Numerik partieller Differentialgleichungen

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1 Numerik partieller Differentialgleichungen Oliver Ernst Professur Numerische Mathematik Sommersemester 2015

2 Inhalt I Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

3 Teil III Finite-Elemente-Verfahren Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

4 Finite Elemente Die Methode der finiten Elemente (FEM) hat ihren Ursprung in den 1940er Jahren. Sie wurde seit den 1950er Jahren insbesondere zur Strukturberechnung (z.b. in der Luft- und Raumfahrt sowie im Fahrzeugbau) eingesetzt und gilt heute als universelles Werkzeug zur Lösung partieller Differentialgleichungen. Prominentes Beispiel einer FE-Berechnung ist das Dach des Münchner Olympiastadions. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

5 Finite Elemente Auch die Planung von Tragwerken wurde mit Vorläufern der FEM durchgeführt. Blaues Wunder (Dresden 1893) Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Eiffelturm (Paris 1889) Sommersemester / 352

6 Finite Elemente Vorbemerkungen Im gesamten Teil IIIsei Ω Ă R d ein beschränktes Gebiet mit L-Rand und d P t2, 3u. Wir verweisen auf das Begleitskript von Prof. Herzog über Sobolevräume: Numerik_von_PDEs/Skript_Sobolevräume.pdf Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

7 Inhalt 8 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben 9 Allgemeine Galerkin-Verfahren und das Céa-Lemma 10 Ein erstes Finite-Elemente-Verfahren 11 Einige gebräuchliche finite Elemente 12 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume 13 Aspekte der Implementierung 14 Interpolationsfehlerabschätzungen 15 A-priori-Fehlerabschätzungen (Konformer Fall) Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

8 14 Interpolationsfehlerabschätzungen Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352 Inhalt 8 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben 8.1 Homogene Dirichlet-Randbedingungen 8.2 Inhomogene Dirichlet-Randbedingungen 8.3 Robin-Randbedingungen 8.4 Aufgaben mit Konvektionsterm 9 Allgemeine Galerkin-Verfahren und das Céa-Lemma 10 Ein erstes Finite-Elemente-Verfahren 11 Einige gebräuchliche finite Elemente 12 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume 13 Aspekte der Implementierung

9 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Homogenes Dirichlet-Problem Wir beginnen wieder mit dem elliptischen Modellproblem, der homogenen Dirichlet- RWA für die Poisson-Gleichung: u f u 0 in Ω auf Γ (8.1) mit gegebenem f P L 2 pωq. Wenn f nicht hinreichend glatt ist können wir keine klassische Lösung u P C 2 pωq X CpΩq erwarten. Stattdessen suchen wir eine sogenannte schwache Lösung von (8.1) im Sobolev-Raum H 1 0 pωq. Grundidee der schwachen Formulierung: Reduktion der Differenzierbarkeitsanforderung an die Lösung u durch Verschieben einer Ableitung auf eine Testfunktion. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

10 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Schwache Lösung Zur Herleitung der schwachen Formulierung von (8.1) nehmen wir zunächst noch Ω und f hinreichend glatt und u als klassische Lösung mit u P C 2 pωq an. 15 Wir multiplizieren die erste Gleichung in (8.1) mit einer Testfunktion v P C0pΩq 1 und integrieren über Ω: 16 ż ż u v dx f v dx. (8.2) Ω Ω Definition 8.1 (Schwache Lösung) Eine Funktion u P H0 1 pωq heißt schwache Lösung des Problems (8.1), wenn sie die schwache Formulierung (auch: Variationsformulierung) ż ż u v dx f v dx für alle v P H0 1 pωq (8.3) erfüllt. Ω 15 denn in der Formel der partiellen Integration wird C 1 pωq gefordert 16 Man spricht vom Testen der Gleichung u f mit der Funktion v. Ω Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

11 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Schwache Lösung Beachte: Im Gegensatz zu klassischen Lösungen solcher Gleichungen zweiter Ordnung müssen schwache Lösungen also nur Ableitungen erster Ordnung besitzen, und dies auch nur im schwachen Sinne. 17 Die Randbedingung u Γ 0 ist bereits in der Wahl des Lösungsraumes H0 1 pωq enthalten. Dies nennt man eine wesentliche Randbedingung. 17 Schwache Lösungen verallgemeinern klassische. Es kann also nicht passieren, dass man verschiedene schwache und klassische Lösungen derselben Aufgabe hat. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

12 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Allgemeinere Bezeichnungen Um später allgemeinere Gleichungen als (8.3) in einem einheitlichen Rahmen zu diskutieren, führen wir folgende Notation ein: Raum V H0 1 pωq ż Bilinearform a : V ˆ V Ñ R, aru, vs : u v dx Ω ż Linearform F : V Ñ R, F pvq : f v dx. Ω Damit nimmt die schwache Formulierung (8.3) die Form an. Bestimme u P V, sodass aru, vs F pvq für alle v P V (8.4) Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

13 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Lax-Milgram-Lemma Hinreichende Bedingungen für Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung linearer Variationsgleichungen der Form (8.4) gibt: 18 Satz 8.2 (Lemma von Lax-Milgram) Es sei V ein Hilbertraum und a : V ˆV Ñ R eine (nicht notwendig symmetrische) Bilinearform mit folgenden Eigenschaften: Es existieren Konstanten α 0, β 0 ą 0, sodass aru, vs ď α 0 }u} V }v} V Beschränktheit (8.5a) aru, us ě β 0 }u} 2 V V -Elliptizität oder Koerzivität (8.5b) für alle u, v P V erfüllt sind. a Dann besitzt die Variationsgleichung (8.4) für jedes F P V 1 genau eine Lösung u P V, und es gilt die Abschätzung }u} V ď 1 β 0 }F } V 1. (8.6) a Ist dim V ă 8 so genügt aru, us ą 0 für alle u Allgemeiner (und sowohl notwendig als auch hinreichend) ist die inf-sup-bedingung (Satz von Nečas-Babuska). Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

14 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Lax-Milgram-Lemma Eine Abschätzung der Form (8.6), bei der die Norm der Lösung einer PDE durch die der Daten abgeschätzt wird (ohne die Lösung zu kennen), nennt man eine A-priori-Abschätzung. Die Daten-zu-Lösung-Abbildung V 1 Q F ÞÑ u P V ist linear, und wegen (8.6) stetig/beschränkt. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

15 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Lax-Milgram-Lemma für symmetrische Bilinearformen Bemerkung 8.3 (Symmetrische Bilinearformen) Erfüllt ar, s die Voraussetzungen (8.5) und ist darüberhinaus noch symmetrisch (d.h. aru, vs arv, v P V ), so ist a ein Innenprodukt auf V. Die zugehörige Norm }u} 2 a aru, us heißt die von a erzeugte Energienorm. Sie ist zur bestehenden Norm in V äquivalent: β 0 }u} 2 V ď }u}2 a ď α 0 }u} 2 V. In diesem Fall kann man die Aufgabe (8.4) auch als Minimierungsaufgabe interpretieren: Minimiere ϕpuq : 1 2 }u}2 a F puq über u P V. (8.7) Die Zielfunktion ϕ ist wegen (8.5b) gleichmäßig konvex. Die eindeutige Lösung der Aufgabe ist deshalb durch die notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingung 1. Ordnung gekennzeichnet: ϕ 1 puq v 0 für alle v P V. Dies ist aber gerade die Variationsformulierung (8.4). Oft lässt sich die Zielfunktion in (8.7) tatsächlich als Energie interpretieren. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

16 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Poincaré-Friedrichs-Ungleichung Zur Anwendung des Satzes von Lax-Milgram für unsere Aufgabe (8.1) bzw. (8.3) brauchen wir noch das folgende Resultat: (vgl. (4) im diskreten Fall) Lemma 8.4 (Poincaré-Friedrichs-Ungleichung) Es sei Ω ein beschränktes Gebiet, das im Quader pa 1, b 1 q ˆ pa 2, b 2 q ˆ ˆ pa d, b d q liege. Dann gilt ż ż u 2 dx ď d 2 Ω u 2 dx (8.8) für alle u P H 1 0 pωq, wobei d Ω a siehe [Payne & Weinberger, 1960] für optimale Konstanten auf konvexen Gebieten Ω Ω min pb i a i q die Breite des Quaders ist. a i 1,...,d Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

17 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Poincaré-Friedrichs-Ungleichung Beachte: Lemma 8.4 impliziert die Äquivalenz der H 1 pωq-norm und der H 1 pωq- Halbnorm 19 auf dem Unterraum H 1 0 pωq: 20 } u} 2 L 2 pωq ď } u}2 L 2 pωq ` }u}2 L 2 pωq }u}2 H 1 pωq ď p1 ` d2 Ωq } u} 2 L 2 pωq In H 1 pωq kann so eine Aussage nicht gelten (betrachte upxq 1). Satz 8.5 (Existenz und Eindeutigkeit für (8.3)) Die Poissongleichung (8.1) besitzt für jedes f P L 2 pωq genau eine schwache Lösung u P H 1 0 pωq. Es gilt die A-priori-Abschätzung a }u} H1 pωq ď p1 ` d2 Ωq }f} L2 pωq. a Die Konstanten ändern sich, wenn man statt der vollen H 1 -Norm die äquivalente Halbnorm verwendet, 19 Bei Einschränkung auf H0 1 pωq wird also die Halbnorm zur Norm! 20 Wir schreiben hier einfach } u} L 2 pωq, also die L2 -Norm der vektorwertigen Funktion u. Genauer könnte man } u } L 2 pωq oder } u} rl 2 pωqs d verwenden. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

18 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Schwaches Maximumprinzip Auch schwache Lösungen von (8.1) erfüllen ein schwaches Maximumprinzip (vgl. Korollar 3.4) Satz 8.6 (Schwaches Maximumprinzip für (8.3)) Falls f P L 2 pωq die Bedingung fpxq ď 0 bzw. fpxq ě 0 f.ü. (fast überall) in Ω erfüllt, dann gilt auch für die schwache Lösung u P H 1 0 pωq von (8.1) upxq ď 0 bzw. upxq ě 0 f.ü. in Ω. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

20 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Inhomogene Dirichlet-Randbedingungen Den Fall inhomogener Dirichlet-RB u f u g in Ω auf Γ (8.9) formuliert man wie folgt: Finde u P V g, sodass aru, vs F pvq für alle v P V. (8.10) Dabei ist wieder V H 1 0 pωq und (hier brauchen wir den Spursatz, Skript Sobolevräume: Spursatz) V g tv P H 1 pωq : v Γ gu. Dieser affine Unterraum V g ist genau dann nicht leer, wenn g P H 1{2 pγq liegt, denn dies ist das Bild des Spuroperators auf H 1 pωq. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

21 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Inhomogene Dirichlet-Randbedingungen Diesen Fall kann man dann wie folgt auf homogene RB zurückführen: Wir nehmen an, dass wir bereits eine Funktion pg P H 1 pωq mit der Eigenschaft pg Γ g kennen, also eine H 1 pωq-fortsetzung der Randdaten auf ganz Ω. Dann löst die Funktion u 0 : u pg P H 1 0 pωq V die Aufgabe u 0 f ` pg u 0 0 in Ω auf Γ bzw. in schwacher Formulierung: Finde u 0 P V, sodass aru 0, vs F pvq arpg, vs für alle v P H 1 0 pωq. Beachte: Es kommt wieder nur auf die Eigenschaften von ar, s auf dem Unterraum V H 1 0 pωq an. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

23 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Robin-Randbedingungen Wir betrachten nun die Aufgabe u ` c 0 u f in Ω, B n u ` α u g auf Γ. (8.11) mit Potentialterm (Reaktionsterm) c 0 u und Robin-Randbedingungen. In diesem Abschnitt gilt für die Daten f P L 2 pωq und g P L 2 pγq und für die Koeffizienten c 0 P L 8 pωq und α P L 8 pγq. Analog zu 1 leiten wir die schwache Formulierung her. Dieses Mal multiplizieren wir mit einer Testfunktion v P C 1 pωq und erhalten nach partieller Integration ż ż u v dx v Bu ż ż Bn ds ` c 0 u v dx f v dx. Ω Hier setzen wir die Randbedingung Bu g α u ein: Bn ż ż ż ż u v dx ` c 0 u v dx ` α u v ds Ω für alle v P C 1 pωq. Ω Γ Γ Ω Ω Ω ż f v dx ` g v ds (8.12) Γ Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

24 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Robin-Randbedingungen Definition 8.7 Eine Funktion u P H 1 pωq heißt schwache Lösung des Problems (8.11), wenn die schwache Formulierung (Variationsgleichung) (8.12) für alle v P H 1 pωq erfüllt ist. aa Dabei werden die Spuren von u und v in L 2 pγq benötigt, siehe Spursatz im Skript Sobolevräume. Diesmal wird die Randbedingung nicht im Lösungsraum berücksichtigt, sondern geht in die schwache Form ein. Dies nennt man eine natürliche Randbedingung. Aufgabe in Standardform (8.4) für den Satz von Lax-Milgram: Raum V H 1 pωq ż ż Bilinearform a : V ˆ V Ñ R, aru, vs : p u v ` c 0 uvq dx ` αuv ds Ω Γ ż ż Linearform F : V Ñ R, F pvq : fv dx ` gv ds Ω Γ Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

25 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Robin-Randbedingungen Zum Beweis der Koerzivität benötigen wir eine von zwei weiteren Ungleichungen. Diese folgen aus dem Normierungssatz, siehe Skript Sobolevräume. Lemma 8.8 (Verallgemeinerte Friedrichs sche Ungleichung) Es sei Γ 1 Ă Γ messbar mit Γ 1 ą 0. Dann existiert eine nur von Ω und Γ 1 abhängige Konstante c Γ1, sodass ż }u} 2 H 1 pωq ` u 2 ` u 2 ż ż dx ď c Γ1 u 2 dx ` u 2 ds Ω Ω Γ 1 für alle u P H 1 pωq erfüllt ist. a a Hier benötigt man den Spursatz, um u Γ1 zu definieren, siehe Skript Sobolevräume. Beachte: Angewendet auf u P H 1 0 pωq impliziert das wieder die Aussage von Lemma 8.4. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

26 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Robin-Randbedingungen Lemma 8.9 (Verallgemeinerte Poincarésche Ungleichung) Es sei Ω 1 Ă Ω eine messbare Menge mit Ω 1 ą 0. Dann existiert eine nur von Ω und Ω 1 abhängige Konstante c Ω1, sodass ż }u} 2 H 1 pωq ` u 2 ` u 2 ż ż dx ď c Ω1 u 2 dx ` u 2 dx Ω Ω Ω 1 für alle u P H 1 pωq erfüllt ist. Beachte: Beide Resultate zeigen, dass die rechten Seiten jeweils äquivalent sind zu }u} 2 H 1 pωq. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

27 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Robin-Randbedingungen Satz 8.10 (Existenz und Eindeutigkeit für (8.11)) Falls c 0 P L 8 pωq und α P L 8 pγq beide f.ü. nichtnegativ sind und ż ż c 0 2 dx ` α 2 ds ą 0, Ω gilt, dann besitzt die Aufgabe (8.11) für jedes Paar pf, gq P L 2 pωq ˆ L 2 pγq genau eine schwache Lösung u P H 1 pωq. Es existiert eine von f und g unabhängige Konstante c, sodass }u} H 1 pωq ď c ` }f} L 2 pωq ` }g} L 2 pγq gilt. Γ Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

28 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Robin-Randbedingungen Bemerkung 8.11 (reine Neumann-Randbedingungen) Das Poisson-Problem mit reinen Neumann-Randbedingungen u f in Ω B Bn u g auf Γ (8.13) besitzt keine eindeutigen Lösungen in H 1 pωq, da für jede Konstante c mit u auch u ` c eine Lösung ist. Die zugehörige Bilinearform ist zwar beschränkt, aber nicht koerziv in H 1 pωq. Man kann jedoch im Quotientenraum V H 1 pωq{r arbeiten, siehe Übung. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

30 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Aufgaben mit Konvektionsterm Wir betrachten als Modellproblem µ u ` β u ` c 0 u f in Ω u 0 auf Γ. (8.14) In diesem Abschnitt gilt für die Daten f P L 2 pωq und für die Koeffizienten c 0 P L 8 pωq und β P rl 8 pωqs d sowie µ ą 0. Der Term β u modelliert die Konvektion (Transport mit Wind -Geschwindigkeit β) des diffundierenden Stoffes im Gebiet Ω Eine andere Formulierung verwendet den Konvektionsterm pβ uq. Man erhält dann als mögliche schwache Formulierung: aru, vs pµ u, vq Ω ` p pβ uq, vq Ω pµ u, vq Ω pβ u, vq Ω ` pβ u, n vq Γ Dann ergeben sich andere (welche?) hinreichende Bedingungen in Satz Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

31 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Aufgaben mit Konvektionsterm Die schwache Formulierung lautet hier: Raum V H 1 0 pωq Bilinearform a : V ˆ V Ñ R, ż ż aru, vs : p u v ` pβ uqvq dx ` c 0 uv, dx Ω Ω ż Linearform F : V Ñ R, F pvq : f v dx. Beachte: Die Bilinearform ar, s ist in diesem Fall unsymmetrisch. Ω Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

32 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Aufgaben mit Konvektionsterm Satz 8.12 (Existenz und Eindeutigkeit für (8.14)) Es sei c 0 P L 8 pωq f.ü. nichtnegativ, und für die Koeffizienten gelte eine der beiden Voraussetzungen: (a) β P rw 1,8 pωqs d und c β ě 0 f.ü. in Ω geringe Divergenz (b) }β} L 8 pωq ă µ{d Ω geringe Konvektion mit der Konstanten d Ω aus der Poincaré-Friedrichs-Ungleichung (Lemma 8.4). Dann erfüllt die Bilinearform der Aufgabe (8.14) die Voraussetzungen des Lemmas von Lax-Milgram (8.2), besitzt also für jedes f P L 2 pωq genau eine schwache Lösung u P H0 1 pωq. Es existiert eine von f unabhängige Konstante c, sodass gilt. }u} H1 pωq ď c }f} L 2 pωq Beweis in den Übungen; (a) benötigt partielle Integration für Sobolev-Funktionen; (b) braucht die Youngsche Ungleichung. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

33 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben Aufgaben mit Konvektionsterm Bemerkung 8.13 (inf sup-bedingung) Die Bilinearform ar, s erfülle (8.5a) (Beschränktheit). Die Koerzivitätsbedingung (8.5b) stellt dann nur eine hinreichende Bedingung für die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung der Aufgabe (8.4) und deren stetige Abhängigkeit von F dar. a Folgende Bedingungen sind gleichzeitig notwendig und hinreichend: inf sup aru, vs ě β 0 ą 0 inf sup-bedingung pa 1 ist surjektivq (8.15a) upv vpv }u} V }v} V aru, vs 0 für alle u P V ñ v 0 pa 1 ist injektivq. (8.15b) Diese sind sogar in reflexiven Banachräumen anwendbar. b Man sieht leicht, dass (8.5b) ñ (8.15) gilt. a Das wird schon im endlich dimensionalen Fall klar, denn wir schließen dann aus der positiven Definitheit auf die Invertierbarkeit. b Mehr dazu in [Ern & Guermond, 2004, Theorem 2.6]. Wir beschränken uns in dieser Vorlesung jedoch auf Aufgaben, deren Bilinearformen (8.5) erfüllen. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

35 Allgemeine Galerkin-Verfahren und das Céa-Lemma Wir betrachten wieder die abstrakte Variationsgleichung in einem Hilbertraum V. Bestimme u P V sodass aru, vs F pvq für alle v P V (9.1) Idee aller Galerkin-Verfahren: Ersetze V durch einen endlich-dimensionalen Unterraum V h Ă V : 22 Bestimme u h P V h sodass aru h, v h s F pv h q für alle v h P V h. (9.2) Beachte: Im Gegensatz zu FD-Verfahren wird also nicht der Differentialoperator, sondern nur der Raum V diskretisiert! 22 Der Parameter h deutet zunächst nur auf die Endlich-Dimensionalität von V h ( Diskretisierung ) hin. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

36 Allgemeine Galerkin-Verfahren und das Céa-Lemma Bemerkung 9.1 (Stabilität von Galerkin-Verfahren) V h ist ein abgeschlossener Unterraum von V und damit wieder Hilbertraum. Wenn a : V ˆ V Ñ R beschränkt und koerziv ist, dann gilt (8.5) auch für V h statt V mit denselben Konstanten. Folglich besitzt auch das diskrete Problem (9.2) eine eindeutige Lösung u h P V h, die die Abschätzung erfüllt. }u h } V ď 1 β 0 }F } V 1 Die Stabilität bei der Lösung der Aufgabe (9.1) ist also bereits in das Galerkin-Verfahren (9.2) eingebaut. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

37 Allgemeine Galerkin-Verfahren und das Céa-Lemma Das folgende Resultat ist die Grundlage für Fehlerabschätzungen und Konvergenzbeweise bei Galerkin-Verfahren: Satz 9.2 (Céa-Lemma) Die Bilinearform a : V ˆ V Ñ R sei beschränkt und koerziv, siehe (8.5). u P V und u h P V h seien die eindeutigen Lösungen von (9.1) bzw. (9.2). Dann gilt die Fehlerabschätzung: }u u h } V ď α 0 β 0 inf v h PV h }u v h } V loooooooomoooooooon Abstand von u zum Unterraum V h. (9.3) Falls a symmetrisch ist, dann gilt sogar }u u h } V ď c α0 β 0 inf }u v h } v h PV V. (9.4) h Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

38 Allgemeine Galerkin-Verfahren und das Céa-Lemma Bemerkung 9.3 (zum Céa-Lemma) (a) Céas Lemma liefert eine Fehlerabschätzung in der Norm von V. (b) Die Fehlerabschätzung wird zurückgeführt auf die Aufgabe der Bestapproximation von u in V h. Der Ausdruck inf vhpv h }u v h } V ist gerade der Abstand des Unterraumes V h zur unbekannten Lösung u. (c) Man nennt die Abschätzungen (9.3) und (9.4) quasi-optimal, weil man durch Lösen der diskreten Aufgabe (9.2) bis auf eine Konstante die überhaupt bestmögliche Approximation der kontinuierlichen Lösung u in V h erhält. (d) Die Eigenschaft aru u h, v h s 0 für alle v h P V h, wird Galerkin-Orthogonalität genannt. Im symmetrischen Fall bedeutet sie tatsächlich gerade, dass der Fehler u u h im a-skalarprodukt senkrecht auf V h steht. (e) Die Fehlerabschätzung mit Céas Lemma bei Galerkin-Verfahren läuft anders als bei FD-Verfahren, vgl. (5.8), denn: Auch die kontinuierliche Lösung u erfüllt die diskrete Variationsgleichung in (9.2), erzeugt also keinen Konsistenzfehler. a (f) Wegen α 0 {β 0 ě a α 0 {β 0 ě 1 ist die Abschätzung im symmetrischen Fall schärfer. a Siehe jedoch [Ern & Guermond, 2004, Theorem 2.24] für ein allgemeines Resultat, welche Zutaten im Allgemeinen zur Konvergenz und einer Fehlerabschätzung führen. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

39 Allgemeine Galerkin-Verfahren und das Céa-Lemma Es ist i.d.r. schwierig, den Bestapproximationsfehler genau zu bestimmen. Daher werden wir ihn später durch inf v h PV h }u v h } V ď }u Π h u} V abschätzen, wobei Π h : V Ñ V h eine einfach zu handhabende Projektion 23 auf V h ist. Oft verwendet man dabei eine sogenannte Interpolation. Eine typische Interpolationsfehlerabschätzung lautet (unter geeigneten Voraussetzungen) v I Vh v Hk pωq ď C hm k v H m pωq. Die endgültigen Fehlerabschätzungen für den Diskretisierungsfehler }u u h } V lassen sich hieraus ableiten. 23 also ein stetiger linearer Operator mit der Eigenschaft Π h Π h Π h (Idempotenz) Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

40 Allgemeine Galerkin-Verfahren und das Céa-Lemma Überlegungen zur Umsetzung von Galerkin-Verfahren V h ist ein endlich-dimensionaler Unterraum von V. Wir wählen eine Basis tϕ i u n i 1 von V h und stellen jedes u h P V h durch u h ř n j 1 u j ϕ j dar. Es ist hinreichend, dass die Variationsgleichung (9.2) für v h ϕ i, i 1,..., n erfüllt ist: ô ô ô aru h, ϕ i s F pϕ i q für alle i 1,..., n ÿ n ı a u j ϕ j, ϕ i F pϕ i q für alle i 1,..., n j 1 nÿ arϕ j, ϕ i s u j F pϕ i q j 1 ˇ A u F pϕ i q ˇn i 1 : F. für alle i 1,..., n Die Matrix A `arϕ j, ϕ i s n in diesem LGS heißt die Steifigkeitsmatrix, und i,j 1 die rechte Seite F heißt Lastvektor. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

41 Allgemeine Galerkin-Verfahren und das Céa-Lemma Überlegungen zur Umsetzung von Galerkin-Verfahren Lemma 9.4 (Eigenschaften der Steifigkeitsmatrix) (a) Wenn ar, s koerziv ist, dann ist A positiv definit a, also auch invertierbar. b (b) Wenn ar, s symmetrisch ist, dann auch A. a x J A x ą 0 für x 0 b Und zwar unabhängig davon, wie V h und die Basis gewählt werden! Bemerkung 9.5 (zur Wahl von V h und seiner Basis) (a) Céas Lemma zeigt, dass die Wahl des Raumes V h von einer guten Approximierbarkeit der Lösung u geleitet sein sollte, um den Bestapproximationsfehler klein zu halten. (b) Die Eigenschaften der Matrix A hängen dann entscheidend von der Wahl der Basis in V h ab. Dabei spielen die einfache Berechenbarkeit, Besetzungsstruktur, Konditionszahl und einfache Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme mit A eine besondere Rolle. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

42 Allgemeine Galerkin-Verfahren und das Céa-Lemma Überlegungen zur Umsetzung von Galerkin-Verfahren Beispiel 9.6 (Einige Galerkin-Verfahren) Wir betrachten verschiedene 1D-Beispiele. (a) Gemischte Randwertaufgabe u 2 f in p0, 1q,! up0q ) u 1 p1q 0 mit V n tv P H 1 p0, 1q : vp0q 0u. Wahl von V h span führt auf cond 2 paq Ope n q (unbrauchbar). (b) Gleicher Raum, stattdessen Basis aus Orthogonalpolynomen (Legendre, Jacobi, etc.) führt auf cond 2 paq Opnq; integrierte Legendre-Polynome sogar auf A I. spektrales Galerkin-Verfahren (c) RWA u 2 f in p0, 1q, up0q up1q 0 mit V H0 1 p0, 1q tv P H 1 p0, 1q : vp0q vp1q 0u. Wahl von V h spantsinpjπxq : j 1,..., nu führt auf ˆj2 π 2 A diag, cond 2 paq n 2. 2 x i i i 1 echtes Spektralverfahren Beachte: Die obigen Beispiele sind sogenannte gitterfreie Verfahren. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

44 Ein erstes Finite-Elemente-Verfahren Idee des FE-Verfahrens: Zerlege Ω in einfache Teilgebiete. Approximiere V (z.b. H 1 pωq) durch einen Raum V h von stückweise Polynomen auf diesen Teilgebieten. Wir wählen als Modellproblem wieder die homogene Dirichlet-Aufgabe (8.1), also in schwacher Formulierung: Bestimme u P V H0 1 pωq mit ż ż u v dx f v dx Ω Ω für alle v P H 1 0 pωq. (10.1) Wir zerlegen ( triangulieren ) Ω r0, 1s ˆ r0, 1s Ă R 2 in regelmäßige Dreiecke T 1, T 2,..., T NT mit h Länge der Katheten, siehe Abbildung 7. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

45 Ein erstes Finite-Elemente-Verfahren Abbildung 7: Grobe Triangulierung des Einheitsquadrates (mit h 1{3) und eine Basisfunktion Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

46 Ein erstes Finite-Elemente-Verfahren Als globalen Ansatzraum (FE-Raum) wählen wir Funktionen, die stückweise lineare Polynome (sogenannte P 1 -Elemente) und global stetig sind: V h : tv P CpΩq : v Ti ist lineares Polynom, v Γ 0u. Beachte: Die Eigenschaft V h Ă V H 1 0 pωq folgt später aus einem allgemeineren Resultat. In jedem Dreieck hat also v h P V h die Form v h pxq a ` b x 1 ` c x 2 und ist durch seine Werte in den drei Eckpunkten eindeutig bestimmt. Es gilt dimpv h q Anzahl der inneren Gitterpunkte tξ i u N P i 1 N P. Wir wählen als Basis in V h die Funktionen ϕ i P V h mit # 1, falls i j ϕ i pξ j q δ ij für i 1,..., N P, 0 sonst vgl. Abbildung 7. Jede Basisfunktion kann also einem inneren Gitterpunkt zugeordnet werden. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

47 Ein erstes Finite-Elemente-Verfahren Zur Lösung der diskreten Aufgabe müssen wir die Steifigkeitsmatrix A mit Einträgen ż A ij arϕ j, ϕ i s ϕ j ϕ i dx, i, j 1,..., N P und den Lastvektor F mit Einträgen ż F i F pϕ i q f ϕ i dx, Ω Ω i 1,..., N P aufstellen. Da die Basisfunktionen dreiecksweise definiert sind, werden die Integrale zerlegt in ż Nÿ T ż... dx... dx. Ω T i i 1 Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

48 Ein erstes Finite-Elemente-Verfahren Wir betrachten ein typisches Dreieck T : Eckpunkte: ξ i1, ξ i2, ξ i3, d.h. i 1, i 2, i 3 sind die globalen Knotennummern dieser Punkte. Lokale Nummerierung: 1, 2, 3 für Indices und zugehörige Basisfunktionen. Auf T gilt: ϕ 1 pxq 1 x1 ` x 2 h ϕ 2 pxq x 1 h ϕ 3 pxq x 2 h ñ ϕ 1 pxq 1 ˆ1, h 1 ñ ϕ 2 pxq 1 ˆ1, h 0 ñ ϕ 3 pxq 1 ˆ0. h 1 Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

49 Ein erstes Finite-Elemente-Verfahren Wir berechnen beispielhaft ż ż ϕ 1 ϕ 1 dx T T p 1q 2 h 2 ˆ1 1 ˆ1 2h 1 2 T 2h h und ż T ż ϕ 1 ϕ 2 dx T 1 h 2 ˆ1 1 ˆ1 0 1 T 1 h2 2. Für die lokale Steifigkeitsmatrix oder Elementsteifigkeitsmatrix des Dreiecks T ergibt sich:» fi 1 1{2 1{2 A T 1{2 1{2 0 fl. 1{2 0 1{2 Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

50 Ein erstes Finite-Elemente-Verfahren Diese auf dem Dreieck T entstandenen Beiträge werden nun zur globalen Steifigkeitsmatrix A in den Positionen i 1, i 2 und i 3 addiert. Dieser Vorgang heißt Assemblierung der Matrix A. Für den Aufbau des Lastvektors gehen wir analog vor und bestimmen die lokalen Lastvektoren(Elementlastvektoren) ż F T f ϕ i dx auf jedem Dreieck, die dann zum globalen Lastvektor addiert werden. T Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

51 Ein erstes Finite-Elemente-Verfahren Bemerkung 10.1 (zur Assemblierung) (a) Die Basisfunktionen tϕ i u N P i 1 und ihre Gradienten sind ungleich null nur auf den Dreiecken, die ξ i als Eckpunkt haben, siehe Abbildung 7. a Dies führt zur Dünnbesetztheit der Systemmatrix A. (b) In der Regel werden wir die Integrale nicht exakt berechnen (können), sondern Quadraturformeln (QF) zur Approximation einsetzen. Das gilt sowohl für den Lastvektor als auch für die Steifigkeitsmatrix, wenn variable Koeffizienten wie im Fall aru, vs ş Ω p vqj Apxq u dx vorliegen. Der Einsatz von QF kann jedoch zu Konsistenzfehlern führen, siehe später. a Dort besteht der Träger von ϕ i maximal auf sechs Dreiecken. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

52 Ein erstes Finite-Elemente-Verfahren Für die obige Zerlegung (Abbildung 7) von Ω mit einem sogenannten Friedrichs- Keller-Gitter ergibt sich die Steifigkeitsmatrix» fi A ffi ffi fl Diese ist (auch für feinere Zerlegungen von Ω nach demselben Muster) bis auf den Faktor 1{h 2 identisch mit der Matrix L h aus (5.7)! Da die FEM jedoch wesentlich flexibler ist als die FDM, gibt es i.a. zu einer FE-Diskretisierung kein äquivalentes FD-Verfahren. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

53 Ein erstes Finite-Elemente-Verfahren Die FEM erlaubt ohne Weiteres kein diskretes Maximumprinzip. Man kann aber zeigen: Falls alle Innenwinkel der Triangulierung höchstens π{2 sind, dann ist die Steifigkeitsmatrix des Problems (10.1) mit den obigen stückweisen linearen Basisfunktionen eine sogenannte M-Matrix und damit invers monoton. 24 Das heißt, es gilt: Ax ď Ay ñ x ď y (komponentenweise). Das ist gerade das diskrete Maximumprinzip siehe dazu auch [Knabner & Angermann, 2000, Kap. 3.9, S. 159], [Rannacher, 2008, S ], [Grossmann et al., 2007, S. 199, S. 208, Ex. 4.11]. 25 Hier geht ein, dass unsere Basisfunktionen ϕ i ě 0 sind. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

55 Einige gebräuchliche finite Elemente Definition 11.1 (finites Element, [Ciarlet, 1978]) Ein Tripel pk, P, Σq heißt finites Element (FE), wenn gilt: (a) K Ă R d ist ein kompaktes Polyeder a mit intpkq H. K heißt Zelle oder Elementgebiet oder kurz Element. Die Teile der Oberfläche BK, die jeweils auf einer Hyperebene liegen, heißen Facetten. (Dies sind Kanten in 2D und Seitenflächen in 3D.) (b) P ist ein Vektorraum der endlichen Dimension s ě 1 von Funktionen b p : K Ñ R m. P heißt Ansatzraum, und seine Elemente p P P heißen Ansatzfunktionen. (c) Σ pσ 1, σ 2,..., σ s q ist eine (geordnete) Basis des Dualraumes c P 1. Die Elemente σ 1,..., σ s heißen (lokale) Freiheitsgrade (degrees of freedom, DOF) oder Knotenvariablen. Diejenigen Elemente p 1,..., p s von P mit σ i pp j q δ ij heißen (lokale) Formfunktionen oder die (lokale) nodale Basis von P. Es gilt: pp 1,..., p s q und pσ 1,..., σ s q sind zueinander duale Basen. a also der (stets konvexe) Schnitt endlich vieler Halbräume; manchmal auch allgemeiner: kompakte Menge mit Lipschitz-Rand, siehe etwa [Ciarlet,1978, S.78] b i.d.r. Polynome mit m 1 oder m d oder auch m d ˆ d c Wegen der endlichen Dimension von P stimmen algebraischer und topologischer Dualraum überein. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

56 Einige gebräuchliche finite Elemente Üblicherweise wird K gewählt als Dreieck oder Viereck (2D) bzw. als Tetraeder oder Würfel (3D). Bei uns ist immer m 1 (skalare FE), und P besteht i.d.r. aus Polynomen. Ein FE heißt ein Lagrange-Element, wenn die Freiheitsgrade nur aus Funktionsauswertungen in Punkten bestehen. (Daher leiten sich die Begriffe Knotenvariablen und nodale Basis ab.) Kommen auch Funktionsauswertungen von Ableitungen vor, so spricht man von einem Hermite-Element. Andere gebräuchliche Freiheitsgrade sind Mittelwerte von Funktionen/Ableitunge über die Zelle/Facette/Kante, z.b. bei den finiten Elementen von Nédélec bzww. Raviart und Thomas. In der Regel lassen sich Freiheitsgrade einem Ort zuordnen, beispielsweise einem Punkt (bei Punktauswertungen) oder einer Facette. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

57 Einige gebräuchliche finite Elemente Bemerkung 11.2 (Lineare Unabhängigkeit der σ i ) Bei der Konstruktion finiter Elemente macht nur Teil (c) der Definition Arbeit. Dabei hilft folgende Beobachtung: Es sei dimpp q s, dann ist Σ pσ 1, σ 2,..., σ s q mit σ i P P 1 genau dann eine Basis des Dualraumes P 1, wenn gilt: p P P, σ i ppq 0 für alle i 1,..., s ñ p 0 (in P ). (11.1) Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

58 Einige gebräuchliche finite Elemente Multivariate Polynome Wir definieren folgende Vektorräume d-variater Polynome. Sei k P N 0, P k Polynome in px 1, x 2,..., x d q vom Gesamtgrad ď k! ÿ ) c α x α : c α P R α ďk Q k Polynome in px 1, x 2,..., x d q vom Einzelgrad ď k! ÿ ) c α x α : c α P R 0ďα iďk Hierbei bedeutet x α x α1 1 xα2 2 xα d d für einen Multiindex α P N d 0. Die Räume P k pkq und Q k pkq bezeichnen Einschränkungen der Definitionsbereiche auf K Ă R d. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

59 Einige gebräuchliche finite Elemente Simplizes Definition 11.3 (Simplex) Es seien ta 0,..., a k u Ă R d affin unabhängige Punkte, d.h., ta 1 a 0,..., a k a 0 u sind linear unabhängig, 0 ď k ď d. a Die konvexe Hülle dieser Punkte, d.h. die Menge ihrer Konvexkombinationen K : convta 0,..., a k u # kÿ : x P R d : x λ i a i : λ i ě 0 und i 0 + kÿ λ i 1 i 0 (11.2) heißt ein Simplex der Dimension k in R d mit den Ecken a 0,..., a k. a Auf die Wahl des Bezugspunktes a 0 kommt es dabei nicht an. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

60 Einige gebräuchliche finite Elemente Abbildung 8: Simplizes in 2D der Dimension eins bzw. zwei Für die Beschreibung von FE auf Simplizes K (Dreieck in 2D, Tetraeder in 3D) ist der Übergang zu baryzentrischen Koordinaten hilfreich. Baryzentrische Koordinaten sind invariant gegenüber affinen Transformationen. Sie ermöglichen also eine Beschreibung von Lagebeziehungen und Funktionen unabhängig von der konkreten Lage des Simplex. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

61 Einige gebräuchliche finite Elemente Baryzentrische Koordinaten Lemma 11.4 (Baryzentrische Koordinaten) Es sei K ein Simplex in R d mit den Ecken a 0,..., a k. (a) Die Darstellung eines Punktes x P K wie in (11.2) ist eindeutig. Die Zahlen λ 0 pxq,..., λ k pxq heißen die baryzentrischen Koordinaten von x P K. Sie lassen sich mit Hilfe des LGS für λ P R k`1» fi kÿ kÿ ffi x i 0 λ i a i x, i 0 λ i 1 bzw. a 0 a 1 a k ffi fl λ berechnen. Es gilt für beliebiges x P R d : (11.3) ist lösbar (dann eindeutig) ô x P affta 0,..., a k u. a (11.3) ist lösbar (dann eindeutig) und alle λ i ě 0 ô x P K. a Die affine Hülle ist der kleinste affine Unterraum von R d, der die genannten Punkte enthält. 1 P Rd`1 (11.3) Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

62 Einige gebräuchliche finite Elemente Baryzentrische Koordinaten Lemma 11.4 (Fortsetzung) (b) Es gilt intpkq H ô k d. (c) Außerdem ist λ i pa j q δ ij und (im Fall k d) a x P F i ô λpxq ě 0, dÿ λ j pxq 1, λ i pxq 0, j 0 wobei F i die Facette ist, die der Ecke a i gegenüber liegt. a denn Facetten haben wir nur im Fall k d korrekt definiert Siehe dazu auch [Ern & Guermond, 2004; S. 21] und [Ciarlet, 1978; S. 45]. Beim Einheitssimplex K : convt0, e 1,..., e d u Ă R d gilt z.b. für x P K: λ 0 pxq 1 x 1... x d, λ 1 pxq x 1,... λ d pxq x d. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

63 Einige gebräuchliche finite Elemente Lagrange-Elemente Beispiel 11.5 (Lagrange-Elemente P k ) Bei Lagrange-Elementen P k pkq ist K Ă R d ein Simplex mit Ecken a 0,..., a d und P P k pkq. Wegen intpkq H gilt dimpp q dimpp k pkqq. Durch Abzählen findet man $ ˆk ` d & k ` 1 für d 1 1 s dimpp q pk ` 1qpk ` 2q für d 2 k % pk ` 1qpk ` 2qpk ` 3q für d 3 Als Freiheitsgrade/Knotenvariablen σ 1,..., σ s wählen wir die Punktauswertungen in den eingezeichneten (Lagrange-)Punkten a 1,..., a s, siehe folgende Abbildungen. Die Formfunktionen p 1,..., p s erfüllen nach Definition gerade σ i pp j q p j pa i q δ ij.sie lösen also die Lagrangesche Interpolationsaufgabe zu den Stützstellen a i. Das Tripel pk, P, Σq heißt Lagrange-Element P k pkq. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

64 Einige gebräuchliche finite Elemente Lagrange-Elemente auf Dreiecken Konstantes Dreieckselement P 0 P P 0, dimpp q 1 p 1 1 Lineares Dreieckselement P 1 P P 1, dimpp q 3 p 1 λ 0, p 2 λ 1, p 3 λ 2 Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

65 Einige gebräuchliche finite Elemente Lagrange-Elemente auf Dreiecken Quadratisches Dreieckselement P 2 P P 2, dimpp q 6 p 1 λ 0 p2 λ 0 1q, p 4 4 λ 0 λ 1 p 2 λ 1 p2 λ 1 1q, p 5 4 λ 0 λ 2 p 3 λ 2 p2 λ 2 1q, p 6 4 λ 1 λ 2 Kubisches Dreieckselement P 3 P P 3, dimpp q 10 p i`1 1 λi p3 λi 1q p3 λi 2q, 2 i 0, 1, 2 p 4 9 λ0 p3 λ0 1q λ1, 2 p5 9 λ0 p3 λ0 1q λ2 2 p 6 9 λ1 p3 λ1 1q λ0, 2 p7 9 λ1 p3 λ1 1q λ2 2 p 8 9 λ2 p3 λ2 1q λ0, 2 p9 9 λ2 p3 λ2 1q λ1 2 p λ 0 λ 1 λ 2 Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

66 Einige gebräuchliche finite Elemente Lagrange-Elemente auf Tetraedern Konstantes Tetraederelement P 0 P P 0, dimpp q 1 p 1 1 Lineares Tetraederelement P 1 P P 1, dimpp q 4 p 1 λ 0, p 2 λ 1, p 3 λ 2, p 4 λ 3 Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

67 Einige gebräuchliche finite Elemente Lagrange-Elemente auf Tetraedern Quadratisches Tetraederelement P 2 P P 2, dimpp q 10 p 1 λ 0 p2 λ 0 1q, p 6 4 λ 0 λ 2 p 2 λ 1 p2 λ 1 1q, p 7 4 λ 0 λ 3 p 3 λ 2 p2 λ 2 1q, p 8 4 λ 1 λ 2 p 4 λ 3 p2 λ 3 1q, p 9 4 λ 1 λ 3 p 5 4 λ 0 λ 1, p 10 4 λ 2 λ 3 Kubisches Tetraederelement P 3 P P 3, dimpp q 20 Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

68 Einige gebräuchliche finite Elemente Formfunktionen Abbildung 9: Einige lokale Formfunktionen für ein P 1-Element auf einem Dreieck Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

69 Einige gebräuchliche finite Elemente Formfunktionen Abbildung 10: Einige lokale Formfunktionen für ein P 2-Element auf einem Dreieck Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

70 Einige gebräuchliche finite Elemente Wahl der Freiheitsgrade Bemerkung 11.6 (zur Wahl der Freiheitsgrade) Man kann die Auswertungspunkte bei Lagrange-Elementen nicht beliebig wählen. Zum Beispiel schneidet die Ellipse 2 3 pλ 2 0 ` λ 2 1 ` λ 2 2q 0 jedes Simplex K in R 2 in sechs Punkten. Die dortigen Punktauswertungen sind als Freiheitsgrade wegen 11.2 linear abhängig, weil die sog. Fortin-Soulié-Bubble-Funktion ppλq 2 3 pλ 2 0 ` λ 2 1 ` λ 2 2q P P 2 in den genannten Punkten verschwindet. So ergibt sich also kein finites Element. a a Ein noch einfacheres Beispiel ergibt sich mit P 1 pkq auf einem Dreieck, wenn die Lagrange-Punkte auf einer Geraden liegen. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

71 Einige gebräuchliche finite Elemente Wahl der Freiheitsgrade Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

72 Einige gebräuchliche finite Elemente Lagrange-Elemente auf Quadern Beispiel 11.7 (Lagrange-Elemente Q k ) Bei Lagrange-Elementen Q k pkq ist K Ă R d ein Parallelepiped (o.b.d.a. mit einem Eckpunkt im Ursprung) mit Kantenvektoren v 1,..., v d P R d, also K! x P R d : x dÿ i 1 ) t i v i : t i P r0, 1s und P Q k pkq. Es gilt $ & k ` 1 für d 1 s dimpp q pk ` 1q d pk ` 1q % 2 für d 2 pk ` 1q 3 für d 3 Als Freiheitsgrade/Knotenvariablen σ 1,..., σ s wählen wir die Punktauswertungen in den eingezeichneten Knoten a i, siehe die folgenden Abbildungen. Die Formfunktionen p 1,..., p s lösen wieder die zugehörige Lagrangesche Interpolationsaufgabe, also σ i pp j q δ ij. Das Tripel pk, P, Σq heißt Lagrange-Element Q k pkq. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

73 Einige gebräuchliche finite Elemente Lagrange-Elemente auf Quadern Konstantes Viereckselement Q 0 P Q 0, dimpp q 1 p 1 1 Bilineares Viereckselement Q 1 P Q 1, dimpp q 4 p 1 t 1 t 2, p 3 p1 t 1 q t 2, p 2 t 1 p1 t 2 q p 4 p1 t 1 q p1 t 2 q Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

74 Einige gebräuchliche finite Elemente Lagrange-Elemente auf Quadern Biquadratisches Viereckselement Q 2 P Q 2, dimpp q 9 p 3j`i`1 L p2q i pt 1 q L p2q j pt 2 q, 0 ď i, j ď 2 Bikubisches Viereckselement Q 3 P Q 3, dimpp q 16 p 4j`i`1 L p3q i pt 1 q L p3q j pt 2 q, 0 ď i, j ď 3 Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

75 Einige gebräuchliche finite Elemente Lagrange-Elemente auf Quadern Hierbei bezeichnet L pkq i das i-te Lagrange-Interpolationspolynom zu den äquidistanten Stützstellen s j j{k, j 0, 1,..., k, also L pkq i ptq kź j 0, j i t s j s i s j, i 0, 1,..., k. Beachte: Auf Intervallen K Ă R (d 1) sind die P k pkq- und Q k pkq-elemente identisch. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

76 Einige gebräuchliche finite Elemente Lagrange-Elemente auf Quadern Konstantes Würfelelement Q 0 P Q 0, dimpp q 1 p 1 1 Trilineares Würfelelement Q 1 P Q 1, dimpp q 8 p 4k`2j`i`1 L p1q i 0 ď i, j, k ď 1 pt 1 q L p1q j pt 2 q L p1q k pt 3q, Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

77 Einige gebräuchliche finite Elemente Lagrange-Elemente auf Quadern Triquadratisches Würfelelement Q 2 P Q 2, dimpp q 27 p 9k`3j`i`1 L p2q i 0 ď i, j, k ď 2 pt 1 q L p2q j pt 2 q L p2q k pt 3q, Trikubisches Würfelelement Q 3 P Q 3, dimpp q 64 p 16k`4j`i`1 L p3q i 0 ď i, j, k ď 3 pt 1 q L p3q j pt 2 q L p3q k pt 3q, Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

78 Einige gebräuchliche finite Elemente Kubisches Hermite-Element Beispiel 11.8 (kubisches Hermite-Element) Es sei K Ă R 2 ein Simplex in R 2 und P P 3 pkq. Es gilt s dimpp q 10 wie beim Lagrange- Element P 3 pkq. Die Freiheitsgrade/Knotenvariablen σ 1,..., σ 10 sind nun aber die Funktionswerte in den Eckpunkten a 1, a 2, a 3 (3), die Werte der Ableitungen in den Eckpunkten a 1, a 2, a 3 (6), der Wert im Schwerpunkt a 4 (1). Es gibt noch Wahlmöglichkeiten, durch welche zwei Richtungsableitungen der Gradient in jedem Eckpunkt beschrieben wird, z.b. durch die Ableitungen in die Koordinatenrichtungen D k ppa i q, k 1, 2 und i 1, 2, 3 oder durch die Richtungsableitungen in Kantenrichtungen ppa i qpa j a i q, i, j 1, 2, 3, i j. Dieses Element heißt kubisches Hermite-Element. Es lässt sich auch auf Intervallen leicht definieren mit dimpp q 4 und auf Tetraeder erweitern a mit dimpp q 20. a Dort nimmt man in den 4 Eckpunkten die Funktionswerte (4) und Werte der Ableitungen (12) und ergänzt mit Funktionswerten in den Flächenschwerpunkten (4). Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

79 Einige gebräuchliche finite Elemente Kubisches Hermite-Element Abbildung 11: Freiheitsgrade beim kubischen Hermite-Element auf Dreiecken. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

80 Einige gebräuchliche finite Elemente Kubisches Hermite-Element Abbildung 12: Einige lokale Formfunktionen für ein kubisches Hermite-Element auf einem Dreieck Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

81 Einige gebräuchliche finite Elemente Crouzeix-Raviart-Element Beispiel 11.9 (Crouzeix-Raviart-Element) Es sei wieder K Ă R d ein Simplex (d ě 2) und P P 1 pkq. Als Freiheitsgrade wählen wir die Funktionswerte in den Schwerpunkten a der d ` 1 Facetten F 0,..., F d von K. Die Formfunktionen b lassen sich einfach in baryzentrischen Koordinaten λ 0, λ 1,..., λ d ausdrücken, denn auf F i ist gerade λ i 0: p i pλq 1 d λ i, i 0,... d. a Dieselben Formfunktionen ergeben sich, wenn man als Freiheitsgrade die Mittelwerte über die Facetten wählt. Einziger Unterschied: Man kann dann statt L K C 0 pkq für den lokalen Interpolationsoperator L K W 1,1 pintpkqq wählen. b Aus Gründen der Bequemlichkeit nummerieren wir hier von 0 bis d anstatt von 1 bis d ` 1. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

82 Einige gebräuchliche finite Elemente Crouzeix-Raviart-Element Abbildung 13: Freiheitsgrade beim Crouzeix-Raviart-Element Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

83 Einige gebräuchliche finite Elemente Crouzeix-Raviart-Element Abbildung 14: Einige lokale Formfunktionen für ein Crouzeix-Raviart-Element auf einem Dreieck Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

84 Einige gebräuchliche finite Elemente Lokale Interpolation Definition (Lokaler Interpolationsoperator) Es sei pk, P, Σq ein FE mit lokalen Formfunktionen p 1,..., p s und Freiheitsgraden σ 1,..., σ s. Es existiere ein normierter Vektorraum a L K von Funktionen v : K Ñ R mit P Ĺ L K, sodass die linearen Funktionale tσ 1,..., σ s u nicht nur in P 1, sondern auch in L 1 K liegen. Das heißt, alle σ i : L K Ñ R sind linear und stetig, i 1,..., s. Wir bezeichnen dann auch pk, P, Σ, L K q als FE.Dabei heißt L K lokaler Interpolationsbereich (engl.: local interpolation domain). Der lokale Interpolationsoperator ist definiert durch I K : L K Q v ÞÑ I K pvq : sÿ σ i pvq p i P P. i 1 a Dieser ist im Unterschied zu P i.d.r. unendlich-dimensional. Beachte:Bei linearen Abbildungen ist es oft üblich, um das Argument keine Klammern zu schreiben. Wir schreiben hier trotzdem immer welche. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

85 Einige gebräuchliche finite Elemente Lokale Interpolation Lemma (Eigenschaften des lokalen Interpolationsoperators) I K ist eine lineare und stetige Abbildung L K Ñ P. Es gilt I K ppq p für alle p P P, d.h., I K ist eine Projektion auf P. Beachte: Die Interpolierende I K v liefert bei Anwendung der Freiheitsgrade σ 1,..., σ s dieselben Werte wie die zu interpolierende Funktion v: sÿ σ i pi K pvqq σ i σ j pvq p j σ i pvq. j 1 Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

86 Einige gebräuchliche finite Elemente Lokale Interpolation Beispiel (Lokale Interpolationsoperatoren) (a) Bei Lagrange-Elementen P k pkq und Q k pkq wählt man z.b. L K CpKq oder einen Sobolev-Raum, der stetig nach CpKq einbettet. Es seien a i, i 1,..., s die Lagrange-Knoten des Elements, dann gilt sÿ I K pvq σ i pvq p i i 1 sÿ vpa i q p i P P P k pkq bzw. Q k pkq. i 1 Das heißt, pi K pvqqpa j q vpa j q, also interpoliert I K v die Punktwerte von v an den Lagrange-Knoten. Analog kann man beim Crouzeix-Raviart-Element L K CpKq wählen. a ş 1 F i a Hat man als Freiheitsgrade die Mittelwerte F v ds gewählt, so bietet i sich L K W 1,1 pintpkqq an. Der Spuroperator (siehe Skript Sobolevräume) bildet L K nach L 1 pbkq stetig ab. Es ist dann I K pvq ř d i 0 σ ipvq p i ř d 1 ş i 0 F i F v ds p i i P P P 1 pkq. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

87 Einige gebräuchliche finite Elemente Lokale Interpolation Beispiel (Lokale Interpolationsoperatoren, Fortsetzung) (b) Beim kubischen Hermite-Element wählt man z.b. L K C 1 pkq oder einen Sobolev-Raum, der stetig nach C 1 pkq einbettet. Dann ist I K pvq vpa 1 q p 1 ` vpa 2 q p 2 ` vpa 3 q p 3 ` D 1 vpa 1 q p 4 ` D 2 vpa 1 q p 5 ` D 1 vpa 2 q p 6 ` D 2 vpa 2 q p 7 ` D 1 vpa 3 q p 8 ` D 2 vpa 3 q p 9 ` vpa 4 q p 10 P P P 3 pkq (bei Darstellung der Gradienten in den Eckpunkten a 1, a 2, a 3 durch die partiellen Ableitungen) bzw. I K pvq vpa 1 q p 1 ` vpa 2 q p 2 ` vpa 3 q p 3 ` vpa 1 qpa 2 a 1 q p 4 ` vpa 1 qpa 3 a 1 q p 5 ` vpa 2 qpa 3 a 2 q p 6 ` vpa 2 qpa 3 a 2 q p 7 ` vpa 3 qpa 1 a 3 q p 8 ` vpa 3 qpa 1 a 3 q p 9 ` vpa 4 q p 10 P P P 3 pkq (bei Darstellung durch Richtungsableitungen in Kantenrichtungen). Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

88 Einige gebräuchliche finite Elemente Referenzelement Gleichartige FE werden i.d.r. aus einem sogenannten Referenzelement p p K, p P, p Σq generiert, das auf einer Referenzzelle p K definiert ist (z.b. das Einheitssimplex oder Einheitsquadrat). Die daraus erzeugten FE bzw. deren Gebiete heißen dann auch Gebietselemente. Vorteile: einfache Berechnung; elegante Interpolationstheorie (und damit Konvergenzresultate), siehe [Ciarlet, 1978, S. 88]. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

89 Einige gebräuchliche finite Elemente Affin äquivalente FE Lemma (Konstruktion FE unter affinen Transformationen) Es sei pk, p P p, Σq p ein finites Element und T K : R d Q px ÞÑ B K px ` b K P R d eine affine Abbildung mit regulärer Matrix B K. Sei K T K p p Kq, also T K : p K Ñ K (11.4a) P tp : K Ñ R : p ploomoon T 1 K, p P P p u (11.4b) Push-Forward von p Σ `σ i : P Ñ R : σ i ppq pσ i pploomoon T K q, pσ i P Σ, p p P P. (11.4c) Pull-Back von p Dann ist pk, P, Σq wieder ein finites Element mit dimpp q dimp p P q und lokalen Formfunktionen tp i p i T 1 K : p i ist eine Formfunktion für p p K, p P, p Σqu. (11.4d) Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

90 Einige gebräuchliche finite Elemente Affin äquivalente FE Bemerkung (zur Konstruktion affin äquivalenter FE) (a) Die inverse Abbildung T 1 K pxq B 1 K px b Kq ist wieder affin. (b) Ist P p ein Polynomraum, dann auch P (vom gleichen Grad). (c) Oft kann L K L xk T 1 K genauer: L K tpv T 1 K : pv P L x K u (Push-Forward von L xk ) als lokaler Interpolationsbereich auf dem Gebietselement pk, P, Σq verwendet werden. a a Das ist bei den bisherigen Beispielen immer der Fall, z.b. L xk Cp p Kq impliziert L K CpKq und auch L xk W 1,1 pintp p Kqq impliziert L K W 1,1 pintpkqq. Abweichungen treten z.b. bei Raviart-Thomas- und Nédélec-Elementen auf, siehe [Ern & Guermond, 2009, 52 56] und [Schoeberl, 2009, Lemma 14]. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

91 Einige gebräuchliche finite Elemente Affin äquivalente FE Definition (Affine Äquivalenz und affine Familie) (a) Finite Elemente p p K, p P, p Σq und pk, P, Σq wie in Lemma heißen zueinander affin äquivalent. a (b) Eine Menge finiter Elemente heißt affine Familie, wenn jedes Element affin äquivalent ist zu einem gemeinsamen Referenzelement p p K, p P, p Σq. b a Nach der Transformation sind also Elementgebiet, Ansatzraum und dessen Darstellung gleich. Affine Äquivalenz ist eine Äquivalenzrelation. Dieser Begriff wird sehr hilfreich sein, um später Abschätzungen für den Interpolationsfehler auf das Referenzelement zurückführen zu können. b Man kann jedes Element der Familie zum Referenzelement erklären oder aber eines, das gar nicht Mitglied der Familie ist. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

92 Einige gebräuchliche finite Elemente Affin äquivalente FE Beispiel (Affine Äquivalenz) (a) Jedes Simplex K Ă R d mit intpkq H lässt sich affin in das Einheitssimplex transformieren. Daher sind je zwei Lagrange-Elemente P k (bei geeigneter Nummerierung der Freiheitsgrade) stets affin äquivalent Die Umlaufrichtung der Nummerierung kann geändert werden, det B K ist dann negativ. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

93 Einige gebräuchliche finite Elemente Affin äquivalente FE Beispiel (Affine Äquivalenz (Forts.)) (b) Unterscheiden sich Lagrange-Elemente pk, P, Σ 1 q und pk, P, Σ 2 q in den Punkten für die Funktionsauswertungen, so muss keine affine Äquivalenz vorliegen Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

94 Einige gebräuchliche finite Elemente Affin äquivalente FE Beispiel (Affine Äquivalenz (Forts.)) (c) Wählt man beim kubischen Hermite-Element als Freiheitsgrade die Richtungsableitungen in Kantenrichtungen, so sind je zwei solche Elemente (bei geeigneter Nummerierung der Freiheitsgrade) auf verschiedenen Dreiecken affin äquivalent. Wählt man jedoch die partiellen Ableitungen, so wird i.allg. keine affine Äquivalenz vorliegen. fi» Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

95 Einige gebräuchliche finite Elemente Affin äquivalente FE Beispiel (Affine Äquivalenz (Forts.)) (d) Jedes Parallelepiped K Ă R d mit intpkq H lässt sich affin in den Einheitswürfel r0, 1s ˆ ˆ r0, 1s Ă R d transformieren. Daher sind zwei Lagrange-Elemente Q k (bei geeigneter Nummerierung der Freiheitsgrade) stets affin äquivalent. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

96 Einige gebräuchliche finite Elemente Affine Interpolationsäquivalenz Definition (Affine Interpolationsäquivalenz ) Verzichtet man in Definition auf die Bedingung (11.4c) für Σ und fordert stattdessen nur I K pvq T K I xk pv T K q für alle v P L K, so nennt man p p K, p P, p Σq und pk, P, Σq zueinander affin interpolationsäquivalent. Das bedeutet, dass folgendes Diagramm kommutiert: L K I K đ P T K ÝÝÝÑ T K ÝÝÝÑ LxK đixk p P Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

97 Einige gebräuchliche finite Elemente Affine Interpolationsäquivalenz Nach der Transformation sind also Elementgebiet und Ansatzraum gleich, jedoch nicht notwendig die Darstellungen. Allerdings lässt sich jeder Freiheitsgrad in Σ nach Transformation auf p K eindeutig als Linearkombination der Freiheitsgrade in p Σ darstellen und umgekehrt. Affine Interpolationsäquivalenz ist eine Äquivalenzrelation. Lemma (Zusammenhang der Begriffe) Affine Äquivalenz impliziert affine Interpolationsäquivalenz. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

98 Einige gebräuchliche finite Elemente Affine Interpolationsäquivalenz Beispiel (Beispiele für affine Interpolationsäquivalenz) (a) Je zwei Lagrange-Elemente auf Simplizes K i mit int K i H in R d mit demselben Polynomraum P k pk i q sind affin interpolationsäquivalent, unabhängig von der Wahl (und Nummerierung) der Freiheitsgrade (Interpolationspunkte). a (b) Je zwei kubische Hermite-Elemente auf Dreiecken (Tetraedern) sind affin interpolationsäquivalent, unabhängig von der Wahl der Freiheitsgrade (insbesondere von den Ableitungsrichtungen). a Achtung: Das bedeutet jedoch nicht, dass man die Interpolationspunkte beliebig legen kann, um ein Lagrange-FE zu erhalten. Gegenbeispiel in Bemerkung Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

100 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume In diesem Abschnitt: Konstruktion von FE-Räumen V h Ă V aus finiten Elementen. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

101 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume Gitter Definition 12.1 ((Zulässiges) Gitter) Es sei Ω Ă R d ein beschränktes Gebiet. (a) Ein Gitter auf Ω ist eine endliche Menge kompakter Polyeder T tk 1,..., K Ncells u mit intpk i q H, die eine Zerlegung von Ω bilden: Ω Nď cells i 1 K i, intpk i q X intpk j q H für i j. Die K i heißen Zellen oder Elemente des Gitters. Die Erstellung eines Gitters heißt Triangulierung oder Vernetzung von Ω. a a Hierfür gibt es Software, sogenannte Gittergenatoren. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

102 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume Gitter Definition 12.1 (Fortsetzung) (b) Ein Gitter heißt zulässig oder (geometrisch) konform, wenn für je zwei Zellen K i und K j, i j gilt: $ & H oder ein gemeinsamer Randpunkt in 1D K i X K j H oder eine gemeinsame Ecke oder eine gem. Kante in 2D % wie oben oder eine gemeinsame Seitenfläche in 3D. Bei zulässigen Gittern sind also hängende Knoten (2D/3D) und hängende Kanten (3D) ausgeschlossen. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

103 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume Gitter Abbildung 15: Situationen, die zu geometrisch konformen bzw. nicht konformen Gittern führen. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

104 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume Gitter Wir verwenden 26 folgende Bezeichnungen für die Bestandteile 2- und 3-dimensionaler Gitter: Bezeichnung Anzahl der... Dimension d... N cells Zellen K d 1,2,3 N faces Seitenflächen 2 3 Nfaces B äußeren Seitenflächen 2 3 N edges Kanten 1 2,3 Nedges B äußeren Kanten 1 2,3 N vertices Knoten 0 1,2,3 Nvertices B Randknoten 0 1,2,3 26 vor allem in den Übungsaufgaben Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

105 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume Gitter Bemerkung 12.2 (Polynomialer Rand) Wegen unserer Annahme, dass die Gitterzellen K i Polyeder sind, können wir zunächst nur solche Gebiete Ω komplett überdecken, die polygonal berandet (d 2) sind bzw. deren Rand aus polyedrischen Flächen (d 3) besteht. Wir bezeichnen dies als Gebiete mit P-Rand. Ω kann natürlich immer durch eine Approximation Ω h mit P-Rand ersetzt werden, was aber einen zusätzlichen Fehler erzeugt. Das Ausschöpfen von Ω kann durch Verwendung gekrümmter Zellen K i und sogenannter isoparametrischer Elemente verbessert werden. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

106 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume Globaler Interpolationsoperator Definition 12.3 (Globaler Interpolationsoperator Approximationsraum) Es sei T ein (nicht notwendig konformes) Gitter auf Ω. Weiter seien pk, P K, Σ K, L K q finite Elemente für alle K P T und I K : L K Ñ P K die zugehörigen lokalen Interpolationsoperatoren (Definition 11.10). (a) Die Menge der FE tpk, P K, Σ K, L K qu KPT (b) Die Vektorräume heißt ein FE-Komplex. L T : ź L K, P T : ź P K (kartesisches Produkt) KPT KPT heißen der globale Interpolationsbereich bzw. der Approximationsraum des FE-Komplexes. (c) Die Abbildung L T Q v pv K q KPT ÞÑ I T pvq : `I K pv K q KPT P P T heißt der globale Interpolationsoperator. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

107 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume Globaler Interpolationsoperator Bemerkung 12.4 (zum Verständnis von L T ) (a) Wir identifizieren ein Element v pv K q KPT von L T mit einer Äquivalenzklasse fast überall gleicher Funktionen v auf Ω: v K : v K in intpkq für alle K P T, v beliebig auf den Facetten (Nullmenge!). In diesem Sinne kann L T als Vektorraum von (Äquivalenzklassen von) Funktionen aufgefasst werden, analog für P T. (b) I T ist surjektiv, da I K wegen L K Ą P K surjektiv auf P K ist, vgl. Lemma Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

108 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume Globaler Interpolationsoperator Unstetige P 0-Elemente Unstetige P 1-Elemente Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

109 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume Globaler Interpolationsoperator Definition 12.5 (Sprung über innere Facetten) Es sei T ein geometrisch konformes Gitter und F K 1 X K 2 eine innere Facette mit äußeren Normaleneinheitsvektoren n K1 und n K2. a Für v P P T bezeichnet dann v F `v K1 n K1 ` v K2 n K2 F den (vektorwertigen) Sprung von v über die innere Facette F. a Beachte: n K1 n K2. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

110 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume Globaler Interpolationsoperator Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

111 15 Oliver A-priori-Fehlerabschätzungen Ernst (Numerische Mathematik) Numerik (Konformer partieller Differentialgleichungen Fall) Sommersemester / 352 Inhalt 8 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben 9 Allgemeine Galerkin-Verfahren und das Céa-Lemma 10 Ein erstes Finite-Elemente-Verfahren 11 Einige gebräuchliche finite Elemente 12 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume 12.1 H 1 pωq-konforme Approximation 12.2 Finite-Element-Räume 13 Aspekte der Implementierung 14 Interpolationsfehlerabschätzungen

112 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume H 1 pωq-konforme Approximation Definition 12.6 (Konforme Approximation) Gegeben sei eine allgemeine Variationsaufgabe (9.1) im Hilbertraum V. Ein Vektorraum V h heißt V -konform, wenn V h Ă V gilt. Die diskrete Aufgabe (9.2) heißt dann eine konforme Approximation von (9.1). Im Allgemeinen liegen die Approximationsräume P T nicht in H 1 pωq, sind also zur konformen Approximation der Aufgaben aus 8 ungeeignet. Durch zusätzliche Bedingungen erhalten wir aber einen H 1 pωq-konformen Unterraum von P T : Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

113 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume H 1 pωq-konforme Approximation Satz 12.7 (H 1 pωq-konformität) Es sei tpk, P K, Σ K qu KPT ein FE-Komplex auf einem geometrisch konformen Gitter a T und P T der zugehörige Approximationsraum. Es gelte P K Ă C 1 pkq für alle K P T. b Dann gilt für v P P T bzw. die dadurch repräsentierte Äquivalenzklasse v von Funktionen: v P H 1 pωq ô v F 0 für alle inneren Facetten F. Die schwachen Ableitungen (der Ordnung 1) von v setzen sich zellweise aus den klassischen Ableitungen zusammen. a Ohne Konformität des Gitters würde ein Verschwinden aller Sprünge über innere Facetten noch nicht die Stetigkeit implizieren. Im Extremfall braucht ja das Gitter überhaupt keine inneren Facetten zu haben! b Ansatzräume aus Polynomen erfüllen das natürlich immer. Es reicht übrigens auch P K Ă H 1 pint Kq. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

114 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume H 1 pωq-konforme Approximation Bemerkung 12.8 (zu den Funktionenräumen) Für den Beweis der Richtung ñ reicht die Annahme v P W 1,1 pωq aus. Aus dem Beweis der Richtung ð folgt sogar v P W 1,8 pωq. a a Dies ist nicht überraschend, denn W 1,1 pωq X P T W 1,8 pωq X P T. Beachte: Die Voraussetzung v F 0 über alle inneren Facetten bewirkt gerade v P CpΩq. Es gilt auch allgemeiner für v P P T mit P K Ă C k pkq: 27 v P H k pωq ô v P C k 1 pωq. Wir unterscheiden im Folgenden nicht mehr zwischen v und v und halten fest: Der Unterraum V h tv P P T : v F 0 für alle inneren Facetten F u (12.1) des Approximationsraumes P T ist auch ein Unterraum von H 1 pωq. 27 vgl. [Braess, 1997, S ] Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

115 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume Elimination der Sprünge Frage: Durch welche Bedingungen kann man v F 0 praktisch realisieren? Es sei dazu Σ K1 X Σ K2 die Menge der gemeinsamen (geometrisch zusammenfallenden) Freiheitsgrade zweier Elemente Dies ist natürlich unpräzise, da die Freiheitsgrade auf verschiedenen Elementen zunächst mal verschiedenen Räumen angehören, nämlich PK 1 1 und PK 1 2. Korrektes Vorgehen später durch Äquivalenzrelationen. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

116 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume Elimination der Sprünge Korollar 12.9 (Identifikation von Lagrange-Freiheitsgraden) Es sei tpk, P K, Σ K qu KPT eine affine Familie von Lagrange-Elementen P k oder Q k mit k ě 1 auf einem geometrisch konformen Gitter T und P T der zugehörige Approximationsraum. Dann ist V h aus (12.1) gleich Merksatz V h tv P P T : K 1 X K 2 F (eine innere Facette) ñ σpv K1 q σpv K2 q für alle σ P Σ K1 X Σ K2 u (12.2a) tv P P T : K 1 X K 2 H ñ σpv K1 q σpv K2 q für alle σ P Σ K1 X Σ K2 u. (12.2b) konformes Gitter ` affine Familie von P k - oder Q k -Elementen ` Identifikation von zusammenfallenden Freiheitsgraden ñ V h Ă H 1 pωq. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

117 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume Elimination der Sprünge Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

118 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume C 0 - und C 1 -Elemente Bemerkung (C 0 - und C 1 -Elemente) (a) Man sagt auch: P k und Q k sind C 0 -Elemente, weil man aus P T durch Identifikation zusammenfallender Freiheitsgrade einen Raum V h Ă C 0 pωq bekommt. a Sie sind also zur Konstruktion H 1 pωq-konformer Räume gut geeignet. (b) Zur Konstruktion H 2 pωq-konformer Räume (zur Lösung elliptischer PDEs 4. Ordnung, z.b. Plattengleichung) sind P k - und Q k -Elemente dagegen ungeeignet, da man aus P T nicht auf einfache Weise einen Raum V h Ă C 1 pωq erhält. a und deshalb V h Ă H 1 pωq Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

119 15 Oliver A-priori-Fehlerabschätzungen Ernst (Numerische Mathematik) Numerik (Konformer partieller Differentialgleichungen Fall) Sommersemester / 352 Inhalt 8 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben 9 Allgemeine Galerkin-Verfahren und das Céa-Lemma 10 Ein erstes Finite-Elemente-Verfahren 11 Einige gebräuchliche finite Elemente 12 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume 12.1 H 1 pωq-konforme Approximation 12.2 Finite-Element-Räume 13 Aspekte der Implementierung 14 Interpolationsfehlerabschätzungen

120 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume FE-Raum, globale Freiheitsgrade und Formfunktionen Wir wollen die in Korollar 12.9 (Gleichung (12.2)) verwendete Konstruktion formalisieren: Definition Es sei tpk, P K, Σ K qu KPT oder tpk, P K, Σ K, L K qu KPT ein FE-Komplex auf einem (nicht notwendig konformen) Gitter T und P T ś KPT P K der zugehörige Approximationsraum. Es sei Σ Ť KPT Σ K die Vereinigung aller Freiheitsgrade. (a) Es sei v P L T oder v P P T und σ P Σ, d.h. σ stimmt mit genau einem σ K,j auf genau einer Zelle K P T überein. Wir definieren σpvq : σ K,j pv K q. Es sei nun pσ 1,..., Σ M q eine Partition a der Vereinigung aller Freiheitsgrade Σ, also eine Zerlegung in Äquivalenzklassen. a d.h. eine Zerlegung in nichtleere, disjunkte Teilmengen Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

121 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume FE-Raum, globale Freiheitsgrade und Formfunktionen Definition (Fortsetzung) (b) Der Unterraum V h tv P P T : σ, σ 1 P Σ i für ein i P t1,..., Mu ñ σpvq σ 1 pvqu von P T heißt ein Finite-Element-Raum (FE-Raum) oder globaler Ansatzraum. (c) Die Elemente eines Repräsentantensystems pσ 1,..., σ M q von pσ 1,..., Σ M q heißen die globalen Freiheitsgrade oder globalen Knotenvariablen von V h. a (d) Die Elemente ϕ 1,..., ϕ M von V h mit σ i pϕ j q δ ij heißen die globalen Formfunktionen oder die globale nodale Basis von V h. a Jede Äquivalenzklasse bekommt also genau einen der globalen Freiheitsgrade ab. Siehe auch [Ern & Guermond, 2004, S. 48] für die lineare Unabhängigkeit der globalen Freiheitsgrade. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

122 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume FE-Raum, globale Freiheitsgrade und Formfunktionen Aus einem Approximationsraum entsteht also durch Identifikation von Freiheitsgraden (Bildung von Äquivalenzklassen) ein FE-Raum. Man kann zeigen: Die globale nodale Basis von V h ist die duale Basis zu den globalen Freiheitsgraden, und es gilt dimpv h q M. Oft kann man eine globale Beschreibung des entstehenden FE-Raumes angeben, siehe z.b. (12.3) und (12.4). Wir sehen Elemente von V h wieder als (Äquivalenzklassen von) Funktionen auf Ω an. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

123 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume FE-Raum, globale Freiheitsgrade und Formfunktionen Beispiel (Typische FE-Räume) (a) Es sei tpk, P K, Σ K qu KPT eine affine Familie von Lagrange-Elementen P k oder Q k mit k ě 1 auf einem geometrisch konformen Gitter T. Es seien ta 1,..., a M u ď ta K,1,..., a K,s u KPT die verschiedenen Lagrange-Punkte. Wir wählen die Funktionale σ i pvq vpa i q, i 1,..., M. als die globalen Freiheitsgrade. So erhalten wir gerade den FE-Raum V h wie in (12.2). Man nennt V h den Standard-FE-Raum aus stückweise P k - bzw. Q k - und global stetigen Elementen (kurz: Standard-P k -Raum Standard- Q k -Raum) und schreibt auch V h tv P CpΩq : v K P Ploomoon k pkqu. (12.3) bzw. Q k pkq Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

124 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume FE-Raum, globale Freiheitsgrade und Formfunktionen Beispiel (Typische FE-Räume, Fortsetzung) (b) Es sei tpk, P K, Σ K qu KPT eine affine Familie von kubischen Hermite-Elementen (mit Richtungsableitungen in Kantenrichtungen) auf einem konformen Gitter T. Auch hier erreicht man durch geeignete Identifikation von Freiheitsgraden die Eigenschaft V h Ă CpΩq und damit V h Ă H 1 pωq für den erzeugten FE-Raum. (c) Es sei tpk, P K, Σ K qu KPT eine affine Familie von Crouzeix-Raviart-Elementen auf einem konformen Gitter T. Es seien ta 1,..., a M u die verschiedenen Lagrange-Punkte und σ i pvq vpa i q die globalen Freiheitsgrade. Wir erhalten den FE-Raum V h tv P L 8 pωq : v K P P 1 pkq : v stetig an allen Facettenmittelpunktenu, (12.4) der also nicht H 1 pωq-konform ist (siehe Abbildung 22). Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

125 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume FE-Raum, globale Freiheitsgrade und Formfunktionen In den Beispielen enthielt jede Äquivalenzklasse Σ 1,..., Σ M der Vereinigungsmenge der Freiheitsgrade Σ von jedem FE des Komplexes tpk, P K, Σ K qu KPT maximal einen Freiheitsgrad, also: σ K,j P Σ i ñ σ K,l R Σ i für alle σ K,l P Σ K ztσ K,j u. (MAX1) Mit anderen Worten, die Identifikation von Freiheitsgraden findet nur über Elementgrenzen hinweg statt. Dies wird jetzt eine Standard-Voraussetzung für die Konstruktion von FE-Räumen. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

126 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume FE-Raum, globale Freiheitsgrade und Formfunktionen Lemma (Lokale und globale Formfunktionen) Es sei V h ein FE-Raum wie in Definition 12.11, sodass (MAX1) erfüllt ist. Dann gilt: (a) Jede globale Formfunktion ϕ i stimmt auf jeder Zelle K entweder mit einer der lokalen Formfunktionen p K,j P P K des Elements pk, P K, Σ K q überein oder ist dort null. Insbesondere ist ϕ i K 0 genau dann, wenn Σ K X Σ i H. (b) Umgekehrt trägt jede lokale Formfunktion p K,j auf K zu genau einer globalen Formfunktion ϕ i bei, d.h. Zu p K,j existiert ein eindeutiges i P t1,..., Mu, sodass ϕ i K p K,j auf K gilt. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

127 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume FE-Raum, globale Freiheitsgrade und Formfunktionen Der globale Interpolationsoperator (Definition 12.3) L T Q v pv K q KPT ÞÑ I T pvq : `I K pv K q KPT P P T bildet in den Approximationsraum P T führen wir den Unterraum ab, jedoch nicht in den FE-Raum V h. Dazu L T tv P L T und σ, σ 1 P Σ i für ein i P t1,..., Mu ñ σpvq σ 1 pvqu (12.5) des globalen Interpolationsbereichs L T und darauf die V h -Interpolation ein: Allgemeiner könnten wir I Vh auf ganz L T definieren, müssten dann aber Mittelwertbildung betreiben, also etwa Mÿ ÿ 1 I Vh v Σ i 1 i σ K,jpv K q ϕ i P V h. σ K,j PΣ i Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

128 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume FE-Raum, globale Freiheitsgrade und Formfunktionen Definition (V h -Interpolation) Es sei V h ein FE-Raum wie in Definition mit den globalen Freiheitsgraden pσ 1,..., σ M q. Dann heißt die V h -Interpolation. L T Q v ÞÑ I Vh pvq Mÿ σ i pvq ϕ i P V h (12.6) i 1 Lemma (Eigenschaften der V h -Interpolation) Es sei V h ein FE-Raum wie in 12.11, sodass (MAX1) erfüllt ist. Für Funktionen v P L T gilt: IVh pvq K I Kpv K q. (12.7) Das heißt, Interpolation und Einschränkung auf K kommutieren. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

129 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume FE-Raum, globale Freiheitsgrade und Formfunktionen Abbildung 16: Einige globale Formfunktionen für einen FE-Raum aus unstetigen P 0- und global stetigen P 1-Elementen Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

130 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume FE-Raum, globale Freiheitsgrade und Formfunktionen Abbildung 17: Einige globale Formfunktionen für einen FE-Raum aus global stetigen P 2-Elementen Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

131 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume FE-Raum, globale Freiheitsgrade und Formfunktionen Abbildung 18: Einige globale Formfunktionen für einen FE-Raum aus global stetigen P 2-Elementen Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

132 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume FE-Raum, globale Freiheitsgrade und Formfunktionen Abbildung 19: Einige globale Formfunktionen für einen FE-Raum aus global stetigen kubischen Hermite-Elementen Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

135 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume FE-Raum, globale Freiheitsgrade und Formfunktionen Abbildung 22: Einige globale Formfunktionen für einen FE-Raum aus (linearen) Crouzeix-Raviart-Elementen Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

137 Aspekte der Implementierung Lösungsschritte Die FE-Lösung einer (linearen) PDE gliedert sich in folgende Unterpunkte: (1) Modellierung der Geometrie (z.b. mit CAD) und Erzeugung eines Gitters (mit einem Gittergenerator) (2) Entscheidung für einen FE-Typ (3) Entscheidung für die Äquivalenzrelation unter den Freiheitsgraden (4) Organisation der globalen Freiheitsgrade (5) Assemblierung der Steifigkeitsmatrix und des Lastvektors (6) Einarbeiten von Dirichlet-Randbedingungen und evtl. weiterer Bedingungen (z.b. aus der Behandlung von hängenden Freiheitsgraden) 30 (7) Lösen des linearen Gleichungssystems (8) Abschätzung des Fehlers (9) ggf. Gitterverfeinerung und zurück zu (4) (10) Postprocessing und Darstellung der Lösung 30 Dieser Schritt kann auch durch spezielle Vorkehrungen im iterativen Gleichungssystemlöser realisiert werden. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

138 Aspekte der Implementierung Lösungsschritte Verschiedene FE-Bibliotheken setzen diese Schritte sehr unterschiedlich um. Manchmal sind z.b. (2) und (3) untrennbar verbunden, wenn etwa bei Auswahl von Lagrange-Elementen P k oder Q k immer die Standard-P k -Räume bzw. Standard-Q k -Räume verwendet werden, also H 1 -konforme (stetige) globale Basisfunktionen, vgl. Beispiel Bei nichtlinearen Aufgaben (PDEs) sind die Schritte (5) (7) noch in eine Newton-Schleife eingeschlossen. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

139 Aspekte der Implementierung Datenstrukturen Abbildung 23: typische Datenstrukturen in FE-Bibliotheken Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

140 Aspekte der Implementierung Annahmen Es liege aus Schritt (1) (4) bereits ein (nicht notwendig konformes) Gitter T und (für die Vereinfachung der folgenden Beschreibung) eine affine Familie tpk, P K, Σ K qu KPT von Elementen auf Simplex-Zellen vor (z.b. P k - Elemente). Es sei V h ein FE-Raum wie in unter Beachtung von (MAX1). Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

141 Inhalt 8 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben 9 Allgemeine Galerkin-Verfahren und das Céa-Lemma 10 Ein erstes Finite-Elemente-Verfahren 11 Einige gebräuchliche finite Elemente 12 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume 13 Aspekte der Implementierung 13.1 Assemblierung der schwachen Form 13.2 Behandlung von Dirichlet-Randbedingungen 13.3 Speichertechnik 14 Interpolationsfehlerabschätzungen Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

142 Aspekte der Implementierung Assemblierung der schwachen Form Wir betrachten nun Punkt (5) genauer. Im Fall der Poisson-Gleichung lautet die Steifigkeitsmatrix (vgl. 10) ż ras ij arϕ j, ϕ i s ϕ j ϕ i dx ÿ ż ϕ j ϕ i dx, Ω KPT wobei tϕ i u M i 1 die globalen Formfunktionen (Basisfunktionen von V h) sind. Nach Lemma stimmt ϕ i auf jeder Zelle K mit genau einer der lokalen Formfunktion p K,1,..., p K,s überein oder ist dort null. Umgekehrt trägt jede lokale Formfunktion p K,1,..., p K,s auf K zu genau einer globalen Formfunktion ϕ i bei. Zu welcher, das ist in der sogenannten Connectivity-Matrix C K der Zelle K festgehalten, die in Unterpunkt (4) aufgestellt wird: K Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

143 Aspekte der Implementierung Connectivity-Matrix Es gilt C K P t0, 1u Mˆs und C K pn global_dof, n dof q 1 ô $ der lokale Freiheitsgrad/die lokale Formfkt. & mit der Nummer n dof auf der Zelle K ist der globale Freiheitsgrad/die globale Formfkt. % der Nummer n global_dof ô ϕ nglobal_dof K p ndof. Jede Matrix C K hat insgesamt s Einsen und wegen (MAX1) in jeder Zeile höchstens eine. Die restlichen Einträge sind null. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

144 Aspekte der Implementierung Connectivity-Matrix Beachte: C K realisiert die Zuordnung der Freiheitsgrade lokal ÞÑ global, CK J dagegen global ÞÑ lokal für die Zelle K. Es gilt (in Matlab-Notation) J σ K,i Clooomooon K p:, iq σ, i 1,..., s, i-te Spalte von C K wobei σ P rv 1 h sm der Vektor der globalen Freiheitsgrade ist, und außerdem C J KC K I P R sˆs C K C J K diagpdq P R MˆM, mit d nglobal_dof # 1, falls n global_dof auf der Zelle K vertreten ist 0 sonst. Die Wahl anderer Einträge als eins in C K ermöglicht eine Skalierung. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

145 Aspekte der Implementierung Elementmatrizen und -vektoren Bei der Assemblierung berechnet man die lokale Steifigkeitsmatrix oder Elementsteifigkeitsmatrix A K auf jeder Zelle K ż A K pa k,l q s k,l 1 p l p k dx (13.1) und addiert das Ergebnis zur globalen Steifigkeitsmatrix: 31 A ÿ C K A K CK. J (13.2) KPT Analog gilt für den lokalen Lastvektor (Elementlastvektor) F K ż F K pf k q s k 1 f p k dx, (13.3) den man zum globalen Lastvektor addiert: F ÿ KPT K K C K F K. (13.4) 31 Dies kann in Matlab elegant mit dem sparse-befehl realisiert werden. Es gilt weiterhin: diagpaq ř KPT C K diagpa K q C J K. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

146 Aspekte der Implementierung Alternative Form der Connectivity-Matrix Bemerkung 13.1 (Alternative Form der Connectivity-Matrix) Eine alternative Form der Organisation der Freiheitsgrade verwendet nur eine einzige Connectivity-Matrix C p P N sˆn cells für das gesamte Gitter: $ & der lokale Freiheitsgrad/die lokale Formfkt. pcpn dof, n cell q i ô mit der Nummer n dof auf der Zelle n cell ist der % globale Freiheitsgrad/die globale Formfkt. der Nummer i ô ϕ i Kncell p Kncell,n dof. Die Matrix p C ist vollbesetzt. Die elementweisen Beiträge auf der Zelle K K ncell werden in diesem Fall wie folgt zur globalen Steifigkeitsmatrix bzw. zum globalen Lastvektor addiert: A pcpk,ncell q, p Cpl,n cell q : A p Cpk,ncell q, p Cpl,n cell q ` a k,l, k, l 1,..., s, F pcpk,ncell q : F p Cpk,ncell q ` f k, k 1,..., s. (13.5) Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

147 Aspekte der Implementierung Berechnung der Elementbeiträge Frage: Wie berechnet man die elementweisen Beiträge (13.1) und (13.3)? Es sei T K : K p Q px ÞÑ BK px ` b K P K wieder eine bijektive affine Abbildung. Aufgrund der Substitutionsregel gilt ż ż ż gpxq dx gpt K ppxqq det TKppxq 1 dpx det B K gpt K ppxqq dpx (13.6) K für integrierbare Funktionen g. xk xk Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

148 Aspekte der Implementierung Berechnung der Elementbeiträge Die Anwendung auf (13.1) ergibt 32 ż p l pxq p k pxq dx Kż pp l T 1 K qpxq pp k T 1 K qpxq dx Konstruktion der p k K ż B J K p p l pt 1 K pxqq B J K p p k pt 1 K pxqq dx Kettenregel K ż det B K B J p K p l ppxq B J p K p k ppxq dpx Substitutionsregel. xk Der besseren Unterscheidung wegen bezeichnen wir den Gradienten einer Funktion auf der Referenzzelle p K mit p. 32 Beachte: Die Ableitung (Jacobimatrix) ist Jpp k T 1 K qpxq Jpxp kqpt 1 K pxqq B 1 K. Der Gradient ist die Transposition davon. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

149 Aspekte der Implementierung Affine Transformation vom Referenzelement Die Transformationsmatrix B K vom Einheitssimplex p K wird für jede (Simplex-) Zelle K wie folgt bestimmt: Ist K convta 0, a 1,..., a d u Ă R d, a i P R d dann gilt B K a 1 a 0, a 2 a 0,..., a d a 0 P R dˆd, b K a 0 P R d. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

150 Aspekte der Implementierung Numerische Integration Aufgrund der (häufig anzutreffenden) Polynomeigenschaft von p k kann das obige Integral exakt berechnet werden. Bei Operatoren mit nicht-konstanten Koeffizienten, etwa ż aru, vs vpxq J Apxq upxq dx, ( ) Ω ist das aber i.d.r. nicht möglich. Deshalb setzt man eine Quadraturformel ż xk pgppxq dpx «qÿ m 1 ω xk,m pgpξ xk,m q auf p K ein mit Gewichten ω xk,m und Stützstellen ξ xk,m. Die Ordnung oder Exaktheitsgrad r P N der Formel ist der maximale Grad, sodass für alle Polynome pg P P r p p Kq Gleichheit gilt (analog für Randintegrale). Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

151 Aspekte der Implementierung Berechnung der Elementbeiträge Die Anwendung auf ( ) ergibt: ż p l pxq J Apxq p k pxq dx K ż det B K «det B K xk qÿ m 1 B J K p p l ppxq J ApTK ppxqq B J p K p k ppxq dpx ω xk,m B J p K p l pξ xk,m q J ApTK pξ xk,m qq B J p K p k pξ xk,m q. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

152 Aspekte der Implementierung Terme der schwachen Form und ihre numerische Approximation schwache Form lokale Beiträge der Zelle K ż qÿ ϕ J j Apxq ϕ i dx det B K ω xk,m B J p K p l pξ xk,m q J ApTK pξ xk,m qq B J p K p k pξ xk,m q ż ż ż Ω Ω Ω Ω ϕ j βpxq ϕ i dx det B K ϕ j c 0 pxq ϕ i dx det B K fpxq ϕ i dx det B K m 1 qÿ m 1 ω xk,m B J p K p l pξ xk,m q βpt K pξ xk,m qq p k pξ xk,m q qÿ ω xk,m p l pξ xk,m q c 0 pt K pξ xk,m qq p k pξ xk,m q m 1 qÿ ω xk,m fpt K pξ xk,m qq p k pξ xk,m q m 1 Beachte: Es gilt det B K K ż ż K p, denn 1 dx 1 det B K dpx. (13.7) K xk Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

153 Aspekte der Implementierung Vorausberechnung Folgende Daten können tabelliert (vorausberechnet) werden: Transformationsmatrix B K und Vektor b K für jede Zelle sowie B J K und evtl. det B K (gehören zum Gitter) Speicheraufwand: N cells ˆ p2d ` 1q Vektoren des R d P Rdˆd die Funktionswerte p k pξ xk,m q und p p k pξ xk,m q der lokalen Formfunktionen auf der Referenzzelle p K, k 1,..., s und m 1,..., q (gehört zum FE bzw. zur Q-Formel) Speicheraufwand: q ˆ s Skalare und q ˆ s Vektoren des R d Beachte: Es bietet sich nicht an, B J p K p k pξ xk,m q zu speichern, denn dies sind N cells ˆ q ˆ s Vektoren des R d! (Ersparnisse ergeben sich hier nur, wenn viele Zellen nur Translate voneinander sind.) Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

154 Aspekte der Implementierung Quadraturformeln für Dreiecke r q Koordinaten Anzahl Gewichte 1 1 p 1 3, 1 3, 1 3 q 1 p K 2 3 p 1 2, 1 2, 0q p K p 1 3, 1 3, 1 3 q p K 3 7 p 1 2, 1 2, 0q p K p1, 0, 0q p K Tabelle 1: Quadraturformeln auf Dreiecken mit baryzentrischen Koordinaten. Bei Anzahlen ą 1 ergeben sich die Koordinaten der weiteren Quadraturpunkte durch zyklische Vertauschung. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

155 Aspekte der Implementierung Quadraturformeln für Dreieckskanten r q Koordinaten Anzahl Gewichte 1 1 p 1 2, 1 2, 0q 1 p F j 3 2 p 1 2 `? 1 6 3, 1 2 6? 1 3, 0q 1 p 1 2? 1 6 3, 1 2 `? 1 6 3, 0q p F j 1 2 p F j 5 3 b b p 1 2 ` , p b 3 5, 1 2 ` 1 2 5, 0q b 3 5, 0q p F j 5 18 p F j p 1 2, 1 2, 0q p F j Tabelle 2: Quadraturformeln auf Dreieckskanten mit baryzentrischen Koordinaten. Formeln für die anderen Kanten entstehen jeweils durch zyklisches Vertauschen der Koordinaten. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

156 Aspekte der Implementierung Randintegrale Die Randintegrale in der schwachen Formulierung werden analog berechnet. Wir betrachten als Beispiel ż ϕ j psq αpsq ϕ i psq ds ÿ ż ϕ j psq αpsq ϕ i psq ds. Γ KPT BKXΓ Man berechnet wieder die lokalen Beiträge auf der Zelle K 33 ż pa k,l q s k,l 1 p l psq αpsq p k psq ds. BKXΓ Beachte: BK X Γ ist entweder H oder besteht aus einer (oder mehreren) Facetten F j von K. Dies muss ebenfalls in einer zum Gitter gehörenden Datenstruktur festgehalten werden. 33 Man könnte hier auch facettenweise vorgehen. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

157 Aspekte der Implementierung Randintegrale Man transformiert das Integral (z.b. mittels T K ) auf eine Facette des Referenzelements und setzt eine Q-Formel 34 ein: ż p l psq αpsq p k psq ds F ż j F j F p p l ppsq αpt K ppsqq p k ppsq dps j pf j «F j p F j ÿq 1 m 1 ω pfj,m p l pξ pfj,m q αpt Kpξ pfj,m qq p k pξ pfj,m q, wobei F j bzw. p F j die pd 1q-dimensionalen Volumina der Facetten bezeichnen. 34 Man benötigt mehrere Q-Formeln pro Zelle, für jede Facette eine. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

158 Aspekte der Implementierung Randintegrale schwache Form ż ϕ j αpsq ϕ i ds Γ ż gpsq ϕ i ds Γ lokale Beiträge der Zelle K F j p F j F j p F j ÿq 1 m 1 ÿq 1 m 1 ω pfj,m p l pξ pfj,m q αpt Kpsqq p k pξ pfj,m q ω pfj,m gpt Kpsqq p k pξ pfj,m q Wie bereits in 10 gesehen, führt die Assemblierung auf ein LGS 35 A u F (13.8) mit $ & A `arϕ j, ϕ i s M i,j 1, % A `a h rϕ j, ϕ i s M i,j 1, F F pϕ iq ˇˇM i 1 ohne Q-Fehler F F hpϕ i q ˇˇM i 1 mit Q-Fehler. 35 Implementation für P 1 - und P 2 -Elemente mit verschiedenen Q-Formeln Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

160 Aspekte der Implementierung Behandlung von Dirichlet-Randbedingungen Wir betrachten nun Punkt (6) genauer. Zur Behandlung der Aufgabe mit gemischten RB u ` c 0 u f in Ω B Bn u ` α u g auf Γ N bestehen folgende Möglichkeiten: u u D auf Γ D ΓzΓ N Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

161 Aspekte der Implementierung Behandlung von Dirichlet-Randbedingungen (a) Approximation der Dirichlet-Randbedingungen durch Robin-Randbedingungen B Bn u ` α u α u D auf Γ D mit einem großen α ą 0. Man spricht auch von Stiff-Spring- oder Penalty- Randbedingungen. Diese Bezeichnung ist dadurch motiviert, dass sich diese Gleichung im Fall einer symmetrischen Bilinearform ergibt, wenn man die Bedingung u u D nicht strikt fordert, sondern sie in der Energieminimierungsaufgabe (8.7) durch Anfügen des Terms α 2 ż Γ d u u D 2 ds quadratisch penalisiert. Vorteile: Es treten nur natürliche Randbedingungen im Problem auf. Nachteile: große Konditionszahl der Steifigkeitsmatrix für große α zusätzlicher Konsistenz- und damit Diskretisierungsfehler Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

162 Aspekte der Implementierung Behandlung von Dirichlet-Randbedingungen (b) Es sei A u F das LGS, das man bei Assemblierung über alle globalen Freiheitsgrade erhält. 36 Es sei D Ă t1,..., Mu die Indexmenge derjenigen globalen Freiheitsgrade, die auf Γ D liegen ( Dirichlet-Freiheitsgrade ) und N t1,..., MuzD. Beachte: Das System A u F enthält falsche Gleichungen, denn als Raum der Testfunktionen ist nur HΓ 1 D tu P H 1 pωq : u ΓD 0u zugelassen bzw. in der diskreten Aufgabe HΓ 1 D X V h, was durch tϕ i u ipn realisiert wird. Es sei u D hinreichend glatt, sodass alle σ i, i P D, auf u D anwendbar sind. Die bisherigen Gleichungen, die durch Testfunktionen ϕ i, i P D erzeugt wurden, sollen durch lomon σ i puq σ i pu D q, i P D (13.9) u i ersetzt werden. Aus algorithmischer Sicht gibt es dazu mehrere äquivalente Möglichkeiten: 36 Dazu muss man die Randdaten α und g z.b. durch null auf Γ D fortsetzen. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

163 Aspekte der Implementierung Behandlung von Dirichlet-Randbedingungen (i) Ersetzen der Zeilen i P D von A durch den i-ten Einheitsvektor und der rechten Seite F i durch σ i pu D q. Nachteil: unsymmetrisches LGS selbst bei symmetrischer Bilinearform (ii) Zusätzlich Ersetzen der Spalten j P D von A durch den j-ten Einheitsvektor und entsprechende Anpassung der rechten Seite. Nachteil: Zeilen- und Spaltenmanipulation notwendig 37 (iii) Reduktion des LGS auf die Nicht-Dirichlet-Freiheitsgrade: ÿ A ij u j F i ÿ A ij σ j pu D q, i P N (13.10) jpn jpd und anschließendes Setzen von u j σ j pu D q für j P D. 37 schwierig bei sparser Speichertechnik; jedoch muss man beim iterativen Lösen die Matrix nicht tatsächlich manipulieren. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

164 Aspekte der Implementierung Behandlung von Dirichlet-Randbedingungen (iv) Aufnahme der Gleichungen (13.9) und zusätzlicher Variablen λ P R D ins LGS: j j j A χ J D u F χ D 0 λ σ i pu D q ˇˇiPD (13.11) Hierbei besteht χ D P t0, 1u D ˆM aus denjenigen Zeilen der Einheitsmatrix, deren Indizes zu D gehören. Eine Aufgabe der Gestalt (13.11) bzw. allgemeiner j j j A B J u f B 0 λ g (13.12) heißt ein Sattelpunktproblem. Es ist symmetrisch, wenn A A J ist. Beachte: Die beim iterativen Lösen von piq pivq benötigten Matrix-VektorProdukte können durch einfache Manipulationen der Matrix-Vektor-Produkte mit A erzeugt werden. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

165 Aspekte der Implementierung Behandlung von Dirichlet-Randbedingungen Bemerkung 13.2 (Zum Sattelpunktproblem) (a) Das System Au F enthält falsche Gleichungen. Wir haben in (13.11) zunächst die fehlenden m D Gleichungen χ D u σ i pu D q ˇˇiPD hinzugefügt und dann die falschen Gleichungen rau F s ipd durch Hinzunahme der Variablen λ annulliert. Dies geschieht durch den Term χ J D λ. (b) Falls A symmetrisch und positiv semidefinit ist, dann sind (13.12) gerade die notwendigen und hinreichenden Optimalitätsbedingungen der Aufgabe Minimiere 1 2 u J A u f J u unter B u g. Dies entspricht einer Diskretisierung der Aufgabe (8.7) mit zusätzlichen Gleichungsnebenbedingungen. a Die Variablen λ können als Lagrange-Multiplikatoren verstanden werden. Die lineare Unabhängigkeit von Zeilen von B entspricht der LICQ (Linear Independence Constraint Qualification). a Suche in einem affinen Unterraum von V h Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

166 Aspekte der Implementierung Behandlung von Dirichlet-Randbedingungen Neben Dirichlet-RB kann man auf dieselbe Art und Weise auch hängende Freiheitsgrade behandeln, die etwa bei Gitterverfeinerung oder Verwendung ungleicher Polynomgrade 38 entstehen können. nicht-konformes Gitter (hängender Knoten) keine affine Familie (ungleiche Polynomgrade) Außerdem kann man die Sattelpunktidee auch benutzen, um Defekte aufgrund nicht-koerziver Bilinearformen ar, s auszugleichen, etwa beim Poisson-Problem mit reinen Neumannbedingungen, wie das folgende Lemma zeigt. 38 bei sogenannten hp-methoden Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

167 Aspekte der Implementierung Sattelpunktlemma Lemma 13.3 (Sattelpunktlemma) Es sei a A P R nˆn, A A J ľ 0 und B P R mˆn mit m ď n. Es sei ˆA B J K. B 0 Dann gilt: (a) K ist invertierbar ô # rankpbq m (voller Zeilenrang) und kerpaq X kerpbq t0u. (b) Es sei rankpbq m. Dann ist BB J symmetrisch positiv definit und u 0 B J pbb J q 1 g eine Lösung von Bu g, und zwar die in kerpbq K eindeutige. a Wir beschränken uns hier der Einfachheit halber auf den Fall A A J ľ 0 und verweisen auf [Benzi et al., 2005, Theorem 3.4] und [Gansterer et al., 2003, Theorem 3.1] für den allgemeinen Fall. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

168 Aspekte der Implementierung Sattelpunktlemma Lemma 13.3 (Fortsetzung) (c) Es seien die Voraussetzungen von (a) erfüllt. Es sei Z P R nˆpn mq eine Matrix, deren Spalten eine Basis von kerpbq bilden. a Dann ist Z J AZ symmetrisch positiv definit. Weiter sei u 0 irgendeine Lösung von Bu g. Dann gilt: ˆA B J ˆu B 0 λ ˆf g ô $ & Z J AZv Z J pf Au 0 q u u 0 ` Zv % BB J λ Bpf Auq a Im Fall von Dirichlet-RB sind die Gleichungen Bu g von sehr einfacher Gestalt, sie stehen schon oben (13.11). B hat in jeder Zeile genau eine eins. Deshalb können wir Z (eine spaltenweise Basis des Nullraumes) direkt angeben: Z besteht aus den Einheitsvektoren, die gerade zu den Nicht-Dirichlet-Freiheitsgraden N gehören, somit v aus den Koeffizienten pu j q jpn. Auch eine Partikulärlösung von Bu g lässt sich leicht angeben: Einfach die Koeffizienten u D richtig setzen, die restlichen auf null. Damit besteht die Matrix im reduzierten System Z J AZv Z J pf Au 0 q gerade aus den Zeilen und Spalten von A, die zu den N-Freiheitsgraden gehören, und wir bekommen dasselbe wie bei (13.10)! (13.13) Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

170 Aspekte der Implementierung Speichertechnik Aufgrund der lokalen Träger der globalen Basisfunktionen tϕu M i 1 ist die Steifigkeitsmatrix A dünn besetzt (sparse 39 ). Zur Speicherung solcher Matrizen stehen verschiedene Formate zur Verfügung, die wir am Beispiel A erläutern. Im Wesentlichen werden die Nicht-Null-Einträge der Matrix und ihre Positionen gespeichert. 39 Die Matlab-Befehle für dünn besetzte Matrizen erhält man mit doc sparfun. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

171 Aspekte der Implementierung Speichertechnik Compressed Sparse Column (CSC): Die Nicht-Null-Einträge stehen spaltenweise in einem Vektor a, der Vektor i enthält die dazugehörigen Zeilenindizes und der Vektor j die Indizes in a, an denen eine neue Spalte beginnt. a Einträge i Zeilen j Index in a Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

172 Aspekte der Implementierung Speichertechnik Compressed Sparse Row (CSR): Dieses Format ist analog zu CSC, jedoch zeilenorientiert. a Einträge j Spalten i Index in a Modified Sparse Row (MSR): Beim MSR stehen zunächst die Diagonaleinträge der Matrix (i.d.r. keine Nullen) in a und dann zeilenweise die restlichen Nicht-Null-Einträge. Die ersten Indizes in i geben an, an welcher Stelle in a eine neue Zeile beginnt. Die späteren Indizes sind die Spaltenindizes der zugehörigen Einträge in a wie bei CSR. a Einträg i Index i Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

174 Interpolationsfehlerabschätzungen Erinnerung Zur Erinnerung: Céas Lemma (Satz 9.2) führt die Fehlerabschätzung zurück auf die Aufgabe der Bestapproximation von u in V h : }u u h } V ď C inf v h PV h }u v h } V. Da letztere schwer zu lösen ist, schätzt man weiter ab: inf v h PV h }u v h } V ď }u Π h u} V, wobei Π h : V Ñ V h eine einfach zu handhabende Projektion auf V h ist. In der Regel wählt man dabei Π h als Interpolation in V h, siehe (12.6), falls u zum Unterraum L T gehört (hinreichend glatt ist), siehe (12.5). Abschätzungen für den Interpolationsfehler sind beispielsweise von folgendem Typ: }v I Vh pvq} L2 pωq ď C hm v H m pωq v I Vh pvq H 1 pωq ď C hm 1 v Hm pωq. Dies wird im Hauptresultat dieses Abschnitts (Satz 14.16) bewiesen. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

175 Interpolationsfehlerabschätzungen Erinnerung x Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

176 15 Oliver A-priori-Fehlerabschätzungen Ernst (Numerische Mathematik) Numerik (Konformer partieller Differentialgleichungen Fall) Sommersemester / 352 Inhalt 8 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben 9 Allgemeine Galerkin-Verfahren und das Céa-Lemma 10 Ein erstes Finite-Elemente-Verfahren 11 Einige gebräuchliche finite Elemente 12 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume 13 Aspekte der Implementierung 14 Interpolationsfehlerabschätzungen 14.1 Interpolation auf einem Element 14.2 Transformation auf ein Referenzelement

177 Interpolationsfehlerabschätzungen Interpolation auf einem Element In diesem und den folgenden Abschnitten schreiben wir H m pkq statt H m pintpkqq. Außerdem sei Hm pkq die Standard-Halbnorm v Hm pkq ÿ α m ż K D α vpxq 2 1{2 dx auf H m pkq. Wir machen folgende Generalvoraussetzung: Voraussetzung 14.1 (Generalvoraussetzung) Es sei pk, P, Σ, L K q ein FE und m P N mit folgenden Eigenschaften: (a) P m 1 pkq Ă P (b) P Ĺ L K H m pkq. Insbesondere gilt also (vgl. Definition 11.10) σpvq ď c b }v} Hm pkq für v P H m pkq und alle σ P Σ. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

178 Interpolationsfehlerabschätzungen Interpolation auf einem Element Bemerkung 14.2 (Bedeutung der Voraussetzung) (a) Annahme (a) ist eine Annahme über die Reichhaltigkeit des Ansatzraumes P. Um sie für ein gegebenes FE zu erfüllen, darf m nicht zu groß sein, für Annahme (b) dagegen m nicht zu klein. (b) Die Voraussetzung 14.1 vererbt sich von einem FE p p K, p P, p Σ, H m p p Kqq auf seine affin äquivalenten Kopien pk, P, Σ, H m pkqq. a a denn: P m 1 p p Kq Ă p P ñ P m 1 p p Kq T 1 K loooooooooomoooooooooon P m 1 pkq Ă p P T 1 K P, also gilt (a). Für (b): Für alle Freiheitsgrade σ i von pk, P, Σq und v P H m pkq sowie pv v T K gilt: σ i pvq H m pkq pσ ipv T K q nach Konstruktion, Lemma ď pc b }pv} H m p x Kq ď c }v} H m pkq Voraussetzung 14.1 (b) wegen (14.4a). Das heißt, H m pkq ist ein lokaler Interpolationsbereich für pk, P, Σq. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

179 Interpolationsfehlerabschätzungen Interpolation auf einem Element Beispiel 14.3 (Voraussetzung 14.1 für Standard-Elemente) (a) Für Lagrange-Elemente P k und Q k ist Voraussetzung 14.1 erfüllt, falls # k ě m 1 und m ě 1 in 1D k ě m 1 und m ě 2 in 2D und 3D gewählt wird, denn: P P k pkq Ą P m 1 pkq bzw. P Q k pkq Ą P k pkq Ą P m 1 pkq. Und: Der Sobolevsche Einbettungssatz zeigt H m pkq ãñ CpKq für m ě 1 in 1D bzw. m ě 2 in 2D und 3D, sodass Punktauswertungen definiert sind und stetige lineare Funktionale auf H m pkq darstellen. Beispiel in 2D/3D: Mit P 1 -Elementen oder besser (mit höheren Polynomgraden) erreicht man m 2, mit P 2 -Elementen oder besser m 3. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

180 Interpolationsfehlerabschätzungen Interpolation auf einem Element Beispiel 14.3 (Fortsetzung) (b) Für kubische Hermite-Elemente (also P P 3 pkq) ist die Voraussetzung 14.1 erfüllt, falls gilt: # m P t2, 3, 4u in 1D m P t3, 4u in 2D und 3D Denn: Es gilt H m pkq ãñ C 1 pkq für m ě 2 in 1D bzw. m ě 3 in 2D und 3D. Für den Rest von 1 kann K Ă R d ein beliebiges beschränktes Gebiet sein, z.b. das Elementgebiet eines FE (Definition 11.1). Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

181 Interpolationsfehlerabschätzungen Interpolation auf einem Element Lemma 14.4 (Polynomprojektion) Zu jeder Funktion v P H m 1 pkq existiert ein eindeutig bestimmtes Polynom q P P m 1 pkq mit der Eigenschaft ż ż D α q dx D α v dx für alle α ď m 1, K K d.h. v und q und ihre Ableitungen besitzen gleiche Mittelwerte. Die Abbildung H m 1 pkq Q v ÞÑ q P P m 1 pkq ist eine Projektion. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

182 Interpolationsfehlerabschätzungen Interpolation auf einem Element Wir benötigen eine weitere verallgemeinerte Poincarésche Ungleichung, vgl. Lemma 8.9. Lemma 14.5 (Eine verallgemeinerte Poincarésche Ungleichung) Es existiert eine Konstante c 0 pd, m, Kq, sodass für jede Funktion v P H m pkq mit der Eigenschaft ż D α v dx 0 für alle α ď m 1 (14.1) gilt: K }v} H m pkq ď c 0 v H m pkq. Das heißt, auf dem durch (14.1) beschriebenen Unterraum von H m pkq sind H m pkq und } } H m pkq äquivalente Normen. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

183 Interpolationsfehlerabschätzungen Interpolation auf einem Element Satz 14.6 (Bramble-Hilbert-Lemma) Es sei m P N und F : H m pkq Ñ R ein (nicht notwendig lineares) Funktional mit folgenden Eigenschaften: (a) F pvq ď c 1 }v} H m pkq (b) F pu ` vq ď c 2 ` F puq ` F pvq (c) F pqq 0 für alle q P P m 1 pkq (Beschränktheit) (Sublinearität) (Verschwinden auf P m 1 pkq). Dann gilt mit der (unspezifischen!) Konstanten c 0 pd, m, Kq aus Lemma 14.5 F pvq ď c 0 c 1 c 2 v H m pkq.a a F ist also bereits bzgl. der Halbnorm beschränkt. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

184 Interpolationsfehlerabschätzungen Interpolation auf einem Element Das Bramble-Hilbert-Lemma wird u.a. benutzt, um Abschätzungen des lokalen (elementweisen) Interpolationsfehlers zu zeigen. Korollar 14.7 (Lokale Interpolationsfehlerabschätzung) Es gelte Voraussetzung 14.1, und # sei eine beliebige Halbnorm (Definition 4.1) auf H m pkq mit der Eigenschaft v # ď c # }v} H m pkq (14.2) mit einer Konstanten c #, d.h., # ist schwächer als } } Hm pkq.für jede Funktion v P H m pkq und ihre lokale Interpolierende (siehe Definition 11.10) I K pvq P P gilt dann: v I K pvq # ď c I v Hm pkq (14.3) mit einer Konstanten c I, die nicht von v, aber vom Element pk, P, Σ, H m pkqq sowie von m und # abhängt. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

185 Interpolationsfehlerabschätzungen Interpolation auf einem Element Bemerkung 14.8 (zur lokalen Interpolationsfehlerabschätzung) (a) Korollar 14.7 erlaubt die Abschätzung des lokalen Interpolationsfehlers einer beliebigen Funktion v P H m pkq (z.b. der Lösung einer PDE) in verschiedenen (Halb-)Normen gegen die m-ten Ableitungen der Funktion v im Term v H m pkq. Welches m P N (maximal) wählbar ist, hängt von der Glattheit von v sowie von der Reichhaltigkeit des Ansatzraumes P ab, da nach Voraussetzung 14.1 (a) P m 1 pkq Ă P gelten muss. (b) Ohne Benutzung des Bramble-Hilbert-Lemmas würden wir unter den Voraussetzungen von Folgerung 14.7 v I K pvq # ď c I }v} Hm pkq erhalten. Wenn wir aber damit in die weiteren Abschätzungen gehen (14.12 und schließlich 14.16), dann dominieren dort die schlechten Potenzen von h. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

186 15 Oliver A-priori-Fehlerabschätzungen Ernst (Numerische Mathematik) Numerik (Konformer partieller Differentialgleichungen Fall) Sommersemester / 352 Inhalt 8 Schwache Formulierung elliptischer Randwertaufgaben 9 Allgemeine Galerkin-Verfahren und das Céa-Lemma 10 Ein erstes Finite-Elemente-Verfahren 11 Einige gebräuchliche finite Elemente 12 Gitter, Approximationsräume und FE-Räume 13 Aspekte der Implementierung 14 Interpolationsfehlerabschätzungen 14.1 Interpolation auf einem Element 14.2 Transformation auf ein Referenzelement

187 Interpolationsfehlerabschätzungen Transformation auf ein Referenzelement Da die Konstante c I in (14.3) in unspezifischer Weise vom Element K abhängt, können wir daraus keine sinnvolle Interpolationsfehlerabschätzung in einem Approximationsraum P T bzw. FE-Raum V h erhalten. Außerdem kommt in (14.3) die Elementgröße nicht explizit vor, sondern nur unspezifisch in der Konstanten c I. Deshalb nutzen wir die Abschätzung (14.3) nur auf dem Referenzelement p K. Es sei dazu wieder T K : p K Q px ÞÑ B K px ` b K P K eine bijektive affine Abbildung, die das Element pk, P, Σ, H m pkqq aus dem Referenzelement p p K, p P, p Σ, H m p p Kqq erzeugt, vgl Beachte: Es gilt v P H m pkq ô pv v T K P H m p p Kq. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

188 Interpolationsfehlerabschätzungen Transformation auf ein Referenzelement Lemma 14.9 (Transformationssatz für Sobolev Halbnormen) Es sei m P N 0. Für v P H m pkq und pv v T K P H m p p Kq gelten a pv H m pkq x ď c d,m }B K } m det B 1{2 K v H m pkq (14.4a) v H m pkq ď c d,m B 1 m det B K 1{2 pv Hm pkq x. (14.4b) K Hierbei bezeichnet }B K } die Spektralnorm (durch die Euklid-Norm induzierte Matrixnorm, größter Singulärwert), und c d,m hängt nur von m und d ab. a Die zweite Ungleichung folgt aus der ersten durch Vertauschen von K und p K. Frage: Wie können wir }B K } und B 1 K durch Geometriegrößen (insbesondere die Zellgröße) von K abschätzen? Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

189 Interpolationsfehlerabschätzungen Transformation auf ein Referenzelement Definition (Geometriegrößen) Es sei K eine FE-Zelle, d.h., ein kompaktes Polyeder mit intpkq H. (a) Mit h K diampkq max x y x,ypk bezeichnen wir den Durchmesser von K. (b) Es sei ϱ K der Durchmesser einer größten Kugel, die in K einbeschrieben werden kann. (c) Der Quotient γ K h K ϱ K ě 1 bezeichnet das Aspektverhältnis von K. Beachte: In der Literatur (z.b. [Braess, 1997, Kapitel II, 5]]) werden h K und ϱ K manchmal als Radien statt Durchmesser definiert. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

190 Interpolationsfehlerabschätzungen Transformation auf ein Referenzelement Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

191 Interpolationsfehlerabschätzungen Transformation auf ein Referenzelement Lemma (Abschätzung von }B K } und B 1 ) Für die bijektive affine Transformation T K : K p Q px ÞÑ B K px ` b k P K gilt: (a) det B K K { K p (b) }B K } ď h K {ϱ xk (c) B 1 ď hxk {ϱ K K K T K ÝÝÝÝÝÝÝÑ Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

192 Interpolationsfehlerabschätzungen Transformation auf ein Referenzelement Beachte: Die Abschätzungen (b) und (c) drücken zwar }B K } und B 1 K durch die anschaulichen Geometriegrößen h K, ϱ K und h xk, ϱ xk aus, sind aber u.u. nicht sehr scharf. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

193 Interpolationsfehlerabschätzungen Transformation auf ein Referenzelement Satz (Interpolationsfehlerabschätzung für die Standard- Halbnormen auf einer Zelle) Das FE p p K, p P, p Σ, H m p p Kqq erfülle Voraussetzung Das Element pk, P, Σ, H m pkqq gehe daraus durch die affine Transformation T K mit Jacobimatrix B K hervor. Dann gilt für alle v P H m pkq: v I K pvq H k pkq ď pc d,m,k B 1 K ď pc d,m,k ˆhxK ϱ K k }B K } m v H m pkq k ˆhK m v ϱ H m pkq xk pc d,m,k h m k K γk K v Hm pkq für 0 ď k ď m (14.5) mit Konstanten, die nur vom Referenzelement p K sowie von d, m und k abhängen. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

194 Interpolationsfehlerabschätzungen Transformation auf ein Referenzelement Beachte: Hätten wir bei der Abschätzung des Interpolationsfehlerfunktionals die Abschätzung aus Bemerkung 14.8 (ohne Benutzung des Bramble-Hilbert- Lemmas) pv I K ppvq # ď c xi }pv} H m pkq mit # Hk p x Kq verwendet, so hätten wir überall dort, wo in den obigen Abschätzungen ein m steht, i.w. eine Summe über die entsprechenden Terme über l 0,..., m stehen. Dadurch würde sich als dominierende h-potenz sogar h 0 k k ergeben. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

195 Interpolationsfehlerabschätzungen Transformation auf ein Referenzelement Korollar (Interpolationsfehlerabschätzung für die volle Norm auf einer Zelle) Unter den Voraussetzungen von gilt auch }v I K pvq} H k pkq ď C d,m,k h m k K γk K v H m pkq für 0 ď k ď m mit einer Konstanten, die zusätzlich noch von einer oberen Schranke h K ď h 0 für die Zelldurchmesser abhängt. Fazit: Bei fortlaufender Gitterverfeinerung ist man also gut beraten, das Aspektverhältnis γ K aller Zellen über alle Gitter zu beschränken. Dem trägt die folgende Definition Rechnung. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

196 Interpolationsfehlerabschätzungen Transformation auf ein Referenzelement Definition (a) Einem Gitter T wird der Diskretisierungsparameter (Gitterweite) h max KPT h K, also der Durchmesser der größten Zelle zugeordnet.man sagt dann: Das Gitter T gehört zur Klasse T h. (b) Das Symbol tt h u hą0 oder tt h u hœ0 bezeichnet eine Familie von Gittern mit folgender Eigenschaft: Es gibt eine Folge h n Œ 0, sodass zu jedem h n ein Gitter der Klasse T hn in der Familie existiert. (c) Eine solche Familie tt h u hą0 heißt formregulär (engl.: shape regular), wenn eine Konstante γ ą 0 existiert mit der Eigenschaft γ K h K ϱ K ď γ für alle K P T und alle Gitter T der Familie. (d) Die Familie heißt quasi-uniform, wenn sogar gilt: h ϱ K ď γ für alle K P T und alle Gitter T der Familie. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

197 Interpolationsfehlerabschätzungen Transformation auf ein Referenzelement Bemerkung (zur Formregularität und Quasi-Uniformität) (a) Es gilt (eigene Übung) Quasi-Uniformität ô Formregularität und h h K ď P T und alle Gitter T der Familie, d.h., dass die Größenverhältnisse (Durchmesser) max h K{ min h K der jeweils KPT KPT größten und kleinsten Zellen über alle Gitter beschränkt bleiben. (b) Man kann Formregularität äquivalent auch definieren als c 1 h d K ď K ď c 2 h d K (14.6) für alle Zellen K auf allen Gittern, wobei die rechte Abschätzung trivial ist (für alle beschränkten Mengen K Ă R d gilt). Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

198 Interpolationsfehlerabschätzungen Transformation auf ein Referenzelement Bemerkung (Fortsetzung) (c) Analog bedeutet Quasi-Uniformität wobei die rechte Abschätzung wiederum trivial ist. c 1 h d ď K ď c 2 h d, (14.7) (d) Auf quasi-uniformen Gittern kann man die Eigenwerte von Massenmatrizenund Steifigkeitsmatrizen durch h abschätzen, siehe Übung. (e) In 1D sind alle Gitterfamilien formregulär, da h K ϱ K gilt. (f) In einem Dreieck K gilt: 1 2 cot α K 2 ď γ K ď cot α K 2 ď 2 (14.8) sin α K wobei α K der kleinste Winkel von K ist. Das Aspektverhältnis im Dreieck ist also genau dann schlecht, wenn ein Winkel von K klein ist. (g) (14.5) zeigt den Einfluss der Qualität von Gittern auf die Konstante in der Interpolationsfehlerabschätzung. Darauf ist bei der Generierung und Verfeinerung von Gittern zu achten. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

199 Interpolationsfehlerabschätzungen Transformation auf ein Referenzelement Im Folgenden brauchen wir häufiger die Voraussetzungen Es sei tt h u hą0 eine formreguläre Familie von Gittern auf dem Gebiet Ω mit P-Rand (Bemerkung 12.2). (SRF) und Auf jedem Gitter T sei tpk, P K, Σ K qu KPT eine affine Familie von FE mit dem gemeinsamen Referenzelement pk, p P p, Σq, p das die Voraussetzung 14.1 mit m P N erfüllt. Auf jedem Gitter werde ein FE-Raum (Definition 12.11) gebildet. Dabei gelte (MAX1), d.h. bei der Bildung der globalen Freiheitsgrade enthalte jede Äquivalenzklasse von jedem Element maximal einen Freiheitsgrad. (AF) Außerdem soll das Symbol V h ab sofort für einen FE-Raum stehen, der zu einem Gitter der Klasse T h gehört. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

200 Interpolationsfehlerabschätzungen Transformation auf ein Referenzelement Satz (Interpolationsfehlerabschätzung für die Standard- Halbnormen auf formregulären Gittern) Es seien die Voraussetzungen (SRF) und (AF) erfüllt. (a) Für jedes Gitter T sei I T der globale Interpolationsoperator (Definition 12.3) auf den zugehörigen Approximationsraum P T. Dann gelten die folgenden Interpolationsfehlerabschätzungen für v P ś KPT Hm pkq: ÿ KPT ÿ KPT ÿ KPT v K I T pvq 2 L 2 pkq v K I T pvq 2 H 1 pkq v K I T pvq 2 H k pkq 1{2 ď C h m ÿ KPT 1{2 ď C h m 1 ÿ KPT 1{2 ď C h m k ÿ KPT v K 2 H m pkq 1{2 (14.9a) v K 2 H m pkq 1{2 (14.9b) v K 2 H m pkq 1{2 (14.9c) für 0 ď k ď m. Diese zellweise gebildeten Seminormen heißen gebrochene Sobolev-Halbnormen. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

201 Interpolationsfehlerabschätzungen Transformation auf ein Referenzelement Satz (Fortsetzung) (b) Insbesondere gilt (14.9) für v P H m pωq. Auf der rechten Seite ist dann jeweils ÿ v K 2 H pkq 1{2 m v Hm pωq. KPT (c) Für jedes Gitter T sei I Vh der globale Interpolationsoperator auf einen (durch Identifikation von Freiheitsgraden) aus P T erzeugten FE-Raum V h (siehe Definition 12.11). I Vh sei wohldefiniert auf H m pωq, also H m pωq Ă L 1 T, vgl. (12.5).Dann gilt für v P Hm pωq: ÿ KPT v I Vh pvq 2 H k pkq 1{2 ď C h m k v H m pωq für 0 ď k ď m, (14.10) d.h., die Interpolation in den FE-Raum V h hat dieselbe Fehlerordnung wie die Interpolation in den Approximationsraum P T. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

202 Interpolationsfehlerabschätzungen Transformation auf ein Referenzelement Satz (Fortsetzung) (d) Falls zusätzlich der FE-Raum V h H k pωq-konform a ist für ein 0 ď k ď m, dann bedeutet (14.10) v I Vh pvq H k pωq ď C hm k v Hm pωq. (14.11) a Hierfür wird dann natürlich typischerweise benötigt, dass die Gitter geometrisch konform sind. Bemerkung (zur Interpolationsfehlerabschätzung) (a) Für k 0 wird die Formregularität nicht benötigt. (b) Die Abschätzungen (14.9) (14.11) sind für k m wertlos. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

203 Interpolationsfehlerabschätzungen Transformation auf ein Referenzelement Korollar (Dichtheit von Approximationsräumen) Es seien die Voraussetzungen (SRF) und (AF) erfüllt. (a) Zu gegebenem v P L 2 pωq und ε ą 0 existieren h ą 0, ein zugehöriges Gitter T der Klasse T h aus der Familie tt h u hą0 (Definition 14.14) und ein v h P P T, sodass gilt: }v v h } L2 pωq ď ε. Das heißt: Die Vereinigung der zur Gitterfamilie tt h u hą0 gehörenden Approximationsräume liegt dicht in L 2 pωq. Man schreibt auch: Für v P L 2 pωq und Gitter T der Klasse T h gilt inf }v v h } v h PP L 2 pωq Ñ 0 wenn h Ñ 0. T (b) Es sei V h wieder H k pωq-konform für ein 0 ď k ď m 1. Dann gilt für v P H k pωq inf }v v h } v h PV Hk pωq Ñ 0 wenn h Ñ 0. h Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

204 Interpolationsfehlerabschätzungen Transformation auf ein Referenzelement Beispiel (Anwendung für P 1 - und Q 1 -Elemente) Es gelte die Voraussetzung (SRF). Die Voraussetzung (AF) erfüllen wir, indem wir auf jedem Gitter den Standard-FE-Raum V h aus global stetigen P 1 - oder Q 1 -Elementen in 1D, 2D oder 3D wählen, siehe Voraussetzung 14.1 ist dann mit m 2 erfüllt. Außerdem sind die Räume V h H 1 pωq-konform. Satz (d), also die Abschätzung (14.11) zeigt dann z.b. für v P H 2 pωq: v I Vh pvq L 2 pωq ď C h2 0 v H2 pωq, v I Vh pvq H1 pωq ď C h2 1 v H 2 pωq, also auch }v I Vh pvq} H 1 pωq ď C h2 1 v H2 pωq. Falls v nur in H 1 pωq liegt, so erhält man aus Korollar (b) immerhin noch und damit natürlich auch inf v hpv h }v v h } H 1 pωq Ñ 0 wenn h Ñ 0 }v I Vh pvq} H1 pωq Ñ 0 wenn h Ñ 0. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

205 Interpolationsfehlerabschätzungen Transformation auf ein Referenzelement Mit den bisher behandelten Techniken kann man leicht zeigen: Für u P H 1 pωq gilt auf (nicht notwendigerweise formregulären) Gittern: }u P h u} L 2 pωq ď c h }u} H 1 pωq, wobei P h die L 2 -orthogonale Projektion (zellweise Mittelwertbildung) von H 1 pωq in den Approximationsraum zu P 0 ist. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

207 A-priori-Fehlerabschätzungen (Konformer Fall) Wir geben nun Fehlerabschätzungen für die FE-Lösung einer linearen elliptischen PDE 2. Ordnung in schwacher Formulierung Finde u P V mit aru, vs F pvq für alle v P V (15.1) mit einem Hilbertraum V Ă H 1 pωq (je nach Art der Randbedingungen) an. Wir benutzen auf V die Norm von H 1 pωq. Die Voraussetzungen des Lemmas von Lax-Milgram (8.2) seien erfüllt. Voraussetzung 15.1 (konforme Approximation) Wir gehen von einer konformen Approximation aus, d.h., es gelten die (starken) Annahmen V h Ă V (konformer FE-Raum), d.h. Ω hat einen P-Rand und wird exakt trianguliert ein evtl. Dirichlet-Rand wird durch die Triangulierung ebenfalls exakt aufgelöst keine Fehler bei Homogenisierung inhomogener Dirichlet-RB, vgl. (8.9). LGS aufgestellt ohne Q-Fehler Lösung des LGS ohne Fehler Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

208 A-priori-Fehlerabschätzungen (Konformer Fall) Satz 15.2 (Abschätzung des H 1 pωq-fehlers, konformer Fall) Es seien die Voraussetzungen (SRF) und (AF) mit m ě 2 erfüllt. a Die zugehörigen FE-Räume V h seien V -konform b, und u P V und u h P V h seien die Lösungen der Aufgabe (15.1) in V bzw. V h. Dann gilt: (a) Konvergenz (ohne Ordnung): }u u h } H1 pωq Ñ 0 wenn h Ñ 0. (b) Falls zusätzlich u P V X H m pωq liegt, dann gilt }u u h } H 1 pωq ď c hm 1 u Hm pωq. (15.2) a Z.B. mit Standard-P 1 - oder -Q 1 -Räumen auf Ω Ă R d, d P t1, 2, 3u b Damit erfüllen wir die Voraussetzungen der Interpolationsfehlerabschätzung, (c). Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

209 A-priori-Fehlerabschätzungen (Konformer Fall) Bemerkung 15.3 (zur Konvergenzabschätzung (15.2)) (a) Die A-priori-Abschätzung (15.2) hat wieder die typische Struktur, vgl. Bemerkung (b) Die Konstante c in der Konvergenzabschätzung (15.2) hängt insbesondere ab von α 0{β 0 mit den Konstanten der Bilinearform ar, s und von der Formregularitätskonstante γ (siehe Beweis von Satz 14.16). (c) Die maximale Konvergenzordnung m 1 bzgl. h hängt ab vom verwendeten Polynomgrad P m 1pKq p Ă P p von der Regularität der Lösung u P H m pωq. (d) Es gilt zum Beispiel für die Poisson-Gleichung mit homogenen Dirichlet-RB (8.1) ż ż aru, vs u v dx f v dx Ω Ω mit V H 1 0 pωq und f P L 2 pωq: Wenn Ω konvex ist, dann liegt die schwache Lösung u in H 2 pωq X H 1 0 pωq. Wenn Ω hinreichend glatten Rand und ar, s hinreichend glatte Koeffizienten besitzt, dann liegt die schwache Lösung u in H m pωqxh 1 0 pωq, falls f P H m 2 ist (maximale Regularität). Außerdem hängt u stetig in diesen Normen von f ab. Beachte jedoch: Wir können glatt berandete Gebiete Ω nicht exakt triangulieren. Wenn wir Ω durch eine Approximation Ω h mit P-Rand ersetzen, ergeben sich zusätzliche Fehler. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

210 A-priori-Fehlerabschätzungen (Konformer Fall) Beispiel 15.4 (Typische Konvergenzordnungen) (a) Falls u P H m pωq mit m ě 2 liegt, so erzielen wir z.b. mit den Standard P k - und -Q k -Räumen in 1D, 2D und 3D mit k m 1 die Konvergenzordnung m 1 bzgl. der H 1 -Norm. Diese Wahl von k ist optimal. (b) Kubische Hermite-Elemente lohnen sich wegen der Einschränkung m P t2, 3, 4u in 1D und m P t3, 4u in 2D und 3D (siehe Voraussetzung 14.3 (b)) erst bei hoher Glattheit der Lösung. a a Mit den besprochenen Methoden können wir für u P H 2 pωq in 2D/3D nur Konvergenz beweisen und nicht einmal Ordnung 1. Für u P H 3 pωq bekommen wir dann schon Ordnung 2. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

211 A-priori-Fehlerabschätzungen (Konformer Fall) Nitsche Trick Aufgrund von Céas Lemma erhalten wir für elliptische PDEs 2. Ordnung eine Fehlerabschätzung bzgl. der H 1 pωq-norm. Die offensichtliche Beziehung }u u h } L 2 pωq ď }u u h} H 1 pωq ď c hm 1 u Hm pωq liefert nicht die richtige Fehlerordnung. Für eine bessere Abschätzung des L 2 - Fehlers wendet man folgende Technik ( Nitsche-Trick ) an: Zunächst ein Beispiel: Angenommen, die Lösung u P V von (15.1) mit F pvq ş f v dx gehört Ω für jedes f P L 2 pωq sogar zu H 2 pωq, und es gilt die A-priori-Abschätzung }u} H2 pωq ď c }f} L 2 pωq. Idee: Wir benutzen ein sogenanntes Dualitätsargument zur Abschätzung von }u u h } L2 pωq. Dazu sei z P V die eindeutige Lösung der adjungierten Gleichung 40 ż arv, zs pu u h q v dx für alle v P V. ( ) 40 Der Fehler u u h tritt als rechte Seite auf. Ω Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

212 A-priori-Fehlerabschätzungen (Konformer Fall) Nitsche Trick Falls ar, s symmetrisch ist, so besitzt auch z die Regularität z P H 2 pωq, sonst muss man dies extra fordern. Es gilt also }z} H 2 pωq ď c }u u h} L 2 pωq. Wir verwenden nun v u u h P H 1 pωq als Testfunktion in ( ): }u u h } 2 L 2 pωq pu u h, u u h q L2 pωq aru u h, zs wegen ( ) aru u h, z I Vh pzqs Galerkin-Orthog., I Vh pzq P V h ď α 0 }u u h } H1 pωq }z I V h pzq} H 1 pωq ď α 0 c h u H2 pωq C h z H 2 pωq Satz 15.2 und Satz (c) (m 2) ď c 1 h 2 u H2 pωq }u u h} L 2 pωq A-priori-Abschätzung für z. Daraus folgt die verbesserte Fehlerabschätzung }u u h } L2 pωq ď c h2 u H 2 pωq zum Vergleich: }u u h } H 1 pωq ď c h u H 2 pωq. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

213 A-priori-Fehlerabschätzungen (Konformer Fall) Nitsche Trick Das obige Beispiel ist ein Spezialfall von folgendem Satz mit Z H 2 pωq X V, L L 2 pωq, lru, vs pu, vq L 2 pωq, L } } L2 pωq. Er zeigt, wie wir für den Fehler in einer schwächeren Norm eine h-potenz gewinnen. Wir betrachten dazu folgendes allgemeines Setting: Es sei L ein Hilbertraum mit V ãñ L. Weiter sei lr, s eine Bilinearform auf L mit folgenden Eigenschaften: beschränkt (lru, vs ď l 0 }u} L }v} L ), symmetrisch (lru, vs lrv, us), nichtnegativ (lru, us ě 0) für alle u, v P L. Dann ist u L lru, us 1{2 eine (die durch l erzeugte) Halbnorm auf L. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

214 A-priori-Fehlerabschätzungen (Konformer Fall) Nitsche Trick Satz 15.5 (Lemma von Aubin-Nitsche) (a) Es sei Z Ă V ein Banachraum und c S eine Konstante, sodass gilt: Die adjungierte/duale Aufgabe Finde z P V mit arv, zs lrg, vs für alle v P V (15.3) besitzt für jedes g P L eine eindeutige Lösung in Z, die die A-priori-Abschätzung }z} Z ď c S g L erfüllt. (b) Es bestehe eine Bestapproximationsabschätzung (z.b. durch Interpolation) inf v h PV h }v v h } V ď c I h }v} Z für alle v P Z und alle h ą 0 (auf einer Familie von geeigneten, z.b. quasiuniformen Gittern, mit zugehörigen FE-Räumen). Dann gilt u u h L ď c I c S α 0 h }u u h } V. (15.4) Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

215 A-priori-Fehlerabschätzungen (Konformer Fall) Prä-asymptotisches Verhalten Bemerkung 15.6 (konvektionsdominante Aufgaben) Die gezeigten A-priori-Abschätzungen geben Auskunft über die zu erwartende Konvergenzordnung für h Ñ 0. Sie sagen nichts darüber aus, ob die numerische Lösung auf einem bestimmten Gitter brauchbar ist. Insbesondere bei Aufgaben mit großer Konvektion ( 4) kann die Lösung auch auf relativ feinen Gittern noch stark (unphysikalisch) oszillieren (mehr dazu in der Übung). Abhilfe: Einführung zusätzlicher Stabilisierungsterme in die schwache Formulierung. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

217 A-posteriori-Fehlerabschätzungen Literatur: [Grossmann, Roos & Stynes, 2007, Kapitel 4.7.1] Die A-priori-Fehlerabschätzungen }u u h } # ď c h p }u} Hm pωq aus 15 haben folgende praktische Nachteile: Die Konstante c und die Norm der Lösung }u} H m pωq sind unbekannt. Sie liefern nur globale Informationen über den Fehler. Sie hängen von der globalen Regularität von u ab. A-posteriori-Fehlerschätzer dagegen liefern auch Informationen darüber, wo die größten Beiträge zum Fehler entstehen. Sie haben die Struktur 41 wobei η eine aus u h berechenbare und }u u h } # «D η, lokalisierte (auf Elemente des Gitters bezogene) Größe ist. 41 In D steckt z.b. eine höhere Norm der Lösung u, siehe (16.5). Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

218 A-posteriori-Fehlerabschätzungen Zum Beispiel: ÿ η mit zellweisen Fehlerindikatoren η K. KPT η 2 K 1{2 Ein Schätzer heißt (unter geeigneten Annahmen an die Lösung, das Gitter, den FE-Raum) zuverlässig, wenn gilt: }u u h } # ď D 2 η effizient, wenn gilt: }u u h } # ě D 1 η. A-posteriori-Schätzer kann man nutzen, um zusätzliche Freiheitsgrade bei Vergrößerung des Ansatzraumes, etwa bei Netzverfeinerung (h-verfeinerung) oder Erhöhung des Polynomgrades (p-verfeinerung, möglichst effektiv einzusetzen. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

219 A-posteriori-Fehlerabschätzungen Algorithmus 1 : Adaptive Verfeinerung (schematisch) fertig Ð False repeat Berechne Lösung auf aktuellem Gitter werte a-posteriori Fehlerschätzer η K auf jeder Zelle K aus. if Fehlerschranke nicht erreicht then markiere zu verfeinernde Zellen anhand Größe von η K verfeinere Gitter else fertig Ð True until fertig (Solve) (Estimate) (Mark) (Refine) Die Gittermodifikation geschieht i.d.r. durch lokale Verfeinerung der Zellen mit den größten Beiträgen zum Gesamtfehler, aber auch lokale Vergröberung und Verschiebung von Gitterpunkten sind möglich. Dabei ist auf die Formregularität der entstehenden Gitterfamilie zu achten. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

220 A-posteriori-Fehlerabschätzungen Beispiel 16.1 (Verfeinerungsstrategie) Oft wird das Bulk-Kriterium benutzt: Markiere eine (möglichst kleine) Teilmenge von Zellen T Ă T zur Verfeinerung, für die gilt: für ein θ P p0, 1q. ÿ KPT η 2 K 1{2 ě θ ÿ KPT η 2 K 1{2 Wir betrachten wieder das Poisson-Problem für Ω Ă R 2 ż ż v u dx fpxq v dx für alle v P V H0 1 pωq (16.1) Ω Ω und dessen Diskretisierung mit den konformen Standard-FE-Räumen V h basierend auf Lagrange-Elementen P 1 oder Q 1 in 2D. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

221 A-posteriori-Fehlerabschätzungen Wir beschränken uns auf einen sogenannten residuen-basierten Fehlerschätzer für die H 1 pωq-norm. Die Gleichung `f, v L 2 pωq ` u h, v L 2 pωq : xrpu hq, vy, (16.2) für v P V definiert das Residuum Rpu h q der diskreten Lösung u h als Element von H 1 0 pωq H 1 pωq in Abhängigkeit von u h P V h. 42 Das Residuum der exakten Lösung ist 0 `f, v ` u, : xrpuq, vy, (16.3) L 2 pωq v L 2 pωq daraus ergibt sich xrpu h q, vy ` pu u h q, v L 2 pωq, (16.4) also ein Zusammenhang zwischen dem Fehler und dem Residuum. 42 Das Residuum verschwindet auf dem Unterraum V h Ă V. Das gilt auch unter dem Einfluss von Q-Fehlern, den wir hier nicht betrachten. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

222 A-posteriori-Fehlerabschätzungen Idee: Aus (16.4) folgt mit v u u h und der Poincaré-Friedrichs-Ungleichung (8.4): c }u u h } 2 H 1 pωq ď u u h 2 H 1 pωq xrpu hq, u u h y ( ) ď }Rpu h q} H 1 pωq }u u h} H1 pωq ñ }u u h } H1 pωq ď c 1 }Rpu h q} H 1 pωq mit c 1 1 ` d 2 Ω. Unser Ziel muss es dabei sein, die Norm }Rpu h q} H 1 pωq zu lokalisieren (in zellweise Beiträge zu zerlegen), also eine Abschätzung der Gestalt xrpu h q, vy ď C η }v} H 1 pωq für alle v P V (16.5) mit lokalisierbaren Indikatoren η zu zeigen. Diese Abschätzung ergibt dann mit der speziellen Wahl v u u h und ( ) den A-posteriori-Fehlerschätzer 43 }u uh}h1pωq ď c 1 C η. (16.6) 43 Hier wird i.a. wieder die Konstante D nicht bekannt sein, aber η ist lokalisierbar und kann daher zur Steuerung einer adaptiven Gitterverfeinerung herangezogen werden. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

223 A-posteriori-Fehlerabschätzungen Wir formen dazu (16.2) um: xrpu h q, vy ÿ ż f v dx ÿ ż KPT ÿ KPT ÿ KPT ż ż K K K KPT Polynom K u h v dx pf ` lomon u h q v dx ÿ ż r K pu h q v dx ÿ ż EPE KPT wobei E die Menge der Kanten des Gitters ist und E BK pn u h q loooomoooon Bu h {Bn v ds r E pu h q v ds für alle v P V, r K pu h q : pf ` u h q K, r E pu h q : u h E (16.7) die zellorienten bzw. kantenorientierten Residuen sind. Beachte: Bei P 1 -Elementen ist u h 0 auf jeder Zelle K, nicht jedoch bei höheren FE-Ansätzen. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

224 A-posteriori-Fehlerabschätzungen Ähnlich wie in 12 ist hier u h E `p u h q K1 n 1 ` p u h q K2 n 2 E der (skalarwertige) Sprung der Normalenableitung n u h über die Kante E. 44 Auf Außenkanten der Zelle K setzt man u h E `p u h q K n E. Wegen der Galerkin-Orthogonalität (das Residuum verschwindet auf V h ) gilt also folgt xrpu h q, vy xrpu h q, v v h y für alle v P V, v h P V h, xrpu h q, vy ď ÿ für alle v P V und v h P V h. KPT }r K pu h q} L 2 pkq }v v h} L2 pkq ` ÿ }r E pu h q} L2 peq }v v h} L 2 peq EPE (16.8) 44 Man könnte diesen aus Gründen der Einheitlichkeit wohl auch vektorwertig definieren, indem man nochmal mit n 1 bzw. n 2 multipliziert. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

225 A-posteriori-Fehlerabschätzungen Zur Abschätzung von }v v h } L 2 pkq und }v v h} L 2 peq können wir keine Standard- Interpolationsfehlerabschätzungen (14.12) mit v h I T pvq verwenden, da die Regularität v P V H0 1 pωq in 2D/3D zur Punktauswertung nicht ausreicht. (Voraussetzung 14.1 (b) ist nicht erfüllt.) Idee: Definiere eine Quasi-Interpolierende von v, indem v zunächst durch patchweise konstante Funktionen ersetzt wird, für die dann die Punktauswertung definiert ist. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

226 A-posteriori-Fehlerabschätzungen Definition 16.2 (Clément-Quasi-Interpolierende) Es sei T ein konformes Dreiecks-Gitter auf Ω Ă R 2 und tpk, P K, Σ K qu KPT eine affine Familie von Lagrange-Elementen P 1. Es sei V h Ă V H0 1 pωq der dazugehörige V -konforme Standard-FE-Raum mit den globalen Basisfunktionen ϕ j, die den Lagrange-Punkten ta j u M j 1 im Inneren von Ω zugeordnet sind. (a) Die Menge Ω j bestehe aus den Zellen, die an den Knoten a j grenzen: Ω j tk P T : a j P Ku Knotenpatch. (b) Es sei π j : V Ñ P 0 pω j q die L 2 -orthogonale Projektion auf die konstanten Funktionen auf dem Knotenpatch Ω j, d.h., π j v 1 ż v dx. Ω j Ω j (c) Die Clément-Quasi-Interpolierende ist definiert durch I Cl pvq Mÿ pπ j vqpa j q ϕ j P V h. j 1 Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

227 A-posteriori-Fehlerabschätzungen Definition 16.2 (Fortsetzung) (c) Die Clément-Quasi-Interpolierende ist definiert durch I Cl pvq Mÿ pπ j vqpa j q ϕ j P V h. j 1 Wir verwenden also bei der Quasi-Interpolation eine patchweise Mittelwertbildung statt Punktauswertungen. (d) Es seien Ω E und Ω K diejenigen Zellen, die an die Kante E bzw. die Zelle K anstoßen: Ω E tk 1 P T : E X K 1 Hu Ω K tk 1 P T : K X K 1 Hu Kantenpatch Zellpatch. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

228 A-posteriori-Fehlerabschätzungen Abbildung 24: Beispiele der Patches bei der Clément-Interpolation: Ω K (oben), Ω E (unten libks) und Ω j (unten rechts) Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

229 A-posteriori-Fehlerabschätzungen Bemerkung 16.3 (zur Clément-Quasi-Interpolation) (a) Die Clément-Quasi-Interpolation ist i.a. keine Projektion, da sie nicht idempotent ist. (b) Die Anzahl der Zellen in Ω K und Ω E ist auf einem beliebigen Gitter auf Ω beschränkt durch eine Konstante, die monoton vom maximalen Aspektverhältnis abhängt: #pω K q ď c K pmax KPT γ Kq, #pω E q ď c E pmax KPT γ Kq. (16.9) Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

230 A-posteriori-Fehlerabschätzungen Lemma 16.4 (Eigenschaften der Clément-Quasi-Interpolation) Es sei tt h u hą0 eine formreguläre Familie von Gittern auf dem Gebiet Ω Ă R 2 mit den Voraussetzungen wie in Definition Dann gelten die Quasi- Interpolationsfehlerabschätzungen }v I Cl pvq} L2 pkq ď c Clpγq h K v H1 pω K q, (16.10a) }v I Cl pvq} L 2 peq ď c Clpγq h 1{2 E v H 1 pω E q (16.10b) für alle v P H 1 pωq mit einer Konstanten c Cl pγq, die nicht von v und nicht vom konkreten Gitter (jedoch vom maximalen Aspektverhältnis γ) abhängt. Dabei ist h E die Länge der Kante E. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

231 A-posteriori-Fehlerabschätzungen Satz 16.5 (Residuenbasierter A-posteriori-Fehlerschätzer) Es sei tt h u hą0 eine formreguläre Familie von Gittern auf Ω Ă R 2 mit maximalem Aspektverhältnis γ und mit den Voraussetzungen wie in Definition 16.2 (insbesondere Verwendung von P 1 -Elementen). Wählt man in (16.8) v h I Cl pvq, so folgt die A-posteriori-Abschätzung für das Poisson-Problem (16.1) }u u h } H1 pωq ď c 1 c Cl pγq a ÿ c K pγq KPT η 2 K ` c 1 c Cl pγq a ÿ c E pγq EPE 1{2 mit c 1 1 ` d 2 Ω und den zell- und kantenbasierten Fehlerindikatoren η 2 E 1{2 (16.11) η 2 K h 2 K }r K pu h q} 2 L 2 pkq η 2 E h E }r E pu h q} 2 L 2 peq. Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352

232 A-posteriori-Fehlerabschätzungen Abbildung 25: Adaptiv (links) und uniform verfeinertes Gitter (rechts). Oliver Ernst (Numerische Mathematik) Numerik partieller Differentialgleichungen Sommersemester / 352