Bericht zur Prüfung im Mai 2005 über Bausparmathematik (Grundwissen)

Transkript

1 Bericht zur Prüfung im Mai 2005 über Bausparmathematik (Grundwissen) Hans Laux (Kornwestheim) Am 7. Mai 2005 fand in Köln die Prüfung über das Grundwissen der Bausparmathematik statt. Der Klausur unterzogen sich 102 Teilnehmer, von denen 65 die Prüfung bestanden haben. Die Klausur umfasste vier Aufgaben, für die maximal die jeweils angegebene Zahl von Punkten, insgesamt 90 Punkte, erzielbar waren. Die Klausur war auf 90 Minuten ausgelegt und galt als bestanden, wenn 40 Punkte erreicht wurden. Hilfsmittel waren außer einem Taschenrechner nicht zugelassen. 1. Aufgabe (20 Punkte) Bei einem Bauspartarif nach dem 50-Modell verkürzt sich der feste Darlehensanspruch von 50 % der Bausparsumme () nicht durch eine über das Mindestsparguthaben (M G) von 50 % der hinausgehende Besparung des Bausparvertrages. Dem daraus resultierenden höheren Anspruch an die Zuteilungsmasse soll bei der Berechnung der Bewertungszahl (BZ) nach der Zuwachsmethode dadurch Rechnung getragen werden, dass die Teile des Bausparguthabens (BG), die das M G überschreiten, in der BZ nur zur Hälfte bewertet werden. a) Wie ist dadurch die BZ-Berechnung zu modifizieren? b) Wie wirkt sich das bei Erhöhungen und Zusammenlegungen aus, wenn bei den erforderlichen Neuberechnungen der BZ die sich nach a) ergebenden Werte unverändert eingesetzt werden? Lösung: Zu a) Bei der Zuwachsmethode gilt allgemein und BZ(neu) = BZ(alt) + Zuw (1.1) Zuw = BZF BG. (1.2) Die Formel (1.2) ist unverändert anzuwenden, solange BG MG = 0, 5 ist, aber für BG > MG zu ersetzen durch 0, 5 + 0, 5 (BG 0, 5 ) Zuw = BZF = BZF MG + BG = BZF 0, 5 = BZF ( 0, 5 + BG 2 0, , 5 BG ). (1.3) Die Gleichungen (1.2) und (1.3) können, wiederum in mehreren gültigen Formeln, zusammengefasst werden zu 1

2 Zu b) Min (BG ; 0, 5 BG + 0, 25 ) Zuw = BZF Min(BG ; MG) + 0, 5 Max(BG MG ; 0) = BZF Min (MG + 0, 5 Max(BG MG ; 0) ; BG) = BZF. (1.4) Bei einer Erhöhung der von (alt) auf (neu) reduziert sich die bisherige BZ(alt) auf BZ(neu) = BZ(alt) (alt) (neu). (1.5) War vor der Erhöhung das M G nicht überschritten, mithin kein verminderter Zuwachs der BZ nach (1.3) oder (1.4) zum Zuge gekommen, gilt dies bei nicht angewachsenem BG nach -Erhöhung erst recht. Die BZ-Umrechnung gleicht somit einer ex tunc -Lösung, die den Vertrag so stellt, als habe die erhöhte schon ab Vertragsabschluss gegolten. Hat sich hingegen die genannte Minderung in BZ(alt) bereits ausgewirkt, bleibt sie für die Zukunft wirksam, weil sie laut Vorgabe nicht eliminiert wird. Insofern kann man hier von einer ex nunc -Lösung sprechen. Nicht gefragt ist nach den Vorkehrungen, welche die Bausparkasse treffen muss, wenn sie entgegen der Aufgabenstellung in jedem Fall eine ex tunc -Lösung bieten will. Notwendig wäre es dann, entweder die BZ-Berechnungen der Vergangenheit für die Stichtage wieder aufzugreifen, an denen BG > M G galt, oder von vorneherein eine virtuelle BZ-Berechnung nebenher zu führen, in der die fragliche BZ- Kürzung nicht berücksichtigt wird. Das gleiche Problem stellt sich bei der Zusammenlegung, sofern bei einem der zusammengelegten Verträge wenigstens an einem Bewertungsstichtag das BG > M G war. Die BZ des z.b. aus zwei Verträgen zusammengelegten Bausparvertrages über die ist zu berechnen nach der Formel (neu) = (1) + (2) (1.6) BZ(neu) = BZ(1) (1) + BZ(2) (2) (neu) (1.7) Auch hier kommt es darauf an, ob das jeweilige M G der betreffenden Einzelverträge nicht oder doch überschritten war. Im erstgenanten Fall geht auch in den zusammengelegten Vertrag die fragliche Minderung der BZ nicht ein, im anderen Falle wohl. Wie bei der Erhöhung entscheidet über den künftigen Zuwachs der BZ das Verhältnis des aktuellen BG zur (neu). Ebenso wie bei der Erhöhung tritt mithin eine weiterwirkende Minderung der Sparerleistung ein, wenn sich in der BZ früher einmal das Überschreiten von MG ausgewirkt hat. Wenn der Bausparer den Teiluntergang seiner Sparerleistung vermeiden will, sollte er rechtzeitig Vertragsänderungen, vor allem Erhöhungen und Zusammenlegungen, beantragen, die geeignet sind, neben den BG auch die sich in der BZ manifestierende Sparerleistung möglichst ungekürzt aufrecht zu erhalten. 2

3 2. Aufgabe (25 Punkte) Bei der Beantwortung der folgenden Fragen genügt es, die wichtigsten Aspekte stichwortartig zu benennen. Was besagen und wodurch unterscheiden sich die bausparspezifischen Begriffe: a) homogene - inhomogene Bauspartarife, b) ex-nunc-lösung und ex-tunc-lösung beim Wechsel zwischen den Laufzeitvarianten von Optionstarifen, die den Tilgungsbeitrag an Bewertungszahlfaktoren koppeln, c) Quartalsmodell 30-Tage-Methode der Zins- und Tilgungsverrechnung, d) Versicherungsbeitrag Versicherungszuschlag bei der Risikolebensversicherung, e) Promille- und Prozentraten für Bauspardarlehen, f) Mehrzuteilung Wahlzuteilung? Lösung: Zu a) Homogene Bauspartarife kennen nur einen Pfad in Spar- und Darlehensstadium nach Zinshöhe für Guthaben und Darlehen sowie nach Laufzeit des Bauspardarlehens, die durch die tariflichen Tilgungsbeiträge bestimmt ist. Hierzu zählen die herkömmlichen Standardtarife, aber auch von diesen Mittelläufern abweichende Kurz- oder Langzeittypen, die zwar als Varianten in einheitliche ABB eingebettet, aber je für sich homogen sind, weil der Bausparer zwischen ihnen nicht wechseln kann. Inhomogene Tarife sind Optionstarife, die Wahlrechte in vertikaler Richtung nach der Zinshöhe (oft Niedrig-, Mittel- und Hochzinsversionen) und vor allem in horizontaler Richtung (kurz, mittellang und lang) eröffnen. Darüber hinaus gibt es noch weitere Optionsmöglichkeiten, wie Wahl- und Mehrzuteilung und Tausch zwischen höherem als erforderlichem individuellem Sparer-Kassen- Leistungsverhältnis (isklv) und Darlehenszinsermäßigung (und umgekehrt). Zu b) Bei der ex nunc -Lösung gilt der neue Bewertungszahlfaktor erst vom nächsten Bewertungsstichtag an. Die meisten Bausparkassen wenden diese Methode bei dem Übergang zu einer Variante mit kürzerer Laufzeit an, d.h. bei einem Wechsel L K. Der für K vorgesehene höhere Bewertungszahlfaktor kommt dann nur für die Zukunft ( von nun an ), nicht für die Vergangenheit zum Zuge. Bauspartechnisch möglich wäre hier die BZ-Umstellung ex tunc. Bei dieser Lösung wird der Bausparvertrag so gestellt, als ob der neue Bewertungszahlfaktor von Vertragsbeginn an gegolten hätte ( von damals an ). Bei einer Wahl- ausübung der Art K L ist die Anwendung des ex tunc -Prinzips zwingend erforderlich. Andernfalls ergäbe sich ein zu niedriges isklv, insbesondere bei einem Wechsel kurz vor Zuteilung und Darlehensbeanspruchung. Zu c) Das früher marktbeherrschende Quartalsmodell der Darlehensverzinsung sieht vor, dass die Darlehenszinsen mit dem Vierteljahreszinssatz aus dem Darlehenstand am Beginn des Kalenderquartals berechnet und zum Quartalsletzten dem Bausparkonto belastet werden. Gut- und Lastschriften während des Quartals bleiben dadurch ohne Zinswirkung. - Bei der 30-Tage-Methode sind die Monate Zinsperioden, innerhalb derer die Darlehenszinsen taggenau mit einem Zwölftel des Jahreszinssatzes berechnet und zum Monatsende kapitalisiert 3

4 werden. Diese Zins- und Tilgungsverrechnung wenden derzeit die meisten Bausparkassen an. Zu d) Den Versicherungsbeitrag zur Risikolebensversicherung errechnen die Bausparkassen generell aus dem Darlehensstand am Jahresanfang für das dann gültige Alter der versicherten Person (technisch einjährige Risikobeiträge), belasten ihn dem Bausparkonto und führen ihn an das Lebensversicherungsunternehmen ab. Damit nicht die Zahlung der jährlich in unterschiedlicher Höhe anfallenden Versicherungsbeiträge dem Bausparer aufgegeben und gegebenenfalls Mahnungen bei Zahlungsverzug ausgesprochen werden müssen, erheben die meisten Bausparkassen, die eine obligatorische Risikolebensversicherung in ihren ABB verankert haben, einen Versicherungszuschlag, der zum Tilgungsbeitrag hinzutritt. Die Versicherungszuschläge münzen mithin die Versicherungsbeiträge in monatlich gleichbleibende Beträge um. Unterschiede gehen zugunsten oder zulasten der Tilgung des Bauspardarlehens. Einige private Bausparkassen verzichten auf den Versicherungszuschlag, so dass sich der Preis des Versicherungsschutzes in einer (altersabhängigen) Tilgungsverlängerung niederschlägt. Zu e) Promilleraten sind in fast allen Bauspartarifen als gleichbleibende Monatsraten für Verzinsung und Tilgung des Bauspardarlehens festgelegt; sie lassen den Bausparer schon ab Vertragsabschluss den Kapitaldienst für sein späteres Darlehen erkennen, nicht jedoch (außer im 50-Modell) die Tilgungszeit, die von der Ansparung der Bausparsumme und somit vom anfänglichen Prozentdarlehen abhängt. Promilleraten muss man zunächst in Prozentraten umrechnen, wenn man die Tilgungszeit in Abhängigkeit davon und von dem Darlehenszinssatz und der Zins- und Tilgungsverrechnungsmethode tabellarisch darstellen will. In wenigen Tarifen (oder bei Wahlzuteilung, indirekt auch beim 50-Modell des Darlehensanspruchs) ist der Tilgungsbeitrag in den ABB als Prozentrate definiert, für die dann eine einheitliche Tilgungszeit gilt. Zu f) Die ABB einiger weniger privaten Bausparkassen bieten eine Mehrzuteilung, bei der das BD über dasjenige bei Normalzuteilung hinausgeht, mithin die Zuteilungssumme die überschreitet. Zur Verhinderung einer zu hohen Kassenleistung, durch die sich ein unzureichendes isklv ergäbe, ist für das erhöhte BD ein erhöhter Tilgungsbeitrag zu zahlen. Indirekt bewirkt die Mehrzuteilung Absenkungen des Mindestsparguthabens und der Abschlussgebühr in Relation zur Zuteilungssumme. Zu nennen sind die Mehrzuteilungen bei den privaten Bausparkassen Aachen, Alte Leipziger und Schwäbisch Hall. - Unter der Wahlzuteilung verstehen die privaten Bausparkassen Aachener, Badenia, BHW, Mainz und Wüstenrot die meist vorzeitige Zuteilung auf Antrag des Bausparers unabhängig von den üblichen Bedingungen für die Zuteilung, wie, MG, MBZ u.ä. Eine Formel, die auf dem isklv beruht, regelt die Beziehung zwischen dem in bestimmten Ausmaßen zu beantragenden BD und dem ebenso in definierter Höhe wählbaren Tilgungsbeitrag. Die Bausparkasse ist jedoch berechtigt, derartige Zuteilungsansprüche aufzuschieben, wenn dafür mehr als 25% der verfügbaren Zuteilungsmittel benötigt werden. Die Bausparkasse Schwäbisch Hall verwendet den Begriff Wahlzuteilung für eine Absenkung des Mindestsparguthabens von 50% auf bis zu 25% der. 4

5 3. Aufgabe (33 Punkte) Ein Bausparer leistet auf ein Bruttoanfangs-Bauspardarlehen von D(0), das er zum Vierteljahreszins j in einem Betrag zum Zeitpunkt 0 erhalten hat, einen Quartalstilgungsbeitrag B jeweils zum Quartalsende, ferner einmalig eine Sondertilgung in Höhe von 20 % des Bruttoanfangs-Bauspardarlehens zum Ende des Quartals t(s) und danach den reduzierten Quartalstilgungsbeitrag, wie es die ABB deutscher Bauspartarife vorsehen. a) Wie lautet nunmehr die Gleichung für die Kassenleistung KL? b) Berechnen Sie den numerischen Wert von KL für die Größen D(0) = , B = 1.500, t(s) = 20 und j = 0, 01. Lösung: Zu a) Es gilt die Grundgleichung der geometrischen Tilgung D(0) q t = B qt 1 Daraus kann der Darlehensstand zur Zeit t(s) vor Sondertilgung abgeleitet werden zu (3.1) D(t(S)) = D(0) q t(s) B qt(s) 1. (3.2) Nach Sondertilgung entrichtet der Bausparer quartalsweise postnumerando während der unverändert bleibenden Resttilgungszeit t t(s) den im Verhältnis des BD nach und vor der Sondertilgung reduzierten Tilgungsbeitrag B = B B kann man auch aus der Endwertgleichung D(0) q t = B qt(s) 1 D(t(S)) 0, 2 D(0) D(t(S)) q t t(s) + 0, 2 D(0) q t t(s) + B qt t(s) 1 (3.3) (3.4) oder aus der (3.1) entsprechenden Grundgleichung für die Restlaufzeit (3.13) D (t(s)) q t t(s) = B qt t(s) 1 (3.5) herleiten, in der D (t(s)) das um die Sondertilgung verminderte Darlehen (3.2) ist, zu tilgen in t t(s) Quartalen. Schließlich beträgt die Kassenleistung Zu b) KL = t(s) B + 0, 2 D(0) + (t t(s)) B D(0) (3.6) Numerisches Beispiel: Zunächst ist die Tilgungszeit bei Normalverlauf zu berechnen. Aus (3.1) ist ableitbar t = ln Q ln q (3.7) 5

6 mit d.h. Q = B B () D(0) = , = = 1, 5, (3.8) t = ln 1, 5 0, = = 40, 749 Quartale (3.9) ln 1, 01 0, Der Darlehenstand nach 20 Quartalen vor Sondertilgung beläuft sich auf D(20) = , , , 01 die reduzierte Quartalsrate auf und die Kassenleistung auf KL = B = 1500 = , , 51 = , 99, (3.10) , , , 01 Eine Proberechnung für die Restlaufzeit = 963, 92 (3.11) = (3.12) ergibt mit t(r) = t t(s) (3.13) Q(R) = t(r) = 963, 92 = 1, , 92 0, (3.14) ln 1, , = = 20, 749. ln 1, 01 0, (3.15) 4. Aufgabe (12 Punkte) Ein Bausparvertrag mit den Konditionen Abschlussgebühr 1 % der Bausparsumme (), 2 % Guthaben- und 4,25 % Darlehenszinsen jährlich, Tilgungsbeitrag 1,1 % des Anfangs-Bauspardarlehens, keine Darlehens- oder Kontogebühr, wird am über C abgeschlossen und sofort mit dem 50 %igen Mindestsparguthaben des Tarifs zuzüglich der Abschlussgebühr bespart. Aufgrund dessen erhält der Bausparer zu 5,4 % nominellen Jahreszinsen ein Zwischendarlehen (ZD) in Höhe der, für das die Zinsraten monatlich nachträglich zu zahlen sind. Das ZD wird durch die Zuteilung des Bausparvertrages am abgelöst. 6 a) Berechnen Sie, wie sich die Ablösung des ZD zum vollzieht. b) Zeigen Sie den Zahlungsstrom der Sofortfinanzierung vom Vertragsabschluss bis zum ersten Tilgungsbeitrag auf, der am zu entrichten ist.

7 Lösung: Zu a) Der Bausparvertrag entwickelt sich wie folgt: Valuta Vorgang AG Zahlung Zinsen Zinsen Zinsen Zinsen Zuteilung Umsatz C -1000, ,- 500,- 1010,- 1030,20 262, ,- Guthaben C -1000, , , , , , ,10 Das ZD von ,- C wird durch die Bausparsumme abgelöst; es wird in Höhe des Bausparguthabens von ,90 C getilgt und in Höhe des Bauspardarlehens von ,10 C umgeschuldet. Zu b) Die monatliche Zinsrate für das ZD beläuft sich auf 5400,- C /12 = 450,- C, zu zahlen vom bis zum Die anschließend zu entrichtende 1,1 %-Monatsrate (Tilgungsbeitrag) beträgt ,10 C 0,011 = 519,17 C, zahlbar ab Damit ist bereits der laufende Zahlungsstrom vom Bausparer an die Bausparkasse aufgezeigt. Die Bausparkasse erhält vom Bausparer C zum , die ihrerseits unmittelbar danach C aus dem ZD an den Bausparer auszahlt. Bei Zuteilung erhält der Bausparer nichts mehr. 7

8