Computergrafik Universität Osnabrück, Henning Wenke,

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1 Computergrafik Universität Osnabrück, Henning Wenke,

2 Noch Kapitel III: Transformationen

3 2D Rotation um freies Rotationszentrum y α P(p x, p y ) Ziel: Rotiere Punkte r i um Winkel α um P und erhalte r i Idee: Führe auf elementare Transformationen zurück Verschiebe Rotationszentrum in Ursprung: T( p x, p y ) Führe Rotation um Ursprung aus: R(α) Verschiebe Rotationszentrum zurück: T 1 p x, p y = T(p x, p y ) α Transformiere Koordinaten r i entsprechend gemäß: r i = T p x, p y R α T p x, p y r i r = M p x, p y, α r i x 3

4 Rotation um beliebige Achse Ziel: Rotiere um beliebige Achse um Winkel θ Gegeben: Rotationsachse, definiert durch: Punkt P Normierter Richtungsvektor q Idee: Transformiere Rotationsachse z.b. in z-achse Rotiere um z-achse um Winkel θ Rücktransformiere Rotationsachse Wende resultierende Matrix auf alle Koordinaten an z y q P(p x, p y, p z ) x 4

5 I. Translation, sodass Ursprungsgerade q y P(p x, p y, p z ) y T( p x, p y, p z ) x q x z z 5

6 II. Rotation um x-achse in xz-ebene Q (, q y, q z ) z q Q (,, q z ) R x α q y q Q(q x, q y, q z ) x Q (q q 2 y + q2 x,, z ) 1 cos (α) sin (α) sin (α) cos (α) 1 Gegeben: Ursprungsgerade mit norm. Richtungsvektor q Gesucht: Matrix R x (α) zur Rotation in Gerade in xz-ebene mit Richtungsvektor q Bestimme Projektion q von q in yz- Ebene Berechne Winkel α (bzw. sin/cos davon) zwischen q und z-achse Dann gilt: q = R x α q sin α = cos α = q y q y 2 +q z 2 q z q y 2 +q z 2 z Q (, q y, q z ) q Q (,, q z ) α y 6

7 III. Rotation um y-achse in z-achse x Q (q x,, q y 2 + q z 2 ) Gegeben: Ursprungsgerade in xz-ebene mit norm. Richtungsvektor q Gesucht: Matrix R y (β) zur Rotation in Gerade in z-achse γ sin γ = q x q q y 2 + q z 2 cos γ = q y 2 + q z 2 R y β q = Probe: q x z q x 2 + q y 2 + q z 2 = R y β = R y γ = 1 = = cos ( γ) sin ( γ) 1 sin ( γ) cos ( γ) 1 cos (γ) sin (γ) 1 sin (γ) cos (γ) 1 q y 2 + q z 2 q x 1 q x q y 2 + q z 2 1 7

8 IV. Rotation um z-achse um Winkel θ R z θ = cos (θ) sin (θ) sin (θ) cos (θ) 1 1 8

9 V. Rücktransformation zu Ausgangsachse Inverse von III: R y 1 β = R y ( β) Inverse von II: R x 1 α = R x ( α) Inverse von I: T 1 p x, p y, p z = T(p x, p y, p z ) 9

10 Gesamttransformation R p, q, θ = T 1 ( p x, p y, p z ) R 1 x (α) R 1 y (β) R z (θ) R y (β) R x (α) T( p x, p y, p z ) 1

11 3.4 Wechsel zwischen kartesischen Koordinatensystemen

12 Beschreibe P aus Sicht des schwarzen KS y 1 (7,9) P (5,5) α O rot (6,2) p schwarz = M rot schwarz p rot = = 1 1 x Transformiere schwarzes in rotes Koordinatensystem Drehe um α CCW cos α = 4 5 =.8 sin α = 3 5 =.6 R α = Verschiebe um O rot T O rot = Matrix für KS-Wechsel: M rot schwarz = T O rot R α M rot schwarz =

13 y Beobachtung (7,9) P (5,5) α O rot (6,2) x M rot schwarz = Ursprung von rot, beschrieben in schwarz e y von rot, beschrieben in schwarz e x von rot, beschrieben in schwarz 13

14 Beschreibe P aus Sicht des roten KS y (7,9) P (5,5) α O rot (6,2) x Matrix für KS-Wechsel rot nach schwarz: M r s = T O rot R α M rot = Matrix für KS-Wechsel schwarz nach rot: Test 1 M s r = M r s M s r = R α 1 1 T O rot M s r = R( α) T( O rot ) M s r = R α = T O rot = M s r P s = P r M s r 7,9,1 = (5,5,1) 14

15 Koordinatensystemwechsel M B A p B = p A = A e x,x A e x,y A e x,z A e y,x A e y,y A e y,z A e z,x A e z,y A e z,z O x A O y A O z A 1 p x B p y B p z B 1 Beschrieben in A M B A 1 p A = M A B p A = p B 15

16 3.5 Transformation von Richtungsvektoren

17 Tangentenvektoren P 1 P 1 M P 2 P 2 Bisher: Transformation von Ortsvektoren in homogenen Koordinaten Tangentenvektoren werden in gleicher Weise wie Ortsvektoren transformiert Allerdings kann auch obere linke 3x3 Matrix der Transformation in HK verwendet werden p 1 = M p 1 p 2 = M p 2 r = p 2 p 1 = M p 2 M p 1 = M (p 2 p 1 ) = M r 17

18 Normalentransformation Hinweis: 3D Spalten- bzw. Zeilenvektor entspricht 1x3 bzw. 3x1 Matrix. Dann ist das Skalarprodukt: a T b Gegeben: Tangentenvektor: r Normale dazu: n Transformationsmatrix M r = M r Gesucht: Zugehörige Transformationsmatrix G für Normalenvektoren Es gilt: r T n = Es soll gelten: n T r =, mit: n = G n n T r = G n T (M r) = n T G T M r = Ist erfüllt, wenn G T M = E, da n T r = G T = M 1 A B T = B T A T 1 T G = M 18

19 2 1 y Beispiel: Translation in homogenen Krd x Wir erwarten: Keinerlei Auswirkung der Translation auf Richtungsvektoren Für T(t x, t y, t z ) erfüllt: 1 t x 1 t y 1 t z 1 Für T 1 T nicht: x y z t x t y x t z 1 y z t x x t y y t z z = x y z x y z Kein Richtungsvektor mehr = 19

20 y Beispiel: Translation x Normalentransformation wird nicht in homogenen Koordinaten ausgeführt! Wir erwarten: Keinerlei Auswirkung der Translation auf Richtungsvektoren Für T LO 3 3 (t x, t y, t z ) erfüllt: n x n y n z 1 Für T LO T auch = n x n y n z 2

21 Beispiel: Skalierung Wir erwarten: y = 4 n = y x = 4 2 Normale bleibt orthogonal zur Oberfläche Für S(s x, s y, s z ) nicht erfüllt Für x = 2 S 1 T s x, s y, s z = S T 1 s x, 1 s y, 1 s z = S(2,1) y s y x s x = 4 4 S 1 s x, 1 s y, 1 s z erfüllt Achtung: Länge der Normalen ändert sich Erneutes Normieren nötig y = y s y = 4 S 2,1 n = 8 2 x = x s x = 4 21

22 Beispiel: Rotation Wir erwarten: Normalenvektoren werden wie Ortsvektoren rotiert Für R x φ, R y φ, R z φ erfüllt R( π 2 ) Da Rotationsmatrizen orthogonal ebenfalls erfüllt für: R x 1 T φ = R x φ R y 1 T φ = R y φ R z 1 T φ = R z φ 22

23 Zusammenfassung Tangentenvektoren können wie Ortsvektoren Transformiert werden Es genügt allerdings die obere linke 3x3 Matrix, da Translation wirkungslos Normalenvektoren werden mit der transponierten inversen der oberen linken 3x3 Matrix transformiert Normalentransformation oft einfacher: Translation: unnötig Rotation: Auch mit Originalmatrix möglich 23

24 Kapitel IV: OpenGL

25 Über OpenGL API für Rastergrafik Prozedural Hardwarenah Plattform-, Betriebssystem- und Sprachunabhängig Spezifikationen variieren im Funktionsumfang Diese Veranstaltung: Version 3.1 bzw. 3.3, Core Profile Implementation divergieren in: Hardwarenutzung / Performance Genauigkeit (etwas) Verwandte APIs: 25

26 Entwicklungsgeschichte 1992 initiiert durch SGI und betreut durch das OpenGL ARB: Seit 26 trägt die Khronos Group die Verantwortung 26

27 Entwicklung der API OpenGL 1.x (ab 1992) Feste, konfigurierbare Pipeline Spätere Versionen bringen weitere Optionen OpenGL 3.1(29-3) Legacy Funktionen aus Kern entfernt OpenGL 3.2 (29-9) Geometry Shader OpenGL 2.x (ab 24) Einführung programmierbarer Stages (VS / FS) Feste Pipeline bleibt parallel bestehen OpenGL 3.3 & 4. (21-3) Tesselation (nur 4.) Bessere Zusammenarbeit mit OpenCL OpenGL 4.2 (aktuell, 211-8) 27

28 Programmierstile OpenGL 1.x Ausschließlich vorgegebene Algorithmen Können aktiviert/deaktiviert und etwas konfiguriert werden Nahezu kein Spielraum eigene Algorithmen zu formulieren OpenGL 2.x, 3., Compatibility Profile Programmierbare Abschnitte Feste Pipeline (mittlerweile in Software implementiert) sowie immediate Mode existieren nebenher Können vermischt werden Resultiert in fragwürdigem Programmierstil Inkompatibel mit schlankeren APIs (OpenGL ES 2, WebGL) OpenGL 3.1 und danach (Core Profile) Legacy Funktionen entfernt Aufwärtskompatibel 28

29 Vergleich mit Hardwareentwicklung Nvidia GeForce 88 (26-11) OpenGL 3.3 Cuda / OpenCL GL 2. GL 3.3/ GL 3.1 GL 4.2 GL 3.2 Nvidia GeForce 3 (21-3) Vertex & Fragment Shader (eingeschränkt) ATI Radeon 587 (29-11) OpenGL 4.2 OpenCL

30 Vergleich mit proprietären APIs OpenCL (29-8) DirectX OpenGL 4.2 Cuda (27-2) GL 2. GL 3.3/ GL 3.1 GL 4.2 GL 3.2 DirectX OpenGL 2. DirectX OpenGL 3.2 3

31 Literatur OpenGL Programmierung Wright, Haemel, Sellers, Lipchak OpenGL SuperBible Addison-Wesley 21 (verfügbar unter Safari) Rost, OpenGL Shading Language Addison-Wesley 29 (verfügbar unter Safari) Safari Link 31

32 Links OpenGL Programmierung Tutorials, z.b. auf lwjgl.org, meist veraltet OpenGL 4.2 Specification OpenGL Shading Language (GLSL) 4.2 Specification OpenGL 3.3 Reference Pages GLSL 4.2 Reference Pages OpenGL 4.2 Reference Pages Quick Reference Card (blaue Befehle ignorieren!) 32