Schwingungen und Wellen Kurztheorie

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1 Schwingungen und Wellen Kurztheorie 1 Frequenz und Periode Bei periodischen, also sich immer gleich wiederholenden Vorgängen lässt sich ganz anschaulich die Zeitspanne angeben, die von einer bis zur nächsten Wiederholung vergeht. Diese Zeitspanne nennt man Periode T. Umgekehrt kann man aber auch angeben, wie viele Wiederholungen in einer bestimmten Zeitspanne stattfinden. Diese Angabe nennt man Frequenz f. Zwischen Periode und Frequenz gibt es stets eine einfache mathematische Beziehung: Die Frequenz f ist der Kehrwert der Periode T und umgekehrt: f = 1 T resp. T = 1 f (1) SI-Einheit der Frequenz: 1Hertz = 1Hz := 1 s, lies: Schwingungen pro Sekunde. Verdeutlichung: Dauert eine einzelne Schwingung T = 0.5 s, so finden pro Sekunde zwei ganze solche Schwingungen statt. Die Frequenz beträgt also f = 1 T = 1 0.5s = 2Hz. Radiosignal: f = 102.8MHz (Megahertz) T = 1 f = 9.728ns (Nanosekunden). 2 Die ungedämpfte Schwingung eines Federpendels Lenkt man ein Federpendel aus der Ruhelage aus und lässt dann los, so wird es eine Schwingung ausführen auf und ab. Diese Bewegung verläuft quasi reibungsfrei, solange man nicht allzu lange Zeiträume betrachtet. Wir sprechen von einer ungedämpften Schwingung. Mathematisch wird die Schwingung beschrieben durch: ( ) 2π h(t) = A sin T t = A sin(2πf t) mit f = 1 (2) T h(t) = Aktuelle Höhe des Pendels zur Zeit t A = Amplitude = Maximalausschlag des Pendels T = Periode = Dauer einer einzelnen Schwingung f = Frequenz = Anzahl Schwingungen pro Zeitspanne [h] = m [A] = m [T ] = s [f ] = 1 s =: 1Hz Die Schwingungsfunktion h(t) gibt die Höhe des Pendels zum Zeitpunkt t, gemessen von der Ruhelage aus. Da die Schwingung sehr genau einer reinen Sinuskurve folgt, bezeichnen wir das Federpendel als harmonischen Oszillator. Beispiel Die gezeigte Schwingung besitzt die Amplitude A = 2.5cm, die Periode T = 0.5s und die Frequenz f = 2Hz (= 2 Schwingungen pro Sekunde). 1

2 3 Resonanz das Grundphänomen der Schwingungslehre Die meisten Körper oder Systeme von Körpern besitzen selber die Möglichkeit zu schwingen. In der Regel gehört zu einer solchen Eigenschwingung eine ganz bestimmte Frequenz, die wir sinnvollerweise als Eigenfrequenz des Körpers resp. Systems bezeichnen. Je nach Art des Körpers oder Systems sind ganz unterschiedlich viele Eigenschwingungsmodi und somit auch Eigenfrequenzen möglich. Hier ein paar Beispiele: Das Federpendel ist ein System, welches selber nur mit einer einzigen Frequenz aufund abschwingen kann (vgl. Abschnitt 2). Möchte ich an dieser Frequenz etwas ändern, so muss ich schon am System selber etwas verändern. Beispielsweise könnte ich eine stärkere Spiralfeder verwenden oder mehr Masse anhängen. Die Saite eines Musikinstrumentes besitzt im Prinzip unendlich viele Eigenschwingungsmodi. Die zugehörigen Frequenzwerte sind allerdings nicht beliebig! Vielmehr sind alle Eigenfrequenzen natürliche Vielfache ein- und derselben Frequenz, die wir als Grundtonfrequenz bezeichnen (vgl. Abschnitte 4 und 5). Gebäude, Türme, Brücken und sonstige tragende Konstruktionen sollten idealerweise gar keine Eigenschwingungen resp. -frequenzen aufweisen. Umgekehrt sollten die Resonanzkörper von Musikinstrumenten über möglichst viele Eigenschwingungen und Eigenfrequenzen verfügen. Warum denn das? Genau hier kommt der Begriff Resonanz ins Spiel, den wir nun gut verstehen können. Anregung und Resonanz Versucht man einen Körper oder ein System zum Schwingen zu bringen, so sprechen wir von einer Anregung. Erfolgt diese Anregung mit einer Eigenfrequenz des Körpers oder Systems, so wird sie von diesem sehr gut aufgenommen. Wir sprechen von Resonanz. Die Eigenfrequenzen des Körpers resp. Systems sind also gleichzeitig seine Resonanzfrequenzen. Bei Anregung mit diesen Frequenzen reagiert der Körper resp. das System deutlich. Die Anregungsenergie wird als Schwingung aufgenommen und kann so lange im System erhalten bleiben. Regt man hingegen mit irgendeiner Nicht-Resonanzfrequenz an, so kann der Körper resp. das System kaum etwas damit anfangen ausser einem leichten Zittern selber wird nichts zu beobachten sein. Die Anregungsenergie verpufft sofort in Form von Wärme (Reibung). Frequenzselektion resp. Tonhöhenerzeugung bei Musikinstrumenten Wird die Saite eines Klaviers angeschlagen, so sind in diesem Anschlagen selber alle möglichen Frequenzen vorhanden. Die Saite kann aber nicht Schwingungen beliebiger Frequenzen aufnehmen. Nur die Eigenschwingungen resp. -frequenzen können auf ihr überleben. In kürzester Zeit tatsächlich bereits wenige Millisekunden nach dem Anschlagen werden auf der Saite nur noch die Resonanzschwingungen, also die angeregten Eigenschwingungen zu beobachten sein. Die restlichen Schwingungen wurden vernichtet. Die Saite trifft also eine Selektion. Es wählt unter allen Schwingungen nur gerade seine Eigenschwingungen aus. Nur die Resonanz- resp. die Eigenfrequenzen werden für das Weiterschwingen zugelassen. Wie wir im Abschnitt 4 sehen werden, legt die Saite genau dadurch ihre Tonhöhe fest. Ganz analoge Selektionsvorgänge finden bei allen Musikinstrumenten statt, die Töne mit klar hörbaren Tonhöhen erzeugen. Dazu gehören z.b. Gitarren, Streichinstrumente, Holz- und Blechbläser, aber auch die menschliche Stimme. Im letzteren Fall übernehmen die Stimmbänder die Rolle einer Saite. 2

3 Tonverstärkung durch Resonanzkörper Würde die Klaviersaite einfach für sich alleine schwingen, so würde man ihren Ton nur ganz leise hören. Ausserdem hätte er gar nicht die klare Klangfarbe, die wir uns von einem Klavier gewohnt sind. Um die Schwingung einer Saite gut hörbar zu machen braucht es eine Art Verstärker, der dann aber auch bezüglich der Klangfarbe mitbestimmen darf. Dieser Verstärker ist der sogenannte Resonanzkörper. Typischerweise ist er in einem physischen Kontakt mit der Saite. Er muss so gebaut sein, dass er möglichst alle Frequenzen in sich aufnehmen kann. D.h., im Idealfall sind alle möglichen Frequenzen Eigenfrequenzen des Resonanzkörpers. Er trifft keine Selektion, sondern zeigt bei praktisch beliebigen Schwingungen Resonanz. Der Resonanzkörper kann also die von der Saite abgegebene Schwingungsenergie in sich aufnehmen und akkumulieren (= ansammeln). So entsteht der Verstärkungseffekt. Dabei wird er die Frequenzen allerdings untereinander neu gewichten. Es gibt nämlich kaum einen Resonanzkörper, der alle Frequenzen ganz genau gleich gut aufnehmen kann. Das ist aber auch gar nicht wünschenswert, denn gerade durch diese Neugewichtung wird der Resonanzkörper eben entscheidend für die Klangfarbe, wie wir ebenfalls im Abschnitt 4 sehen werden. Praktisch sämtliche Saiteninstrumente verfügenüber einen Resonanzkörper. In ihmwiderspiegelt sich in der Regel die eigentliche Qualität des Instrumentes. Die Konstruktion eines richtig guten Resonanzkörpers ist die grosse Herausforderung des Instrumentenbauers! Ein grosser Teil des Klavier- und praktisch der gesamte Geigen- und Gitarrenbau dreht sich einzig um diese Kunst. Die Resonanzkatastrophe Regt man ein System über längere Zeit mit einer seiner Resonanzfrequenzen an, so wird dieses immer mehr Energie in seiner Schwingung aufnehmen. Die Schwingung wird immer intensiver, was schliesslich zur sogenannten Resonanzkatastrophe führen kann. Das System hält die Schwingung resp. Energiemenge nicht mehr aus und geht kaputt. Typischstes Beispiel hierfür ist das weitherum bekannte Zersingen eines Glases. Trifft man mit einem Ton resp. mit einer der Frequenz einer Schallwelle die Resonanzfrequenz des Glases, so wird dieses zerstört. Es ist allerdings zu sagen, dass dies mit einer menschlichen Stimme kaum möglich ist, da diese gerade bei grosser Intensität in der Regel ein Vibrato beinhaltet. D.h., die Tonfrequenz schwankt ständig ein wenig und es wird nicht kontinuierlich die Resonanzfrequenz des Glases getroffen. Mit einem Frequenzgenerator, der eine Frequenz ohne Fehler beibehalten kann, ist das Zersingen aber durchaus möglich. Mehr aus Unwissenheit, denn aus Unvorsichtigkeit wurde in der Vergangenheit immer wieder vergessen, die Eigenschwingungen resp. die Resonanzfähigkeit eines Systems bei der Konstruktion zu berücksichtigen. So kam es durchaus vor, dass Brücken durch den Gleichschritt einer Militärkompanie zur Resonanzkatastrophe gebracht wurden. Ein anderes sehr bekanntes Beispiel ist die Zerstörung der Tacoma Narrows Bridge in der Nähe von Seattle im Jahre Der eigentlich nicht so besonders starke, dafür aberböige Wind traff eine Resonanzfrequenz der grossen Hängebrücke und brachte diese innerhalb einer Stunde zum Einstürzen. 3

4 4 Was ist ein Ton? Singt jemand oder wird auf einem Instrument eine einzelnenote gespielt, so hören wir einen Ton mit einer ganz bestimmten Tonhöhe und einer bestimmten Klangfarbe. Warum eigentlich? Wie erklären wir uns, dass diese Art der Tonerzeugung bei uns diese Wahrnehmung hervorruft? Um diese Frage zu beantworten muss klar sein, was unser Gehirn in Zusammenarbeit mit dem Gehör als Ton interpretiert. Wir müssen also fragen: Was nehmen wir Menschen überhaupt als Ton wahr? Resp.: Worauf spricht unsere akustische Wahrnehmung an? Schallwellen sind Dichte- resp. Druckschwankungen der Luft, welche sich wellenartig in dieser ausbreiten (Schallgeschwindigkeit c 340 m s ). Kommt die Schallwelle bei einem Mikrofon (= künstliches Ohr ) an, so erfasst dieses die Schwankungen des Luftdrucks in Abhängigkeit von der Zeit t. Es zeichnet eine Schalldruckfunktion p(t) auf, welche sich in einem sogenannten Schalldruckdiagramm darstellen lässt. Der Wert p = 0 gehört zum ständig vorhandenen Luftdruck. Der Druck schwankt aufgrund der ankommenden Schallwelle um diesen Wert. Auf den nächsten Seiten sehen Sie mehrere Schalldruckdiagramme (jeweils das linke der beiden nebeneinander abgebildeten Diagramme). Sie stammen von verschiedenen Schallquellen resp. gehören zu verschiedenen Klangwahrnehmungen (Stimmgabel mit Tonhöhe A, Klavierton mit Tonhöhe A, Zischlaut Sch ). Das Schalldruckdiagramm des Stimmgabeltons,seine Frequenzanalyse und sein Frequenzspektrum Das Schalldruckdiagramm der Stimmgabel zeigt eine reine Sinusschwingung. Der Schalldruck schwankt sinusförmig zwischen Maximal- und Minimalwert hin und her. D.h., die Schalldruckfunktion p(t) ist vergleichbar mit der aus Abschnitt 2 bekannten Schwingungsfunktion h(t) eines Federpendels. Dort hatten wir implizit (= ohne es speziell zu sagen) festgestellt: Zu jeder reinen Sinusschwingung gehört eine einzige Frequenz f. Im Fall der Stimmgabel beträgt diese Frequenz f = 440 Hz. Die einzelne Schwingung der Schalldruckfunktion p(t) dauert T = 1 f = s (= Periode). Nun gibt es ein mathematisches Verfahren, mit welchem sich ermitteln lässt, aus welchen reinen Sinusschwingungen sich eine beliebige Schalldruckfunktion p(t) zusammensetzt. Dieses Verfahren heisst Frequenzanalyse, denn es ist klar: Wenn man herausfindet, aus welchen reinen Sinusschwingungen sich p(t) zusammensetzt, dann weiss man eben, welche Frequenzen f in dieser Funktion enthalten sind. 1 Diese Information stellt man in einem sogenannten Frequenzspektrum dar. Dies ist ein Diagramm mit liegender Frequenzachse, in welchem über jeder Frequenz f die Amplitude A abgetragen wird, mit welcher diese Frequenz in der ursprünglichen Funktion p(t) auftritt. Im Frequenzspektrum liest man also ab, welche Frequenzen f in p(t) wie stark, d.h. mit welchen Amplituden A, vertreten sind. Da das Schalldruckmuster p(t) des Stimmgabeltons eine reine Sinusschwingung ist, zeigt das Frequenzspektrum nur bei einer einzigen Frequenz einen Ausschlag. Erwartungsgemäss erscheint dieser Peak (= Spitze) bei f = 440Hz. 1 Frequenzanalysen sind mathematisch etwas anspruchsvoller. Wir überlassen sie deshalb dem Computer. Übrigens wird das Verfahren nach ihrem Erfinder auch als Fourier-Transformation bezeichnet. In Programmen, welche Frequenzanalysen zur Verfügung stellen, findet man sie deshalb häufig unter dem Kürzel FFT, was für Fast Fourier-Transformation steht. 4

5 Stimmgabelton A Schalldruckdiagramm p(t) Frequenzspektrum Tonhöhen- und Klangfarbenwahrnehmung beim Stimmgabelton Den Stimmgabelton hören wir als einzelnen, leer klingenden Ton. Auch ein Pfeifen oder Summen erzeugt eine praktisch reine Sinusschwingung, die wir als einen wenig farbigen Ton wahrnehmen. Die empfundene Tonhöhe wird durch die Frequenz der Schwingung vorgegeben. Eine schnellere Schwingung, also eine höhere Frequenz, wird von unserem Hirn als höherer Ton interpretiert. Im Fall der Stimmgabel hören wir die zur Frequenz 440Hz gehörende Tonhöhe A. Grundton und Obertöne am Beispiel eines Klaviertons Durch das Drücken einer einzelnen Taste auf einem Klavier wird eine Saite angeschlagen. Diese erzeugt eine Schallwelle, die sich wiederum mit einem Mikrofon aufnehmen lässt. Das daraus hervorgehende Schalldruckdiagramm zeigt ein komplizierteres, sich ständig wiederholendes Muster (siehe unten). Die Frequenzanalyse zeigt, was sich dahinter verbirgt: Im Frequenzspektrum treten mehrere Frequenzen in regelmässigen Frequenzabständen auf. D.h., das komplizierte, sich wiederholdende Muster im Schalldruckdiagramm setzt sich aus mehreren, perfekt aufeinander abgestimmten reinen Sinusschwingungen zusammen! Dietiefste im Spektrum auftretende Frequenz bezeichnet man als die Grundtonfrequenz f 0. Die weiteren Frequenzen f n mit n 1 nennt man Obertonfrequenzen. Aus der Regelmässigkeit im Frequenzspektrum folgern wir: Alle im Schalldruckmuster p(t) enthaltenen Frequenzen sind natürliche Vielfache der Grundtonfrequenz f 0, also: f n = (n+1) f 0 mit n = 0,1,2,3,... Klavierton A Schalldruckdiagramm p(t) Frequenzspektrum 5

6 Tonhöhen- und Klangfarbenwahrnehmung beim Klavierton Das komplizierte Gesamtmuster im Schalldruckdiagramm wiederholt sich mit der Frequenz des Grundtons, im gezeigten Beispiel also mitf 0 = 440Hz. Davon können Sie sich überzeugen, wenn Sie das Schalldruckdiagramm des Stimmgabeltons mit demjenigen des Klaviertons vergleichen. Eine einzelne Sinusschwingung oben ist gerade so lang wie eine Musterlänge unten. Aus dieser tiefsten im Schalldruckmuster ersichtlichen Wiederholungsfrequenz leitet unser Gehirn die Tonhöhenempfindung ab. Stimmgabel- und Klavierton habe ich bei der Aufnahme gleich hoch empfunden (Tonhöhe A). Halten wir also fest: Die gehörte Tonhöhe wird durch die Grundtonfrequenz f 0 vorgegeben. Die Obertonfrequenzen haben also keinen Einfluss auf die Tonhöhenempfindung. Dafür wird durch ihre Zusammensetzung die Klangfarbe definiert. Je nachdem, wie stark Grund- und Obertonfrequenzen im Schalldruckmuster vorhanden sind, ergibt sich eine andere Klangfarbe. Deshalb tönt der Klavierton auch ganz anders und insbesondere reichhaltiger als der Ton der Stimmgabel, auch wenn er dieselbe Tonhöhe aufweist. Die Klangfarbe eines Tons wird durch seine Grund- und Obertonzusammensetzung festgelegt. Rauschen und Geräusche ohne Tonhöhe Enthält das Schalldruckmuster p(t) einer Schallwelle keine sich ständig gleich wiederholenden Muster, so ergibt sich auch in der Frequenzanalyse keine Regelmässigkeit. Das Frequenzspektrum zeigt eine Vielzahl nicht aufeinander abgestimmter Frequenzen mit unterschiedlichen Amplituden (vgl. Diagramme unten). Daraus kann unser Gehirn keine Tonhöhe extrahieren. Wir erhalten den Eindruck eines Geräusches. Alle akustischen Wahrnehmungen ohne Tonhöhe weisen unregelmässige Diagramme auf. Dazu gehören z.b. Rauschen, Zischen, Klatschen, ein Knall, aber auch die Laute, welche wir in der Sprache als Konsonanten bezeichnen. Zischlaut Sch (= Rauschen) Schalldruckdiagramm p(t) Frequenzspektrum 6

7 Zusammenfassung und Folgerungen aus Abschnitt 4 Ton- und Tonhöhenempfindung Eine beim Ohr ankommende Schallwelle wird als Ton mit einer ganz bestimmten Tonhöhe wahrgenommen, wenn die darin enthaltenen Frequenzen natürliche Vielfache einer Grundtonfrequenz f 0 sind. Die Frequenzen f n werden also in ihrer Gesamtheit als ein Ton wahrgenommen, wenn gilt: f n = (n+1) f 0 mit n = 0,1,2,3,... Die Frequenzen f n mit n 1 werden als Obertonfrequenzen bezeichnet. Die empfundene Tonhöhe ist dieselbe wie die einer Schallwelle, welche ausschliesslich die Grundtonfrequenz enthält. Einfach gesagt: Die Tonhöhe wird durch den Grundton vorgegeben. Paradox scheint dabei zu sein, dass die Grundtonfrequenz selber in der Schallwelle gar nicht enthalten sein muss. Es geht bei der Tonhöhenwahrnehmung eigentlich um den Frequenzabstand, der eben genau der Grundtonfrequenz f 0 entspricht. Klangfarbenempfindung Die Klangfarbe eines Tones wird durch seine relative Zusammensetzung aus den Grund- und Obertonfrequenzen vorgegeben. Die in einem Ton enthaltenen Frequenzen bestimmen also gemeinsam, wie sich dieser Ton für uns anhört. Kurz: Die Klangfarbe wird durch die Zusammensetzung aus Grund- und Obertönen vorgegeben. Folgerungen für die Tonerzeugung Die Quelle eines Tones muss stets ein schwingendes System sein, das Frequenzen mit regelmässigen Frequenzabständen und ganz bestimmter Zusammensetzung erzeugt. Das gilt für Instrumente jeglicher Art, aber auch für die menschliche Singstimme oder Tiergesänge. Das Monochord aus dem Unterricht. 7

8 5 Wie werden Töne erzeugt? Zur Erzeugung eines Tones braucht es ein schwingendes System, welches ausschliesslich Frequenzen mit regelmässigen Frequenzabständen zulässt. In diesem Abschnitt wird ein solches System studiert, nämlich die beidseitig eingespannte Saite des Monochords aus dem Unterricht (vgl. Bild auf Seite 7). Dabei wird mathematisch erklärt, warum diese Saite eben genau diese Obertonreihe mit regelmässigen Frequenzabständen hervorbringt. Grundschwingung und Wellenfunktion Bei unserem Monochord besitzt die Saite eine Länge von l = 120cm. Ihre Schwingung unterliegt gewissen Randbedingungen. Dort, wo sie eingespannt ist, d.h. an ihren Enden bei den Stellen x = 0 und x = l, kann sie sich nicht bewegen. An diesen Stellen muss also jede Funktion, welche eine Schwingung der Saite beschreiben soll, den Wert 0 annehmen, und zwar zu jedem beliebigen Zeitpunkt t! Der einfachst mögliche Fall, wie eine Saite mit diesen Randbedingungen schwingen kann, ist die Grundschwingung (Index 0): Die Saite schwingt als Ganzes auf und ab, wobei die Amplitude der Schwingung in der Mitte der Saite am grössten ist. D.h., wir gehen von einer ortsabhängigen Amplitude A 0 (x) aus. Sie besagt, wie gross die Schwingungsamplitude an jeder Stelle x auf der Saite ist. Gegen die Enden der Saite hin wird die ortsabhängige Amplitude A 0 (x) kleiner. In der Mitte besitzt sie ihren grössten Wert, den ich willkürlich auf A 0 = 0.5cm gesetzt habe. Mathematisch wird A 0 (x) durch eine Sinusfunktion beschrieben. 2 Wie Sie sehen, passt allerdings nur eine halbe Wellenlänge auf die Saite eine ganze Wellenlänge besteht ja stets aus einem Wellenberg und einem Wellental. Für die Wellenlänge λ 0 der Grundschwingung gilt also: λ 0 = 2l Somit kann ich für die ortsabhängige Schwingungsamplitude schreiben: ( ) 2π ( π ) A 0 (x) = A 0 sin x = A 0 sin λ 0 l x (3) Die reine Sinusfunktion sinx besitzt die Wellenlänge λ = 2π. Das Einfügen des Faktors 2π λ 0 = 2π 2l = π l ins Argument der Sinusfunktion verleiht dieser die Wellenlänge λ 0 = 2l. Diese Amplitudenfunktion erfüllt die Randbedingungen an den Saitenenden, denn: ( π ) ( π ) A 0 (0) = A 0 sin l 0 = A 0 sin0 = 0 und A 0 (l) = A 0 sin l l = A 0 sinπ = 0 (x = π ist die erste positive Nullstelle der reinen Sinusfunktion sin x.) 2 Dass es sich um eine Sinusfunktion handelt, hat damit zu tun, dass die Saite überall gleich elastisch angenommen wird. Darauf soll hier aber nicht näher eingegangen werden. 8

9 In der Grundschwingung bewegt sich die gesamte Saite gleichzeitig auf und ab. D.h., jede Saitenstelle x führt mit der dort vorhandenen Amplitude A 0 (x) eine ständige Auf- und Abbewegung aus. Die Grundschwingung der Saite lässt sich demnach beschreiben als eine von der Stelle x und dem Zeitpunkt t abhängige Wellenfunktion h(x, t). Es ist die vom Federpendel her bekannte Schwingungsfunktion (vgl. Gleichung (2) auf Seite 1), jetzt allerdings mit ortsabhängiger Amplitude A 0 (x): ( ) 2π h 0 (x,t) = A 0 (x) sin(2πf 0 t) = A 0 sin x sin(2πf 0 t) (4) λ 0 }{{} =A 0 (x) Nach wie vor steht der Index 0 für die Grundschwingung. Zu ihr gehört also auch eine spezifische Frequenz f 0! Wie wird diese Frequenz festgelegt? Die Antwort darauf ergibt sich aus einer Überlegung an einer in einem Seil oder einer Saite laufenden Welle. Die Wellengleichung c = λ f Stellen Sie sich vor, Sie lehnen sich aus dem Fenster im obersten Stock eines Hauses und lassen aussen ein langes Seil herunterhängen. Bewegen Sie das obere Seilende seitlich hin und her, so wird eine Welle durch das Seil abwärts laufen, und zwar mit einer bestimmten Wellengeschwindigkeit c. Diese Wellengeschwindigkeit wird durch den Zustand des Seils vorgegeben: Wie stark ist es durch sein Eigengewicht gespannt? Aus welchem Material besteht es? Je nachdem, wie schnell Sie das Seilende hin und her bewegen, wird die Wellenlänge der los laufenden Welle grösser oder kleiner. Die Anregungsfrequenz f hat also einen Einfluss auf die sich ergebende Wellenlänge λ. Klar: In der Zeit, in der Sie das Seilende einmal hin und her bewegen, d.h. während einer Periode T Ihrer Anregungsschwingung, lösen sich genau ein Wellenberg und ein Wellental, also genau eine ganze Wellenlänge λ von Ihrer Hand ab. Da die Wellengeschwindigkeit c das Seils vorgegeben ist, muss gelten: Wellengeschwindigkeit = 1 Wellenlänge pro Anregungsperiode Diesen Zusammenhang wollen wir formal als Wellengleichung bezeichnen: c = λ ( T = λ f denn: f = 1 ) T Die Wellengleichung (5) gilt nicht nur für laufende Wellen wie im eben geschilderten Fall, sondern auch für die stehenden, also sich nicht bewegenden Wellen in einem eingespannten schwingenden System wie der von uns betrachteten Monochord-Saite. Für deren Grundschwingung können wir z.b. formulieren: c = λ 0 f 0 c ist in diesem Fall die Wellengeschwindigkeit in der gespannten Monochord-Saite. Sie beträgt je nach Saitenspannung zwischen 150 m s bis 200 m s. In gespannten Metallsaiten breiten sich Signale offenbar sehr rasch aus. Nun verstehen wir, wodurch die Grundfrequenz f 0 der Monochord-Saite festgelegt wird: Für die Wellenlänge der Grundschwingung haben wir gefunden: λ 0 = 2l. Durch das Stimmen der Saite legt man die Wellengeschwindigkeit c fest. Zusammen ergibt sich für die Grundfrequenz f 0 : f 0 = c λ 0 = c 2l D.h., Saitenlänge l und Saitenspannung, d.h. Wellengschwindigkeit c, geben gemeinsam vor, welche Grundfrequenz f 0 die Saite erzeugt. 9 (5)

10 Oberschwingungen und ihre Wellenfunktionen Neben der durch Gleichung (4) beschriebenen Grundschwingung passen noch weitere Schwingungsfunktionen h n (x,t) zwischen die Enden der eingespannten Saite. Der Aufbau dieser Funktionen ist genau gleich wie bei der Grundschwingung. Man bezeichnet sie als Oberschwingungen der Saite und nummeriert sie mit dem Index n. Zur Grundschwingung gehört nach wie vor n = 0, zur 1. Oberschwingung gehört der Index n = 1, zur 2. Oberschwingung n = 2, usw.: ( ) 2π h n (x,t) = A n sin x sin(2πf n t) mit n = 0,1,2,3,... (6) λ n Wie die nachfolgende Aufstellung zeigt, besitzt die Grundschwingung die grösst mögliche Wellenlänge λ n. Sie lässt sich jeweils aus dem Wellenbild links ablesen: n Schwingung auf der Länge l λ n f n 0 λ 0 = 2l f 0 = c 2l 1 λ 1 = λ 0 2 f 1 = 2 f 0 2 λ 2 = λ 0 3 f 2 = 3 f 0 3 λ 3 = λ 0 4 f 3 = 4 f 0 4 λ 4 = λ 0 5 f 4 = 5 f 0 5 λ 5 = λ 0 6 f 5 = 6 f n λ n = λ 0 n+1 f n = (n+1) f 0 mit λ 0 = 2l mit f 0 = c λ 0 = c 2l 10

11 Wie man der Aufstellung entnimmt, gibt es für die möglichen Wellenlängen λ n eine relativ einfache mathematische Gesetzmässigkeit: λ n = λ 0 n+1 = 2l n+1 mit λ 0 = 2l (7) Für sämtliche Schwingungen der Saite gilt die Wellengleichung (5) also: c = λ n f n Demzufolge kann eine Saite nur ganz bestimmte Frequenzen erzeugen, nämlich: f n = c λ n = c 2l n+1 = (n+1) c 2l = (n+1) f 0 mit f 0 = c 2l Damit haben wir gezeigt, warum das schwingende System einer eingespannten Saite Frequenzen mit regelmässigen Frequenzabständen erzeugt. Diese Frequenzen sind allesamt ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz f 0 = c 2l : f n = (n+1) f 0 mit n = 0,1,2,3,... (8) Noch einmal der Reihe nach: Wie legt eine eingespannte Saite die Frequenzwerte ihrer Grund- und Oberschwingungen fest? 1. Vorgaben Bei einer eingespannten Saite sind zwei Grössen fix vorgegeben: Saitenlänge l: Die Saite besitzt die fest vorgegebene Länge l. Wellengeschwindigkeit c: Durch Materialwahl und unterschiedliche Spannungseinstellung wird die Wellengeschwindigkeit c der Saite festgelegt. Die Saite zu stimmen bedeutet, durch Veränderung ihrer Spannung die Wellengeschwindigkeit c festzulegen! 2. Randbedingungen legen die Wellenlängen fest Durch die Saitenlänge l werden aufgrund der Randbedingungen die Wellenlängen λ n von Grund- und Oberschwingungen unmittelbar vorgegeben. Mit Hilfe der Wellenbilder in der Tabelle auf Seite 10 findet man: λ n = 2l n+1 mit n = 0,1,2,3, Aus der Wellengleichung folgen die Frequenzen Die Wellengleichung c = λ f verbindet Frequenz f und Wellenlänge λ miteinander. Da die Wellengeschwindigkeit c vorgegeben ist, legen die Wellenlängen λ n auch die zugehörigen Frequenzen f n fest: f n = c λ n = (n+1) f 0 mit f 0 = c 2l und n = 0,1,2,3,... Die Frequenzen sind ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz f 0. 11

12 6 Die Festlegung der Klangfarbe eines Tones Wie die im letzten Abschnitt betrachtete Monochord-Saite, so erzeugen auch andere schwingende Systeme aufgrund ihrer Randbedingungen ein Frequenzspektrum, welches lauter ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz enthält. D.h., wir haben hiermit erklärt, warum aus solchen schwingenden Systeme Schallwellen hervorgehen, welche unsere akustische Wahrnehmung als Töne mit bestimmten Tonhöhen interpretiert. Die Klangfarbe hängt dagegen von der Zusammensetzung der Schwingung aus Grund- und Obertönen zusammen. Die vom Tonerzeuger ausgehenden Schallwellen enthalten die Frequenzen f n mit unterschiedlicher Stärke, also mit verschiedenen Amplituden A n. Diese Amplituden wurden durch die bisherigen Betrachtungen noch nicht festgelegt! Das ist meistens auch nicht so ohne Weiteres möglich resp. nicht so einfach vorhersagbar. Die Klangfarbe ist das Resultat verschiedener Einflüsse bei der Klangerzeugung: Grundaussage zur Klangfarbenerzeugung eines Tones Grundsätzlich kann ein schwingendes System alle seine Grund- und Obertonfrequenzen f n enthalten. Bei jedem schwingenden System gibt es jedoch zahlreiche Faktoren, durch die bestimmte Frequenzen besonders hervorgehoben oder eben unterdrückt werden. Die Klangfarbe eines Tons ist also das Resultat aller Einflüsse, welche bei der Tonerzeugung eine Rolle spielen. Zum Schluss seien einige dieser Faktoren resp. Einflüsse grob umrissen: Anregungsort: Je nachdem, an welcher Stelle das System angeregt wird, können gewisse Obertonfrequenzen von vornherein besonders gefördert oder vermieden werden. Zupfe ich eine eingespannte Saite in der Mitte an, so werden dadurch all jene Frequenzen besonders gut angeregt, welche in der Mitte einen Wellenbauch haben (vgl. Wellenbilder auf Seite 6). Das sind alle Schwingungen mit geradem n. Diejenigen mit einem Knoten in der Mitte (n ungerade) werden so hingegen eher vermieden. Anregungsart: Die Art, wie ein schwingendes System angeregt wird, hat ebenfalls einen grossen Einfluss auf die sich ergebende Klangfarbe. Eingespannte Saiten können gestrichen, geschlagen oder gezupft werden. Es ergeben sich sehr unterschiedliche Klänge. Vergleichen Sie z.b. die Klangfarbe einer Geige mit derjenigen eines Klaviers oder einer Gitarre. Resonanzkörper: Die meisten Instrumente benötigen einen Resonanzkörper, um gut zu klingen. Das schwingende System, welches die Frequenzen f n definiert, ist selber häufig nicht besonders geeignet, seine Schwingungen an die Luft weiterzugeben. Besonders bei Saiteninstrumenten ist dieser Resonanzkörper notwendig. Und in seiner Fertigstellung liegt die grosse Kunst des Instrumentenbaus. Der Resonanzkörper muss die Frequenzen des schwingenden Systems aufnehmen und möglichst gut an die Luft weitergeben. Er muss also selber ein optimal schwingendes System sein. Dadurch bestimmt er die Frequenzzusammensetzung der ausgesandten Schallwellen wesentlich mit. Schwingendes Material: Materialien weisen verschiedene Schwingungseigenschaften auf, durch welche manche Frequenzen besonders gefördert, andere hingegen eher unterdrückt werden. Das bezieht sich sowohl auf das primär schwingende System, wie auch auf den Resonanzkörper. 12