Spezifikation von Kommunikationssystemen

Transkript

1 1 / 29 Spezifikation von Kommunikationssystemen 10. Einführung in die Zuverlässigkeitstheorie Prof. Jochen Seitz Fachgebiet Kommunikationsnetze Sommersemester 2016

2 2 / 29 Übersicht 1 Grundlagen der Zuverlässigkeitstheorie 2 Kenngrößen der Zuverlässigkeitstheorie 3 Zuverlässigkeit von Systemen 4 Reparierbare Systeme

3 3 / 29 Übersicht 1 Grundlagen der Zuverlässigkeitstheorie 2 Kenngrößen der Zuverlässigkeitstheorie 3 Zuverlässigkeit von Systemen 4 Reparierbare Systeme

4 4 / 29 Was beschreibt die Zuverlässigkeitstheorie? Maß für die Fähigkeit einer betrachteten Einheit, über eine bestimmte Zeit ein erwartetes Verhalten zu zeugen (Birolini, 2007): Funktionsfähigkeit Verfügbarkeit Sicherheit Vertraulichkeit Verwendbarkeit Wiederherstellbarkeit Wartbarkeit Erweiterbarkeit... Reliability Availability Safety Security Usability Restorability Maintainability Expandability

5 5 / 29 Systemmodell der Zuverlässigkeitstheorie I Externe Systemsicht Interne Systemsicht System S Stimulus System S Stimulus Erwartete Reaktion (korrektes Verhalten) K 2 K 1 Erwartete Reaktion (korrektes Verhalten) Unerwartete Reaktion (Versagen) Defekt K 3 Unerwartete Reaktion (Versagen)

6 6 / 29 Systemmodell der Zuverlässigkeitstheorie II Kritkalität nach Poledna (1996) Maß für die Distanz zwischen Systemzuständen gemäß Systemspezifikation und Risikozuständen. anwendungsinhärenter Fehlertoleranzbereich Gemäß Spezifikation Kritikalität Möglicher Systemzustandsraum Risikozustand

7 7 / 29 Übersicht 1 Grundlagen der Zuverlässigkeitstheorie 2 Kenngrößen der Zuverlässigkeitstheorie 3 Zuverlässigkeit von Systemen 4 Reparierbare Systeme

8 8 / 29 Überlebenswahrscheinlichkeit / Zuverlässigkeit Reliability R(t) Wahrscheinlichkeit, dass eine zu betrachtende Einheit eine gegebene Zeit t überlebt: Die Zufallsvariable ist die Lebensdauer T. Es gilt: R(0) = 1 lim R(t) = 0 t R(t) = P(T > t) (1)

9 9 / 29 Ausfallwahrscheinlichkeit Failure Probability F(t) Wahrscheinlichkeit, dass eine zu betrachtende Einheit vor einem gegebenen Zeitpunkt t ausfällt: Es gilt: F(0) = 0 lim F(t) = 1 t F(t) = 1 R(t) F(t) = P(T t) (2)

10 10 / 29 Ausfalldichte f (t) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Lebensdauer: Es gilt: f (t) = df(t) dt t 2 P(t 1 T t 2 ) = f (τ)dτ t 1 = dr(t) dt (3)

11 11 / 29 Ausfallrate λ(t) Wahrscheinlichkeit, dass eine zu betrachtende Einheit im Zeitintervall (t, t + dt] ausfällt unter der Voraussetzung, dass sie zum Zeitpunkt t noch funktioniert: λ(t) = f (t T t) (4)

12 12 / 29 Typisches Verhalten der Ausfallrate l(t) Phase 1 Phase 2 Phase 3 t

13 13 / 29 Mittelwert der Ausfallwahrscheinlichkeit Mean Time To Failure (MTTF) Mean Time Between Failures (MTBF) MTTF = tf (t)dt (5) Spezialfall: λ(t) = λ = (konstant) = = 0 0 R(t)dt (6) e t λ(τ)dτ 0 (7) MTBF = 0 e λt = 1 λ (8) 0

14 14 / 29 Beispiel Exponentialverteilung: R(t) R(t) = e λt l = 0,25 l = 0,5 l = 0,75 l = 2

15 15 / 29 Beispiel Exponentialverteilung: F(t) F (t) = 1 R(t) = 1 e λt l = 0,25 l = 0,5 l = 0,75 l = 2

16 16 / 29 Beispiel Exponentialverteilung: f (t) f (t) = dr(t) dt = λe λt l = 0,25 l = 0,5 l = 0,75 l = 2

17 17 / 29 Beispiel Exponentialverteilung: λ(t) λ(t) = λ l = 0,25 l = 0,5 l = 0,75 l = 2

18 18 / 29 Übersicht 1 Grundlagen der Zuverlässigkeitstheorie 2 Kenngrößen der Zuverlässigkeitstheorie 3 Zuverlässigkeit von Systemen 4 Reparierbare Systeme

19 Serielle Systeme Systeme setzen sich aus verschiedenen Komponenten mit unterschiedlicher Zuverlässigkeit zusammen. Das Gesamtsystem kann nur so zuverlässig sein wie die Einzelkomponente mit der geringsten Zuverlässigkeit. System Komponente 1 Komponente 12 Komponente 3 Komponente 4 Alle Einzelkomponenten müssen funktionieren: n R S (t) = R i (t) (9) λ S (t) = Abhilfe: Redundanz i=1 n λ i (t) (10) i=1 19 / 29

20 20 / 29 Redundante Systeme System Komponente 1 Komponente 2' Komponente 3 Komponente 4 Komponente 2'' heiße Redundanz aktive / parallele Redundanz Die zur Redundanz gehörenden Elemente sind alle im Betrieb und der gleichen Belastung ausgesetzt. warme Redundanz leicht belastete Redundanz Die redundanten Reserveelemente sind bis zum Ausfall des primären Elements geringer belastet. kalte Redundanz Standby- / unbelastete Redundanz Das Reserveelement wird erst dann in Betrieb genommen, wenn das primäre Element ausgefallen ist.

21 Hierarchisches Zuverlässigkeitsersatzschaltbild Netz Teilnetz A Teilnetz C Teilnetz B Teilnetz D Teilnetz Router 1 Router 2 Router 4 Router 6 Router 3 Router 5 Router 7 Router Netzkarte 1 Prozessor Speicher Stromvers. Netzkarte 2 21 / 29

22 22 / 29 Heiße 1 aus 2-Redundanz Zwei Einheiten laufen parallel, wobei nur eine funktionieren muss. Zuverlässigkeitsersatzschaltbild entspricht einer Parallelschaltung: Komponente A Komponente B Für gleiche Elemente mit konstanter Ausfallrate gilt: R S (t) = 2R(t) R 2 (t) (11) = 2e λt e 2λt (12) MTBF S = 2 λ 1 (13) 2λ

23 Vergleich verschiedener Redundanzarten System (bei konstanter Ausfallrate λ) Kennwerte Einzelsystem ohne Redundanz: R(t) = e λt (14) MTBF = 1 λ (15) Doppelsystem mit heißer Redundanz: R S (t) = 2e λt e 2λt (16) MTBF S = 2 λ 1 2λ (17) Doppelsystem mit kalter Redundanz: R S (t) = e λt + λte λt (18) MTBF S = 2 λ (19) 23 / 29

24 24 / 29 Grafische Gegenüberstellung λ = 2 Doppelsystem mit kalter Redundanz MTBF: 0,5 bei Einzelsystem 0,75 bei heißer Redundanz 1,0 bei kalter Redundanz Doppelsystem mit heißer Redundanz Einzelsystem

25 25 / 29 Übersicht 1 Grundlagen der Zuverlässigkeitstheorie 2 Kenngrößen der Zuverlässigkeitstheorie 3 Zuverlässigkeit von Systemen 4 Reparierbare Systeme

26 26 / 29 Reparierbare Systeme Wichtige Begriffe Instandhaltung Reparatur Wartung Das System kann während der Wartung / der Reparatur mitunter nicht weiter genutzt werden. System funktioniert System außer Betrieb t

27 27 / 29 Mittlere Reparaturzeit / mittlere Wartungszeit Analog zu MTBF bezeichnet die Mean Time To Repair (MTTR) die mittlere Reparaturzeit für eine Komponente / ein System. Für die Wartung wird mit der Mean Time To Preventive Maintenance (MTTPM) die mittlere Zeit bezeichnet, die eine Wartung dauert.

28 28 / 29 Verfügbarkeit Punktverfügbarkeit : Dauerverfügbarkeit : Intervallverfügbarkeit : A(t) = P(System funktioniert zum Zeitpunkt t) A D = lim t A(t) = IR(t, t + δt] = MTTF MTTF + MTTR P(System funktioniert im Intervall (t, t + δt] System funktioniert zum Zeitpunkt t)

29 29 / 29 Literatur [Birolini 2007] BIROLINI, A.: Reliability Engineering Theory and Praxis. 5th edition. Berlin; Heidelberg; New York : Springer, ISBN [Poledna 1996] POLEDNA, S.: Lecture on Fault-Tolerant Computer Systems. courses/ftol/vo_slides.html. Sommersemester Vorlesung an der TU Wien, Institut für Technische Informatik