Einführung in die Angewandte Informatik Modellierung und Simulation

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1 Fakultät Informatik, Institut für Angewandte Informatik, Professur Modellierung und Simulation Einführung in die Angewandte Informatik Modellierung und Simulation Dr. Christoph Laroque Wintersemester 11/12 Dresden,

2 Einführung in die Simulation Wintersemester 11/12 EXPERIMENTDESIGN Einführung in die Simulation Folie Nr. 2

3 Rückblende: letzte Woche 1. Was ist Simulation? 2. Warum nutzen wir Simulation? 3. In welcher Form wird ein Simulationsprojekt umgesetzt? Einführung in die Simulation Folie Nr. 3 3

4 Was ist Simulation? VDI Simulation ist das Nachbilden eines dynamischen Prozesses in einem System mit Hilfe eines experimentierfähigen Modells, um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit übertragbar sind. [VDI-Richtlinie 3633] Einführung in die Simulation Folie Nr. 4

5 Einführung Experimentdesign Aufgabe: Optimiere mittels Simulation ein System mit verschiedenen In- und Outputs Fragen Wie gestaltet man dazu Experimente? Welche Optimierungsmethoden können verwendet werden? Welche Parameter haben überhaupt Einfluss auf die Problemlösung? Ein schwierigeres Problem Einführung in die Simulation Folie Nr. 5 5

6 Einführung Experimentdesign Inputparameter und Strukturannahmen sind Faktoren; Output-Performanzmaße heißen Antworten (Responses) Faktoren können quantitativ oder qualitativ sein Quantitative Faktoren nehmen numerische Werte an Qualitative Faktoren geben oft Strukturannahmen wieder und können nicht natürlich quantifiziert werden Unterscheidung nicht klar für einige Faktoren Weitere Klassifikation: steuerbar/unkontrollierbar Abhängig davon, was im Realsystem tatsächlich verändert werden kann u. U. auch Abhängigkeit von der jeweiligen Situation Einführung in die Simulation Folie Nr. 6 6

7 Bedeutung des Designs der Simulation Das Design eines Experiments entscheidet a priori darüber, welche Konfigurationen mit welchem Simulationsaufwand getestet werden. Aufwand soll natürlich möglichst gering sein, Ergebnis möglichst gut Intelligentes Design weitaus mehr Effizienz als Hit-or-Miss! Heute einige Methoden, wie man a) unter vielen Alternativen die näher zu untersuchenden findet und b) schließlich zu quasi-optimalen Lösungen gelangen kann Einführung in die Simulation Folie Nr. 7 7

8 Anmerkung zur Versuchsplanung Geplante Experimente haben in der Simulation wesentliche Vorteile gegenüber normaler Experimentation Faktoren, die in Realität nicht kontrolliert werden können, sind steuerbar Der Zufall ist steuerbar aufgrund der Eigenschaften der Zufallszahlengeneratoren Bedingungen der Experimente müssen nicht randomisiert werden, weil keine systematischen Fehlerquellen auszuschalten sind im Gegensatz z. B. zu biologischen Laborversuchen (Was ist repräsentativ? ;-)) (Annahme: Zufallszahlengenerator macht, was er soll!) Einführung in die Simulation Folie Nr. 8 8

9 2 k -Faktoren-Design Bei einzelner Outputgröße wie bisher n Replikationen für ein gegebenes Faktorlevel Konfidenzintervall, Auswertung über Graph usw. Wiederhole das für alle zu untersuchenden m Faktorlevel (d. h. mind. m*n Replikationen) fertig, aber nur für 1 Faktor! nun gegeben: k Faktoren ( k > 1) Fragestellungen: 1) Wie beeinflusst ein Faktor das Antwortverhalten des Systems? 2) Wie beeinflussen sich die Faktoren gegenseitig? Ziel: Untersuche das System möglichst effizient! Einführung in die Simulation Folie Nr. 9 9

10 2 k -Faktoren-Design Vorschlag 1: Masse statt Klasse Fixiere k - 1 Faktoren und mache jeweils n Replikationen für verschiedene Level des k. Faktors Aber: Sehr viele Replikationen notwendig Messung von Faktor-Interaktionen unmöglich Sogar implizite Annahme, dass keine Interaktionen zwischen Faktoren vorliegen Vorschlag 2: 2 k -Faktoren-Design Wähle pro Faktor 2 Level aus und repliziere n Mal für alle der 2 k möglichen Faktorkombinationen (sog. Design-Punkte) Einführung in die Simulation Folie Nr

11 2 k -Faktoren-Design Schreibung: Das erste Level eines Faktors wird mit -, das zweite mit + gekennzeichnet + - und - -Level sollten in etwa konträr sein Aber: nicht so weit auseinander, dass sie unrealistisch werden Und: nah genug beieinander, um kein eventuell auftretendes Zwischenverhalten zu verpassen. Einführung in die Simulation Folie Nr

12 2 k -Faktoren-Design Design-Matrix für k = 3 Faktoren Faktorkomb. (Design Punkt) Faktor 1 Faktor 2 Faktor 3 Antwort (Response) 1 R R R R R R R R 8 Einführung in die Simulation Folie Nr

13 2 k -Faktoren-Design Das Antwortverhalten des Systems ist selbst zufallsbehaftet, d. h. die Varianzen der Wirkungen sind zu schätzen, um zufällige Fluktuationen auszuschließen Einfacher Ansatz: Repliziere das komplette Design n mal Achtung: Statistische Signifikanz bedeutet nicht praktische Relevanz! Über die Antworten kann man ein lineares Regressionsmodell entwickeln. Einführung in die Simulation Folie Nr

14 2 k -Faktoren-Design Schlussbemerkungen Generell gilt: Über andere als die betrachteten Faktorlevel kann keine Aussage getroffen werden, weil die Ergebnisse direkt von der absoluten Höhe und dem relativen Abstand von - und + abhängen Es gibt keine Vorschrift, welche Level als - und + auszuwählen sind Der Ergebnisraum wird fast immer nichtlinear sein, was bei der Ergebnisanalyse zu berücksichtigen ist! Einführung in die Simulation Folie Nr

15 Untersuchung vieler Faktoren Beispiel: k = 11 2 k = 2048 Design-Punkte nur n = 5 Replikationen pro Punkt, jede mit Länge 1 min min, d. h. 1 Woche rund um die Uhr! Ergo: Bilde eine möglichst intelligente Kombination von Experimenten, die fast dieselbe Aussagekraft haben Teilfaktorieller Versuchsplan Oder: Filtere möglichst schnell die irrelevanten Faktoren (die ohne Einfluss) heraus und fixiere sie im Durchschnitt oder einem plausiblen Niveau Je weniger zu betrachtende Faktoren, desto höher die Chance, später ein Optimum per Simulation zu finden! Einführung in die Simulation Folie Nr

16 Response-Surface-Methode Simulation kann als stochastische Vektorfunktion aufgefasst werden Sie ist meist sehr kompliziert, da die Berechnung mehrere Replikationen eines u. U. umfangreichen Modells umfasst Aber: Sie kann manchmal relativ einfach approximiert werden Die Approximation kann dann als Modell für die Simulation benutzt werden Schafft Verständnis für das Simulationsmodell Suche von Optima in der Approximation sicher einfacher! Einführung in die Simulation Folie Nr

17 Response-Surface-Methode - Beispiel Betrachte ein Lagermodell: Die Durchschnittskosten C pro Monat sind eine Funktion der Inputs s und d: C = R(s, d) R ist stochastisch, unbekannt, und u. U. ziemlich fies Komplette Simulation wird zur Berechnung benötigt Plot der Response Surface und Höhenlinien vgl. nächste Folie 420 Kombinationen (s = 0, 5, 10,, 100; d = 5, 10,, 100) Funktion wird numerisch verhältnismäßig präzise beschrieben ohne algebraische Formel Einführung in die Simulation Folie Nr

18 Response-Surface-Methode und Metamodelle Beispiel Interpretation: Minimale Durchschnittskosten irgendwo zwischen 110 und 120, dafür s bei ca. 25, d bei 35 bis 40 Aber: Rechenaufwand bei großen Modellen zu hoch: evtl. Stunden für eine einzige Replikation ohne Berechnungen zur Erstellung der Response-Surface Einführung in die Simulation Folie Nr

19 Metamodelle durch Regression Man kann zusätzlich durch einfache Transformationen Formel umstellen die Regressionsgleichung von den Faktoren abhängig machen Faktorenanalyse ist für beliebige Faktorkombinationen mit Tabellenkalkulation möglich! Achtung: Nach wie vor nur grobe Annäherung der tatsächlichen Response Surface Abhängig von den zur Verfügung stehenden Punkten der echten Surface Auch ein Metamodell muss nicht valide sein! Beispiele: Verbesserung der Schätzung der Approximation durch Erhöhung der Anzahl der betrachteten Punkte (vgl. nächste Folien) Einführung in die Simulation Folie Nr

20 Beispiel: Approximation mit 4, 16, 32 Punkten der Response Surface Einführung in die Simulation Folie Nr

21 Evolutionary Operation (EVOP) Eigentlich: Kontinuierliche Prozessverbesserung im laufenden Betrieb ohne Prozessstörungen Aber auch: iteratives Vorgehen zur Parametereinstellung bei wenigen Faktoren Sukzessive bessere Einstellparameter identifizieren Einführung in die Simulation Folie Nr

22 Simulation zur Optimierung Ultimatives Ziel der Simulation Suche die Systemkonfiguration, die Kosten mini- oder Gewinne maximiert Intelligentes Durchsuchen des Faktorraums nach Kombinationen, die bestimmte Performanzmaße (Responses) optimieren. Allgemeine Problemstellung aus der Optimierungstheorie (vgl. z. B. Grundlagen von Optimierungssystemen) Zielfunktion (hier Zufallsvariable) R, varianzbehaftet Inputfaktoren 1,, k = Entscheidungsvariablen obere und untere Schranken für Variablen l i <= i <= u i zusätzliche Restriktionen, z. B. a j1 1 + a j a jk k <= c j Einführung in die Simulation Folie Nr. 22

23 Simulation zur Optimierung Für Simulation weitaus schwieriger als z. B. für mathematische Programmierung Kein Einsetzen in eine einfache Formel möglich: Berechnung eines einzigen Faktorenvektors erfordert n Replikationen Auswertung ist aufgrund stochastischer Einflüsse sehr schwierig Diverse Ansätze verfügbar, die unter Verwendung von (Meta)Heuristiken Optimierung mittels Simulation durchführt Trotzdem in letzter Zeit eines der Hauptforschungsgebiete im Bereich der Simulation. Einführung in die Simulation Folie Nr. 23

24 Optimierungsmethoden Einige (Meta-)Heuristiken Vollständige Enumeration Tabu search Simulated Annealing Evolutionäre Strategien Neuronale Netze PSO usw Einführung in die Simulation Folie Nr. 24

25 Optimierungssoftware Software kann auch kein Optimum garantieren, aber bei der systematische Suche unterstützen Prinzipieller Ablauf (nach Law/Kelton): Optimierungssoft ware optimiert variable Inputs Start nein Spezifiziere neue Systemkonfiguration Abbruchkriterium erfüllt? ja Erstelle Lösungsreport Simulationsergebnisse (Outputs, Zielfunktionswert(e)) als Optimierungs-input Ende Simulationssoft ware simuliert Modell Simuliere spezifizierte Systemkonfiguration (ggf. n Replikationen) Einführung in die Simulation Folie Nr. 25

26 Einführung in die Simulation Wintersemester 11/12 FRAGEN? Einführung in die Simulation Folie Nr. 26