Gruppenarbeit 2. Vektoren und Reibung. Physik, O.Merlo. Autoren. Simon Grünig und Fabian Real

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1 Gruppenarbeit 2 Physik, O.Merlo Vektoren und Reibung Autoren Simon Grünig und Fabian Real Wädenswil, November 2010

2 Inhalt Vektorrechnung... 3 Aufgabe a... 3 Aufgabe b... 4 Aufgabe c... 5 Aufgabe d... 6 Gleit- und Haftreibung... 7 Aufgabe a... 7 Aufgabe b... 8 Aufgabe c Aufgabe d Aufgabe e Kräfte auf Teilchen Die Eulermethode Aufgabe b Aufgabe c Zusatzaufgabe... 20

3 Vektorrechnung Aufgabe a Der Vektor ist senkrecht zum Vektor, falls das Skalarprodukt ( ) ist. Konstruieren sie algebraisch in einem 2- bzw. 3 Dimensionalen Raum einen Vektor der senkrecht zum Vektor ist. Senkrechte Vektoren werden oft auch orthogonale Vektoren genannt. Um einen orthogonalen Vektor auf einen Vektor in der 3. Dimension zu berechnen, muss zuerst klar sein, dass der Vektor in einer Ebene ganz variabel sein kann. Alle Vektoren auf der blauen Kreisebene stehen orthogonal zum Vektor, falls die Ebene, in diesem Fall der Blaue Kreis, Rechtwinklig zum Vektor steht. Vektor steht orthogonal zum Vektor falls das Skalarprodukt 0 ist. Konstruktion eines orthogonalen Vektors in der 2. Dimension Es soll ein Vektor orthogonal zum vorhandenen Vektor konstruiert werden. Da die x- und die y-komponente des Vektors in diesem Fall unbekannt sind, gibt es eine Fülle von möglichen Lösungen, da es nur eine Gleichung mit 2 Unbekannten gibt. Eine einfache Lösung wäre zb. und da ( )

4 Konstruieren eines orthogonalen Vektors in der 3. Dimension Es soll ein Vektor orthogonal zum vorhandenen Vektor konstruiert werden. Die Berechnung erfolgt analog der Berechnung in 2 Dimensionen, einfach mit einer weiteren Komponente. So ist theoretisch in n-dimensionen ein orthogonaler Vektor mit n Komponenten möglich. Da in diesem Fall die x-, y-, und z-komponente des Vektors unbekannt ist, gibt es wiederum hier eine Fülle von möglichen Lösungen, da nur eine Gleichung mit 3 Unbekannten vorhanden ist. Eine einfache Lösung wäre zb. ( * und ( * da ( ) Aufgabe b Berechnen sie die drei orthogonalen Vektoren. nach Gram-Schmid von Orthogonalisierungsverfahren nach Gram-Schmid: Jetzt muss nur eingesetzt und ausgerechnet werden. Berechnung der orthogonalen Vektoren mit ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * Nun stehen die drei Vektoren orthogonal zueinander, alle stehen in einem rechten Winkel zueinander. Zur Überprüfung kann das Skalarprodukt der Vektoren untereinander berechnet werden, diese werden jedoch immer den Wert 0 ergeben. Wieso die Basisvektoren in einem Koordinatensystem immer orthogonal stehen müssen ist logisch da das Skalarprodukt der Vektoren immer 0 sein muss.

5 Aufgabe c Berechne den Einheitsvektor von bzw. aus Aufgabe a Um aus einem beliebigen Vektor einen Einheitsvektor zu bilden, wird der Vektor normiert. Normieren heisst in diesem Fall den Vektor in einen Einheitsvektor zu überführen, der in die gleiche Richtung zeigt. Um einen Vektor zu normieren muss der Vektor durch den Betrag dividiert werden. Am Beispiel der Vektoren auf Aufgabe a erklärt: Einheitsvektor von Numerisches Beispiel: ( ) Der Vektor ist der Einheitsvektor von (, ( * Einheitsvektor von Numerisches Beispiel: ( ) ( Der Vektor ist der Einheitsvektor von Überprüfung: ) ( * Betrag von Vektor Betrag ist 1. und Vektor sind identisch. ( )

6 Aufgabe d Der Vektor ( * im Koordinatensystem X soll im Koordinatensystem X, welches durch die Vektoren aus Aufgabe b gegeben ist, dargestellt werden. Berechnen sie die Komponenten x, y und z im Koordinatensystem X. Das Skalarprodukt eines Vektors ist die Projektion der des Vektors auf einen anderen. Die Projektion auf einen Einheitsvektor eines Koordinatensystems entspricht der Vektorkomponente im neuen Koordinatensystem. Berechnung der Einheitsvektoren des Koordinatensystems X ( * ( + ( * ( + Berechnung der Komponenten des Vektors Um nun die Komponenten des Vektors im neuen Koordinatensystem X zu erhalten, muss für jede Achse die Komponente berechnet werden indem das Skalarprodukt des Vektors mit dem Einheitsvektor der jeweiligen Achse gebildet wird. Dies funktioniert, da das Skalarprodukt eine Projektion des Vektors auf die jeweilige Achse ist. Daher ergibt sich für die Komponenten des Vektors im neuen Koordinatensystem ( *

7 Gleit- und Haftreibung Aufgabe a Wenn 2 feste Körper, die sich an einer gemeinsamen, ebenen Fläche berühren aneinander entlang gleiten, widersetzt sich dieser Bewegung die Gleitreibung. Dabei ist die Gleitreibungszahl und die Kraft, mit der die beiden Körper gegeneinander gepresst werden(normalkraft). Geben sie eine heuristische Erklärung für die Reibung. Erklärung Reibung: Mit Reibung bezeichnet man die Summe aller Kräfte die an der Oberfläche zweier Körper die sich gegenseitig an der Bewegung hindern oder diese hemmen. Die Ursache für Reibungskräfte liegt in der Beschaffenheit der Oberflächenbegründet. Von der Beschaffenheit der Berührungsfläche ist auch der Betrag der Reibungskraft abhängig. Er hängt ausserdem vom Betrag der Kraft ab, die senkrecht auf die Unterlage wirkt(normalkraft oder Anpresskraft. ). Beispiel für Gleitreibung: Gleitreibung liegt vor, wenn ein Körper auf einem anderen gleitet. Ein Schlitten wird auf einen Weg entlanggezogen. v Beispiel für Haftreibung: Haftreibung liegt vor, wenn ein Körper auf einem anderen haftet. An einem Schlitten wird gezogen, ohne dass er sich bewegt. v

8 Falls ein Körper in Ruhe ist muss die Haftreibung überwunden werden um ihn in Bewegung zu setzten. Der Effekt der Haftreibung wird mathematisch genau gleich wie die Gleitreibung beschrieben, wobei die Konstante verschieden ist und die Haftreibung nur solange wirkt, wie der Körper nicht in Bewegung ist. Geben sie ein Beispiel aus dem Alltag an, wo man die Haftreibung bemerkt. Haftreibung treffen wir im Alltag immer und überall an, ohne sie wäre es unmöglich zu gehen oder Auto zu fahren. Würde die Haftreibung fehlen wäre das Leben wie eine Schlittschuhfahrt. Wir spüren sie beim Gehen, hier gibt uns die Haftreibung halt, damit wir nicht ausrutschen. Hat es Eis oder Wasser auf der Strasse ist die Haftreibung viel kleiner und wir verlieren das Gleichgewicht, da wir keine Haftung mehr haben auf dem Untergrund. Aufgabe b Man betrachtet eine schiefe Ebene welche durch die Gleichung gegeben ist, wobei eine reelle Zahl ist. Ein Körper bewegt sich nun unter dem Einfluss der Gewichtskraft auf dieser Ebene. Berechnen sie die Hangabtriebskraft und die Normalkraft. Welche Beschleunigung erfährt der Körper unter dem Einfluss der Schwerkraft? Skizze: Fr F h Fn r Fg α Rot: Richtung der Kräfte Schwarz: Vektoren XY Koordinatensystem Zur Berechnung der Hangabtriebskraft und der Normalkraft wird das 2. newtonsche Gesetz angewendet: Kraft = Masse * Beschleunigung Die Kräfte werden für die Berechnung in ihre Wirkungsrichtung aufgeteilt, dazu dient das vordefinierte Koordinatensystem!

9 1. Kräfte nach Richtung aufteilen: Die Summe aller Kräfte in Gl 1.1 ist 0 da in y-richtung 0 ist. daraus folgt, das sein muss. Um die Kräfte auf der schiefen Ebene zu berechnen muss noch der Winkel der Ebene berücksichtigt werden. Für die Kräfte in Y-Richtung verwendet man den Cosinus ( ( )) Somit gilt: ( ( )) Nun werden die Kräfte in X-Richtung berechnet: In X-Richtung wirken die Hangabtriebskraft, sowie die Reibkraft, die Beschleunigung ist In X-Richtung wird der Sinuswert des Winkels verwendet! Für gilt ( ( )) ( ( )) Daraus ergibt sich die Gleichung: ( ( )) Wie wir bereits gesehen haben geht aus der Gleichung: Somit setzten wir ( ( )) ( ( )) ( ( ( )) in unsere Gleichung ein und erhalten dadurch: ) hervor. Um nun die Beschleunigung auszurechnen stellen wir die Gleichung nach um. ( ( )) ( ( ( )) ) Nun haben wir die Beschleunigung errechnet!

10 Aufgabe c Messen sie mittels Federwaage die Hangabtriebskraft des Metallklotzes mit der Masse 1kg in Abhängigkeit des Winkels der Ebene. Tragen sie anschliessend die Messdaten in einen Graphen ein. Berechnen sie mit Hilfe der Funktion fit im Programm gnupolt die Kurve, die die Daten am besten wiedergibt. Messdaten: Masse in [kg] Winkel der Ebene in Winkel in [rad] Kraft in [N] [ ] Von Grad in Radiant umrechnen: Grafik: Aufgrund der Messfehler bzw. der relativ ungenauen Möglichkeit die Daten zu bestimmen, werden die Messpunkte nie alle genau auf der grünen Funktion liegen, das ist aber normal.

11 Aufgabe d Fixieren sie nun den Winkel der schiefen Ebene und messen sie die Hangabtriebskraft des Holzklotzes in Abhängigkeit der angehängten Masse. Erstellen sie einen Graphen und diskutieren sie die relevanten Daten. Berechnen sie damit den Hangabtriebskoeffizienten und die Masse des Klotzes. Masse in [g] Kraft in [F] Winkel in [ ] Grafik: Die gemessene Kraft setzt sich aus den Kräften für die Haftreibung und für die Hangabtriebskraft zusammen. Daraus folgt: Die Beschleunigung bzw die Steigung a errechnet sich nach daraus folgt =0.006 Und jetzt muss man nur noch nach auflösen:

12 Masse des Klotzes berechnet sich dann aus dem Quotienten der Steigung und dem Achsenabschnitt: Aufgabe e Berechne die Arbeit die benötigt wird um den Klotz aus Aufgabe 2b) die Rampe herauf und herunter zu transportieren. Nehme dazu an, dass der Vektor durch gegeben ist. Die Arbeit ist die Kraft die entlang einer Strecke s wirkt multipliziert mit der Strecke s selber. Arbeit Nun müssen wir noch zusätzlich 2 Unterscheidungen unternehmen: Einmal müssen wir Arbeit in Richtung der Hangabtriebskraft und einmal in entgegengesetzter Richtung verüben. Die Reibung wirkt immer in entgegengesetzter Richtung zu der sich der Körper bewegt, daher muss diese Kraft immer überwunden werden. Daher gilt für das heraufziehen: Und für das herunterziehen demnach: Die Strecke s ist in unserem Fall der Betrag des Vektors Dies ergibt: Und für Dies ergibt für die Arbeit die verrichtet wird wenn der Klotz einmal aufwärts und danach wieder abwärts bewegt wird: Formatierung

13 Kräfte auf Teilchen Die Eulermethode Die Eulermethode ist eine iterative Methode. Das Bedeutet, dass zu einem Ausgangwert x die Fläche, meist in Abhängigkeit der Zeit, unter der Komponente addiert wird. Dabei wird die Fläche unter der Änderung innerhalb eines Intervalls ermittelt und weiterverwendet. zb die Fläche unter der veränderung der Beschleunigung pro Zeit wird der Geschwindigkeit nach diesem Intervall addiert. Beschleunigung A Beschleunigung Geschwindigkeit Zeit Fläche A Beschleunigung Zeit

14 Aufgabe b Berechnen Sie die Bahn des Holzklotzes aus Aufgabe 2 mit der Eulermethode und von Vektoren, falls man den Holzklotz loslassen würde. Für die Gleitreibung gilt Beschleunigung a ist konstant, daher ändert sich die Fläche pro Zeit nicht. Daher wird die Geschwindigkeit linear ansteigen und die zurückgelegte Strecke exponentiell steigen. Berechnung der Beschleunigung die auf den Körper wirkt Skizze zur Darstellung der Situation Die Beschleunigung a ergibt sich aus ermittelt werden welche die Bewegungsrichtung beeinflussen:, daher muss die Summe der Kräfte So ergibt sich für die Kraft welche den Körper hangabwärts bewegt: Somit ist die Beschleunigung gegeben durch Die Kraft ist negativ da sie antiparallel wirkt. Beschleunig a ist demnach: ( Die Geschwindigkeit eines Körpers ergibt sich aus der Formel

15 Die zurückgelegte Strecke errechnet sich aus Die Beschleunigung bleibt konstant Nun wird die Geschwindigkeit des Holzklotzes und die zurückgelegte Strecke nach der Eulermethode ermittelt, falls dieser losgelassen würde. Berechnung siehe Tabelle 1 Tabelle 1 Beschleunigung in m/s 2 Geschwindigkeit in m/s Strecke in m Zeitintervall in s Gesamtzeit in s Hier bestätigt sich die Aussage, dass die Geschwindigkeit linear und die zurückgelegte Strecke exponentiell steigt. Vektorielle Darstellung und Berechnung Um die exakten Werte für die Geschwindigkeit und die zurückgelegte Strecke zu berechnen gibt es zwei Formeln:

16 Nun berechnen wir für die einzelnen Zeiten die genauen Werte für die Geschwindigkeit und die Strecke. Nachfolgend die Ergebnisse: Tabelle 2 Beschleunigung in m/s 2 Geschwindigkeit in m/s Strecke in m Zeitintervall in s Gesamtzeit in s Hier ist wiederum ersichtlich, dass die Geschwindigkeit linear und die zurückgelegte Strecke exponentiell steigt. Jedoch ist bei dieser Berechnung kein Fehler vorhanden, wie es bei der Eulermethode der Fall ist. Dies lässt sich anschaulich an einer Grafik aufzeigen: Abbildung 1 Rot: Berechnungen nach Euler Grün: Vektorielle Berechnungen Hier erkennt man den Fehler der eine Berechnung nach der Eulermethode mit sich bringt.

17 Aufgabe c Berechnen sie mit Hilfe der Eulermethode die Bahn einer Masse an einer Feder. Nehmen sie dazu die Feder mit und eine Masse mit. Berücksichtigen sie auch den Luftwiederstand mit wobei der Wiederstandsbeiwert, Dichte der Luft mit und die Stirnfläche mit gegeben ist. Bestimmen sie anschliessend die Periodendauer. Nachfolgend die Formeln mit welcher wir die Punkte berechnet haben: Die Geschwindigkeit mit Die Auslenkung mit Und der Beschleunigung der Feder mit Auf nachfolgender Grafik ist die Auslenkung einer Feder in Abhängigkeit der Zeit aufgezeigt: Die Periodendauer einer Schwingung ist die Dauer die eine Welle von einem definierten Punkt auf ihrer Bahn bis zum nächsten Punkt auf ihrer Bahn mit gleicher Steigung:

18 Jeder Doppelpfeil symbolisiert die Schwingungsdauer dieser Welle (In diesem Fall eine Sinuswelle). Jeder Pfeil ist gleich lang. Vielfach wird die Periodendauer bei den Nullstellen bestimmt. Wir werden nun 2 Nullstellen bestimmen und so die Periodendauer eruieren. Die Nullstellen bestimmen wir indem durch 2 Punkte welche knapp über bzw. unter der Nullstelle stehen eine Gerade gezogen wird: Punkt 1 unter der Nullstelle: (0.15/ ) Punkt2 über der Nullstelle: (0.16/0.0059) Somit erhalten wir ein Gleichungssystem einer Geradengleichung: Punkt1: Punkt2: Aufgelöst erhalten wir für und für Nun muss noch die Nullstelle dieser Geraden bestimmt werden: Berechnung der Nullstelle beim nächsten Punkt mit der gleichen Steigung (Zu erwarten ist die gleiche Steigung, da es sich um eine Sinusfunktion handelt und diese sich immer rhythmisch wiederholt): Punkt3 unter der Nullstelle (0.78/-0.002) Punkt4 über der Nullstelle (0.79/0.0078) Somit erhalten wir ein Gleichungssystem einer Geradengleichung: Punkt1: Punkt2: Aufgelöst erhalten wir für und für Die Steigung ist wie erwartet identisch. Nun muss noch die Nullstelle dieser Geraden bestimmt werden:

19 Somit ist die Zeit der Welle für eine ganze Schwingung:

20 Zusatzaufgabe Man betrachtet das System Erde ( *, Mars ( * und die Sonne ( *. Berechne den Massenmittelpunkt sowie die Kraft, welche auf einen Körper mit ( * wirkt. Schon bei erster Betrachtung ist erkennbar, dass der MMP bei den Koordinaten (1,2,3) liegen wird, da aufgrund der Signifikanz von 3 Stellen die Sonne bestimmend ist. Berechnung des MMP ( * ( * ( * ( ) Kraft auf Punkt ( * Um die Kraft auf einen Punkt zu berechnen, muss die Masse des Punktes bekannt sein. Wir nehmen in unserem Fall eine Masse von 1 an. Auch wird in diesem Fall die Masse von der Erde und dem Mars vernachlässigt, da sie zu klein sind um Signifikant das Resultat zu verändern. ( ) Berechnung der Kraft Durch einsetzen der Werte erhält man: Es wirkt somit eine Kraft von auf den Punkt.