8. Abgabeblatt Lösungen. Aufgabe 29 Aufgabe 30 Aufgabe 31 Aufgabe 32 Summe:

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1 Lineare Algebra Prof. Dr. R. Dahlhaus Dr. S. Richter, N. Phandoidaen Wintersemester 8/9 8. Abgabeblatt Lösungen Aufgabe 9 Aufgabe Aufgabe Aufgabe Summe: Übungsgruppe: Namen: Tutor(in): Aufgabe 9 (Nachweise mit der Dimensionsformel, 4 = + + Punkte). Seien U,U,U V Untervektorräume eines endlich dimensionalen K Vektorraumes V über einem Körper K. (a) Zeigen Sie mittels eines Gegenbeispiels, dass die folgende Formel (*) im Allgemeinen falsch ist: dim K (U + U + U )=dim K (U )+dim K (U )+dim K (U )+dim K (U \ U \ U ) dim K (U \ U ) dim K (U \ U ) dim K (U \ U ) Hinweis: Nutzen Sie V = R und drei (explizit anzugebende) UVR der Dimension. (b) Zeigen Sie, dass unter der Annahme U U die Formel (*) gilt. Hinweis: Sie dürfen annehmen, dass unter der Voraussetzung gilt: (U + U ) \ U = (U \ U )+(U \ U ). Wenn Sie dies beweisen, erhalten Sie einen Bonuspunkt. (c) Sei nun n unddim K V = n. Nutzen Sie die Dimensionsformel für Untervektorräume (und keine Basen), um folgende Aussagen zu zeigen: Lösung: (i) Gilt dim K (U )+dim K (U ) >n,sofolgtu \ U 6= {}. (ii) Gilt dim K (U )=dim K (U )=dim K (U )=n, so ist dim K (U \ U \ U ) n. (a) Sei nun K = R und V = R. Wir definieren folgende Untervektorräume des R : U =Lin( ), U =Lin( ), U =Lin( ) =) U + U + U =Lin(,, =) dim R (U + U + U ) = dim R (R )=. )=Lin(, )=R (vgl. P (a)).

2 Andererseits gilt o ensichtlich (Bild!) U \ U = {}, U \ U = {} und U \ U = {}. (Formal, nicht verlangt: Ist v U \ U )9, R: = () = =) = =. =) U \ U {}). Es folgt dim R (U )+dim R (U )+dim R (U )+dim R (U \ U \ U ) dim R (U \ U ) dim R (U \ U ) dim R (U \ U ) =+++ =6= =dim R (U + U + U ). (b) Wir zeigen erst den Hinweis (U + U ) \ U =(U \ U )+(U \ U ): : (gilt nur wegen U U ) Sei u (U + U ) \ U ) u U + U und u U ) Es gibt u U, u U mit u = u + u ) u = u {z} {z} u U U U ) u = u {z} + u {z} U U U UVR U ) u U \ U U \U (U \ U )+(U \ U ). : (gilt immer) Sei u (U \ U )+(U \ U ) ) Es gibt u U \ U, u U \ U mit u = u + u. ) u = u {z} + u {z} U U Außerdem u = u {z} U UVR U + u U {z} + U. U U ) u (U + U ) \ U. Dimensionsformel (beachte U + U + U =(U + U )+U ) ) dim K (U + U + U ) = dim K (U + U )+dim K (U ) dim K ((U + U ) \ U ) =(U \U )+(U \U ) Dim-Formel (mal) = dimk (U )+dim K (U ) dim K (U \ U ) +dim K (U ) dimk (U \ U )+dim K (U \ U ) dim K ((U \ U ) \ (U \ U )). =U \U \U Das liefert die geforderte Gleichung. Alternative Lösung: Man kommt auch ohne den Hinweis aus, indem man stattdessen folgende Überlegungen tri t: Gilt U U,soistU + U + U = U + U (*) und U \ U = U, U \ U \ U = U \ U (**).

3 (Die Aussage (*) bedarf eigentlich noch eines Beweises). Dimensionsformel ) dim K (U + U + U ) ( ) = dim K (U + U )=dim K (U )+dim K (U ) dim K (U \ U ) = dim K (U )+dim K (U ) dim K (U \ U ) + dim K (U ) dim K (U \ U ) ( ) = + dim K (U \ U \ U ) dim K (U \ U ). ( ) = Dies liefert die geforderte Gleichung. (c) (i) Dimensionsformel ) dim K (U \ U ) = dim K (U )+dim K (U ) >n (Vorauss.) dim K (U + U ) U +U V UVR >n n =. apple dim K (V )=n Daher dim K (U \ U ) > ) U \ U 6= {}. (ii) Dimensionsformel ) dim K (U \ U ) = dim K (U )+dim K (U ) dim K (U + U ) U +U V UVR apple dim K (V )=n (n ) + (n ) n = n ( ) Dimensionsformel ) dim K (U \ U \ U ) = dim K (U \ U )+dim K (U ) dim K ((U \ U )+U ) ( ) (n ) + (n ) n = n. (U \U )+U V UVR apple dim K (V )=n Aufgabe (Dimensionen und direkte Summen von Untervektorräumen, 4 = Punkte). Gegeben seien die folgenden Untervektorräume des Q -Vektorraums Q 4 : U A, A, AA und U A, A, AA (a) Ermitteln Sie jeweils die Dimension und eine Basis von U, U und U + U. (b) Ermitteln Sie die Dimension von U \ U. (c) Geben Sie einen Untervektorraum W Q 4 an, so dass Q 4 = U Sie Ihre Wahl). W (und begründen Lösung:

4 (a) (i) Basis und Dimension für U :DiegegebenenVektorenwerdenalsZeileneinerMatrix aufgefasst und per Gauß-Algorithmus über elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform gebracht. A A Z+Z!Z A =: B Vorlesung =) U = ZR(A) =ZR(B) und die Nicht-Nullzeilen von B bilden eine Basis von ZR(B) =U ) B := ( A, A ) ist eine Basis von U. =) dim Q (U )= (ii) Basis und Dimension für U :DiegegebenenVektorenwerdenalsZeileneinerMatrix aufgefasst und per Gauß-Algorithmus über elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform gebracht. A A Hier ist A bereits in Zeilenstufenform. Vorlesung =) U = ZR(A) und die Nicht-Nullzeilen von A bilden eine Basis ) B := ( A, A, A ) ist eine Basis von U. =) dim Q (U )= (iii) Basis und Dimension von U + U : (a),(b) und P(a) ) U + U =Lin( A, A, A, A, A ) Die gegebenen Vektoren werden als Zeilen einer Matrix aufgefasst und per Gauß- 4

5 Algorithmus über elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform gebracht. ( )Z+Z!Z B A Z+Z!Z,( /)Z+Z4!Z4 A Z$Z4,Z4$Z5 A. Vorlesung =) U +U = ZR(A) =ZR(B) und die Nicht-Nullzeilen von B bilden eine Basis von ZR(B) =U + U ) B := ( A, A, A, A ) ist eine Basis von U + U. =) dim Q (U + U )=4 (b) Dimensionsformel ) dim K (U \ U )=dim K (U )+dim K (U ) dim K (U + U )=+ 4=. (c) Ansatz (nicht Teil der Lösung): Betrachte die Matrix B in Zeilenstufenform für U (vgl. (a)(i)), bei welcher die Nullzeilen gelöscht sind: B = Wir wählen die zwei Einheitsvektoren aus, welche in B eingefügt die Zeilenstufenform beibehalten. Hier ist das e,e 4. Sei W =Lin(e,e 4 ). In (a) wurde gesehen, dass U =Lin((b,b )) mit b = A, b = A. P(a) ) U + W =Lin((b,b,e,e 4 )) Schreiben wir die Vektoren zeilenweise in eine Matrix, so sehen wir, dass diese in Zeilenstufenform ist ) (b,b,e,e 4 )sindlinearunabhängig dim Q (Q 4 )=4 ) (b,b,e,e 4 )istbasisvonq 4 ) U + W =Lin((b,b,e,e 4 )) = Q 4. 5

6 e,e 4 linear unabhängig ) dim Q (W )=. (a) ) dim Q (Q 4 )=4=+=dim Q (U )+dim Q (W ) Q 4 =U +W, VL 8.5 ) Q 4 = U W. Aufgabe (Definition linearer Abbildungen durch Bilder einer Basis, 4 = + + Punkte). Gegeben folgende Vektoren im R : v A, v A, v A w A, w 4 A, w A Dann ist (v,v,v )einebasisdesr.seifernerf die eindeutig bestimmte lineare Abbildung f : R! R mit f(v )=w, f(v )=w,f(v )=w (vgl. P(a)). (a) Sei v A = (v 4 v )+v und v A = v v.bestimmensief(v) und f(v ). (b) Finden Sie A M(, R), so dass f = Ã. Hinweis: Laut Vorlesung muss dafür gelten: f(x) =A x für alle x R. (c) Kann es eine lineare Abbildung ' : R! R geben mit '(@ A) A, '(@ A) A, '(@ 4 Begründen Sie Ihre Antwort. Lösung: A) A? (a) A) = f( 4 (v v )+v ) f linear = 4 f(v )+ 4 f(v )+f(v ) A 4A A A A) = f(v ) f(v )=@ A A (b) Vorlesung ) Die i-te Spalte der Matrix A ist das Bild f(e i )desi-ten Einheitsvektors e i unter f, d.h. A f(e ) f(e ) f(e ) A f(e )undf(e )sindaus(a)bekanntberechnealsonochf(e ). Gesucht sind,, R mit e = v + v + v. 6

7 Löse LGS für,, (Z = Zeile, Z = Zeile, Z = Zeile ): () ( )Z+Z!Z,( )Z+Z!Z () e = v + v + A A A 4 Z ) = 4 Z ) =) Z =. 4 Wir erhalten also: e = 4 v ) f(e )= 4 f(v ) 4 f(v )= 4 ) v 4 A f(e ) f(e ) f(e ) 4A A A A 4 (c) Diese lineare Abbildung existiert nicht. Wir stellen zunächst fest, A =@ A A. (Der systematische Ansatz zur Bestimmung von =und =wäre hier das Lösen des folgenden LGS A A Durch die drei gegebenen Bedingungen sollte ' eindeutig festgelegt sein, wenn die drei gegebenen A eine Basis des R bilden. Dies ist hier nicht der Fall, weswegen Eigenschaften wie Linearität oder Eindeutigkeit verletzt werden können (vgl. P(a)).) Angenommen ' wäre eine lineare Abbildung, dann müsste Folgendes A Def. = ' '(@ A) ' = lin. A) =@ A A 4 Widerspruch! A, Aufgabe (Beispiele und Gegenbeispiele für lineare Abbildungen, 4 = + + Punkte). Entscheiden Sie jeweils, ob die Abbildungen f i zwischen den gegebenen R-Vektorräumen linear sind oder nicht (geben Sie jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel).

8 (a) (i) f : R! R,x=(x,x )! x x (ii) f : R! R,x=(x,x )! (x +, x,x + x ) (iii) f : R! R,x=(x,x,x )! (x, x, ) cos( ) sin( ) (b) f 4 : M(, R)! M(, R),A! A mit festem (, ] sin( ) cos( ) (c) Verschiebungsabbildung: f 5 : R N! R N,(a n ) nn! (a n+ ) nn. Lösung: (a) (i) f ist nicht linear, denn: Wähle = R, x =(, 4) R,sogilt (ii) f ist nicht linear, denn: Wähle f ( x) = f ((6, 8)) = 6 8=48, aber f (x) = f ((, 4)) = ( 4) = 4. = R, x =(, 4) R,sogilt f ( x) = f ((6, 8)) = (, 6, 4), aber f (x) = f ((, 4)) = (4, 8, ) = (8, 6, 4). (iii) f ist linear, denn: Seien x =(x,x,x ),x =(x,x,x ) R, und R. Danngilt: f (x + x ) = f ((x + x,x + x,x + x )) = ((x + x ), (x + x ), ) = (x, x, ) + (x, x, ) = f (x)+f (x ), f ( x) = f (( x, x, x )) = ( x, ( x ), ) = ( x, (x ), ) = (x, x, ) = f (x). cos( ) sin( ) (b) f 4 ist linear, denn: Sei S :=. sin( ) cos( ) Seien A, B M(, R), R. Danngilt: und f 4 (A + B) =S (A + B) =S A + S B = f 4 (A)+f 4 (B), f 4 ( A) =S ( A) = SA = f 4 (A). (c) f 5 ist linear, denn: Seien (a n ) nn, (b n ) nn R N, R beliebig. Dann gilt: f 5 ((a n ) nn +(b n ) nn ) und f 5 ( (a n ) nn ) Def. Add. = f 5 ((a n + b n ) nn ) Def. f 5 = (a n+ + b n+ ) nn Def. Add. = (a n+ ) nn +(b n+ ) nn Def. f 5 = f5 ((a n ) nn )+f 5 ((b n ) nn ) Def. skal. Mult. = f 5 (( a n ) nn ) Def. f 5 = ( a n+ ) nn Def. skal. Mult. = (a n+ ) nn Def. f 5 = f5 ((a n ) nn ) Abgabe: In Zweiergruppen, bis spätestens Donnerstag, den. Dezember 8, 9:5 Uhr. (Die Zettelkästen für das Abgabeblatt sind im. OG, INF 5, vor dem Dekanat.) Homepage der Vorlesung: 8