Brennweite und Hauptebenen eines Linsensystems

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1 1 Augabenstellung Seite Die Brennweite und die Lagen der Hauptebenen eines sind nach der Methode von Abbe zu bestimmen, die geundenen Ergebnisse in einer maßstabsgerechten Skizze darzustellen. 1. Die Brennweite einer dünnen Zerstreuungslinse ist durch Kombination mit einer dünnen Sammellinse nach der Besselschen Methode zu bestimmen. Literatur: eschke, D. (Hrsg.) Walcher, W. Eichler, H. J. Kroneldt, H.-D. Sahm, J. alisches Praktikum B.. Teubner Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden 1., durchges. Aulage 001, S , S Praktikum der B.. Teubner Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden 8. Aulage 004, S Das Neue alische rundpraktikum Springer Berlin, Heidelberg, New York. Aulage 006, S rundlagen Linsen sind rotationssymmetrische, durchsichtige Körper mit einer Brechzahl verschieden von der der Umgebung und im einachsten alle von sphärischen und ebenen lächen begrenzt. Sie können von einem Punkt des egenstandes ausgehende Lichtstrahlen in einem Punkt des Bildraumes wieder vereinigen (optische Abbildung, reell oder virtuell). Charakteristische Kenngröße ist die Brennweite bzw. ' Sie bestimmt den Abstand der Brennpunkte und ' von den zugehörigen Hauptpunkten H bzw. H '. Die Brennpunkte sind als Vereinigungspunkte parallel zur Linsenachse verlauender Lichtstrahlen deiniert. Als dünn bezeichnet man Linsen, deren Brennweite groß gegen die Linsendicke ist. Beide lichtbrechenden renzlächen denkt man sich jetzt als eine einzige Ebene, die auch die Hauptpunkte enthält. ür sie gilt die Abbildungsgleichung = + (1) g b mit g - egenstandsweite und b - Bildweite. Stellt man zwei dünne Linsen in geringem Abstand voneinander au, dann addieren sich die Kehrwerte der Brennweiten und 1 zum Kehrwert der esamtbrennweite: = +. () ges 1 Den Kehrwert der Brennweite nennt man deshalb auch Brechkrat D (Einheit Dioptrie, dpt)..1 Abbe-Methode m alle von dicken Linsen oder Linsensystemen erolgt die Bildkonstruktion mit Hile von Hauptebenen (Abb. 1). Die Hauptebenen mit den zugehörigen Brennweiten werden in diesem alle so konstruiert, dass die einachen Regeln der Bildkonstruktion die geometrische Optik

2 Seite erhalten bleiben, wenn man vereinbart, dass alle Strahlen zwischen den Hauptebenen parallel zur optischen Achse verlauen. L ( + ) H A H ' ' ' g h h ' b g * b* B Abb. 1: Strahlengang ein Linsensystem bei Verwendung von Hauptebenen ( H - gegenstandsseitiger Hauptpunkt mit zugehöriger Hauptebene, - gegenstandsseitiger Brennpunkt, H ' - bildseitiger Hauptpunkt mit zugehöriger Hauptebene, ' - bildseitiger Brennpunkt) Da das in Augabe 1.1 verwendete System die Lage der Hauptpunkte H und H ' nicht bekannt ist, können g und b bei einer optischen Abbildung nicht direkt gemessen werden. Man bestimmt zunächst die Enternungen g * und b * von einer beliebigen, am Linsensystem angebrachten Ablesemarke A. Mit dem Abbildungsmaßstab γ= B b = g (3) ( B - Bildgröße und - egenstandsgröße) sowie l. (1) erhält man leichungen zur Bestimmung der Systembrennweite und der Lage der Hauptebenen: g* = g+ h = 1+ 1/ γ + h b* = b+ h' = '1 +γ + h' Man beachte die Vorzeichenestlegungen aller angegebenen Strecken!. Bessel-Methode Die zu untersuchende Zerstreuungslinse kann kein reelles Bild von einem egenstand erzeugen. Sie wird deshalb mit einer Sammellinse geeigneter Brennweite so kombiniert, dass sich nach l. () eine positive esamtbrennweite ergibt. ür Sammellinse und resultierendes Linsensystem seien die Dicken klein gegen die Brennweiten, so dass die Näherungen dünne Linsen anwendbar sind. Stellt man das Linsensystem oder die Sammellinse zwischen einen leuchtenden egenstand und einen im Abstand s augestellten Schirm S, dann gibt es s > 4 wegen der Umkehrbarkeit der Lichtwege zwei symmetrische Linsenstellungen und, bei denen eine reelle Abbildung des egenstandes au dem Schirm erzielt wird (Abb. ). Hierbei können die Strecken s und e mit hoher enauigkeit gemessen werden, was die egenstandsweite g und die Bildweite b nicht zutrit. (4)

3 Seite 3 s e B B g g = b b b = g Abb. : Versuchsanordnung zur Bestimmung der Brennweite mit der Bessel-Methode Mit e= b g, s = b+ g sowie der Abbildungsgleichung (1) erhält man s e =. (5) 4s Bestimmt man au diese Weise zunächst die Brennweite des Systems aus Sammel- und Zerstreuungslinse und danach die der Sammellinse S, dann ist die Brennweite der Zerstreuungslinse Z nach l. () leicht berechenbar. 3 Messanleitung und Auswertung 3.1 Abbe-Methode Au einer optischen Bank (Dreieckschiene mit augeklebtem Lineal) stecken die optischen Elemente in verschiebbaren Reitern mit Markierungen zum Ablesen der Position. Vor den Kondensor der Lichtwurlampe wird den ersten Versuchsteil ein Halter mit eingebautem lasmaßstab gestellt. Die Oberläche mit dem gravierten Maßstab ist so im Halter platziert, dass sie sich, in Lichtrichtung gesehen, an derselben Position wie die Ablesemarke des Reiters beindet. Das zu vermessende Linsensystem (otoobjektiv) stellt man mit der großen Önung Richtung Auangschirm in der Nähe der Lampe au und justiert seine Höhe nach der optischen Achse (Lampe/lasmaßstab). Der Enternungsring ist au die Stellung zu drehen und dar während der Messung nicht mehr verstellt werden. Der Schirm mit Millimeterteilung wird zunächst an das Ende der Schiene (1600 mm ) gestellt und seine korrekte Ausrichtung senkrecht zur optischen Achse kontrolliert. Durch Verschieben des stellt man ein schares Bild ein, das nunmehr vergrößert ist und die Bestimmung des Abbildungsmaßstabs erlaubt. m weiteren Verlau des Versuches schiebt man den Schirm in mindestens 10 verschiedene Positionen, korrigiert die optische Abbildung und notiert in einer Messwerttabelle die rößen, B, die Stellung der Ablesemarke des au der

4 Seite 4 Schiene sowie die Abstände g * und b * zwischen den Ablesemarken an den entsprechenden Reiterüßen. Position des Schirms au der optischen Bank: ( ) mm in Schritten von 50 mm Achten Sie au sorgältiges Ablesen der Objektivposition, da diese sich anangs nur sehr wenig ändert, halbe Millimeter können noch geschätzt werden! Der Blendenring sollte au die größte Lichtstärke (3,5) eingestellt sein. Zur Erleichterung der Scharstellung kann eine Einstellhile (Keilsystem mit Schlitz) in den Strahlengang gebracht werden, dessen Bild bei richtiger Position des Objektivs einen durchgängigen Strich ergibt. Aus den gemessenen Werten und B werden nach l. (3) jeweils γ und 1/ γ berechnet und mit in die Tabelle eingetragen. ür die egenstands- und die Bildseite indet man die gesuchten rößen Brennweite und Hauptebenenabstand von der Ablesemarke gemäß l. (4) leicht mit Hile von Ausgleichsgeraden. Hierzu trägt man g * über 1+ 1/ γ und in einem weiteren Diagramm b * über 1+γ au. Der Regressionskoeizient (Anstieg) lieert die Brennweite und das Absolutglied den gesuchten Hauptebenenabstand. Das Praktikumsprogramm PhysPract berechnet darüber hinaus diese Ergebnisse noch die zugehörigen Unsicherheiten (Standardabweichungen). Die ermittelten Lagen der Hauptebenen und die zugehörigen Brennpunkte sind relativ zur Position der Ablesemarke in einer maßstabsgetreuen Skizze darzustellen. Das Linsensystem (Objektivumriss) ist durch einen rechteckigen Rahmen mit darzustellen. 3. Bessel-Methode Bei der Bessel-Methode wird als leuchtender egenstand eine kreuzörmige Doppelblende benutzt. Sammellinse und Zerstreuungslinse sind dicht hintereinander in einer Halterung mit Schieber eingebaut. ür die Sammellinse allein und das System Sammellinse + Zerstreuungslinse sind die Enternungen e 10 verschiedene Abstände s zwischen Blende und Schirm zu bestimmen. Hierzu sucht man zunächst durch sukzessive Verkleinerung von s den kürzest möglichen Abstand ( > 4 ), der noch zwei unterschiedlich große Abbildungen erlaubt. m weiteren Verlau des Versuches wird dann s weiter erhöht und e dazu bestimmt. Eine am Halter angebrachte risblende sollte zur Verbesserung der Bildqualität au einen Durchmesser von etwa ( ) mm verkleinert werden. Schrittweite von s die Sammellinse: s = 10 mm Schrittweite von s das Linsensystem: s = 0 mm Anstelle des Auangschirmes kann alternativ auch ein Horizontalmikroskop eingesetzt werden. Es ermöglicht eine genauere Messung der Verschiebegröße e, die Ablesedierenz der in Reitermitte angebrachten Marke zur Beobachtungsebene des Mikroskops muss aber in einem Vorexperiment noch ermittelt werden. Anstelle der Doppelkreuzblende ist jetzt das am Messplatz vorhandene Diapositiv (Märchenmotiv) einzusetzen, zur Vermeidung von Blendungen wird ein rünilter ( λ= 550 nm ) zwischen Lampe und egenstand gestellt. Aus den gemessenen Wertepaaren s und e sind nach l. (5) die entsprechenden Brennweiten zu berechnen. Die Mittelwerte der Brennweiten der Sammellinse S und des esamtsystems sind mit abgeschätzten Unsicherheiten (Standardabweichungen) anzugeben. Aus beiden Werten

5 Seite 5 ist nach l. () die Brennweite der Zerstreuungslinse zu berechnen. ür dieses Ergebnis ist die kombinierte Unsicherheit anzugeben. 4 Ergänzungsexperimente zur Bessel-Methode (Studierende der Technischen ) 4.1 Augabenstellung Die Annahme dünner Linsen die Messaugabe 1. ist zu überprüen. Dazu werden die Versuchsergebnisse die Sammellinse und das System Sammel- /Zerstreuungslinse nochmals unter Einbeziehung eines nicht verschwindenden Hauptebenenabstands d ausgewertet, zu dessen Ermittlung ein Autokollimations-Verahren anzuwenden ist. 4. rundlagen Wenn der Hauptebenenabstand der nach der Bessel-Methode zu untersuchenden Linse (dick, steht ortan auch das Linsensystem) nicht mehr vernachlässigbar ist, dann ührt die Auswertung nach l. (5) zu systematischen Messabweichungen. Die olgende, gegenüber Abb. modiizierte Skizze verdeutlicht die Verhältnisse: s e B B g g b = b d b = g Abb. 3: Bessel-Methode mit Berücksichtigung eines Hauptebenenabstands d Man sieht soort, dass die Messgröße e genau so bestimmt wird wie bei dünnen Linsen, der gemessene Abstand s zwischen egenstand und Auangschirm jedoch um den Hauptebenenabstand d zu korrigieren ist. Damit erhält man die Brennweite: = ( ) 4( s d) s d e. (6) Da d noch unbekannt ist, muss ein weiteres Messverahren eingesetzt werden. Der vorliegende Versuchsaubau ermöglicht die Bestimmung des Hauptebenenabstands durch Autokollimation. Darunter versteht man ein optisches System, bei dem sich der egenstand und seine Abbildung in ein und derselben Ebene beinden. Möglich wird dies durch einen Planspiegel, der kurz hinter der Linse augestellt wird (Abb. 4).

6 Seite 6 Beindet sich der egenstand in der Brennebene vor der Linse, dann erolgt eine Abbildung ins Unendliche, nach Relexion am Spiegel erscheint das Bild in der egenstandsebene wieder schar. Notiert wird zunächst der Abstand a 1 zwischen einer am Linsenhalter angebrachten Ablesemarke A und dem egenstand. B a a 1 H A h d h ' H ' ' Planspiegel Abb. 4: Autokollimations-Verahren Eingesetzt in l. (6) erhält man und daraus Nach Drehung der Linse um 180 und Wiederholung des Verahrens beinden sich die jetzt vertauschten Hauptebenen an derselben Stelle, nur die (angedeutete) Position der Ablesemarke hat sich geändert. Man sieht an der nebenstehenden Skizze, dass die Summe der beiden Strecken a 1 und a genau dem Abstand a zwischen den Brennpunkten der Linse entspricht: a1+ a = + h+ ' + h' = + d = a. (7) 4 s a + = s a + e (8) 1 = s a e. (9) 4.3 Messanleitung und Auswertung Als egenstand den Autokollimations-Versuch wird die Kreuzblende bzw. das Diapositiv gegen ein halb abgedecktes Diarähmchen mit einem Streienmuster ausgetauscht. Der Planspiegel lässt sich unter Zuhilenahme des au den egenstand zurückrelektierten Lichtes senkrecht zur optischen Achse einstellen. Achtung: Die Spiegeloberläche bitte nicht mit den ingern berühren, sie kann nur schlecht wieder gereinigt werden! Nun stellt man die Linse nah am Spiegel au, justiert ihre Höhe und verschiebt beide Reiter gemeinsam, bis das Bild des egenstandes au der abgedeckten Hälte des Diarähmchens schar erscheint. Der so gewonnene Abstand a 1 wird notiert. Die Messung wird danach mit der um 180 verdrehten Linse zur Bestimmung von a durchgeührt und beide Prozeduren mehrach wiederholt. Die genaue Position des Planspiegels ist das Autokollimations-Verahren unkritisch, dieser sollte aber nicht zu weit von der Linse enternt stehen, weil ansonsten das entworene Bild zu sehr abgeblendet wird. Achten Sie darau, dass eine der Autokollimation ähnliche Abbildung möglich ist, wenn die Zerstreuungslinse mit ihrer konkaven Oberläche zum egenstand zeigt. Sie benötigt den Planspiegel nicht und kann somit leicht erkannt werden. Die im Durchührungsteil 3. gewonnenen Daten die Sammellinse und ihre Kombination mit der Zerstreuungslinse werden mittels l. (9) nochmals ausgewertet, wobei den okusabstand

7 Seite 7 a der Mittelwert aller Summen a1+ a zu verwenden ist. Zur Überprüung der Ergebnisse wird jeweils eine graische Darstellung empohlen. l. (9) kann auch so augeschrieben werden: e = s a 4. Trägt man also in einem Diagramm e über ( s a ) au, dann sollte eine berechnete Ausgleichsgerade den Anstieg Eins haben und die Beträge von Absolutglied oder der Nullstelle dem Wert 4 entsprechen. 5 Anhang Als Beispiel zur Konstruktion von Hauptebenen sei olgendes Linsensystem, bestehend aus einer Zerstreuungs- und einer Sammellinse, gegeben: Linse L 1 : 1 = 40 mm Linse L : = + 35 mm Abstand der Mittelebenen der beiden dünnen Linsen: d = 0 mm Abb. 5 zeigt die Konstruktion der bildseitigen Hauptebene H ' : L ( + ) H ' 1' 1 ' ' 1 d Abb. 5: Konstruktion der bildseitigen Hauptebene H ' und des zugehörigen Brennpunktes Ein Parallelstrahl trit von der egenstandsseite au Linse L 1, er wird zum Brennpunktstrahl von 1' (Zerstreuungslinse) und ällt au Linse L. Sein weiterer Verlau lässt sich inden, wenn man bedenkt, dass ein Parallelstrahlenbündel in der Brennebene einer Linse vereinigt wird. Ein parallel zum Strahlenverlau zwischen den Linsen gezeichneter Mittelpunktstrahl durch Linse L markiert somit in der Brennebene durch ' den Punkt, durch den auch der gesuchte Strahl verlauen muss. Damit hat man den Verlau eines Parallelstrahls nach Passieren des geunden. Der Schnittpunkt zwischen ursprünglicher Parallelstrahlrichtung und auslauendem Strahl markiert dann die bildseitige Hauptebene H ', der Schnittpunkt zwischen auslauendem Strahl und optischer Achse den zugehörigen Brennpunkt '. Analog dazu lässt man zur Konstruktion der gegenstandsseitigen Hauptebene H und des gegenstandsseitigen Brennpunkts einen Parallelstrahl von der Bildseite her einallen und verolgt '

8 Seite 8 dessen Verlau durch das Linsensystem (Abb. 6). An der Sammellinse L wird der parallel zur optischen Achse einallende Strahl zum Brennpunktstrahl durch, trit jedoch vorher au die Linse L 1 und wird von der optischen Achse weggebrochen. Den tatsächlichen Verlau nach dieser Brechung indet man analog zur Konstruktion in Abb. 5, wenn man einen Mittelpunktstrahl durch L 1 parallel zum Strahlenverlau des gesuchten Strahls zwischen den beiden Linsen konstruiert. Diese beiden Strahlen eines Parallelstrahlenbündels müssen links von L 1 so verlauen, als kämen sie aus einem gemeinsamen Ursprung in der gegenstandsseitigen Brennebene von L 1. Man indet diesen Punkt als Schnittpunkt zwischen Mittelpunktstrahl und Brennebene und kann nun den Verlau des gesuchten Strahls links von L 1 konstruieren. Der Schnittpunkt zwischen den Extrapolationen des einallenden Parallelstrahls und des ausallenden Strahls ergibt die gegenstandsseitige Hauptebene H, der Schnittpunkt zwischen ausallendem Strahl und optischer Achse den gegenstandsseitigen Brennpunkt. L + H 1' 1 ' Abb. 6: Konstruktion der gegenstandsseitigen Hauptebene H und des zugehörigen Brennpunktes Wie man sieht, sind die zu beiden Hauptebenen gehörenden Brennweiten gleich, die Hauptebenen liegen im gezeichneten Beispiel nicht innerhalb des. Zur Überprüung ist in den Abbildungen 7 und 8 die Bildentstehung mit Hile der geundenen Hauptebenen und mit Hile der beiden Linsen gezeichnet (Maßstab 1: verkleinert) und ührt trotz völlig unterschiedlicher Strahlengänge zum gleichen Ergebnis. Die Vereinachung inolge der Verwendung von Hauptebenen in Abb. 7 ist oensichtlich.

9 Seite 9 ' L H H ' Abb. 7: Bildentstehung bei Verwendung der geundenen Hauptebenen und Brennweite 1' 1 ' L Abb. 8: Bildentstehung bei Verwendung der vorgegebenen Linsen