Die Belegung der Stellen heißt Markierung und repräsentiert den Zustand des Petri- Netzes.

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3 Bei Petri-Netzen handelt es sich um formale Konstrukte, die graphisch ausgestaltet sind und sich für die Modellierung und Simulation von komplexen Geschäfts- und Arbeitsprozessen besonders gut eignen. Fast überall sind Petri-Netze zur Modellierung von diskreten verteilten Systemen sowie zur Modellierung von Nebenläufigkeit und Nichtdeterminismus im Einsatz. Nebenläufigkeit (concurrency) von Prozessen bedeutet, dass die Prozesse unabhängig voneinander ablaufen, sich also nicht gegenseitig beeinflussen. Nichtdeterminismus bedeutet, dass es zu einem Zustand mehrere Folgezustände geben kann. Dieser Nichtdeterminismus kann wie folgt auftreten: 1. Eine Folgetransition wird zufällig ausgewählt (z.b. in einer Simulationsumgebung für Petri-Netze) 2. Der Benutzer wählt die Folgetransition nach persönlicher Präferenz aus. Die Theorie der Petri-Netze geht auf die Dissertation von C.A. Petri ( Kommunikation mit Automaten ) zurück. Seitdem haben Petri-Netze weltweit Verbreitung gefunden und werden in vielen Anwendungsgebieten eingesetzt, z.b. bei Ablaufbeschreibungen in ingenieurwissenschaftlichen Anwendungen, zur Modellierung von Produktionsprozessen oder Lieferketten.

4 Formal ist ein Petri-Netz ein sogenannter bipartiter und gerichteter Graph. Er besteht aus Stellen (Places) und Übergängen bzw. Transitionen (Transitions; Übergänge zur Verarbeitung von Informationen, ähnlich einem Schalter). Stellen und Transitionen sind durch gerichtete Kanten verbunden. Es gibt keine direkten Verbindungen zwischen zwei Stellen oder zwei Transitionen. Stellen werden als Kreise, Transitionen als Rechtecke dargestellt. Jede Stelle hat eine Kapazität und kann entsprechend viele Token (Marken bzw. Zeichen) enthalten. Ist keine Kapazität angegeben, steht das für eine unbegrenzte Kapazität. Jeder Kante ist ein Gewicht zugeordnet, das die Kosten dieser Kante festlegt. Ist einer Kante kein Gewicht zugeordnet, wird der Wert eins verwendet. Die Belegung der Stellen heißt Markierung und repräsentiert den Zustand des Petri- Netzes.

5 Die Transition eines Petri-Netzes ist aktiviert bzw. schaltbereit, falls sich in allen Eingangsstellen mindestens so viele Marken befinden, wie die zugehörigen Kanten Kosten verursachen und alle Ausgangsstellen noch genug Kapazität haben, um die neuen Marken aufnehmen zu können. Schaltbereite Transitionen können zu einem beliebigen Zeitpunkt schalten. Beim Schalten einer Transition werden aus deren Eingangsstellen entsprechend den Kantengewichten Marken entnommen und bei den Ausgangsstellen entsprechend den Kantengewichten Marken hinzugefügt. Marken werden in einem Petri-Netz nicht bewegt. Sie werden entfernt und erzeugt! Die Marken eines Petri-Netzes sind in ihrer einfachsten Form voneinander nicht unterscheidbar. Für komplexere, aussagekräftigere Petri-Netze sind Markeneinfärbungen, Aktivierungszeiten und Hierarchien definiert worden. Diese Erweiterungen werden in den folgenden Lehreinheiten behandelt

6 Eine Transition heißt - tot, falls sie unter keiner Folgemarkierung aktiviert ist. - aktivierbar, falls sie unter mindestens einer Folgemarkierung aktiviert ist. - lebendig, falls sie in jeder erreichbaren Markierung aktivierbar ist. Ein Petri-Netz heißt - tot, falls alle Transitionen tot sind. - todesgefährdet, falls das Petri-Netz unter einer Folgemarkierung tot ist. - verklemmungsfrei oder schwach lebendig, falls es unter keiner Folgemarkierung tot ist. - (stark) lebendig, falls alle Transitionen lebendig sind. Erreichbarkeit: Eine Markierung eines Petri-Netzes heißt erreichbar, falls es eine Schaltsequenz der Transitionen gibt, welche die Startmarkierung in diese Markierung überführt. Konservativität: Ein Petri-Netz heißt konservativ, falls die (beliebig) gewichtete Summe der Marken konstant ist. Beschränktheit: Ein Petri-Netz heißt b-beschränkt, wenn es eine Schranke b gibt, so dass nie mehr als b Marken in einer Stelle liegen.

7 Aus einer Eingangsstelle der jeweils betrachteten Transition werden beim Schalten so viele Marken entnommen, wie es das Kantengewicht vorgibt. Entsprechend werden Marken in der Ausgangsstelle erzeugt. Eine Stelle p, die weder im Eingangs- noch im Ausgangsbereich der Transition t liegt, wird nicht verändert, wenn die Transition t schaltet.

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26 Eine Warteschlange ist ein mathematisches Modell, dass eine beliebige Menge von Objekten aufnehmen kann und diese in der Reihenfolge ihres Einfügens wieder zurück gibt. Grundsätzlich besteht ein Wartesystem aus einem Bedienbereich, in dem ein oder mehrere Bedienungsstationen Aufträge bearbeiten, und einem Warteraum, in dem eintreffende Aufträge bei aktuell nicht freien bzw. verfügbaren Serviceeinheiten auf die Bedienung warten. Abgefertigte Aufträge verlassen das System. Wartesysteme ohne Warteraum werden als Verlustsysteme bezeichnet. Man kann sich eine Warteschlange wie eine Warteschlange von Kunden an einer Kasse vorstellen. Der Letzte, der sich in die Schlange stellt, wird auch als letzter bedient. Umgekehrt wird derjenige, der sich als erstes angestellt hat, als erster bedient. Durch Warteschlangen werden auch langsame externe Geräte, z.b. Drucker, von der Programmabarbeitung entkoppelt. Warteschlangen werden außerdem häufig zur Datenübergabe zwischen asynchronen Prozessen in Verteilten Systemen verwendet, wenn also Daten vor ihrer Weiterverarbeitung gepuffert werden müssen.

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54 Mit Supply Chains (Lieferketten) wird das Netzwerk von Organisationen bezeichnet, die über vor- und nachgelagerte Verbindungen an den verschiedenen Prozessen und Tätigkeiten der Wertschöpfung in Form von Produkten und Dienstleistungen für den Endkunden beteiligt sind. Eine Supply Chain umfasst den gesamten Güterfluss von den Lieferanten bis zum Unternehmen, innerhalb des Unternehmens und von dort zu den Kunden. Sie kann als eine Folge von Transport-, Lager- und Produktionsprozessen dargestellt werden (Details siehe Lehreinheit 3). Das Supply Chain Management (SCM), bei dem die Modellierung mit Hilfe von Petri-Netzen zum Teil eingesetzt wird, betrifft die,,integrierte Planung, Steuerung und Kontrolle aller in einer Lieferkette auftretenden Aktivitäten". So ergeben sich durch z. B. veränderte Produktlebenszyklen, Produktnachfrage oder eine sich verschärfende Wettbewerbssituation, aber auch durch steigende Erwartungen der Kunden in Bezug auf Qualität, Preisgestaltung, Geschwindigkeit und Zuverlässigkeit ihrer Auftrags- und Bestellabwicklung, neue Herausforderungen für die Prozessgestaltung.

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68 Es gibt verschiedene Prozesselemente für die Simulation mit Petri-Netzen: 1) Sequentieller Prozess: Hiermit werden Prozesse modelliert, bei denen es zwingend notwendig ist, dass erst Schritt A abgeschlossen sein muss, bevor Schritt B stattfinden kann. Beispiel: Ein Fluggast am Flughafen. Zunächst muss der Passagier den Check-In-Schalter passieren, bevor er zur Personenkontrolle kann. 2) Nebenläufige Prozesse: Nebenläufige Prozesse sind voneinander unabhängig, sie finden parallel statt. Beispiel: In einer Bank werden gleichzeitig zwei Bankkunden an zwei unterschiedlichen Schaltern unabhängig voneinander bedient. 3) Synchronisation von Prozessen: Zwei von einander unabhängig arbeitende Prozesse werden durch eine gemeinsame Transition synchronisiert. Beispiel: Es werden zwei Bauteile A und B unabhängig voneinander gefertigt. In der Montage sollen Bauteil A und B montiert werden. Dies kann nur geschehen, wenn sowohl Teil A als auch Teil B gefertigt sind.

69 4) Konflikt: Es gibt Prozesse, in denen ein Konflikt auftreten kann. Beispiel: Ein Bankkunde tritt in die Bank ein und zwei Schalter sind geöffnet und frei. Der Konflikt besteht darin zu entscheiden, welcher Bankschalter aufgesucht wird. 5) Vereinigung: Es gibt Prozesse, die vereinigt werden. Beispiel: In einer Werkshalle existieren zwei Fließbänder, die unabhängig voneinander die gleichen Güter in ein Depot transportieren.

70 6) Verwechslung (Confusion): Eine Verwechslung könnte ebenfalls als ein doppelter Konflikt beschrieben werden. Eine Transition liegt im Konflikt mit zwei anderen Transitionen. In diesem Beispiel könnte entweder nur Transition t 2 oder die Transitionen t 1 und t 3 schalten. Beispiel: Zwei Bauteile A und B müssen sowohl lackiert als auch montiert werden. Es gibt zwei Möglichkeiten: a) Die Bauteile A und B können einzeln lackiert werden (Schaltung Transition t 1 und t 3 ) und danach montiert (dieser Prozessschritt ist nicht dargestellt); b) Die Bauteile A und B werden erst montiert (Schaltung der Transition t 2 ) und anschließend lackiert (dieser Prozessschritt ist nicht dargestellt). 7) Gegenseitiger Ausschluss von Prozessen: Eine weitere Variante der Prozessmodellierung ist der gegenseitige Ausschluss von Prozessen. In der obigen Abbildung wird Prozess A bevorzugt behandlet und erst nach Abschluss dieses Prozesses (Feuerung des Transition t 2 ) kann Prozess B starten. Beispiel: In einer Werkshalle gibt es zwei Fließbänder, die unterschiedliche Produkte fördern. Diese müssen einer Qualitätsprüfung unterzogen werden. Diese Qualitätsprüfung wird von einer Messmaschine durchgeführt. Dazu wird - wie in der obigen Abbildung - das Bauteil A von Fließband A genommen, geprüft (Schaltung Transition t 1 ) und nach erfolgreicher Prüfung wieder auf Fließband A zurückgelegt (Schaltung t 2 ). Erst wenn die Qualitätsprüfung des Bauteil A beendet ist, kann der Prozess für Bauteil B gestartet werden.

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