Lineare Approximation
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- Adolf Vogt
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1 Lineare Approximation Yasemin Hafizogullari 9. Januar 2009 Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
2 Übersicht 1 Erster Abschnitt: Lineare Approximation in beliebiger orthonormal Basis 2 Zweiter Abschnitt Erster Unterabschnitt: lin. approx. in Fourierbasis Zweiter Unterabschnitt: Funktionen von beschränkter Variation dritter Unterabschnitt: lin. Multiskalenapproximation 3 dritter Abschnitt Karhunen-loéve-approximation Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
3 Übersicht 1 Erster Abschnitt: Lineare Approximation in beliebiger orthonormal Basis 2 Zweiter Abschnitt Erster Unterabschnitt: lin. approx. in Fourierbasis Zweiter Unterabschnitt: Funktionen von beschränkter Variation dritter Unterabschnitt: lin. Multiskalenapproximation 3 dritter Abschnitt Karhunen-loéve-approximation Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
4 Lineare Approximation in beliebiger orthonormal Basis Lemma 1. Sei B = {g m } m N eine orthonormale Basis eines Hilbertraums H. Dann lässt sich f H linear approximieren durch Für den Approximationsfehler gilt: M 1 f M = f, g m g m. m=0. ε[m] = f f M 2 = f, g m 2 (1) m=m Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
5 Lineare Approximation in beliebiger orthonormal Basis Beweis zu Lemma 1: Jedes f H kann man mittels orthogonaler Projektion in dieser Basis darstellen f = f, g m g m m=0 Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
6 Lineare Approximation in beliebiger orthonormal Basis Beweis zu Lemma 1: Jedes f H kann man mittels orthogonaler Projektion in dieser Basis darstellen f = f, g m g m m=0 Wenn man von allen Skalarprodukten f, g m m N nur die ersten M nimmt, erhält man die folgende Approximation: M 1 f M = f, g m g m, m=0 Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
7 Lineare Approximation in beliebiger orthonormal Basis Beweis zu Lemma 1: Jedes f H kann man mittels orthogonaler Projektion in dieser Basis darstellen f = f, g m g m m=0 Wenn man von allen Skalarprodukten f, g m m N nur die ersten M nimmt, erhält man die folgende Approximation: M 1 f M = f, g m g m, m=0 Es gilt: f f m = f, g m g m m=m Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
8 Lineare Approximation in beliebiger orthonormal Basis Der Approximationsfehler ist für b m = f, g m Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
9 Lineare Approximation in beliebiger orthonormal Basis Der Approximationsfehler ist für b m = f, g m ε[m] = f f M 2 Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
10 Lineare Approximation in beliebiger orthonormal Basis Der Approximationsfehler ist für b m = f, g m ε[m] = f f M 2 = b m g m, b m g m m=m m=m Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
11 Lineare Approximation in beliebiger orthonormal Basis Der Approximationsfehler ist für b m = f, g m ε[m] = f f M 2 = lin. Skalarprod. = m=m b m g m, [ b m g m, m=m m=m m=m b m g m b m g m ] Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
12 Lineare Approximation in beliebiger orthonormal Basis Der Approximationsfehler ist für b m = f, g m ε[m] = f f M 2 = lin. Skalarprod. = lin. Skalarprod. = m=m b m g m, [ b m g m, m=m m=m n=m m=m m=m b m g m b m g m ] b m b n g m, g n Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
13 Lineare Approximation in beliebiger orthonormal Basis Der Approximationsfehler ist für b m = f, g m ε[m] = f f M 2 = lin. Skalarprod. = lin. Skalarprod. = g i,g j =δ i,j = m=m b m g m, [ b m g m, m=m m=m n=m m=m m=m m=m b m g m b m g m ] b m b n g m, g n b 2 m Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
14 Lineare Approximation in beliebiger orthonormal Basis Die Tatsache, daß f 2 = f, g m 2 < impliziert, dass der Fehler m=0 ε[m] für wachsende m gegen 0 geht, d.h. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
15 Lineare Approximation in beliebiger orthonormal Basis Die Tatsache, daß f 2 = f, g m 2 < impliziert, dass der Fehler m=0 ε[m] für wachsende m gegen 0 geht, d.h. lim ε[m] = 0. M Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
16 Lineare Approximation in beliebiger orthonormal Basis Satz 1. Falls für jedes s > 1 2 A, B > 0, so dass gilt, dass m=0 m 2s f, g m 2 <, dann existieren A m 2s f, g m 2 M 2s 1 ε[m] B m 2s f, g m 2 (2) m=0 M=0 m=0 und es gilt ε[m] = o(m 2s ). Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
17 Lineare Approximation in beliebiger orthonormal Basis Der Satz 1 zeigt, dass der Fehler der linearen Approximation von f W B,s dargestellt mit: { } W B,s = f H m 2s f, g m 2 < schneller fällt als M 2s. m=0 Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
18 lin. Approx. versus nicht lin. Approx. Beispiele (1.) Wir betrachten nun die Funktion x 1 3 x < (x 1 f : [0, 1] R, x 4 ) x < x < 3 4 sin(6πx) x 1 die mittels Haar-Wavelet approximiert werden soll. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
19 lin. Approx. versus nich lin. Approx x Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
20 lin. Approx. versus nicht lin. Approx. Das Haar-Wavelet ist definiert durch die Skalierungsfunktion { 1 für 0 x < 1 φ(x) = 0 sonst Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
21 lin. Approx. versus nicht lin. Approx. Das Haar-Wavelet ist definiert durch die Skalierungsfunktion { 1 für 0 x < 1 φ(x) = 0 sonst und das eigentliche Wavelet 1 für 0 x < 1 2 ψ(x) = φ(2x) φ(2x 1) = 1 für 1 2 x < 1 0 sonst Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
22 lin. Approx. versus nicht lin. Approx. Das Haar-Wavelet ist definiert durch die Skalierungsfunktion { 1 für 0 x < 1 φ(x) = 0 sonst und das eigentliche Wavelet 1 für 0 x < 1 2 ψ(x) = φ(2x) φ(2x 1) = 1 für 1 2 x < 1 0 sonst ψ j,k (x) := 2 1 j ψ(2 j x k) Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
23 lin. approx. versus nicht lin. approx Abbildung: Haar-Wavelet: Links φ und rechts ψ Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
24 lin. approx. versus nicht lin. approx. Die lineare Approximation f I bis zum Level I (also M = 2 I +1 Koeffizienten) sieht wie folgt aus f I = 0 2 j 1 f, ψ j,k ψ j,k = j=i k=0 0 j=i 2 j 1 k=0 ( 1 ) f (t) ψ j,k (t)dt ψ j,k 0 Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
25 lin. approx. versus nicht lin. approx. Für die nichtlineare Approximation benötigen wir die M größten Koeffizienten von unendlich vielen. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
26 lin. approx. versus nicht lin. approx. Für die nichtlineare Approximation benötigen wir die M größten Koeffizienten von unendlich vielen. Wenn f I die lineare Approximation mit allen Wavelets bis zum Level I ist ( < I < 0), gilt für die Waveletkoeffizienten f, ψ j,k mit j < I die Ungleichung f, ψ j,k 2 f, ψ i,k 2 = f f I 2 L 2 ([0,1]) i<i,k Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
27 lin. approx. versus nicht lin. approx. Ergebnis: In diesem Beispiel haben wir I = 10 gewählt. Wenn man nun diese Methode anwendet, dann bleiben M = 32 Koeffizienten übrig. Die Fehler der Approximationen sind dann: linearer Approximationsfehler: ε = nichtlinearer Approximationsfehler: ε = Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
28 lin. approx. versus nicht lin. approx x Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
29 lin. approx. versus nicht lin. approx. Beispiele (2.) Wir werden nun die lineare mit der nichtlinearen Approximation vergleichen. Dazu wählen wir eine Funktion im Intervall I := [0, 1]. Diese Funktion soll nun mit N stückweisen Konstanten angenähert werden. Wir verwenden für den Fehler die die L -Norm. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
30 lin. approx. versus nicht lin. approx. lineare approximation: Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
31 lin. approx. versus nicht lin. approx. lineare approximation: für f gelte f L Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
32 lin. approx. versus nicht lin. approx. lineare approximation: für f gelte f L wähle äquidistante Stützstellen Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
33 lin. approx. versus nicht lin. approx. lineare approximation: für f gelte f L wähle äquidistante Stützstellen definieren die einzelnen Teilintervalle durch I i := [i, i + 1 N ], i {0, 1, 2,..., N 1}. Zu jedem x I i existiert ein ξ I i, so dass gilt: ( ) ( i f (x) f = x i ) f (ξ) N N Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
34 lin. approx. versus nicht lin. approx. lineare approximation: für f gelte f L wähle äquidistante Stützstellen definieren die einzelnen Teilintervalle durch I i := [i, i + 1 N ], i {0, 1, 2,..., N 1}. Zu jedem x I i existiert ein ξ I i, so dass gilt: ( ) ( i f (x) f = x i ) f (ξ) N N Damit gilt dann folgende Ungleichung: inf c R f c L (I i ) ( ) i f f N L (I i ) 1 N f L (I i ) Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
35 lin. approx. versus nicht lin. approx. lineare approximation: für f gelte f L wähle äquidistante Stützstellen definieren die einzelnen Teilintervalle durch I i := [i, i + 1 N ], i {0, 1, 2,..., N 1}. Zu jedem x I i existiert ein ξ I i, so dass gilt: ( ) ( i f (x) f = x i ) f (ξ) N N Damit gilt dann folgende Ungleichung:. inf c R f c L (I i ) ( ) i f f N L (I i ) 1 N f L (I i ) S := {g Funktion g(x) = c i falls x I i } Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
36 lin. approx. versus nicht lin. approx. lineare approximation: für f gelte f L wähle äquidistante Stützstellen definieren die einzelnen Teilintervalle durch I i := [i, i + 1 N ], i {0, 1, 2,..., N 1}. Zu jedem x I i existiert ein ξ I i, so dass gilt: ( ) ( i f (x) f = x i ) f (ξ) N N Damit gilt dann folgende Ungleichung:. inf c R f c L (I i ) Also gilt für den Fehler ( ) i f f N L (I i ) 1 N f L (I i ) S := {g Funktion g(x) = c i falls x I i } ε = inf g S f g L (I ) 1 N f L (I ) Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
37 lin. approx. versus nicht lin. approx. Nichtlineare Approximation: Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
38 lin. approx. versus nicht lin. approx. Nichtlineare Approximation: für f gelte f L 1 L Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
39 lin. approx. versus nicht lin. approx. Nichtlineare Approximation: für f gelte f L 1 L wähle Stützstellen x i, i {0, 1, 2,..., N 1} von f, so dass gilt: xi+1 x i f (x) dx = 1 N 1 0 f (x) dx Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
40 lin. approx. versus nicht lin. approx. Nichtlineare Approximation: für f gelte f L 1 L wähle Stützstellen x i, i {0, 1, 2,..., N 1} von f, so dass gilt: xi+1 x i f (x) dx = 1 N 1 0 f (x) dx Setze I i := [x i, x i+1 ]. Für x I i gilt dann x f (x) f (x i ) = f xi+1 (x)dx f (x) dx 1 N x i x i 1 0 f (x) dx Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
41 lin. approx. versus nicht lin. approx. Nichtlineare Approximation: für f gelte f L 1 L wähle Stützstellen x i, i {0, 1, 2,..., N 1} von f, so dass gilt: xi+1 x i f (x) dx = 1 N 1 0 f (x) dx Setze I i := [x i, x i+1 ]. Für x I i gilt dann x f (x) f (x i ) = f xi+1 (x)dx f (x) dx 1 N x i Definiere S analog zu oben. Es ergibt sich für den Fehler ε = inf g S f g L (I ) 1 N x i f (x) dx 1 N f L (I ) }{{} R { } 0 f (x) dx Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
42 Bedeutung der Glattheit einer Funktion Satz (2.) Seien x 0,..., x n paarweise äquidistante Stützstellen, a := min{x 0,..., x n }, b = max{x 0,..., x n } und x R. Sei I := [min{a, x}, max{b, x}]. Für f C n+1 (I ) existiert ζ I so dass f (x) P(f x 0..., x n )(x) = (x x 0 )... (x x n ) f n+1 (ζ) (n + 1)! gilt. Insbesondere gilt n max f (x) P(f x 0,..., x n )(x) max x [a,b] x [a,b] j=0 (x x j ) }{{} =h max x [a,b] f n+1 (x) (n + 1)! Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
43 Übersicht 1 Erster Abschnitt: Lineare Approximation in beliebiger orthonormal Basis 2 Zweiter Abschnitt Erster Unterabschnitt: lin. approx. in Fourierbasis Zweiter Unterabschnitt: Funktionen von beschränkter Variation dritter Unterabschnitt: lin. Multiskalenapproximation 3 dritter Abschnitt Karhunen-loéve-approximation Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
44 lin. Approx. in Fourierbasis Der Approximationsfehler steht im Zusammenhang mit der Sobolew Differenzierbarkeit. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
45 lin. Approx. in Fourierbasis Der Approximationsfehler steht im Zusammenhang mit der Sobolew Differenzierbarkeit. Der Satz von Plancherel beweist das falls: gilt das f L 2 (R). w 2 ˆf (w) 2 dw = 2π f (t) 2 dt < Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
46 lin. Approx. in Fourierbasis Der Approximationsfehler steht im Zusammenhang mit der Sobolew Differenzierbarkeit. Der Satz von Plancherel beweist das falls: gilt das f L 2 (R). Definition 1. w 2 ˆf (w) 2 dw = 2π f (t) 2 dt < (Differenzierbarkeit im Sinne von Sobolew) Wir sagen f L 2 (R) ist differenzierbar im Sinne von Sobolew, wenn gilt. w 2 ˆf (w) 2 dw < Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
47 lin. Approx. in Fourierbasis Für s N kann man den Raum H s = {f L 2 (R) f (s) L 2 (R)} definieren. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
48 lin. Approx. in Fourierbasis Für s N kann man den Raum H s = {f L 2 (R) f (s) L 2 (R)} definieren. Es gilt ˆf s (k) = (iw) sˆf, und außerdem gilt: f (s) 2 = m= f (u) (s), e i2πmu e i2πmk Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
49 lin. Approx. in Fourierbasis Für s N kann man den Raum H s = {f L 2 (R) f (s) L 2 (R)} definieren. Es gilt ˆf s (k) = (iw) sˆf, und außerdem gilt: f (s) 2 = analog Lemma(1) = m= m= f (u) (s), e i2πmu e i2πmk ˆf (s) (m) 2 Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
50 lin. Approx. in Fourierbasis Für s N kann man den Raum H s = {f L 2 (R) f (s) L 2 (R)} definieren. Es gilt ˆf s (k) = (iw) sˆf, und außerdem gilt: f (s) 2 = analog Lemma(1) = = <. m= m= m= f (u) (s), e i2πmu e i2πmk ˆf (s) (m) 2 m 2s ˆf (m) 2 Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
51 lin. Approx. in Fourierbasis Für s N kann man den Raum H s = {f L 2 (R) f (s) L 2 (R)} definieren. Es gilt ˆf s (k) = (iw) sˆf, und außerdem gilt: f (s) 2 = analog Lemma(1) = = <. m= m= m= f (u) (s), e i2πmu e i2πmk ˆf (s) (m) 2 m 2s ˆf (m) 2 Das motiviert uns die Räume W s (R), W s ([0, 1]) zu definieren. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
52 lin. Approx. in Fourierbasis Definition 2.(W s (R) und W s ([0, 1])) Der Raum W s (R) mit s R, ist definiert durch: { } W s (R) = f L 2 (R) w 2s ˆf (w) 2 dw < Wobei nun per Definition für f W s (R) gilt: m= m 2s f (u), e i2πmu 2 }{{} =ˆf (m) < Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
53 lin. Approx. in Fourierbasis Definition 2.(W s (R) und W s ([0, 1])) Der Raum W s (R) mit s R, ist definiert durch: { } W s (R) = f L 2 (R) w 2s ˆf (w) 2 dw < Wobei nun per Definition für f W s (R) gilt: m= m 2s f (u), e i2πmu 2 }{{} Den Raum W s ([0, 1]) definieren durch: =ˆf (m) < W s ([0, 1]) = {f L 2 [0, 1] f s L 2 [0, 1] und f ist außerhalb von [0, 1] fortseztbar durch f W s (R)} Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
54 lin. Approx. in Fourierbasis Lemma 2. (Fourier-Approximation) Jedes f L 2 [0, 1] lässt sich linear approximieren durch f M = f (u), e i2πmu e i2πmt. m M 2 mit 1 f (u), e i2πmu = f (u) e i2πmu du 0 Der Approximationsfehler ist dann ε[m] = f (u), e i2πmu 2 m > M 2 Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
55 lin. Approx. in Fourierbasis Satz 3. Sei f L 2 [0, 1] eine Funktion, dessen Träger in (0, 1) liegt und sei s R s > 1 2. Dann gilt: f W s [0, 1] M=1 M 2 s ε[m] M < was impliziert, dass ε[m] = o(m 2s ) Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
56 Funktionen von beschränkter Variation Definition 3. Man kann die totale Variation mit Hilfe von Zerlegungen definieren: Die totale Variation einer reellwertigen Funktion f : [a, b] R ist dann: V (f ) := sup N f (x i ) f (x i 1 ), i=1 wobei dieses Supremum über alle Zerlegungen des Intervalls [a, b] gebildet wird, so daß a x 0 < x 1 < x n b. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
57 Funktionen von beschränkter Variation Definition 3. Man kann die totale Variation mit Hilfe von Zerlegungen definieren: Die totale Variation einer reellwertigen Funktion f : [a, b] R ist dann: V (f ) := sup N f (x i ) f (x i 1 ), i=1 wobei dieses Supremum über alle Zerlegungen des Intervalls [a, b] gebildet wird, so daß a x 0 < x 1 < x n b. Man kann die Variation für differenzierbare Funktionen auch anders definieren: V (f ) := f (u)du Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
58 Funktionen von beschränkter Variation Definition 3. Wenn f nicht differenzierbar ist so kann man die Variation wie folgt definieren: f (t) f (t h) V (f ) := lim dt h 0 h Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
59 Funktionen von beschränkter Variation Definition 3. Wenn f nicht differenzierbar ist so kann man die Variation wie folgt definieren: f (t) f (t h) V (f ) := lim dt h 0 h Wir sagen f ist von beschränkter Variation wenn gilt: Wir schreiben f BV [a, b] f V := V (f ) < Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
60 Funktionen von beschränkter Variation Bemerkung 1. Eigenschaften von Funktionen aus f BV [a, b]: Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
61 Funktionen von beschränkter Variation Bemerkung 1. Eigenschaften von Funktionen aus f BV [a, b]: Es sei f BV [a, b]. Dann hat f höchstens abzählbare viele Sprungstellen und keine weiteren Unstetigkeitsstellen. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
62 Funktionen von beschränkter Variation Bemerkung 1. Eigenschaften von Funktionen aus f BV [a, b]: Es sei f BV [a, b]. Dann hat f höchstens abzählbare viele Sprungstellen und keine weiteren Unstetigkeitsstellen. f BV [a, b] ex. monotone Fkt f 1, f 2 : [a, b] R so daß f (x) = f 1 (x) f 2 (x) x [a, b] Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
63 Funktionen von beschränkter Variation Bemerkung 1. Eigenschaften von Funktionen aus f BV [a, b]: Es sei f BV [a, b]. Dann hat f höchstens abzählbare viele Sprungstellen und keine weiteren Unstetigkeitsstellen. f BV [a, b] ex. monotone Fkt f 1, f 2 : [a, b] R so daß f (x) = f 1 (x) f 2 (x) x [a, b] f BV [a, b]. Dann ist f fast überall auf [a, b] differenzierbar, und es ist f (x) < fast überall auf [a, b]. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
64 Funktionen von beschränkter Variation Beispiele (3.) y = sin( 1 x ) in der Nähe von 0 ist von unbeschränkter Variation. Für x 0 geht 1 x immer schneller gegen der Sinus von diesem Wert, wird also unendlich viele Schwingungen durchlaufen. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
65 Funktionen von beschränkter Variation Beispiele (3.) y = sin( 1 x ) in der Nähe von 0 ist von unbeschränkter Variation. Für x 0 geht 1 x immer schneller gegen der Sinus von diesem Wert, wird also unendlich viele Schwingungen durchlaufen. Andereseits ist von beschränkter Variation: { 0 wenn x = 0 g(x) = x 2 sin( 1 x ) sonst Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
66 Funktionen von beschränkter Variation Abbildung: Beispielfunktionen für unbeschränkte und beschränkte Variation. Links unbeschränkt: g(x) = 0 wenn x = 0, g(x) = x 2 sin( 1 x ) sonst. Rechts beschränkt: x sin( 1 x ) Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
67 Funktionen von beschränkter Variation Beispiele (3.) χ [0, 1 ] ist ebenfalls von beschränkter Variation Abbildung: χ [0, 1 2 ] Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
68 Funktionen von beschränkter Variation Satz 4. Wenn f V <, f diffbar. und supp(f ) (0, 1), dann gilt ε[m] = O( f 2 V M 1 ). Für f = Cχ [0, 1 2 ], gilt ε[m] f 2 V M 1. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
69 lin. Multiskalenapproximation Betrachte Wavelet-Orthonormalbasis des L 2 [0, 1] mit gröbster Skalierung von 2 J < 1: [{φ J,n } 0 n<2 J, {ψ j,n } <j J,0 n<2 j ] Setze voraus, daß die Wavelets ψ j,n C q sind mit q verschwindende Momente. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
70 lin. Multiskalenapproximation Betrachte Wavelet-Orthonormalbasis des L 2 [0, 1] mit gröbster Skalierung von 2 J < 1: [{φ J,n } 0 n<2 J, {ψ j,n } <j J,0 n<2 j ] Setze voraus, daß die Wavelets ψ j,n C q sind mit q verschwindende Momente. Lemma 3. Jedes f L 2 [0, 1] lässt sich linear approximieren durch f M = P Vl f = J j=l+1 f, ψ j,n ψ j,n + 2 j 1 n=0 Der Approximationsfehler ist dann: ε[m] = f f M 2 = l j= 2 j 1 n=0 2 J 1 n=0 f, φ J,n φ J,n f, ψ j,n 2 Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
71 lin. Multiskalenapproximation Satz 5. Sei 0 < s < q ein Sobolew Exponent und f L 2 [0, 1]. Dann gilt: f W s [0, 1] J j= 2 j 1 n=0 2 2sj f, ψ j,n 2 < Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
72 lin. Multiskalenapproximation Um das Ganze zu vereinfachen nehmen wir an das supp(f ) (0, 1). Wenn wir f außerhalb von [0, 1] durch 0 erweitern, dann ist f W s (R), was bedeutet, dass: w 2s ˆf (w) 2 dw < Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
73 lin. Multiskalenapproximation Um das Ganze zu vereinfachen nehmen wir an das supp(f ) (0, 1). Wenn wir f außerhalb von [0, 1] durch 0 erweitern, dann ist f W s (R), was bedeutet, dass: w 2s ˆf (w) 2 dw < Der niedrigfrequente Anteil dieses Integrals ist immer noch endlich, weil f L 2 (R): w 2s ˆf (w) 2 dw w 2 J π Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
74 lin. Multiskalenapproximation Um das Ganze zu vereinfachen nehmen wir an das supp(f ) (0, 1). Wenn wir f außerhalb von [0, 1] durch 0 erweitern, dann ist f W s (R), was bedeutet, dass: w 2s ˆf (w) 2 dw < Der niedrigfrequente Anteil dieses Integrals ist immer noch endlich, weil f L 2 (R): w 2s ˆf (w) 2 dw 2 2sJ π 2s ˆf (w) 2 dw w 2 J π w 2 J π Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
75 lin. Multiskalenapproximation Um das Ganze zu vereinfachen nehmen wir an das supp(f ) (0, 1). Wenn wir f außerhalb von [0, 1] durch 0 erweitern, dann ist f W s (R), was bedeutet, dass: w 2s ˆf (w) 2 dw < Der niedrigfrequente Anteil dieses Integrals ist immer noch endlich, weil f L 2 (R): w 2s ˆf (w) 2 dw 2 2sJ π 2s ˆf (w) 2 dw w 2 J π 2 2sJ π 2s w 2 J π R ˆf (w) 2 dw Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
76 lin. Multiskalenapproximation Um das Ganze zu vereinfachen nehmen wir an das supp(f ) (0, 1). Wenn wir f außerhalb von [0, 1] durch 0 erweitern, dann ist f W s (R), was bedeutet, dass: w 2s ˆf (w) 2 dw < Der niedrigfrequente Anteil dieses Integrals ist immer noch endlich, weil f L 2 (R): w 2s ˆf (w) 2 dw 2 2sJ π 2s ˆf (w) 2 dw w 2 J π 2 2sJ π 2s w 2 J π R ˆf (w) 2 dw Plancherel = 2 2sJ π 2s f 2 Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
77 lin. Multiskalenapproximation Um das Ganze zu vereinfachen nehmen wir an das supp(f ) (0, 1). Wenn wir f außerhalb von [0, 1] durch 0 erweitern, dann ist f W s (R), was bedeutet, dass: w 2s ˆf (w) 2 dw < Der niedrigfrequente Anteil dieses Integrals ist immer noch endlich, weil f L 2 (R): w 2s ˆf (w) 2 dw 2 2sJ π 2s ˆf (w) 2 dw w 2 J π 2 2sJ π 2s w 2 J π R ˆf (w) 2 dw Plancherel = 2 2sJ π 2s f 2 Die Energie von ˆψ j,n ist im Intervall [ 2 j 2π, 2 j π] [2 j π, 2 j 2π] konzentriert. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
78 lin. Multiskalenapproximation Als Konsequenz daraus folgt: 2 j 1 n=0 f, ψ j,n 2 2 j π w 2 j+i π ˆf (w) 2 dw, Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
79 lin. Multiskalenapproximation Als Konsequenz daraus folgt: 2 j 1 n=0 f, ψ j,n 2 2 j π w 2 j+i π In diesem Intervall gilt zudem w 2 j, und damit 2 j 1 n=0 2 2sj f, ψ j,n 2 2 j π w 2 j+1 π ˆf (w) 2 dw, w 2s ˆf (w) 2 dw. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
80 lin. Multiskalenapproximation Als Konsequenz daraus folgt: 2 j 1 n=0 f, ψ j,n 2 2 j π w 2 j+i π In diesem Intervall gilt zudem w 2 j, und damit 2 j 1 n=0 Es folgt, dass J j= 2 2sj f, ψ j,n 2 2 j 1 n=0 2 2sj f, ψ j,n 2 was erklärt warum die Behauptung gilt. 2 j π w 2 j+1 π w 2 J π ˆf (w) 2 dw, w 2s ˆf (w) 2 dw. w 2s ˆf (w) 2 dw, Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
81 lin. Multiskalenapproximation Satz5. Sei 1/2 < s < q ein Sobolew Exponent, f L 2 [0, 1]. Dann gilt: f W s [0, 1] m 2s f, g m 2 < m=0 Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
82 lin. Multiskalenapproximation Satz5. Sei 1/2 < s < q ein Sobolew Exponent, f L 2 [0, 1]. Dann gilt: f W s [0, 1] m 2s f, g m 2 < m=0 und f W s [0, 1] was impliziert, das ε[m] = o(m 2s ) M=1 2s ε[m] M M < Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
83 Übersicht 1 Erster Abschnitt: Lineare Approximation in beliebiger orthonormal Basis 2 Zweiter Abschnitt Erster Unterabschnitt: lin. approx. in Fourierbasis Zweiter Unterabschnitt: Funktionen von beschränkter Variation dritter Unterabschnitt: lin. Multiskalenapproximation 3 dritter Abschnitt Karhunen-loéve-approximation Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
84 Karhunen-loéve-approximation Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
85 Karhunen-loéve-approximation Man kann eine Klasse von Signalen als Zufallsvektoren modelieren. Finite diskrete Signale f werden dabei von einem Zufallsvektor F [n] der Größe N dargestellt. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
86 Karhunen-loéve-approximation Man kann eine Klasse von Signalen als Zufallsvektoren modelieren. Finite diskrete Signale f werden dabei von einem Zufallsvektor F [n] der Größe N dargestellt. Wir werden zeigen, dass die Basis, die den statistischen Fehler bei linearer Approximation minimiert, die Karhunen-Loève-Basis ist. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
87 Karhunen-loéve-approximation Man kann eine Klasse von Signalen als Zufallsvektoren modelieren. Finite diskrete Signale f werden dabei von einem Zufallsvektor F [n] der Größe N dargestellt. Wir werden zeigen, dass die Basis, die den statistischen Fehler bei linearer Approximation minimiert, die Karhunen-Loève-Basis ist. Definition 4. Ist X eine diskrete Zufallsvariable, die die Werte x 1, x 2... mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten p 1, p 2... animmt, errechnet sich der Erwartungswert E(X ) durch: E(X ) := i x i p i = i x i P(X = x i ) Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
88 Karhunen-loéve-approximation Definition 5. Sei E{X } der Erwartungswert einer Zufallsvariable X. Die Kovarianz zweier Zufallsvariablen X 1 und X 2 ist defniniert durch: Cov(X 1, X 2 ) = E{(X 1 E{X 1 })(X 2 E{X 2 }) }. Die Kovarianz-Matrix R eines Zufallsvektors Y ist definiert durch die N 2 Kovarianzwerte: R[n, m] := Cov(Y [n]y [m]) n, m {1, 2,..., N} Dadurch ist der Kovarianzoperator definiert, der jeden Vektor h[n] transformiert: Kh[n] := N 1 m=0 R[n, m]h[m] Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
89 Karhunen-loéve-approximation Satz 7. Für den Kovarianzoperator K und einem Zufallsvektor F [n], dessen Erwartungswert 0 ist und einem Vektor x[n] gilt: Beweis: E{ F, x 2 } = Kx, x Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
90 Karhunen-loéve-approximation Satz 7. Für den Kovarianzoperator K und einem Zufallsvektor F [n], dessen Erwartungswert 0 ist und einem Vektor x[n] gilt: E{ F, x 2 } = Kx, x Beweis: Die Kovarianzmatrix eines Zufallsvektors F [n] ist definiert durch die N 2 Kovarianzwerte R[n, m] = Cov(F [n]f [m]). Da E{F [n]} = 0, erhalten wir für die Kovarianzwerte: E{ F, x 2 } R[n, m] = E{F [n]f [m]} (3) Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
91 Karhunen-loéve-approximation Satz 7. Für den Kovarianzoperator K und einem Zufallsvektor F [n], dessen Erwartungswert 0 ist und einem Vektor x[n] gilt: E{ F, x 2 } = Kx, x Beweis: Die Kovarianzmatrix eines Zufallsvektors F [n] ist definiert durch die N 2 Kovarianzwerte R[n, m] = Cov(F [n]f [m]). Da E{F [n]} = 0, erhalten wir für die Kovarianzwerte: R[n, m] = E{F [n]f [m]} (3) E{ F, x 2 } = E{ F, x F, x } Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
92 Karhunen-loéve-approximation Satz 7. Für den Kovarianzoperator K und einem Zufallsvektor F [n], dessen Erwartungswert 0 ist und einem Vektor x[n] gilt: E{ F, x 2 } = Kx, x Beweis: Die Kovarianzmatrix eines Zufallsvektors F [n] ist definiert durch die N 2 Kovarianzwerte R[n, m] = Cov(F [n]f [m]). Da E{F [n]} = 0, erhalten wir für die Kovarianzwerte: R[n, m] = E{F [n]f [m]} (3) E{ F, x 2 } = E{ F, x F, x } { N 1 = E F [n]x [n] n=0 ( N 1 n=0 F [n]x [n] ) } Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
93 Karhunen-loéve-approximation Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
94 Karhunen-loéve-approximation = E { N 1 n=0 F [n]x [n] N 1 m=0 F [m]x[m] } Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
95 Karhunen-loéve-approximation = E = E { N 1 n=0 { N 1 F [n]x [n] N 1 n=0 m=0 N 1 m=0 F [m]x[m] F [n]f [m]x [n]x[m] } } Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
96 Karhunen-loéve-approximation = E = E Erwartung lin. = { N 1 n=0 { N 1 F [n]x [n] N 1 n=0 m=0 N 1 N 1 n=0 m=0 N 1 m=0 F [m]x[m] F [n]f [m]x [n]x[m] E{F [n]f [m]}x [n]x[m] } } Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
97 Karhunen-loéve-approximation = E = E Erwartung lin. = (3) = { N 1 n=0 { N 1 F [n]x [n] N 1 n=0 m=0 N 1 N 1 n=0 m=0 N 1 N 1 n=0 m=0 N 1 m=0 F [m]x[m] F [n]f [m]x [n]x[m] E{F [n]f [m]}x [n]x[m] R[n, m]x[m]x [n] } } Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
98 Karhunen-loéve-approximation = E = E Erwartung lin. = (3) = { N 1 n=0 { N 1 F [n]x [n] N 1 n=0 m=0 N 1 N 1 n=0 m=0 N 1 N 1 n=0 m=0 = Kx, x. N 1 m=0 F [m]x[m] F [n]f [m]x [n]x[m] E{F [n]f [m]}x [n]x[m] R[n, m]x[m]x [n] } } Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
99 Karhunen-loéve-approximation Satz 8.(Karhunen-Loève Basis) Es existiert eine orthonormale Basis {g k } 0 k<n, welche den Kovarianzoperator K diagonalisiert: Kg k = σ 2 k g k. Diese Basis heißt Karhunen-Loève Basis von Y, wobei die Erwartungswerte der Y [n] 0 sein müssen. Die Vektoren g k sind die Eigenvektoren und die Eigenwerte sind die Varianzen: σ 2 k = Kg k, g k = E{ Y, g k 2 } Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
100 Karhunen-loéve-approximation Lemma 4. Sei {g m } 0 m<n eine Orthonormalbasis. Jeder Zufallsvektor F lässt sich dann linear approximieren durch N 1 F, g m g m, m=0 wobei E{F [n]} = 0 sein müssen. (Bemerkung: Wenn sie nicht 0 sind, dann den Erwartungswert von F subtrahieren. Dieser ist dann ein Vektor.) Der statistische Gesamtfehler ist dann: ε[m] = N 1 m=m E{ F, g m 2 } = N 1 m=m Kg m, g m Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
101 Karhunen-loéve-approximation Satz 9. Sei K ein Kovarianzoperator und 1 M < N. Dann ist der Approximationsfehler: ε[m] = N 1 m=m Kg m, g m. ε[m] ist genau dann für alle M minimal, wenn {g m } 0 m<n eine Karhunen-Loève Basis ist, deren Vektoren durch absteigende Eigenwerte angeordnet sind: Kg m, g m Kg m+1, g m+1 0 m < N 1 Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
102 Karhunen-loéve-approximation Man kann F als eine Punktwolke vorstellen. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
103 Karhunen-loéve-approximation Man kann F als eine Punktwolke vorstellen. Die Dichte der Wolke sagt etwas über die Wahrscheinlichkeitsverteilung von F aus. Die Eigenvektoren g m geben die Richtung der Achsen der Wolke an. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
104 Karhunen-loéve-approximation Man kann F als eine Punktwolke vorstellen. Die Dichte der Wolke sagt etwas über die Wahrscheinlichkeitsverteilung von F aus. Die Eigenvektoren g m geben die Richtung der Achsen der Wolke an. Großen Eigenwerte bedeuten das die Wolke in Richtung des zugehörigen Eigenvektors stark ausgedehnt ist. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
105 Karhunen-loéve-approximation Man kann F als eine Punktwolke vorstellen. Die Dichte der Wolke sagt etwas über die Wahrscheinlichkeitsverteilung von F aus. Die Eigenvektoren g m geben die Richtung der Achsen der Wolke an. Großen Eigenwerte bedeuten das die Wolke in Richtung des zugehörigen Eigenvektors stark ausgedehnt ist. Die Karhunen-loéve approxiamtion, dreht und spiegelt die Achsen eines System in Richtung seiner minimalen Varianz. Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
106 Karhunen-loéve-approximation Satz 10 (Singulärwertzerlegung) Zu jeder Matrix A R n m existieren orthogonale Matrizen U R m m, V R n n und eine Diagonalmatrix Σ := diag(σ 1,..., σ p ) R m n, p = min{m, n} mit so daß σ 1 σ 2... σ p 0, U T AV = Σ Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
107 Karhunen-loéve-approximation Satz 10 (Singulärwertzerlegung) Zu jeder Matrix A R n m existieren orthogonale Matrizen U R m m, V R n n und eine Diagonalmatrix Σ := diag(σ 1,..., σ p ) R m n, p = min{m, n} mit so daß σ 1 σ 2... σ p 0, U T AV = Σ Das Bild der Euklidischen Einheitskugel in R n unter der Abbildung A R mxn hat die Form {Ax x 2 = 1} = {UΣV t x x 2 = 1} = U({Σy y 2 = 1}) Yasemin Hafizogullari () Lineare Approximation 9. Januar / 49
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