2 Tarife und Kosten. 1 a)

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1 Tarife und Kosten Schülerbuchseite 18 1 Tarife und Kosten Lösungen Seiten 18, 19 Seite 19 Check-in Aufgaben Die Lösungen zum Check-in befinden sich am Ende des Schülerbuches auf Seite. Lösungen Seiten 0, 1 Aktiv Strom- und Wasserbedarf 1 a) Durchschnittlicher Jahresstrombedarf in kwh 1 Person Personen Personen 4 Personen b) In einem 4-Personenhaushalt sind nicht doppelt so viele Elektrogeräte aufgestellt und angeschlossen wie in einem -Personenhaushalt. So gibt es z. B. nur einen Kühlschrank, eine Waschmaschine und einen Elektroherd. c) Individuelle Lösungen Der durchschnittliche Jahresstrombedarf pro Haushaltsmitglied liegt bei einem 4-Personenhaushalt bei rund 190 kwh und in einem Single-Haushalt bei 90 kwh also im Single-Haushalt um 1000 kwh höher als im 4-Personenhaushalt. Tipp: Die Angaben, die ihr bei eurer Recherche im Internet findet, können von Region zu Region schwanken, da es unterschiedliche Berechnungsverfahren gibt. Auch die Größe einer Wohnung und die geographische Lage (z. B. in Küstennähe oder aber im Bergland) beeinflussen die durchschnittlichen Bedarfswerte stark. a) P 1 sagt aus, dass bei 0 m Verbrauch 17,75 zu zahlen sind. P sagt aus, dass bei einem Verbrauch von 106 m ein Gesamtpreis von 10,07 zu zahlen ist. b) Der verbrauchsabhängige Teil der Wasserkosten ist eine proportionale Zuordnung, in der gilt: doppelter Verbrauch gleich doppelte Kosten. Der y-achsenabschnitt zeigt den Grundpreis von 17,75 an. c) Aus der Differenz der y-werte der beiden Punkte P und P 1 lässt sich der verbrauchsabhängige Teil der Wasserkosten berechnen: 10,07 17,75 = 18,. Aus der Differenz der -Werte der beiden Punkte P und P 1 lässt sich die verbrauchte Wassermenge berechnen: 106 m 0 m = 106 m. Teilst du nun die 18, durch 106 m, erhältst du die Steigung (= Preis für einen m Wasser) in Höhe von 1,7 pro m. Gleichung für die Gerade, z. B.: f () = 1,7 + 17,75 d) Die Steigung der Geraden ist der Preis pro m in Höhe von 1,7 pro m. Sie ist die Änderungsrate. Sie zeigt, wie sich der Preis verändert, wenn sich die Verbrauchsmenge des Wassers verändert. e) Dann könntest du die Differenz der y-werte und der -Werte aus den beiden Punkten P und P bilden und daraus ebenso die Steigung berechnen. 10,17 179,5 = 10,8 106 m 0 m = 76 m 10,8 : 76 = 1,71 1,7 Seite 1 Kurs Lineare Funktionsgleichungen Einstiegsaufgabe Kosten in P 1 P Strombedarf in kwh Den Grundpreis kannst du auf der y-achse ablesen: b = 80 Die Steigung a der Geraden gibt den Preis pro kwh an. Du kannst sie aus den beiden Punktkoordinaten berechnen: _ _ 84 a = = 40 = 0, Der Preis pro kwh beträgt 0,0. 8

2 Tarife und Kosten Schülerbuchseite Lösungen Seiten, 1 a) Steigung a = 4 1 _ 4 = _ = 1,5 y-achsenabschnitt b: Setze in die allgemeine Funktionsgleichung f () = a + b die Punktkoordinaten von P (4 4) und den Wert von a ein: 4 = 1,5 4 + b b = 4 6 b = Funktionsgleichung f () = 1,5 b) Zum Beispiel: Die Steigung berechne ich, indem ich die Differenz der y-werte der beiden Punkte durch die Differenz der -Werte der beiden Punkte dividiere. Der y-achsenabschnitt entspricht der Variablen b in der allgemeinen Funktionsgleichung f () = a + b. Den y-achsenabschnitt berechne ich, indem ich die Koordinaten eines Punkts sowie den Wert von a in die Funktionsgleichung einsetze. Dann löse ich die Gleichung nach b auf und setze die berechneten Werte für a und b in die Funktionsgleichung ein. a = Preis pro kwh in, b = Grundpreis in _ _ 108 a = = 450 = 0,4 09 = 400 0,4 + b b = b = 11 Der Preis pro kwh beträgt 0,4. Der Grundpreis beträgt 11,00. a) a = _ 4 = 0,75; b = 1; f () = 0, b) rote Gerade: a = 1_ = 0,5; b = ; g () = 0,5 + blaue Gerade: _ a = ; b = 1; h () = _ + 1 Tipp: Den Wert für b kannst du aus dem Koordinatensystem ablesen (= Schnittpunkt mit der y-achse). Der Wert für die Steigung a lässt sich mithilfe von Steigungsdreiecken bestimmen. _ 7,5 0,5 8_ 4 a) a = 4 0 = = ; b = 0,5; f () = + 0,5 b) a = ; b = 1; g () = c) a = 1; b = 4; h () = + 4 f () y g () h () 5 a) f () = + 1 b) g () = + c) h () = + 5 Die Steigungen a lassen sich leicht bestimmen, weil der Nenner im Steigungsquotienten immer 1 ist. Der Wert für b lässt sich leicht bestimmen, weil er aus dem y-wert des Punktes mit dem -Wert gleich Null direkt ablesbar ist. 6 Der Junge hat recht, seine Rechenwege führen beide zum richtigen Wert der Steigung a =. Bei der. Rechnung vertauscht er dabei komplett die Koordinaten von P 1 und P. Der Rechenweg des Mädchens kann zufällig richtig sein, wenn die Koordinaten des Punkts beide größer als die des zweiten Punkts sind. Als generelle Strategie ist dieser Weg aber falsch, wie man an diesem Beispiel schon feststellen kann. 7 Jana hat recht. Es geht mit allen Punkten, die auf der Geraden liegen: P 1 (1 4) einsetzen: 4 = b b = 4 5 = 1 P ( 14) einsetzen: 14 = 5 + b b = = 1 8 a) f () = 1 b) f () = + c) f () = 0,5 + 1 d) f () = 1,5 + 5,5 9 a) P 1 (11 17,80); P (4 8) _ 17,8 8 _ 9,8 a = 11 4 = 7 = 1,4 8 = 1,4 4 + b b =,4 Der Grundpreis für eine Fahrt beträgt,40 und der Preis für 1 km beträgt 1,40. b) Funktionsgleichung: p () = 1,4 +,4; = Anzahl der gefahrenen Kilometer p () = Preis in 9

3 Tarife und Kosten Schülerbuchseite 4 Seite Kurs Ungleichungen c) < 8, 6 L = { ; 8,4; 8,5; 8,6} 8 8,1 8, 8, 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9 Einstiegsaufgabe 800 0,6 150 > > 5000 > 15,15 Als Herr Heinz sagte: Die Anlage hat sich schon bezahlt gemacht, muss die Anlage schon mehr als 15 Jahre lang gelaufen sein. Wieso gibt es hier mehrere Lösungen? Weil auch nach 16; 17 oder 18 Jahren die Aussage stimmen würde eben für alle Jahresanzahlen größer als 15,15 Jahre. 1 Alle Lösungsangaben aus der Grundmenge der ganzen Zahlen Z. a) < b) > c) > d) < e) > f) < g) < h) > a) L = { 1; 0; 1; ; } gehört zur Darstellung B. b) L = { ; ; 1; 0; 1} gehört zur Darstellung A. a) > 9,5 L = {9,6; 9,7; 9,8; 9,9; } 9 9,1 9, 9, 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9, ,1 10, 10, b) < 1,6 L = { ;,0; 1,9; 1,8; 1,7},,,1 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 4 a) L = {0; 1; ; } passt zu 5 > 8, denn > 1. b) Fehler im 1. Druck des Schulbuchs: Die 1. Funktion ist 6 < 6. L = { ; ; ; 4; 5} passt zu 6 < 6, denn < 6. Lösungen Seiten 4, 5 5 a) > b) > 8 c) > 14 : ( ) < 7 d) 4 > : ( ) 8 < ; bzw. > 8 6 a) > 4,5 b) > 4,5 c) 1 > + 8; > 8 d) < _ 4 7 Individuelle Lösungen 8 Ungleichung zur ersten Aussage 1 < < 14 : < 4, 6 Ungleichung zur zweiten Aussage + 4 > ( ) + 4 > > > 4 : ( 4) 0 < ; bzw. > 0 9 a) z. B.: ( + ) < 48 6 < 48 < 8 b) z. B.: < 8 Länge < 16 m; Breite < 8 m < 7 Länge < 14 m; Breite < 7 m < 6 Länge < 1 m; Breite < 6 m 10 a) Ungleichung () trifft auf die Situation zu. b) Er kann km oder 5 km fahren, denn die Lösung der Ungleichung lautet < 5. 10

4 Tarife und Kosten Schülerbuchseite a) 1, > 400 b) Jahresverbrauch von 110 m : 1, = 8 ; kein Rabatt, weil Endpreis < 400 Jahresverbrauch von 17 m : 1, = 49,60 minus 5 % Rabatt, weil Endpreis > ,60 0,95 = 417,6 Endpreis Jahresverbrauch von 185 m : 1, = 46 minus 5 % Rabatt, weil Endpreis > ,95 = 49,85 Endpreis Kosten in Tausend M 014 CX 1000 Seite 5 Aktiv Kopierer kaufen oder leasen? 1 a) Für den Vergleich der Kaufangebote bietet es sich an, den Kaufpreis (= Kosten für die Anschaffung) und die Kosten für die Wartung und die einzelne Kopie miteinander zu vergleichen. Der Kaufpreis wird nur einmal bezahlt. Wartung und Kosten pro Kopie fallen über den ganzen Zeitraum der Nutzung des Geräts an. b) Übersicht Kosten n Jahre CX 1000 M Kauf 150 Wartung 00 Kopien 150 Wartung 00 Kopien 150 Wartung 00 Kopien Wartung 00 Kopien Wartung 00 Kopien Kauf 850 Wartung 850 Wartung 850 Wartung 850 Wartung 850 Wartung Summe allgemein in n Jahren: CX 1000: 4450 n M 014: 4850 n Zeit in Jahren Tipp: Nutzt für die grafische Darstellung der Kostenentwicklung ein geeignetes Computerprogramm (Funktionsplotter oder Ähnliches). c) Die Schule sollte sich für den Kopierer CX 1000 entscheiden, da er trotz des höheren Einkaufspreises und der höheren Wartungskosten auf die Dauer wegen der geringeren Kopierkosten günstiger ist als der Kopierer M 014. Wie die Grafik zeigt, lohnt sich der Kauf von CX 1000 nach dem. Jahr. Nach fünf Jahren beträgt die Ersparnis 850, nach zehn Jahren 850. a) Kostenentwicklung bei Leasing für n Jahre CX 1000 M Sonderzahlung 400 Leasing 00 Kopien 400 Leasing 00 Kopien 400 Leasing 00 Kopien Leasing 00 Kopien Leasing 00 Kopien 000 Sonderzahlung 160 Leasing 160 Leasing 160 Leasing 160 Leasing 160 Leasing Summe allgemein in n Jahren: CX 1000: 5600 n M 014: 6160 n b) Auch beim Leasing ist der Kopierer CX 1000 in den ersten fünf Jahren günstiger als der M 014, und zwar um

5 Tarife und Kosten Schülerbuchseite 5 7 Zum Beispiel: Die Schule sollte den Kopierer CX 1000 am besten leasen, da schon in den ersten fünf Jahren das Leasen mit den Folgekosten und dem hohen Kopieraufkommen um 4500 günstiger ist als der Kauf dieses Geräts. Hinzu kommt noch, dass in den späteren Jahren bei einem Leasingvertrag das Gerät bei einem Defekt oder bei Verschleiß in der Regel durch ein neues bzw. anderes funktionstüchtiges Gerät ersetzt wird. Lösungen Seiten 6, 7 Kurs Schnittpunkte berechnen Einstiegsaufgabe Der Schnittpunkt der beiden Graphen sagt aus, dass an dieser Stelle (hier: Anzahl der Ausdrucke) die Kosten bei beiden Druckern gleich hoch sind. Wenn also die Kosten, die in den beiden Gleichungen durch die Terme auf der linken Seite ausgedrückt sind, an dieser Stelle gleich hoch sind, kannst du zur Berechnung der Schnittpunktkoordinaten die rechten Termseiten gleich setzen und nach auflösen. 0, ,0 = 0, ,90 167,6 in P () einsetzen: y = 0, ,6 + 96,0 y 18,40 S (167,6 18,4), das bedeutet: Bei ca. 168 Ausdrucken sind bei beiden Druckern die Kosten in Höhe von 18,40 gleich hoch. 1 a) S (5 11) b) S (7 16) c) S (1, 1,8) d) S (1 5) e) S (4,5,5) a) stimmt b) stimmt nicht, richtig ist S (1 1) c) stimmt d) stimmt nicht, richtig ist S ( 5 ) e) stimmt nicht, richtig ist S ( 10_ 17_ ) Tipp: Setze den -Wert der Schnittpunktkoordinaten in beide Gleichungen ein und berechne dann den y-wert. a) S (4 5,8) b) S ( 5) c) S (10 9,5) d) S (6 5,4) Tipp: In Teilaufgabe b) ist es sinnvoller mit Brüchen zu rechnen, als in Dezimalzahlen umzuwandeln. 4 Die richtige Berechnung lautet: 0,6 +,6 =,4 +,4 4 +,6 =,6 4 = 5,6 : 4 = 1,4 in f () einsetzen: y = 0,6 ( 1,4) +,6 y = 0,84 +,6 y =,76 S ( 1,4,76) Seite 7 5 = Anzahl der Jahre WA (): Kosten einer konventionellen Warmwasseraufbereitungsanlage nach Jahren S (): Kosten einer Solaranlage nach Jahren a) WA () = S () = = = 8 1_ Nach 8 Jahren und 4 Monaten ist die Solaranlage kostengünstiger. b) = = ,00 Energiekosten können in den ersten 15 Jahren eingespart werden. 6 = Anzahl der gefahrenen Kilometer Kosten bei Transpo: T () = 0, Kosten bei Carserv: C () = 0, a) 0, = 0, = 60 Unter 60 km Fahrstrecke ist die Firma Carserv günstiger. Bei 60 km Fahrstrecke sind beide Firmen gleich teuer. Über 60 km Fahrstrecke ist die Firma Transpo günstiger. b) Mit der günstigeren Firma Transpo kostet ein Tagesumzug mit einer Fahrstrecke von 180 km 0, = 146,00. c) Mit der teureren Firma Carserv kostet ein Tagesumzug mit einer Fahrstrecke von 180 km 0, = 164,00, d. h. man hätte bei dieser Firmenwahl 18,00 zu viel gezahlt. 7 = Anzahl der Wartungsstunden Firma Topp: 000 = ,6 Firma Plus: 000 = = 46,4 Bei der Firma Plus sind mehr Wartungsstunden möglich. 1

6 Tarife und Kosten Schülerbuchseite = Anzahl der Druckerpatronen (für 1000 Blatt) Anzahl der Druckerpatronen bei 6000 Ausdrucken = 6 a) Drucker I: = Ausdrucke kosten mit Drucker I 79,00. Drucker II: = Ausdrucke kosten mit Drucker II 70,00. Bei 6000 Ausdrucken ist Drucker II günstiger. b) = = 5,1 Bei etwas über 5 Druckerpatronen, also bei ca Ausdrucken, sind die Kosten für beide Drucker gleich. 9 a) Die Tabellen könnten zum Beispiel so aussehen: Tarif A (Kleinverbraucher) Grundpreis: Tarif B (Gewerbetarif) Grundpreis: 85,00 150,00 Preis pro kwh: 0,1 0,16 Strombedarf pro Jahr in kwh Preis pro kwh: Kosten Tarif A Kosten Tarif B ,00 0, ,00 46,00 700,00 6, ,00 78, ,00 94, ,00 10, ,00 6, ,00 4, ,00 58, ,00 74, ,00 90, ,00 406, ,00 4, ,00 48, ,00 454, ,00 470,00 b) Du kannst die Lösung aus der Tabelle ablesen. Bei 100 kwh sind die Kosten bei beiden Tarifen gleich hoch. Davor ist Tarif A günstiger, danach Tarif B. Ab einem jährlichen Strombedarf von 100 kwh lohnt sich der Gewerbetarif. c) Zum Beispiel: Eine Tabelle ist vorteilhaft für den Vergleich von Kosten bei verschiedenem Strombedarf in verschiedenen Tarifen. Eine Gleichung aufzustellen lohnt sich, wenn man in einem bestimmten Tarif immer wieder die Kosten für unterschiedlichen Stromverbrauch berechnen will oder wenn die Anzahl kwh keine ganzzahlige Zahl ist. 10 Zum Beispiel: In der Funktionsgleichung steht auf der einen Seite (in der Regel links) der Term, der den Funktionswert angibt, und auf der anderen Seite der Term mit der Variablen, mit dessen Hilfe der Funktionswert berechnet wird. Suchst du den Schnittpunkt, so suchst du die Stelle, an der die Funktionswerte (also die y-werte) gleich sind. Dafür setzt du die Funktionsterme mit der Variablen gleich. So erhältst du eine Gleichung mit der Variablen auf beiden Seiten. Diese kannst du nach auflösen. Lösungen Seiten 8, 9 Aktiv Zwei Unbekannte 1 E = Eintrittspreis für einen Erwachsenen; K = Eintrittspreis für ein Kind a) In Abb. 1 zahlen zwei Erwachsene und zwei Kinder 0,00 für ihre Kinokarten. In Abb. zahlen eine Erwachsene und Kinder zusammen 16,00. Die Gruppe in Abb. besteht aus Erwachsenen und fünf Kindern. D. h. sie ist genauso groß wie die Gruppe in Abb. 1 plus die Gruppe in Abb.. Die Gruppe in Abb. zahlt daher 0, ,00 = 6,00 an Eintritt. Tipp: Ihr könnt die Anzahl der Personen und die Preise aus den beiden ersten Abbildungen addieren und erhaltet damit die Anzahl der Personen und den Eintrittspreis für die Gruppe in Abb.. b) Eine Eintrittskarte für einen Erwachsenen kostet 7,00 und für ein Kind,00. Tipp: Findet die Lösung durch schrittweises Probieren. Zum Beispiel: Wenn ihr die Gleichung für Abb. 1 durch teilt, gilt: 1 E + 1 K = 10. Da ein Erwachsener in der Regel mehr bezahlen muss als ein Kind, könntet ihr mit 6,00 für 1 Erwachsenen und 4,00 für 1 Kind euer Probieren starten und in die Gleichung (aus Abb. ) 1 E + 1 K = 16 einsetzen. Wenn die Werte nicht stimmen, könntet ihr sie in 0,50 -Schritten erhöhen bzw. verringern, bis sie für alle Gleichungen stimmen. c) Individuelle Lösungen 1

7 Tarife und Kosten Schülerbuchseite 8 0 a) p = Gewicht eines Ponys; s = Gewicht eines Seehunds; h = Gewicht eines Hunds für Abb. 4 gilt: 1 p = 1 h + 1 s für Abb. 5 gilt: p + 1 s = 8 h Lösung: Ein Pony ist so schwer wie drei Hunde. b) Zum Beispiel: Mit den Tierkarten könnt ihr die Gleichungen nachlegen und die Karten auf beiden Seiten addieren. Dann gilt: p + 1 s = 9 h + 1 s auf beiden Seiten 1 s wegnehmen, dann bleibt übrig: p = 9 h beide Seiten durch teilen 1 p = h Seite 9 Kurs Gleichungssysteme lösen Einstiegsaufgabe E = Eintrittspreis für einen Erwachsenen K = Eintrittspreis für ein Kind Zwei Erwachsene mit vier Kindern zahlen 4,00, also E + 4 K = 4. Zwei Erwachsene mit zwei Kindern zahlen 4,00, also E + K = 4. Das bedeutet: Kinder zahlen 10,00 Eintritt, also zahlt ein Kind 5,00. E + 5 = 4 E = 14 E = 7 Eine Eintrittskarte für einen Erwachsenen kostet 7,00 und für ein Kind 5, Schritt: Variablen festlegen B = Preis eines Brötchens; H = Preis eines Hörnchens. Schritt: Gleichungen bilden (I) 4 B + H =,7 (II) 7 B + H =,54. Schritt: Zweite Gleichung von erster Gleichung subtrahieren, damit H wegfällt. (I) 4 B + H =,7 (II) 7 B + H =,54 B = 0,81 4. Schritt: Gleichung lösen B = 0,81 : ( ) 1 B = 0,7 5. Schritt: Wert für B in (I) einsetzen (I) 4 0,7 + H =,7 1 H = 0,55 6. Schritt: Ergebnis formulieren Ein Brötchen kostet 0,7, ein Hörnchen 0,55. a) E =,00 ; K = 5,00 b) E =,00 ; K = 1,00 c) y = 9; = 6,5 d) s = 4; r = 1 Tipp: Es ist hilfreich, wenn gleiche Variablen in beiden Gleichungen an der gleichen Stelle stehen. Lösungen Seiten 0, 1 a) Gleichung (I) und (II) addieren 10 c = 0 : 10 c = in (I) einsetzen d = 5 b) Gleichung (I) und (II) addieren 5 t = 10 : 5 t = in (I) einsetzen r = 1 c) Gleichung (I) von (II) subtrahieren n = 14 in (I) einsetzen m = 18 d) Gleichung (II) von (I) subtrahieren 10 p = 0 : 10 p = in (I) einsetzen q = 0 4 a) Gleichung (I) von (II) subtrahieren ergibt + 10 = + 10 = 1 in (I) einsetzen y = 4 b) Gleichung (II) von (I) subtrahieren ergibt 18 = 6 = in (I) einsetzen y = 5 Tipp: Achte genau darauf, welche Gleichung du von welcher abziehst. 5 Du kannst die Lösungen überprüfen, indem du sie in beide Gleichungen einsetzt. Dann rechnest du aus, ob der Wert auf der rechten Seite herauskommt. a) (I) = 6 stimmt (II) 8 1 = 14 stimmt nicht Also ist = 8 und y = 1 keine Lösung. Richtig ist = 10 und y = 6; denn (I) = 6 stimmt (II) 10 6 = 14 stimmt b) (I) = 15 stimmt (II) = 5 stimmt a = 4 und b = 11 ist die Lösung. 6 Individuelle Lösungen 14

8 Tarife und Kosten Schülerbuchseite a) Zum Beispiel: Gleichung (I) mit multiplizieren, dann fällt y bei der Addition weg. Lösung: = ; y = 1 b) Zum Beispiel Gleichung (II) mit multiplizieren, dann fällt b bei der Addition weg. Lösung: a = 5; b = 8 a) Gleichung (I) multipliziert mit 4 (II) multipliziert mit Danach wurde das Additionsverfahren angewendet. Dabei fällt y weg. Lösung: = ; y = b) Gleichung (I) multipliziert mit (II) multipliziert mit Danach wurden beide Gleichungen addiert. Dabei fällt weg. Lösung: = 1; y = 4 9 Zum Beispiel: a) Gleichung (I) mit multiplizieren, Gleichung (II) mit multiplizieren. a = ; c = b) Gleichung (I) mit multiplizieren, Gleichung (II) mit 5 multiplizieren. = 5; y = 1 c) Gleichung (I) mit multiplizieren, Gleichung (II) mit multiplizieren. = ; y = 5 d) Gleichung (I) mit 4 multiplizieren, Gleichung (II) mit multiplizieren. p = 4; q = e) Gleichung (I) durch dividieren, Gleichung (II) durch dividieren. = 8; y = f) Gleichung (I) durch dividieren, Gleichung (II) bleibt. = 16; y = 4 Tipp: Versuche immer gemeinsame Vielfache einer Variablen zu finden. Seite 1 10 Kosten für einen Pinsel: P; Kosten für eine Tube Farbe: T (I) 6 P + T = 1 (II) 4 P T = Gleichung (I) und (II) addieren ergibt: 10 P = 15 : 10 P = 1,5 Ein Pinsel kostet 1,50 und eine Tube Farbe kostet, a) E = Preis für 1 Eintrittskarte Erwachsener; K = Preis für 1 Eintrittskarte Kind E + K = 0 E + K = 5 Daraus ergibt sich E = 10,00 und K = 5,00. Drei Erwachsene und vier Kinder zahlen 50,00. b) Individuelle Lösungen 1 = Anzahl der Doppelzimmer; y = Anzahl der Einzelzimmer (I) + y = 0 für die Anzahl der Gäste (II) + y = 1 für die Anzahl der Zimmer Lösung: = 9 und y = 1. Das Hotel hat 9 Doppelzimmer und 1 Einzelzimmer. 1 a) Individuelle Lösungen, z. B.: Die Gleichung könnte auf eine Einkaufssituation passen. könnte die Anzahl von Bleistiften zu je 0,40 sein und y die Anzahl von Zeichenblöcken zu je 1,60. Es gibt mehrere Lösungspaare: = 0 und y = 7; = 4 und y = 6; = 8 und y = 5; = 1 und y = 4; = 16 und y = ; = 0 und y = ; = 4 und y = 1 und = 8 und y = 0 b) Eine zweite Gleichung könnte lauten: (II) 0,90 +,0 y =,80 Jetzt gibt es nur ein Lösungspaar, das beide Gleichungen erfüllt, nämlich = 4 und y = 6. Es könnte bedeuten, dass ein anderer Kunde ebenfalls 4 Bleistifte (aber zu 0,90 /Stück) und auch 6 Zeichenblöcke (aber zu,0 /Stück) gekauft hat und dafür,80 zahlte. D. h. man kann mit dem Gleichungssystem berechnen, welche Anzahl eines Produkts die beiden Kunden gekauft haben. 14 a = Länge des Schenkels in dem kleinen, gleichschenkligen Dreieck; b = Länge der Grundseite in dem kleinen, gleichschenkligen Dreieck Dann gilt für den Umfang des großen gleichschenkligen Dreiecks: (I) 4 a + b = 46 Für den Umfang des Parallelogramms gilt: (II) a + 4 b = 8 Lösung des Gleichungssystems: a = 9 und b = 5 Die Schenkel der kleinen Dreiecke sind jeweils 9 cm lang und die Grundseite ist 5 cm lang. 15

9 Tarife und Kosten Schülerbuchseite 1 15 Es lassen sich für die Tische 1 bis drei Gleichungen aufstellen, z. B.: Tisch 1: T + 4 S = 10 Tisch : T + G = 9 Tisch : S + G = 8 Daraus kannst du durch schrittweises Umformen und Einsetzen in die Gleichungen die Preise für Tacos (T), Salate (S) und Getränke (G) berechnen: Taco: 1,00 ; Salat:,00 ; Getränk:,00 Die Preise für die restlichen Bestellungen sind Tisch 4:,00 ; Tisch 5: 8,00 und Tisch 6: 16,00. Lösungen Seiten, 16 a) Lea hat in die Gleichung (I) für die Variable y den in Gleichung (II) angegebenen Term eingesetzt. Damit hat sie eine Gleichung mit nur einer Variablen erhalten. b) Fortsetzung von Leas Lösungsansatz + ( + 5) = 16 5 = 11 : = _ 11 in (II) einsetzen _ 11 _ y = + 5 = + 5 = 8 _ c) A: Term von (I) in (II) einsetzen: (II) 4 ( 5 + 6) 48 = 4 Klammer auflösen = = 4 : 4 1 = = 1; y = 11 B: Term von (II) in (I) einsetzen: (I) (4 45) = 8 Klammer auflösen = 8 Zusammenfassen = = 14 : ( 11) = 1 = 1; y = 7 17 a) Fortsetzung von Svens Lösungsansatz = in (II) einsetzen: y = = 6 Lösung: = ; y = 6 Sven hat als ersten Lösungsschritt die beiden rechten Terme der Gleichungen gleichgesetzt, da die beiden linken Terme der Gleichungen auch gleich waren. Damit hat er eine Gleichung mit nur einer Variablen erhalten. b) A: Gleichsetzen: = 7 15 = 5 : ( 5) = = ; y = 6 B: Gleichsetzen: 49 b = 5 b + b 49 = 7 b : 7 7 = b a = 17,5; b = 7 18 a) Du kannst durch Umformen der einzelnen Gleichungen zeigen, dass es sich bei allen Gleichungssystemen um ein und dasselbe handelt. Gleichung (I) y = y 0 = y Gleichung (II) y = y = 4 b) Gleich ist bei allen drei Lösungsverfahren, dass es nach den Umformungen immer nur noch eine Gleichung mit einer Variablen gibt. Diese wird dann bei allen drei Verfahren nach der jeweiligen Variablen aufgelöst. Die Lösung wird dann in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen eingesetzt und damit die Lösung für die zweite Variable bestimmt. Verschieden ist bei den drei Lösungsverfahren jeweils nur der Lösungsansatz, also der erste Schritt, der zu der einen Gleichung mit nur einer Variablen führt. Nach diesem Schritt sind auch die drei Verfahren benannt worden: Gleichsetzungsverfahren: Im Beispiel werden die rechten Seiten gleichgesetzt. Einsetzverfahren: Im Beispiel wird der Wert für eine Variable aus der Gleichung (II) in die Gleichung (I) eingesetzt. Additionsverfahren: Beide Gleichungen werden addiert. c) Verschiedene Lösungen sind möglich, z. B.: Gleichsetzungverfahren (I) y = 16 (II) y = + 5 (I) y = (II) y = + 1 (I) y = 8_ + _ (II) y = 4 45 Additionsverfahren (I) + y = 16 (II) + y = 10 (I) 4 y = 0 4 (II) 4 y = (I) 1 y = 4 (II) y = a) = ; y = 9 b) a = ; b =,5 c) n = 4; m = 9 d) r = 5; s = 5 e) = 5; y = 1 f) p = 4; q = 1 _ 11 1_ g) a = ; b = h) = 0; y = 0 Tipp: Achte besonders beim Additionsverfahren auf die Vorzeichenregeln. In Teilaufgabe g) ist es sinnvoll, mit Brüchen zu rechnen. 16

10 Tarife und Kosten Schülerbuchseite Seite 0 a) = 4; y = 57 b) = 6; y = 7 c) = ; y = 8 d) = 16; y = 4,5 1 a) Die beiden Gleichungen wurden gleichgesetzt, ohne Gleichung (II) vorher mit zu multiplizieren. Außerdem wurde vergessen, bei y das y zu notieren. Richtig ist: (I) = y (II) = + y (II ) = y Gleichsetzen von (I) und (II ) ergibt: y = y 4 y = 8 y = in (II) einsetzen = + ( ) = 8 b) Die beiden Gleichungen sollten subtrahiert werden, dabei wurden die Differenzen y y = 1 y und 6 4 = 10 falsch gebildet bzw. berechnet. Richtig ist: (I) y = 6 6 (II) y = + 4 (II ) 6 y = (II ) (I) y = 18 y = 6 in (II ) einsetzen 6 = + 4 = 1 4 = 8 = 4 a) A = ; y = B = 11 _ ; y = 1_ C = ; y =,6 D = ; y = 1_ 4 Die Lösung y = 4,5 und = 1 passt zu keinem Gleichungssystem. b) Zum Beispiel: Mögliche Schritte, um zur Lösung y = 4,5; = 1 ein passendes Gleichungssystem zu erstellen: 1. Schritt: Ich setze in die allgemeine Funktionsgleichung f () = a + b die beiden Lösungswerte ein. 4,5 = a ( 1) + b. Schritt: Ich setze für die Steigung a einen beliebigen Wert ein, zum Beispiel 1,5. 4,5 = 1,5 ( 1) + b. Schritt: Ich löse die Gleichung nach b auf. b = 4,5 1,5 = 4. Schritt: Ich schreibe die erste Gleichung auf. y = 1,5 + Nun führe ich dieselben Schritte für eine zweite Gleichung durch, zum Beispiel: y = + 6,5 Das Gleichungssystem (I) y = 1,5 + (II) y = + 6,5 hat die Lösung = 1 und y = 4,5. a) Die Gleichungen sagen aus, wie viel Euro jeweils eine bestimme Anzahl von Tassen Tee und Tassen Kaffee kosten: Zwei Tassen Kaffee und eine Tasse Tee kosten 1,50. Vier Tassen Kaffee und eine Tasse Tee kosten,85. Drei Tassen Tee und zwei Tassen Kaffee kosten,55. b) 1 Tee kostet 0,45. 1 Kaffee kostet 0,60. c) Zum Beispiel: Bei einer Gleichung mit zwei Variablen gibt es meistens mehrere Lösungen. Erst mit einer zweiten Gleichung, die zum selben Sachverhalt ergänzende Aussagen macht, lassen sich die Variablen genau bestimmen. 4 E = Anzahl der Karten für Erwachsenen S = Anzahl der Karten für Schüler (I) E + S = 400 (II) 4,00 E + 1,50 S = 107,50 a) Es wurden an 5 Schüler und 175 Erwachsene Karten verkauft. b) Verschiedene Lösungen sind möglich, je nach Annahme. Unter der Annahme, dass gleich viele Besucher kommen, könnten die Preise auf z. B. Eintrittspreis Erwachsener 5,00 und Eintrittspreis Schüler,80 erhöht werden. Allerdings kann es sein, dass bei höheren Preisen weniger Besucher kommen. 5 S = Anzahl der Schokoriegel N = Anzahl der Nusswaffeln (I) 1 S + 4 N =,55 (II) S + N =,75 Preis für 1 Schokoriegel: 0,87 Preis für 1 Nusswaffel: 0,67 Tipp: Nutze das Additionsverfahren. Multipliziere Gleichung (I) mit und subtrahiere dann Gleichung (II) von (I). _ 1 98,6 6 a) a = = 1,8 1 = 1, b b = = a = 1,8 und b = Es gilt T (Fahrenheit) = 1,8 T (Celsius) + b) 1,8 5 + = 77 5 C entsprechen 77 F. 17

11 Tarife und Kosten Schülerbuchseite 4 Lösungen Seiten 4, 5 7 a) (I) y = und (II) + y = 1 umgeformt: (I ) y = + als Funktionsgleichung: f () = + (II ) y = 1 als Funktionsgleichung: g () = 1 b) y g () S (7 9) f () c) Im Schnittpunkt haben beide Graphen den gleichen -Wert und den gleichen y-wert (gleicher Funktionswert). Sind beide Gleichungen nach y umgestellt, so kann man die Terme auf der rechten Seite gleichsetzen. Durch Auflösen dieser Gleichung nach erhält man den -Wert des Schnittpunkts. d) (I) y = 4 9 (I) y = 7 (II) 5 = y (II) y = S (4 7) S (1 9) 8 a) Lösung: = ; y = b) Schnittpunktkoordinaten S ( ) roter Graph f () = 0,5 + 1 blauer Graph g () = rechte Terme gleichsetzen: 0,5 + 1 = 0,5 1 = 1,5 + 1,5 = : 1,5 = in die untere Gleichung einsetzen: y = = c) Zum Beispiel: Sowohl das Gleichungssystem als auch die beiden Funktionsgleichungen haben die gleiche Lösung. Bei den beiden Funktionsgleichungen bedeutet die Lösung, dass die beiden zugehörigen Graphen einen gemeinsamen Schnittpunkt S mit den Koordinaten ( ) haben. Im Gleichungssystem bedeutet die Lösung = und y =, dass diese Werte beide Gleichungen erfüllen d. h. beim Einsetzen dieser Werte haben die Terme auf der linken und auf der rechten Seite jeweils den gleichen Wert. 9 a) (I) y = (II) + 1 = y für y in (I) einsetzen (I ) + 1 = + 1 = 1 = 4 in (I) einsetzen: y 4 = + 1 y = 9 b) (I) y = y = als Funktionsgleichung: f () = (II) + 1 = y y = + 1 als Funktionsgleichung: g () = + 1 = + 1 = 1 + = 4 in f () einsetzen: y = 4 y = 9 S (4 9) 0 a) Dieses Gleichungssystem hat keine Lösung. Die Variablen fallen in den Lösungsschritten weg und übrig bleiben falsche Aussagen wie 0 = 5 oder = 7. b) Der blaue Graph stellt die Funktionsgleichung zu (I) dar. Der rote Graph stellt die Funktionsgleichung zu (II) dar. Die beiden Graphen bestätigen, dass es keine Lösung gibt. Sie liegen parallel zueinander und haben somit keinen gemeinsamen Schnittpunkt. 18

12 Tarife und Kosten Schülerbuchseite 5 Seite 5 1 Erzeuge die Graphen mithilfe eines Funk tionsplotters oder einer anderen geeigneten Software z. B. Geometriesoftware. a) f () = und g () = y g () f () d) y + = als Funktionsgleichung: f () = + y + = 0 als Funktionsgleichung: g () = g () 1 y f () Die Geraden sind parallel und haben keinen Schnittpunkt. b) y = 0 als Funktionsgleichung: f () = y + = als Funktionsgleichung: g () = 1 y f () g () Die Geraden sind parallel und haben keinen Schnittpunkt. c) f () = und g () = + f () 1 y g () Die Geraden sind parallel und haben keinen Schnittpunkt. Die Geraden sind parallel und haben keinen Schnittpunkt. e) Regel: Zwei Geraden sind parallel und schneiden sich nicht, wenn sie die gleiche Steigung haben und nicht identisch sind. a) Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, z. B.: (1) y = 4 mögliche zweite Gleichung: y = + 4 () y + = 8 mögliche zweite Gleichung: y + = 4 b) Setze die beiden Funktionen gleich und forme um. Für die Beispiele aus a): (1) (I) y = 4 (II) y = + 4 (I) und (II) gleichsetzen: 4 = Terme nicht gleich, keine Lösung und daher auch kein Schnittpunkt () (I) y + = 8 (II) y + = 4 (I) und (II) gleichsetzen: 8 4 Terme nicht gleich, keine Lösung und daher auch kein Schnittpunkt a) Die Graphen schneiden sich, da sie unterschiedliche Steigungen haben. b) Die Graphen schneiden sich nicht, da sie parallel zueinander liegen. c) Die Graphen liegen aufeinander, da die Funktionsgleichungen identisch sind. d) Die Graphen schneiden sich, da sie unterschiedliche Steigungen haben. Tipp: f () hat die Steigung 1 und g () hat die Steigung 0. e) Regel: Zwei Geraden schneiden sich, wenn sie unterschiedliche Steigungen haben. 19

13 Tarife und Kosten Schülerbuchseite Individuelle Lösungen, z. B.: a) mit einer Lösung: alle Kombinationen außer denen in b) und c). b) mit keiner Lösung: 4 y 10 = 0 und y = 0; y = 1_ 5 + und 5 y = c) mit unendlich vielen Lösungen: 1_ y = + 5 und y = + 10; y = 1_ + 5 und + 4 y 0 = 0 5 a) (I) + y = 5 (II) y = 10 (II ) y = 5 (II ) in (I) einsetzen: + (5 ) = 5 5 = 5 Diese beiden Terme sind mit jedem beliebigen gleich, daher gibt es unendlich viele Lösungen. Die beiden Geraden sind identisch. b) (I) y = (II) 0,5 y + 1 = (II) in (I) einsetzen: y = 4 (0,5 y + 1) + 8 y = y y 0 1 Diese beiden Terme sind nicht gleich. Es gibt keine Lösung. Die Geraden sind parallel. c) (I) 0, = y (II) 4y 8 = 1,5 (II ) y 4 = 0, (II ) y = 0, (I) und (II ) gleichsetzen: 0, = 0, Diese beiden Terme sind mit jedem beliebigen gleich, daher gibt es unendlich viele Lösungen. Die beiden Geraden sind identisch. Lösungen Seiten 6, 7 Seite 7 Check Aufgaben Die Lösungen zum Check befinden sich am Ende des Schülerbuches auf Seite. Lösungen Seite 8 Thema Kosten und Umsätze 1 a) Die fien Kosten liegen bei b) Die variablen Kosten liegen bei,00 /Stück. c) Ab einer produzierten Stückzahl von rund Stück ist das Unternehmen in der Gewinnzone. Die Kosten und die Umsätze liegen an dieser Stelle bei rund Zur genauen Berechnung der Schnittpunktkoordinaten kannst du für beide Geraden eine Funktionsgleichung aufstellen und sie dann gleichsetzen: K () = ; U () =, =,50 = 6 666, y = 9, 9 00 d) K (15 000) U (15 000) = , = Der Verlust bei produzierten Stücken liegt bei U (40 000) K (40 000) = Der Gewinn bei produzierten Stücken liegt bei Tipp: Die gesuchten Werte kannst du berechnen oder im Schaubild ablesen. a) K () = 0, ; U () = 1, Umsatz und Kosten in Tausend K () U () Stück in Tausend b) Die Gewinnzone wird bei einer Stückzahl von verkauften Schokoladenfiguren erreicht. Die Kosten und die Umsätze liegen an dieser Stelle bei rund Tipp: Für die rechnerische Überprüfung setze die beiden Funktionsgleichungen gleich. c) Der Verlust bei nur verkauften Schokoladenfiguren liegt bei Der Gewinn bei verkauften Schokoladenfiguren liegt bei Tipp: Setze für die Verlust und Gewinnberechnung die genannten Stückzahlen in beide Funktionsgleichungen ein und bilde aus den berechneten Werten die Differenz. 0

14 Tarife und Kosten Schülerbuchseite 8 40 d) Gesucht ist b für eine neue Kostengleichung K () = 0,50 + b Setze die Stück in die Gleichung für die Umsatzgerade ein. U (0 000) = 1, = 000 Dann setze die Stückzahl und den Umsatz von 000 in die gesuchte Gleichung für die Kostengerade K () ein und löse nach b auf. 000 = 0, b b = Um die Gewinnzone schon bei verkauften Schokoladenfiguren erreichen zu können, müssten die fien Kosten auf gesenkt werden. e) Gleichung für die Kosten: K () = 0, Setze die in die neue Gleichung für die Kostengerade ein und setze sie mit der Gleichung für die Umsatzgerade gleich. 0, = 1, Stück Die Verlustzone verschiebt sich auf ca verkaufte Schokoladenfiguren, wenn die fien Kosten auf ansteigen. Lösungen Seite 40 Test Die Lösungen zum Test befinden sich am Ende des Schülerbuches auf den Seiten bis 5. 1