D S V D S V. Digitale Signalverarbeitung. Hans-Günter Hirsch (Autor) Frank Kremer (Editor)

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1 D S V Digitale Signalverarbeitung Hans-Günter Hirsch (Autor) Frank Kremer (Editor) D S V

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3 Version und Änderung Version Datum Änderung Erstellen der Vorlage, Inhalte der Kapitel Einleitung und Signalwandlung Kapitel Faltung Kapitel Korrelation Kapitel Signale und Systeme im Frequenzbereich Neues Unterkapitel Unterabtastung von Bandpasssignalen im Kapitel Signalwandlung Fehlerkorrektur in Abbildung.14 Kapitel Filter Redaktionelle Änderungen Fehlerkorrektur in Abbildung.10 H.G. Hirsch 3 Digitale Signalverarbeitung

4 Inhaltsverzeichnis Einleitung 7 1. Signalwandlung Abtastung Unterabtastung von Bandpasssignalen Abtastratenwandlung Quantisierung und Codierung Rekonstruktion des analogen Signals (Digital-/Analogumsetzung) Nichtlineare Quantisierung Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich Lineare, zeitinvariante (LTI) Systeme Herleitung des Faltungsintegrals Herleitung der diskreten Faltung aus dem Faltungsintegral Die diskrete Faltung zur Beschreibung der additiven Überlagerung der Reaktionen auf eine Impulsfolge Graphische Vorgehensweise zur Bestimmung der Faltungssumme Faltungsalgebra Impulsantwort des idealen Tiefpasses Zweidimensionale Faltung zur Verarbeitung digitalisierter Bilder Korrelationsanalyse Herleitung der Kreuz- und Autokorrelationsfunktion Eigenschaften von AKF und KKF Anwendungbeispiel einer Korrelationsanalyse Die Darstellung der Korrelationsanalyse als Faltung Das Leistungsdichtespektrum als Fourier-Transformierte der AKF Die zweidimensionale Kreuzkorrelationsfunktion Signale mit speziellen Korrelationseigenschaften H.G. Hirsch 4 Digitale Signalverarbeitung

5 Inhaltsverzeichnis 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Einführung der diskreten Fourier-Transformation (DFT) Eigenschaften der Diskreten Fourier Transformation Theoreme der DFT Anwendung der Theoreme der Fourier Transformation zur Bestimmung der Spektren von Cosinus und Sinus Analyse von Signalen im Frequenzbereich Beschreibung von Signalverarbeitungssystemen im Frequenzbereich Diskrete Cosinus Transformation Digitale Filter Digitales Filter als schaltungstechnische Realisierung einer Impulsantwort Z Transformation FIR Filter IIR Filter Realisierungsaspekte Spezielle Filter Filterentwurf Abbildungsverzeichnis 169 Index 174 H.G. Hirsch 5 Digitale Signalverarbeitung

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7 Einleitung In allen Bereichen der Elektrotechnik ist die Erfassung und Verarbeitung physikalischer Messgrößen eine notwendige und unumgängliche Aufgabenstellung zum Aufbau signalverarbeitender Systeme, z.b. von Mess- und Steuerungssystemen in der Automatisierungstechnik oder Übertragungssystemen in der Kommunikationstechnik. Da die Verarbeitung heutzutage nahezu ausschließlich mit Digitalrechnern erfolgt, werden die physikalischen Messgrößen als zeitdiskrete Signale mit einer digitalen Darstellung jedes Messwerts erfasst. Typische Messgrößen sind der Schalldruck zur Erfassung akustischer Signale, die Helligkeits- und Farbintensität zur Erfassung von Bildinformationen, die mechanische Position oder die mechanische Veränderung der Teilkomponenten einer Maschine zur Erfassung des Arbeitszustands der Maschine, die Lufttemperatur und der Luftdruck als mögliche Einflussgrößen bei einem Herstellungsprozess, das Gewicht und der Dampfdruck zur Bestimmung der chemischen Zusammensetzung eines Gases. Zur Erfassung der jeweiligen Messgröße und ihrer Umsetzung in ein elektrisches Signal benötigt man entsprechende Komponenten, die man in der Automatisierungstechnik auch als Sensoren bezeichnet. Zwei Beispiele für Sensoren sind das Mikrofon zur Erfassung der Veränderung des Schalldrucks oder ein Dehnungsmessstreifen zur Erfassung einer Längenänderung. Die in den Sensoren erzeugten Spannungen nehmen häufig nur recht kleine Werte an. Daher setzt man meist einen Vorverstärker zur Erzielung größerer und für die Erfassung besser geeigneter Spannungspegel ein. Wie im nachfolgenden Kapitel gezeigt wird, benötigt man im Weiteren zur korrekten Bestimmung der zeitdiskreten Messwerte des digitalen Signals ein Tiefpassfilter. Aus dem tiefpassgefilterten Signal, das noch ein analoges Signal ist, wird mit einem Analog-/Digitalumsetzer (ADU) das digitale Signal erzeugt. Nach der Verarbeitung und/oder Übertragung des digitalen Signals besteht bei einigen Aufgabenstellungen die Notwendigkeit, aus den zeitdiskreten Werten des digitalen Signals wieder ein kontinuierliches, analoges Signal zur erzeugen. Ein Beispiel ist die Übertragung eines Sprachsignals über einen Mobilfunkkanal, wobei man auf der Empfängerseite das Signal wieder als akustisches Signal hörbar machen möchte. Dazu benötigt man die Hintereinanderschaltung eines H.G. Hirsch 7 Digitale Signalverarbeitung

8 Digital-/Analogumsetzers (DAU), eines Tiefpassfilters, in vielen Fällen eines Endverstärkers und einer Komponente zur Umwandlung des elektrischen Signals und zur Erzeugung der gewünschten physikalischen Ausgangsgröße. Für diese Wandlerkomponenten wird in der Automatisierungstechnik der Begriff Aktor als Gegenstück zum Sensor verwendet. Bei dem Beispiel der Telefonübertragung fungiert ein Lautsprecher als Aktor zur Generierung des Luftschalls. Im Allgemeinen lässt sich die Verarbeitungskette zur Erfassung der physikalischen Eingangsgröße, zur Erzeugung und Verarbeitung des digitalen Signals und die erneute Rekonstruktion eines analogen Signals und letztlich der physikalischen Ausgangsgröße durch das in Abbildung 0.1 dargestellte Blockschaltbild beschreiben. Sensor A/D Signalverarbeitung D/A Aktor Abbildung 0.1.: Struktur eines Signalverarbeitungssystems In diesem Skript werden zunächst die Vorgehensweise zur Wandlung eines analogen Signals in ein digitales Signal sowie die umgekehrte Erzeugung eines analogen Signals aus einem digitalen vorgestellt. Es werden die besonderen Eigenschaften des digitalen Signals im Zeit- und Frequenzbereich erläutert, mit deren Kenntnis man beispielsweise auch den Verarbeitungsschritt einer Abtastratenwandlung verständlich und nachvollziehbar darstellen kann. In dem darauf folgenden Kapitel wird die diskrete Faltung eingeführt, mit deren Hilfe man die Wirkungsweise eines Signalverarbeitungssystems im Zeitbereich beschreiben kann. Mit Hilfe der Faltung lässt sich bei Kenntnis der Impulsantwort des Verarbeitungssystems das zeitdiskrete Ausgangssignal für jedes beliebige Eingangssignal bestimmen. Es werden die eindimensionale Faltung und deren Anwendung zur Verarbeitung einer zeitlichen Folge von Abtastwerten sowie die zweidimensionale Faltung, die man zur Verarbeitung von Bildsignalen verwendet, vorgestellt. Ein Bild wird dazu als eine zweidimensionale Anordnung der diskreten Helligkeits- oder Farbintensitäten von Bildpunkten beschrieben. Im Anschluss wird die Korrelationsanalyse eingeführt, mit der man ein Maß für die Ähnlichkeit zweier Signale bestimmen kann. Es wird erläutert, welche Korrelationseigenschaften ein Signal besitzen sollte, damit man es beispielsweise nach der Übertragung über einen gestörten Kanal gut wieder erkennen kann. Diese Wiedererkennung kann man beispielsweise bei einem Radarsignal dazu benutzen, die Laufzeit eines Signals zu bestimmen und daraus auf die Entfernung eines Objekts zu schließen. Es werden Folgen von Abtastwerten vorgestellt, die die ge- H.G. Hirsch 8 Digitale Signalverarbeitung

9 forderten Korrelationseigenschaften besitzen. Ihre Anwendung zur Bestimmung der Impulsantwort von Systemen wird dargestellt. Das Verhalten vieler Signalverarbeitungssysteme lässt sich einfacher und anschaulicher im Frequenzbereich darstellen. Dazu wird im anschließenden Kapitel die Behandlung von Verarbeitungsblöcken im Frequenzbereich eingeführt. Die Diskrete Fourier Transformation (DFT) ist der zentrale Algorithmus, um aus einer Folge zeitdiskreter Abtastwerte ein ebenfalls diskretes Frequenzspektrum zu bestimmen. Nach einer Herleitung der DFT als die Fourier Transformation einer endlichen Anzahl von Abtastwerten werden die daraus resultierenden Eigenschaften der DFT erläutert. Insbesondere der Leckeffekt der DFT wird dargestellt. Für das Beispiel eines idealen Tiefpasses werden die Theoreme der Fourier Transformation dazu genutzt, die zugehörige Impulsantwort des idealen Tiefpasses zu bestimmen und den Effekt einer zeitlichen Beschränkung der Impulsantwort zu erläutern. Es wird damit ein Verfahren vorgestellt, um die Impulsantwort eines beliebigen Tiefpass-, Hochpass oder Bandpassfilters sowie die zugehörige Frequenzcharakteristik zu bestimmen. Im abschließenden Kapitel werden die digitalen Filter und ihre Behandlung mit Hilfe der Z-Transformation vorgestellt. Die Differenzierung von Filtern mit einer zeitlich begrenzten Impulsantwort (FIR) und einer zeitlich nicht begrenzten Impulsantwort (IIR) wird vorgenommen. Die Möglichkeit einer Adaption der Filterkoeffizienten wird aufgezeigt, die sich bei bestimmten Aufgabenstellungen wie einer Stör- oder Echokompensation im Fall von Signalen, die ihre Eigenschaften in Abhängigkeit der Zeit verändern, notwendig wird. H.G. Hirsch 9 Digitale Signalverarbeitung

10 1. Signalwandlung In Systemen zur Erfassung und Verarbeitung von Informationen werden diese Informationen heutzutage als digitale Signale benötigt und dargestellt. Da die Informationen meist mittels eines Sensors, z.b. eines Mikrofons oder eines CCD-Elements bei einer Kamera oder eines Messwertaufnehmers an einer Maschine, als analoge, elektrische Signale erfasst werden, ist eine Umwandlung des analogen Signals in ein digitales Signal erforderlich. Dabei wird das analoge Signal, das ein zeit- und wertekontinuierliches Signal darstellt, in ein zeit- und wertediskretes Signal gewandelt. Nachfolgend werden die dazu notwendigen Arbeitsschritte zur Abtastung eines analogen Signalverlaufs, zur Quantisierung der Abtastwerte und zur Codierung der quantisierten Abtastwerte als Dualzahl erläutert. Diese Vorgehensweise bezeichnet man als Puls-Code-Modulation (PCM). Nach der Einführung der Abtastung werden in dem sich anschließenden Abschnitt 1.3 die Kenntnisse über das Aussehen der Spektren abgetasteter Signale dazu genutzt, um die Arbeitsschritte zur Änderung der Abtastfrequenz eines digitalisierten Signals vorzustellen. Nach der Vorstellung der linearen Quantisierung werden im nachfolgenden Abschnitt 1.6 die Möglichkeiten einer Wahl nicht gleich breiter Quantisierungsintervalle aufgezeigt, um damit die mittlere Leistung der Quantisierungsfehler zu minimieren Abtastung Zur Erfassung eines analogen, elektrischen Signalverlaufs wird das Signal zu äquidistanten Zeitpunkten n T abgetastet, wie es beispielhaft für das von einem Mikrofon erfasste Signal in Abbildung 1.1 veranschaulicht wird. n nimmt einen ganzzahligen Wert im Bereich von,,, 1, 0, 1,,, an und wird als Abtastindex bezeichnet. Der Kontakt des Abtasters wird dabei mit dem zeitlichen Abstand T nur zu den Zeitpunkten n T geschlossen, wobei man idealisiert nur ein Schließen in einem unendlichen kurzen Zeitraum annimmt. Damit erhält man am Ausgang ein Signal x ab (t), das bis auf die Abtastzeitpunkte den Wert des Massepotentials (üblicherweise 0V) annimmt. Zur weiteren Verarbeitung des Signals mit einem Rechner H.G. Hirsch 10 Digitale Signalverarbeitung

11 1. Signalwandlung genügt es daher die Werte x(n T ) des Signals x(t) zu den Abtastzeitpunkten n T zu betrachten. Abbildung 1.1.: Abtastung eines tiefpassgefilterten Mikrofonsignals Den Kehrwert der Zeit T bezeichnet man als die Abtastfrequenz f a = 1, die die T Anzahl der Abtastwerte je Sekunde festlegt. Zum einen würde man für die Zeit T gerne einen möglichst großen Wert wählen, um die Anzahl der Abtastwerte und den daraus resultierenden Speicher- und Verarbeitungsaufwand möglichst gering zu halten. Zum anderen muss die Zeit T aber so gewählt werden, dass man den schnellsten Veränderungen im zeitlichen Verlauf der Spannung noch folgen kann. Die konkrete Wahl des Werts der Abtastfrequenz wird durch das sogenannte Abtasttheorem bestimmt, das auch als 1. Nyquistkriterium bezeichnet wird. Das Abtasttheorem besagt, dass ein Signal mit einer Frequenz abgetastet werden muss, die größer als das Doppelte der höchsten in dem Signal enthaltenen Frequenz ist. f a > f max Die Frequenz f max beschreibt quantitativ die schnellsten Veränderungen, die im Signalverlauf auftreten. Da man die in einem Signal auftretende maximale Frequenz häufig nicht kennt, erfolgt vor der Abtastung eine Filterung des analogen Signals mit einem Tiefpass. Dieser verhindert weitgehend das Auftreten von Frequenzanteilen oberhalb von fa, um das zur Festlegung von f max umgestellte Abtasttheorem f max < fa zu erfüllen. Da ein realer analoger Tiefpass nicht die ideale rechteckförmige Charakteristik besitzt, wie sie in Abbildung 1.1 veranschaulicht wird, wird die Grenzfrequenz f g des Tiefpasses in der Regel zu f g < fa gewählt. Damit wird insbesondere der Tatsache Rechnung getragen, dass die Flanke im Bereich der Grenzfrequenz des Tiefpasses nur eine endliche Steilheit besitzt. Zur Festlegung der Grenzfrequenz des Tiefpasses wird beispielhaft das Sprachsignal betrachtet, das Frequenzanteile im Bereich bis etwa 7 khz besitzt. Dies bedingt eine H.G. Hirsch 11 Digitale Signalverarbeitung

12 1. Signalwandlung Abtastung mit einer Frequenz, die größer als 14 khz sein muss. Bei der Entwicklung des analogen Telefons hat man allerdings festgestellt, dass auch die Beschränkung auf den Bereich von 300 Hz bis 3,4 khz noch ein gut verständliches Sprachsignal liefert. Daher verwendet man zur digitalen Erfassung der Sprache im Bereich der Telephonie häufig eine Abtastfrequenz von 8 khz, so dass man auch bei Einsatz eines nicht idealen Tiefpasses, der eine Grenzfrequenz unterhalb von 4 khz besitzen muss, noch Frequenzanteile bis 3,4 khz erfassen kann. Damit erhält man 8000 Abtastwerte je Sekunde. Die Abtastwerte des zeitdiskreten Signals x(n T ) mit n =,,, 1, 0, 1,,, lassen sich aus einer mathematischen Beschreibung des analogen Signals x(t) durch eine Substitution von t durch n T berechnen. Damit ergibt sich beispielsweise für ein Cosinussignal die nachstehende mathematische Darstellung des zeitdiskreten Signals. ( x(t) = cos ( π f t) t n T x(n T ) = cos π n f ) f a Es ergibt sich eine Folge von Abtastwerten, die das Cosinussignal repräsentiert. Man findet an dieser Stelle einen wesentlichen Aspekt der digitalen Signalverarbeitung, nämlich die Abhängigkeit von dem Frequenzverhältnis f f a. Beispielsweise ergibt sich bei gleichzeitiger Verdopplung der Frequenz f und der Abtastfrequenz f a die gleiche Folge von Abtastwerten. Bei einer Folge von Abtastwerten kann man absolute Frequenzangaben nur bei Kenntnis der Abtastfrequenz machen. Dies macht deutlich, dass die Verarbeitung eines Signals in einem Digitalrechner immer relativ zur Abtastfrequenz erfolgt. Man beschreibt das zeitdiskrete Signal in der Regel auch nur in Abhängigkeit des Abtastindex n als x(n). Dabei definiert n, welcher Wert aus der Folge von Abtastwerten bearbeitet wird. Um die Eigenschaften des abgetasteten Signals im Frequenzbereich zu bestimmen, beschreibt man die Abtastung zu äquidistanten Zeitpunkten mathematisch als die Multiplikation des Signals mit einer Folge von Dirac Impulsen, wie es Abbildung 1. veranschaulicht. H.G. Hirsch 1 Digitale Signalverarbeitung

13 1. Signalwandlung Abbildung 1..: Analoges Signal (oben), Folge von Dirac-Impulsen (Mitte), PAM Signal (unten) Das Signal, das aus der Folge von Dirac Impulsen besteht, nimmt zu den Abtastzeitpunkten den Wert 1 an und ist ansonsten Null. Das aus der Multiplikation resultierende Signal nimmt zu den Abtastzeitpunkten die Werte x(n T ) an und ist ansonsten Null. Man bezeichnet diese Vorgehensweise auch als Pulsamplitudenmodulation (PAM). Die Folge von Dirac Impulsen lässt sich formal beschreiben als n= δ(t n T ) Unterwirft man diese Impulsfolge einer Fourier Transformation, so ergibt sich im Spektralbereich ebenfalls eine Folge von Dirac Impulsen: 1 δ(t n T ) δ ( ) f n T T = 1 T n= n= n= Die Dirac Impulse treten bei Vielfachen der Abtastfrequenz f a auf. δ (f n f a ) Aus der Multiplikation des Signals mit einer Impulsfolge im Zeitbereich wird eine Faltung des Spektrums mit der entsprechenden Impulsfolge im Frequenzbereich. H.G. Hirsch 13 Digitale Signalverarbeitung

14 1. Signalwandlung x ab (t) = x(t) δ(t n T ) n= X ab (f) = X(f) 1 T n= δ (f n f a ) Dies wird in Abbildung 1.3 in einer zweiseitigen spektralen Darstellung einschließlich negativer Frequenzen veranschaulicht, in der das Betragsspektrum eines gemäß dem Abtasttheorem tiefpassgefilterten Signals, die Folge von Dirac Impulsen im Frequenzbereich sowie das Betragsspektrum des abgetasteten Signals dargestellt sind. Der trapezförmige Funktionsverlauf des Spektrums X(f) ist nur als beispielhafte Darstellung zu sehen. In der Realität ist der Verlauf abhängig von den in dem Signal x(t) enthaltenen Frequenzkomponenten. Nach der Tiefpassfilterung dürfen nur keine Anteile mehr oberhalb der halben Abtastfrequenz enthalten sein. Abbildung 1.3.: Wiederholtes Auftreten des TP-Spektrums nach einer Faltung des Spektrums mit einer Folge von Dirac-Impulsen Die Abtastung im Zeitbereich führt zu einer periodischen Wiederholung des tiefpassgefilterten Spektrums bei Vielfachen der Abtastfrequenz. Das Spektrum des PAM Signals x ab (t) ist unendlich ausgedehnt. An dieser Stelle wird auch einsichtig, wie man aus dem PAM Signal x ab (t) wieder das analoge Signal x(t) rekonstruieren kann. Man benötigt einen Tiefpass mit H.G. Hirsch 14 Digitale Signalverarbeitung

15 1. Signalwandlung einer Grenzfrequenz f g fa, um das unendlich ausgedehnte Spektrum auf den Frequenzbereich fa f fa zu beschränken. Diese Tiefpassfilterung kann man im Zeitbereich anschaulich als die Rekonstruktion des kontinuierlichen Signals x(t) aus dem Signal x ab (t), das nur zu den Abtastzeitpunkten Werte ungleich Null besitzt, darstellen. Die glättende Wirkung des Tiefpasses führt somit zur Rekonstruktion des Signalverlaufs zwischen den Abtastzeitpunkten. Die komplette Verarbeitungskette zur Gewinnung und Übertragung eines pulsamplitudenmodulierten Signals sowie einer Rekonstruktion des analogen Signals aus dem PAM Signal ist in Abbildung 1.4 dargestellt. Anstelle einer Übertragung des Signals x ab (t) kann man auch nur die Abtastwerte x(nt ) übertragen und auf der Empfängerseite das Signals x ab (t) bei Kenntnis der Abtastfrequenz bzw. der Zeit T daraus rekonstruieren. Dies stellt das Prinzip einer digitalen Übertragung da, bei der nur die Werte x(nt ) übertragen werden. Auf der Empfängerseite müsste man ein Signal generieren, dass bis auf die Abtastzeitpunkte nt den Wert Null besitzt. Die Generierung unendlich kurzer Impulse ist in der Praxis nicht möglich. Auf die daraus resultierenden Konsequenzen wird später im Abschnitt zur Digital-/Analogumsetzung eingegangen (Kapitel 1.5). Abbildung 1.4.: PAM Signalgenerierung und Rekonstruktion des TP gefilterten analogen Signals Die Kenntnis von dem wiederholten Auftreten des Spektrums eines abgetasteten Signals kann auch herangezogen werden, um die bei einer Verletzung des Abtasttheorems auftretenden Effekte darzustellen. Es wird der Fall betrachtet, dass vor der Abtastung eines Signals keine entsprechende TP Filterung erfolgt, so dass in dem abzutastenden Signal Frequenzanteile oberhalb der halben Abtastfrequenz enthalten sind. Beispielhaft ist dazu in Abbildung 1.5 das Spektrum eines Cosinussignals, das eine Frequenz von 5 khz besitzt, im oberen Bild dargestellt. Das Spektrum besteht aus zwei Dirac Impulsen bei den Frequenzen -5 und +5 khz. Nach einer Abtastung des Cosinussignals mit einer Frequenz von 8 khz, treten weitere Impulse bei 8-5 = 3 khz und bei 8+5 = 13 khz als erste Wiederholung des Spektrums auf. Als zweite Wiederholung treten weitere Impulse bei 16-5 = 11 khz und bei 16+5 = 1 khz auf. Entsprechend fortgesetzt treten weitere Impulse für die weiteren Vielfachen der H.G. Hirsch 15 Digitale Signalverarbeitung

16 1. Signalwandlung Abtastfrequenz sowie im negativen Frequenzbereich auf. Abbildung 1.5.: Spektrum eines 5 khz Signals (oben), Spektrum des unterabgetasteten Signals (Mitte), Spektrum des TP gefilterten Signals (unten) Wird das aus der Abtastung resultierende PAM Signal mit einem korrekt gewählten Tiefpass gefiltert, so erhält man ein Cosinussignal, das eine Frequenz von 3 khz besitzt. Den beobachteten Effekt kann man verallgemeinernd so beschreiben, dass Frequenzanteile, die im abzutastenden Signal oberhalb von fa bei fa + f vorhanden sind, nach der Abtastung und Filterung bei fa f auftreten. Man spricht dabei auch von einer Rückfaltung der oberhalb von fa liegenden Frequenzanteile. Im Allgemeinen kommt es zu einer Überlagerung der eigentlichen Frequenzanteile im Frequenzbereich unterhalb von fa mit den rückgefalteten Komponenten. Man nennt diesen Effekt der Überlagerung von Spektralanteilen Aliasing. Das vor der Abtastung eingesetzte TP Filter wird daher häufig auch als Antialiasingfilter bezeichnet. 1.. Unterabtastung von Bandpasssignalen Das im vorherigen Abschnitt eingeführte Abtasttheorem nach Nyquist und Shannon besagt, dass ein Signal mit mindestens dem Doppelten der Frequenz des höchstfrequenten, in dem Signal enthaltenen Signalanteils abgetastet werden muss. Dies würde bedeuten, dass man bei einem Bandpasssignal, das nur Frequenzanteile im Bereich von f min bis f max besitzt, mit einer Frequenz von f a f max abtasten müsste, obwohl im Frequenzbereich von 0 bis f min keine Frequenzanteile vorhan- H.G. Hirsch 16 Digitale Signalverarbeitung

17 1. Signalwandlung den sind. Würde man das Bandpassspektrum in den niederfrequenten Bereich verschieben, so dass f min bei der Frequenz 0 landet, so wäre eine Abtastung mit der Frequenz f a (f max f min ) ausreichend. Diese Überlegungen sind von praktischer Bedeutung, wenn man die unmittelbare digitale Verarbeitung eines hochfrequenten Funksignals anstrebt, ohne zuvor mit einer analogen Verarbeitung in Form eines Abwärtsmischers das Signal in einen niederfrequenteren Bereich zu verschieben. Beispielsweise streben die Aktivitäten unter dem Stichwort Software Defined Radio (SDR) die möglichst unmittelbare digitale Verarbeitung des hochfrequenten Radiosignals an. Die Vorteile dieser weitgehend digitalen Verarbeitung liegen in einem reduzierten Hardwareaufwand und einer sehr hohen Flexibilität, was die Verarbeitung des digitalen Signals angeht. Allerdings resultieren aus dieser Zielsetzung relativ hohe Anforderungen an den Analog-/Digitalwandler und entsprechend höhere Kosten, wenn man die in der Regel sehr hohen Funkfrequenzen in Betracht zieht. In diesem Zusammenhang hat man Überlegungen angestellt, ob es möglich ist, ein Bandpassignal bei einer bewußten Verletzung des Abtasttheorems mit einer niedrigeren Frequenz f a < f max abzutasten, ohne dass dabei Aliasingeffekte auftreten und Informationen verloren gehen. Durch geschickte Wahl der Abtastfrequenz kann dabei ein Bandpasssignal in einem niederfrequenteren Bereich erfasst werden. Durch die verringerte Abtastrate reduziert sich das Datenaufkommen, und es können günstigere A/D-Wandler eingesetzt werden. Im Folgenden wird beispielhaft der gesamte UKW Frequenzbereich von 88 MHz bis 108 MHz, in dem die Audiosignale von Radiosendern übertragen werden, als Bandpasssignal betrachtet. Nach dem Abtasttheorem müsste zur Erfassung dieses Frequenzbandes eine Abtastung mit mindestens 16 MHz erfolgen. Die Kernüberlegung besteht nun darin, eine niedrigere Abtastfrequenz so zu wählen, dass es zu keiner Überlappung des Originalspektrums und der auf Grund der Verletzung des Abtasttheorems zurückgefalteten Spektren kommt. Man kann herleiten, dass die Abtastfrequenz so zu wählen ist, dass die nachstehende Ungleichung erfüllt ist 1 : f max n + 1 f a f min, n = 0, 1,,... n Gesucht wird n max als dem größten Wert n, für den die Ungleichung noch erfüllt ist. Für n = 0 entspricht die Ungleichung dem bekannten Abtasttheorem: 1 Peter Adam Höher, Grundlagen der digitalen Informationsübertragung, S. 369 ff,. Auflage, Springer 013 H.G. Hirsch 17 Digitale Signalverarbeitung

18 1. Signalwandlung f max f a f min 0 f max f a Für das Beispiel der Erfassung des UKW-Bands ergeben sich folgende Werte: n = 1 : n = : n = 3 : n = 4 : n = 5 : 108 MHz f a 176 MHz 7 MHz f a 88 MHz 54 MHz f a 58, 6 MHz 43, MHz f a 44 MHz 36 MHz f a 35, MHz Für n = 5 ist die Ungleichung nicht mehr erfüllt. Für eine korrekte Rekonstruktion sollte eine Abtastrate im Bereich 43, MHz f a 44 MHz gewählt werden. Zu beachten ist, dass bei ungeraden n das Signal nach der Abtastung in Kehrlage vorliegt. Das bedeutet, dass die Frequenzanteile in umgekehrter Reihenfolge über der Frequenz auftreten. Es tritt eine Art Spiegelung des Spektrums auf. Ist dies nicht erwünscht, sollten nur gerade n verwendet werden. Eine direkte Berechnung von n max ist mit folgender Formel möglich: Im gewählten Beispiel ergibt sich: f min n max = f max f min 88 MHz n max = = MHz 88 MHz In Abbildung 1.6 sind im oberen Bild das Bandpasspektrum des UKW Bands sowie im unteren Bild das resultierende Spektrum des Signals nach einer Abtastung mit f a = 44 MHz dargestellt. Der abfallende Verlauf im Bereich von 88 bis 108 MHz bei dem Originalspektrum wurde dabei nur zur besseren Wiedererkennung des Verlaufs im Spektrum des abgetasteten Signals gewählt. Das Spektrum des abgetasteten Signals resultiert aus der Faltung des Originalsignals mit der Folge von Dirac Impulsen bei Vielfachen der Abtastfrequenz. Alternativ kann man dies auch als Überlagerung der um..., f a, f a, 0, f a, f a,... verschobenen Versionen des Originalspektrums H.G. Hirsch 18 Digitale Signalverarbeitung

19 1. Signalwandlung ansehen. Zum einen wird deutlich, dass es zu keiner Überlappung von verschobenen Spektren kommt, also zu keinerlei Aliasingeffekten. Zum anderen findet man die interessierenden Spektralanteile des Bandpasssignals im niederfrequenten Bereich von 0 bis 0 MHz. X(f) f/mhz X(f) f/mhz Abbildung 1.6.: Bandpassunterabtastung am Beispiel des UKW Bands 1.3. Abtastratenwandlung Im Bereich der digitalen Signalverarbeitung stößt man an einigen Stellen auf die Problematik aus den Abtastwerten x(n T 1 ) eines mit der Frequenz f a1 ( = 1 T 1 ) abgetasteten Signals die Abtastwerte x(n T ) eines mit der Frequenz f a ( = 1 T )abgetasteten Signals zu generieren. Hat man beispielsweise ein Sprachsignal mit einer Abtastfrequenz von 8 khz aufgezeichnet und möchte es später auf einer Audio-CD speichern, benötigt man eine mit 44.1 khz abgetastete Version des Sprachsignals, da dies die im Bereich von Audio-CDs vorgegebene und standardisierte Frequenz darstellt. Mit Hilfe der im vorherigen Abschnitt vermittelten Kenntnisse zur Abtastung und zum Aussehen des Spektrums eines abgetasteten Signals lassen sich die zur Abtastratenwandlung benötigten Arbeitsschritte herleiten. Nachstehend werden die Vorgehensweisen zur Reduktion der Abtastfrequenz, die man auch als Unterabtastung bezeichnet, um einen ganzzahligen Faktor und zur Erhöhung der Abtastfrequenz, die man als Überabtastung bezeichnet, um einen ganzzahligen Faktor erläutert. Abschließend wird die Vorgehensweise zur Wandlung für ein beliebiges Verhältnis von alter und neuer Abtastfrequenz vorgestellt. H.G. Hirsch 19 Digitale Signalverarbeitung

20 1. Signalwandlung Unterabtastung um einen ganzzahligen Faktor Bei der Unterabtastung um einen ganzzahligen Wert k ergibt sich die neue Abtastfrequenz zu f aneu = fa. Nach dem Abtasttheorem darf das mit der Frequenz f k a neu abgetastete Signal nur Anteile bis faneu beinhalten. Das mit f a abgetastete Ausgangssignal beinhaltet allerdings Frequenzanteile bis fa = k faneu. Dies macht die Notwendigkeit einer Tiefpassfilterung als erstem Verarbeitungsschritt deutlich. Mit Hilfe eines digitalen Tiefpasses mit der Grenzfrequenz faneu müssen die Anteile im Bereich von faneu bis k faneu zur Erfüllung des Abtasttheorems entfernt werden. Damit resultiert im Fall einer Unterabtastung ein Verlust der in den Frequenzanteilen oberhalb von faneu enthaltenen Informationen. Wie man später beim Entwurf digitaler Filter sehen wird, benötigt man dazu die Angabe des Frequenzverhältnisses von Grenzfrequenz und Abtastfrequenz. Im Allgemeinen ergibt sich dieses Verhältnis bei Filterung des mit f a abgetasteten Signals zu f g f a = f aneu f a = f a = 1 k f a k Der zweite Verarbeitungsschritt besteht in einer Extraktion jedes k-ten Abtastwerts. Dies ergibt sich aus der k-fachen Zeit zwischen Abtastwerten T neu = 1 f aneu = k f a = k T Damit reduziert sich die Anzahl der Abtastwerte um den Faktor k. Abbildung 1.7 zeigt die zur Unterabtastung benötigten Schritte. TP mit f g = fa neu Extrahieren jedes k-ten Werts Abbildung 1.7.: Verarbeitungsschritte zur Unterabtastung Im Folgenden wird als Beispiel ein mit f a = 4 khz abgetastetes Signal und dessen Spektrum in Abbildung 1.8 betrachtet. Es soll eine Unterabtastung bei der Frequenz f aneu = 8 khz erfolgen. Damit ergibt sich der ganzzahlige Faktor zu k = fa f aneu = 3. H.G. Hirsch 0 Digitale Signalverarbeitung

21 1. Signalwandlung f / khz Abbildung 1.8.: Spektrum bei f a = 4 khz Zunächst ist eine TP Filterung mit der relativen Grenzfrequenz von fg f a = 1 k = 1 6 erforderlich. Dies entspricht bei der Abtastfrequenz von f a = 4 khz einer Grenzfrequenz von f g = fa = 4 khz. Nach der Filterung erhält man das in Abbildung dargestellte Spektrum. Die rechteckförmige Charakteristik eines idealen Tiefpasses im Bereich von -4 bis +4 khz mit ihren spektralen Wiederholungen bei Vielfachen der Abtastfrequenz wird dabei multiplikativ mit dem Spektrum des in Abbildung 1.8 dargestellten Spektrums verknüpft. Daraus resultiert der Informationsverlust mit der Entfernung der Frequenzanteile im Bereich von faneu = 4 khz bis fa sowie an der Ordinate gespiegelt im Bereich von -4 bis -1kHz. = 1 khz f / khz Abbildung 1.9.: Spektrum nach TP Filterung Das Extrahieren jedes dritten Abtastwerts als zweitem Verarbeitungsschritt und die damit verbundene Reduktion der Abtastfrequenz auf einen Wert von 8 khz geht einher mit einem wiederholten Auftreten des Spektrums im Bereich von faneu = 4kHz bis faneu = 4 khz bei Vielfachen der Abtastfrequenz f aneu = 8 khz. Daraus resultiert das in Abbildung 1.10 dargestellte Spektrum. Anschaulich kann man sich dieses Spektrum auch als ein Zusammenschieben der nach der TP Filterung verbliebenen, um die Vielfachen der Abtastfrequenz liegenden Spektren, wie sie in Abbildung 1.9 zu sehen sind, vorstellen. H.G. Hirsch 1 Digitale Signalverarbeitung

22 1. Signalwandlung f / khz Abbildung 1.10.: Spektrum nach dem Extrahieren jedes dritten Werts Überabtastung um einen ganzzahligen Faktor Bei der Überabtastung um einen ganzzahligen Wert k ergibt sich die neue Abtastfrequenz zu f aneu = k f a. Das überabgetastete Signal besteht aus einer um den Faktor k höheren Anzahl von Abtastwerten und deckt einen um den Faktor k größeren Frequenzbereich bis faneu = k fa ab. Demnach kommt es in diesem Fall zu keinem Informationsverlust, da das Spektrum bis fa vollständig erhalten bleibt. Die Erhöhung der Anzahl der Abtastwerte kann man durch ein Einfügen von k-1 zusätzlichen Werten zwischen jeweils zwei Abtastwerten des mit f a abgetasteten Signals erreichen. Anschaulich könnte man sich dabei eine Interpolation der einzufügenden Werte aus den vorhandenen Werten als Lösungsansatz vorstellen. Eine derartige Vorgehensweise würde allerdings mit spektralen Verzerrungen einhergehen. Man wählt daher die nachfolgende, zweistufige Vorgehensweise. In einem ersten Verarbeitungsschritt fügt man k-1 Nullwerte zwischen jeweils Abtastwerten ein. Man erhält dabei bereits ein Signal, dessen Abtastfrequenz f aneu ist. Dieses Einfügen von Nullwerten kann man sich auch als eine zweistufige Abtastung, wie sie in Abbildung 1.11 dargestellt ist, vorstellen. Zunächst erfolgt die Abtastung mit der Frequenz f a. Das Ausgangssignal dieser ersten Abtastung x ab1 (t) nimmt bis auf die Abtastzeitpunkte n T den Wert Null an. Tastet man das Signal x ab1 (t) zeitlich synchronisiert zur ersten Abtastung mit der um den Faktor k höheren Frequenz f aneu erneut ab, so erhält man am Ausgang das Signal x ab (t), das unverändert dem Signal x ab1 (t) entspricht. Lediglich die Abtastwerte x(n T neu ) beinhalten nun die k-1 Nullwerte zwischen jeweils zwei Abtastwerten. H.G. Hirsch Digitale Signalverarbeitung

23 1. Signalwandlung Abbildung 1.11.: Einfügen von Nullwerten mit Hilfe einer zweistufigen Abtastung Die Vorstellung des Einfügens von Nullwerten als eine zweistufige Abtastung macht deutlich, dass die Spektren X ab1 (f) und X ab (f) der identischen Signale x ab1 (t) und x ab (t) auch gleich sein müssen. Das Spektrum X ab1 (f) besteht aus dem Spektrum des tiefpassgefilterten Signals x(t) im Bereich von fa bis + fa sowie den spektralen Wiederholungen bei Vielfachen der Abtastfrequenz f a. Allerdings beinhaltet das identische Spektrum X ab (f) gemäß dem Abtasttheorem die Frequenzanteile eines zugehörigen analogen Signals im Bereich bis faneu. Im Bereich von fa faneu bis findet man die Anteile der spektralen Wiederholungen des mit f a abgetasteten Signals, die für die Aufgabenstellung der Erzeugung eines überabgetasteten Signals mit identischem Spektrum unerwünscht sind. Aus dieser Betrachtung wird deutlich, dass als. Verarbeitungsschritt wieder eine TP Filterung benötigt wird, um die Anteile im Bereich von fa bis faneu zu entfernen. Die relative Grenzfrequenz des TP müsste f idealerweise g f aneu = fa f aneu = 1 k Abbildung 1.1 zeigt die zur Überabtastung benötigten Schritte. Einfügen von k-1 Nullwerten TP mit f g = fa Abbildung 1.1.: Verarbeitungsschritte zur Überabtastung Zur Veranschaulichung werden im Folgenden beispielhaft die Spektren eines mit f a = 8 khz abgetasteten Signals und der mit f aneu = 4 khz überabgetasteten Version dargestellt. Das in Abbildung 1.13 dargestellte Spektrum repräsentiert zum einen die Frequenzzusammensetzung des mit 8 khz abgetasteten Signals mit den spektralen Wiederholungen bei Vielfachen von f a = 8 khz, wobei der dreiecksförmige Verlauf nur als beispielhafte Charakteristik gewählt wurde. H.G. Hirsch 3 Digitale Signalverarbeitung

24 1. Signalwandlung f a f a neu f / khz Abbildung 1.13.: Spektrum vor bzw. nach Einfügen von Nullwerten Zum anderen beinhaltet das Spektrum die Frequenzzusammensetzung des mit 4kHz abgetasteten Signals nach der Einfügung von k 1 = faneu f a 1 = 3 1 = Nullstellen. Allerdings ist die Darstellung in diesem Fall so zu interpretieren, dass die Anteile im Bereich von 1 bis +1 khz wiederholt bei den Vielfachen von f aneu = 4 khz auftreten. Zur Entfernung der unerwünschten Anteile im Bereich von 4 bis 1 khz wird eine digitale Filterung mit einem Tiefpass, dessen Grenzfrequenz 4kHz beträgt, durchgeführt. Damit verbleiben nach der Filterung nur noch die Anteile im Bereich von 4 bis +4 khz sowie die Wiederholungen bei den Vielfachen von 4 khz, wie es der Darstellung in Abbildung 1.14 entnommen werden kann. f a neu f / khz Abbildung 1.14.: Spektrum nach TP Filterung Unter- und Überabtastung um einen nicht ganzzahligen Faktor Zur Realisierung einer Über- oder Unterabtastung um einen nicht ganzzahligen Faktor kann man die beiden zuvor vorgestellten Verarbeitungsschritte der Überund der Unterabtastung hintereinander anwenden. Man definiert sich dazu eine höhere Zwischenabtastfrequenz f az, die sich aus dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (KGV) der beiden Abtastfrequenzen ergibt. Dann lässt sich f az als ganzzahliges Vielfaches der Abtastfrequenzen f a und f aneu darstellen: f az = k 1 f a = k f aneu mitk 1, k ganzzahlig. Zunächst führt man eine Überabtastung des mit f a abgetasteten Signals um den Faktor k 1 durch. Als ersten Verarbeitungsschritt fügt H.G. Hirsch 4 Digitale Signalverarbeitung

25 1. Signalwandlung man dazu k 1 1 Nullwerte zwischen jeweils zwei Abtastwerten des mit f a abgetasteten Signals ein. Man erhält damit ein mit f az abgetastetes Signal, bei dem man als zweitem Verarbeitungsschritt eine TP Filterung mit der relativen Grenzfrequenz f g f az = 1 k 1 anwenden muss, wie es im vorhergehenden Abschnitt gezeigt wurde. Im Anschluss führt man eine Unterabtastung um den Faktor k durch. Dazu ist eine TP Filterung mit der relativen Grenzfrequenz fg f az = 1 k erforderlich. Als letzten Verarbeitungsschritt extrahiert man jeden k ten Wert des gefilterten Signals, so dass man das gewünschte mit f aneu abgetastete Signal erhält. Die zuvor beschriebenen Verarbeitungsschritte, die aus der nacheinander durchgeführten Über- und anschließenden Unterabtastung bestehen, beinhalten zwei unmittelbar aufeinander folgende TP Filterungen. Diese kann man zusammenfassen, in dem man { eine } TP Filterung mit dem Minimum der beiden Grenzfrequenzen fg 1 1 f az = min k 1, k durchführt. Die Grenzfrequenz f g wird dabei als Minimum der beiden halben Abtastfrequenzen f a faneu und festgelegt. In Abbildung 1.15 wird nochmals die zur Über- oder Unterabtastung um einen nicht ganzzahligen Faktor erforderliche Verarbeitungskette veranschaulicht. Einfügen von k -1 Nullwerten 1 TP mit a f g=min{ f faneu, } Extrahieren jedes k -ten Werts Abbildung 1.15.: Verarbeitungsschritte zur Abtastratenwandlung um einen nicht ganzzahligen Faktor In einigen praktischen Anwendungsfällen führt die beschriebene Vorgehensweise zur Bestimmung sehr großer Werte der Zwischenabtastfrequenz f az. Hat man beispielsweise ein Audiosignal mit einer Abtastfrequenz von f a = 16000Hz auf einem PC erfasst und möchte es später auf einer Audio-CD, bei der die Abtastfrequenz standardmäßig auf f aneu = Hz festgelegt ist, abspeichern, so erhält man als kleinstes gemeinsamen Vielfaches einen Wert von f az = Hz. Dies würde bedeuten, dass man zunächst eine Überabtastung um den Faktor 441 und eine anschließende Unterabtastung um den Faktor 160 durchführen müsste. Die erforderliche TP Filterung mit der Grenzfrequenz fa f az = min { 1, } = 1 würde sich nur mit 88 einem sehr hohen Aufwand realisieren lassen, was die erforderliche Rechenleistung und den Speicheraufwand angeht. Zur Realisierung eines qualitativ guten Filters mit einer derart kleinen Grenzfrequenz benötigt man eine hohe Filterordnung mit einer entsprechend großen Anzahl von Filterkoeffizienten. Daher modifiziert man die Vorgehensweise in einem solchen Fall in der Weise, dass man eine nicht zu große Zwi- H.G. Hirsch 5 Digitale Signalverarbeitung

26 1. Signalwandlung schenabtastfrequenz wählt, die näherungsweise ein gemeinsames Vielfaches darstellt. Für das vorgestellte Beispiel mit f a = Hz und f aneu = Hz erhält man beispielsweise für die beiden Werte und die Zahl als kleinstes gemeinsamen Vielfaches. Man kann eine Überabtastung um den Faktor 11 vornehmen, bei der nach Einfügen von 10 Nullwerten eine TP Filterung mit fg f az = 1 durchgeführt wird. Zur Unterabtastung mit dem Faktor 4 benötigt man ein mit Hz abgetastetes Signal, um das gewünschte Signal bei der Abtastfrequenz f aneu = Hz zu erhalten. Dazu kann man die Abtastwerte bei der Frequenz Hz durch Interpolation der mit Hz abgetasteten Werte und Berechnung der Amplituden für die Zeitpunkte der Abtastung mit Hz bestimmen. Abbildung 1.16 versucht dies zu veranschaulichen. Durch die Extraktion jedes vierten Werts der interpolierten Abtastwerte kann man dann die Unterabtastung um den Faktor 4 vornehmen. In diesem Fall ist es ausreichend die Interpolation auch nur für jeden vierten Wert vorzunehmen. 1/ Hz 1/ Hz Abtastzeitpunkte Interpolationszeitpunkte t Abbildung 1.16.: Interpolation der Abtastwerte bei angenäherter Zwischenabtastfrequenz Die Interpolation kann dabei im einfachsten Fall durch eine lineare Interpolation zwischen jeweils zwei Abtastwerten oder aber durch Interpolation mit Hilfe eines Polynoms höheren Grades aus mehreren Abtastwerten erfolgen Verkleinern und Vergrößern von Bildern Die vorgestellten Verarbeitungsschritte zur Unter- und Überabtastung können auch im Bereich der Bildverarbeitung verwendet werden, um digital erfasste Bilder mit einer größeren oder kleineren Anzahl von Bildpunkten darzustellen. Die prinzipielle Vorgehensweise, die in den vorhergehenden Abschnitten zur Verarbeitung eindimensionaler Signale, bei denen eine Folge von Abtastwerten in Abhängigkeit der Zeit auftritt, beschrieben wurde, kann auch auf die zweidimensionale Anordnung der Farb- oder Lichtintensitäten eines Bildes übertragen werden. Digitale Bilder lassen sich als zweidimensionale Signale in Abhängigkeit der beiden Ausdehnungen eines H.G. Hirsch 6 Digitale Signalverarbeitung

27 1. Signalwandlung Bildes in horizontaler und vertikaler Richtung darstellen. Bei einem Farbbild treten dabei in der Regel drei separate Signale für die drei Farbbasiskomponenten, häufig rot, grün und blau, auf. Die Verkleinerung und Vergrößerung soll an Hand konkreter Beispiele aufgezeigt werden. Möchte man ein Bild, das aus 400 mal 00 Bildpunkten besteht, auf eine Darstellung mit 00 mal 100 Bildpunkten reduzieren, so kann man sich dies als eine Beschränkung auf jeden zweiten Bildpunkt sowohl in Zeilen- als auch in Spaltenrichtung vorstellen. Diese Beschränkung auf die Bildpunkte in jeder zweiten Zeile und jeder zweiten Spalte wird in Abbildung 1.17 veranschaulicht. Abbildung 1.17.: Extrahieren jedes zweiten Bildpunktes Vor der Extraktion jedes zweiten Bildpunkts in Zeilen- und Spaltenrichtung muss wie bei der zuvor beschriebenen Unterabtastung bei eindimensionalen Zeitsignalen eine TP Filterung durchgeführt werden, um das Abtasttheorem nicht zu verletzen, was die Veränderungen der Intensität in einer Zeile oder Spalte angeht. Diese TP Filterung kann separat nacheinander in Zeilen- und Spaltenrichtung ausgeführt werden. Idealerweise müsste die Grenzfrequenz des Tiefpasses fg f a = 1 k = 1 4 betragen, da die Anzahl der Punkte in Zeilen- bzw. Spaltenrichtung jeweils um den Faktor k = reduziert wird. Alternativ kann auch in einem einzelnen Verarbeitungsschritt eine zweidimensionale Faltung mit der zweidimensionalen Impulsantwort eines geeigneten TP Filters erfolgen. Die Vorgehensweise zur zweidimensionalen Faltung als auch das Aussehen derartiger Filter werden im nachfolgenden Kapitel zur diskreten Faltung vorgestellt. Im umgekehrten Fall der Erhöhung der Anzahl von Bildpunkten von 00 mal 100 auf eine Pixelanzahl von 400 mal 00 kann man wie bei der Überabtastung im eindimensionalen Fall entsprechende Nullintensitäten einfügen, wie es in Abbildung 1.18 veranschaulicht wird. Abbildung 1.18.: Einfügen von Nullintensitäten H.G. Hirsch 7 Digitale Signalverarbeitung

28 1. Signalwandlung Zum Ersatz der Nullintensitätswerte durch Werte, mit denen der Intensitätsverlauf in Zeilen- und Spaltenrichtung interpoliert wird, kann wiederum eine entsprechende TP Filterung angewendet werden. Die Grenzfrequenz des Tiefpasses müsste idealerweise fg f a = 1 = 1 betragen, da die Anzahl der Punkte in Zeilen- bzw. Spaltenrichtung jeweils um den Faktor k = erhöht wird. Dieser kurze Exkurs in den k 4 Bereich der Bildverarbeitung soll deutlich machen, dass man die grundsätzlichen Überlegungen zur Abtastratenwandlung bei eindimensionalen Signalen wie auch andere später vorgestellte Verarbeitungsschritte auch auf zweidimensionale Signale übertragen kann Quantisierung und Codierung In einem Digitalrechner werden Werte als Dualzahlen mit einer bestimmten Anzahl von Bits dargestellt. Dazu werden in einem zweiten Schritt nach der Abtastung die Amplituden x(n) der Abtastwerte quantisiert. Der Wertebereich, in dem die Amplitudenwerte auftreten, wird in eine festgelegte Anzahl von k gleich breiten Intervallen unterteilt. Alle Amplitudenwerte in einem Intervall werden anschließend als eine Dualzahl mit k Bits codiert. Legt man den zu erfassenden Amplitudenbereich symmetrisch um den Wert Null herum im Bereich von A max bis +A max fest, so ergibt sich für die Breite x eines Quantisierungsintervalls ein Wert von x = A max ( A max ) = A max = A max k k k 1 A max beschreibt dabei die kleinste und +A max die größte Amplitude, die in dem zu erfassenden Signal auftreten sollte. Für eine beispielhafte Codierung mit k = 3 Bits ergibt sich damit eine Breite von x = Amax = Amax k 1 4 Das Intervall, in das ein Abtastwert x(n) fällt, wird als Dualzahl mit 3 Bits codiert. In der Regel verwendet man bei bipolaren Signalen, die negative und positive Amplitudenwerte annehmen, eine Zuordnung der Dualzahlen gemäß dem Zweierkomplement, da man mit dieser Zahlendarstellung die Amplitudenwerte unmittelbar rechnerisch verarbeiten kann. In der nachstehenden Tabelle 1.1 werden die Zuordnung der Dualzahlen und der Intervalle gemäß der Darstellung im Zweierkomplement sowie die Beschreibung der Dualzahl als ganze Zahl verdeutlicht. H.G. Hirsch 8 Digitale Signalverarbeitung

29 1. Signalwandlung Intervall Dualzahl Darstellung als ganze Zahl b b 1 b 0 Z = b + 1 i=0 b i i A max = 4 x x < 3 x x x < x x x < x x x < x < x x x < x x x < 3 x x x < 4 x = A max Tabelle 1.1.: Beschreibung der Abtastwerte in einem Intervall durch eine Dualzahl (Zweierkomplement) Die Abfolge von Abtastung, Quantisierung und Codierung bezeichnet man als Puls- Code-Modulation (PCM). Das Ausgangssignal der PCM ist zeit- und wertediskret. Die praktische Realisierung der PCM erfolgt in einem Analog-Digital Umsetzer (ADU). Möchte man die mit k Bit codierten Werten zur Rekonstruktion des analogen Signals wieder auf die ursprünglichen Amplitudenwerte x(n) abbilden, so stößt man auf das Problem, auf Grund der Quantisierung nicht mehr die genaue Lage des Abtastwerts in dem entsprechenden Quantisierungsintervall zu kennen. Daher verwendet zur Rekonstruktion den Amplitudenwert in der Mitte des zugehörigen Intervalls. Damit lässt sich der Vorgang der Quantisierung durch die in Abbildung 1.0 dargestellte stufenförmige Kennlinie beschreiben, die man auch als Quantisierungskennlinie bezeichnet. In Abbildung 1.0 wird beispielhaft eine Quantisierung mit k = 3 Bit und der zugehörigen Unterteilung des Amplitudenbereichs in 8 Intervalle dargestellt. Mit Hilfe der Quantisierungskennlinie kann man den Quantisierungsvorgang als Verarbeitungsblock definieren, den man beispielsweise im Rahmen einer Simulation einsetzen kann. x(n) Q ^x(n) Abbildung 1.19.: Verarbeitungsblock zur Quantisierung Abbildung 1.19 visualisiert diesen Verarbeitungsblock, bei dem x(n) als Eingangswert und ˆx(n) als Ausgangswert des Blocks auftreten. H.G. Hirsch 9 Digitale Signalverarbeitung

30 1. Signalwandlung Abbildung 1.0.: Quantisierungs- und Abbildungskennlinie für eine PCM bei einer Wortlänge von 3 Bit Die Quantisierungskennlinie lässt sich mathematisch beschreiben durch [ ( ) x(n) ˆx(n) = sign (x(n)) int + 1 ] x, x wobei sign(arg) das Vorzeichen von arg repräsentiert und int(arg) die Bestimmung der nächstkleineren ganzen Zahl von arg definiert. Auf Grund der Abbildung aller Amplitudenwerte in einem Quantisierungsintervall auf den Wert in der Mitte des Intervalls treten Fehler auf, die sich quantitativ als Differenz des quantisierten Amplitudenwerts und des ursprünglichen Werts beschreiben lassen e(n) = ˆx(n) x(n) Zur modellhaften Beschreibung dieser Fehler, z.b. im Rahmen einer Simulation der Quantisierungseffekte, kann man die Quantisierung als einen Additionsblock darstellen, wie er in Abbildung 1.1 dargestellt ist. Den Amplitudenwerten x(n) des Signals überlagern sich additiv die Werte des Fehlersignals e(n), wobei man zur Generierung der Fehlerwerte ein gleichverteiltes Rauschen verwenden kann, wie es im Folgenden erläutert wird. H.G. Hirsch 30 Digitale Signalverarbeitung

31 1. Signalwandlung x(n) ^x(n) e(n) Abbildung 1.1.: Darstellung des Quantisierungsfehlers als additive Störung Die Quantisierungsfehler treten in dem Intervall x e(n) x auf. Sie überlagern sich dem ursprünglichen Signal als so genanntes Quantisierungsrauschen. Bei akustischen Signalen wird das Rauschen bei einer zu geringen Bitanzahl hörbar. Abbildung 1..: Analoges und PAM Signal (oben), PCM Signal (mitte), Quantisierungsfehler (unten) Die Quantisierungsfehler, die bei einer Quantisierung des bereits in Abbildung 1. verwendeten Signalabschnitts auftreten, werden in Abbildung 1. veranschaulicht. Dabei wird eine Quantisierung des Amplitudenbereichs von - bis + mit 3 Bit vorgenommen, so dass sich die Breite eines Quantisierungsintervalls zu x = 3 = 1 ergibt und die Quantisierungsfehler im Intervall 1 4 e(n) 1 4 auftreten. Um den Einfluss des Quantisierungsrauschens quantitativ zu beschreiben, betrachtet man das Verhältnis der Leistungen des Signals und des Rauschens. Man bezeichnet H.G. Hirsch 31 Digitale Signalverarbeitung

32 1. Signalwandlung das Verhältnis daher auch als Signal/Rauschleistungsverhältnis (SNR = signal-tonoise ratio). Die Leistung eines Signals lässt sich bei Kenntnis der Auftrittswahrscheinlichkeiten aller Amplitudenwerte als Erwartungswert der quadrierten Amplitude berechnen: S = E { x } = x= p(x) x dx Man bezeichnet die Funktion p(x), die die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Amplitude x beschreibt, auch als Verteilungsdichtefunktion. Bei einem natürlichen Signal kann man annehmen, dass die Quantisierungsfehler im Bereich x e(n) x mit gleich großer Wahrscheinlichkeit auftreten, da sich die Lage eines Amplitudenwerts in einem Quantisierungsintervall zufällig ergibt. Damit nimmt die Verteilungsdichtefunktion p(e) das in Abbildung 1.3 dargestellte Aussehen an. Abbildung 1.3.: Verteilungsdichtefunktion des Quantisierungsfehlers Eine Verteilungsdichtefunktion besitzt die grundlegende Eigenschaft, dass die Fläche unter der Funktion gleich Eins ist: p(x) dx = 1. Damit ergibt sich die konstante Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Quantisierungsfehlers im Intervall x e(n) x zu p(e) = 1 x damit berechnen zu. Die Leistung N des Quantisierungsrauschens lässt sich N = x= e p(e) de = x x 1 x e de = 1 x [ e 3 3 ] x x = 1 ( ) x 3 3 x 8 + x3 = x 8 1 Nimmt man auch für das Signal ein gleichwahrscheinliches Auftreten der Amplitudenwerte im Quantisierungsbereich A max x(n) +A max an, so lässt sich die Leistung S des Signals berechnen zu H.G. Hirsch 3 Digitale Signalverarbeitung

33 1. Signalwandlung S = x= p(x) x dx = = A max A max 1 A max x dx = 1 ( ) A 3 A max = max 6 A max 3 1 A max Damit ergibt sich das Signal/Rauschleistungsverhältnis in db zu SNR = 10 log 10 ( S N ) ( ) A = 10 log max x [ x 3 3 ] Amax A max Mit x = A ( ) max 4 A SNR = 10 log max ( k 10 k = 10 log ) 4 A 10 k max SNR = 10 k log 10 () = k 0 0, 301 = k 6, 0 db Unter der Annahme des gleichwahrscheinlichen Auftretens aller Amplitudenwerte im gesamten Quantisierungsbereich erhält man damit den einfachen Zusammenhang einer linearen Abhängigkeit des Signal/Rauschleistungsverhältnisses von der Bitanzahl k. Damit ergibt sich beispielsweise die häufiger zu findende Angabe eines Signal/Rauschleistungsverhältnisses von 96 db ( 16 6, 0 db) als Qualitätsangabe bei CDs (compact disks), bei denen ein Audiosignal in 16 Intervallen, d.h. mit einer Wortlänge von 16 Bit, quantisiert wird. Die Bestimmung des Signal/Rauschleistungsverhältnisses mit SN R = k 6, 0 db ist an zwei Bedingungen gebunden, die für viele Signale in der Regel nicht erfüllt sind. Die erste Bedingung ist die volle Ausnutzung des Quantisierungsbereichs. Ein Analog-/Digitalumsetzer wird normalerweise so konfiguriert, dass es nicht zu einer Überschreitung des Quantisierungsbereichs (Übersteuerung) kommen sollte. Eine Übersteuerung kann zu sehr großen Quantisierungsfehlern führen, die sich auch akustisch störend bemerkbar machen. Daher wird man beispielsweise bei der Erfassung von Sprache die Quantisierung so konfigurieren, dass es auch bei einem lauten Sprecher nicht zur Übersteuerung kommt. Andererseits führt dies bei einem leisen Sprecher dazu, dass möglicherweise nur ein kleiner Teil des Quantisierungsbereichs genutzt wird. In diesem Fall reduziert sich die Signalleistung bei einer weiterhin angenommenen Gleichverteilung der Amplitudenwerte im Amplitudenbereich Amax r x(n) H.G. Hirsch 33 Digitale Signalverarbeitung

34 1. Signalwandlung + Amax r auf S = 1 3 ( A max 1 ) r wobei r einen Wert größer 1 annimmt. Die Leistung N des Rauschens verändert sich dabei nicht, da die Breite eines Quantisierungsintervalls unverändert bleibt und die Fehler damit weiterhin im gleichen Wertebereich auftreten. Beispielsweise würde r = bedeuten, dass nur die Hälfte des möglichen Wertebereichs des A/D Umsetzers verwendet wird. Das resultierende Signal/Rauschleistungsverhältnis ergibt sich allgemein zu ( ) ( S 1 A SNR = 10 log 10 = 10 log max 10 1 ) ( ) k = 10 log N 3 x r 10 r = 10 log 10 ( k ) 10 log 10 ( r ) = k 6, 0 db 0 log 10 (r) Für r = resultiert daraus eine Verschlechterung des SNRs um 6,0 db. Für das Beispiel einer Quantisierung mit 16 Bit (wie bei der CD) würde eine Beschränkung der Aussteuerung auf die Hälfte des maximal möglichen Amplitudenbereichs zu einem SNR von 96 0 log 10 = 90 db führen. Dies entspricht dem SNR, das sich bei einer Quantisierung mit 15 Bit einstellt. Die Beschränkung auf die Hälfte des maximal möglichen Quantisierungsbereichs entspricht einer Quantisierung mit der Hälfte der insgesamt k Intervalle: 1 k = k 1 Dies bedeutet, dass die Quantisierung eines Signals, das nur die Hälfte des Quantisierungsbereichs ausnutzt, einer Quantisierung mit einer um 1 Bit geringeren Genauigkeit entspricht. Für ein Signal, das zwar eine Gleichverteilung der Amplituden aufweist, aber den Quantisierungsbereich nicht voll ausnutzt, kann man die folgende Abhängigkeit des SNR von der Leistung S des Signals bzw. von dem Leistungsverhältnis S S voll ableiten, wobei S voll der Leistung bei einer vollen Ausnutzung des Quantisierungsbereichs entspricht. ( ) ( ) ( ) ( S S S SNR = 10 log 10 = 10 log 10 S voll N N Svoll Svoll = 10 log 10 S voll N S S voll ) H.G. Hirsch 34 Digitale Signalverarbeitung

35 1. Signalwandlung ( ) ( ) ( ) Svoll S S = 10 log log 10 = k 6, 0 db + 10 log 10 N S voll S voll Damit ergibt sich ein einfacher linearer Zusammenhang für den ( Wert des SNR in db S in Abhängigkeit des logarithmischen Verhältnisses 10 log 10 S voll ), wie man es der Darstellung in Abbildung 1.4 für eine Quantisierung mit k=8 Bit und mit k=1 Bit entnehmen kann. Abbildung 1.4.: Abhängigkeit des SNR von der Ausnutzung des maximalen Quantisierungsbereichs Bei einer ( vollen Ausnutzung des Quantisierungsbereichs ist S = S voll bzw. 10 S log 10 = 0 und das SNR nimmt den Wert k 6, 0 db an. Verkleinert sich S voll ) beispielsweise die Signalleistung relativ um 6 db, so resultiert daraus auch eine Verschlechterung des SNR um 6 db. Auch die zweite Bedingung, dass alle Amplitudenwerte mit gleicher Wahrschein- H.G. Hirsch 35 Digitale Signalverarbeitung

36 1. Signalwandlung lichkeit auftreten, ist bei vielen Signalen nicht erfüllt. Beispielsweise treten bei Audiosignalen kleine Amplitudenwerte wesentlich häufiger auf als große. Eine näherungsweise Darstellung der Verteilungsdichtefunktion für Audiosignale findet sich in Abbildung 1.5. Diese Funktion besitzt die Charakteristik einer Laplace oder Gamma Verteilung. Dabei ist die logarithmische Skalierung der Ordinate zu beachten. Bei einer linearen Darstellung würde eine noch deutlich höher gelegene Spitze bei dieser Verteilung auftreten. Abbildung 1.5.: Gamma Funktion zur Beschreibung der Verteilungsdichtefunktion bei Audiosignalen Da die kleinen Amplitudenwerte wesentlich häufiger als große auftreten, resultiert daraus auch eine im Vergleich zur Gleichverteilung wesentlich geringere Signalleistung. Für Sprache erhält man daher bei linearer Quantisierung ein SNR, das um etwa 6 bis 7 db schlechter ist als bei einem Signal, dessen Amplitudenwerte eine Gleichverteilung über den gleichen Amplitudenbereich aufweisen. Zusammenfassend kann man festhalten, dass die häufig angegebene Beschreibung SNR = k 6, 0 db als Maß für die Güte der Quantisierung die in der Praxis anzutreffenden Signal/Rauschleistungsverhältnisse bei vielen Signalen, z.b. bei Sprachund Audiosignalen, nur näherungsweise wiedergeben. Insgesamt ergibt sich bei Anwendung der Puls-Code-Modulation auf Grund der H.G. Hirsch 36 Digitale Signalverarbeitung

37 1. Signalwandlung Abtastung und Quantisierung ein Datenstrom, den man quantitativ durch eine Datenrate beschreiben kann. Beispielsweise benötigt man zur Codierung von Sprache eine Quantisierung mit k = 1 Bit, um bei einer Rekonstruktion des Signals eine gute Sprachqualität zu gewährleisten. Damit ergeben sich Datenraten von s s 1 Bit = Bit s 1 Bit = Bit s bei einer Abtastung mit f a = 16 khz und von bei einer Abtastung mit f a = 8 khz. Bei der zweikanaligen (Stereo) Erfassung eines Musiksignals mit der im Bereich der Audio-CD üblichen Abtastfrequenz von 44,1 khz und einer Quantisierung mit k = 16 Bit erhält man eine Datenrate von s 16 Bit = Bit 1, 4 MBit s Rekonstruktion des analogen Signals (Digital-/Analogumsetzung) Um aus den codierten Abtastwerten wieder das analoge Signal zu rekonstruieren, kann man zunächst die Dualzahlen auf die Amplitudenwerte ˆx(n) abbilden, die den Wert in der jeweiligen Mitte des zugehörigen Intervalls annehmen. Dann müsste man aus der Folge von Abtastwerten { ˆx( ) ˆx( 1) ˆx(0) ˆx(1) ˆx() } wieder das pulsamplitudenmodulierte Signal generieren, das ein analoges Signal darstellt, dessen Amplitude gleich Null ist außer zu den Zeitpunkten n T, bei denen das Signal die Amplitudenwerte ˆx(n T ) annimmt. Die Rekonstruktion des analogen Signals aus dem pulsamplitudenmodulierten Signal mit Hilfe eines Tiefpassfilters mit der Grenzfrequenz f g < fa wurde bereits in Abschnitt 1.1 beschrieben. In der Praxis lassen sich allerdings keine unendlich kurzen Impulse erzeugen. Man verwendet in einem Digital-/Analogumsetzer (DAU) meist ein Abtast-Halte-Glied, das für die Dauer T eines Abtastzyklus ein Signal mit der konstanten Amplitude ˆx(n) erzeugt. Damit erhält man ein treppenförmiges Signal, wie es beispielhaft in Abbildung 1.6 dargestellt ist. Zur korrekten Rekonstruktion des analogen Signals aus dem treppenförmigen Signal benötigt man neben dem bereits erwähnten Tiefpassfilter noch ein weiteres Filter, dessen Charakteristik sich aus der mathematischen Beschreibung des treppenförmigen Signals ableiten lässt. Der Ersatz der mit den Werten ˆx(n) gewichteten Dirac-Impulse durch Rechteckimpulse mit der Dauer T lässt sich als eine Faltung der Dirac-Impulse mit einer Rechteckfunktion der Breite T darstellen: H.G. Hirsch 37 Digitale Signalverarbeitung

38 1. Signalwandlung [ x(n) n= δ(t n T ] ( ) t rect T Der Faltung mit der Rechteckfunktion entspricht im Frequenzbereich eine Multiplikation mit der Fourier Transformierten der Rechteckfunktion. Die Fourier Transformierte der Rechteckfunktion nimmt die Charakteristik einer so genannten SI Funktion an, was in einem späteren Kapitel detailliert hergeleitet wird. Die SI Funktion stellt eine gedämpfte Sinusschwingung der Form sin(x) dar. Die Transformation des x Rechtecks mit der Breite T führt zu der Übertragungsfunktion rect ( ) t T sin(π f T ) = T sin(π f ) fa T π f T π f fa Der Amplitudengang H(f) = sin(π f ) fa ist in Abbildung 1.7 dargestellt. Zur korrekten Rekonstruktion des analogen Signals benötigt man daher ein Filter, das π f fa zum einen die Wichtung mit der SI förmigen Charakteristik kompensiert und zum anderen die TP Filterung, idealerweise mit einem TP mit der halben Abtastfrequenz als Grenzfrequenz, beinhaltet. Die aus der multiplikativen Verknüpfung von 1 H(f) und dem idealen TP resultierende Filtercharakteristik ist in Abbildung 1.8 dargestellt Zeit/ms Abbildung 1.6.: Generierung eines treppenförmigen Signals mit Hilfe eines Abtast- Halte-Glieds H.G. Hirsch 38 Digitale Signalverarbeitung

39 1. Signalwandlung 1 H(f) f/f a Abbildung 1.7.: SI förmige Frequenzcharakteristik 1.5 H comp (f) fa/ fa Frequenz Abbildung 1.8.: Frequenzgang des Kompensations- und Rekonstruktionsfilters 1.6. Nichtlineare Quantisierung Ausgehend von der in Abbildung 1.5 gezeigten Verteilungsdichtefunktion, die deutlich macht, dass bei dem beispielhaft betrachteten Audiosignal kleine Amplituden- H.G. Hirsch 39 Digitale Signalverarbeitung

40 1. Signalwandlung werte wesentlich häufiger auftreten als große, lässt sich der Ansatz einer nichtlinearen Quantisierung ableiten. Dabei wird die Breite eines Quantisierungsintervalls nicht einfach konstant über den gesamten Quantisierungsbereich gewählt, sondern in Abhängigkeit der Auftrittswahrscheinlichkeit bestimmter Amplituden oder Amplitudenbereiche festgelegt. Im Fall des Audiosignals wird im Bereich kleiner Amplitudenwerte, die mit einer wesentlich höheren Wahrscheinlichkeit auftreten, die Breite der Quantisierungsintervalle kleiner gewählt als im Bereich der mit einer deutlich geringeren Wahrscheinlichkeit auftretenden größeren Amplitudenwerten. Dadurch treten bei den kleinen Amplituden geringere Quantisierungsfehler auf. Da sich die Rauschleitung N als Erwartungswert über den gesamten Quantisierungsbereich unter Einbezug der zugehörigen Auftrittswahrscheinlichkeiten berechnet, ergibt sich dabei eine insgesamt geringere mittlere Leistung des Quantisierungsrauschens. Dies führt zu einer Verbesserung des SNRs im Vergleich zu einer gleichmäßigen Quantisierung mit der gleichen Bitanzahl. Im Folgenden wird zunächst als ein Beispiel einer nichtlinearen Quantisierung die Codierung von Sprache gemäß dem internationalen Standard G.711 der ITU (International Telecommunication Union) vorgestellt. Abschließend wird eine Vorgehensweise vorgestellt, um für ein Signal mit einer beliebigen, aber bekannten Verteilungsdichtefunktion, die Intervallgrenzen einer nichtlinearen Quantisierung zur Minimierung des SNR festzulegen. Der aus dieser Vorgehensweise resultierende Quantisierer wird nach den Erfindern als Max Lloyd Quantisierer bezeichnet Codierung von Sprache gemäß der ITU Empfehlung G.711 Der Ansatz einer nichtlinearen Quantisierung bei Sprachsignalen wurde mit der Zielsetzung verfolgt, eine geeignete Sprachcodierung zur Sprachübertragung im ISDN (Integrated Services Digital network) zu finden. Bei ISDN steht zur Übertragung von Sprache ein Nutzkanal mit einer Datenrate von 64 kbit zur Verfügung. Es wurde zuvor gezeigt, dass bei der Puls-Code-Modulation von Sprache zur Erzielung s einer guten Sprachqualität im Bereich der Telefonie ein Datenstrom mit einer Datenrate von 96 kbit entsteht. Zur Reduktion der Datenrate auf den Wert von 64 kbit hat s s man daher bei der Entwicklung der verschiedenen Dienste im ISDN die nichtlineare Quantisierung zur Codierung der Sprache herangezogen. Da die technische Realisierung eines unmittelbar nichtlinear arbeitenden Quantisierers einigen Aufwand erfordert, nimmt man eine Abbildung der Amplitudenwerte H.G. Hirsch 40 Digitale Signalverarbeitung

41 1. Signalwandlung mit Hilfe einer nichtlinearen Kennlinie und eine anschließende lineare Quantisierung der abgebildeten Werte vor. Dies hat den Vorteil, dass die Quantisierung in bekannter Weise bei einer linearen Unterteilung des Quantisierungsbereichs vorgenommen werden kann. In Abbildung 1.9 ist eine solche Kennlinie y = g(x) dargestellt ist, wobei nur der Bereich der positiven Amplitudenwerte betrachtet wird. Abbildung 1.9.: Kompressor-Kennlinie zur nichtlinearen Quantisierung Für negative Werte erfolgt die Abbildung mit Hilfe der zum Ursprung punktsymmetrischen Kennlinie. Zudem erfolgt hier eine normierte Darstellung durch eine Skalierung der Eingangs- und Ausgangswerte der Abbildung auf den Wertebereich zwischen 0 und 1. Man bezeichnet eine derartige Kennlinie auch als Kompressor- Kennlinie. Die lineare Quantisierung der abgebildeten y Werte führt zu einer nichtlinearen Quantisierung der x Werte, wie es Abbildung 1.9 veranschaulicht. Die Quantisierungsfehler sind bei kleinen Amplitudenwerten deutlich niedriger als bei großen. Nach Codierung und Übertragung der quantisierten abgebildeten Amplitudenwerte müssen zur Rekonstruktion des Signals beim Empfänger die codierten Werte mit Hilfe einer inversen Expander-Kennlinie wiederum auf den Wertebereich von x abgebildet werden, wie es in Abbildung 1.30 veranschaulicht wird. Diesen Vorgang der Kompression und anschließenden Expansion bezeichnet man auch als Kompandierung. H.G. Hirsch 41 Digitale Signalverarbeitung

42 1. Signalwandlung Abbildung 1.30.: Quantisierung mit Kompandierung Bei ISDN ergibt sich für die angestrebte Datenrate von 64 kbit bei der im Bereich der s Telephonie üblichen Abtastfrequenz von 8 khz eine Anzahl von 8 Bits zur Quantisierung eines Abtastwerts. Somit kann die lineare Quantisierung der mit der Kennlinie abgebildeten Werte in 56 Abtastintervallen vorgenommen werden. Die genaue Definition des Verlaufs der in Abbildung 1.9 gezeigten Abbildungskennlinie wurde zur Erreichung zweier Ziele vorgenommen. Das erste Ziel war eine Quantisierung der kleinen, häufig auftretenden Amplitudenwerte mit einer Genauigkeit, die der einer linearen Quantisierung mit 1 Bit entspricht. Dieses Ziel lässt sich erreichen, wenn die Kennlinie im Ursprung relativ steil mit einer Steigung von 16 verläuft. Damit nehmen die Quantisierungsintervalle im Bereich kleiner Amplituden eine Breite an, die 1 der Breite eines Quantisierungsintervalls bei der linearen 16 Quantisierung der abgebildeten Werte entspricht. Dem entspricht eine um 4 Bit höher aufgelöste Quantisierung gegenüber der linearen Quantisierung mit 8 Bit. Als zweites Ziel wurde ein Verlauf des SNRs in Abhängigkeit der Signalleistung angestrebt, so dass sich dabei ein nahezu konstanter Wert des SNRs im Bereich größerer Amplituden einstellt. Da die Signalleistung S x und die Rauschleistung N x ist, kann man aus dem zweiten Ziel das Kriterium ableiten, einen möglichst konstanten relativen Quantisierungsfehler x i x sich ein logarithmischer Verlauf der Kennlinie. = const zu erreichen. Daraus ergibt In Europa wurde die sogenannte A-Kennlinie festgelegt, die aus Abschnitten besteht: y 1 (x) = A 1 + ln(a) x für 0 x 1 A und y (x) = 1 + ln(x) 1 + ln(a) = 1 + ln(a) + ln(x) 1 + ln(a) = 1 + ln(a x) 1 + ln(a) für 1 A x 1 H.G. Hirsch 4 Digitale Signalverarbeitung

43 1. Signalwandlung Bei dem ersten Abschnitt handelt es sich eine Geraden-Kennlinie. A nimmt einen Wert von A = an, womit sich die Steigung im Ursprung zu A 1+ln(A) = 16 ergibt. Damit verkleinern sich die Quantisierungsintervalle um den Faktor 16 = 4, so dass sich das Signal-/Rauschleistungsverhältnis (SNR) in dem Bereich 1 A x 1 A um 4 6 = 4 db gegenüber einer linearen Quantisierung erhöht. Wie schon zuvor erwähnt, wird für die negativen Amplitudenwerte die zum Ursprung punktsymmetrische Kennlinie verwendet. In den digitalen Telefonsystemen Nordamerikas und Japans wird zur nichtlinearen Quantisierung die sogenannte µ-kennlinie verwendet: y(x) = sign(x) ln(1 + µ x ) ln(1 + µ) mit µ = 55 für 1 x 1 Die Verläufe von A- und µ-kennlinie sind allerdings nahezu identisch. Die exakte Berechnung des SNR ist bei einer nichtlinearen Quantisierung etwas aufwendiger. Näherungsweise lässt sich das SNR für eine Vollaussteuerung des gesamten, zur Quantisierung zur Verfügung stehenden Amplitudenbereichs berechnen zu SN R/dB = 8 6, 0 9, 99 = 38, 17 db, wobei dazu wieder das gleichwahrscheinliche Auftreten aller Amplitudenwerte im gesamten Quantisierungsbereich angenommen wird. Damit ergibt sich ein um etwa 10 db schlechteres SNR im Vergleich zur linearen Quantisierung, wenn man den Quantisierungsbereich voll ausnutzt und ein Signal annimmt, dessen Amplitudenwerte aller mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Wie jedoch im vorhergehenden Abschnitt bereits gezeigt wurde, sind diese Annahmen bei Sprache nicht zutreffend. Die Verläufe des SNRs in Abhängigkeit der Ausnutzung des zur Verfügung stehenden Quantisierungsbereichs werden in Abbildung 1.31 für eine lineare Quantisierung mit 8 oder 1 Bit sowie für eine nichtlineare Quantisierung mit 8 Bit dargestellt. Dabei wird wie in Abbildung 1.4 das( SNR in Abhängigkeit des logarithmierten S Verhältnisses der Leistungen 10 log 10 angegeben unter der Annahme eines S voll ) gleichwahrscheinlichen Auftretens der Amplitudenwerte. Dem Verlauf kann man entnehmen, dass man in den Signalabschnitten, in denen nur kleine Amplitudenwerte mit einer entsprechend geringen Signalleistung auftreten, im Vergleich zur linearen Quantisierung mit 8 Bit eine Verbesserung des SNRs um 4 db erzielt. Dies resultiert aus der Quantisierung der kleinen Amplituden mit der um den Faktor 16 geringeren Intervallbreite, was effektiv einer Quantisierung mit = 1 Bit entspricht. Bei Sprache treten solche Signalabschnitte sehr häufig auf. Im Bereich größerer Amplituden stellt sich das angestrebte konstante SNR mit H.G. Hirsch 43 Digitale Signalverarbeitung

44 1. Signalwandlung einem Wert von etwa 38 db ein. Abbildung 1.31.: SNR in Abhängigkeit der Signalleistung S eines gleichverteilten Signals Insgesamt stellt sich bei der nichtlinearen Quantisierung des Sprachsignals in der praktischen Anwendung im ISDN ein besseres SNR im Vergleich zur linearen Quantisierung mit 8 Bit ein. Die gröbere Quantisierung bei größeren Amplitudenwerten wird aufgrund der psychoakustischen Wahrnehmungseigenschaften des menschlichen Gehörs als nicht besonders störend wahrgenommen. In der praktischen Realisierung wird die logarithmische Kennlinie in einzelnen Abschnitten durch eine jeweils lineare Kompander-Kennlinie angenähert. Dazu wird der gesamte Wertebereich 1 x 1 in 13 Segmente unterteilt, weshalb man auch von einer 13-Segmentkennlinie spricht. In Abbildung 1.3 ist der positive Bereich der Kennlinie für x 0 und y 0 dargestellt, in dem 7 der 13 Segmente zu sehen sind. H.G. Hirsch 44 Digitale Signalverarbeitung

45 1. Signalwandlung Abbildung 1.3.: 13 Segment-Kennlinie Dabei ist das unterste Segment in dieser Darstellung im Bereich 0 x < 1 64 nur zur Hälfte zu sehen, da die sich durch den Ursprung fortsetzende, gleiche Geraden- Kennlinie auch im Bereich 1 < x 0 negativer Werte verwendet wird. Die 64 anderen 6 Segmente im Bereich x 1 treten im negativen Bereich aufgrund der 64 punktsymmetrischen Kennlinie in entsprechender Weise auf, so dass sich insgesamt 13 Abschnitte ergeben. Bei einer linearen Quantisierung des y Wertebereichs mit 8 Bit bedeutet diese Segmentierung, dass für die positiven Werte x 0 im untersten Segment 3 der insgesamt 18 Quantisierungsstufen im positiven Wertebereich liegen und in den verbleibenden 6 Segmenten jeweils 16 Quantisierungsstufen liegen. Im negativen Bereich sieht es entsprechend aus, so dass das den Ursprung einschließende Segment 64 der insgesamt 56 Quantisierungsstufen umfasst. Die nichtlineare Quantisierung mittels dieser Kompander-Kennlinie kann man auch als eine Abbildung von digitalen Werten, die linear mit 1 Bit quantisiert wurden, auf digitale Werte, die durch 8 Bit beschrieben werden, ansehen. Diese Abbildungsvorschrift kann man für die 13 Segmente der tabellarischen Zusammenstellung in Tabelle 1. entnehmen. H.G. Hirsch 45 Digitale Signalverarbeitung

46 1. Signalwandlung Segment Bereich Dualzahl (1 Bit) Code (8 Bit) 0 0 x < 7 S S x < 6 S S x < 5 S S x < 4 S S x < 3 S S x < S S x < 1 S S x < 0 S 1... S Tabelle 1..: Abbildungsvorschrift von 1 auf 8 Bit bei der nichtlinearen Quantisierung nach G.711 Das Vorzeichenbit S des 8 Bit Codes wird von der 1-stelligen Dualzahl übernommen. Die nächsten drei Bit beschreiben sozusagen die Segmentzugehörigkeit. Und die 4 niederwertigsten Bits entsprechen den 4 Bit der 1-stelligen Dualzahl nach der führenden 1. Diese 4 Bit beschreiben eine lineare Unterteilung eines Segments in 16 Intervalle. Insgesamt resultiert damit eine Quantisierung mit einer zu größeren Amplituden hin zunehmend geringeren Auflösung. Bei kleinen Amplituden nimmt man eine Quantisierung mit 1 Bit vor, die sich zu größeren Amplituden hin schrittweise bis auf einen Wert von 6 Bit verschlechtert. Die aus dieser Abbildungsvorschrift resultierende Quantisierungskennlinie ist in Abbildung 1.33 dargestellt. Die nichtlineare, in den einzelnen Abschnitten jedoch wieder lineare Quantisierung sowie die zuvor angegebene Abbildungsvorschrift werden in dieser Form durch den internationalen Standard G.711 der ITU (International Telecommunication Union) beschrieben, der die Grundlage für die Übertragung von Sprachsignalen im ISDN darstellt. Damit lässt sich eine subjektiv gute Sprachqualität erzielen. Die mit der Codierung nach G.711 erzielte Sprachqualität wird auch häufig als Referenz für die Beurteilung der mit anderen Sprachcodierungsverfahren erzielten Sprachqualität herangezogen, beispielsweise in der Mobilkommunikation. H.G. Hirsch 46 Digitale Signalverarbeitung

47 1. Signalwandlung Abbildung 1.33.: ALAW- Quantisierungskennlinie nach dem ITU Standard G.711 Zukünftig wird das ISDN vollständig durch ein schon heute vorhandenes, parallel betriebenes IP basiertes Netzwerk mit einer paketbasierten Übertragung der Daten ersetzt werden. Zur Übertragung von Sprache steht eine Vielzahl verschiedener Codierverfahren zur Verfügung, mit denen deutlich niedrigere Datenraten im Vergleich zu G.711 bei einem allerdings deutlich höheren Rechenaufwand erzielt werden können. Daher wird zurzeit und vermutlich auch in Zukunft die Codierung gemäß G.711 weiterhin in vielen Fällen zur Sprachübertragung eingesetzt werden Max-Lloyd Quantisierer Im vorhergehenden Abschnitt wurde beispielhaft die Quantisierung des Sprachsignals betrachtet, bei dem die kleineren Amplitudenwerte mit wesentlich höherer Wahrscheinlichkeit auftreten. Es gibt selbstverständlich viele Signale, die die Charakteristik anderer Verteilungsdichtefunktionen besitzen. Daher hat man Verfahren entwickelt, um für eine beliebige, aber vorgegebene Verteilungsdichtefunktion die Lage und die Breiten der Quantisierungsintervalle mit dem Ziel einer Minimierung des mittleren SNR festzulegen. Das nach seinen Erfindern benannte Verfahren beinhaltet eine iterative Vorgehensweise zur Festlegung der Quantisierungsniveaus für H.G. Hirsch 47 Digitale Signalverarbeitung

48 1. Signalwandlung eine vorgegebene Verteilungsdichtefunktion p(x). Im Folgenden werden die einzelnen Schritte des Verfahrens erläutert. Das Ziel ist eine Bestimmung der Quantisierungsniveaus ˆx(i) mit i = 1,,..., M für M Quantisierungsintervalle, so dass die Leistung N der Quantisierungsfehler ein Minimum annimmt. Die M Intervalle decken dabei den Amplitudenbereich von A max bis +A max ab. M wird in der Regel zu k gewählt, wenn die Quantisierung mit k Bits erfolgen soll. Die Rauschleistung N lässt sich als Erwartungswert über die M Intervalle berechnen zu N = M b i i=1 b i 1 (ˆx(i) x) p(x) x wobei die Werte b i mit i = 0, 1,..., M die Grenzen der Quantisierungsintervalle definieren. In einem ersten Initialisierungsschritt werden die Quantisierungsniveaus ˆx(i) zunächst zufällig festgelegt. Beispielsweise könnte man die Niveaus und die Grenzen b i gemäß einer linearen Quantisierung mit x = Amax k 1 festlegen zu b i = A max + i x mit i = 0, 1,..., M ˆx(i) = A max + i 1 x mit i = 1,..., M Nach dieser Initialisierung und einer Berechnung der dabei zu erwartenden Fehlerleistung N ini wird im nächsten Schritt unter Berücksichtigung der Verteilungsdichtefunktion p(x) die neue und veränderte Lage der Quantisierungsniveaus berechnet mittels b i x p(x) x b i 1 ˆx neu (i) = b i b i 1 p(x) x mit i = 1,..., M Die Grenzen der Quantisierungsintervalle werden mittig zwischen den Quantisierungsniveaus gewählt zu H.G. Hirsch 48 Digitale Signalverarbeitung

49 1. Signalwandlung b i = ˆx neu(i) + ˆx neu (i + 1) mit i = 1,..., M 1 und b o = A max, b M = +A max Mit den so gewählten Niveaus und Intervallgrenzen kann die Fehlerleistung für diesen Iterationsschritt berechnet werden. Die iterative Vorgehensweise mit einer wiederholten Bestimmung neuer Quantisierungsniveaus kann man beispielsweise so lange fortsetzen, bis die relative Veränderung der Fehlerleistung von einem Iterationsschritt zum nächsten eine festgelegte Schwelle unterschreitet. H.G. Hirsch 49 Digitale Signalverarbeitung

50 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich Um die Eigenschaften eines Systems, mit dem Signale verarbeitet werden, im Zeitbereich ohne den Einsatz komplexer Differentialgleichungssysteme zu beschreiben, wird ein solches System als Zweitor betrachtet. Die Darstellung als Zweitor kann man in gleicher Weise bei der Verarbeitung analoger und digitaler Signale verwenden, wie es in Abbildung.1 veranschaulicht wird. Abbildung.1.: Signalverarbeitungssystem als Zweitor Das Zweitor kann im Rahmen der Systemtheorie durch die Angabe eines analogen Ausgangssignals y(t) oder eines digitalen Ausgangssignals y(n) als Reaktion auf ein Eingangssignal x(t) oder x(n) beschrieben werden, wobei man y(t) oder y(n) mathematisch als Funktion des Einganssignals darstellen kann: y (t) = f {x(t)} bzw. y( n) = f {x (n)} Nachfolgend werden zunächst die Eigenschaften linearer, zeitinvarianter Systeme definiert, auf deren Betrachtung sich dieses Kapitel beschränkt. Zur Bestimmung des analogen Ausgangssignals eines solchen Systems, konkret des funktionalen Zusammenhangs zwischen Eingangs- und Ausgangssignal, wird das Faltungsintegral hergeleitet. Dazu wird die Kenntnis der Stossantwort des Systems benötigt. Aus dem H.G. Hirsch 50 Digitale Signalverarbeitung

51 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich Faltungsintegral ergibt sich für zeitdiskrete Signale und Systeme eine Faltungssumme zur Bestimmung des digitalen Ausgangssignals. Neben dieser mathematischen Herleitung der Faltungssumme wird eine anschauliche Ableitung aus den grundlegenden Eigenschaften linearer, zeitinvarianter Systeme gegeben. Abschließend werden die algebraischen Regeln vorgestellt, die bei der Faltung von Signalen gelten..1. Lineare, zeitinvariante (LTI) Systeme Im Folgenden wird die Betrachtung auf lineare, zeitinvariante Systeme beschränkt, die sich durch die beiden Eigenschaften Linearität und Zeitinvarianz auszeichnen. Gemäß der englischen Übersetzung als linear time invariant system findet man in der Literatur häufig das Kürzel LTI zur Kennzeichnung von Systemen, die diese Eigenschaften besitzen. Die beiden Eigenschaften definieren sich wie folgt: Es wird ein System betrachtet, an dessen Ausgang die Signale y i (t) als Reaktion auf die zugehörigen Eingangssignale x i (t) auftreten. Dieses System wird als linear bezeichnet, wenn eine beliebige, mit Faktoren a i gewichtete Linearkombination von Eingangssignalen x i (t), i = 1,, 3,... zu einer entsprechenden, gewichteten Linearkombination von Ausgangssignalen y i (t) führt: { } y(t) = f a i x i (t) = a i f {x i (t)} = a i y i (t) i Es wird ein System betrachtet, an dessen Ausgang das Signal y(t) als Reaktion auf das Eingangssignal x(t) auftritt. Das System heißt zeitinvariant, wenn eine zeitliche Verschiebung des Eingangssignals zur gleichen zeitlichen Verschiebung des Ausgangssignals führt, ohne die Form des Ausgangssignals dabei zu verändern: y(t) = f {x(t t 0 } = y(t t 0 ) Als ein von [1] übernommenes Beispiel wird die Reaktion eines RC-Zweitors auf einen analogen Rechteckimpuls als Folge des Auf- und Entladens des Kondensators betrachtet, wie es in Abbildung. dargestellt ist. H.G. Hirsch 51 Digitale Signalverarbeitung

52 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich Abbildung..: Reaktion eines RC-Zweitors auf einen Rechteckimpuls [1] Abbildung.3.: Reaktion eines RC-Zweitors auf eine Folge von Rechteckimpulsen [1] Da es sich bei dem RC-Zweitor um ein lineares, zeitinvariantes System handelt, kann die Reaktion auf eine Folge von Impulsen als eine additive Überlagerung der Reaktionen auf jeden einzelnen Impuls beschrieben werden. Dies wird beispielhaft in Abbildung.3 veranschaulicht, in dem zwei Impulse mit unterschiedlichen Amplitudenfaktoren zeitlich versetzt auf den Eingang des RC-Zweitors gegeben werden... Herleitung des Faltungsintegrals Das in Abbildung.3 gezeigte Beispiel deutet an, wie das Ausgangssignal eines linearen, zeitinvarianten Signalverarbeitungssystems prinzipiell als additive Überlagerung der Reaktionen auf eine Summe elementarer Eingangssignale bestimmt werden kann, wenn man das Ausgangssignal als Reaktion auf das elementare Eingangssignal kennt. Damit lässt sich das Ausgangssignal für ein beliebiges Eingangssignal bestimmen. Kennt man beispielsweise das Ausgangssignal eines Systems für einen Rechteckimpuls x 0 (t) der Breite T 0 und der Amplitude 1 T 0, so lässt sich allgemein H.G. Hirsch 5 Digitale Signalverarbeitung

53 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich ein beliebiges Eingangssignal näherungsweise als Summe derartiger Rechteckimpulse und das Ausgangssignal als additive Überlagerung der Reaktionen auf die Folge von Impulsen beschreiben. Dies wird in Abbildung.4 veranschaulicht. Abbildung.4.: Beschreibung des Ausgangssignals als Summe der Reaktionen auf eine Folge von Rechteckimpulsen [1] Das Signal x(t) kann näherungsweise als Folge von Rechteckimpulsen beschrieben werden, wobei die Amplitude jedes Rechtecks durch den Amplitudenwert x (n T 0 ) bei der zeitlichen Mitte jedes Impulses beschrieben wird. Wird jeder Rechteckimpuls als gewichtete Version des bekannten Rechteckimpulses x o (T ), der die Amplitude 1 T 0 besitzt, beschrieben, so lässt sich das Signal x(t) näherungsweise beschreiben als n= x 0 (t n T 0 ) x (n T 0 ) T 0 x (t) Das Ausgangssignal lässt sich dann ebenfalls näherungsweise als additive Überlagerung der mit den jeweiligen Amplitudenfaktoren x (n T 0 ) T 0 gewichteten Reaktionen beschreiben als y 0 (t n T o ) x (n T 0 ) T 0 y(t) n= H.G. Hirsch 53 Digitale Signalverarbeitung

54 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich Das Eingangssignal und damit auch das Ausgangssignal werden umso exakter beschrieben, je kleiner die Breite des Rechteckimpulses gewählt wird. Führt man den Grenzübergang T 0 0 durch, so erhält man den sogenannten Stoss δ(t) als Elementarsignal. Abbildung.5.: Dirac Stoss δ(t) Gibt man einen Dirac Stoss als Eingangssignal auf ein System, so erhält man am Ausgang die sogenannte Stossantwort als Reaktion des Systems auf den Impuls: T 0 0 : x 0 (t) δ(t) y 0 (t) h(t) Stossantwort Die zuvor eingeführte Berechnung des Ausgangssignals als Reaktion auf eine Summe von Rechteckimpulsen geht dann in das sogenannte Faltungsintegral über: Mit n T 0 τ und T 0 dτ y(t) = x(τ) h(t τ)dτ Anschaulich bedeutet dies die Multiplikation des Eingangssignals x(τ) mit der an der Ordinate gespiegelten und um die Zeit t verschobenen Stossantwort h(t τ). Über dieses Produkt erfolgt dann die Integration. Man verwendet auch die folgende Schreibweise, um die Faltung des Eingangssignals x(t) mit der Stossantwort h(t) des Übertragungssystems zu definieren: y(t) = x(t) h(t) Man bezeichnet dies als das Faltungsprodukt von x(t) und h(t). Das Symbol beschreibt den sogenannten Faltungsoperator. H.G. Hirsch 54 Digitale Signalverarbeitung

55 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich.3. Herleitung der diskreten Faltung aus dem Faltungsintegral Betrachtet man anstelle der zeitkontinuierlichen Signale x(t), h(t) und y(t) die entsprechenden abgetasteten, zeitdiskreten Signale x (n T ), h (n T ) und y (n T ), so kann man das Faltungsintegral bei Substitution von τ durch m T und von t durch n T beschreiben als Mit τ m T und t n T y (n T ) = x (m T ) h (n T m T ) d (m T ) }{{} T Da die Signale nur noch zu den Zeitpunkten n T von Null verschiedene Werte aufweisen, geht das Integral über in eine Summe y(n) = x (m T ) h [(n m) T ] T m= Die Zeit T zwischen zwei Abtastwerten ist nur beim Abtasten als auch bei der Rekonstruktion eines analogen Signals von Bedeutung. Bei einer reinen Betrachtung der Folge von Abtastwerten, die mit einem digitalen System verarbeitet werden, kann man ohne Informationsverlust T = 1 setzen. Daraus resultiert die übliche Schreibweise der diskreten Faltung als Faltungsssumme: y(n) = x(n) h(n) = x (m) h (n m) m= Die zeitdiskrete Stossantwort h(n) bezeichnet man als Impulsantwort. Sie tritt am Ausgang eines Systems auf, wenn man einen Dirac Impuls δ(n) auf den Eingang des Systems gibt. H.G. Hirsch 55 Digitale Signalverarbeitung

56 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich Abbildung.6.: Dirac Impuls δ(n).4. Die diskrete Faltung zur Beschreibung der additiven Überlagerung der Reaktionen auf eine Impulsfolge Neben der mathematischen Herleitung der diskreten Faltungssumme aus dem Faltungsintegral kann man die diskrete Faltung auch anschaulich zur Bestimmung des Ergebnisses der additiven Überlagerung der Reaktionen eines Systems auf eine Impulsfolge darstellen. Dabei wird die Kenntnis der Impulsantwort eines digitalen Systems vorausgesetzt. Dazu wird beispielhaft die in Abbildung.7 dargestellte Impulsantwort h(n) betrachtet. Abbildung.7.: Impulsantwort h(n) eines Signalverarbeitungssystems Stellt man sich ein beliebiges, zeitdiskretes Eingangssignal als Summe einzelner Impulse vor, so folgt aus den Eigenschaften der Linearität und der Zeitinvarianz, dass man das Ausgangssignal als gewichtete Summe der Reaktionen auf alle Impulse bestimmen kann. Beispielhaft wird dazu das in Abbildung.8 dargestellte Eingangssignal x(n) betrachtet, das aus 3 Abtastwerten besteht. Alle anderen Werte von x(n) sind gleich H.G. Hirsch 56 Digitale Signalverarbeitung

57 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich Null. Gibt man x(n) auf das System mit der Impulsantwort h(n), so reagiert das System auf jeden der 3 Impulse zum entsprechenden Zeitpunkt mit einer dem Wert von x(n) entsprechend gewichteten Version der Impulsantwort, wie es in Abbildung.8 veranschaulicht wird. Das Ausgangssignal y(n) lässt sich aus der additiven Überlagerung der Reaktionen auf alle Abtastwerte des Signals bestimmen. Damit ergibt sich beispielsweise für n = 3 der Ausgangswert y(3) y(3) = x(0) h(3) + x(1) h() + x() h(1) = 1 0, 5 + 0, 5 0, , 75 = 0, 75 x(n) 0, n h(n-0) als Reaktion auf x(0)=-1 h(n-1) als Reaktion auf x(1)=0,5 h(n-) als Reaktion auf x()= ,75 0,5-0,5-0,5 0,375 0,5 0,15 n ,75 0,5 0,5 n 0,5} ,875 0,75 y(n) 0, ,5 n n -1 Abbildung.8.: Bestimmung des Ausgangssignals als additive Überlagerung der zeitversetzten Impulsantworten H.G. Hirsch 57 Digitale Signalverarbeitung

58 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich Das additive Überlagern der Reaktionen auf alle Abtastwerte des Eingangssignals entspricht mathematisch der im vorhergehenden Abschnitt hergeleiteten Faltungssumme: y(n) = x(n) h(n) = x (m) h (n m) m= Beispielsweise ergibt sich für n = 3 der Ausgangswert y(3) zu y(3) = x(m) h(3 m) = x(m) h(3 m) = x(0) h(3)+x(1) h()+x() h(1) m= m=0 Zusammenfassend lässt sich nochmals festhalten, dass die Faltungssumme die mathematische Beschreibung der additiven Überlagerung der Reaktionen auf alle Abtastwerte eines zeitdiskreten Signals darstellt. Benötigt wird dazu die Kenntnis der Impulsantwort h(n) eines Systems. Daher verwendet man zur Darstellung eines LTI Systems die in Abbildung.9 gezeigte Charakterisierung des Systems durch seine Impulsantwort. Abbildung.9.: Beschreibung eines Signalverarbeitungsblocks durch seine Impulsantwort h(n) Handelt es sich bei dem Signal x(n) um ein zeitlich begrenztes Signal mit K Werten ungleich Null und bei der Impulsantwort h(n) um ein zeitlich begrenztes Signal mit L Werten ungleich Null, so ergibt sich als Ergebnis der Faltung ein Signal mit K + L 1 Werten ungleich Null. In dem in Abbildung.8 gezeigten Beispiel besteht das zeitbegrenzte Signal x(n) aus K = 3 Werten und die zeitbegrenzte Impulsantwort h(n) aus L = 4 Werten. Somit ergibt sich ein Ausgangssignal mit K + L 1 = = 6 Werten ungleich Null. Der zur Ausführung der Faltung benötigte Rechnenaufwand kann an Hand der Anzahl benötigter Multiplikationen abgeschätzt werden. Zur Berechnung eines Ausgangswerts y(n) sind eine der Anzahl der Werte der Impulsantwort entsprechende Anzahl Multiplikationen erforderlich. Beispielhaft soll eine Impulsantwort betrachtet werden, die 100 Werte beinhaltet. Dann ergibt sich beispielsweise die zur Filterung H.G. Hirsch 58 Digitale Signalverarbeitung

59 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich eines mit 48 khz abgetasteten Audiosignals notwendige Anzahl von Multiplikationen zu Hz 100 = 4, Multiplikationen/s..5. Graphische Vorgehensweise zur Bestimmung der Faltungssumme Neben der Bestimmung des Ausgangssignals durch die mathematische Berechnung der Faltungssumme y(n) = m= x (m) h (n m) lässt sich auch eine graphische Vorgehensweise angeben, mit der man in anschaulicher Form die Faltungssumme berechnen und die Ausgangswerte y(n) bestimmen kann. Die Berechnung eines Ausgangswerts y(n) als Faltungssumme kann man anschaulich durch m= x (m) h (n m) eine Spiegelung der Impulsantwort h(m) an der Ordinate zur Genierung von h( m), eine Verschiebung der gespiegelten Impulsantwort an den Zeitpunkt n zur Generierung von h(n m) sowie die Berechnung der Summe der Produktterme x(m) h(n m) für alle Zeitpunkte m vornehmen, bei denen x(m) und h(n-m) von Null verschiedene Werte annehmen. H.G. Hirsch 59 Digitale Signalverarbeitung

60 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich 1 x(m) , m -1 n=0 0,75 1 h(0-m) -4 0,5-3 0, m } y(0)=-1. 1=-1 n=0 0,75 1 h(1-m) ,5-0, m n=... } y(1)=-1. 0,75+0,5. 1=-0,5 n=4 0,75 1 h(4-m) ,5 0, } m y(4)=0,5 0,5+1 0,5=0,65 y(m) ,875 0,75 0,65 0, ,5 m -1 Abbildung.10.: Graphische Lösung zur diskreten Faltung der Signale x(n) und h(n) Die Berechnung aller Werte von y(n) kann man durch ein Schieben der gespiegelten Impulsantwort von links nach rechts über alle Zeitpunkte hinweg vornehmen. Beispielhaft wird diese graphische Lösungsweise in Abbildung.10 zur Bestimmung der Werte y(0), y(1) und y(4) veranschaulicht. H.G. Hirsch 60 Digitale Signalverarbeitung

61 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich.6. Faltungsalgebra Das Rechnen mit dem Faltungsoperator lässt sich durch eine entsprechende Algebra beschreiben, die weitgehend der der Multiplikation entspricht: 1. Der Dirac-Impuls stellt das Einselement der Faltungsalgebra dar: x(n) = x(n) δ(n), wobei der Dirac-Impuls δ(n) definiert ist als 1 n = 0 δ(n) = für 0 n 0. Es gilt das Kommutativgesetz, nach dem die Faktoren eines Faltungsprodukts vertauscht werden dürfen: x(n) h(n) = h(n) x(n) Anschaulich bedeutet dies, dass das Ausgangssignal eines Systems mit der Impulsantwort h(n) bei Anliegen des Eingangssignals x(n) dem Ausgangssignal eines Systems mit der Impulsantwort x(n) bei Anliegen des Eingangssignals h(n) entspricht. 3. Es gilt das Assoziativgesetz, nach dem bei Faltung von 3 Faktoren zwei beliebige Faktoren zunächst miteinander gefaltet werden und dann eine Faltung mit dem dritten Faktor erfolgt: x(n) g(n) h(n) = [x(n) g(n)] h(n) = x(n) [g(n) h(n)] Das Assoziativgesetz lässt sich zur Bestimmung des Ausgangssignals bei der Hintereinanderschaltung zweier Systeme, die die Impulsantworten g(n) und h(n) besitzen, anwenden. Entweder berechnet man das Ausgangssignal schrittweise, in dem man erst die Faltung des Eingangssignals x(n) mit der Impulsantwort g(n) des ersten Systems berechnet und das daraus resultierende Signal mit der Impulsantwort h(n) faltet. Alternativ kann man auch zuerst die Impulsantwort des Gesamtsystems als Faltung von g(n) und h(n) bestimmen. Das Eingangssignal x(n) wird dann mit der Impulsantwort des Gesamtsystems H.G. Hirsch 61 Digitale Signalverarbeitung

62 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich gefaltet. Abbildung.11 veranschaulicht diesen Zusammenhang. x(n) g(n) h(n) y(n) x(n) }* g(n) h(n) y(n) Abbildung.11.: Assoziativgesetz 4. Es gilt das Distributiv gesetz: x(n) [g(n) + h(n)] = [x(n) g(n)] + [x(n) h(n)].7. Impulsantwort des idealen Tiefpasses Es stellt sich die Frage, wie die Werte einer Impulsantwort zu wählen sind, um eine gewünschte Funktionalität eines Signalverarbeitungsblocks zu erzielen. Dabei stösst man auf die Erkenntnis, dass ein gewünschtes Verhalten in vielen Fällen einfacher und anschaulicher im Frequenzbereich festgelegt werden kann. Eine häufig anzutreffende Aufgabenstellung ist die Filterung eines Signals, bei der beispielsweise die Frequenzanteile in bestimmten Bereichen möglichst weitgehend unterdrückt werden sollen. Beispielhaft wird im Folgenden mit Hilfe einer inversen Fourier Transformation aus der Übertragungscharakteristik eines Tiefpasses das Aussehen der zugehörigen Impulsantwort abgeleitet. Die Anwendung der inversen Fourier Transformation erfolgt im Vorgriff auf das erst später folgende Kapitel zur Beschreibung von Signalen und Signalverarbeitungssystemen im Frequenzbereich. Die ideale Charakteristik eines Tiefpasses lässt sich durch einen rechteckförmigen Verlauf beschreiben, wie er in Abbildung.1 als Fourier Spektrum in einer zweiseitigen Ansicht unter Berücksichtigung negativer Frequenzen dargestellt ist. H.G. Hirsch 6 Digitale Signalverarbeitung

63 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich H (f) TP f -f g f g Abbildung.1.: Spektrum des idealen Tiefpass Oberhalb der Grenzfrequenz f g bzw. unterhalb von f g sollte der Betrag H T P (f) der Übertragungsfunktion den Wert Null annehmen, um die Frequenzanteile in diesem Bereich vollständig ( zu ) unterdrücken. Mathematisch lässt sich der Verlauf als H T P (f) = 1 f f g rect f g beschreiben, wobei die Basisfunktion rect(f) ein Rechteck der Breite 1 im Bereich von 1 bis + 1 mit einer Amplitude von 1 definiert. Bei H T P (f) wird ein Amplitudenwert von 1 f g verwendet, um eine normierte Darstellung mit einem Flächeninhalt des Rechtecks von 1 zu erhalten. Eigentlich sollte der Wert von H T P (f) für den Fall eines ungedämpften Verhaltens im Durchlassbereich des Filters den Wert 1 besitzen. Wir kommen später nochmals auf diesen Normierungs- oder Skalierungsterm zurück. Mit Hilfe der inversen Fourier Transformation von H T P (f) lässt sich das Aussehen der zugehörigen Impulsantwort h T P (t) ableiten: h T P (t) = = 1 f g H T P (f) e j π f t df f g f g e j π f t df ( e a x = 1 a ea x) = 1 1 f g [e j π f t] f g j π t f g = 1 1 f g (e j π fg t e j π fg t) j π t = 1 f g 1 j π t [cos ( π f g t) + j sin ( π f g t)] cos ( π f g t) + j sin ( π f g t) = 1 f g 1 j π t ( j sin ( π f g t)) = sin( π fg t) π f g t SI F unktion (e j x = cos(x) + j sin(x)) Als Ergebnis erhält man die gedämpfte Sinusfunktion h T P (t) = sin( π fg t) π f g t, wie sie in Abbildung.13 dargestellt ist. H.G. Hirsch 63 Digitale Signalverarbeitung

64 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich h (t) TP -3. f g -1. f g 1. f g 3. f g t -1 fg 1 fg Abbildung.13.: SI-Funktion Die Funktion sin(x) bezeichnet man auch als SI Funktion, die hier für t = 0 den Wert x 1 annimmt und Nullstellen bei t = 1 f g und Vielfachen davon besitzt. Dabei handelt es sich um eine zeitlich nicht begrenzte Funktion. Zur praktischen Realisierung muss man die Funktion zeitlich begrenzen, was wiederum zur Folge hat, dass die zugehörige Übertragungscharakteristik im Frequenzbereich nicht den idealen rechteckförmigen Verlauf besitzt. An dieser Stelle wird auch deutlich, dass man ein Filter mit unendlich hoher Flankensteilheit im Bereich der Grenzfrequenz praktisch nicht realisieren kann. Das Begrenzen der zeitlichen Länge der Impulsantwort kann man mathematisch als Multiplikation mit einer entsprechend breiten Rechteckfunktion darstellen. Der Multiplikation mit der Rechteckfunktion entspricht im Frequenzbereich eine Faltung der idealen rechteckförmigen Tiefpasscharakteristik mit einer SI förmigen Charakteristik. Daraus resultiert ein Frequenzgang mit einer endlichen Flankensteilheit im Bereich der Grenzfrequenz sowie ein schwingungsförmiger Verlauf im Durchlass- und Sperrbereich. Eine genauere Betrachtung erfolgt im späteren Kapitel zur Analyse von Signalen und Systemen im Frequenzbereich. Zur digitalen Signalverarbeitung benötigt man eine zeitdiskrete Realisierung der SI förmigen Charakteristik. Durch die Substitution von t durch n T = n f a die diskreten Werte der Impulsantwort h T P (n) = sin ( ) π n fg fa π n fg fa. erhält man Man beobachtet wieder die in der digitalen Signalverarbeitung typische Abhängig- H.G. Hirsch 64 Digitale Signalverarbeitung

65 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich keit von einem Frequenzverhältnis, in diesem Fall von dem Verhältnis der Grenzfrequenz zur Abtastfrequenz. Dies macht deutlich, dass die Faltung mit dieser Impulsantwort zu einer Tiefpassfilterung bei einer Grenzfrequenz f g führt, die abhängig ist von der Abtastfrequenz des Signals, auf das man die Faltung anwendet. Für das beispielhaft gewählte Verhältnis fg f a der Impulsantwort zu h T P (n) = sin( π n 1 8) π n 1 8 = 1 8 = sin(π n 1 π n 1 4 ergeben sich die diskreten Werte 4). Beschränkt man die Abtastindizes und damit die Breite der Impulsantwort auf den Bereich von -16 bis +16, so erhält man die 33 in Abbildung.14 dargestellten Werte. Die Nullstellen treten bei n = 4, 8, 1,... auf. Zusätzlich wird rechts das Betragsspektrum der Impulsantwort mit 33 Werten dargestellt. Wie leicht zu erkennen ist, weicht der Verlauf von der des idealen TP in Abbildung.1 ab. h (n) TP H (f) TP n=4 n=1 n f n=8 fg = f 1 a 8 Abbildung.14.: Diskrete SI Funktion mit 33 Werten und zugehöriger Frequenzgang Die Darstellungen in den Bildern.13 und.14 zeigen Impulsantworten, die auch für negative Werte von t bzw. n Werte ungleich Null besitzen. Dies würde bedeuten, dass man Systeme betrachtet, die auf einen Dirac Impuls bereits zeitlich vor dem Auftreten des Impulses eine Reaktion zeigen. Man spricht in diesem Zusammenhang von nicht kausalen Systemen, da ein solches Verhalten praktisch nicht realisierbar ist. In der Praxis wendet man beispielsweise die in Bild dargestellte Impulsantwort zeitversetzt um 16 Abtastzyklen an, in dem man die Werte an Stelle der Indizierung von n = 16 bis +16 mit einer Indizierung von n = 0 bis 3 versieht. Als Konsequenz beobachtet man dann diesen Zeitversatz auch bei dem Signal am Ausgang des Filters. Im Bereich der digitalen Filter bezeichnet man diesen Zeitversatz als die Gruppenlaufzeit des Filters. H.G. Hirsch 65 Digitale Signalverarbeitung

66 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich.8. Zweidimensionale Faltung zur Verarbeitung digitalisierter Bilder Bisher wurde die diskrete Faltung zur Verarbeitung von Zeitsignalen, konkret einer Folge von Abtastwerten, die man aus der Abtastung eines elektrischen Spannungsverlaufs in äquidistanten Zeitabständen gewonnen hat, angewendet. In diesem Abschnitt wird erläutert, dass man das Prinzip der Faltung auch auf andere Signale wie die Intensitätswerte eines digitalisierten Bildes anwenden kann. Bei einem digitalisierten Bild erfolgt keine Abtastung über der Zeit, sondern über die räumliche Ausdehnung eines Bildes in horizontaler und vertikaler Richtung. Dabei lässt sich die Helligkeits- oder Farbinformation als zweidimensionales Signal in Abhängigkeit der horizontalen und vertikalen Ausdehnung des Bildes darstellen. Zur Bearbeitung derartiger Signale kann man die bisherige Betrachtung der eindimensionalen Faltung auf eine zweite Dimension erweitern. Bevor dies erläutert wird, finden sich in den nachfolgenden Abschnitten grundlegende Informationen zur Erfassung und Darstellung digitalisierter Bildinformationen Grundlagen der digitalen Bildverarbeitung Ein Bild kann man als die Projektion eines meist dreidimensionalen Geschehens auf eine zweidimensionale Darstellung betrachten, wie dies in einem Photoapparat und auch im menschlichen Sinnesorgan zur Wahrnehmung visueller Informationen, dem Auge, der Fall ist. Diese zweidimensionale Darstellung wird in unserem Auge durch eine ebenfalls zweidimensionale Anordnung von Nervenzellen auf der Netzhaut, den sogenannten Rezeptoren, in nervliche Aktivitäten umgesetzt. Der Aufbau des menschlichen Auges ist in Abbildung.15 zu sehen. Abbildung.15.: Aufbau des menschlichen Auges [1] H.G. Hirsch 66 Digitale Signalverarbeitung

67 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich Die über den Sehnerv übertragenen Nervenaktivitäten lassen schließlich im Gehirn das eigentliche Bild entstehen. In Analogie dazu wird zur Digitalisierung eines Bildes die zweidimensionale Abbildung in eine Vielzahl kleiner Segmente zerlegt, die man als Bildpunkte oder Pixel bezeichnet. In jedem Segment bestimmt man die Helligkeit oder Werte, die die Intensität von drei Grundfarben definieren. Wählt man die Segmente alle gleich groß, so erhält man die in Abbildung.16 dargestellte, zweidimensionale Segmentanordnung, die man auch als Zeilen und Spalten des Bildes beschreiben kann. Abbildung.16.: Zerlegung eines Bildes in eine Zeilen- und Spaltenanordnung von Segmenten Die Unterteilung des Bildes in diese zeilen- und spaltenförmige Segmentanordnung stellt eine Abtastung der Bildinformation in horizontaler und vertikaler Richtung dar. Es stellt sich die Frage, wie viele Zeilen und Spalten und damit insgesamt Bildpunkte benötigt werden, um bei einem Betrachter einen zufriedenstellenden Eindruck des Bildes zu erzeugen. Dabei bestimmt das örtliche Auflösungsvermögen des Auges maßgeblich den subjektiven Bildeindruck. Die Größe, mit der das Bild einem Betrachter angeboten wird, sowie der Abstand des Betrachters zu dieser Präsentation sind letztlich die Parameter, die die Dichte der Bildpunkte näherungsweise festlegen. Für ein früheres Fernsehgerät ließen sich diese Parameter beispielsweise als die Betrachtung eines etwa 50 mal 40 cm großen Bildes in einem Abstand von ca. 3 m festlegen. Für diese Darstellungs- und Betrachtungsparameter hat sich herausgestellt, dass sich mit einer Zeilenanzahl von etwa 600 und einer Spaltenanzahl von etwa 800 eine zufriedenstellende Betrachtung gewährleisten lässt. Neben der Frage, wie viele Bildpunkte zur Beschreibung eines Bildes benötigt werden, stellt sich die Frage, wie jeder einzelne Bildpunkt zu beschreiben ist. Handelt es sich um ein H.G. Hirsch 67 Digitale Signalverarbeitung

68 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich Schwarz-/Weißbild oder ist man nur an der Schwarz-/Weißinformation eines Bildes interessiert, so lässt sich der einzelne Bildpunkt durch ein Maß für die Helligkeit beschreiben, das auch als Luminanz bezeichnet wird. Im menschlichen Auge dienen die Rezeptoren der Helligkeits- und Farbintensitätbestimmung. Sie lassen sich in sogenannte Zapfen und Stäbchen unterteilen. Die Stäbchen, von denen etwa 10 Millionen vorhanden sind, werden im Wesentlichen zur Wahrnehmung der Helligkeit benutzt. In der Mitte der Netzhaut sind fast ausschließlich nur Zapfen vorhanden, während zur Peripherie der Netzhaut hin die Dichte der Stäbchen stetig zunimmt. Meist ist man jedoch an der Farbinformation eines Bildes, die man als Chrominanz bezeichnet, interessiert. Im menschlichen Auge dienen die Zapfen zur Wahrnehmung der Farbinformation, wobei es drei verschiedene Zapfentypen gibt, die entweder sensitiv für die Farbe rot oder grün oder blau sind. Von den Zapfen besitzt unser Auge etwa 6 Millionen. Aus den drei Grundfarben rot, grün und blau lassen sich durch Mischung alle anderen Farben erzeugen. Physikalisch ist die Wellenlänge des Lichts der die Farbempfindung bestimmende Parameter. Zur digitalen Erfassung von Bildern existieren entsprechende Sensoren, z.b. CCD Chips (Charge Coupled Device), die für eine bestimmte Zeilen- und Spaltenanzahl gemäß der Anforderungen an die örtliche Auflösung für jeden Bildpunkt ein Maß für die Intensitäten der drei Farben rot, grün und blau erzeugen. Die drei Intensitätswerte resultieren aus der spektralen Analyse des Lichts in dem entsprechenden Bereich der Wellenlänge. Jeder der drei Intensitätswerte wird in der Regel mittels eines Analog-/Digital Umsetzers als digitaler Wert beschrieben, wobei häufig eine Quantisierung in 56 Intervallen, entsprechend einer Darstellung als 8 Bit Wert, erfolgt. Damit ergibt sich die Größe des Speichers, der für ein Bild aus 800 mal 600 Bildpunkten und bei Beschreibung jedes einzelnen Bildpunkts durch die 3 Intensitätswerte für rot (R), grün (G) und blau (B) benötigt wird, zu Bit = Bit = Byte = 1, 44 MByte Die Größe des für 1 Bild benötigten Speichers macht die Notwendigkeit deutlich, zur nachrichtentechnischen Übertragung diese Datenmenge entscheidend zu verringern. Man spricht bei einem derart codierten Bild auch von einem RGB Signal. Die Beschreibung eines Bildpunkts durch die 3 mit jeweils 8 Bit quantisierten Intensitätswerte R, G und B Werte wird als Festlegung einer sogenannten Farbtiefe von 4 Bit bezeichnet. Neben der Verwendung der drei Grundfarben rot, grün und blau lässt sich die Farbe auch durch eine Mischung anderer Farbbasiskomponenten, z.b. die mit der Abkürzung CMY (cyan magenta yellow) festgelegte Mischung der H.G. Hirsch 68 Digitale Signalverarbeitung

69 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich Farben zyan, magenta und gelb, definieren. Denkt man beispielsweise an die Historie der Fernsehtechnologie, so gab es zunächst nur Schwarz-/Weiß Geräte. Dabei wird jeder Bildpunkt nur durch einen Helligkeitsoder Grauwert beschrieben. Diese Luminanzkomponente Y lässt sich als gewichtete Addition von Rot-, Grün- und Blauanteilen beschreiben: Y = 0, 99 R + 0, 587 G + 0, 114 B Die Luminanzkomponente Y wird zur Übertragung und Darstellung von Schwarz- /Weiß Fernsehbildern nach dem PAL (Phase Alternating Line) Standard verwendet. Bei Einführung der Farbfernsehtechnologie musste gewährleistet sein, dass auch die Besitzer von Schwarz-/Weiß Geräten weiterhin Fernsehen konnten. Daher wurden neben der Y Komponente zwei Komponenten U und V eingeführt, die sich als Differenz von Blau- bzw. Rotanteil und dem Luminanzwert Y beschreiben lassen: U = 0, 493 (B Y ) V = 0, 877 (R Y ) Die U und V Komponenten lassen sich als gewichtete Summe von R, G und B Anteilen beschreiben: U = 0, 493 B 0, 493 (0, 99 R + 0, 587 G + 0, 114 B) = 0, 146 R 0, 88 G+0, 434 B V = 0, 877 R 0, 877 (0, 99 R + 0, 587 G + 0, 114 B) = 0, 617 R 0, 517 G 0, 1 B Damit lässt sich die Bestimmung der Y, U und V Komponenten, die als Farbbasiskomponenten des PAL Standards verwendet werden, auch als Multiplikation einer Matrix von Wichtungsfaktoren mit einem Spaltenvektor der R, G und B Werte darstellen: Y U V = 0, 99 0, 587 0, 114 0, 146 0, 88 0, 434 0, 617 0, 517 0, 1 Die Y, U und V Komponenten werden zur Übertragung eines Farbbilds nach dem PAL Standard benutzt, wie es der Darstellung in Abbildung.17 entnommen werden kann. R G B H.G. Hirsch 69 Digitale Signalverarbeitung

70 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich Abbildung.17.: Schematische Beschreibung des Farbfernsehens nach dem PAL Standard [] Für den Besitzer eines Schwarz-/Weiß Empfängers war damit gewährleistet, dass er unter ausschließlicher Verwendung der Y Komponente sein Gerät weiterhin verwenden konnte. Neben der Beschreibung von Farben durch die Basiskomponenten R, G und B oder Y, U und V gibt es noch andere Definitionen von Basiskomponenten, die beispielsweise bei anderen Fernsehstandards oder im Bereich der Photographie oder Drucktechnik verwendet werden. Die zeilen- und spaltenweise Abtastung eines Bildes führt zu einer Beschreibung eines Bildes als zweidimensionales Signal I(m, n), wobei m und n dem Spalten- bzw. Zeilenindex eines Bildpunkts entsprechen. Im Fall eines Grauwertbildes definiert I(m, n) die Helligkeit in dem Segment mit dem Spaltenindex m und dem Zeilenindex n. Im Fall eines Farbbilds existieren drei zweidimensionale Signale, z.b. I R (m, n), I G (m, n) und I B (m, n) zur Beschreibung der Farbintensitäten bei einem RGB Bild. Abbildung.18.: Intensität des Bildpunkts in der Zeile mit dem Index n und der Spalte mit dem Index m Bei einem aus 800 mal 600 Bildpunkten bestehenden Bild nimmt der Index m dabei Werte zwischen 0 und 799 und der Index n Werte zwischen 0 und 599 an. x(m, n) nimmt als Wert bei einem Schwarz-/Weißbild den Grauwert des durch die Indices m H.G. Hirsch 70 Digitale Signalverarbeitung

71 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich und n definierten Bildpunkts an. Bei einem Farbbild, bei dem jeder Bildpunkt durch 3 quantisierte Farbbasiskomponenten beschrieben wird, existiert für jede Farbbasiskomponente ein zweidimensionales Signal, wobei in der Regel auf jede Komponente bei einer digitalen Verarbeitung des Bildes die gleiche Operation angewendet wird. Abbildung.19.: Geänderte Anordnung der Bildpunkte zum Drehen bzw. Spiegeln eines Bildes Die zweidimensionale Signaldarstellung kann auch als Anordnung der Grau- bzw. Farbintensitätswerte in einer Matrix angesehen werden. Operationen, die sehr einfach durchgeführt werden können, sind das Drehen eines Bildes um ein Vielfaches von 90 Grad oder das horizontale oder vertikale Spiegeln eines Bildes. In Abbildung.19 wird beispielhaft das Drehen des Bildes um 90 Grad in Linksrichtung und das Spiegeln in horizontaler Richtung veranschaulicht. Beim Drehen werden die Inhalte der Zeilen und Spalten der Matrix entsprechend der gewünschten Drehrichtung ausgetauscht, beim Spiegeln werden die Werte in jeder Zeile in umgekehrter Richtung angeordnet..8.. Zweidimensionale Faltung Komplexere Veränderungen eines Bildes können als eine zweidimensionale Faltung des Signals I(m, n) mit der Impulsantwort h(m, n) eines Filters durchgeführt werden. Durch eine Erweiterung der Definition der eindimensionalen Faltung auf zwei Dimensionen lässt sich das Ergebnis der zweidimensionalen Faltung mathematisch bestimmen mittels: Ĩ (m, n) = I (m, n) h (m, n) = I (k, l) h (m k, n l) k= l= Die Impulsantwort h(m, n) ist die Reaktion eines zweidimensionalen Verarbeitungs- H.G. Hirsch 71 Digitale Signalverarbeitung

72 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich blocks auf den zweidimensionalen Dirac-Impuls als Eingangssignal, wobei der Dirac- Impuls definiert ist als: 1 m = n = 0 δ (m, n) = für 0 sonst Als Signal I(m, n) sei beispielhaft der folgende Ausschnitt eines Bildes mit den Intensitätswerten im Bereich der 40. Zeile und der 50. Spalte gegeben: I = m n Da zur Berechnung der Intensität Ĩ(m, n) jedes Bildpunkts eine Vielzahl von Multiplikationen benötigt werden, begrenzt man die Impulsantwort h(m, n) auf die Betrachtung einer Matrix mit einer beschränkten Anzahl von Werten, beispielsweise mit 3 3 Werten. Dann werden zur Berechnung eines Intensitätswerts am Ausgang des Verarbeitungsblocks 9 Multiplikationen benötigt. Diese Anzahl von Multiplikationen wird für jeden Bildpunkt und für jede Farbintensität benötigt. h(m, n) = 0, 1 0, 0, 1 0, 1 0, 0, 3 0, 0, 3 m n Die Lösung der Faltungssumme I (k, l) h (m k, n l) kann man, ähnlich k= l= wie bei der eindimensionalen Faltung, als ein in horizontaler und vertikaler Richtung umgekehrtes Anordnen der Werte der Impulsantwort als h( k, l) und eine Verschiebung dieser Werte an die jeweilige Position eines Bildpunkts h(m k, n l) H.G. Hirsch 7 Digitale Signalverarbeitung

73 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich veranschaulichen. Die gespiegelte Anordnung der Werte h(k,l ) in der Form h(-k,-l) bezeichnet man auch als Filtermaske. Beinhaltet die Impulsantwort eine ohnehin bezüglich der horizontalen und vertikalen Richtung symmetrische Anordnung von Werten, so sind Impulsantwort und Filtermaske identisch. Dies ist bei vielen in der Praxis eingesetzten Impulsantworten der Fall, beispielsweise bei den später gezeigten Gauß- und Laplacefiltern. Spiegelachsen h( k, l) = 0, 3 0, 0, 3 0, 1 0, 0, 1 0, 0, 1 Die benachbarten Intensitätswerte des Bildpunkts an der Position mit den Indices m und n werden dann mit den zugehörigen Werten der Filtermaske multipliziert. Aus der Summation aller Produktterme resultiert dann der Intensitätswert an der Stelle (m,n) am Ausgang des Signalverarbeitungsblocks , , 118 ( 0, 3) , ( 0, ) , 1 14 ( 0, ) 13 ( 0, 1) Ĩ(50, 40) = 11 0, ( 0, 1) = 111, 7 Die Multiplikation mit den Werten der Impulsantwort bzw. der Filtermaske kann man in der mathematischen Darstellung der zweidimensionalen Faltungssumme durch eine formale Substitution von m k r und n l s noch etwas anschaulicher verdeutlichen. Damit ergibt sich das Ergebnis der Faltung zu: Ĩ (m, n) = I (m r, n s) h (r, s) m r= n s= H.G. Hirsch 73 Digitale Signalverarbeitung

74 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich Im Fall, dass h(r, s) aus einer beschränkten Anzahl von Werten besteht, die sich beispielsweise als quadratische Matrix mit ( N + 1) ( N + 1) Werten für r = N,..., 0,.., N und s = N,..., 0,.., N darstellen lässt, kann man die Summation auf die Dimension dieser Matrix beschränken: Ĩ (m, n) = N N r= N s= N I (m r, n s) h (r, s) Dies verdeutlicht noch einmal die Multiplikation der Intensitätswerte I(m r, n s) in der Umgebung des Bildpunkts an der Position mit den Indices m und n mit den Werten der Impulsantwort h(r, s). Analog zur eindimensionalen Signalverarbeitung besitzen Verarbeitungsblöcke, die sich durch die Faltung mit einer zweidimensionalen Impulsantwort beschreiben lassen, die Eigenschaften der Linearität und der Verschiebungsinvarianz, wobei die Verschiebungsinvarianz der Zeitinvarianz bei der eindimensionalen Verarbeitung entspricht. Probleme tauchen bei der Faltung mit der Impulsantwort h(m, n) an den Rändern des Bildes auf, da in Abhängigkeit der Größe von h(m, n) bei den äußeren Zeilen und Spalten des Bildes teilweise keine Intensitätswerte des Bildes existieren. Mögliche Lösungen sind dabei eine künstliche Erweiterung des Bildes durch einfache Wiederholung der Intensitätswerte in den Randzeilen und -spalten oder durch eine zu den Rändern spiegelsymmetrische Fortsetzung mit den Intensitätswerten der äußeren Zeilen und Spalten. Die Realisierung einer zweidimensionalen Faltung ist mit einem nicht ganz unerheblichen Rechenaufwand verbunden. Die Abschätzung des Rechenaufwands kann man an Hand der Anzahl benötigter Multiplikationen vornehmen. Besteht die Impulsantwort beispielsweise aus 5 5 Werten und führt man die Faltung bei einem Farbbild mit seinen drei Farbintensitäten und mit einer Pixelanzahl von durch, so erhält man = Multiplikationen. Zur Realisierung mit einem Prozessor, dessen Leistungsfähigkeit begrenzt ist und der zur Ausführung einer Multiplikation meist eine Vielzahl von Prozessorzyklen benötigt, findet man daher häufig auch Impulsantworten, in denen Faktoren mit den Werten, 4, 8,..., k bzw. 1, 1 4, 1 8,..., 1 k auftreten. Die Multiplikation mit diesen Faktoren lässt sich als Bitshift Operation in der Regel in einem Prozessorzyklus realisieren. Dabei nimmt man auch in Kauf, dass man die gewünschten Werte der Impulsantwort nur näherungsweise realisieren kann. H.G. Hirsch 74 Digitale Signalverarbeitung

75 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich.8.3. Beispiele zweidimensionaler Impulsantworten Ähnlich wie bei der eindimensionalen Faltung stellt sich auch hier die Frage, wie die Anzahl und die Werte einer Impulsantwort für eine gewünschte Aufgabenstellung zu wählen sind. Dazu werden nachfolgend die Definitionen zweier häufig im Bereich der Bildverarbeitung eingesetzter Impulsantworten vorgestellt. Das erste Beispiel basiert auf der Verwendung der Gauß Funktion h(r) = 1 e r π σ σ zur Festlegung der Werte der Impulsantwort. r beschreibt dabei den Radius oder Abstand von dem Wert in der Mitte der Impulsantwort. Dabei geht man von einer symmetrischen Anordnung von Werten um diesen Mittelpunkt sowohl in horizontaler als auch in vertikaler Richtung aus. Mit dem Satz des Pythagoras kann man den quadrierten Abstand r durch m + n ersetzen, so dass sich die Impulsantwort beschreiben lässt durch h(m, n) = e m +n σ Der konstante Faktor 1 π σ, mit dem alle Werte der Impulsantwort multipliziert würden, wurde dabei vernachlässigt. Es findet ohnehin noch eine Skalierung der Werte h(m, n) statt, auf die etwas später eingegangen wird. In der Abbildung.0 sind die beiden Gaußglocken h(r) für σ = 1 und σ = dargestellt. Für die diskreten Werte h(m, n) mit m, n ɛ {, 1, 0, 1, } ergeben sich dabei die in den Matrizen in Tabelle.1 zusammengestellten Werte. variance sig = 1 variance sig = n m 1 n m 1 Abbildung.0.: Gauß Funktionen mit σ = 1 und σ = H.G. Hirsch 75 Digitale Signalverarbeitung

76 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich h(m, n) für Gauß mit σ = h(m, n) für Gauß mit σ = Tabelle.1.: Werte der Gauß Funktionen für m, n ɛ {, 1, 0, 1, } mit σ = 1 und σ = Es wird deutlich, dass sich durch die Faltung mit diesen Impulsantworten am Ausgang jeweils ein Intensitätswert ergibt, der aus der gewichteten Summe der Intensität I(m, n) an der Stelle (m, n) und den Intensitäten der Bildpunkte in der Umgebung der Position (m, n) gebildet wird. Alle Faktoren sind positiv, so dass sich bei diesem Summierer die glättende Wirkung einer Tiefpass Filterung einstellt. Man bezeichnet dieses Filter als Gauß-Filter. Es wird für viele Anwendungen eingesetzt. Beispielsweise kann man damit ein sich auf Grund einer Störung additiv überlagerndes Bildrauschen reduzieren. Oder man kann es als das für eine Unter- oder Überabtastung eines Bildes benötigte Tiefpassfilter einsetzen. In Programmen zur Bildbearbeitung kann man das Gauß-Filter für den unter dem Begriff Weichzeichnen geführten Effekt verwenden. In Abhängigkeit der Anzahl der Werte der Impulsantwort und des Summenwerts h(m, n) erhält man nach der Faltung möglicherweise Ausgangswerte Ĩ(m, n), die einen anderen Wertebereich abdecken als die Eingangswerte I(m, n). Benötigt man die Werte Ĩ(m, n), um sie ohne eine Visualisierung weiter zu verarbeiten, ist diese Veränderung des Wertebereichs vermutlich unkritisch. Möchte man die Ausgangswerte aber wieder als Bild visualisieren, so sollten sie im gleichen Wertebereich wie die Eingangswerte I(m, n) liegen. Wurden die Werte I(m, n) beispielsweise mit 8 Bit quantisiert und zur Rechnung auf ganzzahlige Werte im Bereich von 0 bis 55 abgebildet, so sollten auch die Ausgangswerte y(m, n) in diesem Bereich liegen und einen in etwa gleich großen Bereich abdecken wie die Eingangswerte. Im Fall des Gauß Filters, bei dem nur positive Werte in der Impulsantwort auftreten, lässt sich die Skalierung beispielsweise mittels h skal (m, n) = h(m,n) h(m,n) realisieren. Als zweites Beispiel wird das unter der Bezeichnung Laplace oder Mexican Hat Filter geführte Filter betrachtet, dessen Impulsantwort sich durch h(r) = 1 ( πσ 4 1 r e r σ beschreiben lässt. Wie bei dem Gauß Filter kann man den Radius r σ ) durch die Summe der Quadrate m +n ersetzen und den konstanten Term vernach- H.G. Hirsch 76 Digitale Signalverarbeitung

77 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich lässigen, so dass sich h(m, n) darstellen lässt als h(m, n) = ( ) 1 m +n σ e m+n σ. variance sig = 0.5 variance sig = n m 1 n m 1 Abbildung.1.: Laplace Funktionen mit σ = 0, 5 und σ = 1 h(m, n) für Laplace mit σ = h(m, n) für Laplace mit σ = Tabelle..: Werte der Laplace Funktion für m, n ɛ {, 1, 0, 1, } mit σ = 0, 5 und σ = 1 Betrachtet man das Aussehen dieser Impulsantwort, die in Abbildung.1 für σ = 0.5 und σ = 1 dargestellt ist, so erkennt man die Form eines Sombreros, woraus sich auch der Name des Filters ableitet. Im Gegensatz zum Gauß Filter treten hier auch negative Werte in der Impulsantwort auf. Man kann die Faltung in diesem Fall beschreiben als eine gewichtete Differenzbildung der Intensität an der Position (m, n) und der Intensitäten der Bildpunkte in der Umgebung von (m, n). Diese differenzierende Verarbeitungsform besitzt eine Hochpass Charakteristik. Das Hervorheben von Intensitätsunterschieden eignet sich insbesondere als Vorverarbeitungsschritt für eine weitergehende Verarbeitung zur Detektion von Kanten in dem Bild. In Programmen zur Bildbearbeitung lässt sich damit der unter dem Begriff Scharfzeichnen geführte Effekt realisieren. Quellenangabe zu Bildern: H.G. Hirsch 77 Digitale Signalverarbeitung

78 . Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich [1] J.-R. Ohm, H.D. Lüke: Signalübertragung, Springer Verlag, 005 [] H. Schönfelder: Bildkommunikation, Springer Verlag, 1983 H.G. Hirsch 78 Digitale Signalverarbeitung

79 3. Korrelationsanalyse In vielen Anwendungen der Signalverarbeitung ist es hilfreich und notwendig, ein Maß für die Ähnlichkeit zweier Signale bestimmmen zu können. Man bezeichnet dieses Maß auch als den Grad der Korrelation, der zwischen diesen beiden Signalen vorhanden ist. Im Folgenden werden die Begriffe der Kreuzkorrelationsfunktion für den Vergleich zweier im allgemeinen unterschiedlicher Signale und der Begriff der Autokorrelationsfunktion für den Vergleich zweier identischer, aber möglicherweise zeitverschobener Signale eingeführt sowie ihre Beziehungen zum Leistungsdichtespektrum hergestellt. Des Weiteren werden einige Anwendungen zur Korrelationsanalyse aufgezeigt Herleitung der Kreuz- und Autokorrelationsfunktion Als Ausgangspunkt der nachfolgenden Ableitung und Definition der Korrelationsfunktionen werden sogenannte Energiesignale betrachtet, deren Energie endlich ist: E = x (t) dt < Diese Bedingung wird beispielsweise von Signalen erfüllt, die nur in einem begrenzten Zeitabschnitt von Null verschiedene, endliche Amplitudenwerte aufweisen und deren Amplitude außerhalb dieses Abschnitts gleich Null ist. Viele Signale, wie z.b. periodische Signale oder zeitlich nicht begrenzte stationäre Signale, deren Eigenschaften später noch detailliert erläutert werden, besitzen keine endliche Signalenergie. Diese Signale werden als Leistungssignale bezeichnet, wenn sie eine endliche mittlere Leistung besitzen: H.G. Hirsch 79 Digitale Signalverarbeitung

80 3. Korrelationsanalyse 1 T P = lim x (t) dt < T T 0 Um die Ähnlichkeit zweier Energiesignale x 1 (t) und x (t) zu beschreiben, kann man die Differenz [x 1 (t) x (t)] betrachten und die Energie dieses Differenzsignals bestimmen: E (x1 x ) = [x 1 (t) x (t)] dt = x 1(t) dt + x (t) dt x 1 (t) x (t) dt Die Betrachtung des Differenzsignals ist an die Annahme geknüpft, dass x 1 (t) und x (t) Amplitudenwerte im gleichen Wertebereich annehmen. Bei vielen Anwendungen der Korrelationsanalyse stellt x (t) eine modifizierte Version des Signals x 1 (t) dar. Beispielsweise könnte x (t) die nach einer Übertragung über einen gestörten Kanal empfangene Version des Signals x 1 (t) sein. Häufig stellt x (t) dann eine gedämpfte Version von x 1 (t) dar, wobei x 1 und x dann Amplituden in ganz unterschiedlichen Wertebereichen annehmen und die Betrachtung der Differenz der Signale nicht sonderlich sinnvoll erscheint. Um das Maß der Ähnlichkeit in diesem Fall von der Amplitude bzw. der Energie unabhängig zu machen, kann man die Signale auf ihre Energien E x1 und E x normieren: E norm = [ x 1 (t) Ex1 x (t) Ex ] t = x 1(t) dt E x1 + x (t) dt E x x 1 (t) x (t) dt Ex1 E x Da x 1 = E x1 und x = E x ist, ergibt sich die Energie zu E norm = x 1 (t) x (t) dt Ex1 E x Vernachlässigt man die Addition des konstanten Werts und die Multiplikation mit dem konstanten Faktor -, so erhält man die Definition des normierten Korrelationskoeffizienten: H.G. Hirsch 80 Digitale Signalverarbeitung

81 3. Korrelationsanalyse ρ x1 x = 1 E norm = x 1 (t) x (t) dt Ex1 E x Das so definierte Maß der Ähnlichkeit resultiert in einer Integration des Produkts der beiden zu vergleichenden Signale, wobei als Ausgangspunkt die Differenz der beiden Signale betrachtet wurde. Sind die beiden Signale x 1 und x identisch, so ergibt sich bei der Integration die Energie des Signals und der Korrelationskoeffizient nimmt den Wert 1 an. Dabei stellt dieser Wert den Maximalwert dar, der denn auch die größte Ähnlichkeit beim Vergleich von x 1 und x definiert. Sind x 1 und x bis auf das Vorzeichen identisch (x 1 (t) = x (t)), so nimmt der Korrelationskoeffizient den Wert 1 an. Insgesamt definieren der Minimalwert von 1 und der Maximalwert von +1 den gesamten Wertebereich des normierten Koeffizienten. Ergibt sich für zwei Signale ein Korrelationswert von Null, so bezeichnet man die beiden Signale als unkorreliert. Die beiden Signale nehmen dabei statistisch unabhängig voneinander zufällig positive und negative Amplitudenwerte an, so dass das Integral über das Produkt in dem Wert Null resultiert. Betrachtet man des Weiteren noch eine zeitliche Verschiebung des Signals x (t) um die Zeit τ gegenüber dem Signal x 1 (t), so gelangt man zur normierten Kreuzkorrelationsfunktion ρ x1 x (τ) = x 1 (t) x (t + τ) dt Ex1 E x Ohne Normierung auf die Energien des Signals beschreibt der im Zähler stehende Term die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF ) ϕ x1 x (τ) = x 1 (t) x (t + τ) dt Mit Hilfe dieser Funktion generiert man ein Maß, das die Ähnlichkeit eines Signals x 1 (t) zu einem zeitverschobenen Signal x (t + τ) in Abhängigkeit der zeitlichen Verschiebung τ beschreibt. Für zeitdiskrete Signale x 1 (n) und x (n)x(n) lässt sich das Integrieren durch eine Summenbildung ersetzen: ϕ x1 x (l) = x 1 (n) x (n + l) für l = 0, ±1, ±,... n= H.G. Hirsch 81 Digitale Signalverarbeitung

82 3. Korrelationsanalyse Die relative zeitliche Links -Verschiebung des Signals x um l Abtastintervalle kann man auch alternativ als eine Rechts -Verschiebung des Signals x 1 (n) um l Intervalle beschreiben. Damit erhält man die alternative Definition der KKF als: ϕ x1 x (l) = x 1 (n l) x (n) n= Vertauscht man die Beziehungsabhängigkeit der beiden Signale x 1 (n) und x (n), so bestimmt sich die Kreuzkorrelationsfolge ϕ x x 1 (l) zu ϕ x x 1 (l) = n= x (n l) x 1 (n) Daraus lässt sich unmittelbar die folgende Beziehung zwischen ϕ x1 x (l) und ϕ x x 1 (l) als grundlegende Eigenschaft der KKF ableiten: ϕ x1 x (l) = ϕ x x 1 ( l) Anschaulich bedeutet die zuvor abgeleitete Beziehung, dass sich prinzipiell für die beiden Fälle des Vergleichs des Signals x 1 mit dem Signal x und des Vergleichs des Signals x mit dem Signal x 1 die gleichen Ähnlichkeitswerte ergeben. Allerdings beobachtet man den gleichen Ähnlichkeitswert einmal bei l und einmal bei l, in Abhängigkeit der Wahl von Signal x 1 als Bezugspunkt oder der Wahl von x als Bezugspunkt, wie es in Abbildung 3.1 veranschaulicht wird. Bezugspunkt x 1 } +l ( ) x l 1 x x x 1 -l φ (- ) x l x 1 x }φ Bezugspunkt = Abbildung 3.1.: Wahl des Bezugspunktes für die Korrelation Es bleibt anzumerken, dass die Definition der Kreuzkorrelationsfunktion teilweise in der Literatur mit einer vertauschten Zuordnung der Indices x 1 und x als ϕ x1 x (l) = n= x 1 (n + l) x (n) vorgenommen wird. Beispielsweise ist diese modifizierte Definition die Basis zur Berechnung der Kreuzkorrelation mit Hilfe der H.G. Hirsch 8 Digitale Signalverarbeitung

83 3. Korrelationsanalyse Funktion xcorr in Matlab. Daher sind die Signale x 1 und x der Funktion xcorr in der Reihenfolge xcorr(x, x 1 ) zu übergeben, um das Ergebnis gemäß der hier verwendeten Definition ϕ x1 x (l) = n= x 1 (n) x (n + l) zu erhalten. Sind die beiden Signale x 1 und x identisch, so erhält man die Autokorrelationsfunktion (AKF) für zeitkontinuierliche Signale bzw. die Autokorrelationsfolge für zeitdiskrete Signale: ϕ xx (τ) = x(t) x(t+τ) t ϕ xx (l) = n= x(n) x(n+l) für l = 0, ±1, ±,... Damit erhält man ein Maß für die Ähnlichkeit einer Folge x(n) mit der um l Zyklen verschobenen gleichen Folge x(n). Man vergleicht also das Signal x(n) mit sich selbst unter Berücksichtigung eines Zeitversatzes. Wir werden später sehen, dass das Aussehen der AKF ein wichtiges Kriterium darstellt, um die Möglichkeiten einer Detektion der Sequenz x(n) nach der Übertragung über einen möglicherweise gestörten Kanal zu beurteilen. 3.. Eigenschaften von AKF und KKF Im vorhergehenden Abschnitt wurde bereits die Eigenschaft ϕ x1 x (l) = ϕ x x 1 ( l) der KKF vorgestellt. Bezüglich der Eigenschaften der AKF kann man angeben, dass der Wert der Autokorrelationsfunktion für t = 0 bzw. l = 0 der Energie des Signals entspricht: E = ϕ xx (0) = x (t) t bzw. ϕ xx (0) = n= x (n) Die Autokorrelationsfunktion nimmt demnach für l = 0 (bzw. t = 0) ihr Maximum an: ϕ xx (0) ϕ xx (l 0) Der Wert der AKF an der Stelle l beschreibt ein Maß für die Korrelation eines Signals mit dem um l Abtastintervalle zeitlich verschobenen, identischen Signal. Für die AKF gilt des weiteren die Symmetriebedingung: ϕ xx (l) = ϕ xx ( l) Beispielhaft ist in Abbildung 3. das dreieckförmige Signal x(n) und die zugehörige Autokorrelationsfolge dargestellt. Man kann aus der Betrachtung der AKF Werte im H.G. Hirsch 83 Digitale Signalverarbeitung

84 3. Korrelationsanalyse Bereich des Maximums ablesen, dass sich bei der Berechnung der Ähnlichkeit auch bei einem Zeitversatz um einige Abtastzyklen immer noch große Werte ergeben. Abbildung 3..: Signal x(n) und zugehörige Autokorrelationsfolge Die normierten Kreuzkorrelations- und Autokorrelationsfolgen ergeben sich, wie dies schon zuvor für zeitkontinuierliche Signale eingeführt wurde, durch Normierung auf die Energien der Signale: ρ x1 x (l) = ϕ x1 x (l) ϕx1 x 1 (0) ϕ x x (0) ρ xx (l) = ϕ xx(l) ϕ xx (0) Die normierten Korrelationsfolgen nehmen nur Werte zwischen -1 und 1 an und sind damit unabhängig von der Skalierung der Amplitudenwerte. Handelt es sich bei den Signalen x 1 (n) und x (n) bzw. dem Signal x(n) um zeitlich begrenzte Folgen von Abtastwerten, deren Amplitudenwerte gleich Null sind für n < 0 und n >= N, so lassen sich die Kreuzkorrelations- und Autokorrelationsfolge berechnen zu: ϕ x1 x (l) = N 1 n=0 x 1 (n) x (n + l) ϕ xx (l) = N 1 n=0 x(n) x(n + l) H.G. Hirsch 84 Digitale Signalverarbeitung

85 3. Korrelationsanalyse Repräsentieren x 1 (n) und x (n) bzw. x(n) keine Energiesignale, sondern periodische Folgen von Abtastwerten mit einer Periodenlänge von N Abtastintervallen, so lassen sich Kreuzkorrelations- und Autokorrelationsfolge definieren zu: ϕ x1 x (l) = 1 N N 1 n=0 x 1 (n) x (n + l) ϕ xx (l) = 1 N N 1 n=0 x(n) x(n + l) Der Faktor 1 kann als Normierungsfaktor angesehen werden, um auch bei unterschiedlichen Periodenlängen die Korrelationsergebnisse miteinander vergelichen N zu können. ϕ x1 x (l) und ϕ xx (l) sind in diesem Fall ebenfalls periodische Signale mit der Periodenlänge N. Die KKF und die AKF werden dann für Werte von l, die einem Vielfachen von N entsprechen, wieder den Wert ϕ x1 x (0) bzw. ϕ xx (0) annehmen. Handelt es sich bei x 1 (n) und x (n) um zeitlich nicht begrenzte, aber stationäre Signale, die ihre Eigenschaften über der Zeit nicht verändern, so kann man KKF bzw. AKF aus der Betrachtung eines möglichst langen Abschnitts abschätzen: ϕ x1 x (l) = lim N [ 1 N N 1 n=0 x 1 (n) x (n + l) ] ϕ xx (l) = lim N [ 1 N N 1 n=0 x(n) x(n + l) 3.3. Anwendungbeispiel einer Korrelationsanalyse ] Im Folgenden wird beispielhaft die Anwendung der Korrelationsanalyse zur Bestimmung von Laufzeitunterschieden und weitergehend zur Bestimmung der Geschwindigkeit eines Fahrzeugs gezeigt. Es wird die Anordnung zweier Induktionsschleifen betrachtet, die sich in einem definierten Abstand im Belag einer Strasse befinden, wie es in Abbildung 3.3 visualisiert wird. v s v = s t x 1 x Abbildung 3.3.: Zeiterfassung durch Kreuzkorrelation der Signale zweier Induktionsschleifen H.G. Hirsch 85 Digitale Signalverarbeitung

86 3. Korrelationsanalyse Fährt ein Kraftfahrzeug über diese Schleifenanordnung, so werden in den Schleifen Ströme induziert, deren zeitlicher Verlauf in der Regel sehr ähnlich sein wird. In Abbildung 3.4 sind die den induzierten Strömen entsprechenden Signalverläufe sowie eine aus den beiden Signalen hervorgehende normierte Kreuzkorrelationsfunktion dargestellt. Die beiden Maxima im Signalverlauf könnten auf einen PKW hindeuten, dessen beide, im Vergleich zum Fahrzeuggehäuse tiefer angeordnete Achsen die beiden Maxima hervorrufen. In Abhängigkeit des Schleifenabstands s und der Geschwindigkeit v des Fahrzeugs treten die beiden Signalverläufe zeitlich versetzt auf. Mit Hilfe einer Korrelationsanalyse kann dieser zeitliche Versatz t bestimmt werden. Bei Kenntnis des Abstands der beiden Induktionsschleifen kann damit auch unmittelbar die Geschwindigkeit des Fahrzeugs berechnet werden ( v = s t ). Abbildung 3.4.: Zeitversetzte Signalverläufe und zugehörige KKF Bei genauer Betrachtung der beiden Signale beobachtet man einen etwas verrauschten Signalverlauf. Dies wird bei derartigen Messanordnungen in der Praxis häufig der Fall sein. Zur Berechnung der in Abbildung 3.4 dargestellten normierten Kreuzkorrelationsfunktion wird zunächst der Puls von Signal x 1 im Bereich von 50 bis 300 ms detektiert. Diese Detektion könnte man beispielsweise durch das Über- bzw. Unterschreiten eines Schwellwerts realisieren (siehe Abbildung 3.7). Anschließend wird die Korrelation der Abtastwerte in dem 50 ms breiten Fenster mit den Abtastwerten des H.G. Hirsch 86 Digitale Signalverarbeitung

87 3. Korrelationsanalyse Signals x berechnet. Damit kann man aus dem Verlauf der Kreuzkorrelierten und dem Zeitpunkt, bei dem die Kreuzkorrelierte ein Maximum annimmt, unmittelbar den zeitlichen Versatz der beiden Signale ablesen. In der beispielhaften Betrachtung findet sich das Maximum bei etwa 140 ms. Bei einem Schleifenabstand von exakt 5 Metern würde sich die Geschwindigkeit des Fahrzeugs auf einen Wert von 18, 6 km h abschätzen lassen. Das Maximum der KKF tritt bei dieser beispielhaften Realisierung allerdings nicht sehr deutlich hervor, so dass bei einer stärkeren Störung der Signale die Laufzeitmessung fehlerbehaftet sein könnte Die Darstellung der Korrelationsanalyse als Faltung In der folgenden Abbildung wird die KKF mit der diskreten Faltung zweier Signale, wie sie im vorhergenden Kapitel eingeführt wurde, verglichen. Durch einige Substitutionen der Bezeichnungen der Signale und Zeitindices werden die Definitionen von Faltung und KKF aufeinander zugeführt. Faltung Kreuzkorrelationsfunktion y(m) = x(n) h(n) ϕ x1 x (l) = x 1 (n) x (n + l) n y(n) = x(m) h(n m) mit x 1 x x h m ϕ xh (l) = x(n) h(n + l) n mit y ϕ n l mit n m ϕ(l) = x(m) h(l m) ϕ xh (l) = x(m) h(l + m) m m identisch bis auf das Vorzeichen bei m bzw. +m Abbildung 3.5.: Vergleich von Faltung und KKF Bis auf das Vorzeichen bei dem Zeitindex m des Signals h in der Summendarstellung sind die beiden Ausdrücke identisch. Das negative Vorzeichen bei der Faltungssumme wurde in Abschnitt.5, in der eine graphische Vorgehensweise zur Lösung der Faltungssumme vorgestellt wurde, als das Spiegeln der Werte der Impulsantwort an der Ordinate beschrieben. Dies bedeutet, dass man sich die Berechnung der KKF ϕ xh (l) anschaulich als eine unmittelbare Verschiebung des Signals h an die Stelle l H.G. Hirsch 87 Digitale Signalverarbeitung

88 3. Korrelationsanalyse vorstellen kann, ohne vorher die Spiegelung vorgenommen zu haben. Oder weitergehend kann man die Berechnung der KKF als die Faltung des Signals x mit der Impulsantwort h( m) darstellen. Dann führt die Spiegelung von h( m) zu dem Signal h(m) selbst, das man an die Stelle l verschiebt. Die Berechnung der KKF kann man also als Faltung und somit durch ein Signalverarbeitungssystem, das im Zeitbereich durch die Impulsantwort h( l) definiert ist, beschreiben, wie es in Abbildung 3.6 dargestellt ist. x(l) h(-l) φ (l) xh Abbildung 3.6.: Korrelation als Faltung Wie schon zuvor einmal erwähnt wurde, setzt man die KKF in diesem Zusammenhang häufig dazu ein, den Zeitpunkt des Auftretens von Signal h(n) in dem Signal x(n) zu detektieren. Daher bezeichnet man das System, dessen Impulsantwort h( n) ist und dessen Ausgangsignal der KKF von x(n) und h(n) entspricht, als Korrelationsfilter oder matched Filter. Die englische Bezeichnung matched deutet darauf hin, dass es sich um ein angepasstes Filter zur Detektion des Signals h(n) handelt Das Leistungsdichtespektrum als Fourier-Transformierte der AKF In diesem Abschnitt wird der Zusammenhang zwischen der AKF und dem Leistungsdichtespektrum eines Signals als Fourier Transformierte der AKF hergeleitet. Es wird zudem aufgezeigt, wie man bei einem Signalverarbeitungssystem die AKF und das Leistungsdichtespektrum am Ausgang des Systems aus den AKFs und den Leistungsdichtespektren von Eingangssignal und Impulsantwort des Systems bestimmen kann. Wie bereits zuvor gezeigt wurde, ist die Definition der Korrelationsfunktion dem Faltungsprodukt sehr ähnlich, so dass sich beispielsweise die AKF beschreiben läßt als: H.G. Hirsch 88 Digitale Signalverarbeitung

89 3. Korrelationsanalyse AKF : ϕ xx (τ) = x(t) x(t+τ) dt F altung : x(τ) x(τ) = x(t) x(t τ) dt ϕ xx (τ) = x(τ) x( τ) Transformiert man diese Beziehung mit Hilfe der Fourier Transformation in den Frequenzbereich, so erhält man: ϕ xx (τ) = x(τ) x( τ) X(f) X (f) = X(f) X(f) = ϕ xx (τ) e j π f τ dτ Den Term X(f) bezeichnet man als Energiedichtespektrum bzw. bei der Betrachtung von stationären Signalen als Leistungsdichtespektrum. Diese Beziehung zwischen der AKF und dem Energie- bzw. Leistungsdichtespektrum bezeichnet man als Wiener-Khintchine Theorem. Betrachtet man die Autokorrelationsfunktion ϕ yy (t) am Ausgang eines linearen, zeitinvarianten Systems mit der Stoßantwort h(t), so läßt sich dabei der folgende Zusammenhang zu den Autokorrelationsfunktionen ϕ xx (t) des Eingangssignals x(t) und ϕ hh (t) der Stoßantwort h(t) herleiten: ϕ yy (τ) = y(τ) y( τ) = x(τ) h(τ) x( τ) h( τ) = x(τ) x( τ) h(τ) h( τ) ϕ yy (τ) = ϕ xx (τ) ϕ hh (τ) Die AKF des Ausgangssignals ergibt sich somit aus der Faltung der AKFs von Eingangssignal und Impulsantwort. Diesen Zusammenhang bezeichnet man als Wiener- Lee Beziehung. Unter Verwendung des Wiener-Khintchine Theorems ergibt sich damit der folgende Zusammenhang zwischen den Autokorrelationsfunktionen und den zugehörigen H.G. Hirsch 89 Digitale Signalverarbeitung

90 3. Korrelationsanalyse Energie- bzw. Leistungsdichtespektren bei Übertragung eines Signals x(t) über ein System mit der Stoßantwort h(t): ϕ xx (τ) ϕ hh (τ) = ϕ yy (τ) X(f) H(f) = Y (f) Das Energie- bzw. Leistungsdichtespektrum am Ausgang des Übertragungssystems ergibt sich als Produkt der Energie- bzw. Leistungsdichtespektren von Eingangssignal und Stoßantwort des Übertragungssystems Die zweidimensionale Kreuzkorrelationsfunktion Die Korrelationsanalyse kann auch im Bereich der Bildverarbeitung eingesetzt werden. Dazu muß wie bei der diskreten Faltung die Definition der Korrelationsfunktion um die zweite Dimension erweitert werden. An Stelle der Zeit im eindimensionalen Fall treten bei Bildern die Ausdehnungen des Bildes in vertikaler und horizontaler Richtung auf. Damit lässt sich zur Berechnung der Ähnlichkeit zweier Bilder unter Berücksichtigung eines örtlichen Versatzes in Spalten- und Zeilenrichtung die Korrelationsfunktion im Fall von zweidiemnsionalen Signalen definieren zu ϕ I1 I (k, l) = I 1 (m, n) I (m + k, n + l) für k, l = 0, ±1, ±,... m= n= Eine Anwendung der zweidimensionalen KKF könnte in der Suche und Detektion eines Objekts in einem Bild bestehen. Dazu kann man die KKF zwischen den Intensitätswerten I 1, die den Bildausschnitt, der das Objekt beinhaltet, beschreiben, und den Intensitätswerten I des größeren Bildes berechnen. Damit berechnet man die Ähnlichkeit des Bildausschnitts, der durch die Intensitätswete I 1 definiert ist, zu allen möglichen gleich großen Bildausschnitten des größeren Bildes. Jeder Bildausschnitt des größeren Bildes ist definiert durch einen Versatz um k Spalten und l Zeilen. Durch die Bestimmung der Position der maximalen Ähnlichkeit kann man H.G. Hirsch 90 Digitale Signalverarbeitung

91 3. Korrelationsanalyse auf die Spalten- und Zeilenindices schließen, bei denen das Objekt, das durch die Intensitätswerte I 1 definiert ist, vermutlich in dem größeren Bild auftritt. Wie bei der eindimensionalen Korrelation kann man auch im zweidimensionalen Fall eine normierte KKF berechnen, in dem man eine Normierung auf die Energien der beiden zu vergleichenden Bildausschnitte vornimmt: ρ I1 I (k, l) = I 1 (m,n) I (m+k,n+l) m= n= EI1.E I Dabei werden E I1 = I1(m, n) und E I = m n m großen Ausschnitte berechnet. I(m, n) über die beiden gleich n 3.7. Signale mit speziellen Korrelationseigenschaften Ein häufig betrachteter Anwendungsfall der Korrelationsanalyse ist die Detektion einer ausgewählten Sequenz x(n) nach der Übertragung dieser Sequenz über einen Kanal, wie es in Abbildung 3.7 dargestellt ist. Der Kanal kann die Übertragung des Signals über eine drahtgebundene Verbindung beschreiben. Dabei kommt es in der Regel lediglich zu einer zeitlichen Verzögerung ohne große Störung des Signals x(n). Häufiger betrachtet wird allerdings der Fall einer drahtlosen Übertragung über eine Funkstrecke. Dabei kommt es neben der Verzögerung auch zur Überlagerung einer Störung in Abhängigkeit der Bedingungen auf dem Funkkanal. Die generelle Intention besteht in der Bestimmung des genauen Zeitpunkts, zu dem die ausgesendete Sequenz beim Empfänger eintrifft. Dazu führt man eine Korrelationsanalyse zwischen ausgesendetem und empfangenen Signal durch und bestimmt den Zeitpunkt durch den Vergleich des berechneten Korrelationskoeffizienten mit einem Schwellwert bei Überschreitung des vorgegebenen Schwellwerts. Damit kann man beispielsweise die zeitliche Synchronisation eines empfangenen Datenstroms vornehmen. Oder im Fall, dass sich Sender und Empfänger wie bei einer Radaranwendung an der gleichen Stelle befinden und das empfangene Signal die von einem Objekt reflektierte Version des ausgesendeten Signals darstellt, kann man die Laufzeit des Signals berechnen und daraus wiederum eine Entfernung oder Geschwindigkeit abschätzen. H.G. Hirsch 91 Digitale Signalverarbeitung

92 3. Korrelationsanalyse x(n) y(n) Sender Kanal Empfänger φ xy 1 } 0 φ xy Detektor Schwellwert Abbildung 3.7.: Übertragung und anschließende Detektion Im Folgenden wird nun abgeleitet, welche Autokorrelationseigenschaften die Sequenz x(n) haben sollte, damit man sie nach der Übertragung über einen mehr oder weniger gestörten Kanal möglichst gut detektieren kann. Dazu wird zunächst ein Kanal betrachtet, der lediglich zu einer zeitlichen Verzögerung um l d Abtastintervalle führt, wie es in Abbildung 3.8 dargestellt ist. x(n) y(n) = x(n - l ) l d d Abbildung 3.8.: Zeitverzögerung bei Übertragung über einen Kanal Berechnet man die Kreuzkorrelationsfunktion ϕ xy (l), so erhält man den folgenden Zusammenhang ϕ xy (l) = n x(n) y (n + l) = n x(n) x (n + l l d ) Dabei handelt es sich um die Autokorrelationsfunktion der Sequenz x(n). Das Signal lässt sich detektieren, wenn die AKF für l = l d einen größeren Wert annimmmt im Vergleich zu allen anderen Werten der AKF ϕ xx (l l d ). Betrachtet man noch einmal die grundlegende Eigenschaften der AKF ϕ xx (0) ϕ xx (l), so wird die Forderung von vielen Signalen erfüllt. Im Weiteren wird nun zusätzlich die Überlagerung einer additiven Störung betrachtet, wie sie im Fall einer drahtlosen Übertragung zu erwarten ist. Die Modellierung einer analogen Funkübertragung kann man mit einem so genannten AWGN Kanal vornehmen. das A steht dabei für additiv, was die Störung als rein additive Überlagerung eines Rauschsignals ( N = noise ) beschreibt. Der Buchstabe G definiert das statistische Auftreten der Amplitudenwerte des Rauschens gemäß einer Gauß Verteilung. W definiert das Spektrum des Rauschens als weiß, womit eine gleichmäßige Verteilung der Energie über den gesamten betrachteten Frequenzbereich einhergeht. Das Spektrum nimmt einen konstanten Wert an. Insgesamt resultiert damit H.G. Hirsch 9 Digitale Signalverarbeitung

93 3. Korrelationsanalyse ein Modell zur Erfassung der bei der Funkübertragung auftretenden Effekte, wie es in Abbildung 3.9 dargestellt ist. x(n) l d y(n) = x(n - ) + r(n) l d r(n) r(n) n Abbildung 3.9.: AWGN Kanal Neben der schon zuvor betrachteten Verzögerung überlagern sich additiv die zufälligen Werte des Rauschsignals r(n): y(n) = x (n l d ) + r(n) Die Kreuzkorrelationsfunktion lässt sich dabei als additive Überlagerung zweier Terme darstellen: ϕ xy (l) = x(n) [x (n l d + l) + r(n + l)] n = n x(n) x (n l d + l) + x(n) r(n + l) n }{{} Störterm Der erste Term ist die AKF, den zweiten Term kann man als einen Störterm ansehen, der sich additiv den Werten der AKF überlagert und damit die Detektion der Sequenz x(n) in dem empfangenen Signal erschwert. Dabei legt das Verhältnis der Amplituden von Nutzsignal x(n) und Störsignal r(n) den Grad der Störung fest, was man durch die quantitative Angabe eines SNR als logarithmiertes Verhältnis der Energien oder Leistungen von x(n) und r(n) beschreiben kann. Man kann daraus die Forderung ableiten, dass die AKF für l = 0 einen deutlichen größeren Wert im Vergleich zu allen anderen Werten für l ungleich 0 annehmen sollte: ϕ xx (0) ϕ xx (l 0) Die zuvor angestellten Überlegungen haben dazu geführt, Sequenzen x(n) auf das angestrebte Aussehen ihrer AKF hin zu untersuchen. Im Folgenden werden beispielhaft zwei Klassen von Codesequenzen vorgestellt, die die genannte Forderung erfüllen. Die erste Klasse sind die nach ihrem Entdecker benannten Barker Codes. Dabei handelt es sich um binärwertige Sequenzen x(n) mit einer Länge zwischen und 13, H.G. Hirsch 93 Digitale Signalverarbeitung

94 3. Korrelationsanalyse deren konkrete Werte der Tabelle 3.1 bei Verwendung der beiden Amplitudenwerte 1 und +1 entnommen werden können. Länge des Codes x(n) Tabelle 3.1.: Barker Codes Beispielhaft sind in Abbildung 3.10 der Barker Code der Länge 11 und die zugehörige Autokorrelationsfunktion dargestellt. Im Allgemeinen nimmt die AKF den Wert ϕ xx (0) = N an, wenn N die Länge des Barker Codes definiert und die Amplitudenwerte 1 und +1 verwendet werden. In dem dargestellten Beispiel nimmt ϕ xx (0) somit den Wert 11 an. Abbildung 3.10.: Barker Code der Länge 11 und zugehörige AKF Verallgemeinernd stellt man bei Barker Codes fest, dass alle anderen Werte der AKF betragsmäßig nicht größer als 1 werden: ϕ xx (l 0) 1 H.G. Hirsch 94 Digitale Signalverarbeitung

95 3. Korrelationsanalyse Damit ist die Forderung ϕ xx (0) ϕ xx (l 0) erfüllt. Je größer die Länge des Barker Codes ist, desto höher hebt sich ϕ xx (0) von den restlichen AKF Werten ab. Somit können die längeren Barker Codes auch besser nach der Übertragung über einen gestörten Kanal mit einem relativ geringen SNR detektiert werden. Eine zweite Klasse sind die so genannten Maximum-Length Sequenzen (MLS). Dabei handelt es sich um pseudozufällige Sequenzen x(n) mit einer Länge N = k 1. ML Sequenzen können mit einem rückgekoppelten Schieberegister erzeugt werden, wobei die Rückkopplungen durch ein primitives Polynom festgelegt sind. Beispielhaft wird in Abbildung 3.11 das aus der Betrachtung des primitiven Polynoms G(z) = 1 + z 1 + z 4 resultierende Schieberegister dargestellt. z 4 T T T T z 0 z 1 z z 3 x(n) Abbildung 3.11.: Schieberegister zur Erzeugung einer MLS Aus dem höchsten Grad des Polynoms, im Beispiel 4, ergibt sich die Anzahl k von Registerelementen. Bei den in dem Polynom auftretenden Termen mit einem Exponenten größer Null und kleiner als k findet man dann in der Schaltung eine XOR Verknüpfung zur Rückkopplung des zugehörigen Registerwerts, wie es in Abbildung 3.11 für z 3 der Fall ist. Initialisiert man die Register der rückgekoppelten Schaltung so, dass nicht alle Werte gleich Null sind, beobachtet man Folge von Binärwerten, die eine Länge von k 1 besitzt, also in dem betrachteten Beispiel 4 1 = 15. Nach den 15 Zyklen tritt die gleiche Folge dann wieder, sich periodisch wiederholend, auf. Die Verwendung eines primitiven Polynoms garantiert die Periodenlänge von k 1. Bei einer anderen Wahl der Rückkopplungen erhält man in der Regel eine kürzere Periodenlänge. Die 15 Abtastwerte einer Periode sind in Abbildung 3.1 dargestellt, wobei die Nullwerte der Binärfolge als Werte mit der Amplitude -1 realisiert werden. Zudem ist in Abbildung das DFT Spektrum der dargestellten Sequenz dargestellt. H.G. Hirsch 95 Digitale Signalverarbeitung

96 3. Korrelationsanalyse Maximum Length Sequenz Betragsspektrum Abbildung 3.1.: Abtastwerte und Betragsspektrum einer MLS Erstaunlicherweise nehmen die Spektralkomponenten bis auf den Gleichanteil einen konstanten Wert an. Dies beobachtet man auch bei allen anderen ML Sequenzen. Somit handelt es sich bei den ML Sequenzen um Signale, deren Energie gleichmäßig über den gesamten betrachteten Frequenzbereich bis zur halben Abtastfrequenz (mit Ausnahme des Gleichanteils) verteilt ist. Ein derartiges Signal mit einer gleichmäßigen Energieverteilung ist besonders gut zur Bestimmung der Übertragungsfunktion eines unbekannten Systems geeignet. Man braucht nur das Spektrum des Ausgangssignals zu bestimmen, dem man unmittelbar entnehmen kann, wie stark welche Frequenzkomponente gedämpft wurde. Deutlich wird diese Eigenschaft auch, wenn man den Vergleich der Spektren von ML Sequenz und Dirac Impuls anstellt. Wie aus Abbildung 3.13 ersichtlich, nimmt das Spektrum des Dirac Impulses ebenfalls einen konstanten Wert an. H.G. Hirsch 96 Digitale Signalverarbeitung

97 3. Korrelationsanalyse δ(t) δ(n) t n H(f) H(k) f k Abbildung 3.13.: Dirac Stoss δ(t) und kontinuierliches Spektrum (links) und Dirac Impuls δ(n) und diskretes Spektrum (rechts) Verwendet man den Dirac Impuls als Eingangssignal eines unbekannten Systems, erhält man am Ausgang die Impulsantwort des Systems, der im Frequenzbereich die Übertragungsfunktion entspricht. Problematisch ist allerdings im Fall einer analogen Signalbetrachtung die Generierung eines Dirac Impulses, da man einen unendlich kurzen Impuls in der Praxis nicht erzeugen kann. Deutlich wird an dieser Stelle, dass die Verwendung einer ML Sequenz dabei eine hilfreiche Alternative darstellen kann. Bevor der Einsatz einer ML Sequenz zur Bestimmung der Impulsantwort eines Übertragungssystems aufgezeigt wird, wird noch die AKF der ML Sequenz betrachtet. Für die beispielhaft betrachtete Folge von 15 Werten erhält man bei Bestimmung der AKF über die periodische Wiederholung der Sequenz hinweg die in Abbildung 3.14 dargestellte Werte der AKF im Bereich von -14 bis +14. H.G. Hirsch 97 Digitale Signalverarbeitung

98 3. Korrelationsanalyse Maximum Length Sequenz Autokorrelationsfunktion Abbildung 3.14.: Abtastwerte und AKF einer MLS Man erkennt, dass die AKF den Wert ϕ xx (0) = 15 annimmt, wohingegen alle anderen Werte der AKF den kleinen Wert 1 annehmen. Diese Beobachtung kann man auf 15 ML Sequenzen der Länge N übertragen. ϕ xx (0) nimmt im Allgemeinen den Wert N an, wohingegen alle anderen Werte den kleinen Wert 1 annehmen. Damit hebt N sich wie bei den Barker Codes der Wert ϕ xx (0) um so deutlicher von allen anderen Werten der AKF ab, je länger die Sequenz ist. Bei relativ langen Sequenzen kann man die AKF näherungsweise als einen Dirac Impuls ansehen. In Abbildung 3.15 ist nun der Fall der Bestimmung der Impulsantwort eines unbekannten Systems bei Verwendung einer ML Sequenz als Eingangssignal dargestellt. x mls (n) y(n) = x mls(n) h(n) h(n) * x (-n) mls φ xy Abbildung 3.15.: Bestimmung der Impulsantwort eines unbekannten Systems Man bestimmt die Kreuzkorrelationsfunktion des Ausgangssignals mit der verwendeten ML Sequenz: ϕ xy = y(n) x mls ( n) = x mls (n) x mls ( n) h(n) h(n) }{{} AKF δ(n) H.G. Hirsch 98 Digitale Signalverarbeitung

99 3. Korrelationsanalyse Mit der näherungsweisen Beschreibung der AKF als Dirac Impuls kann man erkennen, dass man als Ergebnis der Kreuzkorrelation unmittelbar die Impulsantwort des Systems erhält. H.G. Hirsch 99 Digitale Signalverarbeitung

100 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich In den vorhergehenden Kapiteln wurde die Verarbeitung von Signalen im Zeitbereich mit Hilfe der diskreten Faltung oder mit Hilfe einer Korrelationsanalyse vorgestellt. Insbesondere das Verhalten signalverarbeitender Systeme, aber auch die inhaltliche Analyse von Signalen lassen sich allerdings häufig einfacher und anschaulicher im Spektralbereich beschreiben. Beispielsweise lässt sich die Wirkung eines digitalen Filters im Spektralbereich als multiplikative Verknüpfung des Spektrums des Eingangssignals mit der Übertragungsfunktion des Filters darstellen. Dies ist in der Regel einfacher nachvollziehbar und vorstellbar als die Angabe der zugehörigen Impulsantwort, mit der das Eingangssignal gefaltet wird. Daher wird im Folgenden die diskrete Fourier Transformation (DFT) eingeführt, mit deren Hilfe die Abtastwerte eines Zeitsignals in den Spektralbereich transformiert und dort analysiert werden können. Es wird ebenfalls die zugehörige inverse Diskrete Fourier Transformation (IDFT) vorgestellt, mit der ein DFT Spektrum wieder in den Zeitbereich zurücktransformiert werden kann. Die Eigenschaften von DFT und IDFT werden erläutert. Anschließend wird die Anwendung der DFT zur Analyse der Frequenzzusammensetzung von unbekannten Signalen oder kurzen Signalabschnitten vorgestellt, wobei man dazu auch den Begriff der Spektralanalyse verwendet. Insbesondere wird der dabei auftretende Leckeffekt hergeleitet und erläutert. Es werden verschiedene Möglichkeiten zur Reduzierung der Fehler auf Grund des Leckeffekts durch eine Vergrößerung der Transformationslänge, eventuell auch mit Hilfe eines Anhängens von Nullwerten an ein zeitlich begrenztes Signal, sowie durch eine Wichtung der zu transformierenden Abtastwerte mit einer Fensterfunktion vorgestellt. Zur recheneffizienten Realisierung der DFT kann man die schnelle (fast) Fourier Transformation (FFT) einsetzen. Die Voraussetzungen zur Anwendung der FFT und die Eigenschaften der FFT werden erläutert. H.G. Hirsch 100 Digitale Signalverarbeitung

101 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Neben der Spektralanalyse von Signalen kann man die DFT zur Analyse des Verhaltens signalverarbeitender Systeme einsetzen. Es wird aufgezeigt, dass man durch die Fourier Transformation der Impulsantwort zur Übertragungsfunktion des Systems gelangt. Das Spektrum des Ausgangssignals ergibt sich aus der multiplikativen Verknüpfung des Spektrums des Eingangssignals und der Übertragungsfunktion. Auf diesem Umweg über den Frequenzbereich kann man aus dem Ausgangsspektrum durch eine inverse Transformation auch das Ausgangssignal bestimmen. Diese Vorgehensweise, die man zur Realisierung einer Verarbeitung in Echtzeit auf kürzere Signalsegmente jeweils anwendet, bezeichnet man auch als periodische oder schnelle Faltung. Sie kann recheneffizienter sein als die Durchführung der Faltung im Zeitbereich. Als Beispiel eines Signalverarbeitungssystems wird ein idealer Tiefpass betrachtet. Es wird gezeigt, dass man die zugehörige zeitlich nicht begrenzte Impulsantwort zur praktischen Realisierung durch die Multiplikation mit einer Fensterfunktion zeitlich beschränken muss. Die Auswirkungen der Wichtung mit der Fensterfunktion auf den resultierenden Frequenzgang werden hergeleitet und aufgezeigt. Im Folgenden wird aufgezeigt, wie man aus der Impulsantwort eines TP die Impulsantwort eines BP oder HP bestimmen kann, wobei dies aus einer Verschiebung der TP Charakteristik im Frequenzbereich abgeleitet wird. Mit der Betrachtung der Filter als Beispiele eines Signalverarbeitungssystems werden die Vorgehensweise zur Bestimmung der zeitlich begrenzten Impulsantwort des Filters und damit gleichzeitig auch ein Entwurfsverfahren zur Bestimmung der Koeffizienten eines digitalen Filters vorgestellt. Abschließend wird als weitere Transformation die diskrete Cosinus Transformation (DCT) eingeführt, die man auch als einfachere Variante der DFT ansehen könnte. Dabei versucht man den Signalverlauf nur durch eine gewichtete Summe von Cosinusschwingungen zu beschreiben. Die DCT findet Anwendung in verschiedenen Bereichen der Sprach- und Bildverarbeitung Einführung der diskreten Fourier-Transformation (DFT) Bestimmte Eigenschaften von Signalen und Signalverarbeitungssystemen können im Frequenzbereich besser und anschaulicher dargestellt werden. Bei den meisten Signalen können die spektralen Merkmale durch Anwendung einer Fourier Transformation ermittelt werden. Die Fourier Transformation ist für zeitkontinuierliche Signale de- H.G. Hirsch 101 Digitale Signalverarbeitung

102 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich finiert zu X(f) = x(t) e j π f t dt = [x(t) cos ( π f t)] dt j [x(t) sin ( π f t)] dt Das Ergebnis dieser Transformation bezeichnet man als Fourier Spektrum. Die Betrachtung soll hier auf reelwertige Signale x(t) beschränkt werden. Der komplexe Wert X(f) des Fourier Spektrums bei der Frequenz f ergibt sich als Integral über das Produkt des Signals x(t) und einer Cosinus- bzw. Sinusfunktion mit der Frequenz f. Bezugnehmend auf die Korrelationsanalyse, die im vorhergehenden Kapitel vorgestellt wurde, könnte man die Integration über das Produkt von Signal und Cosinusbzw. Sinusfunktion auch als die Bestimmung eines Korrelationswerts interpretieren. Man bestimmt an dieser Stelle ein Maß für die Ähnlichkeit des Signals x(t) mit einem Cosinus und mit einem Sinus der Frequenz f. Alternativ könnte man dies auch als die Bestimmung eines Werts darstellen, der angibt, ob und gegebenfalls mit welcher Amplitude ein Cosinus und ein Sinus der Frequenz f in dem Signal enthalten sind. Die Berechnung von X(f) kann man auch für negative Werte von f vornehmen, wobei sich an der Stelle die Frage nach der physikalischen Bedeutung stellt. Da der Cosinus eine gerade und der Sinus eine ungerade Funktion ist, sieht man allerdings recht schnell, dass für negative Werte von f gilt: X( f) = X (f) Es treten die konjugiert komplexen Werte wie bei dem entsprechenden positiven Wert der Frequenz auf. Ist man nur an einer Spektralanalyse des Signals interessiert, kann man sich somit auf die einseitige Darstellung der Werte von X(f) für positive Werte von f beschränken. Für die Rücktransformation eines Fourier Spektrums in den Zeitbereich, wie sie beispielsweise zur Bestimmung der Impulsantwort eines idealen Tiefpasses im Kapitel zur diskreten Faltung angewendet wurde, benötigt man allerdings das gesamte Spektrum X(f) für f von bis +. Im Folgenden wird die Definition der DFT schrittweise hergeleitet, in dem man die Berechnung des Fourier Integrals für abgetastete Signale und bei Beschränkung auf einen zeitlich begrenzten Signalabschnitt vornimmt. Für zeitdiskrete Signale geht das Integral in eine Summe über und das frequenzkontinuierliche Spektrum läßt sich berechnen zu t n T X ab (f) = x (n T ) e j π f n T n= H.G. Hirsch 10 Digitale Signalverarbeitung

103 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Zur praktischen Anwendung der Fourier-Transformation beschränkt man die Betrachtung auf einen zeitlich begrenzten Signalabschnitt, der N Abtastwerte x(n) beinhaltet. Dabei ergibt sich allerdings das Problem, das die Bestimmung des Ähnlichkeitsmasses nur dann fehlerfrei vorgenommen werden kann, wenn sich in dem betrachteten Signalabschnitt der Länge N T genau eine oder mehrere Perioden des Cosinus oder des Sinus mit der Frequenz f befinden. Ansonsten wird die Berechnung der Ähnlichkeit stark fehlerbehaftet sein. Daraus folgt, dass das Spektrum nur für einige diskrete Frequenzwerte berechnet werden kann. Bei der Betrachtung des zeitlichen begrenzten Signalabschnitts mit N Abtastwerten und einer zeitlichen Länge von N T kann das Spektrum nur für die Frequenzen f k bestimmt werden, bei denen der betrachtete Signalabschnitt der zeitlichen Dauer einer Periode oder eines ganzzahligen Vielfaches einer Periode entspricht: f k = k 1 N T = k fa N (k ganzzahlig und positiv) Bei der Anwendung der Fourier-Transformation auf einen zeitlich begrenzten Signalabschnitt wird das Spektrum bei den genannten Frequenzen bestimmt, was man auch als eine Abtastung im Frequenzbereich ansehen kann. Als Ergebnis erhält man ein sogenanntes Linienspektrum, bei dem äquidistant im Abstand f = fa Spektralwerte auftreten. Betrachtet man eine Folge von N Abtastwerten, so kann N das frequenzdiskrete Spektrum bei den Frequenzen f k = k fa N ( ) X ab k fa N 1 = N n=0 x (n T ) e j π k fa N n T = N 1 n=0 berechnet werden zu x (n T ) e j π k n N Im Abschnitt zur Abtastung wurde gezeigt, dass das Spektrum eines zeitdiskreten Signals x(n) unendlich ausgedehnt ist, wobei die Spektralanteile im Bereich fa f fa wiederholt bei Vielfachen der Abtastfrequenz auftreten. Daraus kann man ( ableiten, dass eine Berechnung der Werte X ab k f a ) N im Bereich 0 f f a genügt, um das Spektrum vollständig beschreiben und darstellen zu können. Dies würde für eine beliebige Wahl des Werts von N (gerade oder ungerade) bedeuten, die Werte ( X ab k f a ) N für 0 k N zu berechnen. Im Fall eines geraden Werts von N erhält man N N+1 + 1, im Fall eines ungeraden Werts von N erhält man Werte X ab (k), die das Spektrum bis zur halben Abtastfrequenz beschreiben. Der Wert X k=0 = x(n) n ist reelwertig und repräsentiert den Gleichanteil des Signals. Für einen geraden Wert von N erhält man für k = N mit H.G. Hirsch 103 Digitale Signalverarbeitung

104 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich X ab ( N ) N 1 = n=0 x (n T ) e j π N n N N 1 = n=0 x (n T ) cos (π n) ebenfalls einen reelen Wert, der den Spektralanteil bei f = fa definiert. Eigentlich sollte dieser Anteil den Wert Null annehmen, wenn zuvor eine korrekte und ideale TP Filterung mit f g < fa durchgeführt wurde. Möchte man das DFT Spektrum verarbeiten und im Anschluß wieder eine Rücktransformation in den Zeitbereich durchführen, so benötigt man das vollständige Spektrum im Bereich 0 f < f a, was den N DFT Werten X(k) mit den Indices 0 k N 1 entspricht. Damit betrachtet man eine Periode des Spektrums, deren Werte für k N wiederholt auftreten. Mit einer leicht vereinfachten Schreibweise, bei der man sich auf den Zeitindex n und den Frequenzindex k beschränkt, ergibt sich somit die Definition der Diskreten Fourier Transformation (DFT) zu X(k) = N 1 n=0 x(n) e j π k n N N 1 = n=0 [ ( x(n) cos π k n )] N j N 1 n=0 [ ( x(n) sin π k n )] N für k = 0, 1,..., N 1 Als Ergebnis der DFT ergeben sich somit N komplexe Werte, die ein Linienspektrum bei den Frequenzen f k = { 0 Hz, fa, fa, 3 } fa fa,...,, (N 1) N N N N = k f a mit 0 N k N 1 definieren. Die schon erwähnte Rücktransformation der komplexen Werte X(k) in den Zeitbereich sieht formal recht ähnlich aus wie die DFT. Der einzige Unterschied findet sich in dem Vorzeichen beim Exponenten der Exponentialfunktion. Die inverse diskrete Fourier Transformation (IDFT) ist definiert zu x(n) = 1 N N 1 k=0 X(k) e j π k n N = 1 N N 1 k=0 [ ( X(k) cos π k n )] N + j 1 N N 1 k=0 [ ( X(k) sin π k n )] N für n = 0, 1,..., N 1 Aus der Beschränkung auf die Bestimmung von N Spektralwerten bei den diskreten Frequenzen f k kann man folgern, dass mit der DFT exakt eigentlich nur Signale analysiert werden können, die abgesehen von einem möglichen Gleichanteil (k = 0 f = 0 Hz) nur Frequenzanteile bei fa N und bei Vielfachen dieser Frequenz H.G. Hirsch 104 Digitale Signalverarbeitung

105 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich besitzen. Diese Voraussetzung wird von periodischen Signalen erfüllt, bei denen exakt eine oder mehrere Perioden in dem zu analysierenden Signalabschnitt liegen. An dieser Stelle lässt sich auch ein Bezug zur Darstellung eines periodischen Signals als Fourier-Reihe herstellen, mit der man einen periodischen Signalverlauf als eine Summe gewichteter Cosinus- und Sinusschwingungen darstellen kann: F ourier Reihe : x(t) = a 0 + [a k cos ( π k f 0 t) + b k sin ( π k f 0 t)] k=1 Die Frequenz f 0, die den Kehrwert einer Periodenlänge darstellt, entspricht dabei der Frequenz fa, die aus der zeitlichen Länge des Analysefensters resultiert. Die N Real- und Imaginärteile der aus der diskreten Fourier-Transformation resultierenden Fourier-Koeffizienten X(k) entsprechen den Wichtungskoeffizienten a k und b k. Dabei gilt der folgende Zusammenhang zwischen den Koeffizienten der Fourier Reihe und den DFT Koeffizienten: a k = N b k = N Re [X(k)] für k = 0, 1,,..., Im [X(k)] für k = 1,,..., N N Eigenschaften der Diskreten Fourier Transformation Um einige Eigenschaften der DFT aufzuzeigen, werden beispielhaft in Abbildung 4.1 die 0 Abtastwerte x(n) für 0 n 19 einer Periode eines periodischen Zeitsignals sowie der Realteil und der Imaginärteil des mit Hilfe der DFT bestimmten Spektrums X(k) für 0 k 19 dargestellt. H.G. Hirsch 105 Digitale Signalverarbeitung

106 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Abbildung 4.1.: Eine Periode eines Zeitsignals und der Real- und Imaginärteil der zugehörigen DFT Es wird angenommen, dass die Abtastung bei diesem Beispiel im Abstand von T = 1 ms erfolgte, so dass sich die Abtastfrequenz zu f a = 1 T = 1 khz ergibt. Die Spektralwerte X(k) können mit der DFT im Abstand f = 1 = fa = N T N 1000 = 50 Hz berechnet werden. Somit kann das Spektrum mit k = 0, 1,..., N 1 0 für f k = k fa = k f = 0 Hz, 50 Hz, 100 Hz,..., 950 Hz berechnet werden. N k=1 Vergleicht man an dieser Stelle nochmals die Definition der IDFT x(n) = 1 N N 1 X(k) [cos ( ) ( )] π k n N + j sin π k n N mit der Darstellung als Fourier Reihe x(t) = a 0 k=0 + [a k cos ( π k f 0 t) + b k sin ( π k f 0 t)], so lassen sich für das betrachtete Beispiel die zugehörigen Wichtungskoeffizienten a k und b k aus den DFT Koeffizienten X(k) bei Beschränkung auf die Indices im Bereich 0 k N bestimmen. Gemäß den am Ende des vorherigen Abschnitts angeführten H.G. Hirsch 106 Digitale Signalverarbeitung

107 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Zusammenhängen, ergeben sich die Koeffizienten a k und b k damit zu: a 1 = N Re [X(1)] = 0 10 = 1 a 3 = 0 3 = 0, 3 a 5 = ( 5) = 0, 5 0 b = N Im [X()] = 1 10 ( 5) = 0, 5 b 4 = N Im [X(4)] = 1 7 = 0, 7 10 Mit der Frequenz f 0 = fa = 50 Hz lässt sich das zugrunde liegende analoge Signal x(t), aus dessen Abtastung sich die in Abbildung 4.1 dargestellten N Abtastwerte ergeben haben, beschreiben als x(t) = 1 cos ( π 1 f 0 t) + 0, 5 sin ( π f 0 t) + 0, 3 cos ( π 3 f 0 t) 0, 7 sin ( π 4 f 0 t) 0, 5 cos ( π 5 f 0 t) x(t) = 1 cos ( π 50 Hz t)+0, 5 sin ( π 100 Hz t)+0, 3 cos ( π 150 Hz t) 0, 7 sin ( π 00 Hz t) 0, 5 cos ( π 50 Hz t) mit t in s Die Abtastung eines zeitkontinuierlichen Signals führt zu einer periodischen Wiederholung des TP-Spektrums im Bereich fa f fa bei Vielfachen der Abtastfrequenz. Da zudem X( f) = X (f) gilt, treten im Frequenzbereich fa < f < f a, der durch die DFT Indices N < k N 1 beschrieben wird, die gleichen Spektralwerte wie im Bereich fa < f < 0 auf. Im Allgemeinen gilt damit: X ( f a + f) = X ( f a f) mit 0 < f < fa. Damit ergibt sich das auch in Abbildung 4.1 zu sehende symmetrische Auftreten der Ausgangswerte der DFT bezüglich des Frequenzwerts bei k = N, der der halben Abtastfrequenz entspricht. Beispielsweise entspricht der Wert des Realteils der DFT Komponente bei 50 Hz (k = 1) dem Wert bei 950 Hz (k = 19) und der Wert des Imaginärteils bei 00 Hz (k = 4) unter Berücksichtigung des konjugiert komplexen Auftretens, also mit umgekehrtem Vorzeichen, dem Wert bei 800 Hz (k = 16). Im Allgemeinen gilt bei Wahl eines geraden oder ungeraden Werts von N die folgende Beziehung zwischen den Spektralwerten unterhalb und oberhalb von fa : N gerade : X ( ) ( ) N N + l = X l mit l = 1,,..., N 1 N ungerade : ( ) N + l 1 X ( ) N l 1 = X mit l = 1,,..., N 1 H.G. Hirsch 107 Digitale Signalverarbeitung

108 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Das symmetrische Auftreten der DFT Werte um die halbe Abtastfrequenz herum wird nochmals in Abbildung 4. getrennt für einen geraden oder einen ungeraden Wert von N dargestellt. Die Darstellung beschränkt sich auf die Betrachtung des Betragsspektrums, so dass der Aspekt des konjugiert komplexen Auftretens unberücksichtigt bleibt. X(k) N gerade f a k 0 1 }+1} } N -1 N N N N x( + )=x*( - ) l l N-1 X(k) N ungerade f a k 0 1 N-1 } } N+1 N-1 N+ -1 N- l-1 x( )=x ( ) l * Abbildung 4..: Vergleich des Spektrums bei geradem und ungeradem N Ist man nur an einer Darstellung des Ergebnisses der DFT als Spektrum interessiert, so kann man die Betrachtung und auch die Berechnung von X(k) auf den Bereich von k = 0, 1,..., N beschränken, der dem Frequenzbereich von 0 Hz bis zur halben Abtastfrequenz entspricht. Zudem stellt man das Spektrum häufig nicht als Realund Imaginärteil, sondern mittels Betrag und Phase dar Theoreme der DFT Um die Fourier Transformation zur Analyse verschiedener Aufgabenstellungen aus dem Bereich der Signalverarbeitung anwenden zu können, ist es hilfreich, einige H.G. Hirsch 108 Digitale Signalverarbeitung

109 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Theoreme zu kennen. Einselement: Aus der Kenntnis der Beziehung x(t) = x(t) δ(t) kann man ableiten, dass die Fourier Transformierte des Dirac Impulses der Konstanten 1 entsprechen muss. x(t) = x(t) δ(t) X(f) = X(f) 1 Dies bedeutet, dass das Spektrum des Dirac-Stosses unabhängig von der Frequenz einen konstanten Wert annimmt und somit unendlich ausgedehnt ist. Dies ist in der folgenden Abbildung dargestellt. 0 δ(t) t X(f) f Abbildung 4.3.: Dirac-Stoss und Fourier-Transformierte Linearität (Superposition): a 1 x 1 (t) + a x (t) a 1 X 1 (f) + a X (f) Die lineare Überlagerung von Zeitsignalen führt zu einer ebenfalls linearen Überlagerung der zugehörigen Spektren. 1 Ähnlichkeitstheorem: x(b T ) X ( ) f b b Wird ein Zeitsignal gestaucht, so wird das zugehörige Spektrum gedehnt. Umgekehrt führt eine Dehnung im Zeitbereich zu einer Stauchung im Frequenzbereich. H.G. Hirsch 109 Digitale Signalverarbeitung

110 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich x(t) 1 f g x(t) t f g X(f) f g X(f) f 1 4f g t f g f g f Abbildung 4.4.: Ähnlichkeitstheorem der Fourier Transformation Verschiebungstheorem: x(t t 0 ) X(f) e j π f t 0 Der multiplikative Term e j π f t 0 besitzt den Betrag 1. Die zeitliche Verschiebung des Signals x(t) um t 0 führt somit zu keiner betragsmäßigen Veränderung des Spektrums, sondern nur zu einer Phasenverschiebung. Symmetrie: Fourier- und inverse Fourier Transformation unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen des Exponenten. Daraus lässt sich die folgende Symmetriebeziehung ableiten: x(t) X(f) X(t) x( f) Die folgende Abbildung illustriert diesen Zusammenhang. x(t) X(f) t f x(t) X(f) t f Abbildung 4.5.: Symmetrie-Theorem der Fourier Transformation Faltung: Mit Hilfe der Symmetriebeziehung lässt sich weiterhin ableiten, dass das Produkt zweier Zeitsignale zu einer Faltung der zugehörigen Spektren führt: H.G. Hirsch 110 Digitale Signalverarbeitung

111 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich x 1 (t) x (t) X 1 (f) X (f) Parselvalsches Theorem: Die Energie eines Signalabschnitts lässt sich im Zeitbereich berechnen zu E = oder im Frequenzbereich zu N 1 n=0 [x(n)] E = 1 N N 1 k=0 [X(k)] = N 1 n=0 [x(n)] Diesen Zusammenhang zwischen der Berechnung der Energie im Frequenz- und im Zeitbereich bezeichnet man als das Parsevalsche Theorem Anwendung der Theoreme der Fourier Transformation zur Bestimmung der Spektren von Cosinus und Sinus Im Folgenden wird beispielhaft die Anwendung der Theoreme der Fourier Transformation aufgezeigt, um die Fourier Spektren eines cosinus- und eines sinusförmigen Signalverlaufs herzuleiten. Ausgangspunkt ist die Betrachtung eines Dirac Impulses, der zum Zeitpunkt t 0 auftritt, und den man in der Signalverarbeitung als δ(t t 0 ) darstellen kann. Mit Hilfe des Verschiebungstheorems ergibt sich das zugehörige Fourier Spektrum zu δ(t t 0 ) 1 e j π f t 0 Wendet man nun die Symmetriebeziehung an, so resultiert aus der Funktion e j π f t 0 im Frequenzbereich die Funktion e j π f0 t im Zeitbereich. Im Frequenzbereich ergibt sich damit ein Dirac Impuls, der allerdings gespiegelt bei der Frequenz f 0 auftritt: H.G. Hirsch 111 Digitale Signalverarbeitung

112 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich 1 e j π f 0 t δ(f + f 0 ) Betrachtet man anstelle der Frequenz f 0 die Frequenz f 0, so erhält man im Zeitund Frequenzbereich das folgende Transformationspaar: e +j π f 0 t δ(f f 0 ) Unter Einbeziehung der Linearität ergibt sich für die Summe der beiden Exponentialfunktionen im Frequenzbereich die additive Kombination der beiden Dirac Impulse bei den Frequenzen f 0 und f 0 : e j π f0 t + e +j π f 0 t δ(f + f 0 ) + δ(f f 0 ) Verwendet man die Beschreibung der Exponentialfunktion e +j π f 0 t = cos ( π f 0 t) + j sin ( π f 0 t) als Summe von Cosinus und Sinus, so erhält man anstelle der Summe der Exponentialfunktionen die Cosinusfunktion: cos ( π f 0 t) δ(f + f 0 ) + δ(f f 0 ) Den Faktor kann man durch die Multiplikation mit dem Faktor 1 im Zeit- und Frequenzbereich in den Frequenzbereich verschieben, so dass sich das Spektrum des Cosinus als zwei mit dem Faktor 1 auftretende Dirac Impulse bei den Frequenzen f 0 und +f 0 ergibt: cos ( π f 0 t) 1 δ(f + f 0) + 1 δ(f f 0) Abbildung 4.6 veranschaulicht diesen Zusammenhang. 1 1 f 0 t 1 1 f 0 f 0 f Abbildung 4.6.: Cosinussignal und das zugehörige Spektrum Betrachtet man anstelle der Summe die Differenz der beiden Exponentialfunktionen, so erhält man im Zeitbereich die Sinusfunktion: H.G. Hirsch 11 Digitale Signalverarbeitung

113 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich e j π f 0 t e +j π f 0 t δ(f + f 0 ) δ(f f 0 ) j sin ( π f 0 t) δ(f + f 0 ) δ(f f 0 ) Durch Multiplikation mit j im Zeit- und Frequenzbereich ergibt sich das Spektrum des Sinus als zwei Dirac Impulse, die mit den Amplituden j und j bei den Frequenzen f 0 und +f 0 auftreten: sin ( π f 0 t) j δ(f + f 0) j δ(f f 0) Abbildung 4.7 veranschaulicht diesen Zusammenhang. 1 1 f 0 t j f 0 f 0 j f Abbildung 4.7.: Sinussignal und das zugehörigespektrum Alternativ hätte man das Spektrum des Sinussignals auch aus einer zeitlichen Verschiebung des Cosinussignals und der damit im Frequenzbereich einhergehenden multiplikativen Verknüpfung des Cosinuspektrums mit dem zugehörigen Phasenterm ableiten können. Das Sinussignal lässt sich als eine Rechtsverschiebung des Cosinussignals um eine Viertelperiode mit t 0 = f 0 ( ( )) cos π f 0 t 1 4f 0 sin ( π f 0 t) = darstellen: [ 1 δ(f + f 0) + 1 δ(f f 0) ] e j π f 4f 0 Auf Grund der Multiplikation des Exponentialterms mit den beiden Diracimpulsen verbleiben nur die beiden konkreten Werte des Exponentialterms bei den beiden Frequenzen f 0 und +f 0 als Amplitudenfaktoren der Diracimpulse: 1 sin ( π f 0 t) δ(f + f f0 j π 4f 0) e 0 + 1δ(f f f0 j π 4f 0) e 0 1 sin ( π f 0 t) δ(f + f 0) e j π + 1δ(f f 0) e j π sin ( π f 0 t) j δ(f + f 0) j δ(f f 0) H.G. Hirsch 113 Digitale Signalverarbeitung

114 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich 4.5. Analyse von Signalen im Frequenzbereich Die Spektralananalyse mit Hilfe einer Fourier Transformation wird häufig zur Bestimmung der Frequenzzusammensetzung unbekannter Signale eingesetzt. Erfasst man beispielsweise mit einem entsprechenden Sensor die Schwingung eines Bauteils einer Maschine, so ist die Kenntnis der Frequenz oder Frequenzen, mit denen das Bauteil schwingt, meist interessanter als die reine Betrachtung des Schwingungsverlaufs im Zeitbereich. Daher setzt man in einem solchen Fall die DFT X(k) = N 1 x(n) e j π k n N zur Bestimmung der Frequenzanteile aus den N Abtastwerten n=0 x(n) des Signalverlaufs ein. Wie im Abschnitt 4.1 bereits erwähnt wurde, dürfte das zu analysierende Signal streng genommen eigentlich nur ein periodisches Signal sein. Zudem müsste die Bedingung erfüllt sein, dass der zu transformierende Signalabschnitt, der aus N Abtastwerten besteht, genau eine oder mehrere Perioden des periodischen Signals beinhaltet. Da eine oder beide Bedingungen von einem zu analysierenden Signal häufig nicht erfüllt werden, wird im Folgenden untersucht, welchen Einfluss dies auf das Ergebnis der DFT besitzt. In der Regel weiß man nicht, ob es sich überhaupt um ein periodisches Signal handelt bzw. kennt im Fall eines periodischen Signals die Periodenlänge nicht Herleitung des Leckeffekts Die Beschränkung auf einen Signalabschnitt, der aus N Abtastwerten besteht und damit eine zeitliche Länge von N T besitzt, kann man mathematisch als eine Multiplikation mit einer Rechteckfunktion der Länge N T beschreiben. Zur Herleitung der Fourier Transformierten der Rechteckfunktion wird zunächst die Basisfunktion rect(t) betrachtet, die im Bereich von 1 bis + 1 den Wert annimmt, wie es in Abbildung 4.8 veranschaulicht wird. Abbildung 4.8.: Rechteckimpuls mit der Bezeichnung rect(t) Ein Einheits -Rechteckimpuls mit der zeitlichen Breite von 1 und einer Amplitude H.G. Hirsch 114 Digitale Signalverarbeitung

115 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich von 1 ist definiert als: rect(t) = 1 t 1 für 0 t > 1 Das Spektrum des Rechteckimpulses lässt sich mit Hilfe der Fourier-Transformation bestimmen zu X(f) = rect(t) e j π f t dt = + 1 e j π f t dt 1 Mit e a x dx = 1 a ea x X(f) = 1 j π f [e j πf t] = 1 j π f = 1 j π f (e j πf e j πf) [cos(π f) j sin(π f) cos(π f) j sin(π f)] = sin(π f) π f Bei dem Term sin(π f) handelt es sich um eine gedämpfte Sinusschwingung, die man π f auch als SI -Funktion bezeichnet und für das Argument π f die Schreibweise Si(π f) verwendet. Die Fourier-Tranformierte des Rechteckimpulses ist die Si-Funktion: rect(t) Si(π f) Von dieser Definition der Fourier Transformierten des Rechteckimpulses lässt sich mit Hilfe des Ähnlichkeitstheorems die Fourier Transformierte des Rechteckimpulses mit der Länge N T ableiten zu: rect ( ) t N T sin(π f N T ) N T π f N T Mit Hilfe dieser Fourier Transformierten des Rechteckfenster der Länge NT lässt sich, ausgehend von einem analogen Signalverlauf x(t), dessen Abtastung sich als Multiplikation mit der Summe von Dirac-Impulsen δ (t n T ) und dessen n= zeitliche Beschränkung auf einen Abschnitt der Länge N T sich als eine weitere Multiplikation mit der Rechteckfunktion rect ( t N T ) darstellen lässt, das Spektrum des abgetasteten und zeitlich begrenzten Signals bestimmen zu: H.G. Hirsch 115 Digitale Signalverarbeitung

116 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich x(t) n= ( ) t δ (t n T ) rect N T X(f) 1 T n= δ (f n f a ) N T sin (π f N T ) π f N T Es ergibt sich eine Faltung des TP-Spektrums X(f) mit der Folge von Dirac-Stößen bei Vielfachen der Abtastfrequenz sowie eine weitere Faltung mit der zur Rechteckfunktion gehörigen Si-Funktion. Die Faltung mit der Folge von Dirac-Stößen führt zu der bekannten spektralen Wiederholung bei Vielfachen der Abtastfrequenz. Der Einfluss der zeitlichen Beschränkung auf einen Signalabschnitt spiegelt sich daher in der Faltung des TP-Spektrums mit der Si-Funktion wieder. X(f) N T sin (π f N T ) π f N T Beispielhaft werden dazu in Abbildung 4.9 eine Rechteckfunktion mit einer Länge von N T = 0 ms und die Fourier Transformierte dieser Rechteckfunktion dargestellt. 1 Signal x(t) Zeit/ms 1 Spektrum X(f) Frequenz/Hz Abbildung 4.9.: Zeitsignal und Spektrum eines Rechteckfensters Die Si Funktion als Fourier Transformierte der Rechteckfunktion nimmt bei der Frequenz f 0 = 1 N T = 1 0,0s = 50 Hz und Vielfachen dieser Frequenz den Wert 0 an. H.G. Hirsch 116 Digitale Signalverarbeitung

117 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Die Faltung des Si-förmigen Verlaufs mit dem Spektrum eines Cosinussignals wird in Abbildung 4.10 veranschaulicht. Dabei besitzt das Cosinussignal eine Frequenz von 50 Hz, so dass das zugehörige Fourier Spektrum aus Dirac-Impulsen bei f = 50 Hz und bei f = +50 Hz besteht, die in der obersten Teilgraphik dargestellt sind. Analysiert man einen Signalabschnitt mit einer Länge von 0 ms, so fällt genau eine Periode in das betrachtete Zeitfenster. Die zugehörige SI-förmige Frequenzcharakteristik des 0 ms langen Rechteckfensters entspricht dabei dem der in der zweiten Teilgraphik in Abbildung 4.9 dargestellten Verlauf. Das Lösen des Faltungsintegrals wird in anschaulicher Form in Abbildung 4.10 durch eine Verschiebung des SI-förmigen Verlaufs über der Frequenz angedeutet. Als Ergebnis der Faltung ergibt sich die additive Überlagerung zweier Si-Funktionen, wie sie in der dritten Teilgraphik dargestellt ist. Diese Überlagerung lässt sich auch aus der mathematischen Darstellung der Faltung der Summe von Diracimpulsen mit der SI 50) π f 50 sin(π f Funktion [ 1 δ(f + 50) + 1δ(f 50)] ableiten, wobei der Amplitudenfaktor N T bei der SI Funktion vernachlässigt wurde. Die Faltung mit einem Dirac Impuls führt zur Verschiebung der SI Funktion an die Stelle des Dirac Impulses, so dass sich als Ergebnis die additive Überlagerung der bei den Frequenzen 50 und +50 Hz auftretenden SI Funktionen ergibt: f+50 sin(π 50 ) π f f 50 sin(π 50 ) π f Da das Ziel die Bestimmung des prinzipiellen, sich aus der Faltung ergebenden Verlaufs ist, ohne Wert auf eine korrekte amplitudenmäßige Darstellung zu legen, werden zur Vereinfachung auch hier die Amplitudenfaktoren 1 der Diracimpulse vernachlässigt. H.G. Hirsch 117 Digitale Signalverarbeitung

118 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Abbildung 4.10.: Faltung des Spektrums eines 50Hz-Cosinussignals mit der Si-förmigen Frequenzcharakteristik eines 0 ms langen Analysefensters Mit der Diskreten Fourier-Transformation können nur die Spektralwerte bei Vielfachen der Frequenz f = 1 = fa = 50 Hz bestimmt werden, bei denen genau eine N T N oder mehrere Perioden in das Anlaysefenster der Breite von 0 ms passen. Man kann dies auch als eine Abtastung des Ergebnisses der Faltung bei Vielfachen von f ansehen. Das Ergebnis dieser Abtastung ist in der untersten Teilgraphik dargestellt. Das DFT Spektrum weist dabei nur Werte ungleich Null bei der tatsächlichen Frequenz von 50 Hz des Cosinussignals und bei dem negativen Wert von 50 Hz auf. Bei allen anderen Vielfachen von 50 Hz treten gerade die Nullstellen der additiven Überlagerung der SI förmigen Verläufe auf. Vergleichend wird die Analyse des 0 ms langen Abschnitts eines Cosinussignals mit einer Frequenz von 75 Hz betrachtet. In diesem Fall fallen 1,5 Schwingungen des Cosinus in das betrachtete Zeitfenster, so dass die genannten Voraussetzungen zur Anwendung der DFT eigentlich nicht erfüllt sind. Das sich dabei einstellende Ergebnis wird in Abbildung 4.11 veranschaulicht, in dem wiederum die Faltung des Signalspektrums mit der Fourier Transformierten der Rechteckfunktion gezeigt wird. H.G. Hirsch 118 Digitale Signalverarbeitung

119 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Abbildung 4.11.: Faltung des Spektrums eines 75Hz-Cosinussignals mit der Si-förmigen Frequenzcharakteristik eines 0 ms langen Analysefensters Das DFT Spektrum, das aus der Abtastung des Ergebnisses der Faltung bei Vielfachen von f = 50 Hz resultiert, besitzt bei allen betrachteten Frequenzwerten von Null abweichende Werte. In der Umgebung der eigentlichen Frequenz von 75 Hz des Cosinus werden größere Amplitudenwerte bei 50 Hz und bei 100 Hz bestimmt. Man bezeichnet diese Beobachtung als leakage (Leck-) Effekt. Das DFT Spektrum weist Spektralkomponenten aus, die real nicht in dem Signal enthalten sind. Das Ergebnis der Analyse mit Hilfe der DFT ist in diesem Fall stark fehlerbehaftet Reduktion der Fehler auf Grund des Leckeffekts Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um die Fehler bei der Spektralanalyse mit der DFT zu verkleinern. Eine einfache Möglichkeit besteht in der Analyse eines längeren Signalabschnitts, so dass die Anzahl N der Abtastwerte und damit auch die Transformationslänge vergrößert wird. Zum einen wird damit das Spektrum mit einer größeren Anzahl von Werten bei einer Verringerung des Abstands f = fa N zwischen den Spektralkomponenten beschrieben. Daraus resultiert eine höher aufgelöste Spektralanalyse. Zum anderen ist die Fourier Transformierte des breiteren H.G. Hirsch 119 Digitale Signalverarbeitung

120 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Rechteckfensters eine gestauchte SI Funktion. Die gestauchte SI Funktion besitzt ein stärker gedämpftes Schwingungsverhalten, so dass es nur in einem geringeren Frequenzbereich zum Auftreten größerer Fehler kommt. Insgesamt bewirken die beiden Effekte, die Abtastung in einem geringeren Frequenzabstand und die Faltung mit einer gestauchten SI Funktion, eine Verkleinerung der Fehler auf Grund des Leckeffekts. Die Analyse eines längeren Signalabschnitts ist allerdings nur möglich, wenn es sich um ein stationäres Signal handelt, das seine spektralen Eigenschaften nicht über der Zeit verändert, und man eine größere Anzahl von Abtastwerten zur Verfügung hat. Zudem muß auch die Rechenleistung zur Verfügung stehen, um die Transformation der größeren Anzahl von Abtastwerten im Fall möglicher Echtzeitanforderungen durchzuführen. In der Praxis kann die Anzahl N jedoch nicht immer beliebig erhöht werden. Stehen beispielsweise bei einem zeitbegrenzten Signal nur N Abtastwerte zur Verfügung, so kann man alternativ durch das Anhängen von Nullwerten, das man als zero padding bezeichnet, eine größere Transformationlänge N DF T erzielen. Ergänzt man die N Abtastwerte um N DF T N Nullwerte, so wird das Ergebnis der Faltung an den Stellen k f a N DF T abgetastet, so dass man mehr Werte und damit eine höhere Frequenzauflösung erzielt. Im Zeitbereich bleibt es aber weiterhin bei der Multiplikation mit dem Rechteckfenster der Länge N T, so dass es im Frequenzbereich unverändert zur Faltung mit der zugehörigen SI Funktion kommt. Beim zero padding kann man folglich nur den einen der beiden im vorhergehenden Abschnitt erläuterten Effekten, nämlich den einer Abtastung mit dem geringeren Abstand fa N DF T, ausnutzen. Eine dritte Möglichkeit lässt sich aus der Betrachtung der SI Funktion als Fourier Transformierte des Rechteckfensters ableiten. Die SI Funktion weist über einen weiten Bereich hin ein Schwingungsverhalten auf und verursacht damit auch über einen breiten Frequenzbereich hinweg Fehler. Würde man nun anstelle der SI Funktion eine alternative Funktion verwenden, die ein stärker gedämpftes Schwingungsverhalten besitzt, könnte man die breite Streuung von Fehlern reduzieren. Die Rücktransformation derartiger Schwingungsverläufe mit stärkerer Dämpfung führen einen im Zeitbereich zur Verwendung von anderen Fenster funktionen als dem Rechteckfenster. Diese Fensterfunktionen sehen prinzipiell so aus, dass sie in der Mitte des Fensters den Wert 1 und zum Rand hin kleinere Werte annehmen. Es gibt eine Vielzahl von Fensterfunktionen, die zum größten Teil nach ihren Erfindern benannt wurden, z.b. Hamming, Hanning, Blackman, Kaiser,... Viele der Funktionen sind mathematisch durch eine Summe von Cosinustermen definiert. In Abbildung 4.1 sind in der rechten Bildhälfte beispielhaft die Definition und der Verlauf eines Ham- H.G. Hirsch 10 Digitale Signalverarbeitung

121 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich mingfensters w(n) der Breite von 0 ms sowie der logarithmierte Betrag der Fourier Transformierten dargestellt. Rechteck Hamming 1 1 w(n) 0.5 w(n) Zeit/ms Zeit/ms 0 log W(f) /db 0 40 log W(f) / db Frequenz/Hz Frequenz/Hz Abbildung 4.1.: Zeitsignal und logarithmiertes Betragsspektrum des Rechteck- und Hammingfensters Die DFT wendet man auf die mit den Faktoren w(n) gewichteten Abtastwerte x(n) an: X(k) = N 1 n=0 x(n) w(n) e j π k n N für k = 0, 1,..., N 1 Vergleicht man die beiden logarithmierten Betragsspektren des Rechteck- und des Hammingfensters, die in Abbildung 4.1 dargestellt sind, so erkennt man eine wesentlich höhere Dämpfung bei den Nebenzipfeln der Fourier Transformierten der Hammingfunktion. Dies macht den wesentlich stärker gedämpften Verlauf der Fourier Transformierten der Hammingfunktion im Vergleich zur SI Funktion deutlich, woraus wiederum eine wesentlich geringere Streuung der Fehler über einen weiten Frequenzbereich auf Grund des Leckeffekts folgt. Allerdings besitzt die Fourier Transformierte der Hammingfunktion eine wesentliche breitere Hauptkeule, bei der die erste Nullstelle erst oberhalb von 100 Hz im Vergleich zur ersten Nullstelle der SI Funktion bei 50 Hz auftritt. Die Faltung des eigentlich zu bestimmenden Spektrums X(f) mit dieser breiteren Hauptkeule führt zu einer Art Verschmierung der eigentlichen Komponenten von X(f) über die Breite dieser Hauptkeule. Eine einzelne Frequenzkomponente, in deren Nachbarschaft keine weiteren Frequenzanteile auftreten, wird damit nicht so genau im Ergebnis der DFT zu lokalisieren sein. H.G. Hirsch 11 Digitale Signalverarbeitung

122 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Bei der Wahl der Fensterfunktion kann man nun verstärkt entweder auf eine geringe Breite der Hauptkeule oder eine hohe Nebenzipfeldämpfung achten. Erwartet man ein zu analysierendes Spektrum mit einigen wenigen Komponenten mit großen Amplitudenwerten, deren Frequenzlage man relativ genau bestimmen möchte, so sollte man eher ein Fenster mit einer schmäleren Hauptkeule wählen. Ist man an der genaueren Analyse von Frequenzbereichen mit relativ kleinen Amplitudenwerten interessiert, so sollte man eher ein Fenster mit einer höheren Nebenzipfeldämpfung wählen Fast Fourier Transformation Eine effiziente Berechnung der DFT ist möglich, wenn man Signalabschnitte, die k Abtastwerte beinhalten, analysiert und damit die Transformationslänge der DFT auf die Werte..., 3, 64, 18, 56, 51, 104,... beschränkt. Diese recheneffiziente Realisierung der DFT bezeichnet man als Fast Fourier Transformation (FFT). Der Rechenaufwand einer DFT ergibt sich im Wesentlichen aus der Anzahl der durchzuführenden Multiplikationen. Zur Bestimmung der Werte X(k) = N 1 n=0 [ ( x(n) cos π k n )] N j N 1 n=0 [ ( x(n) sin π k n )] N für 0 k N 1 werden N N Multiplikationen zur Bestimmung der Realteile (Multiplikationen von x(n) mit den Abtastwerten der Cosinusfunktionen) und N N Multiplikationen zur Bestimmung der Imaginärteile (Multiplikationen von x(n) mit den Abtastwerten der Sinusfunktionen) benötigt. Nutzt man noch die Kenntnis des wiederholten Auftretens der Werte X(k) unterhalb von fa als konjugiert komplexe Werte oberhalb von, so ergeben sich insgesamt etwa N N Multiplikationen. Bei einer Beschränkung f a auf Signalabschnitte, die k Abtastwerte beinhalten, nehmen die Abtastwerte der Cosinus- und Sinusfunktionen an mehreren Stellen den gleichen Wert oder betragsmäßig den gleichen Wert an, wie es beispielhaft für N = 64 und k = 6 in Abbildung 4.13 dargestellt ist. Damit kann man durch eine vorherige Addition oder Subtraktion der Abtastwerte x(n) an diesen Stellen und das anschließende einmalige Multiplizieren des Ergebnisses der Addition und Subtraktion mit dem zugehörigen Wert des Cosinus oder Sinus die Anzahl der Multiplikationen deutlich reduzieren. Konkret lässt sich damit die Anzahl von N N Multiplikationen auf N ld(n) reduzieren. Beispielsweise lässt sich so die Anzahl der Multiplikationen bei einer 56 Punkte H.G. Hirsch 1 Digitale Signalverarbeitung

123 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich FFT von 8 8 = 16 = auf 8 8 = 11 = 048 reduzieren Abbildung 4.13.: Wiederholtes Auftreten der Werte bei einem abgetasteten Sinussignal Möchte man einen Signalabschnitt, der weniger als k Abtastwerte beinhaltet, in Form einer FFT analysieren, so kann man mit Hilfe des bereits erwähnten zero paddings entsprechend viele Nullen anfügen bis zum Erreichen der Länge von k Beschreibung von Signalverarbeitungssystemen im Frequenzbereich Neben dem in den vorherigen Abschnitten vorgestellten Einsatz der Fourier Transformation zur Bestimmung der Frequenzzusammensetzung zeitdiskreter Signale kann man die Transformation und ihre konkrete Realisierung in Form der DFT auch zur Analyse des Übertragungsverhaltens von Signalverarbeitungssystemen im Frequenzbereich einsetzen. Aus der alleinigen Betrachtung der Impulsantwort h(t) oder h(n) im Zeitbereich und der Faltung des Eingangssignals mit dieser Impulsantwort zur Bestimmung des Ausgangssignals y(t) = x(t) h(t) oder y(n) = x(n) h(n) erhält man nur in begrenztem Umfang eine Vorstellung von dem Übertragungsverhalten des Systems. Da viele Systeme das Ziel einer Filterung mit einer Unterdrückung H.G. Hirsch 13 Digitale Signalverarbeitung

124 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich oder Abschwächung bestimmter Frequenzanteile verfolgen, läßt sich das Übertragungsverhalten einfacher und anschaulicher im Frequenzbereich nachvollziehen. Transformiert man eine Stossantwort h(t) bzw. eine zeitdiskrete Impulsantwort h(n) in den Frequenzbereich, so erhält man die komplexe Übertragungsfunktion H(f): h(t) H(f) = h(t) e j π f t dt h(n) H(f) = n= h(n) e j π n f fa Den Betrag der Übertragungsfunktion H(f) bezeichnet man als Amplitudengang. Der Phasengang beschreibt die Veränderung der Phase in Abhängigkeit der Frequenz. Die Faltung y(t) = x(t) h(t) zur Beschreibung linearer, zeitinvarianter Systeme im Zeitbereich geht bei Anwendung der Fourier Transformation über in das Produkt des komplexen Spektrums X(f) des Eingangssignals und der Übertragungsfunktion H(f) zur Bestimmung des komplexen Ausgangsspektrums Y (f) = X(f) H(f) Das Spektrum X(f) bestimmt sich für ein zeitdiskretes Signal x(n) in gleicher Weise wie die Übertragungsfunktion: x(n) X(f) = n= x(n) e j π n f fa Die Zusammenhänge zur Bestimmung von Ausgangssignal und Ausgangsspektrum werden nochmals in Abbildung 4.14 visualisiert. Abbildung 4.14.: Lineares, zeitinvariantes System in Zeit- und Frequenzbereich Der vergleichenden Betrachtung eines Signalverarbeitungssystems im Zeit- und im Frequenzbereich kann man entnehmen, dass man das Ausgangssignal y(t) neben der Faltung von Eingangssignal x(t) und Impulsantwort h(t) auch über den Umweg einer Transformation der beiden Signale x(t) und h(t) in den Frequenzbereich, H.G. Hirsch 14 Digitale Signalverarbeitung

125 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich der multiplikativen Verknüpfung der beiden Spektren X(f) unf H(f) und einer Rücktransformation des Spektrums Y (f) in den Zeitbereich bestimmen kann. Diese Vorgehensweise, die man im Fall einer blockweisen Verarbeitung des Signals x(n) auch als periodische Faltung bezeichnet, kann bei der Realisierung mit Hilfe der FFT in einigen Fällen recheneffizienter im Vergleich zur Faltung im Zeitbereich sein Periodische Faltung im Frequenzbereich Zur Realisierung der periodischen Faltung im Frequenzbereich setzt man bei zeitdiskreten Signalen x(n) die DFT ein. Dabei erfolgt eine Transformation des Signals x(n) und der Impulsantwort h(n) des Filters in den Spektralbereich mit Hilfe einer DFT (FFT), eine Filterung des Signals durch Multiplikation der beiden Spektren X(k) und H(k) und eine Rücktransformation des berechneten Spektrums Y (k) in den Zeitbereich mit Hilfe einer IDFT (IFFT). Die Voraussetzung zur Durchführung der zuvor genannten Verarbeitungsschritte ist eine Transformation von x(n) und h(n) mit der gleichen Transformationslänge, so dass sich gleich viele Werte X(k) und H(k) ergeben, die dann elementweise miteinander multipliziert werden können. Zunächst wird die Faltung eines zeitbegrenzten Signals x(n) mit einer ebenfalls zeitlich begrenzten Impulsantwort h(n) betrachtet. Besteht x(n) beispielsweise aus L Abtastwerten x(n) ungleich Null für 0 n < L (x(n < 0) = 0 und x(n L) = 0) und h(n) aus P Abtastwerten ungleich Null für 0 n < P (h(n < 0) = 0 und h(n P ) = 0), so resultieren aus der Faltung von x(n) und h(n) im Zeitbereich L + P 1 Abtastwerte. Somit muss die Transformationslänge der DFT ebenfalls L + P 1 sein, damit sich nach der Rücktransformation L + P 1 Werte y(n) ergeben. Die gesamte Vorgehensweise wird in Abbildung 4.15 veranschaulicht. Die Signale x(n) und h(n) werden mit Hilfe des zero paddings um die entsprechende Anzahl von Nullen ergänzt, so dass eine Transformation der Länge L + P 1 durchgeführt werden kann. Grundsätzlich verursacht die Verarbeitung im Frequenzbereich eine Verzögerung, da die Transformation erst durchgeführt werden kann, wenn alle Abtastwerte x(n) vorhanden sind. Im Gegensatz dazu kann die Faltung im Zeitbereich abtastwertweise angwendet werden. H.G. Hirsch 15 Digitale Signalverarbeitung

126 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Abbildung 4.15.: Zusammenhang zwischen Faltung im Zeitbereich und Multiplikation im Frequenzbereich In der Regel findet eine Verarbeitung zeitlich nicht begrenzter Signale statt. Beispielsweise stellt die kontinuierliche Folge von Abtastwerten, die bei der Aufnahme eines Audiosignals mit einem Mikrofon generiert wird, ein solches Signal dar. In diesem Fall kann man die periodische Faltung in der Weise anwenden, dass man das Signal x(n) in zeitlich begrenzte Abschnitte der Länge L seg zerlegt. Die Länge L seg sollte so gewählt werden, dass es bei einer Verarbeitung in Echtzeit zu einer tolerierbaren Verzögerung kommt. Beispielsweise kann man bei einer Kommunikation über ein Telefonsystem eine Verzögerung von 50 bis 100 ms als noch tolerabel einstufen. Kommt man allerdings in den Bereich mehrerer 100 Millisekunden, so entstehen Situationen, bei denen sich die beiden Gesprächspartner gegenseitig ins Wort fallen und die Kommunikation als unangenehm empfunden wird. Die Zerlegung eines Signals wird in Abbildung 4.16 veranschaulicht. H.G. Hirsch 16 Digitale Signalverarbeitung

127 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Zeit/ms Abbildung 4.16.: Zerlegung eines Signals in Fenster Dabei wird ersichtlich, dass man die Zerlegung in der Regel überlappend vornimmt, um beispielsweise bei Audiosignalen eine hohe Audioqualität zu gewährleisten. Betrachtet man das Signal x(n), das nach dem Einschalten des Systems zum Zeitpunkt t = 0 nur Amplitudenwerte ungleich Null für n 0 besitzen soll, so kann man die Abtastwerte x r (n seg ) eines Segments, das mit dem Index r versehen wird, beschreiben als x r (n seg ) = x (r L shift + n seg ) w (n seg ). Dabei stellt n seg den Abtastindex dar, der für jedes der aus L seg Abtastwerten bestehenden Segmente einen Wert im Bereich 0 n seg < L seg annimmt. Der Segmetindex r nimmt die Werte r = 0, 1,,..., an. Die überlappende Analyse wird durch den Wert L shift definiert, mit dem die Verschiebung des Analysefensters um L shift L seg Abtastwerte festgelegt wird. Zur Reduktion der Fehler auf Grund des Leckeffekts werden die Abtastwerte jedes Segments mit den Werten w(n seg ) einer der bereits vorgestellten Fensterfunktionen gewichtet, wie es auch in Abbildung 4.16 veranschaulicht wird. An der Stelle wird aus der Betrachtung des Zeitsignals deutlich, dass es für eine nicht überlappende Analyse mit L shift = L seg bei der Rekonstruktion des Ausgangssignals mit einer Aneinanderreihung der mit den Fensterfunktionen gewichteten Signalsegmente zu Signalverzerrungen kommen würde. H.G. Hirsch 17 Digitale Signalverarbeitung

128 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Jeder der Signalabschnitte x r (n seg ) kann mit Hilfe einer DFT (FFT) in den Spektralbereich transformiert werden, um so das zugehörige Kurzzeit-Spektrum X r (k) dieses Abschnitts zu bestimmen. Jedes Kurzzeit-Spektrum X r (k) wird mit dem Spektrum H(k) der in den Frequenzbereich transformierten Impulsantwort des Übertragungssystems zur Bestimmung des Ausgangsspektrums Y r (k) = X r (k) H(k) multipliziert. Das Ergebnis Y r (k) der Multiplikation wird mit Hilfe der IDFT (IFFT) in den Zeitbereich zurücktransformiert. Die rücktransformierten Signalabschnitte y r (n seg ) werden zeitlich an die Position des zugehörigen Analysefensters geschoben und die sich überlappenden Signalabschnitte werden additiv überlagert, wie in Abbildung 4.17 veranschaulicht wird Zeit/ms Abbildung 4.17.: Rekonstruktion eines Signals aus Fenstern Man bezeichnet diese Vorgehensweise auch als Overlap-add Verfahren. Mathematisch lässt sich die additive Überlagerung der Signalwerte aller Segmente zur Generierung des Ausgangssignals y(n) beschreiben als: y(n) = f ac y r (n r L shift ) Der Korrekturfaktor f ac wird zur Bestimmung der Ausgangswerte y(n) im ungefähren Amplitudenbereich der Eingangswerte x(n) benötigt. Der Wert von f ac ist r=0 H.G. Hirsch 18 Digitale Signalverarbeitung

129 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich abhängig vom Grad der Überlappung aufeinanderfolgender Segmente sowie von der verwendeten Fensterfunktion. Bei Einsatz der FFT und IFFT zur Durchführung der Hin- und Rücktransformationen bezeichnet man die periodische Faltung auch als schnelle Faltung. In Abhängigkeit der gewählten Transformationslänge und des Grads der Überlappung kann der Umweg über den Frequenzbereich recheneffizienter sein als die Faltung mit einer relativ langen Impulsantwort im Zeitbereich Der Tiefpass als Beispiel eines Übertragungssystems Im Folgenden wird der ideale Tiefpass, dessen Impulsantwort bereits im Kapitel zur Faltung aus der Betrachtung ( ) der idealen, rechteckförmigen Frequenzcharakteristik H T P (f) = 1 f f g rect f g und einer Rücktransformation in den Zeitbereich abgeleitet wurde, nochmals als Beispiel eines Übertragungssystems betrachtet. Es soll insbesondere die zur praktischen Realisierung notwendige Beschränkung der Si förmigen Impulsantwort h T P (n) = sin ( ) π n fg fa π n fg fa auf eine endliche Anzahl von Abtastwerten analysiert werden. Mit Hilfe der mathematischen Beschreibung der zeitlichen Beschränkung und einer Fourier-Transformation dieser mathematischen Beschreibung lässt sich dann das Aussehen der resultierenden Frequenzcharakteristik exakt angeben. Mit Hilfe dieser Betrachtung wird auch ein Verfahren zum Entwurf von Filtern vorgestellt. Ausgangspunkt ist die Betrachtung der unendlich ausgedehnten, Si förmigen Impulsantwort h T P (t) = sin( π fg t) π f g t und der zugehörigen Fourier Transformierten H T P (f) = ( 1 f f g rect f g ). In einem der vorhergehenden Abschnitte zur Herleitung des Leckeffekts wurde die mathematische Beschreibung eines Rechteckfensters der Länge N T und deren Fourier Transformierte vorgestellt: rect ( ) t N T sin(π f N T ) N T π f N T Damit lässt sich die zeitliche Beschränkung der unendlich ausgedehnten Impulsantwort auf N Abtastwerte mathematisch als Multiplikation mit dieser Rechteckfuntion darstellen. Die Fourier Transformierte des Produkts ergibt sich damit als Faltungsprodukt der zugehörigen Fourier Transformierten von Si- und Rechteckfunktion: H.G. Hirsch 19 Digitale Signalverarbeitung

130 h (t) = h T P (t) rect ( ) t N T = sin( π f g t) π f g t rect ( ) t N T ( H (f) = H T P (f) N T sin(π f N T ) = 1 π f N T f g rect 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich ) f f g N T sin(π f N T ) π f N T Beispielhaft wird in Abbildung 4.18 der Vorgang der Faltung und das Ergebnis der Faltung visualisiert, wobei wie zur Bestimmung der in Abbildung.14 dargestellten π 33 f fa Übertragungsfunktion eine Grenzfrequenz von f g = fa und eine Beschränkung auf 8 N = 33 Abtastwerte benutzt werden. Unter Vernachlässigung( der ) beiden Amplitudenterme 1 f f g und NT ergibt sich das Faltungsprodukt rect f g sin(π f N T ) = π f N T ( ) ( ) 4 f rect f a sin(π f 33 T ) 4 f = rect π 33 T f a sin(π 33 f ) fa. Man erhält wieder die in der digitalen Signalverarbeitung übliche Abhängigkeit von dem Frequenzverhältnis f f a. H TP f/f a H SI f/f a H f f/f a H f f/f a Abbildung 4.18.: Faltung H f = H SI H T P Im Vergleich zur idealen, rechteckförmigen Charakteristik erhält man ein Schwingungsverhalten im Durchlass- und im Sperrbereich, aus der eine frequenzabhängige Verstärkung im Durchlassbereich und keine ideale Dämpfung im Sperrbereich resultieren, wie man es auch der Darstellung von H(f) in der untersten Teilgraphik von H.G. Hirsch 130 Digitale Signalverarbeitung

131 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Abbildung 4.18 entnehmen kann. Zudem stellt sich eine endliche Flankensteilheit im Bereich der Grenzfrequenz des Tiefpasses ein. In Analogie zur Reduzierung des Leckeffekts bei der Spektralanalyse mit der DFT kann man nun anstelle der Multiplikation mit der Rechteckfunktion die Multiplikation mit einer der bekannten Fensterfunktionen in Erwägung ziehen. Das Ergebnis der Multiplikation der SI förmigen Impulsantwort mit der aus 33 Werten bestehenden Hammingfunktion ist beispielhaft in Abbildung 4.19 dargestellt. Neben den gewichteten Werten der zeitdiskreten Impulsantwort ist auch der zugehörige Amplitudengang H(f) dargestellt. h TP (n) H TP (f) n f f g f a = 1 8 Abbildung 4.19.: Mit Hamming-Fenster gewichtete diskrete SI Funktion und zugehöriger Frequenzgang Das Schwingungsverhalten im Durchlass- und im Sperrbereich wird durch die Wichtung mit der Hammingfunktion erheblich reduziert, so dass sich eine nahezu frequenzunabhängige Verstärkung im Duchlassbereich und eine durchgehend hohe Dämpfung im Sperrbereich einstellt. Diesen Vorteilen steht allerdings eine reduzierte Flankensteilheit im Bereich der Grenzfrequenz gegenüber. Die vorgestellte Vorgehensweise mit einer mathematischen Beschreibung einer idealen, gewünschten Filtercharakteristik, im Beispiel die Rechteckfunktion zur Definition des Tiefpasses im Frequenzbereich, und einer Rücktransformation dieser Charakteristik in den Zeitbereich zur Bestimmung einer in der Regel zeitlich nicht begrenzten Impulsantwort, im Beispiel die Si Funktion im Zeitbereich, und die zeitliche Begrenzung der unendlich ausgedehnten Impulsantwort durch die Multiplikation mit einer Fensterfunktion H.G. Hirsch 131 Digitale Signalverarbeitung

132 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich stellt ein Entwurfsverfahren zur Festlegung der Filterkoeffizienten eines Filters mit einer zeitlich begrenzten Impulsantwort dar, das man in Bezug auf den letzten Verarbeitungsschritt als Fensterverfahren bezeichnet Erzeugung eines Band- oder Hochpasses aus einem Tiefpass Mit einer einfachen Überlegung kann man aufzeigen, wie man aus der Impulsantwort eines Tiefpasses die Impulsantwort eines Band- oder Hochpasses ableiten kann. Vergleicht man die Rechteckfunktion des idealen Tiefpasses im Frequenzbereich fa < f < fa, wie sie in Abbildung 4.0 dargestellt ist, mit den beiden gleich breiten Rechtecken einer darunter dargestellten Bandpasscharakteristik, so kann man sich die Erzeugung der Bandpasscharakteristik als eine Rechtsverschiebung des TP Rechtecks an die Stelle fm und eine weitere Linksverschiebung an die Stelle -fm vorstellen. Abbildung 4.0 zeigt die Spektren eines idealen digitalen Tiefpasses und Bandpasses mit den spektralen Wiederholungen bei Vielfachen der Abtastfrequenz. H TP (f) f a f a f g f g f a f a f H BP (f) f a f a f m (f m f g )f m f a f a f Abbildung 4.0.: Spektren eines Tiefpasses (oben) und Bandpasses (unten) Die Rechtsverschiebung kann man durch die Faltung der TP Charakteristik mit einem Dirac-Impuls δ (f f m ) an der Stelle f m und die Linksverschiebung duch eine Faltung mit einem Dirac-Impuls δ (f + f m ) an der Stelle f m realisieren, so dass sich die Bestimmung der Übertragungsfunktion des Bandpasses beschreiben H.G. Hirsch 13 Digitale Signalverarbeitung

133 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich lässt als H BP (f) = H T P (f) [δ (f + f m ) + δ (f f m )] H cos (f) f f m 0 f m Abbildung 4.1.: Dirac-Impuls im Spektralbereich Die beiden Dirac Impulse, wie sie auch in Abbildung 4.1 dargestellt sind, beschreiben gemäß der Ableitung in Abschnitt 4.4 eine Cosinusfunktion im Zeitbereich, die mit der Frequenz f m schwingt. Somit ergibt sich die Impulsantwort des Bandpasses h BP (t) als eine Multiplikation der Impulsantwort h T P (t) des Tiefpasses mit der Cosinusfunktion, wie es sich aus der Rücktransformation des Faltungsprodukts in den Zeitbereich ergibt: 1. H BP (f) = H T P (f) [δ (f + f m ) + δ (f f m )] h BP (t) = h T P (t) cos ( π f m t) Der Faktor bei der Impulsantwort resultiert aus den Amplitudenwerten von 1 bei den beiden Dirac-Impulsen, die gemäß der Ableitung in Abschnitt 4.4 für ein Cosinussignal mit der Amplitude 1 eigentlich den Wert 1 besitzen sollten. Die Herleitung der Übertragungsfunktion und der Impulsantwort eines Bandpasses aus den entsprechenden Charakteristika eines Tiefpasses kann man auch zur Bestimmung der Koeffizienten eines Bandpassfilters heranziehen, dessen Mittenfrequenz f m und dessen Bandbreite f gemäß einer gewünschten Charakteristik vorgegeben werden. Aus der Bandbreite f des Bandpasses ergibt sich dann die Grenzfrequenz des Tiefpasses, den man auch als Prototyp TP bezeichnet, zu f g = f. Ausgehend von dem SI förmigen Verlauf der idealen Impulsantwort des TP erfolgt zur zeitdiskreten 1 Im Bereich der Übertragungstechnik beschreibt diese Vorgehensweise das als Modulation bezeichnete Verfahren, mit der man das tiefpassbegrenzte Spektrum eines Basisband-Signals in den Frequenzbereich einer Tragerfrequenz f T R verschiebt, z.b. zur Übertragung des Signals über einen Funkkanal. H.G. Hirsch 133 Digitale Signalverarbeitung

134 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Realisierung zunächst die zeitliche Beschränkung durch die Multiplikation mit einer Fensterfunktion w(n), wie es im vorhergehenden Abschnitt gezeigt wurde. Des Weiteren werden die Amplituden der zeitdiskreten Impulsantwort mit den Abtastwerten der Cosinusfunktion multipliziert: ( ) h BP (n) = h T P (n) w (n) cos π n fm f a In Abbildung 4. wird die gesamte Vorgehensweise beispielhaft zur Bestimmung der zeitdiskreten Impulsantwort eines Bandpasses, dessen Bandbreite zu f f a = 1 4 und dessen Mittenfrequenz zu fm f a = 1 vorgegeben werden. Damit ergibt sich die 4 Grenzfrequenz des zugehörigen Prototyp TP zu f g = f = fa. In dem dargestellten 8 Beispiel wird die Anzahl der Werte der Impulsantwort des TP durch die Multiplikation mit dem aus 01 Werten bestehenden Hamming Fenster auf diese Länge beschränkt. a) Si Funktion log. Betragsspektrum von a) t f b) Hamming Fenster f g 0 f g log. Betragsspektrum von b) c) Multiplikation von a) und b) t 0 log. Betragsspektrum von c) f t f d) Cosinus f g 0 f g log. Betragsspektrum von d) t f e) Multiplikation von c) und d) f m 0 f m log. Betragsspektrum von e) t f f m 0 f m Abbildung 4..: Erzeugung eines BP aus einem TP H.G. Hirsch 134 Digitale Signalverarbeitung

135 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Mit der gezeigten Vorgehensweise der Verschiebung der Frequenzcharakteristik eines TP kann man auch einen Hochpass generieren, wie es in Abb 4.3 veranschaulicht wird. Die Charakteristik eines digitalen Filters ist durch die Betrachtung des Frequenzbereichs 0 f fa vollständig definiert. Daher stellt sich die Charakteristik eines idealen HP als rechteckförmiger Verlauf im Bereich der Flanke bei fa f g bis zur halben Abtastfrequenz fa dar. Unter Berücksichtigung der konjugiert komplexen Werte bei negativen Werte H HP ( f) = HHP (f) im Bereich fa f 0 und der spektralen Wiederholung der Charakteristik im Bereich fa f fa bei Vielfachen der Abtastfrequenz ergeben sich die Rechtecke mit der Breite f = f g um die Frequenz fa bzw. fa herum in Abbildung 4.3. H TP (f) f a f a f g f g f a f a f H HP (f) f a f a f a f g f a f a f Abbildung 4.3.: Spektrum eines Tiefpass (oben) und Hochpass (unten) Im Unterschied zum Bandpass kommt es hier nicht zu einer Verdopplung der Rechtecke. Verschiebt man die Rechtecke der TP Charakteristik einmal nach rechts um f a und einmal nach links um fa, so kommt es zur additiven Überlagerung der nach rechts und links verschobenen Rechtecke an der gleichen Stelle. Daraus würde eine Verdopplung der Amplituden folgen. Zur Kompensation dieses Effekts versieht man die beiden Dirac Impulse bei fa und fa jeweils mit dem Amplitudenfaktor 1: H.G. Hirsch 135 Digitale Signalverarbeitung

136 H HP (f) = H T P (f) 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich [ ( 1 δ f + f ) a + 1 ( δ f f )] a ( ) h HP (t) = h T P (t) cos π fa t Aus dem Cosinusterm cos ( ( ) π fa t) wird bei einer zeitdiskreten Realisierung cos π fa n f a = cos (π n). Die Faktoren der Multiplikation werden demnach durch die alternierende Folge [1, 1, 1, 1,...] beschrieben. Das bedeutet, dass man durch eine Umkehr jedes zweiten Vorzeichens der Impulsantwort des Tiefpasses einen Hochpass erzeugen kann Filterbänke Die im vorhergehenden Abschnitt vorgestellte Vorgehensweise zum Entwurf eines BP aus einem Prototyp TP kann man auch heranziehen, um damit eine komplette Filterbank mit gleich breiten Bandpässen in einem festgelegten Frequenzbereich zu definieren. Filterbänke werden eingesetzt, um ein Eingangssignal in sogenannte Teilbandsignale zu zerlegen. Jedes Teilbandsignal enthält dabei die Information des Eingangssignals in einem bestimmten Frequenzband. Eine derartige Vorgehensweise wird beispielsweise bei der Audiocodierung gemäß des Standards MP3 angewandt. Dabei wird das Signal im Bereich von 0 f fa in 3 Teilbandsignale zerlegt. Jedes der Teilbandsignale kann unter Ausnutzung des so genannten Verdeckungseffekts beim Menschen mit einer relativ geringen Bitanzahl quantisiert werden. Auf Grund des Verdeckungseffekts ist das Quantisierungsrauschen, das bei einer geringen Bitanzahl mit einem entsprechend hohem Pegel auftritt, für den menschlichen Zuhörer nicht hörbar. Die Teilbandsignale können dann wieder additiv überlagert werden, um ein qualitativ hochwertiges Audiosignal zu rekonstruieren. Im Allgemeinen kann so eine aus M Kanälen bestehende Filterbank definiert werden. Durch die Multiplikation der Impulsantwort des einzelnen geeignet gewählten Prototyp TP können durch die Multiplikation mit den entsprechenden Cosinustermen die Impulsantworten der M Bandpässe bestimmt werden: h BPk (t) = h T PP roto (t) cos ( π f mk t) für k = 1,..., M H.G. Hirsch 136 Digitale Signalverarbeitung

137 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Die Frequenzen f mk entsprechen dabei den Mittenfrequenzen der M Bandpässe, wie es beispielhaft in Abbildung 4.4 für eine 6-kanalige Filterbank zu sehen ist. Die Bandbreite jedes Bandpasses ergibt sich bei der Analyse des gesamten Frequenzbereichs 0 f fa zu f = fa M = fa 6 = fa. Daraus resultiert wiederum die 1 Grenzfrequenz des Prototyp TP zu f g = f = fa. 4 H BPk (f) 0 f m1 f m f m3 f m4 f m5 f m6 f a Abbildung 4.4.: Schematische Ansicht einer Filterbank f Die Impulsantworten der Bandpässe können zur Extraktion der Teilbandsignale verwendet werden: x k (n) = x(n) h BPk (n) für k = 1,..., M Die Teilbandsignale können dann separat analysiert oder bearbeitet werden, wobei die Verarbeitung auch im Frequenzbereich durch Betrachtung des zu x k (n) gehörigen Spektrums X k (f) stattfinden kann. Um aus den bearbeiteten Teilbandsignalen wieder ein Gesamtsignal zu erzeugen, müssen die Teilbandsignale lediglich addiert werden. Entsprechend dem Superpositionstheorem (siehe Kapitel 4.3) kann dies sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich geschehen, in dem die M Teilbandsignale oder die M Spektren additiv überlagert werden: x rekon (n) = M x k (n) bzw. X rekon (f) = k=1 M X k (f) k=1 Diese Vorgehensweise setzt im Allgemeinen eine ideale TP Charakteristik voraus. Wie bereits zuvor beschrieben, verfügen reale Filter über eine endliche Flankensteilheit und eine gewisse Welligkeit im Sperr- und Durchlassbereich. In der Folge überlappen sich benachbarte Filter möglicherweise teilweise. Zur Beurteilung der Güte einer derartigen Filterbank kann man die additive Überlagerung der M Teilbandcharakteristiken im Frequenzbereich betrachten. Dabei sollte sich ein möglichst glatter Verlauf mit dem Amplitudenwert 1 ergeben. H.G. Hirsch 137 Digitale Signalverarbeitung

138 4.7. Diskrete Cosinus Transformation 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Eine weitere Transformation, die in einigen Verfahren der Bildcodierung (JPEG, MPEG) und auch in der Sprachverarbeitung verwendet wird, ist die diskrete Cosinus Transformation (DCT). Die DCT ist definiert zu: X DCT (k) = N 1 n=0 ( x(n) cos π k n + 0, 5 ) N für k = 0, 1,..., N 1 Die Bestimmung der inversen diskreten Cosinus Transformation (IDCT) führt zu einer nahezu gleich aussehenden Definition wie die DCT selbst: x(n) = 1 N [ N 1 n=0 ( X DCT (k) cos π k n + 0, 5 ) ] 1 N N X(0) für n = 0, 1,..., N 1 Die DCT wird auf ein reeles Signal angewendet und erzeugt im Gegensatz zur DFT auch als Ausgangswerte reele Werte. Im Vergleich zur DFT werden die Abtastwerte x(n) bei der DCT nur mit den Werten abgetasteter Cosinusfunktionen multipliziert. Sinusfunktionen werden nicht verwendet. Die DCT basiert folglich auf dem Ansatz einen Signalverlauf nur als Summe gewichteter Cosinusfunktionen zu beschreiben. Die Cosinus Basisfunktionen für k = 1,,..., 6 sind in Abbildung 4.5 dargestellt. H.G. Hirsch 138 Digitale Signalverarbeitung

139 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich Abbildung 4.5.: Basisfunktionen der DCT für k = 1,,..., 6 Dieser Darstellung kann man entnehmen, dass die Basisfunktion für k = 1 eine halbe Periode einer Cosinusschwingung ist, wobei die zeitliche Länge dieser halben Periode der Fensterlänge N T entspricht. Die DCT Koeffizienten höherer Ordnung ergeben sich entsprechend durch die Multiplikation der Abtastwerte des Eingangssignals mit Vielfachen dieser halben Periode. Prinzipiell erhält man durch die DCT und den daraus resultierenden Koeffizienten auch eine Beschreibung der spektralen Eigenschaften des Signals. Die DCT wird z.b. angewendet bei der Codierung von Einzelbildern nach dem JPEG (Joint Photographic Expert Group) Standard und von Bewegtbildern nach dem MPEG (Moving Picture Expert Group) Standard. Dabei wird Crominanz- und Luminanzinformation von Blöcken, die aus 8 mal 8 Bildpunkten bestehen, mit einer zweidimensionalen DCT transformiert. In der Sprachverarbeitung wird die DCT verwendet, um das logarithmierte Betragsoder Leistungsdichtespektrum, das mittels einer FFT bestimmt wurde, wiederum spektral zu analysieren und mittels der DCT in den sogenannten Cepstral bereich zu transformieren. Die Cepstralkoeffizienten niedriger Ordnung beschreiben die Ein- H.G. Hirsch 139 Digitale Signalverarbeitung

140 4. Signale und Systeme im Frequenzbereich hüllende des FFT Spektrums und damit die Übertragungsfunktion des menschlichen Vokaltrakts. Daher eignen sich diese Koeffizienten gut als akustische Parameter zur Spracherkennung. Des Weiteren hat die Transformation mit der DCT eine dekorrelierende Wirkung. Besitzen benachbarte Spektralwerte noch eine relativ hohe statistische Abhängigkeit voneinander, so ist die statistische Abhängigkeit der Cepstralkoeffizienten wesentlich geringer. Die Berechnung von Wahrscheinlichkeitswerten in Abhängigkeit mehrerer Merkmalsparameter, wie es typischerweise bei einer Mustererkennung der Fall ist, lässt sich im Fall von statistisch unabhängigen Merkmalen wesentlich recheneffizienter realisieren. H.G. Hirsch 140 Digitale Signalverarbeitung

141 5. Digitale Filter Die Extraktion oder die Wichtung bestimmter Frequenzkomponenten eines Signals stellt eine in der Praxis häufig anzutreffende Aufgabenstellung der digitalen Signalverarbeitung dar. Im vorhergehenden Kapitel zur Diskreten Fourier Transformation wurde bereits ein Verfahren vorgestellt, um die Impulsantworten von Filtern bestimmen zu können. In diesem Kapitel wird die konkrete Realisierung eines Signalverarbeitungssystems, dessen Impulsantwort bekannt ist, als digitales Filter aufgezeigt. Früher hat man mit dieser Realisierungsform auch einen schaltungstechnischen Aufbau, beispielsweise mit Flip-Flops zum Speichern von Abtastwerten, verknüpft. Heutzutage findet in der Regel eine softwaremäßige Realisierung mit einem Prozessor oder einem programmierbaren Hardwareaufbau, z.b. einem FPGA, statt. Die grundlegenden Eigenschaften digitaler Filter und die Analyse ihres Verhaltens im Spektralbereich mit Hilfe der Z-Transformation werden erläutert. Es werden die Unterschiede von Filtern mit zeitlich begrenzter Impulsantwort (FIR) und Filtern mit zeitlich nicht begrenzter Impulsantwort (IIR) aufgezeigt. Abschließend werden verschiedene Verfahren zum Entwurf digitaler Filter vorgestellt Digitales Filter als schaltungstechnische Realisierung einer Impulsantwort Beispielhaft wird die zeitdiskrete Realisierung der Impulsantwort eines Tiefpass h T P (n) = sin ( ) π n fg fa π n fg fa mit fg f a = 1 6 bei einer zeitlichen Beschränkung auf den Bereich n + mit einem Rechteckfenster betrachtet, wie es im vorhergehenden Kapitel hergeleitet wurde. Die daraus hervorgehende Impulsantwort ist links in Abbildung 5.1 dargestellt. H.G. Hirsch 141 Digitale Signalverarbeitung

142 5. Digitale Filter h(n) h mod (n) n n Abbildung 5.1.: Impulsantwort eines TP mit fg f a = 1 6 Die dargestellte Impulsantwort mit Amplituden für negative Werte von n repräsentiert ein nicht kausales System, das schon eine Reaktion zeigen würde, bevor der Dirac Impuls zum Zeitpunkt n = 0 überhaupt angelegt würde. Daher wird die zeitliche Zurodnung so geändert, dass der erste Impuls erst zum Zeitpunkt n = 0 am Ausgang erscheint, wie es ebenfalls in Abbildung 5.1 im rechten Teilbild veranschaulicht wird. Das prinzipielle Aussehen der Impulsantwort wird dabei nicht verändert, so dass die Filtercharakteristik erhalten bleibt. Gemäß dem Verschiebungstheorem der Fourier Transformation kommt es lediglich zu einer Phasenverschiebung, was im späteren Verlauf des Kapitels noch genauer erläutert wird. Zur schaltungstechnischen Realisierung wird ein System benötigt, an dessen Ausgang beim Anlegen eines Dirac Impulses δ(n) zum Zeitpunkt n = 0 der Wert h mod (0), zum Zeitpunkt n = 1 der Wert h mod (1) bis hin zum Zeitpunkt n = 4 der Wert h mod (4) auftreten. In Abbildung 5. ist eine schaltungstechnische Realiserung gezeigt, um dieses Ziel zu erreichen. Abbildung 5..: Schaltungstechnische Realisierung eines TP mit fg f a = 1 6 Das Kernelement dieses Aufbaus ist das mit dem Buchstaben T gekennzeichnete rechteckförmige Symbol, das ein Speicherlement (Flip-Flop) darstellt, um den vorhergehenden Abtastwert zu speichern. Der Buchstabe T deutet an, dass das Element H.G. Hirsch 14 Digitale Signalverarbeitung

143 5. Digitale Filter im Takt der Abtastfrequenz f a = 1 getaktet wird. Das Dreieckssymbol repräsentiert T einen Multiplikator mit einem definierten Faktor, das kreisrunde Symbol die Addition der beiden anliegenden Werte zu einem Taktzeitpunkt. Diese drei Elemente, die einzeln in Abbildung 5.3 dargestellt sind, stellen die Basiskomponenten zum Aufbau eines beliebigen digitalen Filters dar. Abbildung 5.3.: Grundelemente eines linearen, zeitinvarianten, zeitdiskreten Systems Bei digitalen Filtern handelt es sich um lineare, zeitinvariante, diskrete Systeme mit einem zeitdiskreten Eingangssignal x(n) und einem zeitdiskreten Ausgangssignal y(n). Das lineare und zeitinvariante Verhalten von Systemen wurde bereits in Kapitel ausführlich beschrieben. Ein System weist ein lineares Verhalten auf, wenn das Eingangssignal x(n) = a 1 x 1 (n) + a x (n), das eine Linearkombination der beiden Signale x 1 (n) und x (n) darstellt, das Ausgangssignal y(n) = a 1 y 1 (n) + a y (n) erzeugt. Dabei stellen y 1 (n) und y (n) die Ausgangssignale dar, die bei der alleinigen Betrachtung von x 1 (n) oder x (n) als Eingangssignal am Ausgang generiert würden. Des Weiteren nennt man ein System zeitinvariant, wenn ein um m Abtastintervalle verzögertes Eingangssignal x(n m) ein ebenfalls um m Abtastintervalle verzögertes Ausgangssignal y(n m) erzeugt. Die in Abbildung 5. dargestellte Filterrealisierung kann man im Zeitbereich neben der bekannten Beschreibung durch die Faltung von Eingangssignal und Impulsantwort durch eine so genannte Differenzengleichung zur Bestimmung der Werte des Ausgangssignals y(n) beschreiben: y (n T ) = h mod (0) x (n T ) + h mod (1) x ((n 1) T ) + h mod () x ((n ) T ) +h mod (3) x ((n 3) T ) + h mod (4) x ((n 4) T ) Durch Setzen von T = 1 erhält man die Beschreibungsform, die nur noch den Index n beinhaltet und sich auf die im Rechner gespeicherten und mit dem Index n zu H.G. Hirsch 143 Digitale Signalverarbeitung

144 5. Digitale Filter referenzierenden Abtastwerte x(n) des Eingangssignals bezieht: y (n) = h mod (0) x (n) + h mod (1) x (n 1) + h mod () x (n ) +h mod (3) x (n 3) + h mod (4) x (n 4) Die komplexe Übertragungsfunktion H(f) kann man mit Hilfe der Fourier Transformation unter Berücksichtigung des Verschiebungstheorems, das bei einer Verzögerung um einen Abtastzyklus T zu einem multiplikativen Phasenterm e j π f T = e j π f fa führt, bestimmen: Y (f) = h mod (0) X(f) + h mod (1) X(f) e j π f fa +h mod (3) X(f) e j 6 π f fa + h mod () X(f) e j 4 π f fa + h mod (4) X(f) e j 8 π f fa H(f) = Y (f) X(f) = h mod(0) + h mod (1) e j π +h mod (3) e j 6 π f fa f fa + h mod (4) e j 8 π f fa + h mod () e j 4 π f fa Da die Fourier Transformation eine lineare Transformation darstellt, bleiben die additiven und die multiplikativen Terme erhalten. Der sich aus der mathematischen Beschreibung ergebende Amplitudengang H(f) ist in Abbildung 5.4 dargestellt. H(f) f/f a Abbildung 5.4.: Amplitudengang H(f) des TP mit fg f a = 1 6 H.G. Hirsch 144 Digitale Signalverarbeitung

145 5. Digitale Filter Man erkennt die Tiefpasscharakteristik des Filters, die allerdings auf Grund der zeitlichen Beschränkung der Impulsantwort auf 5 Werte weit von der idealen rechteckförmigen Charakteristik entfernt ist. Ein weiteres, einfaches Beispiel eines linearen, zeitinvarianten, diskreten Systems, das aus den Grundelementen gebildet wird, ist in Abbildung 5.5 dargestellt. Abbildung 5.5.: Schaltungsanordnung eines einfachen digitalen Filters Die Werte des zeitdiskreten Ausgangssignals y(n) lassen sich mit Hilfe der Differenzengleichung bestimmen: y(n) = b 0 x(n) + b 1 x (n T ) T =1 = b 0 x(n) + b 1 x(n 1) Mit dem Dirac Impuls als Eingangssignal lässt sich die Impulsantwort h(n) dieses Filters, deren Werte in Abbildung 5.6 dargestellt sind, beschreiben als h(n) = b 0 δ(n) + b 1 δ(n 1) Abbildung 5.6.: Impulsantwort des in Abbildung 5.5 dargestellten Filters Möchte man die spektralen Eigenschaften dieses Systems analysieren, so lässt sich durch Anwendung der Fourier Transformation der Frequenzgang H(f) = Y (f) X(f) bestimmen zu Y (f) = b 0 X(f) + b 1 X(f) e j π f T H.G. Hirsch 145 Digitale Signalverarbeitung

146 5. Digitale Filter H(f) = Y (f) X(f) = b 0+b 1 e j π f T = b 0 +b 1 cos ( π f T )+j ( b 1 ) sin ( π f T ) Damit ergibt sich der Betrag H(f) der Übertragungsfunktion zu H(f) = Re + Im = [b 0 + b 1 cos ( π f T )] + b 1 sin ( π f T ) = b 0 + b 0 b 1 cos ( π f T ) + b 1 cos ( π f T ) + b 1 sin ( π f T ) = b 0 + b 1 + b 0 b 1 cos ( π f T ) Der Betrag H(f) des Frequenzgangs lässt sich für die Werte b 0 = b 1 = 1 sowie b 0 = 1 und b 1 = ( 1) bestimmen zu: b 0 = 1 b 1 = 1 : H(f) = + cos ( π f T ) ( α ) 1 + cos α Es gilt : cos = ± b 0 = 1 b 1 = 1 : ( α ) cos = ± + cos α ( H(f) = cos (π f T ) = cos π f ) T iefpass f a H(f) = cos ( π f T ) ( α ) 1 cos α Es gilt : sin = ± ( α ) sin = ± cos α ( H(f) = sin (π f T ) = sin π f ) Hochpass Die resultierenden Verläufe der Amplitudengänge werden in Abbildung 5.7 wiedergegeben. Für den Fall b 1 = 1 besitzt die Übertragungsfunktion dieser einfachen Anordnung eine Tiefpasscharakteristik und für b 1 = ( 1) eine Hochpasscharakteristik. f a H.G. Hirsch 146 Digitale Signalverarbeitung

147 5. Digitale Filter Abbildung 5.7.: Zwei mögliche Frequenzgänge des in Abbildung 5.5 dargestellten Filters Ein derartiges Hochpassfilter wird beispielsweise zur Höhenanhebung in der Sprachverarbeitung verwendet mit b 0 = 1 und b 1 = 0, , 98 bei einer Abtastfrequenz von 8 khz. Damit werden Spektralkomponenten im niedrigeren Frequenzbereich gedämpft, die den größten Energieanteil eines Sprachsignals beinhalten. Umgekehrt werden höherfrequente Komponenten angehoben, bei denen Sprache geringere Energie besitzt, die aber für bestimmte Laute, z. B. Zischlaute, informationstragend sind. Deshalb spricht man bei dieser Filterung auch von einer Höhenanhebung (Preemphasis). Insgesamt wird durch diese Filterung ein Signal erzeugt, bei dem die Energie gleichmäßiger über das gesamte Spektrum verteilt ist. 5.. Z Transformation Das Verhalten digitaler Filter im Spektralbereich kann durch die Verwendung der Z Transformation einfacher beschrieben und besser veranschaulicht werden als durch alleinige Verwendung der Fourier Transformation. In Analogie zur Laplace Transformation bei analogen Signalen gewährleistet die Z Transformation bei zeitdiskreten H.G. Hirsch 147 Digitale Signalverarbeitung

148 5. Digitale Filter Signalen auch eine Konvergenz für Signale, die beispielsweise Pole oder Dirac Stösse im Spektrum besitzen und für die die Fourier Transformation keine Konvergenz aufweist. Die Z Transformation eines zeitdiskreten Signals x(n) ist im Allgemeinen definiert zu X(z) = n= x (n T ) z n T T =1 = n= x(n) z n Dabei stellt z den komplexen Wert z = e (σ+j π f) dar. Damit ist das Z Spektrum in einer komplexen Ebene definiert: X(z) = n= x (n T ) z n T = n= x (n T ) e σ n T e j π f n T Durch die Multiplikation mit dem Term e σ n T kann man auch für Signale, die keine Konvergenz besitzen, bei einem entsprechend gewählten σ die Konvergenz des Signals x (n T ) e σ n T erreichen. Beschränkt man sich auf Signale, deren Fourier Transformierte Konvergenz aufweisen, können Z Transformierte und Fourier Transformierte ineinander überführt werden durch Setzen von σ = 0. Ausgehend von der Darstellung X(z) = n= x(n) z n, die sich mit T = 1 ergeben hatte, kann durch Substitution mit z = e j π f T = e j π f fa das Fourier Spektrum X(f) = n= x (n T ) e j π f T = n= x (n T ) e j π f fa bestimmt werden. Das Fourier Spektrum findet sich dann in der komplexen Z Ebene auf dem Einheitskreis z = 1, wie es in Abbildung 5.8 veranschaulicht wird. H.G. Hirsch 148 Digitale Signalverarbeitung

149 5. Digitale Filter Abbildung 5.8.: Auftreten der Fourier Transformierten auf dem Einheitskreis der Z Transformierten Das Spektrum H(f) im Bereich von 0 f fa, das die Übertragungsfunktion eines digitalen Filters schon vollständig festlegt, findet man auf dem oberen Halbkreis. Die Betrachtung des unteren Halbkreises in der komplexen Ebene, bei dem bis auf das Vorzeichen des Imaginärteils die gleichen Werte wie auf dem oberen Halbkreis auftreten, verdeutlicht nochmals das Auftreten der konjugiert komplexen Werte H ( f a + f) = H ( f a f) im Bereich von fa < f < f a. Für Frequenzen oberhalb von f a wiederholt sich gemäß der fortgesetzten Bewegung auf dem Einheitskreis das Spektrum im Bereich 0 f f a periodisch. Bei der Z Transformation gelten ebenfalls die Theoreme der Fourier Transformation. Insbesondere geht die Faltung im Zeitbereich in eine Multiplikation im Z Spektrum über: y(n) = x(n) h(n) Y (z) = X(z) H(z) Für das in Abschnitt 5.1 verwendete Beispiel eines einfachen digitalen Filters ergibt sich die Übertragungsfunktion bei Anwendung der Z Transformation zu Y (f) = b 0 X(f) + b 1 X(f) e j π f T Mit e j π f T = z Y (z) = b 0 X(z) + b 1 X(z) z 1 H(z) = Y (z) X(z) = b 0 + b 1 z 1 Die Verzögerung um ein Abtastintervall T führt bei Betrachtung der Z Transformierten zu einer Multiplikation mit dem Phasenterm z 1. Dies verdeutlicht, dass H.G. Hirsch 149 Digitale Signalverarbeitung

150 5. Digitale Filter man für ein lineares, zeitinvariantes, diskretes System die Z Transformierte auf einfache Weise bestimmen kann. Tritt bei einem Filter eine Verzögerung eines Signals um N Abtastintervalle auf, so definiert sich gemäß dem Verschiebungstheorem das resultierende Z Spektrum als Multiplikation der Z Transformierten X(z) des Signals mit dem Phasenterm z N. x(n) (n N) = x (n N) X(z) z N Durch die Substitution z = e j π f T = e j π f fa kann aus der Übertragungsfunktion H(z) der Frequenzgang H(f) unmittelbar bestimmt werden. Die recht anschauliche Analyse der Eigenschaften des Filters, die man aus der Darstellung der Übertragungsfunktion H(z) als das Verhältnis eines Zähler- und eines Nennerpolynoms gewinnen kann, werden in den nachfolgenden Abschnitten erläutert FIR Filter Im ersten Abschnitt dieses Kapitels wurden beispielhaft zwei Filter vorgestellt, deren Impulsantworten zeitlich begrenzt aus bzw. aus 5 Werten bestehen. Für derartige Filter, die durch eine Impulsantwort endlicher Länge charakterisiert sind, verwendet man die Bezeichnung Finite Impulse Response (FIR) Filter. Alle Filter mit einer nicht-rekursiven Struktur, wie es beispielhaft in Abbildung 5.9 dargestellt ist, sind FIR Filter. Nicht rekursiv bedeutet, dass es keine Rückkopplung des Ausgangssignals y(n) in dieser Schaltungsanordnung gibt. Das Ausgangssignal y(n) setzt sich aus einer Summe gewichteter und um bis zu N Abtastintervalle zurückliegender Abtastwerte des Eingangssignals x(n) zusammen. Man bezeichnet die in Abbildung 5.9 dargestellte Filterstruktur auch als Transversalfilter. Es wird der Begriff der Filterordnung eingeführt, der der Anzahl von Verzögerungselementen entspricht, die zur Generierung der größten Verzögerung des Eingangssignals benötigt werden. Die Filterordnung ist in diesem allgemeinen Beispiel folglich N. Die Faktoren b k bezeichnet man als Filterkoeffizienten. H.G. Hirsch 150 Digitale Signalverarbeitung

151 5. Digitale Filter Abbildung 5.9.: Struktur eines Transversalfilters Das Ausgangssignal y(n) läßt sich als Differenzengleichung beschreiben zu y(n) = b 0 x(n)+b 1 x(n 1)+b x(n )+...+b N 1 x [n (N 1)]+b N x(n N) Durch Anwendung der Z Transformation läßt sich die Übertragungsfunktion H(z) bestimmen zu Y (z) = b 0 X(z)+b 1 X(z) z 1 +b X(z) z +...+b N 1 X(z) z (N 1) +b N X(z) z N H(z) = Y (z) X(z) = b 0 + b 1 z 1 + b z b N 1 z (N 1) + b N z N = N b k z k Die Übertragungsfunktion H(z) lässt sich einfach umformen, so dass nur positive Exponenten bei den z Termen auftreten: k=0 H(z) = b 0 z N + b 1 z N 1 + b z N b N 1 z 1 + b N z N Im Zähler tritt dabei ein Polynom vom Grad N auf. Ermittelt man die Nullstellen dieses Polynoms und betrachtet deren Lage in der komplexen Z Ebene, so lässt sich damit auf einfache Weise feststellen, bei welchen Frequenzen der Frequenzgang des Filters Minima aufweist. Man erhält somit eine grobe Vorstellung über das Aussehen der Frequenzcharakteristik des Filters. Diese Betrachtungsweise wird bei der Darstellung der IIR Filter detaillierter vorgestellt. Der Term z N im Nenner, mit dem man eine N-fache Nullstelle des Nennerpolynoms im Ursprung verknüpfen kann, stellt einen reinen Phasenterm dar, der keinen Einfluß auf den Betrag der Übertragungsfunktion H(f) hat. Der Punkt im Ursprung besitzt zu allen z Werten H.G. Hirsch 151 Digitale Signalverarbeitung

152 5. Digitale Filter auf dem Einheitskreis den gleichen Abstand, was veranschaulicht, dass H(f) somit nicht verändert wird. Nicht rekursive Filter sind wegen der fehlenden Rückkopplung immer stabil, wobei der Begriff der Stabilität bei der Betrachtung nicht-rekursiver Filter noch genauer erläutert wird. FIR Filter sind zudem linearphasig, wenn die Filterkoeffizienten eine der in Abbildung 5.10 gezeigten Symmetrien aufweisen. Abbildung 5.10.: Symmetrische Impulsantworten linearphasiger FIR Filter Man bezeichnet derartige Filter als linearphasig, weil der Phasengang der Übertragungsfunktion eine lineare Abhängigkeit der Phase von der Frequenz aufweist. Der Phasengang Φ(f) läßt sich mittels beschreiben. Φ(f) = π f N T = π N f f a Anschaulich bedeutet das linearphasige Verhalten eine zeitliche Verschiebung des Signalverlaufs am Ausgang um N Abtastintervalle ohne Verzerrungen im Vergleich zum Signalverlauf am Eingang. Diese anschauliche Betrachtungsweise läßt sich formal als konstante Gruppenlaufzeit τ g beschreiben. Die Gruppenlaufzeit ist definiert als die Ableitung der Phase über der Frequenz zu τ g = 1 Φ(f) π f. Aus dem zuvor angegebenen Phasengang für Filter mit symmetrischer Anordnung der Filterkoeffizienten folgt somit eine konstante Gruppenlaufzeit τ g = 1 π Φ(f) f = 1 ( π π N ) T = N T H.G. Hirsch 15 Digitale Signalverarbeitung

153 5. Digitale Filter Dies wird auch in Abbildung 5.11 verdeutlicht, in dem die Filterung zweier Schwingungen eines Sinussignals mit einer dreieckförmigen Impulsantwort eines symmetrischen FIR Filters der Ordnung 6 dargestellt ist. Abgesehen von den Ein- und Ausschwingvorgängen zu Beginn und am Ende des Signalabschnitts bleibt die Form der Sinusschwingung unbeeinflusst. Es kommt allerdings zu einer zeitlichen Verschiebung des Ausgangssignals um N = 3 Abtastwerte. Die Gruppenlaufzeit entspricht der zeitlichen Verschiebung, die im ersten Abschnitt dieses Kapitels vorgenommen werden musste, um aus dem nicht kausalen Filter, dessen Impulsantwort h(n) Werte ungleich Null für negative Indices n besitzt, ein kausales Filter zu definieren, dessen Impulsantwort Werte ungeich Null nur für n 0 besitzt. Abbildung 5.11.: Ausgangssignal y(n) eines symmetrischen FIR Filters nach Faltung von x(n) mit h(n) Mit FIR Filtern können die häufig benötigten Basis Filtercharakteristiken wie Tiefpaß, Hochpaß, Bandpaß und Bandsperre als auch komplexere Filterstrukturen realisiert werden IIR Filter Im Gegensatz zu FIR Filtern besitzen Infinite Impulse Response (IIR) Filter eine Impulsantwort, die keine endliche Länge aufweist. Dies ist die Folge einer Rückkopp- H.G. Hirsch 153 Digitale Signalverarbeitung

154 5. Digitale Filter lung des Ausgangssignals, wie es in der allgemeinen Darstellung eines rekursiven Filters in Abbildung 5.1 zu sehen ist. Der obere Teil des Bildes entspricht dem bereits zuvor gezeigten FIR Transversalfilter. Des Weiteren werden auch um bis zu N Abtastintervalle zurückliegende Werte des Ausgangssignals gewichtet aufaddiert. Das Ausgangssignal läßt sich beschreiben als Differenzengleichung mit a 0 y(n) = b 0 x(n)+b 1 x(n 1)+...+b N x(n N) a 1 y(n 1) a y(n )... a M y(n N) = N N b k x(n k) a k y(n k) k=0 k=1 Abbildung 5.1.: Nicht-kanonische Direktstruktur eines IIR Filters Es wird hier eine Darstellung gewählt, bei der um bis zu N Abtastintervalle zurückliegende Werte des Eingangssignals x(n) und um ebenfalls bis zu N Abtastintervalle zurückliegende Werte des Ausgangssignals y(n) berücksichtigt werden. Diese Betrachtung entspricht den meisten in der Praxis eingesetzten Filter. Grundsätzlich muss nicht die gleiche Anzahl zurückliegender Eingangswerte und zurückliegender Ausgangswerte berücksichtigt werden. Dies lässt sich in der Darstellung in Abbildung 5.1 in der Weise realisieren, dass entweder die Filterkoeffizienten b N, b N 1,... oder die Filterkoeffizienten a N, a N 1,... den Wert Null annehmen. Die Ordnung des Filters resultiert aus der maximalen Anzahl von Verzögerungen im Vorwärts- oder im Rückwärtszweig. In dieser allgemeinen Darstellung nimmt die Filterordnung den Wert N an. Die Vorteile des Versehens der Filterkoeffizenten a 1 bis a N mit dem negativen Vor- H.G. Hirsch 154 Digitale Signalverarbeitung

155 5. Digitale Filter zeichen werden später erläutert. Die Übertragungsfunktion H(z) dieser allgemeinen Darstellung eines IIR Filters ergibt sich mit Hilfe der Z Transformation zu a 0 Y (z) = b 0 X(z) + b 1 X(z) z b N X(z) z N a 1 Y (z) z 1 a Y (z) z... a N Y (z) z N Y (z) (a 0 + a 1 z 1 + a z a N z N) = X(z) (b 0 + b 1 z b N z N) H(z) = Y (z) X(z) = b 0 + b 1 z b N z N a 0 + a 1 z 1 + a z a N z N = N b k z k k=0 N a k z k An dieser Stelle wird deutlich, warum die Filterkoeffizienten a 1 bis a N mit dem negativen Vorzeichen versehen wurden. Dadurch erhält man eine Beschreibung der Übertragungsfunktion H(z) mit einem Zähler- und einem Nennerpolynom, bei denen bei beiden eine Summe von Polynomtermen auftritt. Beispielsweise wird später noch gezeigt, dass man durch ein einfaches Vertauschen der Filterkoeffizienten des Zählerund des Nennerpolynoms eine inverse Filtercharakteristik erzeugen kann. In den meisten Fällen wird der Verstärkungsfaktor a 0, mit dem die Werte des Ausgangssignals y(n) gewichtet werden, den Wert 1 an. Dann ergibt sich die Übertragungsfunktion H(z) zu H(z) = N b k z k k=0 1 + N a k z k Die Polynome der Übertragungsfunktion H(z) im Zähler und Nenner können durch Multiplikation mit z N im Zähler und im Nenner sowie durch eine Faktorisierung des Zähler- und des Nennerpolynoms mit Hilfe der Nullstellen des jeweiligen Polynoms in einer anderen Form dargestellt werden: k=1 k=0 H(z) = N b k z k k=0 1 + N a k z k k=1 z N z N = b 0 z N + b 1 z N b N z N + a 1 z N 1 + a z N a N H.G. Hirsch 155 Digitale Signalverarbeitung

156 5. Digitale Filter = b 0 (z o 1 ) (z o )... (z o N ) (z p 1 ) (z p )...(z p N ) Die im Allgemeinen N komplexen Werte o i werden als Nullstellen von H(z) und die N Werte p i als Polstellen oder Pole von H(z) bezeichnet. Die Nullstellen und Pole können in der komplexen Z Ebene dargestellt werden. Diese Darstellung wird als Pol-/Nullstellendiagramm bezeichnet, dem wesentliche Eigenschaften des Filters entnommen werden können. Unter anderem lässt sich aus der Lage der Null- und Polstellen in der komplexen Z Ebene bereits der grobe Verlauf des Frequenzgangs H(f) abgeschätzen. Zunächst gilt grundsätzlich, daß reele Koeffizienten a i und b i zu Polen und Nullstellen führen, die entweder selbst reel sind oder in einem konjugiert komplexem Paar von Polen oder Nullstellen resultieren. Aus der Lage der Pole in der komplexen Z Ebene kann man die Stabilität des Filters erkennen. Ein zeitdiskretes System heißt stabil, wenn sich bei einer Folge amplitudenbeschränkter Eingangswerte x(n) < auch am Ausgang eine Folge amplitudenbeschränkter Werte y(n) < einstellt. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn für die Impulsantwort h(n) gilt: h(n) < Dieser Bedingung im Zeitbereich entspricht bei Betrachtung der Z Transformierten eine Lage der Polstellen innerhalb des Einheitskreises, also bei einem stabilen Filter muss gelten: p i < 1 für alle i. Das Nennerpolynom von H(z) darf weder Null werden noch negative Werte annehmen, wenn man die Werte von z auf dem Einheitskreis zur Bestimmung von H(f) betrachtet. Würde das Nennerpolynom für einen bestimmten Bereich von z auf dem Einheitskreis negative Werte annehmen, so lässt sich daraus schlussfolgern, dass unter der Massgabe eines stetigen Funktionsverlaufs das Polynom auch für einen bestimmten z Wert Null werden muss. Nimmt das Nennerpolynom den Wert Null an, so resultiert daraus das instabile Verhalten mit H(z). Damit ergeben sich die Bedingungen, dass Polstellen weder auf dem Einheitskreis noch außerhalb des Einheitskreises liegen dürfen, um die Stabilität zu gewährleisten. Diese Bedingung wird in Abbildung 5.13 veranschaulicht, in der der Stabilitätsbereich für die Lage der Pole in der komplexen Z Ebene dargestellt ist. n=0 H.G. Hirsch 156 Digitale Signalverarbeitung

157 5. Digitale Filter Abbildung 5.13.: Stabilitätsbereich für die Lage der Pole von H(z) Im Folgenden wird beispielhaft das in Abbildung 5.14 dargestellte Filter. Ordnung analysiert. Abbildung 5.14.: IIR Filter. Ordnung Das Ausgangssignal lässt sich beschreiben als Differenzengleichung H.G. Hirsch 157 Digitale Signalverarbeitung

158 5. Digitale Filter y(n) = 0, 45 x(n) 0, 45 x(n ) 0, 51 y(n ) Daraus lässt sich die Übertragungsfunktion H(z) bestimmen zu y(n) = 0, 45 x(n) 0, 45 x(n ) 0, 51 y(n ) Y (z) = 0, 45 X(z) 0, 45 X(z) z 0, 51 Y (z) z Y (z) (1 + 0, 51 z ) = 0, 45 X(z) (1 z ) H(z) = Y (z) X(z) = 0, 45 1 z 1 + 0, 51 z Zur Bestimmung der Nullstellen und Pole der Übertragungsfunktion wird die Übertragungsfunktion umgeformt: H(z) = 0, 45 1 z z 1 + 0, 51 z z = 0, 45 z 1 z + 0, 51 Nullstellen : z 1 = 0 o 1 = 1 o = 1 P olstellen : z + 0, 51 = 0 p 1, = ± 0, 51 p 1 = 0, 7141 j p = 0, 7141 j Die Lage der reelen Nullstellen in der komplexen Z Ebene ist mit kleinen Kreisen und die Lage des konjugiert komplexen Polpaares mit Kreuzen in Abbildung 5.15 markiert. H.G. Hirsch 158 Digitale Signalverarbeitung

159 5. Digitale Filter Abbildung 5.15.: Lage der Null- und Polstellen des Filters. Ordnung Aus der Lage der Null- und Polstellen kann man einfach und schnell den Frequenzgang abschätzen. Aus dem Winkel, unter dem eine Null- oder Polstelle auftritt, kann man näherungsweise auf die Frequenz schließen, bei der im Frequenzgang ein Extremwert auftritt. Die Zuordnung der Frequenzen von 0 bis zur halben Abtastfrequenz gemäß der Bewegung auf dem oberen Halbkreis wurde in Abbildung 5.8 auf Seite 149 verdeutlicht. Dabei resultiert aus einer Nullstelle, also einem Wert, bei dem das Zählerpolynom den Wert Null annimmt, ein Minimum im Frequenzgang. Umgekehrt resultiert aus einer Polstelle, also einem Wert, bei dem das Nennerpolynom einen Wert nahe Null annimmt, ein Maximum im Frequenzgang. Die Übertragungsfunktion H(f) ergibt sich aus den Werten von H(z) auf dem Einheitskreis. Daher fällt ein Minimum oder Maximum umso extremer aus, je näher die Null- oder Polstelle am Einheitskreis liegt. Liegt eine Nullstelle auf dem Einheitskreis, so nimmt die Übertragungsfunktion H(f) bei der zugehörigen Frequenz den Wert Null an. In dem betrachteten Beispiel resultiert somit aus der Nullstelle o = 1, die unter dem Winkel von ϕ = 0 auftritt, H(f = 0) = 0 und aus der Nullstelle o 1 = 1, die unter dem Winkel von ϕ = π auftritt, H ( ) f = fa = 0. Damit werden Frequenzanteile bei f = 0 (= Gleichanteil) und bei f = fa durch dieses Filter vollständig unterdrückt. H.G. Hirsch 159 Digitale Signalverarbeitung

160 5. Digitale Filter Aus der Polstelle, die auf der imaginären unter dem Winkel von ϕ = π auftritt, resultiert ein Maximum bei f = fa. Die konjugiert komplexe Polstelle im negativen 4 Bereich der imaginären Achse beschreibt das wiederholte Auftreten des Maximums oberhalb von fa bei f = 3 f 4 a. Aus dieser kurzen Analyse der Lage von Null- und Polstellen kann man folgern, dass das Filter eine Bandpasscharakteristik besitzt. Die genaue Berechnung einiger Werte von H(f) kann durch die Substitution z = e j π f fa vorgenommen werden: H(f) z=ej π f fa H(f = 0) = 0, 45 H = 0, 45 ( f = f ) a = 0, 45 4 (e j π f fa ) 1 ) (e j π f = 0, 45 fa + 0, 51 ( , 51 = 0 H f = f ) a = 0, 45 e j π 1 e j π + 0, 51 = 0, , 51 e j 4 π f fa 1 e j 4 π f fa + 0, 51 e j π 1 e j π + 0, 51 = 0 = 0, 49 0, 49 = 1 Eine nähere Lage der Polstellen am Einheitskreis würde zu einem größeren Wert von H ( ) f = fa 4 führen. Der genaue Verlauf des Betrags der Übertragungsfunktion ist in Abbildung 5.16 wiedergegeben. Mit IIR Filtern können auch alle Basis-Filterstrukturen wie Tiefpaß, Hochpaß, Bandpaß und Bandsperre realisiert werden. H.G. Hirsch 160 Digitale Signalverarbeitung

161 5. Digitale Filter Abbildung 5.16.: Frequenzgang H(f) des Filters.Ordnung 5.5. Realisierungsaspekte Die Struktur des in Abbildung 5.1 dargestellten IIR Filters bezeichnet man als nicht-kanonische Direktform. Eine alternative Darstellung in der sogenannten 1. kanonischen Direktform ist in Abbildung 5.17 wiedergegeben. Abbildung 5.17.: 1. kanonische Direktform eines IIR Filters Die Bezeichnung kanonisch beinhaltet dabei einen Aufbau des Filters mit der minimalen Anzahl von Grundelementen, also des Addierers mit zwei Eingängen, des H.G. Hirsch 161 Digitale Signalverarbeitung

162 5. Digitale Filter Multiplizierers mit einer Konstanten und des Speicherelements zum Speichern des vorhergehenden Abtastwerts. Für ein IIR Filter, bei dem der maximale Grad des Zählerpolynoms oder des Nennerpolynoms N ist, ergibt sich die Anzahl der Verzögerungselemente zu N Addierer zu N Multiplizierer zu N + 1. In der Praxis realisiert man ein Filter höherer Ordnung häufig durch eine Kaskadierung (Hintereinanderschaltung) von IIR Filtern der Ordnung. Die Übertragungsfunktion ergibt sich als Produkt der Übertragungsfunktionen der kaskadierten Filter. Ordnung. Bei Betrachtung der logarithmierten Betrags- oder Leistungsdichtespektren geht das Produkt in eine Summe über. Die logarithmierten Frequenzgänge lassen sich folglich einfach additiv überlagern. H(z) = H 1 (z) H (z)... log H(f) = log H 1 (f) + log H (f) +... Im Gegensatz zu FIR Filtern besitzen IIR Filter im Allgemeinen keinen linearen Phasengang und damit eine frequenzabhängige Gruppenlaufzeit. Die Gruppenlaufzeit ist jedoch häufig kleiner als die eines symmetrischen FIR Filters. FIR Filter sind immer stabil, wohingegen IIR Filter instabil sein können. FIR Filter sind weniger empfindlich gegenüber Quantisierungseffekten aufgrund der Quantisierung der Filterkoeffizienten mit einer begrenzten Anzahl von Bits und damit einer begrenzten Genauigkeit in Digitalrechnern. Bei IIR Filtern können derartige Quantisierungsungenauigkeiten durch die mehrfache Verwendung eines Filterkoeffizienten aufgrund der Rückkopplung zu Abweichungen von der gewünschten Filtercharakteristik führen. Eine bestimmte Filtercharakteristik in einem vorgegeben Toleranzschema läßt sich in der Regel durch IIR Filter mit einer geringeren Ordnung als bei einem FIR Filter realisieren. Damit sind der Realisierungsaufwand und die benötigte Rechenkapazität in diesem Fall beim IIR Filter geringer. H.G. Hirsch 16 Digitale Signalverarbeitung

163 5. Digitale Filter 5.6. Spezielle Filter Es gibt einige Anwendungen, bei denen man ein Filter mit einem inversen Frequenzgang G(z) = 1 benötigt. Dies wird beispielsweise bei der Codierung und Decodierung eines Sprachsignals zur Sprachübertragung im Mobilfunk eingesetzt. H(z) Zur Codierung auf der Senderseite werden für jeweils kurze Signalabschnitte mit einer Länge von etwa 0 ms die Filterkoeffizienten eines adaptiven FIR Filters bestimmt, mit dem dann der jeweilige Signalabschnitt gefiltert wird. Die Filterkoeffizienten werden auf die Empfängerseite übertragen. Zur Rekonstruktion des Sprachsignals beim Empfänger wird dann eine Filterung mit dem inversen Frequenzgang G(z) benötigt, damit sich insgesamt eine Übertragungsfunktion H(z) G(z) = H(z) 1 H(z) = 1 ergibt. Verwendet man zur Beschreibung von H(z) die Darstellung mit Null- und Polstellen so ergibt sich H(z) = (z o 1) (z o )... (z o N ) (z p 1 ) (z p )...(z p N ) G (z) = 1 H(z) = (z p 1) (z p )...(z p N ) (z o 1 ) (z o )... (z o N ) = zn + a 1 z N 1 + a z N a N z N + b 1 z N 1 + b z N b N Es wird deutlich, dass man durch ein Vertauschen von Null- und Polstellen die Charakteristik G(z) erhält. Mit der Forderung eines stabilen Filters mit der Übertragungsfunktion G(z) bedingt dies eine Lage der Nullstellen von H(z) innerhalb des Einheitskreises, damit die Polstellen von G(z) das Stabilitätskriterium erfüllen. Der Darstellung von G(z) mit den Filterkoeffizienten a i und b i kann man entnehmen, dass man durch ein einfaches Vertauschen der Filterkoeffizienten a 1 bis a N und der Koeffizienten b 1 bis b N des Filters H(z) (b 0 = 1) die inverse Charakteristik erzeugen kann. Gemäß der Filterdarstellung in Abbildung 5.17, aus der die Beschreibungen von H(z) und G(z) mit den Koeffizienten b i und a i resultierte, sind die Werte a i noch um ein negatives Vorzeichen zu ergänzen. Dies bedeutet in der praktischen Realisierung, dass die Werte von b i zu negieren sind, um sie als Filterkoeffizienten im Rückkopplungszweig zu verwenden. Neben der Bestimmung der inversen Filtercharakteristik wird an dieser Stelle noch einmal die Herleitung eines Hoch- oder Bandpasses aus einem Prototyp TP betrach- H.G. Hirsch 163 Digitale Signalverarbeitung

164 5. Digitale Filter tet, wie es im Kapitel zur Fourier Transformation dargestellt wurde. Die Impulsantwort des Band- oder Hochpasses ergab sich dabei aus einer Multiplikation der Werte der Impulsantwort des TP mit einer Cosinusfunktion, deren Frequenz die Verschiebung der TP Charakteristik auf der Frequenzachse definiert. Konkret ergab sich beispielsweise für die Impulsantwort des HP: h HP (n) = h T P (n) cos (π n) Die zeitdiskrete Funktion cos(π n) beinhaltet dabei die alternierende Folge von Werten +1 und 1. Zu Beginn dieses Kapitels wurde erläutert, dass die Werte der Impulsantwort unmittelbar als Koeffizienten eines FIR Filters verwendet werden können. Dies bedeutet, dass man durch die einfache Negierung jedes zweiten Filterkoeffizienten eines TP FIR Filters eine Hochpasscharakteristik erzeugen kann Filterentwurf Nachdem in den vorangegangenen Abschnitten das Verhalten und die Eigenschaften digitaler Filter vorgestellt wurden, bleibt die Frage, wie ein Filter zu entwerfen ist, das eine bestimmte Filtercharakteristik mit einem gewünschten Frequenzgang aufweist. Konkret führt dies zu der Frage, welche Ordnung das Filter und welche Werte die Filterkoeffizienten eines FIR oder IIR Filters anzunehmen haben, um einen bestimmten Frequenzgang zu erzielen. In diesem Abschnitt wird die prinzipielle Vorgehensweise zur Bestimmung der Filterkoeffzienten für IIR und FIR erläutert, ohne auf die im Detail recht komplexen algorithmischen Lösungen einzugehen. In nahezu allen verfügbaren Programmpaketen zur digitalen Signalverarbeitung finden sich Programme, die die verschiedenen Entwurfsverfahren beinhalten und die zur Findung der Filterkoeffizienten verwendet werden können. Der Entwurf von IIR Filtern beruht auf den bekannten Verfahren zur Bestimmung analoger Filter mit einer bestimmten Filtercharakteristik. Der Entwurf analoger Filter wiederum basiert auf dem Ansatz, daß der Betrag des Frequenzgangs in einem vorgegebenen Toleranzschema liegt, wie es beispielhaft für einen Tiefpaß in Abbildung 5.18 dargestellt ist. In Analogie dazu kann man auch für Hochpaß, Bandpaß und Bandsperre entsprechende Toleranzschemata definieren. H.G. Hirsch 164 Digitale Signalverarbeitung

165 5. Digitale Filter Abbildung 5.18.: Toleranzschema zum Entwurf eines Tiefpasses Das gezeigte Toleranzschema beinhaltet die Anforderung an den Betrag des Frequenzgangs, innerhalb des hell markierten Bereichs zu verlaufen und damit eine bestimmte Flankensteilheit beim Übergang vom Durchlaß- zum Sperrbereich und eine maximale Welligkeit im Durchlaß- und im Sperrbereich zu gewährleisten. Das Verhalten im Sperrbereich lässt ( ) sich durch den Wert von h 1 als mindestens zu erreichende Dämpfung 0 log 1 h 1 in db, das Verhalten im Durchlassbereich durch ( 1 den Wert von h als maximal erlaubte Welligkeit 0 log in db beschreiben. 1 h ) Es existieren verschiedene Approximationsverfahren zum Filterentwurf, die sich bezüglich der Anforderungen an den Verlauf des Frequenzgangs unterscheiden. Die 4 Verfahren werden in Abbildung 5.19 veranschaulicht, wobei die dargestellten Frequenzgänge durch Filterentwurf mit den jeweils angegebenen Parametern mit Hilfe der Matlab Signalverarbeitungsroutinen bestimmt wurden. H.G. Hirsch 165 Digitale Signalverarbeitung

166 5. Digitale Filter Abbildung 5.19.: Approximationsverfahren zum Entwurf von IIR Filtern Die Butterworth Approximation beinhaltet die Forderung eines möglichst flachen Verlaufs des Betragsspektrums im Durchlass- und Sperrbereich. Die Tschebyscheff Approximationen vom Typ I und II erlauben eine Welligkeit entweder im Durchlassbereich (Typ I) oder im Sperrbereich (Typ II). Bei der Approximation nach Cauer wird sowohl im Durchlass- als auch im Sperrbereich eine Welligkeit zugelassen. Alle Verfahren beruhen auf der Wahl bestimmter Funktionen zur Approximation des gewünschten Filterverlaufs, wobei sich die prinzipiellen Funktionstypen der Verfahren unterscheiden. Beispielsweise werden die nach dem Cauer Verfahren bestimmten Filterfunktionen auch als elliptische Filter bezeichnet, da zur Approximation elliptische Funktionen verwendet werden. Die schließlich gewählte Funktion mit den für das Filter spezifischen Parametern läßt sich als Laplace Transformierte H(p) darstellen. Aus H(p) läßt sich mit Hilfe der sogenannten bilinearen Transformation durch die Substitution p = T 1 z 1 1+z 1 die Übertragungsfunktion H(z) bestimmen. Anschaulich bildet die bilineare Transformation den Frequenzgang, der sich auf der imaginären Achse der Laplace Transformierten findet, auf den Einheitskreis in der komplexen Z Ebene ab. Damit sind die H.G. Hirsch 166 Digitale Signalverarbeitung