Musterlösungen. Theoretische Physik I: Klassische Mechanik

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1 Blatt Musterlösungen Theoretische Physik I: Klassische Mechanik Prof. Dr. G. Alber MSc Nenad Balanesković Die Lagrange Methode zweiter und erster Art 1. g l 1 y P ϕ l 3 l x m Gegeben ist eine Anordnung wie in der Skizze dargestellt, in der zwei Massen m 1 und m mittels masseloser starrer Stangen mit Längenl 1 undl mit einem Aufhängepunkt verbunden sind. Die beiden Massen sind über eine weitere starre massenlose Stange der Länge l 3 = l 1 +l miteinander verbunden. Die Anordnung kann um den Aufhängepunkt P im Schwerefeld der Erde schwingen. m 1 (a) Wie lauten die Zwangsbedingungen? Es gibt die folgenden drei ZwangsbedingungenF l = 0,l = 1,,3: F 1 = x 1 +y 1 l 1 (1) F = x +y l () F 3 = (x 1 x ) +(y 1 y ) l 3. (3) (b) Stellen Sie die Lagrange Gleichungen zweiter Art auf. ( ) cosϕ Wir führen die verallgemeinerte Koordinate ϕ ein, so dass x 1 = l 1 sinϕ ( ) sinϕ l. Damit lautet die Lagrangefunktion cosϕ und x = L = m 1 l 1 ϕ + m l ϕ ( m 1 gl 1 sinϕ m gl cosϕ) (4) und es folgt die Bewegungsgleichung (m 1 l 1 +m l ) ϕ = g(m 1 l 1 cosϕ m l sinϕ). (5) (c) Bestimmen Sie die Gleichgewichtspositionen und die Schwingungsfrequenz um die stabile Gleichgewichtslage. Eine Gleichgewichtsposition liegt vor, falls der Winkelϕdie Bedingung m 1 l 1 m l = tanϕ (6) 1

2 erfüllt. Diese Bedingung wird von den zwei Winkeln ϕ G = arctan(m 1 l 1 /m l ) (0 ϕ G π/) und ϕ G +π erfüllt. Wir interessieren uns nur für das stabile Gleichgewicht in ϕ G und entwickeln die Bewegungsgleichung fürϕ=ϕ G +δ: (m 1 l1 +m l ) δ = g[m 1 l 1 (cosϕ G δsinϕ G +O(δ )) m l (sinϕ G +δcosϕ G +O(δ ))] g(m 1 l 1 sinϕ G +m l cosϕ G )δ = δg (m 1 l 1 ) +(m l ). (7) Wir erhalten also eine Schwingung mit Frequenzω = g (m 1 l 1 ) +(m l ) /(m 1 l 1+m l ). (Für die instabile Gleichgewichtspositionϕ G +π ergibt sich in der obigen Enwticklung auf der rechten Seite der zusätzliche Faktor 1, es gibt keine Schwingung sondern eine Bewegung weg von der instabilen Position.) (d) Bestimmen Sie die Zwangskräfte, die die Stangen im stabilen Gleichgewicht auf die Massenpunktem 1 undm ausüben. Die Lagrangegleichungen erster Art lauten m i xi (t) = Z i (t) i U( x j (t),t), (8) wobei Z i (t) = s α=1 λ α(t) i F α ( x j (t),t) und es ergibt sich in unserem Fall ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 x1 x1 x = m 0 1 +λ g 1 +λ y 3 1 y 1 y ( ) ( ) ( ) 0 0 x = m 0 +λ g y Es folgt λ 3 ( x1 x y 1 y (9) ). (10) λ 1 = m 1g(m 1 +m ) (m 1 l 1 ) +(m l ) (11) λ = m g(m 1 +m ) (m 1 l 1 ) +(m l ) (1) m 1 m g λ 3 = (m 1 l 1 ) +(m l ). (13) Auf Teilchen m 1 wirkt die Zwangskraft Z 1 = λ 1 l 1 e 1 + λ 3 l 3 e 3 und auf Teilchen m die Zwangskraft Z = λ l e λ 3 l 3 e 3. Auf Stange 3 drückt die Kraft λ 3 l 3 während an den Stangen 1 und mit der Kraft λ 1 l 1 bzw. λ l gezogen wird.. g y ϕ l Ein Massenpunkt der Masse M gleite unter dem Einfluß der Schwerkraft auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel α gegen die Horizontale. An diesem Massenpunkt sei ein Massenpunkt der Masse m mittels eines masselosen Fadens der Längelbefestigt. α m x

3 (a) Wie lauten die Zwangsbedingungen? Wir bezeichnen die Koordinaten der Masse M mit X = (X,Y) und die der Masse m mit x = (x,y). Es gibt die folgenden zwei Zwangsbedingungen: F 1 = Y X tanα = 0 (14) F = (X x) +(Y y) l = 0. (15) (b) Stellen Sie die Lagrange Gleichungen zweiter Art auf. Mit X = s(cosα,sinα) und x = s(cosα,sinα)+l(sinϕ, cosϕ) erhalten wir die Lagrangefunktion L(s,ϕ,ṡ, ϕ) = M ṡ + m (ṡ +l ϕ +l ϕṡcos(α ϕ) ) ( Mgssinα+mg(ssinα lcosϕ) ). Es folgt das folgende System gekoppelter Differentialgleichungen, (16) s = gsinα ml ( ϕcos(α ϕ)+ ϕ sin(α ϕ) ) (17) m+m ϕ = g l sinϕ s cos(α ϕ). (18) l (c) Zeigen Sie, dass es Bahnkurven gibt, für die die Masse m einen zeitunabhängigen Auslenkwinkel aus der Vertikalen aufweist. Bestimmen Sie diese Bahnkurven. Lösen Sie die Bewegunggleichungen für kleine Schwingungen des Massenpunktesmum diesen Auslenkwinkel im Grenzfall m M. Istϕ(t) konstant, folgt daraus die Konstanz von s(t) = gsinα. Einsetzen in (18) verifiziert ϕ = 0, falls ϕ = α +γπ, γ {0,1}. Wir haben somit zwei Lösungen der Bewegungsgleichungen gefunden, sie lauten s(t) = s(0)+ṡ(0)t gsinα ϕ(t) = α+γπ. t (19) Einsetzen von (17) in (18) liefert eine Differentialgleichung fürϕ: ϕ+ g l ( sinϕ sinαcos(α ϕ) ) m ( ϕcos (α ϕ)+ ϕ sin(α ϕ)cos(α ϕ) ) = 0. (0) m+m Wegen M m vernachlässigen wir Terme mit dem Faktor m/(m + M) und erhalten mit ϕ = α+γπ +δ 0 = ϕ+ g l ( sinϕ sinαcos(α ϕ) ) = δ +( 1) γg l cosαsinδ δ +( 1) γ δ g l cosα, also eine Schwingung mit Frequenz ω = g cosα für γ = 0. Die γ = 0 Lösung ist also wie l zu erwarten die stabile Gleichgewichtslage. 3 (1)

4 (d) Bestimmen Sie für den Fall aus Aufgabe c die Zwangskräfte, die auf die beiden Massenpunkte wirken. Wir erhalten die Zwangskräfte aus M ( ) X(t) = Z(t) Mg ey, Z(t) tanα = λ 1 (t) +λ 1 (t)( X x) () m x(t) = z(t) mg e y, z(t) = λ 1 (t) 0+λ (t)( )( X x). (3) Wir beschränken uns auf den Fall ϕ(t) = α und erhalten ( ) ( ) ( ) cosα tanα sinα Mgsinα = λ sinα 1 (t) λ 1 (t)l Mg e cosα y (4) ( ) ( ) cosα sinα mgsinα = λ sinα 1 (t) 0+λ (t)l mg e cosα y (5) und somit λ 1 = g(m+m)cos α und λ = g l Zwangskräfte g(m+m)cosα m cosα. Auf Teilchen M wirken somit die ( ) sinα, ausgeübt von Zwangsbedingung 1 (6) cosα und ( ) sinα gmcosα, ausgeübt von Zwangsbedingung. (7) cosα Auf Teilchen m wirkt die Zwangskraft ( ) sinα gmcosα, ausgeübt von Zwangsbedingung. (8) cosα 3. Zeigen Sie, dass für eine Lagrangefunktion der Form L(q, q,t) = f j=1 q j f f qj(q,t)+ (q,t), (9) t f(q,t) beliebig ( stetig partiell differenzierbar) gilt: Jede stetig differenzierbare Bahnkurveq j (t),j = 1,...,f erfüllt die Euler-Lagrange Gleichungen. Wie deuten Sie dieses Ergebnis? Wir erhalten d L dt q = i j f q j q i qj + f t qi. (30) Dieser Ausdruck ist gleich L q i, wenn man die Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen berücksichtigt. Man kann (9) also zu jeder Lagrangefunktion hinzuaddieren, ohne dass sich die Bahnkurven ändern. 4

5 4. Hausaufgabe : Lagrange1orLagrange, thatisthequestion! (a) Zwei Massen m 1 und m bewegen sich unter dem Einfluss der Schwerkraft reibungslos auf einem Keil. Sie seien durch einen masselosen Faden der Länge l = l 1 + l miteinander verbunden (s. Abb. 1). Abbildung 1: Zwei Massen und ein Keil. Abbildung : Der Seilball. i. Formulieren Sie die Zwangsbedingungen. Von welchem Typ sind diese? Wie viele Freiheitsgradesbesitzt das System? Es gibt fünf holonom-skleronome Zwangsbedingungen: i)z 1 = 0; ii)z = 0; iii)( y 1 )/( x 1 ) = tanα; iv)( y )/( x ) = tanβ; v)r 1 +r = l. Damit besitzt das System s = 3 5 = 1 Freiheitsgrade. ii. Wählen Sie passende generalisierte Koordinaten. Geben Sie die Transformationsformeln an und formulieren Sie die Lagrange-Funktion. s = 1 = 1 generalisierte Koordinate, z. B. q = r 1. Transformationsformeln: Kinetische Energie: z 1 = 0; z = 0; x 1 = qcosα; y 1 = qsinα; x = (l q)cosβ; y = (l q)sinβ. T = m 1 (ẋ 1 +ẏ 1) + m (ẋ ) +ẏ = = m 1 q( cos α+sin α ) + m q( cos β +sin β ) = = 1 (m 1 +m ) q. 5

6 Potentielle Energie: = Lagrange-Funktion: V = m 1 gy 1 +m gy = = m 1 g qsinα m g (l q)sinβ. L = T V = = 1 (m 1 +m ) q +m 1 g qsinα+m g (l q)sinβ. iii. Stellen Sie die Lagrange schen Bewegungsgleichungen auf und lösen Sie diese. Bestimmen Sie r 1 (t) mit den Anfangsbedingungen: r 1 (t = 0) = r 0 ; r 1 (t = 0) = 0. Stellen Sie die Gleichgewichtsbedingungen auf. Lagrange sche Bewegungsgleichung: d L dt q = (m 1 +m ) q =! L q = (m 1sinα m sinβ)g = q = (m 1sinα m sinβ) g ( verzögerter freier Fall). (m 1 +m ) Integration der Bewegungsgleichungen unter Verwendung der Anfangsbedingungen liefert: q(t) = r 1 = 1 System im Gleichgewicht heißt: q(t) = const (m 1 sinα m sinβ) gt +r 0. (m 1 +m ) = 0 = m 1 sinα m sinβ = m = sinα m 1 sinβ. iv. Benutzen Sie die Zwangsbedingung der konstanten Fadenlänge nicht als holonome Zwangsbedingung zur Eliminierung von Variablen. Benutzen Sie stattdessen einen Lagrange schen Multiplikator λ zur Festlegung der Fadenspannung. Wie groß ist diese im Gleichgewicht? Jetzt wird die 5. Zwangsbedingung aus der Teilaufgabe (i) nicht zur Eliminierung der Variablen benutzt. Damit werden zwei generalisierte Koordinaten,q 1 = r 1 und q = r, benötigt. Ausr 1 +r = l = const folgt dann: dq 1 +dq = 0 = für die generalisierten Zwangskräfte: = a 11 = a 1 = 1. Q 1 = Q = λ. 6

7 Lagrange-Funktion: L = 1 ( m1 q 1 +m ) q +m1 g q 1 sinα+m q sinβ. = Bewegungsgleichung: d L L = Q i = λ, i = 1, dt q i q i = m 1 q 1 m 1 gsinα = λ m q m gsinβ = λ. Aus der 5. Zwangsbedingung der Teilaufgabe (i) folgt: q 1 + q = 0 = q 1 = q = q 1 gsinα = λ m 1 q 1 gsinβ = λ m = g(sinα+sinβ) = λ( 1 m m ). Damit ist die Zwangskraft Fadenspannung : Q = λ = g m 1m m 1 +m (sinα+sinβ). Im Gleichgewicht gilt (s. auch die letzte Teilaufgabe (iii) oben): m = sinα m 1 sinβ = sinα+sinβ = (1+ m 1 m )sinα = m 1 +m sinα. m Damit ist die Fadenspannung im Gleichgewicht: Q 0 = m 1 gsinα = m gsinβ. (b) Am oberen Ende einer senkrecht stehenden Stange mit RadiusRwird das masselose Seil im Punkt P befestigt. Am anderen Seilende ist ein Ball der Masse m befestigt. Das Seil wird um einen bestimmten Winkelθ ausgelenkt und wickelt sich nach dem Stoß des Balles um die Stange auf. Die Ballbewegung wird mit den Koordinatenl, θ, ϕ A, z A beschrieben (A ist der Ablösepunkt des Seils von der Stange, s. Abb. ). i. Bestimmen Sie die Zwangsbedingungen. Ist die Lagrange-Methode. Art anwendbar? Begründen Sie Ihre Antwort. Die Aufwicklung des Seils und die Bewegung des Balles werden durch folgende vier Koordinaten beschrieben: l(t) : Länge des noch nicht aufgewickelten Seiles. θ(t) : Winkel zwischen der Vertikalen und dem noch nicht aufgewickelten Seil im Pkt. A. ϕ A (t) : Winkel zwischen x-achse und Projektion A des Punktes A auf die (x,y)-ebene. z A (t) : z-koordinate des Ablösepunktes A. 7

8 Bei konstantem Winkel θ bewegt sich der Ablösepunkt A beim Aufwickeln des Seiles parallel zum freien Seilenende auf einer Schraubenlinie. Bei einer allgemeinen Bewegung ist der Winkelθnur in einem infinitesimalen Zeitintervalldt konstant, in dem sich die freie Seitenlänge um dl verkürzt und sich der Ablösepunkt in Abb. 3 - parallel zum freien Seilenende - auf der Hypothenuse bewegt. Nach dem infinitesimalen Dreieck in Abb. 3 lauten die differentiellen Nebenbedingungen Abbildung 3: Seitenansicht des Seils am Ablösepunkt. Abbildung 4: Aufsicht auf die Stange und das freie Seilende mit dem Ball der Massem. sinθ = R dϕ A dl cosθ = dz A dl R dϕ A + sinθdl = 0 (31) dz A cosθdl = 0 (3) Da die Nebenbedingungen differentiell sind, muss der Hamiltonsche Extremalprinzip durch Lagrange-Multiplikatoren additiv erweitert werden, weswegen man Lagrange- Gleichungen. Art nicht in der üblichen Form anwenden darf (s. auch Fließbach, Bd. 1, Kapitel 9 oder Nolting, Bd., Punkt 1.3.3). Man kann aber die Zwangsbedingungen nutzen, um bestimmte generalisierte Koordinaten aus den Lagrange-Gleichungen zu eliminieren, was wir in der nächsten Teilaufgabe tun werden. ii. Stellen Sie die Bewegungsgleichungen des Balles auf und zeigen Sie, dass l lsin 3 θ eine Erhaltungsgröße ist. Die Transformationsgleichungen zwischen den kartesischen Ballkoordinaten und den vier generalisierten Koordinaten lauten (s. Abb. 4 oben): x = Rcosϕ A lsinθsinϕ A (33) y = Rsinϕ A +lsinθcosϕ A (34) z = z A lcosθ (35) 8

9 und die Lagrange-Funktion L = m [ z A + l +(l θ) +(R +l sin θ) ϕ A + Rϕ A ( lsinθ+l θcosθ) ż A ( lcosθ l θsinθ)] mg(z A lcosθ). Mit den Abkürzungen lauten die Lagrange-Gleichungen 1. Art L qj := d L L (36) dt q j q j L ϕa = Rλ 1, L za = λ (37) L l = sinθλ 1 cosθλ, L θ = 0. (38) Mit den aus den Gln (33)-(35) folgenden Nebenbedingungen und ihren zeitlichen Ableitungen ϕ A = 1 R lsinθ,ż A = lcosθ (39) ϕ A = 1 R ( lsinθ + l θcosθ), z A = lcosθ l θsinθ lassen sich die Koordinaten ϕ A und z A aus den Lagrange-Gleichungen eliminieren. Die Differentialgleichung 1 R sinθ L ϕ A cosθ L za = L l liefert zusammen mit den Differentialgleichungen (38) und (33)-(34) das gesuchte Differentialgleichungssystem: l lsinθ + l sinθ +3l l θcosθ = 0 (40) l θ + l θ l R l sin 3 θcosθ +gsinθ = 0 (41) ϕ A + 1 R lsinθ = 0 (4) ż A lcosθ (43) Die Bewegung des Balles wird durch die sechs Anfangsbedingungen l 0, l 0, θ 0, θ 0 und ϕ A0, z A0 festgelegt. Wenn der Seilball kein ebenes Pendel bildet ( l 0 < 0), sondern sich aufwickelt, ist der Ausdruck l lsinθ stets ungleich Null. Division der Gl. (40) durch diesen Ausdruck (was wegen l = const automatisch auf G := l lsin 3 θ = 0 führt, obwohl die Division selbst, streng genommen, mathematisch verboten ist) führt auf l l + l l +3 θcotθ = 0. Wegen der Variablentrennung ist eine Integration möglich: ln l l 0 +ln l l 0 +3ln(sinθ) = ln l lsin 3 θ l 0 l0 Daraus folgtl lsin 3 θ =: G = Erhaltungsgröße. = const. 9