Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800)

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1 INSTITUT FÜR ELEKTRISCHE ENERGIETECHNIK TECHNISCHE UNIVERSITÄT CLAUSTHAL Direktor: Prof. Dr.-Ing. Hans-Peter Beck Akad. Oberrat: Dr.-Ing. Ernst-August Wehrmann Übungsaufgaben zu Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) 1. Aufgabe Der ohmsche Widerstand in dem dargestellten Stromkreis bestehe aus einem Kupferleiter mit einem Querschnitt von 1 mm 2. Die Widerstände der Zuleitungen können vernachlässigt werden. Wie groß ist die Strömungsgeschwindigkeit der Elektronen im Kupferdraht, wenn die Spannung U G des Generators a) 1 V; b) 10 V; c) 100 V beträgt? 2. Aufgabe: Wie groß muß ein Widerstand gemacht werden, damit bei einem Strom von 16 A eine Leistung von 1024 W umgesetzt wird? Welche Spannung muß in diesem Fall an den Widerstand gelegt werden? 3. Aufgabe: Zwei Glühlampen für U = 110 V haben die Leistungsangaben P 1 = 40 W und P 2 = 60 W. Sie liegen in Reihe an einer Spannung von 220 V. Welche Leistungen werden in beiden Lampen umgesetzt? Anmerkung: Vorausgesetzt ist, daß die Widerstände der Glühlampen konstant sind, was in der Praxis nicht der Fall ist, da R = f( ) 4. Aufgabe: Die Abbildung zeigt ein Netzwerk, das aus einer Gleichspannungsquelle gespeist wird. a) Wie groß sind die sechs Zweigströme I und bis I 5? b) Wie groß ist der Gesamtwiderstand zwischen den Klemmen A und B? WS 98/99 Wh / Institut für Elektrische Energietechnik

2 Seite 2 Gleichstrom-Netzwerke (W8800) Grundlagen der Elektrotechnik I Übungsaufgaben 5.Aufgabe: Ein Spannungsteiler mit dem Gesamtwiderstand R = R 1 + R 2 = 400 Ω liegt an der Spannung U 0 = 100 V. Wie groß müssen die Teilwiderstände R 1 und R 2 sein, damit am Belastungswiderstand R B = 800 Ω eine Spannung von U B = 40 V liegt? 6. Aufgabe: Gegeben ist eine (reale) Spannungsquelle mit linearem Strom-Spannungsverhalten. Diese soll durch eine Ersatzspannungsquelle nachgebildet werden. Hierzu werden zwei Belastungsversuche mit verschiedenen Widerständen (R 1 und R 2 ) durchgeführt. Es ergeben sich folgende Meßwerte: 1) = 50 A bei R 1 = 1 Ω 2) = 10 A bei R 2 = 9 Ω a) Wie groß sind die Leerlaufspannung U q, der Innenwiderstand R i und der Kurzschlußstrom I k? b) Bei welchem Belastungswiderstand R L gibt die Spannungsquelle die maximale Leistung ab? 7. Aufgabe: Zwei Generatoren mit den Leerlaufspannungen U 1 und U 2 und den inneren Widerständen R 1 und R 2 arbeiten parallel auf ein Netz, das den Strom I entnimmt. Zahlenwerte: U 1 = 120 V; U 2 = 122 V; I = 100 A; R 1 = R 2 = 0,05Ω. a) Wie groß sind die Teilströme und? b) Wie groß ist die Klemmenspannung U AB der beiden Generatoren? 8. Aufgabe: Gegeben ist ein Netzwerk mit zwei Stromquellen I und IV und zwei Spannungsquellen II und III. Bekannt sind: I K1 = 4 A; I K4 = 1 A; U 02 = 1 V; U 03 = 6 V; R 1 = 1 Ω; R 2 = 1 Ω; R 3 = 1 Ω; R 4 = 3 Ω Gesucht sind: 1. Die Ströme bis I 5 2. Die Spannungen U AB, U AC, U CD, U DE und U BE. Institut für Elektrische Energietechnik Wh / WS 98/99

3 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 3 Übungsaufgaben Gleichstrom-Netzwerke 9. Aufgabe: In der Abbildung ist ein Netzwerk mit zwei Gleichspannungsquellen dargestellt. Der Laststrom I ist zu berechnen. Hierzu soll der linke Teil des Netzwerkes in eine Ersatzspannungsquelle bezüglich der Klemmen A und B umgewandelt werden. 10. Aufgabe: Ein elektrischer Widerstand nimmt bei einer Temperatur von 20bC an einer Gleichspannung von 160 V eine Leistung von 256 W auf. Bei einer Umgebungstemperatur von 270bC sinkt die Leistungsaufnahme auf die Hälfte. a) Welchen Strom nimmt der Verbraucher jeweils auf? b) Wie groß ist der elektrische Widerstand bei 20bC? c) Welchen mittleren Temperaturkoeffizienten weist das Widerstandsmaterial im Bereich zwischen 20bC und 270bC auf? d) Wie groß ist der elektrische Widerstand bei 320bC (gleicher Temperaturkoeffizient vorausgesetzt)? e) Welchen spezifischen Widerstand hat der Widerstandsdraht bei 20bC, wenn der Draht 200 cm lang ist und eine Stromdichte von 1,6 A/mm 2 herrscht? f) Auf welchen Wert müßte die Speisespannung gesteigert werden, damit bei 270bC die ursprüngliche Leistung bei 20bC aufgenommen wird? 11. Aufgabe: Gegeben ist ein Drehspulmeßwerk mit dem Innenwiderstand R M = 100 Ω und dem Meßbereichsendwert U Me = 1,5 V. Dieses soll a) als Voltmeter mit dem Meßbereichsendwert U V = 150 V b) als Amperemeter mit dem Meßbereichsendwert I A = 1,5 A verwendet werden. Wie ist in beiden Fällen das Meßwerk zu beschalten, um die geforderte Aufgabe zu erfüllen? WS 98/99 Wh / Institut für Elektrische Energietechnik

4 Seite 4 Gleichstrom-Netzwerke (W8800) Grundlagen der Elektrotechnik I Übungsaufgaben 12. Aufgabe: Ein Heißwasserspeicher mit 70 l Inhalt und einer Leistungsaufnahme von 1500 W soll mit Nachtstrom ( 0,13 DM/kWh) von 15bC auf 90bC Wassertemperatur aufgeheizt werden. Der Wirkungsgrad η kann mit 87% angenommen werden. Gesucht sind die Stromkosten für die erforderliche elektrische Arbeit und die Aufheizdauer. 13. Aufgabe: Gegeben ist ein Netzwerk, das vier nichtlineare Widerstände enthält. Diese Widerstände sind wie folgt stromabhängig: R 1 a 1 ] 1 ; R 2 a 2 ] 2 ; R 3 a 3 ] 3 ; R 4 a 4 ] 4 mit: a 1 4 Ω A 2; a 2 6 Ω A 2; a 3 1 Ω A 2; a 4 2 Ω A 2; U 1 21 V; U 2 7 V; U V; U 4 20 V Man bestimme: a) Die Ströme - I 4 b) Die in den vier Widerständen umgesetzten Leistungen. c) Die von den Spannungsquellen abgegebenen bzw. aufgenommen Leistungen. 14. Aufgabe: Die Stoßstange eines Autos mit der Oberfläche A = 3600 cm 2 soll verchromt werden. Zu diesem Zweck wird sie t = 16 min in ein vom Strom I = 1 ka durchflossenes Galvanisierungsbad getaucht. Wie dick ist die Chromauflage nach Beendigung des Galvanisiervorganges? M Cr = 52]10-3 kg/mol; z = 2; ρ = 7,2]10 3 kg/m 3 Institut für Elektrische Energietechnik Wh / WS 98/99

5 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 5 Übungsaufgaben Elektrische und magnetische Felder 15. Aufgabe: In der Abbildung sind zwei Kondensatoren mit verschieden angeordneten Dielektrika dargestellt. Die Plattenfläche beträgt A, der Plattenabstand l. Randeffekte sind zu vernachlässigen. Wie groß sind die Kapazitäten C 1 und C 2? 16. Aufgabe: Zwischen zwei dünnwandigen, koaxial angeordneten Metallrohren mit der Länge l soll eine Spannung U herrschen. a) Wie groß muß der Radius r 1 des Innenleiters sein, damit bei vorgegebenem Außenradius r 2 das elektrische Feld an der Oberfläche der Innenelektrode minimal wird? b) Wie verändert sich der Wert für die Feldstärke an der Oberfläche der Innenelektrode, wenn ihr Radius r 1 bei festem r 2 kleiner wird und im Grenzfall zu Null wird? 17. Aufgabe: Die drei Leiter einer Freileitung werden von den Strömen = 20A; = 55A und I 3 = 35A durchflossen (siehe Abb). Die Abstände der Leiter voneinander sind: a = 830mm, b = 400mm, c = 650mm. Wie groß ist die magnetische Feldstärke im Punkt P? 18. Aufgabe: Eine einlagige Spule, die n Windungen, die Länge l und den Windungsdurchmesser d aufweist, wird vom Strom I durchflossen. Das Feld im Spuleninneren ist praktisch homogen. Es wird dort eine Induktion B 0 gemessen. (Spule in Luft, d. h. µ r = 1). Daten: d = 6 cm; l = 0,4 m; n = 200; I = 4 A; B 0 = 2,2 mt a) Wie groß sind die magnetischen Spannungen über dem Spuleninnen- und -außenraum? b) Wie groß ist der magnetische Fluß in der Spule? WS 98/99 Wh / Institut für Elektrische Energietechnik

6 Seite 6 Elektrische und magnetische Felder (W8800) Grundlagen der Elektrotechnik I Übungsaufgaben 19. Aufgabe: Wie groß ist die magnetische Feldstärke in den Luftspalten des dargestellten magnetischen Kreises? Daten: d = 0,5mm µ r S Q I = 10A w = Aufgabe: Gegeben ist der abgebildete Eisenkreis mit zwei Erregerwicklungen n 1 und n 2. Die Streuung am Luftspalt sei vernachlässigbar. Der Eisenquerschnitt A ist an allen Stellen gleich. Daten: A = 1 cm 2 n 1 = 100 n 2 = 500 = 5 A = 1 A l 1 = 40 mm l 2 = 48,3 mm; l 3 = 80 mm l 4 = 48,3 mm l 5 = 40 mm l L = 1 mm µ r = 1000 µ 0 = 4π 10-7 Vs/Am Gesucht wird: a) Das elektrische Ersatzschaltbild des magnetischen Kreises. b) Der magn. Fluß Φ im Luftspalt. c) Die magn. Feldstärke H im Luftspalt. d) Die magnetische Spannung im Eisen. e) Die Induktivität der Spule n 1 für den Fall, daß der Stromkreis der Spule 2 geöffnet ist. 21. Aufgabe: Gegeben ist ein ringförmiger Eisenkern, der zwei gleiche Erregerwicklungen trägt (n 1 = n 2 ). ` Der magnetische Fluß B ist über den Querschnitt A homogen verteilt. ` Die Streuung ist zu vernachlässigen. ` Die magnetische Permeabilität des Eisens µ rfe ist konstant. Die beiden Wicklungen werden auf zwei verschiedene Arten in Reihe geschaltet: a) gleichsinnig (Verbindung 1b - 2a) b) gegensinnig (Verbindung 1b - 2b). Wie groß ist jeweils die Gesamtinduktivität der beiden Reihenschaltungen zwischen den Anschlußklemmen 1a - 2b bzw. 1a - 2a? Hinweis: Berechnung nach der Definitionsgleichung: Ln ] Φ I Institut für Elektrische Energietechnik Wh / WS 98/99

7 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 7 Übungsaufgaben Elektrische und magnetische Felder 22. Aufgabe: Gegeben ist ein magnetischer Kreis (s. Bild). Die Windungszahlen beider Spulen seien gleich. Wie groß ist die Gegeninduktivität beider Spulen, ausgedrückt durch die Selbstinduktivität L 1 der Spule 1, wenn der magnetische Widerstand aller Zweige gleich groß ist? (w 1 = w 3, Φ 2 = Φ 3 ) 23. Aufgabe: Der skizzierte magnetische Kreis wird auf dem Mittelschenkel mit Θ = 1308 A erregt. Wie groß muß die Länge x des Luftspaltes 2 sein, damit im Luftspalt 1 eine Flußdichte von B = 1,256T entsteht? (Der mittlere Feldlinienweg ist gestrichelt eingezeichnet. Die Streuung soll vernachlässigt werden.) ` ` ` Die Luftspaltlängen wurden bei der Ermittlung der mittleren Eisenweglängen vernachlässigt. Maßangaben in Millimeter Dicke des Eisenpaketes: 20 mm Magnetisierungskurve: B/T 0,628 0,942 1,256 1,50 H / (A/cm) 1,7 3,8 9,0 24,0 WS 98/99 Wh / Institut für Elektrische Energietechnik

8 Seite 8 Wechselstrom-Netzwerke (W8800) Grundlagen der Elektrotechnik I Übungsaufgaben 24.Aufgabe: Eine ebene rechteckige Stromschleife befindet sich in einem homogenen Magnetfeld und ist drehbar gelagert. Sie wird mit der Drehzahl n D = 3000 min -1 angetrieben. Wie groß ist die in der Schleife induzierte Spannung, die an den Leiterenden über eine geeignete Schleifringanordnung abgenommen werden kann. (Prinzip des Wechelstromgenerators)? a = 500 mm; b = 600 mm; B = 0,5 T; n D = 3000 min -1 = 50 s Aufgabe: Berechnen Sie für den gezeichneten Spannungsverlauf den arithmetischen Mittelwert, den Gleichrichtwert und den Effektivwert. 26. Aufgabe: In der abgebildeten Schaltung sei Z nacheinander ein ohmscher Widerstand, eine Induktivität und eine Kapazität. Es ist für alle drei Varianten der Strom I zu berechnen, wenn eine Spannung von U = 220 V mit den Frequenzen 0 Hz, 50 Hz und 50 khz angelegt wird. R = 220 Ω, L = 1 H, C = 10 µf U I V A Z 27. Aufgabe: Berechnen Sie die resultierende Spannung u(t) nach Betrag und Phase, wenn ein sinusförmiger Strom i(t) = i^ sin ωt eingespeist wird. u(t) i(t) R C 2C 3C Institut für Elektrische Energietechnik Wh / WS 98/99

9 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 9 Übungsaufgaben Wechselstrom-Netzwerke 28. Aufgabe: In der dargestellten Schaltung (Reihenschwingkreis) ist ein Wechselstrom i(t) = i^ sin ωt eingeprägt. I U U R U L U C a) Bestimmen Sie Betrag und Phase der Eingangsspannung mit Hilfe der Zeigerdarstellung für den allgemeinen Fall und für den Resonanzfall. b) Bestimmen Sie Wirk- Blind- und Scheinleistung, wenn I = 1 A, ωl = 100 Ω, 1/ωC = 50 Ω und R = 50 Ω ist. R L C 29. Aufgabe: Gegeben ist die angegebene Schaltung: a) Berechnen Sie allgemein (als Formel) U 2 /U 1. b) Wie groß ist der Betrag von U 2 /U 1? c) Um welchen Winkel ist U 2 gegenüber U 1 phasenverschoben? d) Skizzieren Sie die Größe U 2 /U 1 als Funktion der Kapazität (für R 1 = R 2 ). e) Beantworten Sie die Fragen b) und c) für folgende Zahlenwerte: U 1 = 96,2V; f = 25Hz; R 1 = 3600Ω; R 2 = 400Ω; C = 5µF. U 1 R 1 R 2 C U 2 f) Eine Induktivität L werde einmal parallel zu R 2 geschaltet, einmal in Reihe zu C. Wie groß muß L jeweils gewählt werden, damit Resonanz auftritt. (Zahlenwerte wie unter e) g) Wie groß ist den beiden unter f) genannten Fällen der von der Spannungsquelle U 1 gelieferte Strom? 30. Aufgabe: In der angegebenen Schaltung mit den beiden gleich großen Widerständen R 1 und der Kapazität C = 1µF kann der Widerstand R 2 zwischen den Werten R 2 ' = 20Ω und R 2 '' = 2kΩ beliebig eingestellt werden. Zwischen welchen Grenzen läßt sich die Phasenverschiebung der Spannung U CD gegenüber der Spannung U verändern, wenn die Frequenz f = 800Hz beträgt? U R 1 R C 1 U A CD B R 2 D C WS 98/99 Wh / Institut für Elektrische Energietechnik

10 Seite 10 Wechselstrom-Netzwerke (W8800) Grundlagen der Elektrotechnik I Übungsaufgaben 31. Aufgabe: Gegeben ist das folgende Netzwerk: 1) Wie groß muß C sein, damit I 5 = 0 wird (ω = 2πf = 2500 s -1 )? 2) Berechnen Sie für das unter 1) ermittelte C: a) die Ströme bis I 4, b) die in den vier ohmschen Widerständen umgesetzen Leistungen, c) die von den beiden Spannungsquellen gelieferten Wirkleistungen. U 1 = 100V C I 3 Z R 2 3 I 6 c I R R 1 I 8 Z L j6 I 7 4 R 3 10 U2 = j100v 32. Aufgabe: Für den angegebenen Resonanzkreis sind die Resonanzfrequenz und der bei dieser Frequenz wirksame Widerstand der Schaltung zu bestimmen. R 1 =400 R =100 2 L=32mH C=1 uf 33. Aufgabe: Ein Generator (R i = 0, Klemmspg. 220 V, f=50 Hz) ist mit einem Verbraucher mit dem Leistungsfaktor cosœ = 0,8 (ind.) zusammengeschaltet. Der Verbraucher nimmt dabei die Wirkleistung P w = 3,52 kw auf. a) Wie groß ist der Strom, der durch den Verbraucher fließt nach Betrag und Phase, wenn die Generatorspannung als Bezugszeiger gewählt wird? b) Zwischen Generator und Verbraucher wird ein 100 m langes zweiadriges Anschlußkabel geschaltet. Der Querschnitt jedes Leiters beträgt 2 mm 2 (ρ = 0,018 Ωmm 2 /m). Welche Spannung muß der Generator erzeugen, damit die Wirkleistung im Verbraucher unverändert bleibt? Welcher Phasenwinkel zwischen Generatorspannung und Verbraucherstrom stellt sich ein? c) Der Verbraucher wird wieder direkt an dem Generator angeschlossen. Wie groß muß die Kapazität eines parallel zum Verbraucher geschalteten Kondensators sein, damit der zwischen Generator und Verbraucher pendelnde Leistungsanteil (Blindleistung) Null wird? d) Wie groß ist der Kondensator zu wählen, wenn er nicht parallel zum Verbraucher, sondern in Reihe zwischen Generator und Verbraucher geschaltet werden soll? Wie groß ist die Spannung am Verbraucher? (Generatorspannung bleibt konstant auf 220V). e) Welche Wirkleistungen werden in den Fällen c) und d) vom Generator abgegeben? Institut für Elektrische Energietechnik Wh / WS 98/99

11 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite Aufgabe Metalle enthalten, bezogen auf das Volumen, n = cm -3 freie Elektronen. Jedes Elektron weist die Elektrizitätsmenge -e auf, damit enthält jeder cm -3 eines Metalls die frei bewegliche Elektrizitätsmenge -n]e. Die Elementarladung beträgt e = 1,602 ] As Für Elektronen gilt: Q E = -e, M E = 9,109 ] kg Für Protonen gilt: Q P = +e, M P = 1,672 ] kg Viele physikalische Effekte beruhen auf dem großen Masseunterschied zwischen Protonen und Elektronen (m P / m E = 1835) bei gleichem Ladungsbetrag. Fließt nun ein elektrischer Strom, so bewegt sich in einem Draht der Länge l und des Querschnittes A unter Einfluß einer äußeren Kraft (Feldstärke) die Elektrizitätsmenge Q = n](-e)] l]a ( mit l]a = Volumen des Drahtes). Die auf die Zeit bezogene Elektrizitätsmenge wird als elektrischer Strom I bezeichnet. I Q t n](e)] l]a t n](e)]a] l t Hierbei ist vorausgesetzt, daß der Leiter einen konstanten Querschnitt hat und daß der Strom I gleichmäßig über den Querschnitt verteilt ist (konstante Stromdichte). Dann haben die Elektronen überall die gleiche Geschwindigkeit. Aus der obigen Gleichung für den Strom ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit der Elektronen: v e l t I n](e)]a 1 n]e ] I A S n]e Das negative Vorzeichen berücksichtigt, daß sich die Elektronen entgegen der konventionellen Richtung des Stromes bewegen. Die Strömungsgeschwindigkeit der Elektronen ist also bei konstanter Elektronendichte n (materialabhängig) unmittelbar der Stromdichte S = I/A proportional. WS 98/99 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

12 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 1.2 _ Der Strom ergibt sich nach dem ohmschen Gesetz zu I U R und die Stromdichte zu S U R]A Einsetzen der Zahlenwerte ergibt: R = 1Ω, A = 1 mm 2 S a 1V 1Ω]1mm 1A 2 mm 1A m]10 3 m 1 A 10 6 m A m 2 S b 10V 10A 1Ω]1mm 2 mm 2 10]S a S c 100V 1Ω]1mm 2 100A mm 2 100]S a Für den Betrag der Strömungsgeschwindigkeit ergibt sich somit, mit n = 0,85]10 23 cm -3 für Kupfer: v e,a 1A]mm 2 0,85]10 23 cm 3 ]0,1602]10 18 As 100A]cm 2 0,85]10 23 cm 3 ]0,1602]10 18 As 100]cm 0,85]10 23 ]0,1602]10 18 s 7,34]103 cm]s 1 0,0734mm/s Aus der Proportionalität zwischen Strömungsgeschwindigkeit und Stromdichte ergeben sich weiterhin: v e,b 10]v e,a 0,734mm/s v e,c 100]v e,a 7,34mm/s Vergleichende Rechnung für Halbleiter mit einer deutlich geringeren Ladungsträgerkonzentration von n = cm -3 und der für den Fall a geltenten Stromdichte von S = 1 A/mm 2 : v e,h v 1A]mm cm 3 ]0,1602]10 18 As 100A]cm 2 cm 3 ]0,1602]10 4 As 624]104 cm/s 62400m/s 62,4km/s nur geringere Stromdichten möglich Institut für Elektrische Energietechnik Wh SS 97

13 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite Aufgabe Bei der Berechnung von elektrischen Netzwerken wird zunächst ein (Ersatz-) Schaltbild (ESB) erstellt. Hierfür gelten folgende Vereinbarungen: 1. Die Verbindungen zwischen den Schaltsymbolen werden widerstandslos angenommen. 2. Die elektrischen Eigenschaften von Bauelementen werden konzentriert in Schaltsymbolen angenommen. 3. Alle Elemente sind, wenn nicht ausdrücklich anders angegeben, linear und zeitlich konstant. Somit wird für eine reale Schaltung ein ESB aufgestellt, das oftmals noch weitere Vereinfachungen enthält. Zu den vier Größen in diesem Schaltbild, U, I, P und R, lassen sich die zwei Gleichungen: U=R*I und P=U*I aufstellen. Aus diesen Gleichungen sind zwei Größen berechenbar, die beiden anderen müssen bekannt sein. Gegeben ist: I=16 A und P=1024 W, gesucht: U und R. Aus P U]I folgt: U P I 1024W 16A 1024VA 16A 64V Aus U R]I folgt: R U I 64V 16A 4 V A 4Ω Andere Möglichkeiten (Mit P ]R): R P 1024W 256A 2 4 VA A 2 4Ω U R]I 4Ω]16A 64V oder: U P I 1024W 16A 64V R U 2 P (64V)2 1024W 4Ω WS 98/99 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

14 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite Aufgabe Netzwerksanalyse: Reale elektrische Schaltungen bestehen aus mehreren Bautelementen (Spannungs- und Stromquellen, Widerständen, Spulen, Kondensatoren, elektr. Maschinen usw.), die über Leitungen miteinander verbunden sind, welche im allgemeinen nicht widerstandslos sind. Die Gesamtschaltung wird Netzwerk genannt. Eine Verbindungsstelle mehrerer Leitungen heißt Knoten (Stromverzweigung). Die Verbindung zwischen zwei Knoten heißt Zweig. Jeder geschlossene Umlauf über mehrere Zweige bildet eine Masche. Im Ersatzschaltbild (ESB) werden die Eigenschaften der realen Bauelemente in konzentrierten Schaltsymbolen zusammengefaßt. Die Verbindungen zwischen den Schaltsymbolen werden als widerstandslos aufgefaßt. Die Daten der Bauelemente werden häufig auf sog. Typenschildern angegeben und als Nenndaten bezeichnet. (Nennspannung, Nennstrom, Nennleistung usw.) Wenn nicht anders vermerkt, geben die Nenndaten diejenigen Werte an, die dauernd zulässig sind, ohne daß das Schaltelement thermisch überlastet wird. WS 98/99 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

15 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 3.2 _ zur Aufgabe: Zunächst wird das Ersatzschaltbild der Schaltung ermittelt: Die Widerstände R 1 und R 2 lassen sich mit Hilfe des ohmschen Gesetzes aus den gegebenen Nenndaten (U n, P 1, P 1 ) ermitteln: P U 2 n R Damit wird R 1 U 2 n P 1 R 2 U 2 n P 2 (110V)2 40W 302,5 V A 302,5Ω (110V)2 60W 201,7 V A 201,7Ω Bekannt sind somit die Widerstände R 1, R 2 und die Netzspannung U, unbekannt der Strom I, die beiden Teilspannungen U 1 * und U 2 * sowie die Leistungen P 1 * und P 2 * der Lampen. Institut für Elektrische Energietechnik Wh WS 98/99

16 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 3.3 Zur Berechnung der fünf unbekannten Größen stehen zur Verfügung: das zweite Kirchhoffsche Gesetz: Σ U = 0 das ohmsche Gesetz: U = R]I und die Beziehung für die Leistung: P = U]I Die Anwendung des Maschengesetzes ergibt: U 1 U 2 U 0 also U U 1 U 2 umgeformt mit dem ohmschen Gesetz ergibt sich: U I]R 1 I]R 2 I](R 1 R 2 ) aufgelöst nach I ergibt sich: I U R 1 R 2 220V 302,5Ω201,7Ω 220V 504,2Ω 0,436A * Die Anwendung des ohmschen Gesetzes auf die Widerstände R 1 und R 2 ergibt die Spannungen U 1 und U 2* : U 1 I]R 1 0,436A]302,5Ω 132V >U n 110V U 2 I]R 2 0,436A]201,7Ω 88V < U n 110V Addiert man die beiden Spannungen auf, bestätigt sich das Kirchhoffsche Gesetz: U 1 * + U 2 * = U = 220 V. Die Berechnung der Leistungen ergibt: P 1 U 1 ]I 132V]0,436A 58W >P 1 P 2 U 2 ]I 88V]0,436A 38W <P 2 WS 98/99 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

17 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 3.4 _ Sowohl ein Vergleich der Spannungen, als auch der Leistungen zeigt: Glühbirne 1 wird überlastet (leuchtet heller als im Normalbetrieb), Glühbirne 2 ist nicht ausgelastet (leuchtet dunkler als im Normalbetrieb). Die Lebensdauer von Glühbirne 1 ist dadurch deutlich reduziert. In der Realität ist der Widerstand des Glühfadens temperaturabhängig (bei den meisten Metallen: positiver Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes). Der Überlastungseffekt von Lampe 1 würde dadurch noch verstärkt. Institut für Elektrische Energietechnik Wh WS 98/99

18 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite Aufgabe Im dargestellten Netzwerk gibt es k = 4 Knoten (K1-K4), also k - 1 = 3 unabhängige Knotenpunktgleichungen. Weiterhin gibt es z = 7 Zweige. (Die Spannungsquelle und der Zweig K2-K3 gehören dazu.) Daraus folgt die Zahl der Maschengleichungen: m = z - ( k - 1 ) = z - k + 1 = 4 (kleinste) Maschen. Vorgehensweise zur Lösung von Netzwerkaufgaben: 1. Spannungszählpfeil an den Spannungsquellen von + nach - eintragen. 2. In jedem Zweig (einschließlich Spannungsquellen) Strompfeilrichtungen frei wählen. Wenn schon zu erkennen ist, in welcher Richtung der Strom fließt, wird der Pfeil auch in dieser Richtung eingetragen In den Verbraucherzweigen die Spannungszählpfeile entsprechend dem Verbraucherzählpfeilsystem parallel zum Zweigstrom eintragen. 4. Bestimmungsgleichungen nach Kirchhoff und Ohm aufstellen und daraus die unbekannten Netzwerkgrößen berechnen. In dem oben dargestellten Netzwerk liegt links der Klemmen A-B ein aktives Netzwerk mit einer Spannungsquelle und rechts der Klemmen ein passives Netzwerk (ohne Spannungsquelle) vor. 1. Knotenpunktgleichungen: Im Schaltbild sind die k=4 Knotenpunkte K1 bis K4 zu erkennen (an den Anschlußklemmen A und B findet keine Strom-Verzweigung statt). Damit müßten k-1=3 linear unabhängige Gleichungen aufstellbar sein. 1 In Netzwerken mit einer Spannungsquelle fließt der Strom vom Pluspol der Quelle über den Verbraucher zum Minuspol (und innerhalb der Spannungsquelle vom Minus- zum Pluspol). Bei komplexeren Netzwerken ist die Stromrichtung nicht für alle Zweige aus der Anschauung zu erkennen. Die Stromzählpfeil-Richtung ist prinzipiell frei wählbar. Wenn die wirkliche Stromrichtung nicht mit der gewählten Stromrichtung übereinstimmt, wird das Ergebnis der Berechnung für diesen Strom negativ. WS 98/99 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

19 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 4.2 _ Folgende Gleichungen gelten für die 4 Knoten: K1: +I I 3 = 0 K2: +I I 3 = 0 K3: +I - I 4 - I 5 = 0 K4: - I +I 4 + I 5 = 0 Wie zu erkennen ist, ergibt sich die Gleichung K1 durch Multiplikation von K2 mit -1. Entsprechendes gilt für die Gleichungen K3 und K4. Von den vier aufgestellten Knotenpunktsgleichungen sind also nur zwei linear unabhängig und nicht drei! Erklärungsvariante: Der Strom zwischen K2 und K3 (hier mit I * bezeichnet) ist nicht eingetragen - er kann aus der Anschauung zu I * =I erkannt werden. Dies entspricht allerdings bereits der Ausnutzung einer Knotenpunktsgleichung. Würde I * in K2 und K3 eingesetzt, so ergäbe sich I * =I aus K1 (I = + + I 3 ) und K2 ( + + I 3 = I * ). Zwischen den Knoten K2 und K3 liegt kein Widerstand. Da der Strom zwischen ihnen nicht gesucht ist, könnte man sie also auch zu einem Knoten zusammenfassen. Dann existierten 3 Knoten mit 2 unabhängigen Gleichungen. Für die weiteren Berechnungen werden die beiden voneinander unabhängigen Gleichungen K1 und K3 genutzt. 2. Maschengleichungen (2. Kirchhoffsches Gesetz): Typischerweise lassen sich für ein stark verzweigtes Netzwerk viele Maschengleichungen aufstellen, die z.t. voneinander linear abhängig sind. Einen Satz linear unabhängiger Gleichungen erhält man durch Aufstellen der sogenannten kleinsten Maschen, die keine anderen Maschen umschließen, hier die vier Maschen A-D. Die Anzahl der linear unabhängigen Maschengleichungen erhält man aus der Anzahl der Zweige (hier z = 6), vermindert um die Anzahl der linear unabhängigen Knotenpunktsgleichungen (hier 2). Daraus ergeben sich m = 6-2 = 4 voneinander linear unabhängige Maschengleichungen: Institut für Elektrische Energietechnik Wh WS 98/99

20 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 4.3 a) Berechnung der Zweigströme Die Spannung U und die Widerstände sind bekannt, unbekannt sind die 6 Ströme I,,, I 3, I 4, I 5. Zur Bestimmung dieser 6 Unbekannten werden 6 voneinander unabhängige Gleichungen benötigt. Es werden die Knotenpunktsgleichungen K1 undk3 und die Maschengleichungen MA bis MD verwendet. Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem: Lösung z.b. mit der Cramerschen Regel, dem Gauß`schen Eleminationsverfahren,... Hier: Lösung des Gleichungssystem durch Einsetzen: Aus M B und M C folgen: Damit ergibt sich: (1) = = I 3 Aus M D folgt: Damit ergibt sich: (2) I 4 = I 5 Mit (1) ergibt sich aus K 1 : I = + + I 3 = 3I 3, Mit (2) ergibt sich aus K 3 : I = I 4 + I 5 = 2 I 4, (3) und (4) in M A eingesetzt ergibt: (3) = = I 3 = a I (4) I 4 = I 5 = ½ I (5) in (1) eingesetzt ergibt: WS 98/99 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

21 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 4.4 _ (5) in (2) eingesetzt ergibt: 2. Variante: Lösung mit dem Kreisstromverfahren In den Maschen A - D werden die Kreisströme I a - I d eingetragen. Die Richtungen sind frei wählbar. Die Knotenpunktsgleichungen werden von den Kreisströmen implizit erfüllt, daher liegen hier weniger Gleichungen vor (hier 4 statt 6). Beim Aufstellen der Maschengleichungen müssen in jedem Zweig die beteiligten Kreisströme berücksichtigt werden. A: B: C: D: Aus D folgt: Aus C folgt: Aus B folgt mit ( 2 ) ( 3 ) in ( 2 ) eingesetzt ergibt: Die Ergebnisse in A eingesetzt ergibt: Die Zweigströme werden aus der vorzeichenrichtigen Summe der Maschenströme berechnet. Die Gleichungen entsprechen dem Knotenpunktsgesetz. Es ist aber kein Gleichungssystem, sondern es sind nur einzelne Gleichungen zu lösen. Institut für Elektrische Energietechnik Wh WS 98/99

22 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 4.5 Damit wird b) Berechnung des Gesamtwiderstandes zwischen den Klemmen A und B Daraus wird ersichtlich, daß die Gesetzmäßigkeiten zum Zusammenfassen von in Reihe oder parallel geschalteten Widerständen letztlich auf dem ohmschen und den Kirchhoffschen Gesetzen beruhen. 2. Möglichkeit: WS 98/99 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

23 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 4.6 _ Institut für Elektrische Energietechnik Wh WS 98/99

24 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite Aufgabe Vorbemerkung: Spannungsteiler und Stromteiler Bei einer Reihenschaltung von Widerständen verhalten sich die Spannungen wie die Widerstände. Maschengesetz: Spannung an R 1 : Spannung an R 2 : U I](R 1 R 2 ) I]R Ges U 1 I]R 1 U 2 I]R 2 Daraus ergibt sich die Spannungsteilerregel: U 1 U 2 R 1 R 2, U 1 U R 1 R Ges, U 2 U R 2 R Ges Bei einer Parallelschaltung von Widerständen verhalten sich die Ströme umgekehrt proportional zu den Widerständen, durch die sie fließen Knotenpunkt: I Masche: U ]R 1 ]R 2 I]R Ges, mit 1 R Ges 1 R 1 1 R 2 Daraus ergibt sich die Stromteilerregel: R 2 R 1, I R Ges R 1, I R Ges R 2 Für den unbelasteten Spannungsteiler, d.h. für R B = Q ergäbe sich für Aufgabe 5: U U 2 100V 40V a R 1 R 2 R 2 R R 2 2,5 mit R R 1 R 2 R 2 R a 400Ω 2,5 160Ω WS 99/2000 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

25 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 5.2 _ Zur ursprünglichen Aufgabenstellung: Zunächst die Schaltung vereinfachen! Für den belasteten Spannungsteiler ergibt sich: R x R 2 R B R 2 ]R B R 2 R B R 1 RR 2 Damit ergibt sich für die geforderte Spannung U B : a U 0 U B 100V 40V R 1 R x R x (RR 2 ) R 2 ]R B R 2 R B R 2 ]R B R 2 R B (RR 2 )](R 2 R B )R 2 ]R B R 2 ]R B Es ergibt sich folgende quadratische Gleichung: a]r 2 ]R B R]R 2 R]R B R 2 2 R 2 ]R b R 2 ]R B R 2 2 R 2 ](a]r B R)R]R B 0 Hierfür existieren folgende Lösungen: R 2a,b a]r B R 2 ± a]r B R 2 2 R]R B Mit R = 400 Ω, R B = 800 Ω und a = 2,5 ergibt sich: R 2 = -800 Ω ± 980 Ω R 2 = +180 Ω, da nur positive Widerstände möglich sind. Institut für Elektrische Energietechnik Wh WS 99/2000

26 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Zum Thema Übungsblatt lineare Spannungsquellen Ersatz-SpannungsquelleErsatz-Stromquelle Ersatz-Stromquelle U = U 0 - I R i U 0 = I k R i I = I k - U/R i U i = I R i I i = U/R i Ideale Spannungsquelle: U = U 0 f(i) Ideale Stromquelle: I = I k f(u) Reale Spannungsquelle: U i J I Jede reale (lineare) Spannungsquelle kann sowohl durch eine Ersatz-Spannungsquelle als auch durch eine Ersatz-Stromquelle nachgebildet werden. Reale Spannungsquellen mit kleinem haben R i Spannungsquellen-Charakter großem R i haben Stromquellen-Charakter. Institut für Elektrische Energietechnik Wh / WS 96/97

27 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite Aufgabe a1) Grafische Lösung: Trägt man die beiden Meßpunkte graphisch in einem U = f(i)-diagramm auf und verbindet sie mit einer Geraden, so ergibt sich nebenstehendes Bild. In dem Schaltbild für die Ersatzspannungsquelle (ESQ) sind zwei Größen (U 0 und R i ) unbekannt, die durch zwei Versuche mit unterschiedlichen Belastungen (R 1 und R 2 ) ermittelt werden sollen. Hierfür nimmt man für theoretische Berechnungen oftmals die Extremfälle Leerlauf und Kurzschluß, was in der Praxis aber nicht immer durchgeführt werden kann. Folgende beiden Versuche werden durchgeführt: 1) = 50 A, R 1 = 1 Ω, (U 1 = ] R 1 = 50 V) 2) = 10 A, R 2 = 9 Ω, (U 2 = ] R 2 = 90 V) Die Gerade schneidet die Achsen bei U 0 (Leerlaufspannung) und I K (Kurzschlußstrom). Die jeweilige Klemmenspannung ergibt sich zu U = I ] R L (R L : jeweiliger Lastwiderstand). Die Differenz zwischen der Klemmenspannung und der Leerlaufspannung muß dann innerhalb der ESQ an dem Innenwiderstand R i abfallen (U i = I ] Ri). Der Innenwiderstand berechnet sich als Betrag der Steigung der Geraden. R 1 G UG G IG GU 1 U 2 G G G G50V90VG G50A10AG G40VG G40AG 1Ω a1) Rechnerische Lösung: Die Anwendung des Maschengesetzes ergibt zwei Gleichungen für die beiden Versuche: (1) U 0 = ] ( R i + R 1 ) (2) U 0 = ] ( R i + R 2 ) WS 99/2000 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

28 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 6.4 Durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen erhält man: ](R i R 1 ) ](R i R 2 ) ]R i ]R 1 ]R i ]R 2 0 R i ]( ) ]R 2 ]R 1 R i ]R 2 ]R 1 U 2 U 1 GU 1 U 2 G R i 10A]9Ω50A]1Ω 50A10A 40V 40A 1Ω Einsetzen in Gleichung (1) oder (2) ergibt: (1) v U 0 ](R i R 1 ) 50A](1Ω1Ω) 100V (2) v U 0 ](R i R 2 ) 10A](1Ω9Ω) 100V b) An welchen Lastwiderstand gibt die Spannnungsquelle die maximale Leistung ab? Der Lastwiderstand wird jetzt allgemein als R L bezeichnet! Für die abgegebene Leistung gilt: P U]I ]R L mit I U 0 R i R L folgt: P L U 0 R i R L 2 ]R L U 2 0 ] R L (R i R L ) 2 Die Extremwerte von Funktionen werden gefunden, indem die erste Ableitung zu Null gesetzt wird: dp L dr L 0, Quotientenregel: u v u vuv v 2 Damit folgt: Institut für Elektrische Energietechnik Wh WS 99/2000

29 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 6.5 dp L U 2 0 dr ] (R i R L )2 2R L ](R i R L ) L (R i R L ) 4 dp L dr L U 2 0 (R i R L ) 4 ](R2 i 2R i R L R 2 L 2R i R L 2R 2 L ) dp L dr L U 2 0 (R i R L ) 4 ](R2 i R 2 L )2 0 R L R i (nur positive Werte zulässig) Maximaler Leistungsumsatz erfolgt also, wenn der Lastwiderstand gleich dem Innenwiderstand der Spannungsquelle ist. Mit Hilfe der zweiten Ableitung der Funktion könnte jetzt noch überprüft werden, ob der gefundene Extremwert tatsächlich ein Maximum ist. (Zweite Ableitung muß für diesen Punkt negativ werden). Ohne Rechnung ist dies aber auch durch folgende Überlegung nachweisbar: Für R L = 0 (Kurzschluß) folgt: P ab = ] R L = 0 Für R L S Q (Leerlauf) folgt: P ab = ] R L = 0 2 (P zu = U 0 / (R i + R L ) = 0 Zwischen diesen beiden Grenzwerten gibt es genau einen Extremwert. Da dessen Funktionswert positiv ist, handelt es sich eindeutig um ein Maximum! Leistungsbilanz: Zugeführte Leistung: P zu = U 0 ] I Innerhalb der ESQ verbrauchte (Verlust-)Leistung: P v = ] R i Von der ESQ abgegebene Leistung: P ab = ] R L Bilanz: P zu = P v + P ab Bei R L = R i (maximale abgegebene Leistung) folgt: P ab = P v Damit ergibt sich der Wirkungsgrad zu: η = P ab / P zu = 0,5 = 50% WS 99/2000 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

30 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite Aufgabe U 1 = 120 V U 2 = 122 V R 1 = R 2 = 0,05 Ω I = 100 A a) Aufstellen des Systems aus zwei Gleichungen für die beiden unbekannten Ströme und : K 1 : I 0 I (1) M 1 : U 2 U 1 ]R 1 ]R 2 0 (2) Gleichung (1) in (2) eingesetzt, ergibt: U 2 U 1 ]R 1 (I )]R 2 0 ]R 1 ]R 2 I]R 2 U 1 U 2 ](R 1 R 2 ) U 1 U 2 I]R 2 U 1 U 2 I]R 2 R 1 R 2 Aus Gleichung (1) folgt dann: I 100A 30A 70A 120V122V100A]0,05Ω 0,05Ω0,05Ω 3V 0,1Ω 30A b) Berechnung der Klemmenspannung aus der rechten Maschengleichung (M2): M 2 :U AB U 2 ]R 2 0 U AB U 2 ]R 2 122V70A]0,05Ω U AB 122V3,5V 118,5V Zusätzlich kann der Lastwiderstand aus dem ohmschen Gesetz bestimmt werden: R AB U AB I 118,5V 100A 1,185Ω WS 98/99 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

31 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 7.2 _ Alternativ: Aufstellung einer Ersatzspannungsquelle bezüglich der Klemmen A und B: 1. Leerlauf ( I = 0 ): M 1 : ]R 1 ]R 2 U 2 U 1 0 (4) K 1 : I 0 v (5) Gleichung (4) in (5) eingesetzt, ergibt: (R 1 R 2 ) U 1 U 2 U 1 U 2 R 1 R 2 120V122V 0,1Ω 20A ( 20A) Damit läßt sich die Leerlaufspannung berechnen zu: U AB U 2 ]R 2 122V20A]0,05Ω 121V U 0 Der Innenwiderstand ergibt sich, indem von den Anschlußklemmen in das aktive Netzwerk geschaut wird. Die vorhandenen Spannungsquellen werden kurzgeschlossen (U=0) und möglicherweise vorhandene Stromquellen werden offen gelassen (I=0). Dadurch wird das Netzwerk passiv. Sein Ersatzwiderstand ist der Innenwiderstand der Ersatzspannungs- oder -stromquelle. Hier gilt: R i R 1 OR 2 0,025Ω Damit ist die Ersatzspannungsquelle definiert und es kann aus dem Laststrom die Klemmenspannung ermittelt werden: I 100A U AB U 0 I]R i 121V100A]0,025Ω 121V2,5V 118,5V R AB U AB I 1,185Ω Institut für Elektrische Energietechnik Wh WS 98/99

32 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite Aufgabe Im Netzwerk sind sowohl Strom- als auch Spannungsquellen enthalten. Zur Vereinfachung der Rechnung werden daher zunächst die Strom- in Spannungsquellen umgewandelt. Die Werte der Innenwiderstände bleiben dabei erhalten. I K U 0 R i Damit ergibt sich im umgewandelten Netzwerk nur noch eine Masche und kein Knoten: U 0 I K ]R i Berechnung der Ströme, I 3 und I 5 mit U 01 I K1 ]R 1 4A]1Ω 4V U 04 I K4 ]R 4 1A]3Ω 3V I 3 I 5 (da kein Knoten vorhanden) WS 98/99 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

33 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 8.2 _ In der so umgewandelten Schaltung gibt es keine Knotenpunkte und nur eine Masche. Damit folgt: ](R 1 R 2 R 3 R 4 )U 01 U 02 U 03 U 04 0 U 01 U 02 U 03 U 04 R 1 R 2 R 3 R 4 4V1V6V3V 1Ω1Ω1Ω3Ω 6 6 A 1A, I 5 1A, I 3 1A Berechnung der gefragten Teilspannungen: U AB U 01 ]R 1 4V1A]1Ω 3V U AC U 02 ]R 2 1V1A]1Ω 2V U CD U 03 ]R 3 6V1A]1Ω 5V U DE U 04 ]R 4 3V1A]3Ω 6V U BE I 5 ]0Ω 0V Probe mit Maschengleichung: U AC U CD U DE U AB U BE 2V5V6V3V0V 0 U 01 U 02 U 03 U 04 ](R 1 R 2 R 3 R 4 ) [41631(1113)]V [61](6)]V 0V Berechnung der restlichen Ströme und I 4 (aus dem nicht umgewandelten Schaltbild): Strom aus Knoten A: I K1 0 d. h. I K1 1A4A 3A oder Strom aus Maschengleichung: ]R 1 U AB 0 d. h. U AB R 1 3V 1Ω 3A Institut für Elektrische Energietechnik Wh WS 98/99

34 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 8.3 Strom I 4 aus Knoten D: I 4 I K4 I 3 0 d. h. I 4 I 3 I K4 1A1A 2A oder Strom I 4 aus Maschengleichung: I 4 ]R 4 U DE 0 d. h. I 4 U DE R 4 6V 3Ω 2A WS 98/99 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

35 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite Aufgabe A Es soll folgendes gelten: R 1 R 2 U 1 R 3 R 4 I R R 5 R 6 R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R R 5 = R 6 = 2R U 2 Das Netzwerk wird aufgeteilt in ein aktives Netzwerk (links der Klemmen A und B) und ein passives Netzwerk (Widerstände R 5 und R 6 ): Bild 1 Schaltbild lt. Aufgabenstellung B R 1 I 1 K 3 R 2 U 1 R 3 I 3 I 4 R 4 A U M 2 1 M 2 U 0 K Bild 2 Aktives Netzwerk im Leerlauf B Der linke Teil wird in eine Ersatzspannungsquelle umgewandelt, deren Daten zu bestimmen sind: a) Berechnung der Leerlaufspannung U 0 ; sie ergibt sich für I R = 0 als Spannung an R 4 : U 0 I 4 ]R 4 I 3 ]R 4 ; mit I 3 I 4 M 1 : (1) U 2 ]R 1 ]R 2 0 M 2 : (2) U 1 I 3 ](R 3 R 4 ) ]R 2 0 K 3 : (3) I 3 0 damit wird: (4) I 3 Bild 3 U 0 R i A R L= R R B R 5 6 Zusammengefaßtes aktives und passives Netzwerk WS 99/2000 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

36 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 9.2 _ (4) in (1) eingesetzt: Mit R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R folgt: (6) in (2) eingesetzt: (5) U 2 ( I 3 )]R ]R 0 (6) U 2 2R I 3 2 (7) U 2 2R I 3 2 ]RU 1 I 3 ]2R 0 U 2 2 I 3 2 ]RU 1 I 3 ]2R 0 I 3 ] 5 2 ]R U 1 U 2 2 š I 3 2U 1 U 2 5R Damit wird: U 0 I 3 ]R 2U 1 U 2 5 (I 3 I 4 ) b) Berechnung des Kurzschlußstromes Der Widerstand R 4 ist kurzgeschlossen, d.h. I 4 = 0 und I 3 = I K. Der Zweig mit R 4 kann somit unberücksichtigt bleiben. Bild 4 Aktives Netzwerk im Kurzschluß M 1 : (1) U 2 ]R 1 ]R 2 0 M 2 : (2) ]R 2 U 1 I K ]R 3 0 K 3 : (3) I K 0 Damit wird: (4) I K (4) in (1) eingesetzt und R 1 R 2 R 3 R 4 R: (5) U 2 ( I K )]R ]R 0 Institut für Elektrische Energietechnik Wh WS 99/2000

37 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 9.3 Aufgelöst nach folgt: (6) U 2 2R I K 2 (6) in (2) eingesetzt ergibt: (7) U 2 2R I K 2 ]RU 1 I K ]R 0 I K ] 3 2 ]R U 1 U 2 2 ; damit wird I K 2U 1 U 2 3R C) Berechnung von R i R i U 0 I K 2U 1 U 2 5 2U 1 U 2 3R 3 5 ]R Der Innenwiderstand R i läßt sich auch auf folgende Weise ermitteln (vgl. Aufg 7): Die vorhandenen Spannungsquellen werden kurzgeschlossen (U=0) und möglicherweise vorhandene Stromquellen werden offen gelassen (I=0). Dadurch wird das Netzwerk passiv (vgl. Bild 5). Sein Ersatzwiderstand (auf die Anschlußklemmen A und B bezogen) ist der Innenwiderstand R i der Ersatzspannungsquelle. R i R 4 O[R 3 (R 1 OR 2 )] R i RO(R 1 2 ]R) RO 3 R] 3 2 ]R 2 ]R R ]R 5 ]R Bild 5 Schalbild zur Bestimmung von R i Bestimmung von I R aus dem umgewandelten Ersatzschaltbild (nach Bild 3): I R I R U 0 R 1 R L 2U 1 U R mit R L 2RO2R R 2U 1 U 2 8R WS 99/2000 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

38 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite Aufgabe a) Stromaufnahme bei unterschiedlichen Temperaturen: P U]I daraus folgt: I P U bei 20 C: bei 270 C: 0 256W 160V 1,6A W 160V 0,8A b) Elektrischer Widerstand bei 20b (und ergänzend zur Aufgabenstellung 270b): U R]I daraus folgt: R U I bei 20 C: bei 270 C: R V 1,6A 100Ω R V 0,8A 200Ω c) Mittlerer Temperaturkoeffizient R = f( ) als linear (Gerade) angenommen, d. h. β aus E1/GS6 vernachlässigt: R R 0 ][1α]( 0 )] R 270 R 20 ][1α](270 C20 C)] R 270 R 20 1α]250K α R R K 200Ω 100Ω 1 250K K 1 250K α 4]10 3 K 1 4 K (mittlerer Temperaturkoeffizient für Metalle) WS 99/2000 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

39 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 10.2 _ d) Widerstand bei 320b? Es wird weiterhin R = f( ) als linear angenommen: R 320 R 20 ][1α](320C20 C)] 100Ω][1 300K 250K ] R Ω e) Spezifischer Widerstand: S I A daraus folgt: A I S 1,6A 16A/mm 2 R 20 ρ 20 ] l A daraus folgt: ρ 20 R 20 ] A l ρ Ω] 1mm2 2m 50Ω] mm 2 m ( 5]105 Ωm) f) Steigerung der Speisespannung P 270 P 20 U R 270 daraus folgt: U P 20 ]R 270 U 270 P 20 ]R W]200Ω U ,3V Leistungsverhältnis 1:2 Spannungsverhältnis 1: 2 für gleiches R, da P U 2 R J U 2 Institut für Elektrische Energietechnik Wh WS 99/2000

40 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite Aufgabe Gegeben: Ein Meßwerk mit: R M = 100 Ω und U Me = 1,5 V Der Strom durch das Meßwerk beträgt bei Vollausschlag I M = U Me /R M = 1,5V/100Ω = 0,015 A Das Meßwerk kann also direkt als Voltmeter mit einem Meßbereich von U Me = 1,5 V oder als Amperemeter mit einem Meßbereich von I M = 0,015 A eingesetzt werden. Dabei unterscheidet sich lediglich die Bezeichnung der Skala des Instrumentes. a) Erweiterung des Voltmeters auf einen Meßbereichsendwert von U = 150 V: Bei U = 150 V muß genau der Meßgerätestrom I Me fließen Mit der Spannungsteilerregel folgt: R V R M U V U Me UU Me U Me U U Me 1 R V R M ] U U Me 1 R M ] n1 R v R M ] U U Me 1 100Ω] 150V 1,5V 1 R v 100Ω](1001) 100Ω]99 9,9kΩ b) Erweiterung des Amperemeters auf einen Meßbereichsendwert von I = 1,5 A: Bei I = 1,5 A muß genau der Meßgerätestrom I Me fließen Mit der Stromteilerregel folgt: G P G M R M R P II Me I Me I I Me 1 R p R M I I Me 1 R M n1 R p 100Ω 1,5A 0, Ω ,01Ω WS 99/2000 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

41 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite Aufgabe 70 l Wasser aufheizen von 1 = 15 C auf 2 = 90 C bei η = 87% und P 2u = 1500 W. Für die Wärmemenge gilt: Q = m ] c ], mit der spezifischen Wärmekapazität c. c H2 O 1 kcal kg]k Q H2 O 1,163 Wh kg]k Wh 70kg]1,163 kg]k ](9015)K 70]1,163]75Wh 6,1kWh Für den Wirkungsgrad gilt: η Q H 2 O Q zu Damit ergibt sich: Q zu Q H 2 O η 6,1kWh 0,87 7kWh Stromkosten: Aufheizdauer: 0,13 DM ]7kWh 0,91DM kwh P dq dt Mit P = const. im Zeitintervall t ergibt sich: t Q zu P 7kWh 1,5kW 4,6h 4h40min WS 99/2000 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

42 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite Aufgabe Überlagerungssätze, dürfen hier nicht angewandt werden, da das Netzwerk nicht linear ist. a) Es lassen sich folgende Gleichungen zur Bestimmung der 6 unbekannten Ströme... I 7 ( = - ) aufstellen: M 1 : (1) ]R 1 ]R 2 U 1 U 2 U 3 M 2 : (2) I 3 ]R 3 U 3 U 2 M 3 : (3) I 4 ]R 4 U 3 U 4 K 4 : (4) I 5 I 3 0 K 5 : (5) I 5 I 7 I 6 0 K 6 : (6) I 6 I 4 0 aus (1) ergibt sich: U 1 U 2 U 3 R 1 R 2 I V 10Ω ]A 2 21V7V108V (46)Ω A 2 ] 1 3 8A 3 2A; 2A WS 99/2000 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

43 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 13.2 _ Aus (2) ergibt sich: I 3 ]R 3 I 3 ]a 3 ] 3 U 4 U 2 I V7V 1Ω A 2 I A 3 3A Aus (3) ergibt sich: I 4 ]a 4 ] 4 U 3 U 4 Aus (4) folgt: Aus (5) folgt: Aus (6) folgt: I V20V 3 64A 3 4A 2Ω/A 2 I 5 I 3 2A3A 1A I 6 I 4 2A(4A) 6A I 7 I 5 I 6 1A6A 7A b) Von den Widerständen aufgenommene Leistung Im hier benutzten Verbraucher-Zählpfeilsystem werden aufgenommene (verbrauchte) Leistungen positiv und abgegebene Leistungen negativ gezählt! P R1 1 ]R 1 1 ]a 1 ] 1 I 4 1 ]a 1 (2A)4 ]4 Ω A 2 64W P R2 I 4 1 ]a 2 (2A)4 ]6 Ω A 2 96W P R3 I 4 3 ]a 3 (3A)4 ]1 Ω A 2 81W P R4 I 4 4 ]a 4 (4A)4 ]2 Ω A 2 512W P Rges P R1 P R2 P R3 P R4 753W Ohmsche Widerstände können nur Leistung aufnehmen! Institut für Elektrische Energietechnik Wh WS 99/2000

44 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite Von den Spannungsquellen abgegebene Leistung P U1 U 1 ]( ) 21V](2A) 42W (Leistungsaufnahme) P U2 U 2 ]I 5 7V](1A) 7W (Leistungsaufnahme) P U3 U 3 ](I 6 ) 108V](6A) 648W (Leistungsabgabe) P U4 U 4 ]I 7 20V](7A) 140W (Abgabe) P Uges P U1 P U2 P U3 P U4 752W P U ges + P R ges = 0, d.h. es wird von den Spannungsquellen insgesamt genau so viel Leistung abgegeben, wie von den Widerständen aufgenommen wird. Die Energie oder Leistungsbilanz muß immer stimmen. WS 99/2000 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

45 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite Aufgabe Stoffe, deren Lösungen oder Schmelzen elektrischen Strom leiten, werden als Elektrolyten (Leiter 2. Klasse) bezeichnet. Hierzu gehören Salze, Säuren und Basen. Träger der elektrischen Ladungen sind ausschließlich Ionen. Der Stromdurchgang durch einen Elektrolyten ist mit einer Zersetzung an den Elektroden verbunden, die als Elektrolyse bezeichnet wird. Das sich zwischen den Elektroden ausbildende elektrische Feld bewirkt, daß Kräfte wirksam werden, die eine gerichtete Ionenbewegung hervorrufen. Die positiv geladenen Ionen wandern zur Kathode und werden daher Kationen genannt, während die Träger negativer Elektrizität, die Anionen, sich zur Anode hin bewegen. Es findet also ein Materialtransport in zwei Richtungen statt, wobei Stoffmassen an den Elektroden abgeschieden werden. Der Zusammenhang zwischen abgeschiedener Stoffmenge bzw. -masse und der Elektrizitätsmege wird durch das Faradaysche Abscheidungsgesetz beschrieben. Zur Lösung der Aufgabe ist die Kenntnis folgender Konstanten und Zusammenhänge erforderlich: 1. Die Stoffmenge ν: (Angabe in mol) Die Einheit mol ist wie folgt definiert: 1 mol ist die Stoffmenge eines Systems bestimmter Zusammensetzung, das aus ebenso vielen Teilchen besteht, wie Atome in 12g des Nuklids 12 C enthalten sind. ( Die Zahl 12 bei 12 C gibt die relative Atommasse des Stoffes an.) 1 mol eines Stoffes enthält stets die gleiche Anzahl von Teilchen, nämlich 6,024] Dies wird durch die Avogadro-Konstante (Lochschnidtsche Zahl L) beschrieben: N A = 6,024]10 23 mol -1 WS 99/2000 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

46 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 14.2 _ 2. Die molare Masse M: (Angabe in kg mol Masse Stoffmenge ) Ist m die Masse der Stoffmenge ν, so gilt folgender Zusammenhang: M m ν in kg mol M läßt sich bestimmen aus der dimensionslosen relativen Atom- / Molekülmasse Ar (früher: Atomgewicht): M Ar kg kmol Ar g mol 3. Die Wertigkeit z: Die Wertigkeit z gibt an, wieviel Elementarladungen ein Ion des betreffenden Stoffes enthält. 4. Die Faraday-Konstante F: Die Faraday-Konstante F gibt an, wieviel Ladung ein Mol eines 1-wertigen Stoffes besitzt. F e]n A 1,6]10 19 As]6,024]10 23 mol 1 F K 96400As]mol 1 5. Die Gesamtladung einer Stoffmenge ν beträgt somit: Q ν z]e]n A ]ν z]f]ν (d.h.: soll die Stoffmenge 1 mol abgeschieden werden, wird dazu die Ladung Q mol = z ] F ] 1 mol benötigt.) Zur Aufgabenstellung: Löst man die Gleichung aus 2. nach ν auf und setzt dies in obige Gleichung ein, erhält man: Q m M ]z]f Institut für Elektrische Energietechnik Wh WS 99/2000

47 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 14.3 Aufgelöst nach der Masse ergibt sich: m M z]f ]Q Q erhält man allgemein aus Q i(t)dt Bei konstanter Stromstärke gilt Q = I ] t, damit ergibt sich für die abgeschiedene Masse in Abhängigkeit von der Stromstärke und der Zeit: m M z]f ]I] t a) Ermittlung der abgeschiedenen Chrommasse: M Cr Ar Cr m Cr M Cr z]f ]I] t kg kmol ; Ar Cr K 52 S M Cr 52]103 kg]mol 1 kg 52 kmol 52 g mol 2]96400As]mol 1 ]103 A]960s 0,259kg b) Ermittlung der Schichtdicke: m ρ]v ρ]a]d S d d m ρ]a 0,259 kg 7,2]10 3 kg]m 3 ]3600]10 4 m 2 1]104 m 100mym WS 99/2000 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

48 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite Aufgabe Elektrisches Feld (dq/dt = I = 0: elektrostatisches Feld): Zwischen Orten unterschiedlichen Potentials (unterschiedlicher Ladung) existiert ein elektrostatisches Feld als Quellenfeld. Feldlinien sind ein Modell dieses Feldes mit folgenden Eigenschaften: 1) Sie beginnen an positiven und enden an negativen Ladungen (Quellenfeld). Insgesamt existieren genau so viele positive wie negative Ladungen. 2) Sie stehen senkrecht auf leitenden Oberflächen. 3) Sie geben die Richtung der elektrischen Feldstärke (Kraft auf eine positive Probeladung) und der Verschiebungsdichte an. 4) Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für den Betrag der Feldstärke oder der Verschiebungsdichte. Einfachstes Beispiel für das elektrostatische Feld ist der Plattenkondensator. Bei Vernachlässigung der Randbereiche herrscht in ihm ein homogenes Feld. Grundgleichungen für das elektrostatische Feld und den Plattenkondensator beim homogenen Feld: Feldstärke (bei homogenem Feld): U me]dms E]d v E U d Verschiebungsdichte und Stoffgesetz: Q A Ï m D] m da D]A und D ε]e Kapazität: C Q U D]A E]d ε] A d Aufgabenstellung: Fall A: Schichtung parallel zu den Platten (Der Plattenabstand wird i.f. mit L bezeichnet) Bei Schichtung von Dielektrika parallel zu den Platten kann der Kondensator in zwei in Reihe geschaltete E,D L/2 Kondensatoren mit homogenen Dielektrika aufgefaßt werden. Dies ist A A möglich, da die Grenzfläche eine Äquipotentialfläche ist. (Zwischen unterschiedlichen Punkten auf dieser L x Fläche herrscht kein Potentialunterschied) L/2 L/2 2 A WS 99/2000 Wh Institut für Elektrische Energietechnik

49 Grundlagen der Elektrotechnik I (W8800) Seite 15.2 _ Für die Kapazität gilt: C Q U Die Spannung läßt sich aus der Feldstärke berechnen: U L me]dms Da hier Feldstärke und Weg die gleiche Richtung haben, kann mit Beträgen gerechnet werden, andernfalls müßte das Skalarprodukt aus Feldstärke und Wegelement gebildet werden. U Eds L/2 0 E 1 ]ds 1 L L/2 E 2 ]ds 2 U E 1 ] L 2 E 2 ] L 2 (E 1 ]E 2 )] L 2 Die Verschiebungsdichte D ist unabhängig vom Material: D Q A Die Teilkondensatoren haben gleiche Flächen. Gleiche Ladungen ergeben sich bei Reihenschaltungen zwangsläufig, da durch die Teilkondensatoren derselbe Strom I fließt und somit auch die Ladungen Q = fi dt für beide Teilkondensatoren dieselben sein müssen. Damit gilt: D 1 = D 2 = D Damit gilt auch: Ersetzt man in der Gleichung für die Spannung die Feldstärken E 1 und E 2 durch die Verschiebungsdichte D wie folgt: Damit ergibt sich für die Spannungsgleichung: Drückt man nun die Verschiebungsdichte D durch die Ladung Q und die Fläche A aus, erhält man: D ε 1 ]E 1 ε 2 ]E 2 v E 1 E 2 ε 1 ε 2 E 1 D ε 1 und E 2 D ε 2 U D] U 1 ε 1 1 ε 2 ] L 2 1 ε 1 1 ε 2 ] L]Q 2]A Aufgelöst nach Q ergibt sich: Q 2]A 1 ε 1 1 ε 2 ]L ]U Daraus erhält man die gesuchte Kapazität C: C A Q U 2]A 1 ε 1 1 ε 2 ]L Institut für Elektrische Energietechnik Wh WS 99/2000