Mathematik Vorkurs. für Maschinenbauer. Benjamin Dünnes M.Eng.

Transkript

1 Mathematik Vorkurs für Maschinenbauer M.Eng. Stand: Januar 2016

2 Buchempfehlungen für die regulären Mathematik I, II und III Vorlesungen: Mathematische Formelsammlung (Lothar Papula) Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 (Lothar Papula) Für den Mathe-Vorkurs sind keine Bücher notwendig. 2

3 INHALT MATHE VORKURS 1 ALLGEMEINE GRUNDLAGEN RATIONALE, IRRATIONALE UND REELLE ZAHLEN GRUNDRECHENARTEN INTERVALLE BRUCHRECHNUNG POTENZEN UND WURZELN GLEICHUNGEN LINEARE GLEICHUNGEN QUADRATISCHE GLEICHUNGEN GLEICHUNGEN 3. ODER HÖHEREN GRADES KUBISCHE GLEICHUNGEN WURZELGLEICHUNGEN DER BINOMISCHE LEHRSATZ LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME ÜBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL FUNKTIONEN UND KURVEN DARSTELLUNGSFORMEN EINER FUNKTION ANALYTISCHE DARSTELLUNG WERTETABELLE GRAPHISCHE DARSTELLUNG PARAMETERDARSTELLUNG ALLGEMEINE FUNKTIONSEIGENSCHAFTEN NULLSTELLEN SYMMETRIEVERHALTEN MONOTONIE PERIODIZITÄT GANZRATIONALE FUNKTIONEN KONSTANTE UND LINEARE FUNKTIONEN QUADRATISCHE FUNKTIONEN GEBROCHEN RATIONALE FUNKTIONEN NULLSTELLEN, DEFINITIONSLÜCKEN, POLE ASYMPTOTISCHES VERHALTEN EINER GEBROCHENRATIONALEN FUNKTION TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN SINUS UND KOSINUSFUNKTION TANGENS- UND KOTANGENSFUNKTION WICHTIGE BEZIEHUNGEN ZWISCHEN TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN TRIGONOMETRISCHER PYTHAGORAS 57 3

4 2.5.5 ADDITIONSTHEOREME ANWENDUNG IN DER SCHWINGUNGSLEHRE ÜBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL DIFFERENZIALRECHNUNG ABLEITUNG EINER FUNKTION ABLEITUNGSREGELN FAKTORREGEL SUMMENREGEL PRODUKTREGEL QUOTIENTENREGEL KETTENREGEL HÖHERE ABLEITUNGEN GEOMETRISCHE DEUTUNG DER 1. ABLEITUNG GEOMETRISCHE DEUTUNG DER 2. ABLEITUNG RELATIVE ODER LOKALE EXTREMWERTE WENDEPUNKTE SATTELPUNKTE ÜBUNGSAUFGABEN 78 4 INTEGRALRECHNUNG INTEGRATION ALS UMKEHRUNG DER DIFFERENTIATION UNBESTIMMTES INTEGRAL UND FLÄCHENFUNKTION ÜBUNGSAUFGABEN INTEGRALRECHNUNG 85 4

5 1 Allgemeine Grundlagen Rationale, irrationale und reelle Zahlen Rundungsregeln für reelle Zahlen In der Praxis wird mit endlich vielen Dezimalstellen gerechnet. Bei der Rundung auf n Dezimalstellen nach dem Komma gelten dann folgende Regeln: 1. Es wird abgerundet wenn in der (n + 1)-ten Dezimalstelle nach dem Komma eine 0, 1, 2, 3, oder 4 steht. 2. Es wird aufgerundet wenn in der (n + 1)-ten Dezimalstelle nach dem Komma eine 5, 6, 7, 8 oder 9 steht. 3. Rundungsfehler: 0,5 * 10 -n Beispiel: 5

6 1.2 Grundrechenarten Es sind vier Grundrechenarten erklärt: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division Ausnahme: Rechenregeln Kommutativgesetze Assoziativgesetze Distributivgesetz Beispiel: 6

7 1.2.1 Intervalle Intervalle sind spezielle Teilmengen von R, die auf der Zahlengerade durch zwei Randpunkte # und % begrenzt werden (# < %). Endliche Intervalle: Unendliche Intervalle: 7

8 1.2.2 Bruchrechnung Ein Bruch ( heißt echt, wenn # < % ist, sonst unecht. ) Beispiel: Kehrwert einer Zahl Regel: Beispiel: Erweitern eines Bruches mit einer Zahl k 0 Regel: Beispiel: 8

9 Kürzen eines Bruches durch eine Zahl k 0 Regel: Beispiel: Addition und Subtraktion zweier Brüche Regel: Beispiel: Multiplikation zweier Brüche Regel: Beispiel: 9

10 Division zweier Brüche Regel: Beispiel: Potenzen und Wurzeln Potenz Unter einer Potenz versteht man ein Produkt mit n gleichen Faktoren #: Ferner ( für # 0 ): # - = 1, # 12 = 3 ( 4 Beispiele: 10

11 Rechenregeln für Potenzen Beispiele: Wurzel Die eindeutig bestimmte nichtnegative Lösung x der Gleichung x n = a mit a 0 heißt n-te Wurzel aus a (n = 2, 3, 4,... ). Symbolische Schreibweise: 11

12 Rechenregeln für Wurzeln Merke: Beispiele: 12

13 1.3 Gleichungen Lineare Gleichungen Eine lineare Gleichung vom allgemeinen Typ Beispiel: Quadratische Gleichungen Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet: Die Lösungen dieser Gleichungen lauten: 13

14 Eine Fallunterscheidung wird dabei anhand der Diskriminante 6 = 7 8 vorgenommen: 8 : wiefolgt Beispiele: 14

15 1.3.3 Gleichungen 3. oder höheren Grades Eine algebraische Gleichung n-ten Grades ist in der Form: darstellbar. Sie besitzt höchstens n reelle Lösungen, die auch als Wurzeln der Gleichung bezeichnet werden. Ist n ungerade, so existiert mindestens eine reelle Lösung. Für Gleichungen bis einschließlich 4. Grades lassen sich allgemeine Formelausdrücke herleiten, die die Berechnung der Lösungen aus den Koeffizienten der Gleichung ermöglichen Kubische Gleichungen Kubische Gleichungen der speziellen Form in denen also das absolute Glied fehlt, lassen sich stets durch Ausklammern der Unbekannten x in eine lineare und eine quadratische Gleichung zerlegen: Beispiel: 15

16 Bi-quadratische Gleichungen Eine algebraische Gleichung 4. Grades vom speziellen Typ (es treten nur gerade Potenzen auf) heißt bi-quadratisch und lässt sich durch die Substitution ; = < 8 in eine quadratische Gleichung überführen: Aus den Lösungen dieser Gleichung erhalt man mittels der Rücksubstitution < 8 = ;die Lösungen der bi-quadratischen Gleichung. Eine bi-quadratische Gleichung besitzt daher entweder keine reelle Lösung oder aber zwei oder vier reelle Lösungen. Beispiel: 16

17 1.3.5 Wurzelgleichungen Die bisher behandelten Gleichungen konnten durch sog. äquivalente Umformungen schrittweise vereinfacht und schließlich gelöst werden, ohne dass dabei Lösungen hinzukamen oder verschwanden. Bei Wurzelgleichungen, in denen die Unbekannte in rationaler Form innerhalb von Wurzelausdrücken auftritt, ist dies i.a. nicht der Fall, wie das folgende Beispiel zeigt: Dieser Vorgang stellt jedoch eine nichtäquivalente Umformung dar. Die neue (quadratische)gleichung besitzt mehr Lösungen als die ursprüngliche Wurzelgleichung, wie wir im Folgenden noch zeigen werden. Dies sind die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung. Sind sie zugleich auch Lösungen der vorgegebenen Wurzelgleichung? 17

18 Diese Frage kann nur durch eine Probe, d. h. durch Einsetzen der gefundenen Werte in die Wurzelgleichung entschieden werden: 18

19 1.3.6 Der binomische Lehrsatz n-fakultät n! ist definitionsgemäß das Produkt der ersten n positiven ganzen Zahlen: Unter einem Binom versteht man eine Summe aus zwei Gliedern (Summanden) der allgemeinen Form a + b. Die n-te Potenz eines solchen Binoms lässt sich dabei nach dem Binomischen Lehrsatz wie folgt entwickeln: 19

20 Vereinfacht lassen sich die Binomialkoeffizienten nach folgender Formel berechnen: Pascalsches Dreieck Die Binomialkoeffizienten können auch direkt aus dem folgenden sog. Pascalschen Dreieck abgelesen werden (Bildungsgesetz: Jede Zahl ist die Summe der beiden unmittelbar links und rechts über ihr stehenden Zahlen): 20

21 Beispiele: 21

22 1.4 Lineare Gleichungssysteme In diesem Abschnitt behandeln wir das unter der Bezeichnung Gaußscher Algorithmus bekannte Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems. Auf lineare Gleichungssysteme stößt man in den Anwendungen beispielsweise bei der Behandlung und Lösung der folgenden Probleme: - Berechnung der in einem Fachwerk auftretenden Stabkräfte (z.b. Kranausleger, Brücken) - Bestimmung der Ströme in einem elektrischen Netzwerk - Berechnung der Eigenfrequenzen eines schwingungsfähigen Systems Beispiel mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten: Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei unbekannten Größen x und y vorgegeben: Gleichsetzungsverfahren: 22

23 Additionsverfahren: Einsetzungsverfahren: Beispiel mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten: Es sei ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei unbekannten Größen x, y und z vorgegeben: 23

24 Das von Gauß stammende Verfahren zur Lösung eines solchen Gleichungssystems ist ein Eliminationsverfahren, das schrittweise eine Unbekannte nach der anderen eliminiert, bis nur noch eine Gleichung mit einer einzigen Unbekannten übrigbleibt. In unserem Beispiel eliminieren wir zunächst die unbekannte Größe x wie folgt: Wir addieren zur 2. Gleichung die 1. Gleichung und zur 3. Gleichung das 5-fache der 1. Gleichung. Bei der Addition fallt dann jeweils die Unbekannte x heraus: Damit haben wir das lineare Gleichungssystem auf zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten y ; und z reduziert: Nun wird das Verfahren wiederholt. Um die zweite Unbekannte y zu eliminieren, addieren wir zur Gleichung (II*) das 3-fache der Gleichung (I*): Die beiden eliminierten Gleichungen (I) und (I*^) bilden dann zusammen mit der übriggebliebenen Gleichung (I**) ein sog. gestaffeltes Gleichungssystem, aus dem der Reihe nach von unten nach oben die drei Unbekannten x, y und z berechnet werden können: 24

25 Werte einsetzen. Das vorgegebene lineare Gleichungssystem besitzt daher genau eine Lösung: 25

26 Um den Lösungsweg zu verkürzen, werden die einzelnen Gleichungen in verschlüsselter Form durch ihre Koeffizienten und Absolutglieder (Cj) wie folgt repräsentiert: Um die Unbekannte x zu eliminieren, wird zur 2. Zeile die 1. Zeile und zur 3. Zeile das 5- fache der 1. Zeile addiert. Wir erhalten zwei neue (verschlüsselte) Gleichungen mit den unbekannten Größen y; und z. Nun addieren wir zur 2. Zeile (II*) das 3-fache der 1. Zeile (I*) und erhalten in verschlüsselter Form eine Gleichung (I**) mit der Unbekannten z. Das Rechenschema ist jetzt ausgefüllt. 26

27 1.5 Übungsaufgaben zu Kapitel 1 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 27

28 2 Funktionen und Kurven Definition und Darstellung einer Funktion Funktionen dienen zur Darstellung und Beschreibung von Zusammenhangen und Abhängigkeiten zwischen zwei physikalisch-technischen Messgrößen. So ist z.b. die Auslenkung einer elastischen Stahlfeder von der Größe der Belastung abhängig. Beim freien Fall sind Fallweg und Fallgeschwindigkeit zeitabhängige Größen, d.h. Funktionen der Zeit. Allgemein lässt sich der Funktionsbegriff wie folgt definieren: Diese (eindeutige) Zuordnung wird durch das Funktionszeichen f in der Form y = f(x) symbolisch ausgedrückt. Dabei sind folgende Bezeichnungen üblich: x: Unabhängige Veränderliche (Variable) oder Argument y: Abhängige Veränderliche (Variable) oder Funktionswert D: Definitionsbereich der Funktion W: Wertebereich oder Wertevorrat der Funktion Beispiele: 28

29 2.1 Darstellungsformen einer Funktion Analytische Darstellung Beispiele: Wertetabelle 29

30 2.1.3 Graphische Darstellung Die Funktionsgleichung y=f(x) ordnet jedem x-wert in eindeutiger Weise einen x-wert zu. Das Wertepaar (X 0; y 0 ) kann dann als ein Punkt P der Ebene mit einem rechtwinkligen Koordinatensystem gedeutet werden. Beispiele: 30

31 2.1.4 Parameterdarstellung Bei der mathematischen Beschreibung eines Bewegungsablaufes ist es oft zweckmäßig, die augenblickliche Lage des Körpers durch kartesische Koordinaten (x; y) zu beschreiben, die sich aber mit der Zeit t verändern, d.h. Funktionen der Zeit sind: Beispiele: 31

32 2.2 Allgemeine Funktionseigenschaften Nullstellen In einer Nullstelle x 0 schneidet oder berührt die Funktionskurve die x-achse. Beispiele: 32

33 2.2.2 Symmetrieverhalten Die Funktionskurve einer geraden Funktion ist spiegelsymmetrisch zur y-achse angeordnet: Jeder auf der Kurve gelegene Punkt geht durch Spiegelung an der y-achse wieder in einen Kurvenpunkt über. Beispiele: Das Schaubild einer ungeraden Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung: Spiegelt man einen beliebigen Kurvenpunkt am Nullpunkt, so liegt der Bildpunkt ebenfalls auf der Funktionskurve. 33

34 2.2.3 Monotonie Fine streng monoton wachsende Funktion besitzt demnach die Eigenschaft, dass zum kleineren x-wert stets auch der kleinere y-wert gehört. Bei einer streng monoton fallenden Funktion ist es genau umgekehrt: Zum kleineren Abszissenwert gehört stets der größere Ordinatenwert Beispiele: 34

35 2.2.4 Periodizität Zahlreiche Vorgänge in Naturwissenschaft und Technik verlaufen periodisch, d.h. sie wiederholen sich in regelmäßigen (meist zeitlichen) Abstanden. Musterbeispiele hierfür sind die mechanischen und elektromagnetischen Schwingungen. Zur Beschreibung solcher Abläufe werden periodische Funktionen benötigt, die wie folgt definiert sind: Beispiel: 35

36 2.3 Ganzrationale Funktionen Beispiele: Polynomfunktionen besitzen in vieler Hinsicht besonders einfache und überschaubare Eigenschaften und spielen daher in den Anwendungen eine bedeutende Rolle. Gründe hierfür sind u.a.: - Polynomfunktionen lassen sich problemlos differenzieren und integrieren - Zahlreiche bei der Lösung naturwissenschaftlich-technischer Probleme auftretende Funktionen können zumindest in bestimmten Teilbereichen durch ganzrationale Funktionen angenähert werden Konstante und lineare Funktionen Polynomfunktionen vom Grade 0 bezeichnet man als konstante Funktionen: y = const. = a 0 odery = const. = a In der graphischen Darstellung erhalt man eine zur x-achse parallel verlaufende Gerade. 36

37 Lineare Funktionen Neben der Haupt- oder Normalform y=mx+b sind noch weitere Formen der Geradengleichung von Bedeutung: Punkt-Steigungsform einer Geraden 37

38 Zwei-Punkte-Form einer Geraden Beispiele: 38

39 2.3.2 Quadratische Funktionen In der graphischen Darstellung erhalt man eine Parabel. Der Koeffizient a bestimmt die Öffnung der Parabel, wobei gilt: a > 0: Parabel ist nach oben geöffnet, Scheitelpunkt ist zugleich Tiefpunkt a < 0: Parabel ist nach unten geöffnet, Scheitelpunkt ist zugleich Hochpunkt Die einzige Symmetrieachse der Parabel verläuft parallel zur y-achse durch den Scheitelpunkt S. 39

40 Produktform einer Parabel Beispiele: 40

41 Scheitelpunktform einer Parabel Beispiel 1: 41

42 Beispiel 2: 42

43 Polynomfunktionen höheren Grades Horner Schema 43

44 44

45 Abspaltung eines Linearfaktors Beispiel: 45

46 Nullstellen einer Polynomfunktion Beispiele 46

47 Produktdarstellung einer Polynomfunktion Beispiele: 47

48 2.4 Gebrochen rationale Funktionen Beispiele: 48

49 2.4.1 Nullstellen, Definitionslücken, Pole Eine gebrochenrationale Funktion besitzt überall dort eine Nullstelle x 0, wo das Zählerpolynom g(x) den Wert Null, das Nennerpolynom h(x) jedoch einen von Null verschiedenen Wert annimmt: Beispiel: In den Nullstellen des Nennerpolynoms ist eine gebrochenrationale Funktion nicht definiert, da die Division durch die Zahl Null nicht erlaubt ist. Stellen dieser Art werden daher folgerichtig als Definitionslücken der Funktion bezeichnet. Eine gebrochenrationale Funktion besitzt daher höchstens n Definitionslücken. Definition: 49

50 Beispiele: 50

51 2.4.2 Asymptotisches Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion Eine echt gebrochenrationale Funktion nähert sich für große x-werte stets asymptotisch der x- Achse, da das Nennerpolynom infolge des höheren Grades schneller wachst als das Zählerpolynom. Die Gleichung der Asymptote im Unendlichen, d.h. für < ± lautet daher y = 0 (x-achse). Bei einer unecht gebrochenrationalen Funktion / (x) muss man wie folgt verfahren, um ihr Verhalten im Unendlichen beurteilen zu können: 51

52 52

53 2.5 Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen (auch Winkelfunktionen genannt) sind periodische Funktionen und daher zur Beschreibung und Darstellung periodischer Bewegungsabläufe besonders geeignet. Als Beispiele hierfür führen wir an: - Mechanische und elektromagnetische Schwingungen (z.b. Federpendel, elektromagnetischer Schwingkreis) - Biegeschwingungen, Torsionsschwingungen - Gekoppelte Schwingungen - Ausbreitung von Wellen Definition der trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck 53

54 Winkelmaße 54

55 Darstellung der Sinus- und Cosinusfunktion im Einheitskreis 55

56 2.5.1 Sinus und Kosinusfunktion Definitionsbereich Wertebereich Periode Symmetrie Nullstellen Relative Maxima Relative Minima Tangens- und Kotangensfunktion 56

57 2.5.3 Wichtige Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen Trigonometrischer Pythagoras Additionstheoreme 57

58 2.5.6 Anwendung in der Schwingungslehre Bei der Beschreibung von (mechanischen oder elektromagnetischen) Schwingungsvorgängen benötigt man Sinus- und Kosinusfunktionen in der allgemeinsten Form. Bedeutung der Der Faktor a in der Funktion y = a sin(x) bewirkt eine Veränderung der Funktionswerte gegenüber der Ausgangsfunktion y = sin (x).der neue Wertebereich lautet Beispiel: # A #. 58

59 Bedeutung der Konstanten b Der Faktor b im Argument der Sinusfunktion y = sin(bx) verändert gegenüber der Ausgangsfunktion y = sin (x) die Periode: Beispiele: 59

60 Bedeutung der Konstanten c Die Konstante c in der Sinusfunktion y = sin (x + c) bewirkt eine Verschiebung der Sinuskurve y = sin(x) längs der x-achse. Während die 1. positive Nullstelle von y = sin (x) bekanntlich an der Stelle x 0 = 0 liegt, befindet sich die entsprechende Nullstelle von y = sin (x + c)an der Stelle x 0 = -c(man setzt das Argument der Funktion gleich Null): Beispiele: 60

61 2.6 Übungsaufgaben zu Kapitel

62

63

64 3 Differenzialrechnung 3.1 Ableitung einer Funktion 3.2 Ableitungsregeln Funktion f(x) Ableitung f (x) Konstante Funktion Potenzfunktion Wurzelfunktion Trigonometrische Funktion 64

65 Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Beispiele: 65

66 3.2.1 Faktorregel Beispiele: 66

67 3.2.2 Summenregel Beispiele: 67

68 3.2.3 Produktregel Beispiele: 68

69 3.2.4 Quotientenregel Beispiele: 69

70 3.2.5 Kettenregel Beispiele: 70

71 71

72 3.3 Höhere Ableitungen 3.4 Geometrische Deutung der 1. Ableitung 72

73 3.5 Geometrische Deutung der 2. Ableitung 73

74 3.6 Relative oder lokale Extremwerte Beispiele: 74

75 75

76 76

77 3.7 Wendepunkte Sattelpunkte Beispiel 77

78 3.8 Übungsaufgaben

79 4 Integralrechnung 4.1 Integration als Umkehrung der Differentiation In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen stellt sich aber auch häufig das umgekehrte Problem: Von einer zunächst noch unbekannten Funktion y = f(x) ist die Ableitung y' = f (x) bekannt und die Funktion selbst ist zu bestimmen. Die Aufgabe besteht also darin, von der gegebenen Ableitung auf die Funktion zu schließen: Beispiele: 79

80 80

81 Wir nehmen noch folgende Umbenennungen vor: Wir definieren also: Beispiele: 81

82 4.2 Unbestimmtes Integral und Flächenfunktion 82

83 Beispiel 1: Beispiel 2: 83

84 Beispiel 3: 84

85 4.3 Übungsaufgaben Integralrechnung 1. Bestimmen Sie sämtliche Stammfunktionen zu: a.) C < = 4< E 6< G + 8< 8 3< + 5 b.) C L = 3 sin L 4 cos L c.) C L = 2 T U E U Lösen Sie das nachstehende unbestimmte Grundintegral: T V + < 8 2< + sin < W< 3. Welchen Wert besitzt das folgende bestimmte Integral: X - < G 5< 8 + 1,5< 10 W<