7. Abgabeblatt Lösungen. Aufgabe 25 Aufgabe 26 Aufgabe 27 Aufgabe 28 Summe:

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1 Lineare lgebra Prof. Dr. R. Dahlhaus Dr. S. Richter, N. Phandoidaen Wintersemester /9 7. bgabeblatt Lösungen ufgabe 5 ufgabe 6 ufgabe 7 ufgabe Summe: Übungsgruppe: Namen: Tutor(in): ufgabe 5 (Dimension von Matrizenräumen, Punkte). Es sei K ein Körper mit : + 6 undv M(n n, K) dervektorraumdern n Matrizen über K. Wir definieren die Mengen U : { (a ij ) V t } und W : { (a ij ) V t } der symmetrischen und schiefsymmetrischen n n Matrizen. (a) Zeigen Sie, dass U ein Untervektorraum von V ist. Bemerkung: uch W ist ein Untervektorraum von V ; der Beweis ist analog dem von U. (b) Zeigen Sie, dass V U + W und U \ W {}. Hinweis: Gegeben eine Matrix M V, welche Eigenschaft hat S : (M + M t )? (c) Bestimmen Sie eine Basis von U und geben Sie dim K (U) an. (d) Berechnen Sie dim K (W ) mittels ufgabe P3(c). Lösung: Es bezeichne die Nullmatrix. (a) N Zeige: U ist UVR. Seien, B U, K. U 6 ;, denn: t ) U. ( + B) t t + B t,bu + B ) + B U ( ) t t U ) + B U N Zeige (nicht verlangt): W ist UVR. Seien, B W, K. W 6 ;, denn: t ) W. ( + B) t t + B t,bw +( B) ( + B) ) + B W ( ) t t W ( ) ) W

2 (b) V U + W,denn( istklar,zeige ): Sei M M(n n, K) beliebig. Wähle S (M + M t )und (M M t ). Dann gilt: S + M + M t + M M t M. S t ( (M + M t )) t (M + M t ) t (M t +(M t ) t ) (M t + M) S, d.h. S U. t ( (M M t )) t (M M t ) t (M t (M t ) t ) (M t M) (M M t ), d.h. W. U \ W {}, denn( istklar,zeige ): Sei U \ W. U\W ) t t ) t 6 ) t (...) t ) ( t ) t t. (c) Bestimme eine Basis für U: nsatz zum Finden einer Basis. (Muss nicht Bestandteil der Lösung sein.) Sei (a ij ) U U ) a ij a ji für alle i, j {,...,n},i 6 j. n die Diagonalelemente a ii, i {,...,n} werden keine Bedingungen gestellt; diese sind daher beliebig. ) Zur Beschreibung einer Matrix U reicht die ngabe von a ij, i apple j, und es muss stets a ji a ij gelten. Behauptung: ((E ij + E ji ), apple i apple j apple n) isteinebasisvonu. Erzeugendensystem: Sei (a ij ) U. Ziel: Finde ij K, apple i apple j apple n, sodass P appleiapplejapplen ij(e ij + E ji ). Wähle ( a ij, apple i<japple n, ij : Dann ist für k, l {,...,n}, k<l: ij(e ij + E ji ) appleiapplejapplen kl a ii, apple i apple n. appleiapplejapplen kl a kl, ij >< (E ij ) {z kl }, i k und j l, sonst +(E ji ) kl (analog k>l), und ij(e ij + E ji ) appleiapplejapplen kk appleiapplejapplen ij >< kk ( + ) a kk, (E ij ) {z kl }, i k j, sonst + (E ji ) {z kl } ><, i k j, sonst d.h. wir haben gesehen: P appleiapplejapplen ij(e ij + E ji ). Lineare Unabhängigkeit: Seien ij K, apple i apple j apple n. Esgelte ij(e ij + E ji ). appleiapplejapplen

3 Sei apple k apple l apple n beliebig. Es folgt ij (E ij ) kl + (E ji ) {z kl } appleiapplejapplen ><, i k und j l ><, j k und i l, sonst, sonst kl d.h. kl für alle apple k apple l apple n. Bestimme Dimension von U: nzahl der Elemente von Basis (E ij + E ji ) appleiapplejapplen ist appleiapplejapplen n j j i j n j j n(n +). ) dim K (U) n(n+) (d) In Teilaufgabe (b) haben wir die Voraussetzungen von P3(c) überprüft. Daher kann die ussage verwendet werden. Dann gilt dim K (W )dim(v ) dim K (U) n n(n +) n(n ). ufgabe 6 (Basisbestimmung mittels Zeilenstufenform, 4 + Punkte). Sei K ein Körper. Wie in ufgabe wollen wir die folgenden Vektoren als Elemente des K 6 au assen, indem die ganzen Zahlen angeben, wie häufig aufsummiert wird: v 3 4 5, v 3 4 5, v , v Wir definieren U : Lin({v,...,v 4 }). Bestimmen Sie jeweils eine Basis von U und die Dimension dim K (U) für (a) K Q, (b) K F 5, indem Sie die Vektoren in eine Matrix schreiben und mittels des Gauß-lgorithmus bzw. elementarer Zeilenumformungen in eine Zeilenstufenform bringen. Lösung: Wir nutzen den Gauß-lgorithmus: Schreibe Vektoren v,v,v 3,v 4 zeilenweise in eine Matrix, : B

4 (a) Fall K Q: Wir wenden elementare Zeilenumformungen wie folgt an: B $ B ( ) Z+Z4Z4 B ( ) Z+Z3Z3,( ) Z+Z4Z4 B b Z3$Z4 B : B : Bb b 3 b 4 Matrix B ist in Zeilenstufenform (ZSF). O ensichtlich sind alle 4 Zeilen b,b,b 3,b 4 nicht Null. Es folgt U Lin({v,...,v 4 }) Def. elem. Zeilenumf. ZR() ZR(B) Def. Lin({b,b,b 3,b 4 }), und (b,...,b 4 )istbasisvonu ) dim Q (U) 4. (b) Fall K F 5 : Wir wenden elementare Zeilenumformungen wie folgt an: 3 4 B $ B Z+Z4Z4 B b ( ) Z+Z3Z3 B : B : Bb b 3 b 4 Matrix B ist in Zeilenstufenform (ZSF). O ensichtlich sind nur die ersten drei Zeilen b,b,b 3 nicht Null. Es folgt U Lin({v,...,v 4 }) Def. elem. Zeilenumf. ZR() ZR(B) Def. Lin({b,b,b 3 }), 4

5 und (b,b,b 3 )istbasisvonu ) dim F5 (U) 3. ufgabe 7 (Zeilenrang und inverse Matrizen, 4 + Punkte). (a) Bestimmen Sie in bhängigkeit von Q den Zeilenrang der Matrix 5 4 B 3 3 M(4 4, Q) (b) Sei n N, n undx R\{, n}. SeienMatrizen (a ij ),B (b ij ) M(n n, R) definiert durch ( ( a ij : x, j i, b ij :, j 6 i, (x ) (x + n ) x +(n ), j i,, j 6 i. (i) Geben Sie die Matrizen, B für n 4 an (d.h. schreiben Sie diese als 4 4 Schema). (ii) Zeigen Sie, dass B. Hinweis: Rechnen Sie nur eine Multiplikation nach, zum Beispiel B E n. Lösung: (a) Wir bestimmen den Zeilenrang durch der gegeben Matrix (nenne Sie ) durch Überführung in Zeilenstufenform mittels elementarer Zeilenumformungen: 5 4 : B 3 3 Z$Z,Z$Z3,Z3$Z4 B ( )Z+ZZ,( 5)Z+Z3Z3,( )Z+Z4Z4 B ( )Z+Z3Z3,( 3/)Z+Z4Z4 B Z4 B Fall :Dannist B Z3$Z4 B : B 5

6 d.h. B besitzt eine Nullzeile bzw. drei Nicht-Nullzeilen. ) Zeilenrang() dim Q (ZR()) elemt. Zeilenumf. dim Q (ZR(B )) 3 Fall 5:Dannist B B ( 4 3 )Z3+Z4Z4 B : B, d.h. B besitzt eine Nullzeile bzw. drei Nicht-Nullzeilen. Falls /{, 5 } ) Zeilenrang() dim Q (ZR()) B ( 5+ )Z4+Z3Z3 elemt. Zeilenumf. dim Q (ZR(B )) 3 B : B, d.h. B ist in ZSF und besitzt keine Nullzeile bzw. vier Nicht-Nullzeilen. ) Zeilenrang() dim Q (ZR()) elemt. Zeilenumf. dim Q (ZR(B )) 4 (b) (i) Für n 4gilt: x x + B x x, B B x + (x ) (x +3) x + x x + (ii) Zu zeigen ist B E n und B E n. Wir zeigen nur B E n,dieanderemultiplikationgehtanalog. Seien i, k {,...,n}. Diagonalelemente: Erster Schritt jeweils: Teile die Summe in der Definition der Matrizenmultiplikation gemäß der Fallunterscheidung in der Definition von, B so auf, dass die Elemente von, B explizit hingeschrieben werden können. Es gilt ( B) ii n a ij b ji a ii b ii + j x j{,...,n}\{i} a ij b ji x +(n ) (x ) (x + n ) + (x ) (x + n ) j{,...,n}\{i} h x (x + n ) + ( ) (x ) (x + n ) i ( ) n j{,...,n}\{i} Summanden h i (x ) (x + n ) x (x + n ) (n ) x +(n )x (n ) x +(n )x (n ) (E n) ii. 6

7 Nicht-Diagonalelemente: Seien i 6 k. Danngilt n ( B) ik a ij b jk a ii b ik + a ik b ii + j x j{,...,n}\{i,k} a ij b jk ( ) (x )(x + n ) + (x + n ) (x )(x + n ) + j{,...,n}\{i,k} (n ) Summanden ( ) (x )(x + n ) h i x ( ) + (x + n ) + (n ) ( ) (x )(x + n ) (x )(x + n ) (E n) ik. Damit ist gezeigt: ( B) ik (E n ) ik für alle i, k {,...,n}, d.h. B E n. ufgabe (Zeilenrang und Invertierbarkeit, Punkte). Seien, B M(n n, K) Matrizenüber einem Körper K. ZeigenSie: (a) Zeilenrang(B) apple Zeilenrang(). (b) (i) Es gilt Zeilenrang() <n () 9v K n \{} mit v. nmerkung: v K n \{} soll hier als Zeilenvektor aufgefasst werden. (ii) Falls invertierbar ist, so gilt Zeilenrang() n. Lösung: (a) Sei r Zeilenrang(). Umformen auf Zeilenstufenform mittels Elementarmatrizen ) Es gibt S M(n n, K) (Produkt von Elementarmatrizen) und r {,...,n} mit c. c S r B. ist in Zeilenstufenform (d.h. Zeilen c,...,c r sind keine Nullzeilen). ) Zeilenrang() Zeilenrang(S ) r. Es gilt c B. B. S B B c r. Def. Matrixmult. b... b n, B. wobei die rechte Seite weiterhin n r Nullzeilen besitzt. elem. Zeilenumf. ) Zeilenrang( B) Zeilenrang(S B) apple r Zeilenrang(). 7

8 a (b) (i) Sei... M(n n, K). a n ) : Es gelte dim K ZR() Zeilenrang() <n ZR()Lin({a,...,a n}) ) (a,...,a n )isterzeugendensystemvonzr(), aber keine Basis (sonst hätte es Länge <n). ) (a,...,a n )istlinearabhängig ) Es gibt,..., n K, (,..., n) 6 (,...,) mit a n a n Wähle v : (,..., n) 6. ) v ( a n a n ). ( : Es gebe v (,..., n) K n \{} mit v. ) a n a n ) (a,...,a n )linearabhängig ) Zeilenrang() dim K ZR() dim K Lin({a,...,a n }) <n(wäre es n, wäre (a,...,a n )Basisunddamitlinearunabhängig). lternative Lösungsmöglichkeit (Unter Nutzung von Zeilenstufenform, Elementarmatrizen und deren Invertierbarkeit): Durch elementare Zeilenumformungen gibt es eine Matrix S M(n n, K) (ProduktvonElementarmatrizen),sodassS b... b r B Zeilenstufenform besitzt.... Elementarmatrizen sind invertierbar ) S ist invertierbar (als Produkt von invertierbaren Matrizen). ) : Wähle ṽ : (,...,, ) K n \{} und v : ṽ S (es gilt v 6,sonstwäre v S ṽ S S ṽ E n ṽ, Widerspruch). b... ) v ṽ S ṽ b r B... Zeilenrang()<n)r<n ( : (per indirektem Beweis): Sei r Zeilenrang() n. Sei v K n mit v. Wir zeigen: v. Zeilenrang() n ) Für die Zeilenstufenform gilt b. b S... B b nn mit b ii 6(i,...,n). Sei ṽ : v S ) ṽ (S ) v S S v.

9 Schreibe ṽ (ṽ,...,ṽ n ). Dann ist b t ṽ. b b ṽ (S ) (ṽ,...,ṽ n )... B B ṽ +ṽ b b ṽ ṽ n +ṽ n b nn nn us obiger Gleichheit folgt:. Zeile ) ṽ. Zeile ) ṽ... n. Zeile) ṽ n, d.h. ṽ ) v S ṽ. (ii) Sei invertierbar. Wir zeigen die Negation der rechten Seite von (i). Dann folgt mit (i): Zeilenrang() n. Sei v K n \{} beliebig mit v. invertierbar ) Es gibt B M(n n, K) mit B E n. ) v v E n v B B, Widerspruch lso gibt es kein v K n \{} mit v. bgabe: In Zweiergruppen, bis spätestens Donnerstag, den 6. Dezember, 9:5 Uhr. (Die Zettelkästen für das bgabeblatt sind im. OG, INF 5, vor dem Dekanat.) Homepage der Vorlesung: 9