Bachelor Thesis. Thorsten Steinert

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1 Streuung von Antiprotonen an exotischen Atomkernen Scattering of Antiprotons on exotic Nuclei Bachelor Thesis vorgelegt von Thorsten Steinert September 2011 Betreuer: Prof. Dr. Horst Lenske Institut für Theoretische Physik I Fachbereich 07 Mathematik und Informatik, Physik, Geographie Justus-Liebig-Universität Giessen

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Streutheorie Streuamplitude und Wirkungsquerschnitt Partialwellenentwicklung Asymptotische Lösungen Freie Lösung Das Coulomb Problem Streuphasen Komplexe Potentiale Antinukleon-Kern-Potentiale Aufbau des Atomkerns Kastenpotential tρ-potentiale Bestimmung der Streumatrix Diskussion der Reaktionsquerschnitte Gültigkeit der Potentialmodelle Partialwellenanalyse Unterschiede zwischen Antiproton und Antineutron Streuung Abhängigkeit vom Root-Mean-Square-Radius Zusammenfassung und Ausblick 41 6 Appendix Appendix A: Kerndichteparameter Appendix B: Energieabhängige Gröÿen für die Folding bzw. tρ-potentiale Appendix C: Programm zur Bestimmung der Streumatrix

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5 1 Einleitung Was Antiprotonenphysik angeht, so benden wir uns momentan in einer sehr interessanten Zeit. Jeder Physikstudent dürfte im Laufe seiner Ausbildung einmal die Gravitationskonstante bestimmt haben und mindestens einmal das Spektrum eines Atoms untersucht haben. Der Spruch: If you poke, you will smoke! ist sicherlich jedem giessener Physikstudenten ein Begri. In der Groÿforschungseinrichtung CERN in der Schweiz arbeiten Wissenschaftler momentan daran, aus Antiprotonen und Positronen Antiwassersto zu erzeugen und für längere Zeit zu speichern, um diese einfachen Experimente mit Antiwassersto zu wiederholen. Man vermutet, dass das Spektrum von Wassersto und Antiwassersto gleich ist und sich Materie und Antimaterie gravitativ anziehen. Am CERN soll dies aber erstmals überprüft werden. Gleichzeitig werden damit auch fundamentale Symmetrien getestet, die allen höheren physikalischen Theorien zugrunde liegen. Man kann also gespannt die Ergebnisse dieser Experimente erwarten. Auch der Bau des neuen Beschleunigerzentrums FAIR bei Darmstadt dürfte die Bedeutung der Antiprotonenphysik hervorheben. Durch seine Fertigstellung werden weitere Experimente zugänglich, so z.b. auch Experimente mit sehr kalten Antiprotonenstrahlen. Mit dieser Arbeit wollen wir einen kleinen Beitrag zu diesem hochinteressanten Themenkomplex liefern. Der Hauptaugenmerk liegt auf der Streuung von Antiprotonen an den Kernen der Nickelisotope und der Untersuchung der Reaktionswirkungsquerschnitte. Aus der Analyse der Querschnitte können Informationen über die Gröÿe von Atomkernen gewonnen werden. Sie sind ein nützliches Werkzeug zur Untersuchung der Struktur der Kerne. Zuerst werden wir die Grundlagen der quantenmechanischen, nichtrelativistischen Streutheorie herleiten. Mit Hilfe der Streuamplitude werden wir in der Lage sein, einen Zusammenhang zwischen Theorie und Experiment herzustellen. Im nächste Kapitel widmen wir uns der Wechselwirkung zwischen Antinukleonen und Atomkernen. Wir werden mehrere Modelle kennen lernen, mit denen man die Wechselwirkung beschreiben kann. Schlieÿlich werden wir die Erkenntnisse aus beiden Kapiteln dazu nutzen, das Verhalten der Reaktionsquerschnitte der Antinukleon-Kern-Streuung für Energien bis runter auf T Lab 1 MeV zu untersuchen. Antiprotonenstrahlen mit solch geringen Energien werden am FAIR Beschleunigerzentrum erzeugt werden können. Aufgrund der geringen Energie können relativistische Eekte vernachlässigt werden. 1

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7 2 Streutheorie In diesem Kapitel sollen die theoretischen Grundlagen der Streutheorie und damit die Grundlagen für die weitere Arbeit hergeleitet werden. Zu diesem Zweck werden wir zuerst einen Zusammenhang zwischen der Streutheorie und dem Streuexperiment herstellen, indem wir die theoretische Streuamplitude mit dem im Experiment messbaren dierentiellen Wirkungsquerschnitt in Verbindung bringen. Weiterhin wird die Methode der Partialwellen vorgestellt und Formeln für die totalen elastischen und inelastischen Wirkungsquerschnitte hergeleitet. 2.1 Streuamplitude und Wirkungsquerschnitt In einem Streuexperiment werden Teilchen auf ein Target geschossen, um sie miteinander wechselwirken zu lassen. Die Art der Wechselwirkung zwischen Teilchen und Target kann aus einfacher Ablenkung des Teilchens, Anregung des Targets, Annihilationsprozessen oder auch überhaupt keiner Wechselwirkung bestehen und ist von der Art der beteiligten Teilchen abhängig. Man kann z.b. in Elektron-Elektron-Streuung keine Anregungen erwarten und Annihilationsprozesse können nur auftreten wenn Antiteilchen an der Streuung beteiligt sind. Zunächst sollen komplexere Prozesse vernachlässigt werden und die Wechselwirkung soll sich nur auf die Ablenkung der Teilchen, also elastische Streuung, beschränken. Die abgelenkten Teilchen können mittels eines Detektors gemessen werden, woraus sofort der dierentielle Wirkungsquerschnitt zugänglich ist. Die Aufgabe der Streutheorie besteht nun darin, einen theoretischen Zugang zu den Wirkungsquerschnitten zu liefern. Um dies zu bewerkstelligen startet man wie bei vielen quantenmechanischen Problemen mit der Schrödingergleichung HΨ ( r 1, r 2, t) = i t Ψ ( r 1, r 2, t) (2.1) und dem Zweiteilchen-Hamiltonoperator für zwei Teilchen mit den Massen m 1 und m 2. r 1 und r 2 stehen für die Ortsvektoren der beiden Teilchen. Der Hamiltonoperator besteht aus Termen für die kinetische Energie und einem Wechselwirkungspotential. H = 2 2m 1 r1 2 2m 2 r2 + V ( r 1, r 2 ) (2.2) Das Potential hängt dabei nur vom Abstand der beiden Teilchen ab, ist also radialsymmetrisch V ( r 1, r 2 ) = V ( r 1 r 2 ) 3

8 4 Kapitel 2. Streutheorie Die Zeitabhängigkeit beschreiben wir dabei nur durch einen Phasenfaktor. Dadurch lässt sich die Zeitabhängigkeit abseparieren und das Problem kann stationär behandelt werden. Die Wellenfunktion hat die Form Ψ ( r 1, r 2, t) = Φ ( r 1, r 2 ) e i Etott. Die Schrödingergleichung vereinfacht sich damit zur stationären Schrödingergleichung mit einer positiven Energie E tot. HΦ ( r 1, r 2 ) = E tot Φ ( r 1, r 2 ) (2.3) Aufgrund der Form des Potential werden wir nun Relativ- und Schwerpunktskoordinaten einführen. r = r 1 r 2 R = m 1 r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 Mit der reduzierten Masse und der Gesamtmasse des Systems schreibt sich der Hamiltonoperator als m = m 1m 2 m 1 + m 2 M = m 1 + m 2 H = 2 2M R 2 2m r + V ( r ). (2.4) Da das Problem separabel ist, hängt das Potential nur noch von der Relativkoordinate ab und man kann die Wellenfunktion als Produkt der Relativ- und der Schwerpunktswellenfunktion schreiben. Φ( R, r) = χ( R)ϕ ( r) Man erhält für die beiden Wellenfunktionen die Schrödingergleichungen und 2 ( ) ( ) 2 2M χ R = E CMS χ R (2.5) ϕ ( r) + V ( r ) ϕ ( r) = Eϕ ( r) (2.6) 2m mit E + E CMS = E tot, E > 0 und E CMS > 0. Das Potential ist in dieser Darstellung im Ursprung zentriert. Die Schwerpunktsbewegung entspricht der Bewegung eines freien Teilchens und kann vernachlässigt werden, da das eigentliche Streuproblem in der Gleichung für die Relativwellenfunktion liegt. Die Streuung zweier Teilchen aneinander wird jetzt durch die Streuung eines Teilchens mit der reduzierten Masse m an einem Potential V (r) beschrieben. Für die weitere Betrachtung soll das Potential als kurzreichweitig angenommen werden und stärker als 1/r abfallen. Das einfallenden Teilchen wird als Wellenpaket, also

9 2.1. Streuamplitude und Wirkungsquerschnitt 5 als Überlagerung von ebenen Wellen, interpretiert. Die weiteren Rechnungen werden daher anhand von ebenen Wellen durchgeführt werden, die der asymptotisch einlaufenden Komponente der exakten Wellenfunktion des wechselwirkenden Systems entspricht. Die Ausbreitungsrichung der ebenen Welle wird durch den Wellenvektor k beschrieben. Sie soll parallel zur z-achse einlaufen. Treen diese einlaufenden ebenen Wellen auf das Streuzentrum, können sie eine auslaufende Kugelwelle erzeugen. Die Wellenfunktion hat vor der Streuung die Form e ikz und nimmt nach der Streuung die asymptotische Form lim ϕ ( r) = r eikz + f (ϑ, ϕ) eikr (2.7) r an, wobei die ebene Welle für den nicht gestreuten Teil der Wellenfunktion steht. Die Gröÿe f (ϑ, ϕ) bezeichnet man als Streuamplitude. Sie ist vom streuenden Potential abhängig. Für ein rotationssymmetrisches Potential ist die Streuamplitude zudem vom Azimutwinkel ϕ unabhängig und hängt nur vom Polarwinkel ϑ ab. Diese asymptotische Wellenfunktion erfüllt die Schrödingergleichung jedoch nur, wenn das Potential, wie vorausgesetzt, schneller als 1/r abfällt. Das Coulombpotential muss deshalb separat behandelt werden. Um einen Bezug zum Experiment herzustellen, betrachten wir die Wahrscheinlichkeitsstromdichte der gestreuten Kugelwelle. Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte j einer Wellenfunktion ist durch die folgenden Formel gegeben. j ( r) = 2mi (ϕ ϕ ϕ ϕ ) Für die Stromdichte der gestreuten Kugelwelle j S erhält man j S ( r) = k ( ) f (ϑ, ϕ) 2 1 e m r 2 r + O. r 3 Der Wirkungsquerschnitt für die Streuung eines Teilchens durch einen bestimmten Winkelbereich kann durch den Wahrscheinlichkeitsuss durch den Winkelbereich interpretiert werden. Er entspricht der über den Winkelbereich integrierten Wahrscheinlichkeitsstromdichte pro einfallendem Teilchenstrom. Die Stromdichte der einlaufenden Welle ist durch v = k gegeben, die Stromdichte in einem Winkelbereich durch m j S df = j S e r r 2 dω = k ( ) 1 m f (ϑ, ϕ) 2 dω + O. r Damit erhält man, unter Vernachlässigung von im Unendlichen verschwindenden Resttermen, die wichtige Formel dσ dω = f (ϑ, ϕ) 2. (2.8) Das Betragsquadrat der Streuamplitude liefert den dierentiellen Wirkungsquerschnitt, das Integral über den kompletten Winkelbereich den totalen Wirkungsquerschnitt. σ = f (ϑ, ϕ) 2 dω (2.9)

10 6 Kapitel 2. Streutheorie Die entscheidende Gröÿe in der Streutheorie ist die Streuamplitude. Ihre Kenntnis liefert die Wirkungsquerschnitte für ein gegebenes Potential und ermöglicht so einen Vergleich zwischen Theorie und Experiment. Das weitere Vorgehen wird sich deshalb der Bestimmung der Streuamplitude widmen. 2.2 Partialwellenentwicklung Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass ein Potential, das nur vom Abstand der beiden Teilchen abhängt, im Schwerpunktsystem radialsymmetrisch ist. Aus diesem Grund ist es sinnvoll, die weitere Rechnung in Kugelkoordinaten vorzunehmen. Der Laplaceoperator hat in Kugelkoordinaten die Gestalt = 1 ( r 2 ) + r 2 r r 1 r 2 sin (ϑ) ϑ ( sin (ϑ) ) + ϑ 1 2 r 2 sin 2 (ϑ) ϕ, 2 bzw. = 1 ( r 2 ) L 2 r 2 r r r 2, 2 wobei L für den Drehimpulsoperator steht. Damit lässt sich der Hamiltonoperator des Streuproblems in die Form [ ( H = 2 1 r 2 ) ] L 2 + V (r) (2.10) 2m r 2 r r r 2 2 umschreiben. Da der Drehimpulsoperator nur auf die Winkelanteile wirkt und das Potential nur vom Radius abhängt, kann man sofort erkennen, dass der Hamiltonoperator und der Drehimpulsoperator zum Quadrat miteinander kommutieren. Das bedeutet, dass es ein gemeinsames System von Eigenfunktionen für beide Operatoren gibt. Die Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators zum Quadrat sind die Kugelächenfunktionen Y l,m (ϑ, ϕ) mit den Eigenwertgleichungen und L 2 Y l,m (ϑ, ϕ) = 2 l (l + 1) Y l,m (ϑ, ϕ) L z Y l,m (ϑ, ϕ) = my l,m (ϑ, ϕ). Dabei steht l für die Drehimpulsquantenzahl und m für die magnetische Quantenzahl, die die räumliche Orientierung des Drehimpulses angibt. Mit Hilfe der Kugelächenfunktionen kann die Winkelabhängigkeit der Wellenfunktion komplett beschrieben werden. Daher werden wir die Wellenfunktion nach den Kugelächenfunktionen entwickeln. ϕ ( r) = m R l (r) Y l,m (ϑ, ϕ) l=0 m

11 2.3. Asymptotische Lösungen 7 Die Funktionen R l (r) sind die Koezienten der Entwicklung und hängen nur vom Radius und der Drehimpulsquantenzahl l ab. Wendet man den Drehimpulsoperator auf die Kugelächenfunktionen an und separiert sie aus der Gleichung, erhält man eine Dierentialgleichung für die Radialteile der Wellenfunktion, die sog. Radialgleichung. [ 2 2 2m r + 2 ] l (l + 1) R 2 r r r 2 l (r) + V (r) R l (r) = ER l (r) (2.11) Um bekannte Lösungsansätze verwenden zu können, eliminieren wir den Term 1. Ableitung durch die geeignete Substitution Die Radialgleichung für die Funktion u l (r) lautet dann R l (r) = u l (r). (2.12) r [ ] 2 2 l (l + 1) u 2m r2 r 2 l (r) + V (r) u l (r) = Eu l (r) (2.13) und ist oft leichter zu lösen als die ursprüngliche Gleichung. In der weiteren Arbeit werden mit R l (r) die Lösung der normalen Radialgleichung und mit u l (r) die Lösung der reduzierten Radialgleichung bezeichnet. Mit Hilfe des Übergangs ins Schwerpunktssystem und der anschlieÿenden Entwicklung nach Partialwellen ist es gelungen, die Schrödingergleichung von einer Dierentialgleichung in sechs räumlichen und einer zeitlichen Komponente auf eine Dierentialgleichung zweiter Art in nur einer Variable zu reduzieren. 2.3 Asymptotische Lösungen In diesem Abschnitt wird die Radialgleichung für die Spezialfälle des freien Teilchens und für ein Teilchen unter dem Einuss eines Coulombpotentials gelöst. Vor allem die Lösung des Coulombproblems ist wichtig, da es mit 1/r abfällt und damit in den bisherigen Überlegungen nicht berücksichtigt wurde Freie Lösung Die freie Lösung entspricht dem Spezialfall V (r) = 0. Die Dierentialgleichung für die Radialfunktion R (l) lautet damit [ 2 2 2m r + 2 ] l (l + 1) R 2 r r r 2 l (r) = ER l (r). (2.14) Um diese Dierentialgleichung zu lösen, werden wir sie auf eine bereits bekannte Dierentialgleichung zurückführen. Dazu benutzt man für die Energie die Beziehung E = 2 k 2 2m,

12 8 Kapitel 2. Streutheorie multipliziert die Gleichung mit 2m und substituiert kr durch ρ. Die Dierentialgleichung hat dann die Form 2 [ 2 ρ + 2 ] l (l + 1) + 1 R (ρ) = 0. (2.15) 2 ρ ρ ρ 2 Diese Gleichung ist bekannt als die Besselsche Dierentialgleichung. Ihre Lösungen sind die sphärischen Besselfunktionen [ABR65] ( ) l 1 j l (ρ) = ( ρ) l sin (ρ) ρ ρ ρ (2.16) und die sphärischen Neumannfunktionen ( ) l 1 n l (ρ) = ( ρ) l cos (ρ). (2.17) ρ ρ ρ Beide Funktionen sind für gleiche l linear unabhängig voneinander. Betrachtet man die Dierentialgleichung für groÿe Abstände vom Ursprung, kann man den Drehimpulsanteil vernachlässigen. Die reduzierte Form der Radialgleichung entspricht dann der Dierentialgleichung einer harmonischen Schwingung. Die sphärischen Bessel- und Neumannfunktionen müssen sich für groÿe Radien also wie sin(ρ) ρ asymptotische Verhalten ist in der Tat durch lim j l (ρ) = 1 ( ρ ρ sin ρ lπ ) 2 lim n l (ρ) = 1 ( ρ ρ cos ρ lπ ) 2 gegeben. Für kleine Radien verhalten sich die Funktionen wie lim j l (ρ) = ρ 0 ρ l (2l + 1)!! lim n (2l + 1)!! l (ρ) = ρ 0 (2l + 1) ρ, l+1 und cos(ρ) ρ verhalten. Das wobei n!! für die Doppelfakultät steht. Die sphärischen Besselfunktionen gehen im Ursprung gegen Null, bzw. für l = 0 gegen 1, die sphärischen Neumannfunktionen haben im Ursprung eine Singularität. Ein anderes Fundamentalsystem an Lösungen der Besselschen Dierentialgleichung sind die sog. Hankelfunktionen. Sie sind durch h (±) l ( ) l 1 (ρ) = j l (ρ) ± in l (ρ) = i ( ρ) l e ±iρ ρ ρ ρ (2.18)

13 2.3. Asymptotische Lösungen 9 gegeben und verhalten sich für groÿe Radien wie lim ρ h(±) l (ρ) = i 1 z e±i(z lπ 2 ). Wichtig ist dabei vor allem die Funktion h (+) l (ρ), da sie sich, wie die gestreute Wellenfunktion auch, wie eine auslaufende Kugelwelle verhält. In der freien Lösung haben wir die Form der Wellenfunktion gefunden, in die sie für verschwindende Potentiale, also auch groÿe Abstände vom Ursprung, übergehen muss Das Coulomb Problem Die freie Lösung ist auch für ein 1/r-Potential die asymptotische Lösung. Jedoch macht diese Annahme aufgrund des langsamen Abfalls erst für sehr groÿe Abstände Sinn. Es ist von Vorteil eine andere asymptotische Form zu wählen. Daher werden wir nochmal genauer auf das Coulombpotential eingehen. Wir werden wieder, wie für die freie Lösung, die Dierentialgleichung auf eine bereits bekannte Form zurückführen, deren Lösung bekannt ist. Das Coulombpotential hat die Form V (r) = αc Z 1Z 2. (2.19) r Um die Gleichung umzuformen, wird die Radialfunktion u l (r) durch e ikr (kr) l+1 f l (2ikr) ersetzt und die Gröÿe γ = mc2 Z 1 Z 2 α eingeführt. Die Dierentialgleichung für f (ξ) lautet ck dann [ ξ 2 ξ + (2l + 2 ξ) ] (l + 1 iγ) f (ξ) = 0. 2 ξ Setzt man jetzt noch l + 1 iγ = a und 2l + 2 = b, erhält man die sog. konuente hypergeometrische Dierentialgleichung [ξ 2 ξ + (b ξ) ] 2 ξ a f (ξ) = 0. (2.20) Sie wird von der konuenten hypergeometrischen Funktion 1 F 1 (a; b; ξ) und der konuenten hypergeometrischen Funktion U (a, b, ξ) gelöst [DLMF]. Durch Rücksubstitution erhält man für die Radialfunktion schlieÿlich die Coulombwellenfunktionen [DLMF] und F l (γ, ρ) = 2l e πγ 2 Γ (l + iγ + 1) ρ l+1 e iρ 1F 1 (l + 1 iη; 2l + 2; 2iρ) (2.21) Γ (2l + 2) H + l (γ, ρ) = e i(ρ γln(2ρ) 1 2 lπ+arg(γ(l+1+iγ))) (2iρ) l+1 iγ U (l + 1 iγ, 2l + 2, 2iρ). (2.22) mit ρ = kr. Die Funktion F l ist die reguläre Coulombwellenfunktion. Sie ist rein reell, regulär im Ursprung und die Entsprechung der sphärischen Besselfunktion. Für sehr

14 10 Kapitel 2. Streutheorie groÿe Werte von ρ geht sie in eine Sinusfunktion über. Die Funktion H + l ist komplex und durch H + l = G l + if l gegeben. Die Funktion G l ist die irreguläre Lösung der Radialgleichung und die Entsprechung der sphärischen Neumannfunktion. Die H + l entsprechen den sphärischen Hankelfunktion h + l und liefern wie diese für groÿe Radien die Form einer auslaufenden Kugelwelle. Die Coulombwellenfunktionen erfüllen die Rekusionsformel 1 + γ2 l 2 X l 1 ( l ρ + γ l + l γ ) X l + ρ l γ2 (l + 1) 2 X l+1 = 0. (2.23) Die Funktion X l kann für F l (γ, ρ), G l (γ, ρ) oder H + l (γ, ρ) stehen [DLMF]. Verwendet man die Coulombwellenfunktionen zur Bestimmung der Streuamplitude, enthält sie keine Informationen über das Coulombpotential. Sie ist dann nur durch die anderen wirkenden Potentiale bestimmt. 2.4 Streuphasen Da das Wechselwirkungspotential als kurzreichweitig angenommen wird, muss die Wellenfunktion für groÿe Abstände vom Nullpunkt in die freie Lösung übergehen. Betrachtet man die Streuung von elektrisch geladenen Teilchen aneinander, geht die Wellenfunktion auch in die freie Lösung über, jedoch wegen des langsamen Abfalls des Coulombpotentials erst für viel gröÿere Abstände. Daher werden wir davon ausgehen, dass die Wellenfunktion für die Streuung von geladenen Teilchen in die Coulombwellenfunktionen übergeht. Die Radialfunktion für das freie Teilchen ist durch die sphärische Besselfunktion gegeben. Die sphärische Neumannfunktion ist singulär im Ursprung und kann deshalb keinen Beitrag liefern. Die Wellenfunktion für die Streuung an einem kurzreichweitigen Potential muss auÿerhalb des Wirkungsbereichs des Potentials in eine Linearkombination aus beiden Funktionen übergehen, bzw. äuÿert sich in einer Phasenverschiebung gegenüber freien Lösung, wie man sich an den asymptotischen Formen der Bessel- und Neumannfunktionen klar machen kann. Die Phasenverschiebung ist durch lim R l (r) = C 1,l j l (kr) + C 2,l n l (kr) = A l j l (kr + δ l ) r tan δ l = C 2,l C 1,l gegeben. Man bezeichnet δ l als die Streuphase der l-ten Partialwelle. Die Streuphasen sind von Stärke und Form des Potentials abhängig. Da die Coulombwellenfunktionen für sehr groÿe Abstände vom Ursprung auch in die freien Lösungen übergehen, gelten diese Überlegungen entsprechend auch für diese Funktionen.

15 2.4. Streuphasen 11 Mit Hilfe der Streuphasen werden wir in der Lage sein, die Streuamplitude zu bestimmen und damit auch dierentielle Wirkungsquerschnitte zu berechnen [JOA75]. Dazu entwickeln wir zuerst e i k r nach den Kugelächenfunktionen. Zusätzlich setzen wir die z-achse entlang der Richtung von k, sodass nur solche Kugelächenfunktionen beitragen, für die m = 0 gilt. Diese entsprechen bis auf einen Vorfaktor den Legendre-Polynomen mit dem Argument cos (ϑ). e ikz = R l (r) P l (cos (ϑ)) l=0 Um die Koezienten R l (r) der Entwicklung zu bestimmen multipliziert man die Gleichung mit einem Legendre-Polynom und integriert sie. Durch die Ausnutzung der Orthogonalitätsrelation 1 1 P l (x) P l (x) dx = π 0 P l (cos (ϑ)) P l (cos (ϑ)) sin (ϑ) = 2 2l + 1 δ l,l (2.24) erhält man die gesuchten Koezienten [JOA75]. e ikz = (2l + 1) i l j l (kr) P l (cos (ϑ)) l=0 Diese Entwicklung setzt man nun in die asymptotische Form ein und ersetzt die Besselfunktionen durch ihre asymptotische Form sin(ρ). Weiter ersetzt man nun den Sinus ρ durch Exponentialfunktionen. Die Wellenfunktion hat dann die Form [ ] 1 lim ϕ (r) =eikr i l (2l + 1) e i(lπ/2) P l (cos (ϑ)) + f (ϑ) + r r 2ik e ikr r 1 2ik l=0 i l (2l + 1) e i(lπ/2) P l (cos (ϑ)). l=0 Benutzt man dieselbe Vorgehensweise für die Wellenfunktion mit der Phasenverschiebung, erhält man 1 lim ϕ (r) =eikr α l e iδ l e i(lπ/2) P l (cos (ϑ)) + r r 2ik l=0 e ikr 1 α l e iδ l e i(lπ/2) P l (cos (ϑ)). r 2ik l=0 Beide Ausdrücke müssen übereinstimmen. Ein Vergleich der Ausdrücke liefert schlieÿlich die wichtige Formel f (ϑ) = 1 (2l + 1) ( e 2iδ l 1 ) P l (cos (ϑ)) 2ik l=0 = 1 (2l + 1) e iδ l sin (δ l ) P l (cos (ϑ)). (2.25) k l=0

16 12 Kapitel 2. Streutheorie Die Gröÿe e i2δ l bezeichnet man auch als das Streumatrixelement S l. Die Streumatrix oder S-Matrix ist in der Drehimpulsdarstellung, und damit auch in der Partialwellenentwicklung, diagonal. Die Elemente sind durch den obigen Zusammenhang gegeben. Sie beschreiben die Wahrscheinlichkeit für den Übergang der Wellenfunktion in andere Zustände. Mit Hilfe des eben gefundenen Zusammenhangs ist der dierentielle Wirkungsquerschnitt durch dσ dω = 1 k 2 (2l + 1) (2l + 1) sin (δ l ) sin (δ l ) e i(δ l δ ) l P l (cos (ϑ)) P l (cos (ϑ)) l,l =0 gegeben. Mit der Orthogonalitätsrelation der Legendre-Polynome 2.24 kann der totale Wirkungsquerschnitt auf die einfache Form gebracht werden. σ = 2π π 0 dσ 4π sin (ϑ) dθ = (2l + 1) sin 2 (δ dω k 2 l ) (2.26) Die Streumatrixelemente können auch für reine Coulombstreuung angegeben werden [JOA75]. Mit Hilfe der Gammafunktion werden sie über die Formel Γ(x) = S l = 0 l t x 1 e t dt Γ (l iγ) Γ (l + 1 iγ) berechnet. Die Coulombphasenverschiebungen sind durch σ l = Arg (Γ (l iγ)). gegeben. Der dierentielle Wirkungsquerschnitt entspricht dem Rutherfordwirkungsquerschnitt. Verwendet man als asymptotische Wellenfunktion die Coulombwellenfunktionen, sind die Auswirkungen des Coulombpotentials automatisch berücksichtigt. Die Phasenverschiebungen beruhen dann nur auf den kurzreichweitigen Anteilen des Potentials. Zum Abschluss des Abschnittes werden wir noch das sog. optische Theorem herleiten. Zunächst betrachten wir dazu die Streuamplitude für Vorwärtsstreuung, also ϑ = 0. Die Legendre-Polynome haben damit immer den Wert eins. Der Imaginärteil der Streuamplitude ist in diesem Fall durch Imf (0) = 1 k (2l + 1) sin 2 (δ l ) l=0

17 2.5. Komplexe Potentiale 13 gegeben. Der Vergleich mit dem totalen Wirkungsquerschnitt liefert dann das optische Theorem [JOA75] σ = 4π Imf (0). (2.27) k Mit Hilfe der Streuphasen haben wir eine Möglichkeit gefunden, die Streuamplitude und damit auch dierentielle Wirkungsquerschnitte zu berechnen. Im nächsten Kapitel werden wir eine Methode vorstellen, mit der die Streuphasen bestimmte werden können. Zuvor sollen die bisherigen Erkenntnisse aber noch auf kompliziertere Prozesse als reine elastische Streuung erweitert werden. 2.5 Komplexe Potentiale In den vorangegangenen Abschnitten dieses Kapitels haben wir uns auf die rein elastische Streuung beschränkt. In diesem Abschnitt wollen wir die bisherigen Ergebnisse auf komplexere Prozesse verallgemeinern. Dazu führen wir die optischen Potentiale ein [JOA75]. Die Streupotentiale, die vorher rein reell waren, erhalten jetzt einen zusätzlichen imaginären Anteil. Dies hat zur Folge, dass die Wahrscheinlichkeitsstromdichte nicht mehr erhalten ist. Für einen positiven Imaginärteil des optischen Potentials nimmt der Wahrscheinlichkeitsstrom zu, für einen negativen nimmt er ab. Mit einem negativen Imaginärteil kann man z.b. Annihilationsprozesse beschreiben, da der Wahrscheinlichkeitsstrom der einfallenden Teilchen nach der Streuung abnimmt. Der totale Wirkungsquerschnitt beschreibt für komplexe Prozesse sowohl die Wahrscheinlichkeit für elastische als auch die Wahrscheinlichkeit für inelastische Streuung. Man unterscheidet nun den totalen elastischen Wirkungsquerschnitt σ el und den totalen inelastischen Wirkungsquerschnitt σ reac. Der totale Wirkungsquerschnitt σ tot ist die Summe der beiden Querschnitte. Während für rein elastische Streuung die Streuphasen auch rein reell sind, werden sie für optische Potentiale komplex. Die S-Matrixelemente werden nun in der Form S l = η l e 2iδ l (2.28) geschrieben. δ l steht für den Realteil der komplexen Streuphase und η l ist der Betrag des Matrixelements. Für rein elastische Streuung gilt η l = 1. Bei der Berechnung des elastischen Teils der Streuung kann man völlig analog zur Berechnung der rein elastischen Streuung vorgehen. Man muss lediglich die Streuamplitude f (ϑ) durch die elastische Streuamplitude f el (ϑ) ersetzen, die elastische Streuprozesse beschreibt. Die elastische Streuamplitude ist dann durch f el (ϑ) = 1 2ik (2l + 1) (S l 1) P l (cos (ϑ)) (2.29) l=0 gegeben, der dierentielle Wirkungsquerschnitt für elastischen Streuung durch das Betragsquadrat der elastischen Streuamplitude und der totale elastische Wirkungsquer-

18 14 Kapitel 2. Streutheorie schnitt durch σ el = π k 2 l=0 (2l + 1) S l 1 2. (2.30) Um den totalen inelastischen Wirkungsquerschnitt zu bestimmen schreibt man zunächst die asymptotische Wellenfunktion in die Form [ ] e ikr lim ϕ (r) = 1 ( 1) l (2l + 1) P l (cos (ϑ)) + r r 2ik l=0 }{{} e ikr r C in [ ] 1 (2l + 1) S l P l (cos (ϑ)) 2ik l=0 }{{} C out um. Der Fluss der verschwindenden, also in einen anderen Zustand übergehenden, Teilchen ist die negative Wahrscheinlichkeitsstromdichte der Wellenfunktion j e r = k m 1 r 2 [ Cout 2 C in 2]. Der gesamte einfallende Fluss ist wieder durch v = k gegeben. Die insgesamt verschwindende Wahrscheinlichkeit pro einfallendem Fluss erhält man dann aus dem Integral über m eine unendlich groÿe Sphäre. σ reac = m j e r r 2 dω k Für die Integration nutzt man wieder die Orthogonalitätsrelation der Legendre-Polynome 2.24 aus und erhält σ reac = π k 2 l=0 (2l + 1) ( 1 η 2 l ). (2.31) Der totalen Wirkungsquerschnitt σ tot = σ reac + σ el ergibt sich aus der Formel σ tot = 2π k 2 (2l + 1) (1 η l cos (2δ l )). (2.32) l=0 Dieser Ausdruck entspricht bis auf einen Vorfaktor dem Imaginärteil der elastischen Wahrscheinlichkeitsamplitude. Das optische Theorem lautet damit im Fall komplexer Potentiale σ tot = 4π k Im (f el (0)). (2.33) Mit Hilfe dieser Ausdrücke können über die Streuphasen der Partialwellen alle gewünschten Gröÿen berechnet werden. Man muss prinzipiell zwar unendlich viele Streuphasen bestimmen, in der Praxis sind aber für ein räumlich beschränktes Potential nur endlich

19 2.5. Komplexe Potentiale 15 viele von Null verschieden. Dass die Streuphasen dieses Verhalten zeigen, liegt an der Drehimpulsbarriere l(l+1). r 2 Für groÿe Drehimpulse ist die Barriere so hoch, dass das einfallende Teilchen nicht in sie eindringen und nicht in den Wirkungsbereich des Potentials vordringen kann. Die Partialwelle, ab der ein Eindringen nicht mehr möglich ist, kann man semi-klassisch bestimmen. Der Drehimpuls ist durch das Kreuzprodukt aus Radius und Impuls gegeben. L = l (l + 1) = r p = k r sin (ϑ) = k b Dabei steht b für den Stoÿparameter. Ist b gröÿer als die Reichweite R des Potentials, spürt die Partialwelle das Potential nicht mehr. Es tragen also nur die Partialwellen zur Streuung bei, welche die Abschätzung l (l + 1) kr, (2.34) oder im Falle geladener Teilchen γ + γ 2 + l (l + 1) kr, (2.35) erfüllen. Man kann an diesen Abschätzungen sofort erkennen, dass für gröÿere Energien und für Potentiale mit gröÿerer Reichweite auch mehr Partialwellen zu berücksichtigen sind. Damit sind alle wichtigen, die Streutheorie betreenden Zusammenhänge und Formeln hergeleitet worden. Das nächste Kapitel wird sich mit Potentialmodellen beschäftigen, mit denen die Wechselwirkung von Antiprotonen mit einem Atomkern beschrieben werden können.

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21 3 Antinukleon-Kern-Potentiale Im vorherigen Kapitel wurden die Grundlagen der Streutheorie hergeleitet. Die Streuung von zwei Teilchen aneinander wurde im Relativsystem durch die Streuung der beiden Teilchen an ihrem gegenseitigen Wechselwirkungspotential ersetzt. In diesem Kapitel soll es um die Modelle gehen mit denen die Antinukleonkernwechselwirkung beschrieben werden kann und wie daraus die Streuphasen und die Wirkungsquerschnitte bestimmt werden können. Dazu wird das einfache Beispiel der Streuung am Potentialtopf, sowie die tρ-näherung vorgestellt werden, in der das Potential mit der Kerndichte verknüpft wird. 3.1 Aufbau des Atomkerns Zuerst betrachten wir dazu den Atomkern. Der Kern ist aus Neutronen und Protonen aufgebaut. Er ist, wie die Protonen, elektrisch positiv geladen. Die Stärke der Ladung entspricht der Protonen- bzw. der Ladungszahl Z. Die Masse des Kerns ist von der Gesamtzahl der Nukleonen im Kern abhängig. Die Nukleonenzahl A wird deshalb auch als die Massenzahl des Kerns bezeichnet. Die Verteilung der beiden Teilchensorten im Atomkern wird mittels einer Teilchendichte angegeben. Die Teilchendichte wird als radialsymmetrisch angenommen und die zugehörige Einteilchen-Wahrscheinlichkeitsdichte kann für schwere Kerne (A > 20) sehr gut durch eine Fermifunktion 1 ρ ( r) = ρ 0 (3.1) 1 + e r R a angenähert werden [PB75]. Die Parameter R und a sind abhängig von der Massenzahl des Kerns und stehen für den Kernradius und den Randdickenparameter. Die Teilchendichten sind so normiert, dass das Integral über den kompletten R 3 die Anzahl der Nukleonen im Kern, also die Massenzahl, ergibt. ρ ( r) d 3 r = A In dieser Arbeit wurde eine Kerndichte verwendet, die sich aus der Summe der Protonen und Neutronendichte ergibt. Die Protonen und Neutronendichten werden auch als Fermifunktionen mit jeweiligen Reichweiten und Randdickenparametern angenommen. Die Parameter der Dichten sind in Appendix A als Funktionen der Massenzahl angegeben. 17

22 18 Kapitel 3. Antinukleon-Kern-Potentiale Ρ p r fm 3 Ρ n r fm A A A A 48 A 58 A 78 Abbildung 3.1: Das linke Bild zeigt die Protonendichte, das rechte die Neutronendichte für 48 Ni, 58 Ni und 78 Ni. In Abbildung 3.1 wurden die Neutronen- und Protonendichten für verschiedene Nickelisotope geplottet. Man kann erkenne, dass die Reichweite der Protonendichte nur schwach von der Massenzahl abhängt und annähernd konstant bleibt, während die Reichweite der Neutronendichte mit der Massenzahl anwächst. Vor allem Kerne mit asymmetrische Kernmaterie werden durch dieses Modell besser beschrieben, als durch ein Modell mit einer gemittelten Dichte. Die Verwendung von zwei separaten Dichten liefert nach [BFG97] genauere Ergebnisse als eine einzelne Kerndichteverteilung. Mit Hilfe der Reichweite der Protonendichte kann man das Coulombpotential des Kerns angeben. Da die Protonendichte, und damit auch die Ladungsdichte, im Kerninneren ungefähr konstant ist, wird der Kern als homogen geladene Kugel vereinfacht. Die Protonenreichweite wird als der Ladungsradius R C verwendet. Auÿerhalb des Radius entspricht das Coulombpotential dem Potential einer Punktladung mit der Ladung Z e. Innerhalb des Radius ist es durch ein Oszillatorpotential gegeben. Das Coulombpotential wird daher stückweise angegeben. V C (r) = ( Z 1 Z 2 αc 2R C (3 r < R C (3.2) Z 1 Z 2 αc r > R r C ) ) 2 r R C Da sich die Protonen gegenseitig abstoÿen, müsste der Atomkern eigentlich auseinander- iegen und instabil sein. Die meisten Kerne sind jedoch stabil. Es muss also im Kern eine Kraft geben, die der Coulombkraft entgegenwirkt und die Nukleonen zusammenhält. Die Kraft muss einerseits stärker als die Coulombkraft sein, andererseits jedoch wegen der endlichen Kernausdehnung auch viel schneller abfallen. Diese Kraft ist auf die Restwechselwirkung der starken Wechselwirkung, die durch Gluonenaustausch zwischen Quarks wirkt, zurückzuführen. Auf der Gröÿenskala der Nukleonen kann sie über den Austausch von Mesonen zwischen den Nukleonen erklärt werden. Die Kraft ist immer attraktiv und unabhängig von der elektrischen Ladung der Nukleonen. Sie kann durch Überlagerungen von Yukawa-Potentialen beschrieben werden, deren Reichweiten von der Masse der ausgetauschten Mesonen abhängt. V (r) e mc r r

23 3.2. Kastenpotential 19 In Tabelle 3.1 sind die Massen und Reichweiten einiger Wechselwirkungsmesonen dargestellt. Die Reichweite beträgt maximal nur 1.5 fm. π ± π 0 η ω ρ Masse [MeV] Reichweite [fm] Tabelle 3.1: Masse und Reichweite der Austauschmesonen Für sehr kleine Abstände wird das Gesamtpotential wieder stark abstoÿend, sobald die Nukleonen aneinander stoÿen. Die starke Kraft wirkt ebenfalls über Mesonenaustausch zwischen Antinukleonen und Nukleonen. Das zugehörige Potential ist stark attraktiv und sehr kurzreichweitig. Ein Unterschied zum N N-Potential besteht aber im Verhalten für kleine Abstände. Sobald das Antinukleon und das Nukleon nahe beieinander sind, kommt es zu Annihilationseekten. Das Potential muss daher auch einen negativen komplexen Anteil enthalten. Der reelle Anteil des Potentials ist für alle Abstände attraktiv. Die starken Kraft wirkt natürlich auch zwischen Antinukleonen und Atomkernen. Ihre Eekte bilden den gröÿten Anteil des Antinukleon-Kern-Potentials. Es ist komplex, wobei der Imaginärteil gröÿer als der Realteil ist, um die starke Absorption der Antinukleonen im Kern zu beschreiben. Im Gegensatz zum Coulombpotential, das man sofort angegeben kann, gibt es für das Potential der starken Kraft keine allgemeingültige Form. Man muss sich deshalb mit verschiedenen Modellen behelfen, die im weiteren Verlauf des Kapitels vorgestellt werden. Die Potentiale sind alle kurzreichweitig. Daher können die im vorherigen Kapitel gefundenen Formeln und Zusammenhänge auf sie angewendet werden. Obwohl die Spin-Bahn-Eekte der starken Wechselwirkung viel stärker als die Spin- Bahn-Eekte der elektromagnetischen Wechselwirkung sind, sind sie vergleichsweise kleine Anteile der starken Wechselwirkung und werden zur Vereinfachung in den folgenden Modellen vernachlässigt. 3.2 Kastenpotential Im nächsten Abschnitt dieses Kapitels wird die Form des Potentials mit der Form der Kerndichte in Verbindung gebracht. Diese Form kann man im einfachsten Fall durch eine Stufenfunktion annähern. Als einfachstes Modell für ein Kernpotential wird daher ein dreidimensionaler Potentialtopf verwendet. Die Ausdehnung des Topfes entspricht der Ausdehnung des Kerns selbst. Um die Absorption zu berücksichtigen hat der Topf einen konstanten Imaginärteil. Die Stärke des Real- und des Imaginärteils können z.b. aus Fits an experimentelle Daten oder aus anderen Modellen gewonnen werden.

24 20 Kapitel 3. Antinukleon-Kern-Potentiale Obwohl dieses Modell sehr simpel ist, erlaubt es doch die Abhängigkeit der totalen und dierentiellen Wirkungsquerschnitte von der Reichweite und Tiefe des Potentials und der Energie des einfallenden Teilchens zu untersuchen. Durch die einfache Form des Potentials ist die Wellenfunktion sowohl innerhalb, als auch auÿerhalb des Wirkungsbereiches des Potentials bekannt. Das gesamte Problem ist analytisch lösbar. Um die Coulombwechselwirkung zu berücksichtigen ist die Wellenfunktion auÿerhalb das Potentials durch die Coulombwellenfunktionen gegeben. Das Coulombpotential innerhalb des Kerns wird ebenfalls durch eine Konstante angenähert. Setzt man den Kernradius und den Ladungsradius gleich, hat das Potential die Form: { V0 iw V (r) = 0 r < R 0 0 r > R 0 Da das Potential konstant ist, wirkt es wie eine konstante Verschiebung des Energieeigenwerts in die komplexe Ebene. Die Radialgleichung innerhalb der Reichweite des Potentials entspricht somit der Radialgleichung des freien ungeladenen Teilchens mit einer veränderten Energie. Die Radialfunktion hat dann die Form { Al j R l (r) = l (k 1 r) r < R 0 C 1,l F l (k 2 r) /r + C 2,l G l (k 2 r) /r r > R 0 mit k 2 1 = 2m(E+V 0+iW 0 ) 2 und k2 2 = 2mE. Die Streuphase ist durch 2 tan (δ l ) = C 2,l C 1,l gegeben. Die Koezienten kann man aus den Stetigkeitsbedingungen der Wellenfunktion bestimmen. Teilt man die Radialgleichung durch C 1,l erhält man das Gleichungssystem für die beiden unbekannten A l C 1,l und liefert A l j l (k 1 R 0 ) = F l (γ, k 2 R 0 ) + tan (δ l ) G l (γ, k 2 R 0 ) C 1,l A l j l (k 1 R 0 ) = F l (γ, k 2 R 0 ) + tan (δ l ) G l (γ, k 2 R 0 ) C 1,l und tan (δ l ). Das System ist in geschlossener Form lösbar tan (δ l ) = k 2F l (γ, k 2R 0 ) j l (k 1 R 0 ) + k 1 j l (k 1R 0 ) F l (γ, k 2 R 0 ) k 2 G l (γ, k 2R 0 ) j l (k 1 R 0 ) k 1 j l (k 1R 0 ) G l (γ, k 2 R 0 ). Ein alternativer Lösungsweg ist, die Wellenfunktion auÿerhalb des Potentials mit Hilfe der Funktionen H + l in die Form R l (r) = F l (γ, k 2 r) r + C l H + l (γ, k 2 r) r

25 3.3. tρ-potentiale 21 umzuschreiben. Diese Form eignet sich besonders gut für absorbierende Potentiale, wie sie hier vorliegen. Da sich die Funktionen H + l /r wie eine auslaufende Kugelwelle verhalten, entsprechen die C l den Streuamplituden der einzelnen Partialwellen. Sie sind über C l = 1 2i (S l 1) (3.3) mit den S-Matrixelementen verbunden. Diese lassen sich dann über die Gleichung k 2 F l S l = 2i (γ, k 2R 0 ) F l (γ, k 1 R 0 ) k 1 F l (γ, k 1R 0 ) F l (γ, k 2 R 0 ) k 2 H + l (γ, k 2 R 0 ) F l (γ, k 1 R 0 ) k 1 F l (γ, k 1R 0 ) H + l (γ, k 2 R 0 ) 1 bestimmen. Dadurch kann man alle S-Matrixelemente analytisch berechnen, in die gefundenen Formeln einsetzen und elastische und inelastische Wirkungsquerschnitte berechnen. 3.3 tρ-potentiale In der einfachen Näherung als Kastenpotential wurde der Kern als Teilchen mit Masse und fester Ausdehnung betrachtet. Er ist aber aus vielen Einzelteilchen aufgebaut. Trit das einfallende Teilchen auf den Kern, trit es eigentlich auf ein Kernnukleonen. Wird es an diesem gestreut, kann die auslaufende Welle wieder auf ein Nukleon treen und erneut gestreut werden. Die Streuung an einem Kern ist eigentlich eine komplizierte Vielfachstreuung. Um dies zu beschreiben, führen wir zunächst die sog. T-Matrix ein. Während die S- Matrix den Übergang der einfallenden Wellenfunktion in alle anderen möglichen Zustände beschreibt, beschreibt die T-Matrix die Übergänge in alle anderen Zustände, auÿer dem Ursprungszustand. Bei der S- und T-Matrix handelt es sich in der Regel um komplizierte Operatoren innerhalb der formalen Streutheorie [JOA75]. Für das Verständnis des weiteren Vorgehens ist jedoch der einfache Zusammenhang T ( r) = 2π2 f (ϑ), (3.4) m der die On-Shell T-Matrix mit der Streuamplitude verknüpft, vollkommen ausreichend. Die Kenntnis der T-Matrix liefert also auch die Lösung des Streuproblems. Ein alternativer Lösungsweg zur Bestimmung der Streuamplitude kann in der Berechnung der T-Matrix liegen. Ein Ansatz für die Antinukleon-Kern-T-Matrix stellt sie als die Summe der T-Matrizen der Antinukleon-Nukleon-Wechselwirkung T NN über alle Nukleonen im Kern dar. Dies führt nach [FESHB] auf das Potential V opt (r) = T NN ( r r n ) ρ ( r n ) d r n, (3.5) bei dem die T-Matrix mit der Kerndichte gefaltet wird. Die Fouriertransformierte einer Faltung von zwei Funktionen entspricht der Multiplikation der Fouriertransformierten

26 22 Kapitel 3. Antinukleon-Kern-Potentiale der beiden Funktionen. Das Potential ist im Impulsraum durch Ṽ (q) = T (q) ρ (q) gegeben. Wie in [ZHANG] wählen wir T-Matrix im Impulsraum als Gausskurve T ( q) = B (E) e β2 (E)q 2, (3.6) die Fouriertransformierte der Kerndichte, die für eine Fermi-Funktion noch analytisch berechnet werden kann, ist in Appendix A angegeben. Die T-Matrix kann man nun über die Streuamplitude ausdrücken und diese über das optische Theorem durch den totalen Wirkungsquerschnitt der Antinukleon-Nukleon-Streuung. Transformiert man das Potential zurück in den Ortsraum, hat es nach der Ausführung der Winkelintegration die Form V opt (r) = 4π 2 ikσ NN (2π) 3/2 2m 2 (1 iɛ) dqq 2 j 0 (qr) ρ (q) e β2 2 q 2 /2. (3.7) Die Konstante ɛ steht für das Verhältnis zwischen Real- und Imaginärteil des Potentials und kann wie β z.b. aus Fits bestimmt werden [ZHANG]. Der totale Wirkungsquerschnitt der N N-Streuung wiederum kann im Experiment gemessen werden. Alle drei Gröÿen sind von der Energie der Antiprotonen abhängig. In Appendix B ndet sich eine Tabelle mit einige Werte für diese Gröÿen. Diese Form des Potentials wurde ursprünglich für die Streuung von Nukleonen an Kernen entwickelt und ist in diesem Fall nur für hohe Energien gültig, da sie einen starken Peak der Streuamplitude in Vorwärtsrichtung voraussetzt. Im Fall von Antinukleonenstreuung ist dieser starke Peak aufgrund der Absorption der Antinukleonen am Kern für alle Energien vorhanden. Das Potential kann daher auch in allen Energiebereichen angewendet werden. Das Integral über den Radius ist analytisch nicht lösbar, man kann also keine analytische Form des Potentials angeben. Stattdessen muss man die Integration auf numerischem Wege durchführen. Es ist daher sinnvoll, um lange Rechenzeiten und groÿe Fehler zu vermeiden, das Potential noch einmal zu vereinfachen. Für groÿe Kerne nähert sich die Fouriertransformierte der Kerndichte immer weiter einer Deltafunktion an. Es tragen nur noch die Anteile der Streuamplitude um q = 0 zum Potential bei. Man kann daher die Streuamplitude durch die Streuamplitude in Vorwärtsrichtung ersetzen. Es muss dann nur noch die Kerndichte fouriertransformiert werden. Das Potential vereinfacht sich zu V opt (r) = i 2 k m σ NN (1 iɛ) ρ (r). (3.8) 2 Man bezeichnet dieses Potential als das tρ-potential. Die Form des Potentials ist durch die Form der Kerndichte gegeben. Die Schrödingergleichung mit einem Potential dieser einfachen Form ist dennoch nicht analytisch lösbar. Um die Streumatrixelemente zu bestimmen, müssen daher numerische Methoden angewendet werden, die später im Abschnitt vorgestellt werden. Ein weiterer Nachteil dieses Potentials liegt in der Energieabhängigkeit der Konstanten. Das Potential ist nicht für einen breiten Energiebereich,

27 3.3. tρ-potentiale 23 sondern jeweils nur für diskrete Energiewerte gültig. Die energieabhängigen Gröÿen müssen daher jeweils neu bestimmt werden. Als letztes Modell wird noch das t eff ρ-potential vorgestellt. Es ist zwar nur in niedrigen Energiebereichen gültig, in diesen jedoch energieunabhängig. Das Potential wird in der Untersuchung von hadronischen Atomen verwendet [BFG97]. Bei hadronischen Atomen handelt es sich um Atome, in denen ein Hüllenelektron durch ein negativ geladenes Hadron, z.b. ein Antiproton, ersetzt wird. Das Antiproton fällt mit der Zeit auf immer niedrigere Bahnen, bis es mit den Kernnukleonen in Wechselwirkung tritt und annihiliert. Das exotische Atom hat also nur eine begrenzte Lebensdauer. Weiter unterscheiden sich die Energieniveaus der gebundenen Antiprotonen von den Energieniveaus von nur durch das Coulombpotential gebundener Teilchen. Die Antiprotonen unterliegen zusätzlich der starken Kraft. Um diese Eekte zu beschreiben, wird zum Coulombpotential des Kerns ein optisches Potential addiert. Die Stärke des Potentials wird durch Fits an experimentelle Daten bestimmt [BFG97]. Statt die Streuamplitude in Vorwärtsrichtung zu verwenden, wird sie durch einen effektiven Stoÿparameter b 0 ersetzt [BFG97]. Die T-Matrix wird also durch eine eektive T-Matrix ersetzt, was auch den Namen des Potentials erklärt. Fügt man noch einen kinematischen Faktor hinzu, ergibt sich das Potential zu V opt (r) = 2π2 m ( 1 + m m N A 1 A ) b 0 ρ (r). (3.9) Man kann diese Potentiale noch auf verschiedene Arten modizieren, um die Übereinstimmung mit den experimentellen Werten zu verbessern. Häug wird zum Potential ein Isovektor Term addiert, der auf die Unterschiede zwischen den Protonen und Neutronen eingeht. Es wurde jedoch in [ELI62] gezeigt, dass die Antinukleonenstreuung weitgehend blind für solche Eekte ist. Daher werden wir solche Zusatzterme vernachlässigen. Eine andere Modikation sind P-Wellen Isoskalar Terme. Diese Terme sind von der Form ρ (r) und verdeutlichen, dass die Wechselwirkung der Streuteilchen mit dem Kern hauptsächlich auf der Kernoberäche stattndet und die Teilchen nicht sehr tief in den Kern eindringen. Während diese Zusatzterme für andere hadronische Atome durchaus eine Verbesserung der Fits bringen können, sind sie für antiprotonische Atome nicht relevant und werden vernachlässigt. Eine sinnvolle Modikation können hingegen Terme sein, die dafür sorgen, dass das Potential für verschwindende Kerndichte in ein Antinukleon-Nukleon-Potential übergeht. Diese Eigenschaft erfüllt keins der bisher vorgestellten Potentiale. Sie sind alle nur für Kerne mit Z > 6 und A > 12 gültig. Möchte man kleinere Kerne mit niedrigeren Ordnungszahlen untersuchen, muss man solche Zusatzterme berücksichtigen. Da in dieser Arbeit jedoch hauptsächlich die Streuung an den Nickelisotopen, also Z = 28 und A 48, untersucht werden wird, kann auch diese Modikation vernachlässigt und das Potential in seiner simpelsten Form verwendet werden. Die Stärke des Potentials ist durch den eektiven Stoÿparameter b 0 gegeben. Sein Wert wird durch Fits an Daten von antiprotonischen Atomen gewonnen [BFG97]. Da die Antiprotonen in den Atomen nur geringe kinetische Energien haben, gilt das Potential nur für Streuung im Niederenergiebereich.

28 24 Kapitel 3. Antinukleon-Kern-Potentiale 3.4 Bestimmung der Streumatrix In diesem Abschnitt werden wir ein Verfahren vorstellen, mit dem die Elemente der Streumatrix für ein gegebenes Potential bestimmt werden können. Zuerst betrachten wir dazu die Potentiale. Das tρ-potentiale und das t eff ρ-potential haben dieselbe Form wie die Kerndichte und fallen auÿerhalb des Kerns sehr stark ab. Das Folding-Potential fällt zwar langsamer ab, nähert sich aber auÿerhalb des Kerns auch sehr schnell der Null. Im Abstand von 15 fm vom Kern sind sie schon auf unter 10 9 MeV abgefallen und können dementsprechend vernachlässigt werden, es wirkt praktisch nur noch das Coulombpotential. Daher wird angenommen, dass die Radialfunktion für r = 15 fm durch die Coulombwellenfunktionen gegeben ist. u l (r) = F l (γ, kr) + C l H + l (γ, kr) r > 15 fm (3.10) Die Streumatrixelemente S l sind, wie im Fall des Kastenpotentials, über 3.3 mit den C l Koezienten der Wellenfunktion verknüpft. Um sie zu bestimmen wird die Wellenfunktion im Intervall von Null bis 15 fm numerisch berechnet und die Koezienten über die Stetigkeit der Wellenfunktion bestimmt. Bei der Radialgleichung handelt es sich nach allen Vereinfachungen um eine Dierentialgleichung 2. Ordnung in einer Variablen mit den Anfangsbedingungen u l (0) = 0 und u l (0) = 0. u l (r) + f (r) u l (r) = 0 Die Funktion f (r) hat wegen der Drehimpulsbarriere eine Singularität im Ursprung. Diese beschränkt eine numerische Berechnung auf Werte r > 0. Betrachtet man jedoch das optische Potential und das Coulombpotential in der Nähe des Ursprungs, erkennt man, dass sie sich in diesem Bereich nur langsam verändern (Abbildung 3.2). Sie werden daher in einem kleinen Bereich um den Ursprung als konstant angenommen. V Ges r MeV ReV Ges r, l 0 ImV Ges r, l 0 V Ges r MeV ReV Ges r, l 1 ImV Ges r, l Abbildung 3.2: Das linke Bild zeigt das Gesamtpotential in der t eff ρ-näherung mit einen Stoÿparameter b 0 = i3.4 für l = 0, das rechte Bild für l = 1. Dies entspricht der Streuung an einem komplexen Kastenpotential. Die Wellenfunktion ist dann durch die sphärische Besselfunktion mit einer durch die Potentiale modizierten Wellenzahl gegeben. Man berechnet daraus den Wert der Wellenfunktion und ihrer Ableitung in einem innitesimal kleinen Abstand R i vom Ursprung und setzt diese als

29 3.4. Bestimmung der Streumatrix 25 neue Anfangsbedingungen für die zu lösende Dierentialgleichung ein. Die Wellenfunktion muss nun im Intervall von R i bis 15 fm bestimmt werden. In diesem Abschnitt hat die Schrödingergleichung jedoch keine Singularitäten mehr. Die Anfangsbedingungen sind durch u l (R i ) = R i j l ( kr i ) und u l (R i) = j l ( kr i )+ kr i j l ( kr i ) gegeben. Die Dierentialgleichung ist damit von vergleichsweise einfacher Form. Achtet man darauf, die Schrittweite für die Iterationsschritte entsprechend klein zu wählen, um die Wellenfunktion möglichst genau zu approximieren, kann die DGL leicht mit Hilfe eines Programms gelöst werden. Der Wert der Wellenfunktion am Anpassungsradius r 1 = R A und einem gering geänderten Radius r 2 = r 1 h kann nun an die Linearkombination der Coulombwellenfunktionen für diese Radien angepasst werden. Aus dem daraus folgenden Gleichungssystem u l,num (r 1 ) = A l ( Fl (γ, kr 1 ) + C l H + l (γ, kr 1 ) ) u l,num (r 2 ) = A l ( Fl (γ, kr 2 ) + C l H + l (γ, kr 2 ) ) können die C l bestimmt werden. Für ein entsprechend kleines R i ergibt das Gleichungssystem gleichwertige Ergebnisse wie das Anpassen der Wellenfunktion und ihrer Ableitung an der Stelle r = 15 fm. Um die Wirkungsquerschnitte zu berechnen, müssen die S-Matrixelemente für alle beitragenden Drehimpulsquantenzahlen berechnet werden. Daher ist es nötig, die gesamte Prozedur für alle l < l max zu wiederholen, wobei C lmax < ε gelten muss. ε ist eine vorgegebene innitesimale untere Schranke. Aus den gewonnenen Elementen können dann der totale elastische, der totale inelastische und der dierentielle elastische Wirkungsquerschnitt berechnet werden. Im Rahmen der Bachelorarbeit wurde ein Mathematica-Programm erstellt, das die S- Matrixelementen für ein gegebenes Potential berechnet und daraus den elastischen und den Reaktionswirkungsquerschnitt bestimmt. Die Funktionsweise beruht auf dem oben vorgestellten Prinzip. Alle in der Arbeit angegebenen Wirkungsquerschnitte wurden mit diesem Programm erstellt. Es ist in Appendix C abgebildet und beschrieben.