Wennn ein Dreieck. mathematisch- formal. ihr in. Experte 1 * Beweis über. Experte 4 *** Beweis mithilfe des Satzes von Thales. Ähnlichkeit.

Transkript

1 Gruppenpuzzle -eweise rbeitsanweisung für die Stammgruppe 1) Skizze, Voraussetzung, ehauptung Satz des : Wennn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann ist die Summe der Flächeninhalte derr beiden Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse. Erstellt eine (beschriftete) Skizze, formuliert Voraussetzung und ehauptung mathematisch- ihr in formal. Es gibt über 400 verschiedenee eweisführungen zum Satz des. Vier davon sollt Expertengruppenn führen. 2) Experteneinteilung Experte 1 * eweis über Flächenberechnungen Experte 2 *** eweis über Flächenberechnungen Experte 3 ** eweis mithilfe des Satzes von Thales Experte 4 *** eweis über Ähnlichkeit c a R b Q α H β 3) rbeit in den Expertengruppen 4) Präsentation im Plenum Erläutert euren eweis. Die anderen Experten achten kritisch darauf, ob eweislücken vorliegen. 5) Rückkehr in die Stammgruppen uf der Rückseitee findet ihr einen eweis zum Satz des, den lbert Einstein geführt hat: Erläutert euch gegenseitig den ersten eweisschritt. Formuliert analog zum ersten Schrittt den zweiten eweisschritt. Formt im dritten eweisschritt die Gleichung so um, dass sich der Satz des ergibt.

2 eweis nach lbert Einstein lbert Einstein zerlegte das rechtwinklige Dreieck entlang der Höhe, die orthogonal zur Hypotenuse ist, in zwei Teildreiecke. Er nutzte die Ähnlichkeit dieser Teildreiecke zum usgangsdreieck, um über die Flächeninhalte der Teildreiecke ( I und II ) und b des usgangsdreiecks ges die Formel a 2 + b 2 = c 2 algebraisch herzuleiten. I γ1 γ22 γ II a α c δ ε H β eweis: 1) Ähnlichkeit der Dreiecke Δ und Δ δ = γ = 90 (1) α + γ = 180 α + β + 90 = 180 β = γ 1 (2) (1), (2) Δ ist ähnlich zuu Δ (Winkelsumme im Dreieck) (Winkelsumme im Dreieck) (Ähnlichkeitssatz ww) 2) Ähnlichkeit der Dreiecke Δ und Δ 3) Summe der Flächeninhalte der Teildreiecke = Flächeninhalt des usgangsdreieckss

3 Expertengruppe 1 eweis über Flächenvergleich Vier kongruente rechtwinkligee Dreiecke werden so angeordnet, dass sie s ein Quadrat mit Loch bilden. TIPP: Für den Flächeninhalt des Quadrats (samt Loch ) lassen sich zwei unterschiedlichee Terme aufstellen.

4 Expertengruppe 2 eweis über Flächenvergleich Mithilfe der nebenstehenden Figur kann der eweis zum Satz des geführt werden. Die roten Dreieckee sind kongruent und rechtwinklig. TIPP: Im Verlauf des eweises wird die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes benötigt: d h 1 = ( g + d) h 2 g

5 Expertengruppe 3 eweis mit Hilfe des Satzess von Thales Nutze als Voraussetzung den Höhensatz: : In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe des Dreiecks flächengleich zu dem Rechteck aus den beiden zugehörigen Hypotenuse enabschnitten: q h H p. Ein rechtwinkliges Dreieck wird gemäß nebenstehender bbildung in einen Halbkreis mit Radius c eingepasst. c a b R Q

6 Expertengruppe 4 eweis mit Hilfe der Ähnlichkeit Ein rechtwinkliges Dreieck lässt sich durch seine Höhe in zwei Teildreiecke zerlegen,, die zueinander und zum usgangsdreieck ähnlich sind. TIPP: egründet die Ähnlichkeitt der Dreiecke, H und H. α H β Durch ufstellen entsprechender Seitenverhältnisse können die Kathetensätzee beweisen werden. Kathetensätze: b 2 = c q a 2 = c p

7 eweisinspirationen Expertengruppee 1: 1) eschrifte die restlichen Dreiecks- und Quadratseiten. 2) eschrifte auch alle Winkel. 3) Kannst du dir sicher sein, dasss das inneree Viereck (das Loch ) ein e Quadratt sein muss? egründe! 4) Welchee Kantenlänge hat das äußere Quadrat? Stelle damit einen Term für den Flächeninhalt des äußeren Quadrats auf. 5) Das äußere Quadrat ist in fünf Teilfigurenn zerlegt. Stelle Terme für die Flächeninhalte der Teilfiguren auf. 6) Der Flächeninhalt des äußeren Quadrats ist die Summe der Flächeninhaltee der Teilfiguren. 7) Diese Summe und der Term aus 4) müssen gleich sein. 8) lgebraische Umformungen helfen dir weiter, um die Gleichung a 2 + b 2 = c 2 zu erhalten. eweisinspirationen Expertengruppee 2: 1) eschrifte die restlichen Dreiecksseiten und markiere und benenne alle auftretendenn Winkel. chte insbesondere auf rechte Winkel. 2) egründe, welche Seiten jeweils gleichlang sind. 3) egründe, wo rechte Winkel vorliegen. 4) Stelle den Flächeninhalt des Trapezes alss Summe der Flächeninhalte der sechs Teildreiecke dar. 5) Stelle den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe der Formel dar.

8 eweisinspirationen Expertengruppee 3: 1) Das Dreieck RQ ist rechtwinklig warum? 2) Formuliere für das Dreieck RQ den Höhensatz. 3) Drücke die Höhe und die Hypotenusenabschnitte im Dreieck RQ R mit denn Variablen a, b und c aus. Erinnere dich daran, dass der Radius des Halbkreises gleich c ist. 4) lgebraische Umformungen helfen dir weiter, um die Gleichung a 2 + b 2 = c 2 zu erhalten. eweisinspirationen Expertengruppee 4: 1) Suche gleiche Winkel, um die Ähnlichkeitt der Dreiecke zu begründen. 2) Die ähnlichen Teildreiecke können nach unten geklappt werden, damit die Seitenverhältnisse besser ersichtlich werden. eschrifte in der nebenstehenden Figur alle Punkte und Seiten. 3) Die Seitenverhältnisse von Kathete zu Hypotenuse sind in den drei d Dreiecken jeweils gleich. Hieraus ergeben sich zwei Verhältnisgleichungen, die zu den Kathetensätzen führen. 4) lgebraische Umformungen helfen dir weiter, um die Gleichung a 2 + b 2 = c 2 zu erhalten.

9 eweislupe 1 Expertengruppe 1: Expertengruppe 1: eweislupe ges = ges = (1) (2) eweislupe 1 Expertengruppe 2: eweislupe 2 Expertengruppe 2: der über die erechnung gelingt. ges = ges = (1) (2)

10 eweislupe 1 Expertengruppe 3: Expertengruppe 3: eweislupe 2 c a b R Q a 2 = eweislupe 1 Expertengruppe 4: eweislupe 2 Expertengruppe 4: