Fachhochschule Flensburg. Das Michelson-Interferometer

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1 Fachhochschule Flensburg Fachbereich Technik Institut für Physik Name : Name: Versuch-Nr: O4 Das Michelson-Interferometer Gliederung: Seite Einleitung 1 Das Michelson-Interferometer 1 Längenmessung mit dem Michelson-Interferometer 5 Versuchsdurchführung und Auswertung 7 Literatur 10 Anhang 1: Das Konzept der optischen Weglänge 11 Anhang : Wellen und Interferenz 11 Semester:... Unterschrift des/der Studenten Als Übungsergebnis anerkannt: Flensburg, den Unterschrift des Dozenten

2 Institut für Physik Versuch : O4 Blatt: 1 1. Einleitung Interferometer sind optische Geräte, die als Messmethode die Interferenz des Lichtes ausnutzen. Entsprechend der Messgrößen gibt es Interferometer zur Längenmessung, Brechzahlbestimmung, Winkelmessung, Wellenlängenbestimmung und Spektroskopie. Ihr Einsatz erstreckt sich von einfachen Anwendungen wie in diesem Laborversuch über industrielle Einsätze bis hin zu komplexen Geräten in der Forschung wie beispielsweise zum Nachweis von Gravitationswellen (s. etwa Im vorliegenden Versuch wird mit Hilfe eines Michelson-Interferometers der thermische Ausdehnungskoeffizient eines metallischen Probestabes bestimmt. Dabei wird das Interferometer als hochempfindliches optisches Messinstrument eingesetzt, um berührungslos Längenänderungen zu messen. Das Interferometer dient also als Messtaster mit einer Genauigkeit von Bruchteilen von Wellenlängen des verwendeten Lichtes.. Das Michelson-Interferometer.1 Aufbau Das Michelson-Interferometer ist ein Zweistrahlinterferometer und besteht in seiner einfachsten Form aus einer S 1 n 1 Lichtquelle LQ, einem Strahlteiler ST (z. B. einer S Glasplatte) und zwei Spiegeln S 1 und S (Abb. 1). d 1 K Als Lichtquelle eignet sich aufgrund seiner Kohärenz und d spektralen Leistungsdichte besonders ein Laser. Andere S Lichtquellen wie z. B. Glühlampen mit Filtern können aber LQ ST n ebenfalls allerdings mit höheren Justieranforderungen eingesetzt werden. Das Licht der Lichtquelle wird durch den beispielsweise an der Vorderseite 50 % teilverspiegelten Strahlteiler ST B Abb. 1 Michelson-Interferometer in zwei zueinander senkrechte Wege aufgeteilt; in diesem Sinne zählt erst der Strahlteiler als diejenige Lichtquelle, von der zwei kohärente interferenzfähige Wellen ausgehen (s. Anhang ). Da die Intensität des einfallenden Lichtes im Verhältnis der Verspiegelung auf die beiden Wege verteilt wird, spricht man auch von Amplitudenteilung. Einer der Zweige (z. B. ST S 1 ) wird als Referenzzweig, der andere (z. B. ST S ) als Messzweig bezeichnet. Im Messzweig erfolgt die Änderung der optischen Weglänge (s. Anhang 1), die mit dem Interferometer gemessen werden soll. Die beiden Zweige des Interferometers haben die jeweiligen geometrischen Längen ST S 1 = d1 bzw. ST S = d ; die Brechzahlen des in den beiden Zweigen jeweils durchlaufenen Mediums seien n 1 bzw. n. Die optischen Weglängen sind somit l opt 1 = n 1 d 1 bzw. l opt = n d. Befindet sich das Interferometer in einem einheitlichen Medium, beispielsweise Luft, so ist n 1 = n. Die vom Strahlteiler ausgehenden Teilwellen werden an den Spiegeln S 1 und S reflektiert und am Strahlteiler ST wieder vereinigt. Hinter dem Strahlteiler überlagern sich die von den Spiegeln reflektierten Teilwellen, und ihre Interferenz wird in B auf einem Schirm sichtbar gemacht.

3 Institut für Physik Versuch : O4 Blatt: Da in unserem Beispiel (Abb. 1) das Licht von ST nach S den Strahlteiler dreimal, das Licht von ST nach S 1 den Strahlteiler jedoch nur einmal durchläuft, ergeben sich selbst bei gleichen geometrischen Längen aufgrund des Weges durch den brechzahlbehafteten Strahlteiler unterschiedliche optische Weglängen. Zum Ausgleich wird bei einem derartigen Aufbau eine Kompensationsplatte K, die in Dicke, Brechzahl und Neigung dem Strahlteiler entspricht, in den Pfad ST S 1 eingefügt.. Entstehung von Interferenzstreifen..1 Die Michelson-Interferometer-Gleichung Ein Beobachter in B sieht den (realen) Spiegel S 1 und zusätzlich das virtuelle Bild S des Spiegels S. Je nach der Position der Spiegel erscheint dem Beobachter das Bild S vor, hinter oder genau auf dem Spiegel S 1. Im letzteren Fall ist in der Anordnung d 1 = d. Ist d 1 d, so besteht ein endlicher Abstand P d ε P d ε Γ S 1 S d = d - d 1 zwischen S 1 und S (s. Abb. ). Geht Licht von einem Punkt P der Lichtquelle aus und wird dies an S 1 und S reflektiert, so sieht ein Beobachter B zwei B x Schräger Einblick in das Michelson- Interferometer virtuelle Bilder P und P. Diese erscheinen bei Beobachtung entlang der Achse des Interferometers im Abstand d, so dass der Gangunterschied (s. Anhang 1) Γ = d P Abb. beträgt. Bei schrägem Einblick in das Interferometer - dies wird in der Praxis häufig der Fall sein - verringert sich der scheinbare Abstand von P und P mit zunehmendem Winkel ε zur Achse entsprechend Γ = d cos ε 0 ε 90 (.1) Der Gangunterschied Γ enthält m Wellenlängen λ. Damit folgt die Michelson-Interferometer-Gleichung d cos ε = m λ (.) Sie beschreibt den Zusammenhang zwischen Beobachtungsort, Wellenlänge und Spiegelabstand. m = 0, 1,, ist die Ordnungszahl. Sie kann sehr hohe Werte erreichen... Diskussion der Michelson-Interferometer-Gleichung Je nach Größe des Gangunterschiedes - letztlich also des Spiegelabstandes d - werden die beiden Teilstrahlen konstruktiv oder destruktiv interferieren, und der Beobachter registriert an seinem Ort B(ε) Helligkeit oder Dunkelheit. Bei konstantem Spiegelabstand d und konstanter Wellenlänge λ ändert sich die Intensität mit dem Beobachtungsort; auf einem Schirm sind helle und dunkle Zonen zu erkennen: Interferenzstreifen (engl.: fringes). Ein Beobachter, der seinen Ort quer zur Interferometerachse (z. B. entlang der x-achse) wechselt (d. h. ε variiert), registriert ab-

4 Institut für Physik Versuch : O4 Blatt: 3 wechselnd Helligkeit und Dunkelheit. Hält man demgegenüber den Winkel ε konstant, so ist das Problem rotationssymmetrisch: die hellen und dunklen Zonen erscheinen als konzentrische Kreise mit der Interferometerachse als Symmetrieachse (Streifen gleicher Neigung). Bei festem Beobachtungsort (z. B. ε = 0) und Variation des Spiegelabstandes d wird der Beobachter m Hell-Dunkel-Wechsel registrieren. Mit ε = 0 folgt λ = d m aus (.). Auf diese Weise kann eine unbekannte Wellenlänge bestimmt werden, wenn d und m bekannt sind. Hält man andererseits Beobachtungsort B(ε) und Wellenlänge λ konstant, so führt eine Änderung des Spiegelabstandes d zu einer Intensitätsvariation. Diese Variante der Gleichung wird im vorliegenden Versuch ausgenutzt. Ist d = 0 und n 1 = n, so sind die von den beiden von ST ausgegangenen Teilwellen zurückgelegten optischen Wege gleich lang, und man erwartet bei Beobachtung auf der Interferometerachse (ε = 0) eine Verstärkung durch konstruktive Interferenz also maximale Intensität am Beobachtungsort. Dies ist tatsächlich nicht der Fall, da die Reflexion LQ ST S 1 an der Strahlteilerplatte ST einen Phasensprung von π bewirkt. Ein solcher Phasensprung tritt stets auf bei der Reflexion an einer Grenzfläche von einem Medium mit niedriger zu einem Phasensprung π Phasensprung 0 Abb. 3 Phasensprung bei Reflexion an einer Grenzfläche Medium mit hoher Brechzahl (beispielsweise Luft Glas, vgl. Abb. 3). Damit besteht zwischen den Teilwellen insgesamt eine Phasendifferenz von δ = π, und am Beobachtungsort B(ε = 0) ist minimale Intensität erkennbar (destruktive Interferenz); bei gleichen Amplituden der Teilwellen also Dunkelheit (Auslöschung; s. Abb. 4). Wird nun einer der Spiegel um ¼ λ verschoben, so ändert sich der Gangunterschied um ½ λ (warum?). Die Phasenverschiebung zwischen den Teilwellen ändert sich damit um π, die Teilwellen interferieren nun konstruktiv ( δ = π), und der Beobachter registriert maximale Intensität. Eine weitere Verschiebung des Spiegels um ¼ λ erzeugt wieder ein Intensitätsminimum ( δ = 3/ π) am Beobachtungsort B(ε = 0) und so weiter. Wird der Spiegelabstand d vergrößert, so vergrößert sich damit auch der Durchmesser eines bestimmten Interferenzringes (hell oder dunkel; Ordnung m), da das Produkt d cos ε in (.) notwendigerweise konstant ist. Der Term cos ε wird kleiner, so dass ε größer wird. Wann immer der Spiegel um weitere ½ λ verschoben wird, erscheint ein neuer Ring der Ordnung m + 1 aus dem Zentrum, und die vorigen Ringe werden größer. Und mit zunehmendem Spiegelabstand d quellen die Abb. 4 Auftreten von Interferenzringen mit zunehmendem Spiegelabstand d neuen Ringe schneller aus dem Zentrum hervor, als dass die alten verschwinden, so dass der Schirm schließlich mit immer dünneren Ringen gefüllt wird (Abb. 4). Dabei kann die Ordnungszahl m sehr hohe Werte erreichen. Wird umgekehrt d ver-

5 Institut für Physik Versuch : O4 Blatt: 4 ringert, so verschwinden die Ringe im Zentrum, bis der Schirm für d = 0 wieder dunkel ist. Diese Effekte zu beobachten, ist immer wieder interessant. Wenn die Lichtquelle Licht mit verschiedenen Wellenlängen ausstrahlt, so gilt die Michelson-Interferometer-Gleichung für jede in dem Licht enthaltene Wellenlänge. Für zwei Wellenlängen (s. Abb. 5) ist beispielsweise bei festem Spiegelabstand d und fester Ordnung m d cos ε 1 = m λ 1 d cos ε = m λ LQ λ 1 < λ Daraus folgt, dass für eine kleinere Wellenlänge der Interferenzstreifen m-ter Ordnung weiter vom Zentrum entfernt ist als für eine größere Wellenlänge. Bei Betrieb mit Weißlicht erscheinen daher die Maxima farbverschmiert. Nur das Maximum nullter Ordnung ist achromatisch und damit von den anderen zu unterscheiden. Eine interessante Anwendung dieses Effektes ist die Bestimmung einer unbekannten Wellenlänge λ mit Hilfe einer bekannten Wellenlänge λ 1 und einem Michelson-Interferometer (solche Geräte werden als wave meter bezeichnet). λ 1 S 1 K ST S λ Schirm Abb. 5 Michelson- Interferometer mit zwei verschiedenen Wellenlängen.3 Strahlteilerplatte und Strahlteilerwürfel Aus der bisherigen Diskussion folgt, dass der Einsatz einer Strahlteilerplatte mit Nachteilen verbunden ist: einerseits ist π eine Kompensationsplatte erforderlich, was zumindest mit Justieraufwand verbunden ist, andererseits erfolgt bei der Reflexion ein Phasensprung von π (Abb. 6 a). In praxisnahen Aufbauten wird daher vielfach ein Strahlteilerwürfel π π verwendet, der aus zwei verkitteten 90 -Prismen be- steht (Abb. 6 b). Die Laufwege der Teilstrahlen durch den Würfel sind gleich, so dass die optische Weglänge nicht beeinträchtigt Abb. 6 a Strahlteilerplatte π wird und eine Kompensationsplatte nicht erforderlich ist. Und da die Reflexion im Medium erfolgt, entfällt der Phasensprung π von δ = π. Für d = 0 erwartet man dann Helligkeit. Im vorliegenden Versuchsaufbau ist ein solcher Strahlteilerwürfel eingesetzt. Das Michelson-Interferometer kann als hochempfindliches optisches Abb. 6 b Strahlteilerwürfel Messinstrument eingesetzt werden, um berührungslos beispielsweise Längenänderungen oder Brechzahlen zu messen. Bei diesem Verfahren wird der Referenzzweig konstant gehalten und im Messzweig die gewünschte Änderung eingeführt. Die Auswertung des Interferenzstreifensystems führt auf Ergebnisse, deren Genauigkeit Bruchteile von Wellenlängen des verwendeten Lichtes beträgt..4 Kontrast Bei einem gut justierten Michelson-Interferometer ist das Ringsystem gut zu erkennen (s. z. B. Abb. 4). Ist das Interferometer nicht optimal justiert, so erscheinen die Streifen verwaschen und wenig kontrastreich. Dieser visuelle Eindruck lässt sich durchaus quantifizieren. Der Streifenkontrast wird beschrieben durch die Kontrastfunktion M = I max - I I + I max min min (.3)

6 Institut für Physik Versuch : O4 Blatt: 5 mit der am Detektor auftretenden Maximalintensität I max und der Minimalintensität I min. Optimaler Kontrast ergibt sich für I min = 0, wohingegen der Kontrast bei I min = I max verschwindet - zwischen hellen und dunklen Bereichen ist kein Intensitätsunterschied mehr feststellbar. Der Kontrast lässt sich leicht aus der Messkurve bestimmen (Abb. 7). Abb. 7 Bestimmung des Kontrastes aus der Messkurve 3. Längenmessung mit dem Michelson-Interferometer 3.1 Versuchsaufbau S 1 Δx Bei kontinuierlicher Änderung der Längendifferenz d etwa durch langsames Verschieben ei- Δϑ n = const. LASER nes Spiegels um Δx ändert sich der Gangunterschied Γ kontinuierlich. Die Intensität am ST S S Beobachtungsort variiert dementsprechend, PD I und der Beobachter sieht die Interferenzstreifen t auf dem Schirm wandern. Im Experiment wird Abb. 8 Messung von Längenänderungen mit dem Michelson-Interferometer man die Intensitätsvariation am Beobachtungsort B(ε = 0) beispielsweise mit einem x-t-schreiber registrieren. Das Schema eines solchen Versuchsaufbaus ist in Abb. 8 dargestellt. Die Variation des Gangunterschiedes Γ kann geschrieben werden als ΔΓ = p λ / = n Δx p = 0, 1,, ; n = const. (3.1) mit der Zahl p als Laufzahl. Dabei liegt p = 0 im Zentrum des Ringsystems. Durch Bestimmung von p letztlich also durch Abzählen der am Beobachtungsort vorbeigewanderten Interferenzstreifen bzw. Hell-Dunkel-Wechsel ist die Messung der Längenänderung Δx in Einheiten der Wellenlänge λ des verwendeten Lichtes möglich. Der Vorteil dieser Methode liegt in der berührungslosen und auf Bruchteile von Wellenlängen genauen Messung. 3. Thermische Längenausdehnung Im vorliegenden Versuch wird die thermische Längenausdehnung eines Metallstabes mit dem Michelson-Interferometer dargestellt. Aus der Anzahl der in einem bestimmten Temperaturintervall ΔT durchlaufenden Interferenzstreifen wird der Längenausdehnungskoeffizienten α bestimmt. Die Länge eines dünnen Stabes ist temperaturabhängig gemäß l(t ) = l(t 1 ) [1 + α (T - T 1 )] (3.) mit dem Längenausdehnungskoeffizienten α, einer Materialkonstanten.

7 Institut für Physik Versuch : O4 Blatt: 6 Die Längenänderung Δl eines Stabes, dessen Temperatur um ΔT = T - T 1 geändert wird, beträgt demnach Δl = α l 0 ΔT (3.3) mit der Länge l 0 zu Beginn der Temperaturänderung. Sind drei der in dieser Beziehung enthaltenen Größen bekannt, so lässt sich daraus die vierte berechnen. Für die Bestimmung des Längenausdehnungskoeffizienten α sind die Ausgangslänge l 0, die Temperaturänderung ΔT und die Längenänderung Δl erforderlich. Diese wird berührungslos mit dem Michelson-Interferometer gemessen. Aus (.1) folgt mit ε = 0 λ Δl = α l 0 ΔT = p (3.4) Bei bekannter Länge l 0, gemessener Temperaturänderung ΔT und gemessener Längenänderung Δl kann somit der Längenausdehnungskoeffizient α bestimmt werden. Dann ist α λ = p l ΔT = p λ ΔT l ; 0 0 λ l 0 = const. (3.5) Der Faktor ½ rührt daher, dass bei zwei aufeinander folgenden Streifen (Δp = ) eine Längenänderung um ½ λ erfolgte, die zu einem Gangunterschied von Γ = λ führte. Dies ist bei der Streifenauszählung zu berücksichtigen. Der erste Streifen (der Abzähl-Start) ist stets bei p = 0! Als Beispiel sei ein Ausschnitt aus einer Messung betrachtet (Abb. 9), die mit einem HeNe-Laser (λ = 63,8 nm) an einem l 0 = 60 mm langen Metallstab ausgeführt wurde. Aufgetragen ist die Intensitätsvariation an einem auf der Interferometerachse (ε = 0) angeordneten Detektor über der Temperatur. Über ein Temperaturintervall von 3K erfolgten p = 7 Hell-Dunkel-Wechsel. Damit ergibt sich -9 63, α = 7 =1, ,06 3 K K p = 7 ΔT = 3 K Abb. 9 Ausschnitt aus einer Messung

8 Institut für Physik Versuch : O4 Blatt: 7 4. Versuchsdurchführung und Auswertung Der Umgang mit Lasern erfordert besondere Sorgfalt und Vorsicht. Laserstrahlung kann die Augen schädigen. Sehen Sie nie direkt in den Laserstrahl! Halten Sie optische Komponenten beim Einbau in den Strahlengang immer so, dass Reflexionen nach unten laufen und niemand gefährdet wird. Bitte berühren Sie die Flächen optischer Komponenten nicht mit den Fingern. 4.1 Justage des Michelson-Interferometers Abb. 10 zeigt den schematischen Versuchsaufbau. Da das Interferometer auch in der Mach-Zehnder-Konfiguration betrieben werden kann, befinden sich auf der Grundplatte einige Komponenten (US 1, US, ST ), die zum Betrieb des Michelson- Interferometers nicht unbedingt erforderlich sind. Dies sollte Sie nicht irritieren. LASER S 1 ST l 0 1 US L 1 S SH Z Det n = const. mikrooptische Bank US 1 B ST L Abb. 10 Versuchsaufbau Michelson-Interferometer, schematisch 1. Schalten Sie den Laser mit dem Schlüsselschalter EIN. Klappen Sie den Detektor und die Linse L aus dem Strahlengang heraus.. Klappen Sie den Halter SH mit dem beheizbaren Metallrohr und dem Spiegel S in den Strahlengang (Messzweig). Achten Sie darauf, dass die Abstände ST 1 S und ST 1 S 1 möglichst gleich sind. Fixieren Sie SH. Decken Sie den Spiegel S 1 mit einem Stück Papier ab, sodass der Referenzzweig blockiert ist. 3. Setzen Sie die Zielscheibe Z in den Umlenkspiegel US 1 ein. Bringen Sie durch Drehen des Strahlteilers ST 1 (waagerechte Schraube an ST 1 lösen / festziehen) um die senkrechte Achse den Strahl in der Waagerechten und durch Justieren an den oberen Rändelschrauben des Strahlteilers in der Senkrechten in das Zentrum der Zielscheibe. Sie hat im Zentrum ein kleines Loch, so dass Sie auf einem Papier hinter US 1 Licht sehen können.

9 Institut für Physik Versuch : O4 Blatt: 8 4. Nehmen Sie die Zielscheibe heraus. Der Strahl trifft nun auf die Irisblende B am Strahlteiler ST. Schließen Sie die Irisblende auf etwa halben Strahldurchmesser. Drehen Sie ggf. den Umlenkspiegel US 1 um die senkrechte Achse, bis der Strahl die Blende mittig trifft. Öffnen Sie die Blende so weit, dass der Strahl gerade hindurchgeht. 5. Öffnen Sie nun den Referenzzweig und decken Sie den Spiegel S mit einem Stück Papier ab. Setzen Sie die Zielscheibe Z in den Umlenkspiegel US 1 ein. Zentrieren Sie den Strahl auf der Zielscheibe mit Hilfe der Rändelschrauben des Spiegelhalters. 6. Nehmen Sie die Zielscheibe in US 1 und das Papier vor Spiegel S heraus. Hinter dem Strahlteiler ST können Sie nun Licht erkennen: im günstigsten Fall einen, sonst zwei (evtl. ineinander übergehende) Flecken. Halten Sie mit einem Stück Papier Referenz- und Messzweig abwechselnd zu, um die Flecken zuzuordnen. 7. Justieren Sie Spiegel S 1 so, dass die Flecken übereinander liegen. Sie können jetzt ein (evtl. sehr dichtes) Streifenmuster erkennen, das verschwindet, sobald Sie einen der beiden Spiegel abdecken. 8. Justieren Sie Spiegel S 1 so, dass aus den Streifen ein konzentrisches Ringsystem wird (s. Abb. 4). Zentrieren Sie das Ringsystem durch Justieren des Spiegels S 1. Wenn Sie viele Ringe sehen, ist offenbar d 1 d. Verschieben Sie den Halter SH axial, bis die Ringzahl minimal wird. Fixieren Sie SH. Eventuell müssen Sie an S 1 nachjustieren. Wenn Sie nun vorsichtig auf die Grundplatte des Interferometers drücken, können Sie die Bewegung des Ringsystems direkt beobachten (vgl...). Das Interferometer reagiert sehr empfindlich, beispielsweise auch auf Klopfen. 9. Klappen Sie den Detektor in den Strahlengang und prüfen Sie, ob ihn das Ringsystem zentrisch trifft (sonst Nachjustieren am Spiegel S 1 ). Klappen Sie die Linse L in den Strahlengang und zentrieren Sie das Ringsystem ggf. mit der Linse L. Das Michelson-Interferometer ist nun messbereit. 4. Vorbereitung und Durchführung der Messung 1. Schalten Sie den Rechner und die Heizeinheit jeweils am Netzschalter EIN. Beachten Sie, dass die Heizung noch nicht eingeschaltet wird.. Starten Sie das Programm Michelson Interferometer. Sie sehen die Bedieneroberfläche Vorgabe des Datenschreibers (Abb. 11). Abb. 11 Bedieneroberfläche Vorgabe des Datenschreibers

10 Institut für Physik Versuch : O4 Blatt: 9 Die Schaltflächen unten links haben folgende Bedeutung: Start: Startet den Endlosschreiber. Die am Detektor gemessene Intensität wird fortlaufend angezeigt. Stop: Stoppt den Endlosschreiber. Edit: Hier ohne Bedeutung Speichern: Speichert ab sofort alle anfallenden Daten auf die Festplatte. Nochmaliges Betätigen der Speichern-Taste stoppt den Vorgang. Markieren: Damit lässt sich eine schwarze, senkrechte Marke auf dem Schrieb platzieren. Die digitale Anzeige unten rechts gibt die gemessene Temperatur in C an. 3. Starten Sie den Schreiber. Maximieren Sie die Intensität am Ausgang des Interferometers (Druck auf Grundplatte; ggf. etwas an Spiegel S 1 justieren hinterher wieder zurückstellen). Dadurch wird der Messbereich optimal genutzt. 4. Wenn Sie, um einen ersten Eindruck zu erhalten, die Heizung bereits eingeschaltet hatten, schalten Sie sie wieder aus und warten Sie, bis eine Temperatur unter 30 C erreicht ist. 5. Während der Speicherung der Daten erzeugen Sie mit dem Markierungsknopf in 1 K-Intervallen Marken auf dem Schrieb. Setzen Sie bei einer ganzzahligen Temperatur die erste Marke und notieren Sie diese Temperatur. Messen Sie über ein Temperaturintervall von 10 K. 6. Beginnen Sie mit der Speicherung der Daten. Schalten Sie die Heizung EIN. 7. Nach Erreichen der Endtemperatur (letzte Marke noch setzen!) stoppen Sie die Speicherung und schalten Sie die Heizung AUS. Wählen Sie die Seite Druck. Sie sehen die Bedieneroberfläche Druck des Datenschreibers (Abb. 1). Abb. 1 Bedieneroberfläche Druck des Datenschreibers

11 Institut für Physik Versuch : O4 Blatt: 10 Drücken Sie die Schaltfläche Laden links unten, und Ihre gespeicherten Messdaten werden inklusive der Markierungen angezeigt. Mit einem Mausklick der rechten Taste erscheint ein Popup-Menü (Abb. 13). Sie können jetzt das Diagramm so verändern, dass es inklusive der ersten und letzten Markierung die weiße Fläche füllt. Starten Sie den Ausdruck des Diagramms. Abb. 13 Popup-Menü Druck des Datenschreibers 4.3 Auswertung Die Wellenlänge des HeNe-Lasers ist λ = 63,8 nm. Die Länge des Probestabes beträgt l 0 = (65 ± ) mm. Stellen Sie die für die Auswertung relevanten Daten (p 1, ΔT=1K.. p 10, ΔT=10K ) in einer Tabelle zusammen. Tragen Sie mit allen Wertepaaren p über der Temperaturänderung ΔT auf (es ist durchaus p möglich). Der Graph sollte linear verlaufen; welche Ursachen können Abweichungen von der Linearität haben? p Bestimmen Sie mittels Linearer Regression die mittlere Steigung m = des Δ T Graphen und deren Unsicherheit Δm. Ermitteln Sie aus der Steigung den Längenausdehnungskoeffizienten α (Welchen Korrekturfaktor müssen Sie hierbei berücksichtigen? Welche alternative Auftragung ist möglich?). Geben Sie α mit errechneter Unsicherheit an. Vergleichen Sie Ihren Wert für den Längenausdehnungskoeffizienten α mit Literaturwerten für Metall. Aus welchem Material könnte das Rohr gefertigt sein? Bestimmen Sie aus der Messkurve den Kontrast M. 4.4 Zusammenfassung Stellen Sie Ihre Ergebnisse in einer Schlussbetrachtung zusammenfassend dar. 5. Literatur 1. Pedrotti, F. u. L., W. Bausch u. H. Schmidt Optik Berlin 00. Naumann, H. u. G. Schröder Bauelemente der Optik München Danksagung Der Versuch Michelson-Interferometer wurde unter Mitwirkung von cand. ing. Ralph Abel erstellt.

12 Institut für Physik Versuch : O4 Blatt: Anhang 1: Das Konzept der optischen Weglänge 6.1 Optische Weglänge Eine wichtige Größe bei der Betrachtung der Lichtausbreitung ist die optische Weglänge l opt ; insbesondere Interferometer reagieren auf Differenzen der optischen Weglänge. Sie ist definiert als das Produkt von Brechzahl n des durchlaufenen Mediums und (durchlaufener) geometrischer Länge d l opt = n d Das Konzept der optischen Weglänge ermöglicht den Vergleich der Laufzeiten des Lichtes in unterschiedlichen Medien und entlang unterschiedlichen Wegen: Bei gleichen geometrischen Weglängen und gleichen Brechzahlen breitet sich das Licht in den Medien gleich schnell aus (Abb. A 1 a)). Bei gleichen geometrischen Wegen und verschiedenen Brechzahlen breitet sich das Licht in den Medien unterschiedlich schnell aus, wobei die Ausbreitungsgeschwindigkeit im dichteren Medium geringer ist. Zwei gleichzeitig gestartete Teilwellen kommen also zu verschiedenen Zeiten am Ziel an (Abb. A 1 b)). Dieser Unterschied der Brechzahlen hat den gleichen Effekt wie ein Unterschied der Weglängen bei gleicher Brechzahl des Mediums: auch hier kommen zwei gleichzeitig gestartete Teilwellen zu verschiedenen Zeiten am Ziel an (Abb. A 1 c)). Die optische Weglänge berücksichtigt also sowohl den Einfluss d 1 = d unterschiedlicher Wege als auch den Widerstand, den eine Welle während der Ausbreitung in einem dichteren Medium (n m > n; z. B. Glas - Luft: n Glas 1,5, n Luft 1) erfährt. a) c 1 1 n b) d 1 = d n c n m > n c m < c c) c 1 n d > d 1 Abb. A 1 Zur Bedeutung der optischen Weglänge 6. Gangunterschied und Phasendifferenz Die (räumliche) Differenz zweier Teilwellen, die verschiedene optische Weglängen durchlaufen haben, wird als Gangunterschied Γ = l opt - l opt 1 = m λ m (A 5.1) bezeichnet. Dieser Gangunterschied wird von m Wellenlängen λ aufgefüllt (m ). Der Gangunterschied - eine Länge - macht sich bei der Überlagerung von Wellen als Phasendifferenz δ bemerkbar. Die Phasendifferenz ist ein Konzept aus der Wellentheorie und besagt, dass eine Welle der Wellenlänge λ einem vollen Umlauf von π auf dem Referenzkreis entspricht. Die Verknüpfung von Gangunterschied Γ und Phasendifferenz δ ist gegeben durch Γ λ δ = (A 6.) π 7. Anhang : Wellen und Interferenz 7.1 Wellen und ihre Beschreibung Wellen breiten sich im Laufe der Zeit von ihrer Quelle ausgehend im Raum aus, sie sind also ein raum-zeitliches Phänomen. Dies gilt für alle Formen der Wellenausbreitung, seien es mechanische, akustische oder elektromagnetische Wellen (Licht). Die Ausbreitung von Wellen oder allgemeiner: von Störungen in Raum und Zeit wird durch die Wellengleichung z(x, t) 1 z(x, t) - =0 (A 6.1) x c t beschrieben, wobei die partiellen Ableitungen jeweils den Orts- und Zeitanteil der Welle berücksichtigen. Die Größe c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit) der Welle in dem Medium, in dem sie sich ausbreitet; im Fall elektromagnetischer Wellen also die Lichtgeschwindigkeit.

13 Institut für Physik Versuch : O4 Blatt: 1 Die mathematische Funktion, die die Wellengleichung erfüllt, ist die orts- und zeitabhängige Wellenfunktion f(x, t). Sie kann je nach Art der Störung (z. B. Puls oder Dauersignal) vielerlei Gestalt annehmen; aus Gründen der Anschaulichkeit wird sie häufig als harmonische Funktion z(x, t) = Z 0 cos [ k x m ωt + δ ] (A 6.) angenommen. Hier stellt ω die Kreisfrequenz, k = π / λ die Kreiswellenzahl, λ die Wellenlänge und Z 0 die Amplitude der Welle dar. δ ist die Nullphase, die berücksichtigt, dass nicht notwendigerweise alle Wellen zur Zeit t = 0 dieselbe Phasenlage haben. Dies ist zwar für eine einzelne Welle unerheblich, nicht aber, wenn mehrere Wellen miteinander in Beziehung treten. Das Minuszeichen im Argument der Sinusfunktion bedeutet, dass sich die Welle in positive X-Richtung, das Pluszeichen, dass sich die Welle in negative X-Richtung ausbreitet. Eine alternative und mathematisch vielfach einfacher zu handhabende Darstellung der Wellenfunktion ist [ ] z(x, t) = Z 0 e i ( ω t m k x) + δ Re (A 6.3) = Re{ Z 0 [ cos ( ωt m k x + δ) + i sin ( ωt m k x + δ) ]} mit der imaginären Einheit i = -1. Re bedeutet, dass nur der Realteil dieser komplexen Funktion betrachtet wird (hier also der cos), und wird unter der Übereinkunft, dass das Verhalten der Wellenfunktion durch den Realteil beschrieben wird, zumeist weggelassen. Der Vorteil der Exponentialdarstellung ist, dass räumliche und zeitliche Anteile separiert werden können [ ] z(x, t) = Z 0 e i ( ω t m k x) + δ = Z 0 e i ω t e m i k x e i δ = Z 0 e i ω t e m i k x was die mathematische Behandlung mitunter deutlich vereinfacht. Im letzten Schritt ist die komplexe Amplitude Z 0 = Z 0 e iδ eingeführt worden. 7. Interferenz Wellen, die von verschiedenen Quellen ausgehen (beispielsweise von verschiedenen Stellen einer Glühwendel oder von verschiedenen Atomen oder Molekülen eines Gases), können sich bei ihrer Ausbreitung überlagern. Hierbei gilt das Prinzip der ungestörten Superposition (Überlagerung): am Ort der Überlagerung beeinflussen die Wellen sich gegenseitig, außerhalb jedoch breitet sich jede Welle aus, als wären die anderen nicht vorhanden. Die Überlagerung von Wellen wird als Interferenz bezeichnet. Interferenz ist ein grundlegendes Phänomen in der Wellenlehre, das daher auch in der Optik vertreten ist und wird vielfach für Messzwecke ausgenutzt wird. Als einfachste Form der Interferenz sei die Überlagerung von zwei Wellen betrachtet. Sie sollen der Einfachheit der Darstellung halber gleiche Frequenz ω und gleiche Wellenlänge λ (also gleiche Wellenzahl k), aber durchaus verschiedene Amplituden und verschiedene Phasenkonstanten haben und in die positive x - Richtung laufen. Die einzelnen Wellenfunktionen sind dann z 1 (x, t) = Z 1 sin (ω t - k x + δ 1 ) z (x, t) = Z sin (ω t - k x + δ ) (A 6.4 a / b) Mathematisch wird die Überlagerung der beiden Wellen beschrieben durch die Summenbildung der beiden einzelnen Wellenfunktionen. Die resultierende Wellenfunktion z r ist demnach z r (x, t) = Z r sin (ω t - k x + δ r ) = z 1 (x, t) + z (x, t) = Z 1 sin (ω t - k x + δ 1 ) + Z sin (ω t - k x + δ ) [ ] [ ] = Z e i ( ω t k x) + δ + Z e i ( t k x) + 1 ω δ (A 6.5) 1 Nach einigem Umformen ergeben sich durch Koeffizientenvergleich die Beziehungen zwischen den Amplituden und den Phasenkonstanten und letztlich die Amplitude der resultierenden Welle zu Z r = Z 1 + Z + Z1 Z cos ( δ - δ 1 ) (A 6.6) mit der Phasendifferenz δ = δ - δ 1 zwischen den beiden ursprünglichen Wellen. Bemerkenswert an diesem Ergebnis ist, dass sich die aus der Überlagerung der Wellen resultierende Amplitude nicht einfach nur aus der Summe der beiden Amplituden Z 1 und Z zusammensetzt, sondern dass ein zusätzlicher Term auftritt, der die resultierende Amplitude Z r mit einer von der Phasendifferenz δ abhängigen cos-funktion beeinflusst. Dieser Term wird als Interferenzterm bezeichnet.

14 Institut für Physik Versuch : O4 Blatt: 13 Der Interferenzterm ist wesentlich bestimmt durch die Phasendifferenz δ, die durch den (räumlichen) Gangunterschied Γ verursacht wird. Er bewirkt, dass an bestimmten Orten der Überlagerungszone zweier Wellen eine große, an anderen Orten hingegen eine kleine Auslenkung vorhanden ist. Die cos-funktion nimmt stets Werte zwischen +1 und -1 an. Dementsprechend nimmt die resultierende Amplitude Z r einen Maximalwert Z r max = Z + Z + Z Z (A 6.7 a) 1 1 immer dann an, wenn der Gangunterschied Γ = m λ mit m = 0, 1,,... beträgt. Dann trifft Wellenberg auf Wellenberg, und man spricht von konstruktiver Interferenz oder Verstärkung (Abb. A ). Und Z r nimmt einen Minimalwert Abb. A Konstruktive Interferenz Z r min = Z + Z - Z Z (A 6.7 b) 1 1 λ dann an, wenn der Gangunterschied Γ = ( m + 1) mit m = 0, 1,,... beträgt. Dann trifft Wellenberg auf Wellental, und man spricht von destruktiver Interferenz oder Auslöschung (Abb. A 3). Abb. A 3 Destruktive Interferenz Wenn beide Amplituden gleich sind (Z 1 = Z = Z), bewegt sich die resultierende Amplitude Z r im Intervall 0 Z r Z Je nach der Phasenlage der beteiligten Wellen ergeben sich Verstärkung, Auslöschung oder Zwischenwerte. Wichtig für das Zustandekommen von (optischer) Interferenz ist das Vorhandensein einer festen Phasenbeziehung zwischen den beteiligten (elektromagnetischen) Wellen. Dieser Zusammenhang wird als Kohärenz (lat.: Zusammenhang) bezeichnet. Nur bei kohärenten miteinander interferierenden (elektromagnetischen) Wellen können die beschriebenen Phänomene - Verstärkung und Abschwächung - beobachtet werden (der größte Gangunterschied, bei dem noch Interferenz stattfindet, wird als Kohärenzlänge bezeichnet und bewegt sich im Bereich µm m). Standardlichtquellen wie Sonne, Glühlampe, Hohlkathodenlampe o. ä. senden Licht aus, das nur in sehr kleinen räumlichen und zeitlichen Intervallen beobachtbare Interferenzerscheinungen zeigt und somit als quasi inkohärent betrachtet werden kann. Mit dem Laser steht dem Anwender eine hochkohärente Lichtquelle zur Verfügung. Der Laser sendet kohärentes Licht mit extremer Bündelbegrenzung aus, von dem üblicherweise als Laserstrahl gesprochen wird. Bisher wurden die Amplituden betrachtet. Aufgrund der hohen Schwingungsfrequenzen des Lichtes (Größenordnung Hz) kann jedoch kein Empfänger die zeitliche Variation der Amplituden auflösen weder das Auge noch Photomultiplier, Halbleiterdioden oder andere. Empfänger registrieren lediglich mittlere Intensitäten, das sind die Amplitudenquadrate mit herausgemittelter Zeitkomponente. Für die Intensität der resultierenden Welle bedeutet dies I r = I 1 + I + Z 1 Z cos(k Δ) I i = Z i mit den Extremwerten I r max = I 1 + I + Z 1 Z I r min = I 1 + I - Z 1 Z Mathematisch zeigt sich der Unterschied zwischen inkohärenter und kohärenter Überlagerung von zwei Wellen dadurch, dass für die Intensität bei inkohärenter Überlagerung I r = Z 1 + Z Inkohärenz Sonne, Glühlampe gilt, für die Intensität bei kohärenter Überlagerung hingegen I r = (Z 1 + Z ) = Z 1 + Z + Z 1 Z Kohärenz Laser wodurch wiederum der Interferenzterm entsteht. Schf./CN 0107

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