5. Abgabeblatt - Lösungen. Aufgabe 17 Aufgabe 18 Aufgabe 19 Aufgabe 20 Summe:

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1 Lineare Algebra Prof. Dr. R. Dahlhaus Dr. S. Richter, N. Phandoidaen Wintersemester 08/09 5. Abgabeblatt - Lösungen Aufgabe 7 Aufgabe 8 Aufgabe 9 Aufgabe 0 Summe: Übungsgruppe: Namen: Tutor(in): Aufgabe 7 (Lineare Unabhängigkeit in verschiedenen Vektorräumen, 4 = Punkte). Untersuchen Sie die folgenden Mengen von Vektoren auf lineare Unabhängigkeit im angegebenen Vektorraum A im Standardvektorraum F3 3 über F 3. 0 (b) Die Abbildungen f i : R! R (i =,, 3) definiert durch f (x) =sin(x), f (x) =cos(x) und f 3 (x) =sin(x) imr-vektorraum R R. (c), p, p 3imQ-Vektorraum R. (d) (a n ) nn,(b n ) nn,(c n ) nn mit Lösung: im R-Vektorraum R N. a n :=, b n := ( ) n, c n := (, n gerade, 0, n ungerade (a) Die Vektoren sind linear abhängig (im R-VR R 3 wären sie aber linear unabhängig), denn: Ansatz (muss nicht Bestandteil der Lösung sein): Seien,, 3 F 3 mit 0= A + A + 0 A, 0

2 d.h. löse das LGS (Lineares Gleichungssystem) I 0 = II 0 = III 0 = + ( ) III+II!II,III+I!I I 0 0 = + 3 II 0 0 = + 3 III 0 0 = + I und II sind äquivalent, daher genügt es II und III zu betrachten. Eine Lösung ist 3 =, = =, =. es gilt A A A. 0 (b) Die Vektoren f,f,f 3 sind linear unabhängig, denn: Seien,, 3 R mit f + f + 3 f 3 =0 R R, ( ) wobei 0 R R auf der rechten Seite die Nullabbildung 0 R R : R! R, 0 R R(x) :=0bezeichnet. Aus (*) folgt: 8x R : f (x)+ f (x)+ 3 f 3 (x) =0, d.h. 8x R : sin(x)+ cos(x)+ 3 sin(x) =0 ( ). Wähle x =. Dannergibtsichaus(**): = =0,d.h. =0. Wähle x =. Aus (**) folgt: = =0,d.h. =0. Wähle x =. Aus (**) folgt: = =0 4 3 = sin( /4) + cos( /4) + 3 =0,d.h. 3 =0. (c) Die Vektoren, p, p 3sindlinearunabhängig, denn: Seien,, 3 Q mit + p+ 3 p3 =0 ( ) Dann: ) = p+ 3 p3 ) =( p+ 3 p3) = p 6. Fall : 6= 0, 3 6= 0.Dannfolgt p 6= Q (beachte:,, 3 Q), Widerspruch. Dieser Fall kann also nicht eintreten. Fall : =0.Dannfolgt =3 3. p p Fall.: 3 6= 0.Dannfolgtaus(*): = 3 3 ) 3= Q, Widerspruch. Dieser Fall kann also nicht eintreten. 3 Fall.: 3 =0.Dannfolgtaus(*)direkt =0,d.h. = = 3 =0. Fall 3: 3 =0:analogzuFall.

3 Wir haben gezeigt: Jeder Fall ist entweder nicht möglich oder führt zu = = 3 =0. (d) Die Vektoren (a n ) nn,(b n ) nn,(c n ) nn sind linear abhängig. Es gilt nämlich für alle n N: ( (a n + b n )= ( + (, n gerade, )n )= 0, n ungerade = c n, d.h. 8n N : a n + b n c n =0) (a n) nn + (b n) nn (c n ) nn =(0) nn. Aufgabe 8 (Lineare Unabhängigkeit und Basen im R n, 4 = Punkte). Es sei t R. GegebenseienVektorendesR-Vektorraums R 3 durch v := (,,t+), v := (,t+,t), v 3 := (0,t,) (a) Ermitteln Sie, für welche t R die Vektoren v,v,v 3 linear unabhängig sind. Sei ab jetzt t =. (b) Zeigen Sie, dass (v,v,e 3 )einebasisdesr 3 bildet, indem Sie die beiden charakterisierenden Eigenschaften (Erzeugendensystem und linear unabhängig) nachrechnen. Sei U := Lin(v,v )undu := {(x,x,x 3 ) R 3 : x + x + x 3 =0} =Lin(w,w ), wobei w := (, 0, ), w := (0,, ). (c) Bestimmen Sie eine Basis von U \ U. Lösung: (a) Seien,, 3 R mit 0= v + v + 3 v 3. Dies ist äquivalent zum LGS (Lineares Gleichungssystem) (I) 0 = (II) 0 = + (t +) + t 3 (III) 0 = (t +) + t + 3 ( ) I+II!II,( (t+)) I+III!III ( t) III 0 +II 0!II 0 (I) 0 = (II 0 ) 0 = (t +3) + t 3 (III 0 ) 0 = (t +) + 3 (I) 0 = (II 0 ) 0 = ( t t +3) (III 00 ) 0 = (t +) + 3 Betrachte Gleichung (II ). Fall : t t+3 = 0, d.h. t { 3, }. Dannist(II )erfüllt für beliebiges R. (I) (III Wähle zum Beispiel =, = =und 00 ) 3 = (t +) = (t +). Dann gilt v + v + 3 v 3 =0,aber(,, 3) 6= 0. In diesem Fall sind v,v,v 3 also linear abhängig. Fall : t t +36= 0. (II0 ) ) =0 (I),(III00 ) ) =0, 3 =0. In diesem Fall sind v,v,v 3 also linear unabhängig. 3

4 (b) (v,v,e 3 ) ist ein Erzeugendensystem von R 3,denn:Sei(x, y, z) R 3 beliebig. Wir suchen,, 3 R mit (x, y, z) = v + v + 3 e 3, Dies ist äquivalent zum LGS (Lineares Gleichungssystem) (I) x = (II) y = + (III) z = ( ) I+II!II,( 3) I+III!III ( ) II 0 +III 0!III 0, 4 II0 +I!I (I) x = (II 0 ) y x = 4 (III 0 ) z 3x = (I 0 ) x + 4 y = (II 0 ) y x = 4 (III 00 ) z x y = 3 Wähle also = x + 4 y, = x + 4 y, 3 = z x y, danngilt (x, y, z) = v + v + 3 e 3. (v,v,e 3 )istlinearunabhängig, denn: Seien,, 3 R mit 0= v + v + 3 e 3. Dies ist äquivalent zum LGS oben mit x = y = z = 0. Oben wurde bereits gezeigt, dass die einzige Lösung durch = x + 4 y = 0, = x + 4 y = 0 und 3 = z x y =0gegebenist. (c) Wir zeigen: U \ U = Lin((,, 0)) (*). Eine Basis ist dann automatisch durch ((,, 0)) gegeben, da ein Vektor ungleich dem Nullvektor linear unabhängig ist. Beweis von (*): (dient auch als Herleitung der Vermutung (*)): Sei x U \ U. Dann gilt: Es gibt,,µ,µ R mit x = µ v + µ v = w + w. Wir erhalten folgendes lineares Gleichungssystem: (I) 0 = µ + µ (II) 0 = µ µ (III) 0 = + 3µ µ I+III!III II+III 0!III 0 (I) 0 = µ + µ (II) 0 = µ µ (III 0 ) 0 = 4µ (I) 0 = µ + µ (II) 0 = µ µ (III 00 ) 0 = 6µ µ Aus (III ) folgt: µ = 3µ,d.h.x = µ (v 3v )=µ (4, 4, 0) Lin((,, 0)). : Sei x Lin((,, 0)), d.h. es gibt R mit (x,x,x 3 )=x = (,, 0) = (,, 0). Dann gilt x U,denn:x + x + x 3 = +( )+0=0. Es gilt auch x U,denn: 4

5 Ansatz: Suche µ,µ R mit (,, 0) = µ v + µ v, d.h. löse das LGS (I) = µ µ (II) = µ + µ (III) 0 = 3µ + µ ( ) I+II!II,( 3) I+III!III (I) = µ µ (II 0 ) 3 = 4µ (III 0 ) 3 = 4µ (II ) und (III ) sind äquivalent; also betrachte nur (I) und (II ). Aus (II ) folgt µ = 3 4, eingesetzt in (I) folgt µ =+µ = 4. es gilt x = (,, 0) = ( 4 v 3 v 3 4 )= 4 v v 4 Lin({v,v })=U. Aufgabe 9 (Beweise mit linearer Unabhängigkeit und Basen, 4 = + Punkte). Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. (a) Seien U,U V Untervektorräume von V mit der Eigenschaft V = U + U := {u + u : u U,u U } und U \ U = {0 V }. Sei B =(b,...,b n )einebasisvonu, B =(b 0,...,b 0 m)einebasisvonu.zeigensie: B := (b,...,b n,b 0,...,b 0 m)isteinebasisvonv. Es sei nun K = R. (b) Sei B =(b,b,b 3,b 4 )einebasisvonv.fernersei Lösung: a := b b, a := b + b 3 + b 4, a 3 := b 3 b 4. Zeigen Sie: A =(a,a,a 3 )istlinearunabhängig. (a) B ist ein Erzeugendensystem von V,denn: Sei v V beliebig. V =U +U =) Es gibt u U und u U mit v = u + u. B,B Basis =) Es gibt,..., n K und µ,...,µ m K mit u = b n b n und u = µ b µ m b 0 m. =) v = b n b n + µ b µ m b 0 m Lin(B). B ist linear unabhängig, denn: Seien,..., n K und µ,...,µ m K mit b n b n +µ b µ m b 0 m =0 V. Es folgt: =) U 3 b {z n b n} v:= = µ b 0... µ m b 0 m U =) v U \ U U \U ={0 V } ) v =0 V. =) b n b n = µ b 0... µ m b 0 m =0 V B,B Basis =) =... = n = µ =... = µ m =0. 5

6 (b) (i) Seien,, 3 K mit a + a + 3 a 3 =0 V.Dannfolgt: 0 V = (b b )+ (b + b 3 + b 4 )+ 3 (b 3 b 4 ) = ( )b +( + )b +( + 3 )b 3 +( 3 )b 4 B ist Basis =) (I) =0, (II) + =0, (III) + 3 =0, (IV) 3 =0 (I) =) =0 =) (II) =0 =) (III) 3 = 0, und (IV) wird damit erfüllt, d.h. = = 3 =0istdieeinzigeLösung. Aufgabe 0 (Fibonacci-Folgenraum, 6 = Punkte (davon = Bonuspunkte jeweils für den Erzeugendensystem-Beweis mit Induktion)). Wir betrachten den R-Vektorraum R N der reellwertigen Folgen (vgl. Blatt 4, Aufgabe 6), und den Untervektorraum F := (a n ) nn R N 8n N : a n+ = a n+ + a n. (a) Zeigen Sie, dass B =((v n ) nn, (w n ) nn )mit(v n ) nn, (w n ) nn F und v :=, v := 0 und w := 0, w := eine Basis von F bildet. Hinweis: Um zu zeigen, dass B ein Erzeugendensystem bildet, zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass (c n ) nn F erfüllt: 8n N : c n = c v n + c w n. (b) Finden Sie zwei verschiedene r,r R\{0}, sodass(r n ) nn, (r n ) nn F. Hinweis: Damit (r n ) nn F gilt, muss es insbesondere die Rekursionsgleichung erfüllen. Nutzen Sie dies zur Bestimmung von r,r. (c) Zeigen Sie, dass B 0 := ((r n ) nn, (r n ) nn )aucheinebasisvonf bildet. Hinweis: Um zu zeigen, dass B 0 ein Erzeugendensystem bildet, müssen Sie für beliebiges (c n ) nn F Zahlen, R in Abhängigkeit von c,c,r,r finden, so dass 8n N : c n = r n + r n. Für die Bestimmung von, nutzen Sie diese Eigenschaft für n =,. (d) Sei nun (c n ) nn F die (Standard-)Fibonacci-Folge, d.h. c = c :=. Berechnen Sie die Zahlen, R aus (c) und geben Sie damit eine (nicht rekursive) Formel für c n an. Lösung: (a) B bildet ein Erzeugendensystem, denn: Sei (c n ) nn F beliebig. Wir zeigen: (c n ) nn lässt sich als Linearkombination der Elemente aus B schreiben in der Form (c n ) nn = c (v n ) nn + c (w n ) nn,d.h.wirzeigen: Für alle n N gilt: c n = c v n + c w n ( ). Beweis: Per vollständiger Induktion. Induktionsanfang n =:c = c +c 0=c v + c w. n =:c = c 0+c =c v + c w. Induktionsschritt: Sei n. Die Aussage (*) gelte für alle,...,n (IV). Dann ist c n+ (c n) nn F = c n + c n IV =(c v n + c w n )+(c v n + c w n ) = c (v n + v n )+c (w n + w n ) (vn) nn,(w n) nn F = c v n+ + c w n+. 6

7 B ist linear unabhängig: Seien, R mit 0 = (v n ) nn + (w n ) nn. ) 0= v + w =,d.h. =0. ) 0= v + w =,d.h. =0. Damit folgt = =0. (b) Ansatz für die Bestimmung von r,r R: Es muss gelten (r n ) nn F, d.h. 8n N : r n+ = r n+ + r n ) r = r +. Lösungen von r r =0sind r = ±p 5. Wähle r := p 5 und r := +p 5 (diese haben die Eigenschaft r = r +, r = r +). Es gilt nun (r n ) nn,(r n ) nn F,denn:Für alle n N ist analog (r n ) nn. (c) Beweis B 0 ist Basis: r n+ = r n r = r n (r +)=r n+ + r n, B 0 bildet Erzeugendensystem, denn: Sei (c n ) nn F beliebig. Ansatz: Suche, R mit (I) c = r + r, c = r + r r =r +,r =r + = (r +)+ (r +) (I) = c +( + ) (II) c c = +. Addition II ( r )+I! I liefert das äquivalente LGS (I 0 ) c r (c c ) = (r r ), (II) c c = + (I ) liefert = c r (c c ) r r, Einsetzen in (II) liefert = (c c ) = r (c c ) c r r. Wir zeigen: (c n ) nn lässt sich als Linearkombination der Elemente aus B 0 schreiben in der Form (c n ) nn = (r n ) nn + (r n ) nn mit = r (c c ) c = r (c c ) c p, = c r (c c ) = c r (c c ) p, r r 5 r r 5 d.h. wir zeigen: Für alle n N gilt: c n = v n + w n ( ). Beweis: Per vollständiger Induktion (analog zu (a)): Induktionsanfang n =: r + r =... = c, n =: r + r =... = c. Induktionsschritt: Sei n. Die Aussage (*) gelte für alle,...,n (IV). Dann ist c n+ (c n) nn F = c n + c n IV =(c r n + c r n )+(c r n + c r n ) = c r n (r +)+c r n (r +) r =r +,r =r + = c r n r + c r n r = c r n+ + c r n+. 7

8 B ist linear unabhängig: Seien, R mit 0 = (r n ) nn + (r n ) nn. n=, ) 0= r + r,0= r + r = (r +)+ (r +). ) 0= r + r (I), 0 = + (II) II ( r )+I!I ) 0= (r r ) ) =0) II =0. Das heißt, = =0. (d) Aus (c) sind die expliziten Formeln für, bekannt (einsetzen von c = c =): = r (c c ) c p = 5 p, = c r (c c ) p = p, d.h. c n = p 5 p 5 n + p5 p + 5 n. Abgabe: In Zweiergruppen, bis spätestens Donnerstag, den. November 08, 09:5 Uhr. (Die Zettelkästen für das Abgabeblatt sind im. OG, INF 05, vor dem Dekanat.) Homepage der Vorlesung: 8