Elektrische Netze. Vorlesung zum Master-Studium FH-Köln WS 2011/2012. Prof. Dr. Eberhard Waffenschmidt WS 2011/2012 S. 1. Prof. E.

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1 Vorlesung zum Master-Studium FH-Köln Prof. Dr. Eberhard Waffenschmidt S.

2 Terminkalender (!) Einführung Leitungen berechnen Drehstrom-Systeme anwenden Änderung: Unsymmetrische Drehstromnetze - (wegen Allerheiligen) Referat Gleichstromnetze Netzwerk-Komponenten und Netzformen diskutieren Netze berechnen Netzsimulationen Referat European Supergrid Referat Smart-Grids Fehler-Management Netz-Regelung Netzanschluss Referat Load-Management reserve Wiederholung S. 2

3 Inhalt der heutigen Veranstaltung Netzwerk-Spannungen, Ströme und Leistungen per Hand berechnen Gleichungssystem mit Last-Impedanzen Problematik bei vorgegebenen Leistungen Strom-Iterationsverfahren Newton-Raphson Verfahren S. 3

4 Allgemeines vermaschtes Netz U U I Y 2 Y 4 Y 34 Y 3 Y U 4 Y 40 I 2 I 3 Y 20 Z 23 U 3 Y 30 Hier: Einphasig Beispiel mit 4 Knoten Beschreibung mit Admittanzen Y = / Z Ströme und Leistungen ins Netzwerk = positiv (Generator) Ströme und Leistungen aus dem Netzwerk = negativ (Last) 4 I 4 Ziel: Berechnen von Spannungen als Funktion von Strömen an Konten Lastimpedanzen Knoten-Leistungen Admittanzen sind bekannt als Eigenschaften des Netzes Weg: Beschreibe Ströme als Funktion von Spannungen Wandle dieses Gleichungssystem um für die Problemstellung S. 4

5 Aufstellen des Gleichungssystems Hier das Beispiel mit 4 Konten: I =I 0 I 2 I 3 I 4 I =U Y 0 U Y 2 U U 3 Y 3 U U 4 Y 4 Sortiert nach Spannungen: I =U Y 0 Y 2 Y 3 Y 4 Y 2 U 3 Y 3 U 4 Y 4 Summe aller Admittanzen Zum Knoten I a 2 a 3 a 4 I 2 a 2 a 22 a 23 a 24 I 3 a 3 a 32 a 33 a 34 U 3 I 4 = a a 4 a 42 a 43 a 44 U 4 U I = A U n a ii = Y ik a ik = Y ik für i k k=0 Neg. Admittanzen zum Nachbarknoten Matrix A ist Symmetrisch, da Y ik = Y ki i.a. schwach besetzt, da real typisch nur 3 Leitungen pro Knoten S. 5

6 Aufgabe 7. Stellen Sie für das Beispielnetz mit 4 Knoten die Matrix A auf S. 6

7 U Lösung zu Aufgabe 7. I U Y 2 Y 4 Y 34 Y 3 Y U 4 Y 40 I 2 I 3 Y 23 Y 20 U 3 Y 30 4 I 4 0 Y 2 Y 3 Y 4 Y 2 Y 3 Y 4 Y A= Y 2 Y 20 Y 2 Y 23 Y 23 0 Y 3 Y 32 Y 30 Y 3 Y 23 Y 34 Y 34 Y 4 0 Y 34 Y 40 Y 4 Y 34 S. 7

8 Reale Problemstellungen -- Gegeben: Alle Ströme (z.b. als Definition der Lasten) Gesucht: Spannungen an den Knoten Lösung: Gl.-System invertieren: U=A I B=A Lösungsmethoden: Nach Gauß: Matrix in Diagonalform bringen und dann Zeile für Zeile lösen In der Praxis: Computerprogramm verwenden. Achtung! Muss komplex rechnen können. Achtung: Wenn alle Y i0 = 0 sind (also wegfallen) wird die Matrix singulär und das Gleichungssystem ist nicht invertierbar! S. 8

9 Reale Problemstellungen -2- Gegeben: Eine feste Spannung (z.b. Anschluss starres Netz) Lasten werden als Impedanzen beschrieben Daher keine Knoten-Ströme I k von außen, außer am Einspeiseknoten Gesucht: Einspeisestrom Knotenspannungen Lösung: Teilinversion von A H, Ströme I = 0 für i 2 I 0 U 0 n =H U S. 9

10 Aufgabe 7.2 Gegeben sei die invertierte Matrix B Berechnen Sie für I k = 0 (k 2) die teilinvertierte Matrix H S. 0

11 I U b 2 b 3 b 4 b 2 b 22 b 23 b 24 0 U 3 b 3 b 32 b 33 b 34 0 U 4 = b b 4 b 42 b 43 b 44 I 0 U = B I I 4 = U 3 U /b b 2 / b 3 / b 4 / U 0 H Lösung zu Aufgabe 7.2 I = U =b 2 I U 3 =b 3 I U 4 =b 4 I I = U = b 2 U U 3 = b 3 U U 4 = b 4 U S.

12 Reale Problemstellungen 3 - Gegeben: Eine feste Spannung (z.b. Anschluss starres Netz) Ströme der anderen Knoten (als Lasten) Gesucht: Einspeisestrom Knotenspannungen Lösung: Teilinversion I I 2 U n =H U n von A H I S. 2

13 Aufgabe 7.3 Gegeben sei die invertierte Matrix B für 3 Knoten Berechnen Sie die teilinvertierte Matrix H S. 3

14 Lösung zu Aufgabe 7.3 U b 2 b 3 b 2 b 22 b 23 I 2 U 3 = b b 3 b 32 b 33 I 3 I U = B I I = U b 2 I 2 b 3 I 3 =b 2 U b 2 I 2 b 3 I 3 b 22 I 2 b 23 I 3 U 3 = I U 3 = b 2 b 3 b 2 b 22 b 2 b 2 b 23 b 2 b 3 b 3 b 32 b 3 b 2 b 33 b 3 b 3 U I 2 I 3 H S. 4

15 Leistungsquellen- und Senken U I Z 2 U 2 I2 S2 In Netzen häufig Leistung vorgegeben Bei zwei Knoten ist die Spannung analytisch berechenbar Ergebnis: Nichtlineare Gleichung S. 5

16 U I R 2 2 I2 Aufgabe 7.4 Gegeben sind U P2 Z 2 = R 2 = 2Ohm, S 2 = P 2 = -3kW, U = 230V Berechnen sie und I! S. 6

17 Lösung Aufgabe 7.4 I 2 = P 2 I = U, 2 R 2 2 U R 2 P 2 =0 = U 2 ± 4 R 2 P 2 Ausgangsspannung = 200V oder 30V Eingangsstrom I = 5A oder 00A S. 7

18 Leistungsquellen- und Senken Mehr als zwei Knoten: I Z 3 Z 23 3 U 3 I 3 S 3 Nichtlineares Gleichungssystem Nur iterativ lösbar Z 2 U U Z 0 2 I 2 S 2 Strom-Iterations-Verfahren: Leistungen vorgeben Startwerte für Knotenströme aus Nennspannung Spannungen berechnen Verbesserte Werte für Ströme aus berechneten Spannungen usw... S. 8

19 Aufgabe 7.5 Gegeben ist ein Netzwerk mit drei Knoten (siehe Skizze) mit nebenstehenden Werten Z 2 = 2Ohm Z 23 = 3Ohm Z 3 = Ohm Z 0 = kohm I Z 3 Z 2 Z 23 3 U 3 I 3 S 3 Berechnen Sie näherungsweise, U 3 und I! Verwenden Sie das Strom- S 2 = -3 kw S 3 = +kw U = 230V Iterationsverfahren mit einem Iterationsschritt und verwenden Sie zur Inversion der Matrix A ein Computerprogramm Ihrer Wahl. U U Z 0 2 I 2 S 2 S. 9

20 Lösung zu Aufgabe 7.5 Lösung durch folgende Schritte: Matrix A aufstellen Mit Computer invertieren Teilinvertierte Matrix H wie in Aufg. 7.3 berechnen Spannungen und Quellenstrom berechnen Nach erster Iteration: I = 8.9A = 24V U 3 = 229.3V S. 20

21 Iteration nach Newton-Raphson P P -dimensional: Newtonsches Näherungsverfahren dp du =P ' Tangente Startwert P(U) Zielwert P 0 2.Näherung.Näherung Eindimensional: =U U = U P ' P P 0 Mehrdimensional:,, U U, P U n, P P 2, P n, P ' J P ' J U U U Jakobi-Matrix = U J P P 0 S. 2

22 Kontakt Prof. Dr. Eberhard Waffenschmidt Professur (Chair Electrical Grids) Institut für Elektrische Energietechnik, Fakultät für Informations-, Medien- und Elektrotechnik (F07) Betzdorferstraße 2, Raum ZO Köln, Deutschland Tel eberhard.waffenschmidt/index.html