Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/ Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090

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1 Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: /99 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: /9 Beispiel: Mehrgeschossiger Skelettbau Vorbemerkung: Das Beispiel entstammt dem Buch: Beispiele zur Bemessung nach DIN - Band Ernst und Sohn, herausgegeben vom Deutschen Beton- und Bautechnik-Verein E.V. Es wurde insofern berichtigt, daß die in diesem Werk gezeigte falsche Berechnung der Bauwerkssteifigkeiten ebenso korrigiert wurde, wie die Schnittkräfte in den Riegeln des aussteifenden Schachtes. In der hier gezeigten Berechnung wurde auch die eigentliche Erdbebenberechnung auf rein mathematische Routinen zurückgeführt. Damit kann etwas mehr von dem gezeigt werden, was üblicherweise von Programmen erledigt wird, ohne daß der Nutzer die Einzelheiten der Berechnung erkennen muß. Die Berechnung der Aussteifung selbst ist hier nicht ausgeführt, da sie den Rahmen dieses Seminars sprengen würde. Aufgabenstellung Das zu untersuchende Bauwerk ist ein ausgesteifter, sechsgeschossiger Skelettbau. In diesem Beispiel wird die horizontale Aussteifung (vertikale und horizontale aussteifende Bauteile) behandelt. In einem weiterführenden Beispiel (b) wird anhand dieses Bauwerks auf Aspekte der Erdbebenbemessung der Aussteifung eingegangen. Der Kern sowie die aussteifende Wandscheibe in Achse 7 sind Ortbetonkonstruktionen; Stützen, Unterzüge und Deckenscheiben werden als Fertigteilkonstruktionen vorgesehen. DIN -,..: üblicher Hochbau DIN -, 8..: () ausgesteiftes Tragwerk E DIN 9: Bauten in deutschen Erdbebengebieten Die Fertigteilunterzüge und deckenplatten werden als Einfeldträger angenommen. Baustoffe: Beton C/7 Ortbeton und Fertigteile Betonstahlmatten: BSt M (A) Betonstahl BSt S (A) DIN -, 9.: Beton DIN -, 9.: Betonstahl Seite

2 Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: /99 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: /9 System, Bauteilmaße Räumliche Steifigkeit und Stabilität. Querschnittswerte Vorausgesetzt wird für das ausgesteifte Skelettsystem, daß eine Ausbildung horizontaler, starrer Deckenscheiben erfolgt. Für die weitere Nachweisführung sowohl der lotrechten, aussteifenden Bauteile (Wandscheibe, Kern) als auch des ausgesteiften, mehrgeschossigen Skelettragwerkes ist zu entscheiden, ob das Gesamtsystem als verschieblich oder unverschieblich einzuordnen ist. Dazu sind zunächst die Querschnittswerte der aussteifenden Bauteile zu bestimmen: E-Modul Beton C/7: E cm =.9 N/mm² G-Modul Beton C/7: G cm = E cm /, =. N/mm² DIN -, 8..: () Zur Nachweisführung werden Tragwerke oder Bauteile in ausgesteifte oder unausgesteifte eingeteilt, je nachdem ob aussteifende Bauteile vorgesehen sind oder nicht oder sie werden als verschieblich oder unverschieblich betrachtet, je nachdem ob bei Tragwerken die Auswirkungen nach Theorie II. Ordnung entsprechend 8..() zu berücksichtigen sind... DIN -, 9..7, Tab. 9 G = E / [ ( + µ )] = E /, Seite

3 Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: /99 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: /9 DIN -, 8..: () Sofern keine genaueren Nachweise geführt werden, dürfen Tragwerke, die durch lotrechte Bauteile wie z.b. massive Wandscheiben oder Bauwerkskerne ausgesteift sind, als unverschieblich im Sinne von Absatz () angesehen werden, wenn die Gleichungen und ( Aussteifungskriterien ) erfüllt sind. In den aussteifenden Bauteilen sollte die Betonzugspannung unter der maßgebenden Einwirkungskombination den Wert f ctm nach Tab nicht überschreiten. A c 7 = m, =,,,,, Bezeichnung Wand mit l =, m w =, m h g =, m h r =,, =, 7 m Wandhöhe Öffnungsbreite mittlere Geschoßhöhe minimale Riegelhöhe Für die Ermittlung der Querschnittswerte reicht es i.a. aus, den Zustand I zugrunde zu legen (Ortbetonwandscheiben bzw. keine klaffenden Fugen in Fertigteilwänden). Im Allgemeinen sind aussteifende Wände, insbesondere bei Aussteifungskernen durch Tür- und Fensteröffnungen gegliedert. Für die Auswertung der Aussteifungskriterien bei größeren Öffnungen sind Ersatzsteifigkeiten zu bestimmen. Die Geschoßhöhe von, m wird der Berechnung der Schubsteifigkeit des Öffnungsbereiches zugrundegelegt. Die Schubsteifigkeit des EG ist größer. Kern Trägheitsmomente und Schwerpunkt- bzw. Schubmittelpunktswerte werden programmiert ermittelt und sind hier nur mitgeteilt. Die Werte des offenen Profils ergeben sich zu I I I II A =,998m ( I =,7m ω =,9m = 9,m ) Der Wert I ω ist jedoch an dem durch die Mitwirkung der Riegel geschlossenen Querschnitt zu berechnen. Berechnung der Riegelsteifigkeit an dem Rahmen:,7,7,,,7,9,7,7 Seite,,,8

4 Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: /99 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: /9 A sq =,m I A I sr sl sl =,9m =,9m =,9m,9,8 κ κ A I κ Qsr Qsl R R R =,9 =, =,m =,m =,,8,889,7 II M y 9, x I,, 7,, Mit diesen Werten errechnet sich eine wirksame Dicke von 7,9 mm. Mit diesen Werten ergibt sich die Torsionssteifigkeit zu,m,m I t =,m I = ω 77,m für das offene Profil Bredtsche Torsionssteifigkeit Zur Lage des Schubmittelpunktes siehe Skizze. Dieser Schacht wirkt zusammen mit der Wandscheibe auf Achse 7. Die zusammengefaßten Steifigkeiten werden:,,7, Der Querschnitt des Kerns ist für Biegung ein offenes Profil, während für Torsion die Riegel mit wirken und sich wie ein schubsteifes aber biegeweiches Blech verhalten. Die Torsionskenngrößen IT und Iω sowie die Lage des Schubmittelpunktes ist mit dem geschlossenen Querschnitt zu ermitteln. I I I y x ω I II M M = 78,8m = 7,m =,99m α =, = 7,77m = 8,m Bauteil : Wandscheibe Fläche: A c, = 7,,m y A c, cx, cx, =,7m Trägheitsmomente: I =, 7, / I I cy, = 7,m = 7,, / 7, m,7 m x Wanddicke h = cm Der Querschnitt des Kerns ist für Biegung ein offenes Profil, während für Torsion die Riegel mit wirken und sich wie ein schubsteifes aber biegeweiches Blech verhalten. Die Torsionskenngrößen IT und Iω sowie die Lage des Schubmittelpunktes ist mit dem geschlossenen Querschnitt zu ermitteln. I cy, =,m Widerstandsmoment Torsion: I 7,, / T, I T, =,m Seite

5 Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: /99 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: /9 Wölbwiderstandmoment: I ω, = 7 A, B x M =,99,7,7 y 7,8 M C x, D,8 y =,7 M Beispiel b: Mehrgeschossiger Skelettbau - Erdbeben Aufgabenstellung Im Beispiel b wird anhand des in Beispiel a behandelten mehrgeschossigen Skelettbaus auf Aspekte der Erdbebenbemessung der aussteifenden Bauteile eingegangen. Das Ausgangssystem und die Einwirkungen ohne Erdbeben werden direkt aus Beispiel a übernommen. Nach der Bewertung der im Beispiel a gewählten Anordnung der aussteifenden Bauteile hinsichtlich der Erdbebenbemessung werden die aussteifenden Bauteile in Anordnung und Wanddicke so verändert, daß die Vorgehensweise bei Anwendung des vereinfachten Antwortspektrenverfahrens gezeigt werden kann. Derzeit ist noch nicht entschieden, ob eine eigene deutsche Erdbebennorm oder ein nationales Anwendungsdokument zur europäischen Erdbebennorm EN 998- (Eurocode 8) bauaufsichtlich eingeführt wird. E DIN 9: Bauten in deutschen Erdbebengebieten In beiden Fällen würden die im Entwurf der DIN 9 für Deutschland festgelegten Erdbebenlasten gelten. Deshalb werden mit diesem Beispiel einige grundsätzliche Regelungen und Vorgehensweisen bei der Erdbebenbemessung im Rahmen des neuen Normenkonzeptes im Massivbau vorgestellt, obwohl sich der im Vorgriff auf europäische Regelungen entstandene Entwurf der DIN 9 noch in der Diskussion befindet. Die Ausführungen sind wegen möglicher Änderungen in der endgültigen Erdbebennorm als Anhaltspunkte für die Nachweisführung zu verstehen. Seite

6 Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: /99 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: /9 Baustoffe: Beton C/7 Ortbeton und Fertigteile Betonstahlmatten: BSt M (B) Betonstahl BSt S (B) DIN -, 9.: Beton DIN -, 9.: Betonstahl Der in kritischen Bereichen von Tragwerken, an die Duktilitätsanforderungen gestellt werden, verwendete Betonstahl hat die Anforderungen an hochduktile Stähle nach DIN - (Duktilitätsklasse B) zu erfüllen. DAfStb-Heft, zu 9..: Durch die plastische Verformungsfähigkeit (Duktilität) des Betonstahls wird die Vorankündigung des Bruches durch große Verformungen und eine Energiedissipation bei zyklischer Belastung (Erdbeben) gewährleistet. Die entsprechenden Kennwerte der Duktilitätsklassen A und B der Betonstähle wurden aus der europäischen Normung für die Bemessung und Konstruktion von Stahlbetonbauteilen übernommen. Für Sonderanwendungen existieren neben den Stählen der Klassen A und B noch spezielle Stähle mit sehr hohen Duktilitätseigenschaften (z.b. für Bauten in Erdbebengebieten). Bei Verwendung dieser Stähle sind die Bemessungswerte aus den technischen Unterlagen abzuleiten. Die Bemessungswerte sind dann ggf. außer bei der Bemessung in der außergewöhnlichen Bemessungssituation (Erdbeben) auch in den ständigen oder vorübergehenden Bemessungssituationen zu verwenden. Seite

7 Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: /99 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: /9 Aussteifungsbauteile in deutschen Erdbebengebieten. Standort und elastisches Antwortspektrum Mit der Einführung des neuen Normenkonzepts im Bauwesen wird auch die entsprechende Norm für Bauwerke in deutschen Erdbebengebieten überarbeitet. Sie wurde zwischenzeitlich als Entwurf E DIN 9 veröffentlicht. Der diesem Beispiel zugrunde gelegte Normentwurf E DIN 9 entspricht grundsätzlich dem zukünftigen EC 8 Auslegung von Bauwerken gegen Erdbeben und ist auf die deutschen Schwachbebengebiete zugeschnitten. E DIN 9: Bauten in deutschen Erdbebengebieten Lastannahmen, Bemessung und Ausführung üblicher Hochbauten, - Für das vorliegende Beispiel des mehrgeschossigen Skelettbaus, für das die Abmessungen der aussteifenden Bauteile bereits festgelegt sind, ist zunächst die Erdbebeneinwirkung zu bestimmen. In den folgenden Betrachtungen wird davon ausgegangen, daß sich das Gebäude südlich von Aachen befindet. Entsprechend der Bilder und der Norm gilt somit für das Gebäude eine Zuordnung zu der Erdbebenzone und der geologischen Untergrundklasse A. Als Baugrund steht festes bis mittelfestes Gestein an (Baugrundkl. ). E DIN 9,. E DIN 9,. E DIN 9,.. () Mit den vorstehenden Zuordnungen zu der Erdbebenzone und der geologischen Untergrundklasse sowie der Klassifizierung des Baugrunds lassen sich die Ordinaten S e ( T ) des elastischen Antwortspektrums mittels der folgenden Parameter bestimmen: Bemessungswert der Bodenbeschleunigung: a g =,m / s Verstärkungswert der Spektralbeschleunigung: β =, Dämpfungs-Korrekturbeiwert ( % Dämpfung): η =, E DIN 9, Tabelle E DIN 9,.. () Parameter zur Beschreibung des elastischen Antwortspektrums: Bodenparameter: S =, Kontrollperioden: TB =, s T T C D =, s =, s E DIN 9, Tabelle Mit diesen Parametern wird das elastische Antwortspektrum nach Norm wie folgt festgelegt: T T T T A B C D T T T T T T T : B C D : : : S S S S E E E E ( T ) = ag S [ + ( η β ) T / TB ] ( T ) = ag S η β ( T ) = ag S η β TC / T ( T ) = a S η β T T / T g C D Beschleunigungsamplitude [m/sec²] E DIN 9, Gl. () ()..... Schwingdauer [sec] Seite 7

8 Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: /99 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: /9. Untersuchungen für das vorliegende Bauwerk.. Ermittlung der Bemessungsspektren Zur Beurteilung der Mindest-Torsionssteifigkeit sind zunächst die Torsionsradien ri der einzelnen Hauptrichtungen und der Trägheitsradius ls des Tragsystems im Grundriß zu bestimmen. In dieser Berechnung wird die Hauptrichtung I mit x und die Hauptrichtung II mit y bezeichnet. Nach dem Script Seite bestimmt sich das Quadrat des Torsionsradius für Bauwerke, die sich auf einen Ersatzstab zurückführen lassen, wie folgt: x / y r = Icx, i xm, i + Icy, i ym, i + Iω +,7 It Ic, x / y, i Verhältnis in x-richtung: rx = 78,8 +,7,, / 7, = 97m rx =, m h S. Querschnittswerte siehe Abschnitt. siehe Beispiel a Verhältnis in y-richtung: ry = 78,8 + 8,7 /,9 = 7,m ry =, m Der Trägheitsradius des Tragsystems im Grundriß ermittelt sich für ein Bauwerk mit rechteckigem Grundriß und den Grundrißabmessungen L und B zu: l s = = ( L + B )/ (, +, ) = 7,9 m / E DIN 9,... (7) l s =, m Somit ergibt sich für die Bedingung der Mindest-Torsionssteifigkeit: r / =, /, =,7 >,8 l s Das Tragwerk ist zur Bestimmung des Verhaltensbeiwerts q für die Duktilitätsklasse demnach den Wandsystemen zuzuordnen. E DIN 9, Gl. (7) E DIN 9, 8... () Der zur Berücksichtigung der Energiedissipationsfähigkeit eingeführte Verhaltensbeiwert q ist für jede Bemessungsrichtung wie folgt zu bestimmen: q = W q k R k, Der Grundwert q ist für den Tragwerkstyp Wandsystem gem. Tabelle 8 festgelegt: q =, Der Beiwert k R zur Berücksichtigung der Regelmäßigkeit im Aufriß beträgt für regelmäßige Tragwerke: k R =, E DIN 9, Gl. (8) siehe Seite E DIN 9, Tabelle 8 s. S. E DIN 9, 8... () Seite 8

9 Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: /99 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: /9 Der Beiwert k W zur Berücksichtigung der vorherrschenden Versagensart bei Tragsystemen mit Wänden ist für Wände, Mischsysteme, bei denen Wände überwiegen, und Kernsysteme wie folgt anzusetzen: k W (,, ), = / α Das vorherrschende Maßverhältnis α der Wände des Tragsystems darf, wenn die Maßverhältnisse H Wi / l Wi aller Wände i eines Tragsystems sich nicht signifikant unterscheiden, wie folgt bestimmt werden: H / α = Wi Wi l Dabei ist HWi die Höhe der Wand i und lwi die Länge des Querschnitts der Wand i. Nach Eibl / Keintzel dürfen alle Wände i ungeachtet der Bemessungsrichtung berücksichtigt werden. α (,) / (,7) +, +,7 =,9 > k, = W = Hinweis: Die angegebene Beziehung für den Beiwert kw ist nur für den Bereich α auszuwerten. Für α > gilt immer k W =,. E DIN 9, 8... () siehe Seite E DIN 9, Gl. (9) Eibl / Keintzel: Vergleich der Erdbebenauslegung von Stahlbetonbauten nach DIN 9 und Eurocode 8 Beton- und Stahlbetonbau 9 (99), S. 7 E DIN 9, Gl. (9) Der Verhaltensbeiwert q ist für das Tragwerk in der Duktilitätsklasse für jede Bemessungsrichtung: q =,,, =, >, E DIN 9, Gl. (8) Mit diesen Parametern wird das auf die Erdbeschleunigung g normierte Bemessungsspektrum T Norm wie folgt festgelegt: S d ( ) T T T T A B C D T TB : T T : T T T : C D : S S S S d d d d ( T ) = α S [ + ( β / q ) T / TB ] ( T ) = α S ( β / q) ( T ) = α S η ( β / q) TC / T ( T ) = α S η ( β / q) T T / T C D E DIN 9, Gl. () (9) α - Verhältnis zwischen dem Bemessungswert der Bodenbeschleunigung ag und der Erdbeschleunigung g Mit den vorstehend ermittelten Verhaltensbeiwerten für die Duktilitätsklassen und folgen die nachstehend dargestellten Bemessungsspektren:.. E DIN 9, 8.. Verhaltensbeiwert Duktilitätsklasse q d Beschleunigungsamplitude [m/sec²]..8. E DIN 9, 8..., Gl. (8) Verhaltensbeiwert q Duktilitätsklasse..... Schwingdauer [sec] Obere Kurve: Duktilitätsklasse Mittlere Kurve: Duktilitätsklasse Untere Kurve: Duktilitätsklasse Seite 9

10 Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: /99 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: /9.. Ermittlung der Erdbebeneinwirkungen... Ermittlung der an der Schwingung beteiligten Vertikallasten Der Bemessungswert der Beanspruchungen aus Erdbeben wird unter Berücksichtigung aller Vertikallasten, die in die folgende Kombination eingehen, ermittelt: '' '' Gkj + ψ Ei Qki Die Kombinationsbeiwerte ψ Ei i = ϕ ψ berücksichtigen dabei die Wahrscheinlichkeit, daß die veränderlichen Lasten ψ i Qki während des Erdbebens nicht in voller Größe vorhanden sind. Die Beiwerte ϕ ermitteln sich für Verkehrslasten in Sonstigen Gebäuden bei unabhängig voneinander genutzten n zu: : ϕ =, Geschoß : ϕ =, Die Kombinationsbeiwerte ψ i werden aus DIN - entnommen: Büro (Kategorie B) ψ, = Treppen (Kategorie B) ψ, = Dächer (Kategorie H) ψ, = Schnee (Orte bis NN + m) ψ, = Veränderliche Einwirkungen mit Kombinationsbeiwert ψ Veränderliche Einwirkungen Innenstützen B-B C-C Randstützen A-A B D-D C Eckstützen A, A7 D, D7 E DIN 9, Gl. () + zu kombinieren mit Seite E DIN 9,. () E DIN 9, Tabelle An dieser Normauslegung sind sicherlich Zweifel angebracht, da es nicht die Absicht der Norm sein kann, die vorgesehene Erhöhung auf ein Geschoß zu beziehen, das keine zu erhöhenden Lasten trägt. Da die Beispielsammlung des dbv jedoch so verfährt, wird diese Rechnung hier belassen. DIN -, Tabelle A. DIN -, Tab., Kategorie T: Treppen und Treppenpodeste, Fußnote d: Hinsichtlich der Einwirkungskombinationen nach DIN - sind die Einwirkungen der Nutzungskategorie des jeweiligen Gebäudes oder Gebäudeteils zuzuordnen. im Beispiel: Kategorie B Büroflächen Wand B7-C7 Kern C-D E ψ Q Ek Q Ek, red Q Ek Q Ek, red Q Ek Q Ek, red Q Ek Q Ek, red Q Ek Q Ek, red Schnee,,,,8 8, 9, Summe kn Büro, 9, 7, 8,,, 7,7 9, 9, 87,7, Treppe, 9, 8,8 - Summe kn x 7, x, x 7,7 x 9, x 9, Summe - kn Summe i kn i = 8.9 i = 7 i = i = i = 7 Gesamt: Q Ek, red =.9 kn Vertikale Einwirkungen W zur Ermittlung der Erdbebeneinwirkungen k Veränderliche Einwirkungen Innenstützen B-B C-C Randstützen A-A B D-D C Eckstützen A, A7 D, D7 Wand B7-C7 Kern C-D E Last W k Summe kn,9,,,., - Summe kn x 87,8 x 8, x 7, x 9, x.7, Summe kn 9, 8, 9, 78,.7,8 W k Summe - kn Summe i kn i = 8 8. i =.8 i =. i =.7 i =.9 Gesamt: W. kn = k W k W k W k Seite

11 Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: /99 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: /9... Überprüfung von Vereinfachungsmöglichkeiten Für Hochbauten der Bedeutungskategorie II bis IV können die vorgeschriebenen Nachweise als erbracht angesehen werden, wenn die für die Erdbebenbemessungskombination mit q = ermittelte Gesamterdbebenkraft kleiner als die Horizontalkraft der anderen Einwirkungskombinationen ist und weitere Konstruktionsmerkmale eingehalten sind. Die seismische Gesamterdbebenkraft folgt bestimmt: F b für jede Hauptrichtung wird wie Allgemeine Hinweise siehe S. - E DIN 9,. Hochbauten sind entsprechend ihrer Bedeutung für den Schutz der Allgemeinheit bzw. der mit einem Einsturz verbundenen Folgen (Verlust von Menschenleben, Kulturgütern und Sachwerten) einer Bedeutungskategorie zuzuordnen. F b = Sd ( T ) W E DIN 9,... Dabei ist: E DIN 9, Gl. () S d T W ( T ) die Ordinate des Bemessungsspektrums bei Schwingzeit T die Grundschwingzeit des Bauwerks für die Translationsbewegung in der betrachteten Richtung das Gesamtgewicht des Bauwerkes Die Bestimmung der Grundschwingzeiten T erfolgt nach dem Energieverfahren T = π h h =, m h =, 7m m = / = 8,t. m h E I 8 /, Wandhöhe mittlere Geschoßhöhe mittlere Geschoßmasse α =,7m Schwingzeitbeiwert (n = ) E cm, red =,.9 =.9 MN / m reduzierter E-Modul C/7 Ic, x, j = 7, m Ic, y, i =, 9m E DIN 9,...: () Zur Bestimmung der Grundschwingzeiten T beider ebenen Modelle des Bauwerks dürfen vereinfachte Beziehungen der Baudynamik (z.b. Rayleigh- Verfahren s. S. 9) angewendet werden. Die Gleichung entspricht der aus DIN 9 A 8 E DIN 9,.: () In Stahlbeton- und Mauerwerksbauten muß die Steifigkeit der tragenden Bauteile im Allgemeinen unter Annahme von gerissenen Querschnitten angesetzt werden. ) )... Wenn keine genaueren Angaben vorliegen, sollte eine Steifigkeit von % derjenigen des ungerissenen Querschnitts angenommen werden. Grundschwingzeit für Schwingungen in x-richtung:,,8kt T, x = π. m =, s MN,7m 9,9m 8 m Die Werte sind der Natur des Energieverfahrens folgend etwas zu niedrig. Außerdem bildet die Berechnung die Wirkung der Drehschwingung nicht zutreffend ab, die die Frequenz noch einmal senken würde. Grundschwingzeit für Schwingungen in y-richtung:,,8kt T, y = π, m =, s MN,7m 9 7,m 8 m Seite

12 Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: /99 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: /9 Mit den vorstehend ermittelten Grundschwingzeiten kann die Gesamterdbebenkraft mit einem Verhaltensbeiwert q = berechnet werden: ( ) ( ) ( ) F b( x / y ) = W Sd T ( x / y ) = W α g S β / q TC / T x / y F x b, =,,,, / = 99, kn F y b, =,,,, / = kn (,) (,) E DIN 9, Gl. () mit Gl. (8), da T =, s < T < T =, s C D Werte für α, S, β und T C nach. Aus Tabelle. und. ergeben sich für die Bemessungswerte der horizontalen Einwirkungen aus Wind und Schiefstellung: H xd = 97,kN < Fb, x = 99, kn H = 77,kN < F, =, kn yd b y Es zeigt sich, daß die vorgeschriebenen Nachweise für die Aufnahme der Horizontallasten infolge Erdbeben noch nicht als erbracht anzusehen sind. Weiter Voraussetzungen für Vereinfachungen, wie sie in E DIN 9, 7. genannt sind, treffen für das Tragwerk nicht zu.... Hinweise zur Festlegung des Berechnungsverfahrens Das vereinfachte Verfahren (nach Kap..9) kann bei Bauwerken angewandt werden, die sich durch zwei ebene Modelle darstellen lassen und deren Verhalten durch Beiträge höherer Schwingungsformen nicht wesentlich beeinflußt wird. Diese Anforderungen werden als erfüllt erachtet von Bauwerken, wenn die auf Seite beschriebenen Kriterien erfüllt sind. Die im Kap.. angegebenen Bedingungen sind gleichzeitig zu beachten. Darüber hinaus müssen unabhängig von den o.g. Kriterien alle Bauwerke, die nach dem vereinfachten Antwortspektrenverfahren berechnet werden sollen, eine Grundschwingzeit T in beiden Hauptrichtungen aufweisen, die die folgenden Grenzwerte nicht überschreitet: TC max T, s wobei T C entsprechend der Zuordnung zu der Erdbebenzone und den geologischen Untergrundverhältnissen E DIN 9, Tabelle zu entnehmen ist. E DIN 9,.. E DIN 9,... () E DIN 9,... () E DIN 9,..,.. und Seite E DIN 9,... () Vergleiche Tabelle auf Seite Bei der Feststellung der Regelmäßigkeit im Grundriß zeigt sich: Das letzte Kriterium einer guten Torsionsaussteifung ist hier mindestens zweifelhaft. Die Kriterien für die Regelmäßigkeit im Aufriß sind erfüllt. Auch die Kriterien für die Anwendbarkeit des Näherungsverfahrens zur Berücksichtigung von Torsionswirkungen sind erfüllt. Seite

13 Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: /99 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: /9 Somit ist vor einer Festlegung noch zu untersuchen, ob die Anwendung des Näherungsverfahrens wirtschaftlich sinnvoll ist. Zu diesem Zweck ist die tatsächliche Exzentrizität zwischen dem Steifigkeitsmittelpunkt und dem normalen Massenschwerpunkt des Bauwerks zu bestimmen. e siehe Seite 7 Der Massenschwerpunkt kann ohne nennenswerten Fehler im Flächenschwerpunkt des Bauwerkes angenommen werden. Für die Lage des Massenschwerpunkts, bezogen auf den Schubmittelpunkt, ergibt sich somit: in x-richtung: x Mm =, 77m in y-richtung: y Mn = 9, m Da die Lage des Massenschwerpunkts bereits auf die Lage des Schubmittelpunkts bezogen ist, entspricht diese Lage der tatsächlichen Exzentrizität e. Somit ist: l s Eine genaue Berechnung des Massenschwerpunktes aus den Auflagerkräften der Konstruktion ist ohne Zweifel möglich, verbessert jedoch die Genauigkeit des Ergebnisses nicht. Die Verwendung von in DIN 9 geht ohnehin von gleichmäßiger Massenverteilung aus. Hier wurden die Maße in den Hauptachsen des Systems angegeben. s + e x + e y l = 9, 7,9 +,77 + 9, = 9, > r = 97 Es wird also eine Untersuchung mehrerer Schwingungsformen ausgeführt. Eine Berechnung mit zwei ebenen Modellen ist hier gemäß den in der Norm angegebenen Kriterien nicht möglich. Aus diesem Grund wird ein räumliches Modell verwendet. Eine Unterscheidung in r und r ist mechanisch unsinnig. x y Seite

14 Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: /99 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: /9... Ermittlung der Schwingungsformen Wird ein räumliches Modell verwendet, sollte die Bemessungs- Erdbebeneinwirkung in den Hauptachsen der Aussteifung angenommen werden. Die Schnittgrößen und Verschiebungen aus allen Schwingungsformen, die wesentlich zum globalen Schwingungsverhalten beitragen, sind zu berücksichtigen. Dies gilt als erfüllt, wenn: E DIN 9,... () E DIN 9,... () - die Summe der Ersatzmassen (der effektiven modalen Massen ) für die berücksichtigten Schwingungsformen mindestens 9 % der Gesamtmasse des Tragwerkes beträgt, oder - alle Schwingungsformen mit Ersatzmassen ( effektiven modalen Massen ) von mehr als % der Gesamtmasse berücksichtigt werden. Die vorstehend genannten Bedingungen sind für beide Hauptrichtungen nachzuweisen. In Stahlbeton- und Mauerwerksbauten muß die Steifigkeit der tragenden Bauteile im Allgemeinen unter Annahme von gerissenen Querschnitten angesetzt werden. Liegen keine genaueren Angaben vor, sollte eine Steifigkeit von % derjenigen des ungerissenen Querschnitts angenommen werden. Aus diesem Grund werden die zuvor ermittelten elastischen Querschnittswerte und ein reduzierter E-Modul mit % seines Wertes nach DIN - verwendet. E DIN 9,. () Zur Berechnung der Eigenfrequenzen und Eigenformen ist ein Programm für dynamische Berechnungen sinnvoll. Die Modellbildung muß die Massenverteilung im Bereich der Decken entweder vollständig widerspiegeln oder die Massenträgheitsmomente der mit abbilden. Eine Abbildung des gesamten Tragsystems (zur Abtragung der Vertikallasten) ist nicht erforderlich. Bei der Abbildung der mechanischen Eigenschaften ist, wenn mehr als die drei ersten Eigenformen von Interesse sind, auf eine Abbildung der Schubverformungen (sowohl Querschub als auch Schub aus sekundärem Wölbmoment) nicht zu verzichten. Hier wird die Berechnung beispielartig mit der Deformationsmethode gezeigt. Dabei wird auf die Anwendung eines vorgefertigten Programms verzichtet. Geschoßmassen von unten nach oben M. 9, t 7,7 t m². 87,8 t 8999, t m². 87,8 t 8999, t m². 87,8 t 8999, t m². 87,8 t 8999, t m². 78,7 t, t m² Mit diesen Angaben ermittelt sich die Massenmatrix, die das Schwingungsverhalten des Gebäudes beschreibt: Θ Seite

15 Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: /99 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: /9 Seite M = M = Die Berechnung der Schwingungen muß die Ausmitten der Geschoßmassen vom Schubmittelpunkt der Aussteifung aus berücksichtigt werden. Dabei ist die ungewollte Ausmitte einzuarbeiten: Ausmitte um die ungewollte Ausmitte vergrößert: y η Mt e + e x cos α ( ) + e y sin α ( ) + := ( ) x ξ Mt e + e x sin α ( ) + e y sin α ( ) + := ( ) x m = y m = Zur Berechnung der Schwingung ist die Gesamtsteifigkeitsmatrix des Bauwerkes erforderlich. Sie bestimmt sich einfach, indem die Verformungsmatrix aufgestellt wird, die sich mit jedem Programm leicht ermitteln läßt. Hier ist die Verformung mit gemischter Torsion eingearbeitet Siehe Seite

16 Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: /99 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: /9 worden. Hier wurden für die Verdrehungen die Gleichungen von Bornscheuer (Stahlbau 9) verwendet. Die Biegeverformungen ergeben sich aus den elementaren Biegelinien eines Kragarmes. Die Verformungsmatrix ist: Verformungsmatrix δ = Als reduzierte Gesamtsteifigkeitsmatrix wird die Inversmatrix dieser Verformungsmatrix verwendet. Aus der Lösung der verallgemeinerten Eigenwertgleichung det( K ω M ) = ergibt sich: Eigenwerte numerisch: ω =. f.8 = Hz T = s Für diese Eigenwerte werden die Eigenformen ausgewertet und graphisch aufgetragen. Die betrachteten Richtungen sind die Hauptachsen der Gesamtaussteifung. Die Verformung wird für die Verbindung der Massenschwerpunkte angegeben (verschoben um die ungewollte Ausmitte). Die erste Eigenform T =,8 sec ist offenbar die Grundschwingung in x Richtung. Die Verschiebungen in der anderen Hauptachse sind kleiner. Sie entstehen hauptsächlich durch die Verdrehung. Verformung in x Richtung Verformung in y Richtung Verdrehung fach Versdrehung in rad Seite

17 Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: /99 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: /9 Die zweite Eigenform T =,87 sec ist die Grundschwingung in y - Richtung. Verformung in x Richtung Verformung in y Richtung Verdrehung fach Versdrehung in rad Die dritte Eigenform T =, sec ist offensichtlich die Dreh-Grundschwingung. Die Verdrehung ist signifikant größer als bei den ersten beiden Eigenformen. Verformung in x Richtung Verformung in y Richtung Verdrehung fach Versdrehung in rad Es folgen dann die Oberschwingungen, die wieder in der gleichen Reihenfolge auftreten. Hier die vierte Eigenform mit T =,9 sec. Verformung in x Richtung Verformung in y Richtung Verdrehung fach Versdrehung in rad Fünfte Eigenform mit T =,8 sec. Verformung in x Richtung Verformung in y Richtung Verdrehung fach Versdrehung in rad Seite 7

18 Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: /99 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: /9 Die sechste Eigenform T =,8 ist wieder eine Drehschwingung, bei der die Biegeverformungen eigenartig aussehen. Verformung in x Richtung Verformung in y Richtung Verdrehung fach Versdrehung in rad Verformung in x Richtung Verformung in y Richtung Verdrehung fach Die Eigenformen von der siebenten Eigenform an sind recht hochfrequente Schwingungen, die in den Modellbildungen nicht mehr recht abgebildet werden können. Eine Berechnung der reinen Biege- Wölbund Torsionsverformung bildet diese Schwingungen nicht mehr hinreichend ab. Hier sind die Schubverformungen der aussteifenden Bauteile ebenso zu verfolgen wie die Verformungen in den als starr angenommenen Decken. Dies ist jedoch ohne praktische Bedeutung, da sich diese Eigenformen am Erdbeben nicht beteiligen. Verformung in x Richtung Verformung in y Richtung Versdrehung in rad Verdrehung fach Die Eigenformen beteiligen sich am Erdbeben nach dem sogenannten Beteiligungsvektor, der von der Erregungsrichtung abhängt: Versdrehung in rad Erdbeben in y Richtung I T = ( ) b := ψ T M I b Beteiligungsvektor: F := b Erdbeben in x Richtung I T = ( ) m F = % F = % Siehe Seite 7 Seite 8

19 Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: /99 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: /9 Das Antwortspektrum nach DIN E 9 Das Norm Antwortspektrum nach DIN E 9 ergibt sich hier für die Verhaltensbeiwerte q = (obere Kurve) Duktilitätsklasse, q =, (mittlere Kurve) Duktilitätsklasse q =, (untere Kurve) Duktilitätsklasse T B :=.s q u :=. α g :=. m s T C :=.s β :=. T D := s S:= ( ) := α g S + β α g S q β α g S q β α g S q S d T, q T β T B q if T C T T C T T B T if T D T if T < T B < T C T C T < T D otherwise... Beschleunigungsamplitude [m/sec²] Schwingdauer [sec] Mit diesen Gleichungen lassen sich nun für jede Eigenform und Erregungsrichtung die Erregerkräfte ermitteln. Das Ergebnis für die Duktilitätsklasse ist unten aufgetragen. (mit B ist hier der jeweils zugehörige Spektralwert bezeichnet). Die Spalten stehen jeweils für eine Erregung, wobei sechs Spalten aus dem Erdbeben in y Richtung und vier Spalten aus dem in x Richtung stammen. Erregungen, die weniger als % der Masse bewegen, sind weggelassen. Gleichungen siehe Seite sowie S. 9 f für die Matritzendarstellungen H M γ diag( B) Horizontalkräfte und Momente aus dem Erdbeben in beiden Richtungen in kn bzw. knm: HG = Seite 9

20 Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: /99 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: /9 Wenn alle maßgebenden modalen Schnittgrößen oder Verschiebungen als voneinander unabhängig betrachtet werden können, kann der Höchstwert E einer Schnittgröße oder Verschiebung infolge Erdbebeneinwirkung wie folgt angenommen E werden: E = Dabei ist: E E E E E i die betrachtete Schnittgröße oder Verschiebung infolge Erdbebeneinwirkung (Kraft, Verschiebung, etc.) E DIN 9,... () siehe Seite E DIN 9, Gl. () E E i der Wert dieser Schnittgröße oder Verschiebung infolge Erdbebeneinwirkung, entsprechend der Schwingungsform i Da das System durch gemischte Torsion trägt, muß die Wölbwirkung für jede einzelne Erregung berechnet und über die Höhe zusammengestellt werden. Zu dieser Berechnung werden die Gleichungen von Bornscheuer verwendet. Für den Wölbwiderstand ist hier der des gesamten Querschnittes zu setzen. So gilt: Wölbbimomente I t κ := h g C gt. W in MN/m²,m,m =,79 78,7m, Erregung Erregung Errgeung Erregung Erregung Erregung Erregung 7 Erregung 8 Erregung 9 Erregung Höhe Diese Gleichungen sind für alle Lasten an allen Lastpunkten ausgewertet worden. Die Schnittkraft an jedem Punkt ergibt sich so als die Summe der entsprechenden Schnittkräfte an dem Punkt aus allen Lasten. ( ) M zi M tk a, ξ, κ, M zi := M tk a, ξ, κ, M zi := ( ) cosh κ ( a ξ) cosh κ cosh κ a cosh ( κ) ( cosh ( κ a) ) cosh κ ( ξ) M zi cosh ( κ) otherwise cosh ( κ) cosh κ ( a ξ) ( ) M zi ( ( ) ) cosh κ ( ξ) ( cosh ( κ a) ) cosh κ ( ξ) cosh ( κ) ( cosh ( κ a) ) cosh κ ( ξ) M zi cosh ( κ) otherwise if a ξ if a ξ ( ) W k a, ξ, κ, M zi, l := ( ) sinh κ ( a ξ) M zi l cosh κ cosh κ a κ cosh ( κ) M zi l ( cosh ( κ a) ) sinh κ ( ξ) κ cosh ( κ) otherwise ( ( ) ) sinh κ ( ξ) Seite if a ξ

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