f konvergiert bei Annäherung an a gegen c, oder f hat bei a den Grenzwert (Limes) c, in Zeichen: f x = c,

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1 6. Konvergenz Wir betrachten eine Funktion f von einer Teilmenge A (Definitionsbereich) des R n in eine Teilmenge B (Zielbereich) des R m. Weiter sei a ein Punkt im Abschluß von A sowie c ein Punkt aus R m. Im eindimensionalen Fall lassen wir auch die Werte KN und N für a bzw. c zu. f konvergiert bei Annäherung an a gegen c, oder f hat bei a den Grenzwert (Limes) c, in Zeichen: /a f = c, falls zu jeder Umgebung V von c eine Umgebung U von a eistiert, deren sämtliche von a verschiedenen Punkte durch f nach V abgebildet werden. Im Falle c =KN oder c =N spricht man von einem uneigentlichen Grenzwert. Dieser Konvergenzbegriff ist sprachlich relativ einfach formulierbar, aber numerisch schlecht nachzuprüfen. Im Falle endlicher Werte für a und c benutzt man meist die folgende konkretere Bedingung: Zu beliebig vorgegebener Fehlerschranke > 0 kann eine Zahl > 0 gefunden werden, so daß für von a verschiedene aus A der Funktionswert f() stets weniger als von c entfernt ist, wenn von a um weniger als abweicht: 0 < Ka! => f Kc!. Im eindimensionalen Fall besagt dies, daß für jedes zum Definitionsbereich gehörige aus den offenen Intervallen ] ak, a [ und ] a, ac [ der Funktionswert f im Intervall ] ck, cc [ liegt. Beispiel : Ein Grenzwert der Sinusfunktion Um die Gleichung /0 sin = 0 mit Hilfe der - -Definition zu verizieren, kann man für % einfach = arcsin setzen, denn! arcsin impliziert sin!.

2 c a Beachten Sie, daß bei der Definition von Grenzwerten im Punkt a nicht gefordert wird, daß a zum Definitionsbereich gehört, und selbst wenn das der Fall ist, muß der Grenzwert nicht unbedingt der Funktionswert an der Stelle a sein! Das kommt allerdings nur bei ziemlich "pathologischen Funktionen mit Sprüngen" vor. Beispiel : Die Diracsche Sprungfunktion hat bei 0 den Wert und sonst überall den Wert 0. Hier ist der Grenzwert bei Annäherung an 0 ebenfalls 0, aber der Funktionswert an dieser Stelle ist. Grenzwerte im Unendlichen Was bedeuten die Gleichungen f = c bzw. /N f = c? /KN Die erste besagt nach der Umgebungsdefinition (für unendliche Punkte), daß es zu jeder positiven Schranke ein geben muß, so daß f stets um weniger als von c abweicht, falls größer als ist (im zweiten Fall hingegen kleiner als K).

3 Entsprechend hat /N f =N die Bedeutung, daß zu jedem ein eistiert, so daß für > auch f > gilt. Man sagt hier kurz, daß f für genügend große ebenfalls beliebig groß wird. Beachten Sie, daß in diesen beiden Fällen nicht klein, sondern groß zu wählen ist! Schließlich bedeutet /a f = c im Falle c =N (bzw. c =KN), daß zu jeder Schranke ein positives eistiert, so daß f stets größer als (bzw. kleiner als K) ist, sofern um weniger als von a abweicht. Beispiel 3: Asymptoten der Hyperbel Für die Funktion gilt f = /N ( > 0) = Andererseits gilt /0 =N

4 Rechnen mit Grenzwerten Grenzwerte darf man mit allen gängigen Rechenoperationen vertauschen: Bezeichnet c*d wahlweise Summe, Differenz, Produkt oder Quotient von c und d, so folgt aus /a f = c und /a g = d stets /a f *g = c*d. Bei vektorwertigen Funktionen darf man für * sowohl das Skalarprodukt als auch das Vektorprodukt nehmen. Quotienten sind natürlich nur für eindimensionale Funktionen definiert (und auch dort nur, wenn der Nenner nicht Null wird). Der Beweis dieser Rechenregeln für Grenzwerte beruht stets auf der Dreiecksungleichung. Für Addition und Subtraktion ist er sehr einfach (versuchen Sie es!), während Multiplikation und Division schon mehr Schwierigkeiten machen. Wir demonstrieren das an Beispiel 4: Ausmessen einer Platte Inge möchte den Flächeninhalt einer rechteckigen Platte mit den Seitenlängen a und b bestimmen. Der Fehler soll dabei eine vorgegebene Schranke nicht übersteigen. Wie genau muß Inge die Seitenlängen messen, damit das Produkt y der gemessenen Längen (statt a) und y (statt b) um weniger als von dem wahren Flächeninhalt a b abweicht? Um eine Idee zu bekommen, wie das entsprechende gewählt werden kann, nehmen wir einmal an, der Meßfehler sei in beiden Fällen genau, also z.b. Dann ergibt sich also = ac, y = bc. y = a bca C bc, yka b = acbc.

5 Um diese Differenz kleiner als zu machen, muß Inge folgende Ungleichung erreichen:! acbc. Zur Absicherung aller Vorzeichenvarianten und auch des Falles a, b nahe bei 0 wählt sie = a C b C % sowie Ka! und ykb!. Dann berechnet sie durch mehrfache Anwendung der Dreiecksungleichung: yka b % yk b C bka b = ykb C Ka b % ykb C Ka b < C b % Ka C a C b < C a C b = a C b C % a C b C = nach Wahl von (aufgrund der Ausgangsüberlegung ist diese Wahl fast optimal). Läßt man z.b. höchstens ein Prozent Fehler für die Fläche einer Tischplatte mit den Seiten a = 5 und b = 80 (cm) zu, also = a b 00 = 00 (cm ), so ist mindestens mit einer Meßgenauigkeit von = 00 5C80C0 = 00 5 = zu arbeiten. Der Meßfehler sollte also unter einem halben Zentimeter liegen. Aus der Dreiecksungleichung folgert man das etwas drastisch auch "Quetsch-Lemma" titulierte Einschlußkriterium Sind f, g und h reellwertige Funktionen mit gleichem Definitionsbereich, f % g % h sowie so gilt auch /a f = c = /a h, /a g = c. Beispiel 5: Sinus und Tangens kleiner Winkel Wir beschränken uns auf den Winkelbereich zwischen 0 und. Der Bogen verhält sich zur Sektorfläche wie der Kreisumfang zur Kreisfläche, also wie :.

6 Bogenlänge des Sektors: Kleine Dreiecksfläche: R = sin cos Sektorfläche: S = Große Dreiecksfläche: T = tan = sin cos. Aus der Ungleichung R < S < T für s 0 ergibt sich nach Divison durch sin cos < < bzw. cos < sin cos tan <, bzw. tan : und wegen /0 cos = folgt hieraus auch /0 sin = /0 tan =. Das bedeutet, daß sich die Sinus- und die Tangenskurve nahe bei Null sehr ähnlich wie die Gerade y = verhalten. Genauer gesagt, ist diese ist sogar die Tangente im Nullpunkt. Das folgende Kurvenbild zeigt, wie die Gerade y = zwischen Sinus und Tangens eingeschlossen wird: tan() sin() K,5 K,0 K0,5 0 0,5,0,5 sin() K tan() K

7 Beispiel 6: Uneigentliche Grenzwerte Wir betrachten die für s 0 definierte Funktion f = sin. Aufgrund der Gleichungen /KN = 0 und = /0 sowie der Rechnung in Beispiel 5 gilt /KN sin = 0, /0 sin =. In kleineren Intervallen sieht die Funktion ganz harmlos aus:,8,4,0 0,6 K3 K K 0 3 Vergrößert man das Intervall etwas, so drängt sich die folgende Vermutung auf: 3 K3 K K 3 4 K K3 K4 K5 /N sin =KN? Entgegen erster Anschauung eistiert jedoch dieser Grenzwert überhaupt nicht! Denn es ist während sin sin = 0 für alle natürlichen Vielfachen = n von, = für = nc

8 beliebig groß wird. Der Grenzwert müßte also einerseits gleich 0, andererseits N sein, was natürlich nicht geht. Hingegen eistiert der uneigentliche Grenzwert /N Csin =N, da die Eponentialfunktion viel schneller als wächst und sin durch - nach unten beschränkt ist: - <! Csin für > K3 K K Einseitige Grenzwerte Man sagt, eine eindimensionale Funktion f konvergiert bei Annäherung von links an a gegen c, in Zeichen f = c, /ak falls zu > 0 ein > 0 mit f Kc! für alle aus dem Intervall ] ak, a [ eistiert. Entsprechend konvergiert f bei Annäherung von rechts an a gegen c, in Zeichen f = c, /ac falls zu > 0 ein > 0 mit f Kc! für alle aus dem Intervall ] a, ac [ eistiert. Es gilt also: /a f = c <=> f = c und /a K /ac f = c. Ist jedoch f = c und f = d mit cs d, /ak /ac so hat f im Punkt a keinen Grenzwert! Eine Annäherung an N ist naturgemäß nur von links, eine Annäherung an KN nur von rechts möglich. Beispiel 7: Einseitige Grenzwerte des Tangens und Arcustangens Die folgenden Konvergenzaussagen über den Tangens und seine Umkehrfunktion, der Arcustangens,

9 sind an den Graphen der Funktionen abzulesen (und auch leicht zu beweisen): tan = 0, arctan = 0, /0 /0 tan =N, K /K tan =KN, C /K tan =N, K / tan =KN, C / /KN arctan =K, /N arctan =. 3 tan arctan K4 K 0 4 arctan K K K3 Die einseitigen Grenzwerte der Hyperbel /0K /0C =KN, /KN =N, /N = 0, = 0

10 3 K3 K K 0 3 K K K3 setzen wir in den Arcustangens ein und bekommen arctan /0K =K, /KN arctan = 0, arctan /0C =, /N arctan = 0.,5,0 0,5 arctan(/) K4 K K0,5 4 arctan(/) K,0 K,5 Klappen wir schließlich durch Betragsbildung den linken Ast nach oben, so erhalten wir eine "stetig ergänzbare Funktion" (siehe 4.3): /0 arctan arctan(/) =.,5,0 0,5 arctan(/) K4 K K0,5 4 K,0 K,5

11 Konvergenz von Umkehrfunktionen Es erscheint recht plausibel, daß für eine umkehrbare Funktion f mit die durch /a f = c f = y <=> = g y gegebene Umkehrfunktion g die Beziehung y/c g y = a erfüllen muß. Das ist auch fast immer der Fall (siehe 4.3 und Beispiel 7), aber leider gibt es vereinzelte Ausnahmen. Beispiel 8: Eine seltsame selbstinverse Funktion Wir betrachten die auf dem abgeschlossenen Intervall [-,] stückweise definierte Funktion f mit f =K für =K f = KK für aus ]-,0[ f = K für aus 0,.,0 0,5 K,0 K0,5 0 0,5,0 K0,5 K,0 Diese Funktion ist zu sich selbst invers (Symmetrieachse!) Hier gilt f = 0, aber / f y eistiert nicht, da y/0 y/0k f y =K, y/0c f y =.