Vergleich von "Gammaverteilung" und Lognormalverteilung
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- Heiko Lehmann
- vor 5 Jahren
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1 Vergleich von "Gammaverteilung" und Lognormalverteilung 1) exponentiell gedämpfte Potenz bzw. "Gammaverteilung" Definition und Eigenschaften Definition In[164]:= ClearΑ, x0 p1x x ^ Α Expx x0 x0 ^ Α 1 GammaΑ 1 Out[165]= x x0 x Α x0 1Α Gamma1 Α p1 (x) ist richtig normiert... In[166]:= Integratep1x, x, 0,, Assumptions Rex0 0 && ReΑ 0 Out[166]= 1 Bestimmung des Maximums In[167]:= p1maximum x. SolveDp1x, x, 1 0, x Out[167]= x0 Α
2 2 distributionen.nb Momente allgemein berechnet In[168]:= Integratex p1x, x, 0,, Assumptions Rex0 0 && ReΑ 0 Integratex ^ 2 p1x, x, 0,, Assumptions Rex0 0 && ReΑ 0 Integratex ^ 3 p1x, x, 0,, Assumptions Rex0 0 && ReΑ 0 Integratex ^ 4 p1x, x, 0,, Assumptions Rex0 0 && ReΑ 0 Integratex ^ n p1x, x, 0,, Assumptions Rex0 0 && ReΑ 0 && Ren 1 Out[168]= Out[169]= Out[170]= Out[171]= Out[172]= x0 1 Α x0 2 1 Α 2 Α x0 3 Gamma4 Α Gamma1 Α x0 4 Gamma5 Α Gamma1 Α x0 n Gamma1 n Α Gamma1 Α Erwartungswert in Abhängigkeit von Α und x0 In[173]:= Out[173]= p1mittelwert x0 Α 1 x0 1 Α Momente in Abhängigkeit von Α und x0 In[177]:= p1xmomentn x0 n Α k; p1xmoment1 p1xmoment2 p1xmoment3 p1xmoment4 n k 1 Out[178]= Out[179]= Out[180]= Out[181]= x0 1 Α x0 2 1 Α 2 Α x0 3 1 Α 2 Α 3 Α x0 4 1 Α 2 Α 3 Α 4 Α allgemeine Bestimmung der Varianz In[182]:= Out[182]= p1varianz Integratex p1mittelwert^2 p1x, x, 0,, Assumptions Rex0 0 && ReΑ 0 x0 2 1 Α
3 distributionen.nb 3 Beispielverteilung In[183]:= x0 2; Α 2; Plotp1x, x, 0, 20, PlotRange 0, 0.15, PlotStyle DirectiveBlack, Thick ClearΑ, x Out[185]= Wie Α, x0, Erwartungswert, Maximum und Varianz voneinander abhaengen.. In[187]:= p1maximum p1mittelwert p1varianz Out[187]= Out[188]= x0 Α x0 1 Α Out[189]= x0 2 1 Α In[190]:= p1maxiα, x0 Α x0; p1mittelα, x0 x0 1 Α; p1variα, x0 x0 2 1 Α; alphamittelmaxi mittel, maxi maxi mittel maxi; alphamittelvari mittel, vari mittel ^ 2 vari 1; x0mittelmaximittel, maxi mittel maxi; x0mittelvarimittel, vari vari mittel; Verteilung in Abhängigkeit von Erwartungswert und Maximum In[197]:= Clearxmittel, xmax p1mod1alpha alphamittelmaxi xmittel, xmax; p1mod1x0 x0mittelmaxixmittel, xmax; p1mod1x x ^ p1mod1alpha Expx p1mod1x0 p1mod1x0 ^ p1mod1alpha 1 Gammap1mod1alpha 1 Out[200]= x xmax xmaxxmittel x xmaxxmittel Gamma1 xmax xmittel 1 xmax xmaxxmittel xmax xmaxxmittel
4 4 distributionen.nb selbe Beispielverteilung wie oben In[201]:= x0 2; Α 2; xmax p1maxiα, x0 xmittel p1mittelα, x0 Needs"PlotLegends`" Plotp1mod1x, p1x, x, 0, 20, PlotRange 0, 0.15, PlotStyle DirectiveBlack, Thick, DirectiveOrange, Dashed, Thick, PlotLegend "Gammavertxmaxx0,Α,xmittelx0,Α", "Gammavertx0,Α", LegendPosition 0.1, 0.1, LegendShadow 0, 0, LegendSize 1.2, 0.3, LegendTextSpace 15 Clearxmittel, xmax, Α, x0 Out[203]= 4 Out[204]= Out[206]= Gammavertxmaxx0,Α,xmittelx0,Α Gammavertx0,Α Verteilung in Abhängigkeit von Erwartungswert und Varianz In[208]:= Clearxmittel, xvari p1mod2alpha alphamittelvari xmittel, xvari; p1mod2x0 x0mittelvarixmittel, xvari; p1mod2x x ^ p1mod2alpha Expx p1mod2x0 p1mod2x0 ^ p1mod2alpha 1 Gammap1mod2alpha 1 Out[211]= x xmittel xmittel2 1 xvari x xvari xvari xmittel 2 xmittel xvari Gamma xmittel2 xvari
5 distributionen.nb 5 selbe Beispielverteilung wie oben In[212]:= x0 2; Α 2; xvari p1variα, x0 xmittel p1mittelα, x0 Plotp1mod2x, p1x, x, 0, 20, PlotRange 0, 0.15, PlotStyle DirectiveBlack, Thick, DirectiveGreen, Dashed, Thick, PlotLegend "Gammavertxvarix0,Α,xmittelx0,Α", "Gammavertx0,Α", LegendPosition 0.1, 0.1, LegendShadow 0, 0, LegendSize 1.2, 0.3, LegendTextSpace 15 Clearxmittel, xmax, xvari, Α, x0 Out[214]= 12 Out[215]= Out[216]= Gammavertxvarix0,Α,xmittelx0,Α Gammavertx0,Α In[218]:= 2) Lognormalverteilung Definition und Eigenschaften Definition In[219]:= p2x 1 x S Sqrt2 Pi ExpLogx Μ^2 2 S ^ 2 Out[219]= ΜLogx2 2 S 2 2 Π S x richtig normiert... In[220]:= Integratep2x, x, 0,, Assumptions ReS 0 && ReΜ 0 && ImS 0 && ImΜ 0 Out[220]= 1
6 6 distributionen.nb Bestimmung des Maximums In[221]:= Out[221]= p2maximum x. SolveDp2x, x, 1 0, x S2 Μ Momente allgemein berechnet In[222]:= Integratex p2x, x, 0,, Assumptions ReS 0 && ReΜ 0 && ImS 0 Integratex ^ 2 p2x, x, 0,, Assumptions ReS 0 && ReΜ 0 && ImS 0 Integratex ^ 3 p2x, x, 0,, Assumptions ReS 0 && ReΜ 0 && ImS 0 Integratex ^ 4 p2x, x, 0,, Assumptions ReS 0 && ReΜ 0 && ImS 0 Integratex ^ n p2x, x, 0,, Assumptions ReS 0 && ReΜ 0 && ImS 0 && ImΜ 0 && ImΜ 0 && ImΜ 0 && ImΜ 0 && ImΜ 0 Out[222]= Out[223]= S2 2 Μ 2 S2 Μ Out[224]= Out[225]= 9 S2 2 3 Μ 8 S2 4 Μ Out[226]= n2 S2 n Μ 2 Erwartungswert in Abhängigkeit von S und Μ In[227]:= p2mittelwert S2 2 Μ ; allgemeine Bestimmung der Varianz In[228]:= Out[228]= p2varianz Integratex p2mittelwert^2 p2x, x, 0,, Assumptions ReS 0 && ReΜ 0 && ImS 0 && ImΜ 0 S2 2 Μ 1 S2
7 distributionen.nb 7 Beispielverteilung In[229]:= S 1; Μ 2; Plotp2x, x, 0, 20, PlotRange 0, 0.11, PlotStyle DirectiveBlack, Thick ClearS, Μ Out[231]= Wie S, Μ, Erwartungswert, Maximum und Varianz voneinander abhaengen.. In[233]:= p2maximum p2mittelwert p2varianz Out[233]= S2 Μ Out[234]= Out[235]= S2 2 Μ S2 2 Μ 1 S2 In[236]:= p2maxis, Μ S2 Μ ; p2mittels, Μ S2 2 Μ ; p2varis, Μ S2 2 Μ 1 S2 ; Μmittelmaximittel, maxi 1 Logmaxi 2 Logmittel; 3 Smittelmaximittel, maxi 2 3 Log mittel maxi ; Smittelvarimittel, vari Log mittel2 vari mittel 2 ; Μmittelvarimittel, vari Log mittel 2 mittel 2 vari ;
8 8 distributionen.nb Verteilung in Abhängigkeit von Erwartungswert und Maximum In[243]:= Clearxmittel, xmax p2mod1s Smittelmaxixmittel, xmax; p1mod1μ Μmittelmaxixmittel, xmax; p2mod1x 1 x p2mod1s Sqrt2 Pi ExpLogx p1mod1μ^2 2 p2mod1s ^ 2 Out[246]= 3 Logx Logxmax2 Logxmittel 4 Log xmittel xmax 3 Π 2 x Log xmittel xmax selbe Beispielverteilung wie oben In[247]:= S 1; Μ 2; xmax p2maxis, Μ xmittel p2mittels, Μ Plotp2mod1x, p2x, x, 0, 20, PlotRange 0, 0.11, PlotStyle DirectiveBlack, Thick, DirectiveOrange, Dashed, Thick, PlotLegend "Lognormalvert xmaxs,μ,xmittels,μ", "Lognormalvert S,Μ", LegendPosition 0.1, 0.1, LegendShadow 0, 0, LegendSize 1.1, 0.3, LegendTextSpace 15 Clearxmittel, xmax, xvari, S, Μ Out[249]= Out[250]= LognormalvertxmaxS,Μ,xmittelS,Μ LognormalvertS,Μ Out[251]=
9 distributionen.nb 9 Verteilung in Abhängigkeit von Erwartungswert und Varianz In[253]:= Clearxmittel, xvari p2mod2s Smittelvarixmittel, xvari; p1mod2μ Μmittelvarixmittel, xvari; p2mod2x 1 x p2mod2s Sqrt2 Pi ExpLogx p1mod2μ^2 2 p2mod2s ^ 2 Out[256]= xmittel 2 2 LogxLog xmittel 2 xvari 2 Log xmittel2 xvari xmittel 2 2 Π x Log xmittel2 xvari xmittel 2 selbe Beispielverteilung wie oben In[257]:= S 1; Μ 2; xvari p2varis, Μ xmittel p2mittels, Μ Plotp2mod2x, p2x, x, 0, 20, PlotRange 0, 0.11, PlotStyle DirectiveBlack, Thick, DirectiveGreen, Dashed, Thick, PlotLegend "Lognormalvert xvaris,μ,xmittels,μ", "Lognormalvert S,Μ", LegendPosition 0.1, 0.1, LegendShadow 0, 0, LegendSize 1.1, 0.3, LegendTextSpace 15 Clearxmittel, xmax, xvari, S, Μ Out[259]= 1 5 Out[260]= LognormalvertxvariS,Μ,xmittelS,Μ LognormalvertS,Μ Out[261]= In[263]:=
10 10 distributionen.nb 3) Vergleich der beiden Verteilungen gleiche Varianz und gleicher Erwartungswert Verlauf In[348]:= xvari 10; xmittel 6; Plotp1mod2x, p2mod2x, x, 0, 30, PlotStyle DirectiveBlack, Thick, DirectiveGreen, Thick, PlotLegend "Gammavert", "Lognormalvert ", LegendPosition 0.2, 0.3, LegendShadow None Clearxmittel, xmax, xvari Gammavert Out[350]= Lognormalvert Momente dieser speziellen "Gammaverteilung" In[352]:= xvari 10; xmittel 6; specialgammamomentvarmittel n Integratex ^ n p1mod2x, x, 0,, Assumptions Ren 1 Clearxmittel, xmax, xvari Out[354]= 5 3 n Gamma 18 5 Gamma 18 5 n Momente dieser speziellen Lognormalverteilung In[356]:= xvari 10; xmittel 6; speciallognormalmomentvarmittel n Integratex ^ n p2mod2x, x, 0,, Assumptions Ren 1 Clearxmittel, xmax, xvari Out[358]= 3 Log n Log Log n Log Log Log
11 distributionen.nb 11 die n-ten Momente aufgetragen über n In[376]:= gammamomentsvarmittel QuietTableNspecialgammamomentvarmittel n, n, 1, 10 lognormalmomentsvarmittel QuietTableNspeciallognormalmomentvarmittel n, n, 1, 10 ShowLegend ListLogPlotgammamomentsvarmittel, lognormalmomentsvarmittel, PlotMarkers GraphicsPointSize0.02, Point0, 0, PlotStyle Red, Blue, Functionx, Ifx 0, Red, Blue, 2, "Momente der Gammavert", "Momente der Lognormalvert ", LegendPosition 0.7, 0.3, LegendPosition 0.1, 0.1, LegendShadow 0, 0, LegendSize 1.2, 0.3, LegendTextSpace 15 Out[376]= 6., 46., , , , , , , , Out[377]= 6., 46., , , , , , , , Momente der Gammavert Momente der Lognormalvert 10 9 Out[378]= 10 6 die Differenz der n-ten Momente aufgetragen über n In[363]:= momentdiffsvarmittel Absgammamomentsvarmittel lognormalmomentsvarmittel Out[363]= , , , , , , , , ,
12 12 distributionen.nb In[364]:= ListLogPlotmomentdiffsvarmittel, PlotRange 10 ^ 16, 10 ^ 15, Filling Bottom, PlotStyle PointSizeLarge Out[364]= gleicher Erwartungswert und Maximum an der gleichen Stelle Verlauf In[282]:= xmittel 6; xmax 5; Plotp1mod1x, p2mod1x, x, 0, 30, PlotStyle DirectiveBlack, Thick, DirectiveGreen, Thick, PlotLegend "Gammavert", "Lognormalvert ", LegendPosition 0.2, 0.3, LegendShadow None Clearxmittel, xmax, xvari Gammavert Out[284]= Lognormalvert Momente dieser speziellen "Gammaverteilung" In[365]:= xmittel 6; xmax 5; specialgammamomentmaxmittel n Integratex ^ n p1mod1x, x, 0,, Assumptions Ren 1 Clearxmittel, xmax, xvari Out[367]= 1 Gamma6 n 120
13 distributionen.nb 13 Momente dieser speziellen Lognormalverteilung In[369]:= xmittel 6; xmax 5; speciallognormalmomentmaxmittel n Integratex ^ n p2mod1x, x, 0,, Assumptions Ren 1 Clearxmittel, xmax, xvari Out[371]= n n n 2n die n-ten Momente aufgetragen über n In[381]:= gammamomentsmaxmittel QuietTableNspecialgammamomentmaxmittel n, n, 1, 10 lognormalmomentsmaxmittel QuietTableNspeciallognormalmomentmaxmittel n, n, 1, 10 ShowLegend ListLogPlotgammamomentsmaxmittel, lognormalmomentsmaxmittel, PlotMarkers GraphicsPointSize0.02, Point0, 0, PlotStyle Red, Blue, Functionx, Ifx 0, Red, Blue, 2, "Momente der Gammavert", "Momente der Lognormalvert ", LegendPosition 0.7, 0.3, LegendPosition 0.1, 0.1, LegendShadow 0, 0, LegendSize 1.2, 0.3, LegendTextSpace 15 Out[381]= 6., 42., 336., 3024., , , , , , Out[382]= 6., , , , , , , , , Momente der Gammavert Momente der Lognormalvert 10 6 Out[383]= die Differenz der n-ten Momente aufgetragen über n In[384]:= momentdiffsmaxmittel Quiet TableNAbsspecialgammamomentmaxmittel n speciallognormalmomentmaxmittel n, n, 1, 10 Out[384]= 0., , 24.96, , , , , , ,
14 14 distributionen.nb In[385]:= ListLogPlotmomentdiffsmaxmittel, PlotRange 10 ^ 16, 10 ^ 15, Filling Bottom, PlotStyle PointSizeLarge Out[385]=
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