Aufgaben zur Varianzanalyse

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1 Aufgaben zur Varianzanalyse 1. Eine Firma möchte eine von fünf verschieden Maschinen kaufen: A, B, C, D oder E. Zur Entscheidungsfindung werden die Maschinen nach folgendem Experiment getestet: Es werden fünf verschiedene Benchmark-Jobs definiert und auf jeder der fünf Maschinen werden diese Jobs durchgeführt. Die Performance der Benchmark-Jobs (in Zeiteinheiten) auf den einzelnen Maschinen ist in der folgenden Tabelle dargestellt. A B C D E Job Job Job Job Job Bestehen Unterschiede bezüglich der Performance der Maschinen? 2. Man ergänze die fehlenden Werte in den folgenden Varianzanalysetabellen: a) Freiheits-grade Mittl. Quadratsumme Faktor A Faktor B 2 5,82 Rest 12 Total 750 F-Wert p-wert b) zwischen d.gruppen innerhalb d.gruppen Quadratsummen Wechselwirkung Quadratsummen Freiheits-grade Total 29 Mittl. Quadratsumme F-Wert 4 F = 4,72. 3,61 p-wert ANOVA-BSP 1

2 3. Vier Benzinmarken wurden bezüglich Verunreinigung untersucht. Die folgende Tabelle enthält die Ergebnisse der Untersuchung für die vier Marken: Marke Anzahl der Versuche (n i ) Mittlere Verunreinigung Standardabweichung A 6 1,8 0,15 B 8 0,9 0,25 C 10 1,4 0,1 D 5 1,6 0,06 Man überprüfe die Hypothese, ob die einzelnen Marken Unterschiede in der Verunreinigung aufweisen. 4. Für drei verschiedene Typen von Lampen wurde die Lebensdauer in einem Experiment getestet. Es ergaben sich folgende Lebensdauern (in Stunden): Typ1 Typ2 Typ Man führe für die Daten die Varianzanalyse durch. Welche Entscheidung trifft man am 5% Signifikanzniveau, welche am 1% Niveau? 5. Drei Nachhilfeinstitute bieten Vorbereitungskurse für Mathematikklausuren an. Von jedem Institut werden 10 KursteilnehmerInnen zufällig ausgewählt und ihre erreichten Punkte bei der Klausur ermittelt. Eine Zusammenfassung der Ergebnisse ist der folgenden Tabelle zu entnehmen: Erreichte Punkte Institut A Institut B Institut C Mittelwert 28,2 32,5 26,3 Standardabweichung 4,2 3,6 4,0 Anzahl Können die Abweichungen in den Leistungen auf reinen Zufall zurückgeführt werden? Welches Institut scheint das Beste zu sein? ANOVA-BSP 2

3 6. Eine Fluggesellschaft hat auf drei Routen die Zufriedenheit der Passagiere auf einer Skala von 1 bis 10 erhoben. Dabei ergaben sich die folgenden Resultate: Zufriedenheit Route A Route B Route C Mittelwert 4,17 6,50 5,83 Standardabweichung 1,47 1,87 2,23 Anzahl Gibt es signifikante Unterschiede zwischen den Gruppen? (α = 0,01) 7. Drei verschiedene Kopierer sollen bezüglich Toner-Verbrauch in Liter pro Kopien verglichen werden. Von jeder Marke wurden 5 Kopierer getestet und folgende Verbrauchswerte gemessen: Marke A Marke B Marke C 3,5 4,6 2,8 4,2 5,2 2,6 2,7 5,4 2,1 2,9 5,1 3,1 3,7 3,4 3,5 a) Man teste zum Niveau α = 0,05 ob es signifikante Unterschiede im Verbrauch gibt. b) Welchen alternativen Test könnten Sie anwenden, wenn es nur zwei Marken gäbe? c) Welche Modellannahmen hat der Test aus a)? 8. Vier Düngemittel wurden hinsichtlich ihrer Wirkung auf den Ertrag untersucht. Dabei ergaben sich die folgenden Werte: Mittel A Mittel B Mittel C Mittel D Mittlerer Ertrag Standardabweichung 2,4 3,1 4,5 2,6 Stichprobenumfang a) Man erstelle ein Varianzanalyse -Tableau. b) Gibt es signifikante Unterschiede zwischen den Gruppen? ANOVA-BSP 3

4 Ein Blockexperiment liegt dann vor, wenn die Grundgesamtheit in Blöcke eingeteilt ist und aus jedem Block eine Stichprobe vorliegt. Im Extremfall kann aus jedem Block nur eine Messreihe vorhanden sein. Bei den folgenden Beispielen 9 11 handelt es sich um Blockexperimente. 9. Es soll untersucht werden, ob sich vier verschieden Zigarettensorten hinsichtlich des Gehaltes einer krebserregenden Substanz unterscheiden. Die Untersuchung wird in 6 verschiedenen Labors durchgeführt, die unterschiedliche personelle und technische Ausstattung haben. Aus Kostengründen wird in jedem Labor nur eine Untersuchung pro Zigarettenmarke durchgeführt. Diese Messwerte werden zu Blöcken zusammengefasst. Es ergaben sich folgende Messergebnisse. Labor Marke 1 Marke 2 Marke 3 Marke Man untersuche mittels zweifacher Varianzanalyse ohne Wechselwirkungen die folgenden Fragen: a) Unterscheiden sich die Zigarettensorten hinsichtlich ihres Gehaltes an krebserregenden Substanzen? b) Unterscheiden sich die Labors in ihren Untersuchungsergebnissen? 10. In der folgenden Tabelle sind die Ernteerträge je Flächeneinheit auf vier verschiedenen Flächen, die mit drei verschiedenen Düngesorten behandelt wurden, zu finden. Fläche1 Fläche2 Fläche3 Fläche4 Dünger A 4,5 6,4 7,2 6,7 Dünger B 8,8 7,8 9,6 7 Dünger C 5,9 6,8 5,7 5,2 Man untersuche mittels zweifacher Varianzanalyse ohne Wechselwirkungen, ob es einen Unterschied beim Ernteertrag a) bezüglich der Dünger und b) bezüglich der Flächen gibt. ANOVA-BSP 4

5 11. Drei Firmen bieten unterschiedliche Präparate zur Verbesserung der physischen Leistung an. Um die Wirkung der Präparate zu vergleichen, werden diese Präparate von vier Testpersonen je eine Woche lang getestet. Dabei wissen die Personen nicht, welches Präparat sie in der jeweiligen Woche erhalten. Die Ergebnisse der Tests (in einem Score) sind in folgender Tabelle angegeben: Person Präparat 1 Präparat 2 Präparat a) Man teste zum Niveau α = 0,05, ob es signifikante Unterschiede zwischen den Präparaten gibt. b) Man teste zum Niveau α = 0,05, ob es signifikante Unterschiede zwischen den Versuchspersonen gibt. c) Ist es möglich mit den Daten einen Test auf Wechselwirkung zwischen Düngemittel und Versuchsfläche durchzuführen? 12. Der Benzinverbrauch von drei Automarken soll unter den zwei Versuchsbedingungen Stadt- und Überlandverkehr getestet werden. Die folgende Tabelle gibt den Benzinverbrauch in Liter je 100 km von jeweils drei Fahrzeugen im Stadt- und Überlandverkehr an Marke A Marke B Marke C Stadt 7,4 8,4 9,5 8,2 9,6 9,1 7,8 9,8 9 Überland 5,5 7,5 7,8 6,2 7,3 8 6,3 6,9 8,1 a) Welche Automarke scheint am wenigsten zu verbrauchen? b) Sind die Unterschiede im Verbrauch der einzelnen Marken signifikant? c) Gibt es Wechselwirkungen zwischen den Marken und den Versuchsbedingungen Stadt und Überland? Alle Tests sind auf einem Niveau α = 0,05 durchzuführen. ANOVA-BSP 5

6 13. In der folgenden Tabelle sind die prozentuellen Veränderungen der Wirtschaftsleistung von drei verschiedenen Branchen gegliedert nach kleinen und großen Betrieben angegeben. Branche Kleinbetrieb Großbetrieb Metallindustrie 3,5-0,2 Textilindustrie 5,4 4,2 Handel 8,6 9,4 Man teste zum Niveau α = 0,05 die folgenden Hypothesen: a) Die einzelnen Branchen haben ein unterschiedliches Wirtschaftswachstum. b) Klein- und Großbetriebe haben ein unterschiedliches Wirtschaftswachstum. 14. Drei verschiedene Medikamente B1, B2 und B3 wurden bei der Behandlung von zwei Arten von Krankheiten verwendet. Für den Behandlungserfolg wurden Maßzahlen erhoben, die in folgender Tabelle angegeben sind. Mittel B1 Mittel B2 Mittel B3 Krankheit Krankheit Man stelle die Daten in geeigneter Weise grafisch dar und analysiere sie in Hinblick auf die folgenden Fragestellungen: a) Welches Medikament scheint am effizientesten? Welches am wenigsten effizient? b) Sind die beiden Krankheiten gleich schwer zu behandeln? c) Gibt es eine Wechselwirkung zwischen den Krankheiten und den Medikamenten? ANOVA-BSP 6