgabe eines Punktes p = [p 1, p 2, p 3 ] T der Ebene und eines Normalenvektors n = [n 1, n 2, n 3 ] T der Ebene definiert: n T (x p) = 0 bzw n 1 (x p 1 ) + n 2 (y p 2 ) + n 3 (z p 3 ) = 0 Ein Punkt q = [q 1, q 2, q 3 ] T hat zu der Ebene n T (x p) = 0 den Abstand d = n T (q p) n 28 Anwendungen in der Geometrie Technische Universität Bergakademie Freiberg

59 Höhere Mathematik 98 Eine Gerade und eine Ebene im R 3 können genau in einer der beiden folgenden Beziehungen zueinander stehen: sie sind parallel (das beinhaltet den Fall, dass die Gerade in der Ebene liegt), sie schneiden sich in genau einem Punkt Die Gerade x = q + λa und die Ebene n T (x p) = 0 sind genau dann parallel, wenn n T a = 0 gilt In diesem Fall ist ihr Abstand d = n T (p q) n Sind die Ebene und die Gerade nicht parallel, dh ist n T a 0, dann ist ihr Schnittpunkt q + n T (p q) n T a a 28 Anwendungen in der Geometrie Technische Universität Bergakademie Freiberg

60 Höhere Mathematik 99 Der Schnittwinkel ϕ erfüllt Zwei Ebenen im R 3 sind sin(ϕ) = n T a n a entweder parallel (Spezialfall: identisch) oder schneiden sich entlang einer Geraden Zwei Ebenen, n T 1 (x p 1 ) = 0 und n T 2 (x p 2 ) = 0, sind genau dann parallel, wenn n 1 und n 2 linear abhängig sind In diesem Fall ist ihr Abstand d = n T 1 (p 2 p 1 ) n 1 = n T 2 (p 1 p 2 ) n 2 28 Anwendungen in der Geometrie Technische Universität Bergakademie Freiberg

61 Höhere Mathematik 100 Schneiden sich die Ebenen entlang einer Geraden x = p + λa (was äquivalent ist zu n 1 n 2 0 ), dann ist a = n 1 n 2 und p ist (jede) Lösung des linearen Gleichungssystems n T 1 (p p 1 ) = 0, n T 2 (p p 2 ) = 0 (zwei Gleichungen für drei Unbekannte, nämlich die drei Komponenten von p) Der Schnittwinkel ϕ erfüllt cos(ϕ) = n T 1 n 2 n 1 n 2 28 Anwendungen in der Geometrie Technische Universität Bergakademie Freiberg