Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben Inhalt

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1 Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben Inhalt Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel

2 Kapitel 2 Aufgabe 2.1: Mindestpreis In einem Wettbewerbsmarkt sei die Nachfragefunktion mit Q D (P) = 12 P gegeben. Die Angebotsfunktion der Unternehmen sei Q S (P) = 2P. a) Stellen Sie die inverse Nachfrage- und Angebotsfunktion graphisch dar und berechnen Sie die gleichgewichtige Marktallokation. Im Gleichgewicht muss Nachfrage gleich Angebot sein: Q D (P) = Q S (P) 12 P = 2P 12 = 3P P = 4 und Q = 8 Marktgleichgewicht im Punkt E P min P 8 6 E Q = 6 inverse Angebotsfunktion Q S P 4 C A B E 2 inverse Nachfragefunktion Q D Q Q b) Berechnen Sie Konsumenten- und Produzentenrente sowie die soziale Wohlfahrt im Gleichgewicht. KR = ½ 8 (12 4) = 32 und PR = ½ 8 4 = 16 Gesamtwohlfahrt = W = KR + PR = 48 c) Die Regierung setzt einen Mindestpreis P min = 6, um die Anbieter des Gutes besser zu stellen als in der Marktlösung. Wie 2

3 hoch ist das Überschussangebot? Stellen Sie die Situation graphisch dar. Q S (P min ) = 12 und Q D (P min ) = 6 => Überschussangebot von Q = 6 neues Marktgleichgewicht im Punkt E (vgl. Abb.) d) Welche Auswirkungen hat der Mindestpreis auf die Renten für beide Marktseiten? Berechnen Sie wie in b) die Renten und die soziale Wohlfahrt. Konsumenten verlieren C und A: KR = C A < 0 Produzenten gewinnen C und verlieren B: PR = C B > 0 Wirkung auf die Gesamtwohlfahrt: W = KR + PR = C A + C B = A B < 0 Renten in der neuen Situation mit Mindestpreis: KR = ½ 6 6 = 18 PR = ½ = 27 W = 45 W = W W = = 3 e) Was passiert, wenn die Regierung den Mindestpreis P min = 3 setzt? Es passiert nichts, da der Mindestpreise nicht bindet, d.h. keine Wirkung entfaltet. Käufer und Produzenten handeln ohne Mitwirken des Staates zu einem höheren Marktpreis (vgl. Abb.). Aufgabe 2.2: Elastizität a) Bestimmen Sie für die Marktallokation aus Aufgabe 2.1a) die Preiselastizität der Nachfrage und des Angebots. Interpretieren Sie diese Werte. Preiselastizität der Nachfrage: E P D = Hier: Q D Q D P P = QD P Q D (P) = 12 P QD P = 1 E P D (P = 4, Q = 8) = = 1 2 Interpretation: Eine 1%ige Preiserhöhung führt zu einer Nachfragereduktion um 0,5%. E P D < 1, also ist die Preiselastizität der Nachfrage P Q D 3

4 unelastisch: Die relative Mengenänderung ist kleiner als die ursächliche relative Preisänderung. Preiselastizität des Angebots: E P S = Q S Q S P P = QS P Hier: Q S (P) = 2P QS P = 2 E P S (P = 4, Q = 8) = = 1 Interpretation: Eine 1%ige Preiserhöhung führt zu einer Angebotserhöhung um 1%. E P S = 1, also ist die Preiselastizität des Angebots einheitselastisch: Die relative Mengenänderung ist gleich der ursächlichen relativen Preisänderung. Der Vergleich der Beträge beider Elastizitäten zeigt, dass die Nachfrage in geringerem Maße auf Preisänderungen reagiert als das Angebot, also ist die Nachfrage unelastischer als das Angebot. b) Wie müsste man die inverse Nachfragekurve drehen, damit die Preiselastizität in einem beliebigen Punkt kleiner wird? Im Uhrzeigersinn, die inverse Nachfrage Q D wird steiler. Aufgabe 2.3: Mengensteuer a) Angenommen, in der Situation wie in Aufgabe 2.1a) führt der Staat eine Mengensteuer t = 2 ein, wobei die Angebotsseite die Steuer an den Fiskus abführen muss. Berechnen Sie die neue Marktallokation, die Zusatzlast der Besteuerung und das Steuervolumen. Stellen Sie das Problem graphisch dar. P Q S 4

5 P Q S (t) 8 6 P B (t) P 4 P N (t) 2 t A B t E B C D E N E Q S (0) Q D Q(t) Q(0) Q Situation ohne Steuer: Nachfrage: Q D (P) = 12 P inverse Nachfrage: P(Q D ) = 12 Q D (In der Abb. mit Q D bezeichnet) Angebot: Q S (P) = 2P inverses Angebot: P(Q S ) = 1 2 QS (In der Abb. mit Q S (0) bezeichnet) Situation mit Steuer (vgl. Abb.): Die Anbieter müssen die Steuer abführen und schlagen diese daher auf ihren Nettopreis auf. Daher kommt es zu einer Verschiebung der inversen Angebotskurve P(Q S ) = 1 2 QS um t = 2 nach oben zu P(Q S ) = 1 2 QS + 2. Es ergibt sich somit die neue Angebotsfunktion Q S (P B ) = 2P B 4. Das neue Marktgleichgewicht liegt jetzt bei E B mit dem von den Konsumenten zu zahlenden Bruttopreis P B > P. Zu diesem Preis fragen die Konsumenten die Menge Q(t) < Q(0) nach. Da die Produzenten jedoch nicht P B, sondern nur P N = P B t, also den Nettopreis ohne Steuern, erhalten, sind sie auch nur bereit, Q(0) zu verkaufen. Dadurch erhält man ein Nettopreis- und ein Bruttopreisgleichgewicht (E B und E N ) bei der Menge Q(t). 5

6 Neues Marktgleichgewicht über Bruttopreis P B : Q D (P B ) = Q S (P B t) 12 P B = 2P B 4 = 3P B = 16 P B = 5,33 und Q(t) = 6,67 Steuervolumen: tq(t) = 2 6,67 = 13,33 = A + B Zusatzlast: ½(Q(0) Q(t)) t = 1,33 = C + D Nettopreis: P N = P B t = 5,33 2 = 3,33 b) Welche der Marktseiten trägt mehr von der Steuerlast? Begründung. Da in Aufgabe 2.2 bereits gezeigt wurde, dass die Nachfrage unelastischer als das Angebot ist, tragen die Konsumenten hier einen größeren Anteil der Steuerlast. Es spielt keine Rolle, wer die Steuer letztendlich an den Staat abgeben muss. Ein Maß für die Verteilung der Steuerlast ist P B. t P B = 1,33 = 0,67 2 der Steuer wird von den Konsumenten t 2 3 getragen. KR = A C 1 P B = 1 1,33 = 0,34 1 t 2 3 der Steuer wird von den Produzenten getragen. PR = B D Die Wirkung auf die Gesamtwohlfahrt ist W = C D. Als Steuervolumen steht dem Staat A + B zur Verfügung steht. Aufgabe 2.4: Güter a) Nennen Sie drei Güterpaare, bei denen die Güter substitutiv (komplementär) zueinander sind. Welches Vorzeichen hat die Kreuzpreiselastizität der Nachfrage für diese Güterpaare? Substitutive Güter: Butter und Margarine, Kalbfleisch und Rindfleisch, Theaterbesuch und Kinobesuch, Salzbrezeln und Salzstangen. Komplementäre Güter: Benzin und Motoröl, Brief und Briefmarke, Messer und Gabel, Hardware und Software, DVD-Player und DVD. Die Kreuzpreiselastizität bei Substituten ist positiv (der Preis des einen Gutes steigt, somit sinkt die Nachfrage nach diesem Gut und die Nachfrage nach dem substitutiven Gut steigt). 6

7 Die Kreuzpreiselastizität bei komplementären Gütern ist negativ (steigt der Preis des einen Gutes, geht die Nachfrage nach beiden Gütern zurück). b) Nennen Sie je drei unterschiedliche Güter, die relativ preiselastisch bzw. preisunelastisch nachgefragt werden (Hinweis: Beachten Sie den Zeithorizont Ihrer Analyse). Begründung. Relativ unelastisch: lebensnotwendige Güter, z.b. Wasser, Brot, lebensnotwendige Medizin. Verbrauchsgüter wie Benzin oder Elektrizität in der kurzen Frist. Relativ elastisch: Verbrauchsgüter wie Benzin und Elektrizität in der langen Frist. Aufgabe 2.5: Stromtarif Jochen gilt als typischer Verbraucher von Elektrizität. Seine Nachfrage nach Elektrizität wird durch die Gleichung Q D (P) = P angegeben, wobei Q D in Kilowattstunden (kwh) pro Monat und P in Cent pro kwh gemessen wird. a) Berechnen Sie Jochens Preiselastizität der Nachfrage in den Punkten P = 20 und P = 25. P = 20 Q D (P) = 1000 Q D P = 100 E P D = QD P P = Q D 1000 = 2 P = 25 Q D (P) = 500 E D P = QD P 25 P QD = 100 = b) Wenn die Grenzkosten der Produktion gleich Null wären und der Preis gegenwärtig bei P = 20 festgesetzt ist, würden Sie dem lokalen Stromversorgungsunternehmen empfehlen, den Preis anzuheben oder zu senken? E P D = 2 entspricht einer elastischen Nachfrage, somit sollte der Preis nicht angehoben werden, da die relative Mengenänderung größer sein wird als die ursächliche relative Preisänderung. Mit anderen 7

8 Worten: Der Erlös sinkt, wenn der Preis steigt. Der Preis sollte stattdessen gesenkt werden, denn dann steigt der Erlös. Hinweis: Man kann zeigen, dass im Monopol Erlösmaximierung (= Gewinnmaximierung, wenn GK = 0 und keine fixen Kosten) äquivalent ist zu einer Marktallokation mit E P D = 1. c) Angenommen, der lokale Stromversorger stellt für große Mengen an monatlich verbrauchten kwh einen höheren Preis in Rechnung, um so den Verbrauch einzuschränken und den Umweltschutz zu fördern. Darüber hinaus sei angenommen, für die ersten 500 im Monat konsumierten kwh gilt P = 10 und für alle verbleibenden nachgefragten kwh gilt P = 20. Wie hoch wäre Jochens Konsumentenrente? Illustrieren Sie dies. P in Cent Q S Q D 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Q in TkWh KR = ½ = Cent = 100 Vgl. grau markierte Fläche in der Abb. Aufgabe 2.6: Benzinsteuer In den USA wird die Einführung einer zusätzlichen Benzinsteuer diskutiert. Im Folgenden wollen wir untersuchen, wie eine Steuer von $0,50 pro Gallone den Preis und den Konsum von Benzin in den USA 8

9 beeinflussen würde. Gehen Sie von einem Gesamtverbrauch an Benzin in den USA von 134 Mrd. Gallonen pro Jahr aus. Der Preis vor der Einführung der Steuer sei $3,60 pro Gallone. Gehen Sie von einer mittelfristigen Elastizität der Benzinnachfrage von 0,5 aus. Die mittelfristige Elastizität des Benzinangebots sei 0,4. a) Bestimmen Sie aus den Angaben die lineare Nachfragekurve und die lineare Angebotskurve. Q D = a bp, Q S = c + dp E D P = QD P = b P 3,6 0,5 = b P Q D Q 134 b = 18,61 Mrd. Gallonen E S P = QS P P Q S = d P 3,6 0,4 = d Q 134 d = 14,89 Mrd. Gallonen Daraus folgt: Q D = a 18,61P 134 = a 18,61 3,6 a = 201 Mrd. Gallonen Q S = c + 14,89P 134 = c + 14,89 3,6 c = 80,39 Mrd. Gallonen Lineare Angebots- und Nachfragekurven: Q D (P) = ,61P Q S (P) = 80, ,89P b) Bestimmen Sie Brutto- und Nettopreis nach Einführung der Benzinsteuer in Höhe von $0,50. Wie viel Prozent der Steuer zahlen die Nachfrager, wie viel Prozent zahlen die Anbieter? Q D = ,61P B Q S = 80, ,89P N P B = P N + 0,50 Neues Marktgleichgewicht über Nettopreis P N : ,61(P N + 0,50) = 80, ,89P N P N = 3,32 und P B = 3,82 9

10 Konsumenten tragen P B P = 3,82 3,6 = $0,22 Produzenten tragen P P N = 3,6 3,32 = $0,28 P Analog: B = 0,22 = 0,44 44% der Steuer wird von den t 0,5 Konsumenten getragen. 56% der Steuer wird von den Anbietern getragen. c) Wie hoch sind das jährliche Steuervolumen und die jährliche Zusatzlast der Besteuerung? Stellen Sie das Problem graphisch dar. Das Steuervolumen ist T = Q(t)t = 130 0,5 = 65 Mrd. $ Die Zusatzlast ist Z = t Q(0) Q(t) = 0, = 1 Mrd. $ 2 2 P Q(0) Q(t) 4 P E B B (t) P 3,82 3,60 t P N (t) 3,32 3 E N Q S (t) Q S (0) E 2 1 Q D Q in 134 Mrd. Gallonen 10

11 Kapitel 3 Aufgabe 3.1: Monopol Aus der Süddeutschen Zeitung vom 28. Juni 2004: Das Bundeskartellamt ist nach Darstellung seines Präsidenten Ulf Böge einem Geflecht von bundesweiten und regionalen Preisabsprachen im deutschen Papiergroßhandel auf die Spur gekommen, durch die den Endverbrauchern ein Schaden von mehreren Millionen Euro entstanden sei. Bis auf ganz wenige Ausnahmen seien alle namhaften Firmen der Branche unter den Kartellteilnehmern zu finden, deren Namen der Behördenchef aber noch nicht preisgeben wollte. Böge gab jedoch zu verstehen, dass nach Abschluss der noch laufenden Ermittlungen mit Bußgeldern in zweistelliger Millionenhöhe zu rechnen ist. Erläutern Sie, warum das Vorgehen der Kartellbehörde aus gesamtwirtschaftlicher Sicht gerechtfertigt und wünschenswert ist. Gehen Sie dazu in folgenden Schritten vor: a) Gehen Sie davon aus, dass die Kartellbildung der beteiligten Unternehmen mit dem Ziel erfolgte, am Markt Monopolpreise durchzusetzen. Erläutern Sie und zeigen Sie grafisch die gewinnmaximierende Ausbringungsentscheidung im Monopol (Ermittlung des Cournotschen Punktes). Machen Sie klar, warum der Cournotsche Punkt tatsächlich ein Gewinnmaximum charakterisiert! 11

12 Allgemein ist das Maximum des Firmengewinns durch die Übereinstimmung von Grenzerlösen und Grenzkosten charakterisiert. Übersteigen nämlich die Grenzerlöse die Grenzkosten, so kann durch die Ausweitung der Angebotsmenge der Unternehmensgewinn gesteigert werden (die nächste ausgebrachte Einheit Output erwirtschaftet einen positiven Grenzgewinn). Liegen die Grenzerlöse hingegen unter den Grenzkosten, so erwirtschaftet die nächste Einheit Output einen Grenzverlust und sollte daher nicht produziert werden. Im Falle eines Monopolunternehmens entfällt die gesamte Marktnachfrage auf lediglich einen Anbieter. Der sieht sich deshalb nun mit einer fallenden Grenzerlösfunktion konfrontiert. Für den Fall einer linearen Preisabsatzfunktion P(Q) = a bq, a, b > 0 zeigt man leicht, dass die Grenzerlösfunktion, vom selben Achsenabschnitt kommend, mit negativer und genau doppelter Steigung wie die Preisabsatzfunktion verläuft, denn: R(Q) = (a bq)q R = a 2bQ, wobei R der Erlös und R der Grenzerlös ist. Grafisch erhält man: h 2 12

13 Die Monopollösung lässt sich ablesen aus dem Cournotschen Punkt, also dem Schnittpunkt der Grenzerlös- mit der Grenzkostenfunktion. Lotet man senkrecht nach unten, so erhält man die gewinnmaximale Absatzmenge Q M, die sogenannte Monopolmenge. Lotet man senkrecht nach oben und dann nach links, so kann man aus der Preisabsatzfunktion den zugehörigen Monopolpreis P M ablesen. Jede abweichende Menge kann kein Gewinnmaximum sein. Betrachten wir beispielsweise die geringere Menge Q 1 < Q M. Wie man der folgenden Grafik entnehmen kann, kann der Unternehmensgewinn gesteigert werden, wenn die Ausbringungsmenge, ausgehend von Q 1 sukzessive bis zu Q M erhöht wird, denn im Bereich dieser Outputeinheiten übersteigen die Grenzerlöse offenbar die Grenzkosten Steigert die Firma zunächst ihren Output von Null auf die Menge Q 1, so kann sie einen Gewinnzuwachs in Höhe der Fläche A realisieren, der sich einfach aus der Fläche unterhalb der Grenzerlösfunktion und oberhalb der Grenzkostenfunktion ablesen lässt (die Fläche unter der Grenzerlösfunktion misst die Erlösänderung, die Fläche unter der Grenzkostenfunktion misst die Kostenänderung). Demzufolge lässt sich eine weitere Gewinnzunahme, gemessen duch die Fläche B, 13

14 erzielen, wenn die Outputmenge von Q 1 auf Q M gesteigert wird. Eine Ausweitung der Produktion über die Monopolmenge hinaus ist natürlich nicht sinnvoll, da dann die Kosten der nächsten produzierten Einheiten Output die erzielten Erlöse übersteigen. b) Erläutern Sie nun die Preisbildung bei vollkommener Konkurrenz. Nach welcher Regel trifft ein gewinnmaximierendes Unternehmen im Wettbewerbsmarkt seine Ausbringungsentscheidung? Machen Sie sich klar und erläutern Sie, was man unter Preisnehmerverhalten versteht. Vollkommene Konkurrenz ist nur bei atomistischer Marktstruktur möglich, d.h. im Markt befinden sich viele, sehr kleine Anbieter, die allesamt über keine messbaren Marktanteile verfügen. Unter diesen Bedingungen kann die einzelne Firma mit ihrer Ausbringungsentscheidung den Marktpreis nicht beeinflussen. Der Preis ist aus Sicht der einzelnen Unternehmung ein gegebenes, unverrückbares Datum, an den sie sich durch optimale Wahl ihrer Ausbringungsmenge anpasst. Man spricht davon, dass die Unternehmen sich als Preisnehmer und Mengenanpasser verhalten. Auch bei vollkommener Konkurrenz ist die gewinnmaximale Ausbringungsmenge durch die Übereinstimmung von Grenzerlösen und Grenzkosten charakterisiert. Allerdings ist nun der Grenzerlös identisch zum Marktpreis und damit auch eine exogen gegebene Größe, den das einzelne Unternehmen, anders als ein Monopolist, nicht beeinflussen kann. Deshalb konkretisiert sich die allgemeine Gewinnmaximierungsregel Grenzerlös = Grenzkosten zu der Forderung, dass die Grenzkosten der Produktion mit dem herrschenden Marktpreis übereinstimmen müssen. Formal muss also für ein Gewinnmaximum die Forderung p = GK(q) erfüllt sein. Grafisch ergibt sich die gewinnmaximale Ausbringungsmenge des Unternehmens bei vollkommener Konkurrenz also aus dem Schnittpunkt der steigenden, kurzfristigen Grenzkostenfunktion mit dem horizontal verlaufenden, gegebenen Marktpreis: 14

15 Ausgehend von der Menge q können durch Steigerung der Ausbringungsmenge zusätzliche positive Grenzgewinne erwirtschaftet werden, da bis zur Menge q der Grenzerlös die Grenzkosten der Produktion übersteigt. c) Ermitteln Sie grafisch den gesamtwirtschaftlichen Wohlfahrtsverlust, der sich aus einer Monopolstellung (im Vergleich zu vollständiger Konkurrenz) ergibt. 15

16 Im Monopol reduziert sich die Konsumentenrente von dem Dreieck agp W im Wettbewerbsmarkt auf das kleinere Dreieck amp M. Der Verlust an Konsumentenrente aus der Monopolstellung beträgt also KR = A B. Die Fläche B geht verloren, da nun Nachfrager mit geringerer Zahlungsbereitschaft das Gut im Monopol nicht mehr erwerben können. Diejenigen Konsumenten, deren marginale Zahlungsbereitschaft hinreichend hoch ist müssen nun den höheren Monopolpreis zahlen und verlieren daher Wohlfahrt in Höhe der Fläche A. Entsprechend gewinnt der Monopolist Produzentenrente in Höhe der Fläche A hinzu: Er kann nun für jede Outputeinheit bis zur Monopolmenge Q M den höheren Monopolpreis verlangen. Um dies tun zu können, muss er jedoch die Ausbringungsmenge reduzieren. Da die Monopolmenge unterhalb der Wettbewerbsmenge liegt, geht dem Produzenten im Vergleich zur Produzentenrente im Wettbewerbsfall Produzentenrente in Höhe der Fläche C verloren. Insgesamt gilt also: PR = +A C > 0, denn die Fläche A ist ganz offensichtlich größer als die Fläche C. Wie zu erwarten gewinnt also der Produzent aus der Monopolstellung. 16

17 Insgesamt entsteht ein Verlust an gesellschaftlicher Wohlfahrt aus der Monopolstellung der gemessen werden kann als die Summe aus Änderung der Produzentenrente und Änderung der Konsumentenrente. Es ist: SW = KR + PR = A B + A C = B C < 0. Die Ursache für den Verlust sozialer Wohlfahrt ist das im Monopolfall kleinere Transaktionsvolumen im Marktgleichgewicht. Im Monopol werden Tauschakte nicht realisiert, die unter Wohlfahrtsgesichtspunkten eigentlich stattfinden sollten. d) Zeigen Sie, dass ein gewinnmaximierender Monopolist einen Preisaufschlag über die Grenzkosten gemäß der Regel P GK GK = 1 E P D erhebt. Dabei bezeichnet P den Preis, GK die Grenzkosten und E P D die Preiselastizität der Nachfrage. Interpretieren Sie diese Bedingung. Die Gewinnfunktion des Monopolisten lautet: π M = P(Q)Q C(Q) Wir betrachten die notwendige Bedingung für ein Maximum des Gewinns: dπ M dq = dp(q) dq Umformen liefert: P(Q) dc(q) dq dc(q) Q + P(Q) = 0 dq = dp(q) Q dq Durch Division mit P(Q) erhalten wir: P(Q) dc(q) dq P(Q) Da dc(q) dq = dp(q) dq Q P(Q) dp(q) MC und dq Q 1 P(Q) E P D ergibt sich schließlich: 17

18 P(Q) MC(Q) P(Q) = 1 E P D Der Preisaufschlag des Monopolisten über seine Grenzkosten verhält sich also umgekehrt proportional zur Preiselastizität der Nachfrage. Bei unelastischer Nachfrage ist der Preisaufschlag hoch, bei relativ elastischer Nachfrage geringer. Das ist intuitiv plausibel: Ist die Nachfrage elastisch, weichen die Nachfrager der Preiserhöhung des Monopolisten aus (z.b. weil Substitute existieren). Bei unelastischer Nachfrage können die Nachfrager der Preisforderung des Monopolisten nicht oder kaum ausweichen. Aufgabe 3.2: Duopol Die inverse Gesamtnachfrage in einem Markt für ein homogenes Gut sei gegeben durch die Funktion P(Q) = 16 Q. Dabei bezeichnet Q die Gesamtausbringungsmenge. Im Markt befinden sich zwei Firmen, die zu identischen Kosten produzieren. Die Kostenfunktionen seien der Einfachheit halber als linear angenommen: C i (q i ) = cq i, i = 1,2, wobei gelten soll, dass c = 1. a) Nehmen sie an, dass beide Unternehmen versuchen, ihren Gewinn durch die geeignete Wahl der Ausbringungsmenge zu maximieren. Berechnen Sie das Gleichgewicht in diesem duopolistischen Markt (ermitteln Sie die gleichgewichtigen Ausbringungsmengen der beiden Anbieter sowie den gleichgewichtigen Marktpreis). Gehen Sie davon aus, dass die Unternehmen ihre Entscheidungen simultan treffen. Erläutern Sie, was man unter einer Reaktionsfunktion versteht und zeichnen Sie die Reaktionsfunktionen für die beiden Firmen. Erläutern Sie, warum das Gleichgewicht durch den Schnittpunkt der beiden Reaktionsfunktionen charakterisiert wird. 18

19 Die Gewinnfunktion der Firma 1 lautet: π 1 = (16 (q 1 + q 2 ))q 1 q 1 (1) Partielles Differenzieren von (1) bzgl. q 1 liefert: π 1 q 1 = 16 2q 1 q 2 1 (2) Die notwendige Bedingung für ein Gewinnmaximum lautet: 15 2q 1 q 2 = 0 (3) q 1 = (4) Analog ermittelt man für Firma 2: π 2 = (16 (q 1 + q 2 ))q 2 q 2 (5) π 2 q 2 = 16 2q 2 q 1 1 (6) 15 2q 2 q 1 = 0 (7) q 2 = (8) Einsetzen von (8) in (4) liefert: q 1 = ( q 1) (9) 3 q 4 1 = q 1 = 5 (10) Einsetzen von (10) in (8): q 2 = = 5 (11) Damit ergibt sich der Preis als: 19

20 P(Q ) = = 6 (12) Die Reaktionsfunktionen sind durch (4) und (8) gegeben. Sie geben die optimale Ausbringungsmenge für jede denkbare Ausbringungsmenge der jeweils anderen Firma an. Grafisch ergibt sich im vorliegenden Beispiel: q q 1 (q 2 ) q 2 (q 1 ) q 1 2 Ein Gleichgewicht liegt in ökonomischen Zusammenhängen regelmäßig dann vor, wenn keiner der beteiligten Akteure einen Anreiz hat, von seinen gewählten Entscheidungen abzuweichen. Im vorliegenden Duopolmarkt ist dies dann der Fall, wenn beide Firmen ihren Gewinn maximieren. Die Gewinnmaxima für Firma 1 (2) liegen auf der Reaktionsfunktion der Firma 1 (2). Ein simultanes Gewinnmaximum beider Firmen muss somit auf beiden Reaktionsfunktionen liegen. Der einzige Punkt, der diese Forderung erfüllt, ist natürlich der Schnittpunkt beider Reaktionsfunktionen. b) Erläutern Sie die Besonderheit der Entscheidungssituation im Duopol. Was sind die wesentlichen Unterschiede zu der Entscheidungssituation, der sich ein Unternehmen bei voll- 20

21 kommener Konkurrenz einerseits, im Monopol andererseits gegenüber sieht? Die Entscheidungen beider Firmen im Duopol sind wechselseitig voneinander abhängig. Die optimale Ausbringungsentscheidung für Firma 1 (2) hängt davon ab, wie sich Firma 2 (1) entscheidet. Man spricht von strategischer Interaktion beider Firmen. Im Gegensatz dazu findet zwischen Firmen in Märkten vollkommener Konkurrenz keinerlei strategische Interaktion statt. Vielmehr passen sich die Unternehmen alle an denselben, exogen gegebenen Marktpreis an, den sie aufgrund ihrer nicht signifikanten Marktanteile nicht beeinflussen können. Unternehmen in vollkommener Konkurrenz verhalten sich als sogenannte Preisnehmer. Unternehmen in duopolistischen Märkten hingegen üben durch ihre Ausbringungsentscheidung einen Einfluss auf den sich bildenden Marktpreis aus genau dadurch entsteht die strategische Interdependenz. Im Monopol gibt es ohnehin keinerlei Interaktion, da der Markt definitionsgemäß nur durch einen Anbieter bedient wird. c) Berechnen Sie die gewinnmaximale Preis-Mengen-Kombination eines monopolistischen Anbieters, der sich der oben angegebenen Marktnachfrage gegenüber sieht. Welcher Preis würde sich bei vollkommener Konkurrenz einstellen? Vergleichen Sie Ihre Lösungen für den Monopolfall und den Fall vollkommener Konkurrenz mit dem oben berechneten Gleichgewicht im Duopol. Die Gewinnfunktion des Monopolisten lautet: π M = (16 Q)Q Q (13) Partielles Differenzieren bzgl. Q liefert: 21

22 π M Q = 16 2Q 1 (14) Die notwendige Bedingung für ein Gewinnmaximum ist: 15 2Q = 0 (15) Q M = 15 2 (16) Der Monopolpreis ergibt sich als: P(Q M ) = = 17 = 8,5 (17) 2 2 Im vollkommenen Wettbewerb würden die Anbieter zu Grenzkostenpreisen von P W = 1 anbieten. Der Vergleich der Marktformen ergibt: 8,5 = P M > 6 = P DUO > 1 = P W d) Der französische Ökonom Bertrand hat bereits Ende des 19. Jahrhunderts argumentiert, das Cournot-Modell sei unzutreffend, da Unternehmen nicht in Mengen, sondern über die Preise konkurrieren. Welche Lösung ergibt sich im Duopol, wenn der Wettbewerb der Firmen über den Preis ausgetragen wird? Halten Sie diese Lösung für plausibel? Konkurrieren die Firmen über Preise, so kann es sein, dass sich bereits zwei Firmen durch einen preislichen Unterbietungswettbewerb auf das Niveau der Grenzkosten herunter konkurrieren. Der Anreiz zur preislichen Unterbietung der anderen Firma ergibt sich aus der Tatsache, dass der günstigere Anbieter (im Fall homogener Produkte) die gesamte Marktnachfrage an sich bindet. Allerdings ist die Drohung der preislichen Unterbietung nur glaubwürdig, wenn auch im Zweifel die gesamte Marktnachfrage durch einen Anbieter allein befriedigt werden kann. Dies erforderte jedoch, entsprechend große Produktionskapazitäten vorzuhalten. Bezieht man die Kapazitätswahl in das Entscheidungsproblem der duopolistischen Anbieter ein, so ist es rational im Rahmen eines zweistufigen Spiels, zunächst auf Stufe 1 des Spiels eine Produktionskapazität in Höhe der Cournotmengen zu 22

23 wählen. Auf Stufe 2 ergibt sich dann derselbe Marktpreis, der sich auch bei Cournot-Mengenwettbewerb im Duopolfall ergibt. Aufgabe 3.3 Die Firma X kommt mit einem neuen Produkt auf den Markt. Sie sieht sich mit einer fallenden inversen Unternehmensnachfragefunktion P(q) = 12 q und einer konvexen Gesamtkostenfunktion K(q) = 9 + 2q 2 gegenüber. a) Berechnen Sie die kurzfristig optimale Ausbringungsmenge, wenn Firma X über ein temporäres Monopol verfügt. Die Gewinnfunktion des temporären Monopolisten lautet: π X = (12 q)q (9 + 2q 2 ) (1) Partielles Differenzieren nach q und Nullsetzen liefert: π X q = 12 2q 4q = 0 (2) q X = 2 (3) b) Berechnen Sie die Ausbringungsmenge der Firma X, die sich langfristig bei monopolistischer Konkurrenz ergibt. Langfristig wird Firma X durch Markteintritte von Substitutanbietern gezwungen sein, im Tangentialpunkt der inversen Marktnachfragefunktion mit ihrer Durchschnittskostenfunktion anzubieten. Formal muss daher gelten: P(q) = DK(q) (4) 12 q = 9+2q2 q 12q q 2 = 9 + 2q 2 23

24 q 2 4q + 3 = 0 (5) Die quadratische Gleichung (5) hat zwei Lösungen: q 1,2 = 2 ± 4 3 = {3,1} Relevant ist hier nur die zweite Lösung q 2 = 1, da sich der Tangentialpunkt im fallenden Bereich der DK-Funktion befinden muss (das Minimum der DK-Funktion befindet sich bei q min = 3 2). 24

25 Kapitel 4 Aufgabe 4.1: Bundesliga Bis vor einiger Zeit galt in der Fußball-Bundesliga die Zwei-Punkte- Regel: Der Sieger eines Spiels erhielt zwei Punkte, der Verlierer Null. Bei Unentschieden gab es einen Punkt für jede Mannschaft. Ansonsten galten natürlich die üblichen Annahmen: Offensive Mannschaften gewinnen gegen defensive, bei gleichen Strategien endet ein Spiel unentschieden. Die Zwei-Punkte-Regel wurde durch die Drei-Punkte-Regel ersetzt, weil die Drei-Punkte-Regel angeblich dazu führt, dass häufiger offensiv gespielt wird. Zeigen Sie, dass bei der Formulierung dieser Begründung der Chef-Spieltheoretiker des DFB seinen freien Tag hatte: Analysieren Sie das Spiel sowohl für die Zwei-Punkte- als auch für die Drei-Punkte-Regel. Angaben in Punkten Mannschaft 2 offensiv defensiv offensiv 1, 1 2, 0 Mannschaft 1 defensiv 0, 2 1, 1 Punkte für Mannschaft 1 = 1. Zahl. Punkte für Mannschaft 2 = 2. Zahl. Angaben in Punkten Mannschaft 2 offensiv defensiv offensiv 1, 1 3, 0 Mannschaft 1 defensiv 0, 3 1, 1 Punkte für Mannschaft 1 = 1. Zahl. Punkte für Mannschaft 2 = 2. Zahl. Ein offensives Spiel zu spielen ist hier die dominante Strategie, da sie mehr Punkte verspricht als eine defensive Spielstrategie. Außerdem ist offensiv zu spielen immer die beste Antwort, egal welche Strategie die andere Mannschaft wählt. Hierbei spielt es keine Rolle, ob man für einen Sieg zwei oder drei Punkte erhält; es zählt nur, dass es mehr Punkte verspricht, offensiv zu spielen als defensiv. 25

26 Aufgabe 4.2: Nash-Gleichgewichte Betrachten Sie die folgende Auszahlungsmatrix: Angaben in Geldeinheiten Spieler 2 A a, a 0, 0 Spieler 1 B 0, 0 1, 1 Auszahlung für 1 = 1. Zahl. Auszahlung für 2 = 2. Zahl. a) Für welche Werte von a ist {A, A} ein Nash-Gleichgewicht in dominanten Strategien? Für alle Werte größer 1, d.h. a > 1, denn dann verspricht die Strategiekombination {A, A} für beide Spieler die größte Auszahlung. b) Für welche Werte von a ist {B, B} ein Nash-Gleichgewicht in dominanten Strategien? Für alle Werte kleiner 1, d.h. a < 1, denn dann ist die Auszahlung für beide Spieler bei der Kombination {B, B} größer als bei {A, A}. c) Beschreiben Sie die Nash-Gleichwichte des Spiels als Funktion des Parameters a. Grundsätzlich gilt folgende Beste-Antwort-Funktion zur Erreichung von Nash-Gleichgewichten: s i = f i (si e ), d.h., dass die Funktion f i jedem Verhalten der anderen Spieler (s i e ) eine auszahlungsmaximierende Antwort s i zuordnet. Hier ordnet die Funktion f (a) jedem a, das größer ist als 1, das Nash- Gleichgewicht {A, A} und jedem a, das kleiner ist als 1, das Nash- Gleichgewicht {B, B} zu. f (a) = {A, A a > 1} f (a) = {B, B a < 1} A B 26

27 Aufgabe 4.3: Externe Kosten Angenommen, Tassen aus Styropor werden mit konstanten Grenzkosten von 4 produziert. Die Marktnachfrage für dieses Produkt sei Q D (P) = 22 P. a) Welche Produktionsmenge wird die Industrie wählen? Wie hoch ist die Summe der Konsumenten- und Produzentenrente bei dieser Menge? Q D = 22 P Q D = 22 4 Q D = 18 Tassen PR = 0 (weil Grenzkosten = Marktpreis) KR = ½ (22 4) 18 = 162 b) Diese Branche produziert nicht nur Styroportassen, sondern verursacht auch Luftbelastungen. Die Kosten dieser Verschmutzung werden durch die Funktion der externen Grenzkosten EGK = 0,2Q beschrieben. Wie viele Styroportassen sollten vom Effizienzstandpunkt aus (d.h. vom Standpunkt der Gesellschaft aus) produziert werden? GK soz = GK priv + GK ext GK soz = 4 + 0,2Q Schnittpunkt GK soz mit der inversen Nachfragefunktion Q D 22 Q = 4 + 0,2Q Q opt = 15 und P opt = 7, wobei Q opt den effizienten, d.h. sozial optimalen Output und P opt den sozial optimalen Marktpreis darstellen. 27

28 c) Illustrieren Sie Ihre Antworten zu a) und b). P Q D P opt P GK soz GK ext GK priv Q Opt Q W Q d) Berechnen Sie die Steuer t, welche den negativen externen Effekt in b) optimal internalisiert. Wie hoch ist das Steuervolumen? Wie hoch ist der Netto-Wohlfahrtsgewinn durch diese Steuer? Eine Steuer t muss der Differenz aus GK soz und GK priv im Optimum entsprechen, um den negativen externen Effekt optimal zu internalisieren. t = 7 4 = 3 Steuervolumen: 3 15 = 45 Der Netto-Wohlfahrtsgewinn durch die Steuer ergibt sich aus der Differenz der Wohlfahrt vor der Steuer und der Wohlfahrt nach der Steuer. Wohlfahrt ohne Steuer: KR = 162 und PR = 0 Schaden aus dem externen Effekt = ,667 = 33 2 Wohlfahrt = = 129 Wohlfahrt mit Steuer: KR = 1 (22 7) 15 = 112,5 und PR =

29 Schaden aus dem externen Effekt = = 22,5 2 Steuervolumen = 45 Wohlfahrt = 112, ,5 = 135 Netto Wohlfahrtsgewinn durch Steuer = = 6 Aufgabe 4.4: öffentliches Gut Unterstellen Sie folgende Entscheidungssituation: Jeder Akteur i, i = 1,, 10, kann zu einem öffentlichen Gut beitragen. Die Gewinnfunktion von i sei π i = q 2 i + 10Q, mit q i als Beitrag von i 10 zum öffentlichen Gut und Q = i=1 q i als Summe der Beiträge aller Akteure. Der individuelle Beitrag zum öffentlichen Gut verursacht also quadratische Kosten für den Beitragenden und stiftet einen Nutzen in Höhe von 10 für alle Akteure. a) Berechnen Sie den individuellen Beitrag q i und den Gesamtbeitrag Q aller Akteure im Nash-Gleichgewicht ( ) bei individuell rationalem Verhalten. Berechnen Sie den individuellen und den kollektiven Gewinn in dieser Situation (π i und Π ). Inwieweit unterscheidet sich das Gleichgewicht in diesem Spiel vom Gleichgewicht im öffentlichen-gut-spiel in Abschnitt 4.3? Ein Nash-Gleichgewicht (NE) ist dadurch definiert, dass jeder Akteur seinen Gewinn maximiert gegeben das Verhalten aller anderen Spieler. Zur Berechnung des Gewinnmaximums muss die Gewinnfunktion π i über q i maximiert werden. Der Gruppenbeitrag Q wird dabei gedanklich zerlegt in den eigenen Beitrag q i und in den Beitrag aller anderen Akteure Q j = j i q j bzw. Q = q i + Q j = q i + j i q j. π i = q i Q = q i (q i + j i q j ) max! Dafür leitet man die Gewinnfunktion nach q i ab und setzt diese Ableitung dann gleich Null: π i q i = 2q i + 10 = 0 2q i NE + 10 = 0 q i NE = 5 Die beste Antwort von Akteur i ist unabhängig vom Verhalte der anderen Akteure. Es liegt also eine dominante Strategie und damit auch ein Nash-Gleichgewicht in dominanten Strategien. Der Gesamtbeitrag im Nash-Gleichgewicht beträgt somit: 29

30 10 Q NE = i=1 = 50. Der individuelle Gewinn im Nash-Gleichgewicht ist: π NE i = q 2 i + 10Q = 475 Der kollektive Gewinn: Π NE = = q i NE Dieses Spiel unterscheidet sich insofern von dem Beispiel in Abschnitt 4.3, als dass hier im Nash-Gleichgewicht in dominanten Strategien ein positiver Beitrag von jedem Spieler geleistet wird. b) Berechnen Sie den individuellen Beitrag q i SO und den Gesamtbeitrag Q SO aller Akteure im sozialen Optimum (SO) bei kollektiv rationalem Verhalten sowie die zugehörigen Gewinne π i SO und Π SO. Zunächst muss Π(Q) ermittelt werden. Hierfür werden die Gewinne 10 aller Akteure aufsummiert mit Π(Q) = i=1( q 2 i + 10Q). Da wir es mit identischen Spielern zu tun haben, gilt 1 Q = q 10 i Q = 10q i. Wir können somit Π(Q) auch schreiben: 10 Π(Q) = i=1( q 2 i + 10Q) = 10( q 2 i + 10Q) = 1 (10q 10 i)(10q i ) + 100Q = 1 10 Q Q Das kollektive Gewinnmaximum ist: Π Q = 2 10 Q = 0 Q = 500 und q = q i = 50. Der individuelle Gewinn im sozialen Optimum ist: π i = q i Q = (50 2 ) = Der kollektive Gewinn im sozialen Optimum ist: Π = = Allgemein: Bei der Bereitstellung des öffentlichen Gutes gibt es einen Unterschied zwischen individueller Rationalität, der Nutzenmaximierung des einzelnen Akteurs, und kollektiver Rationalität, der Nutzenmaximierung der Gruppe. Der Nutzen im Nash-Gleichgewicht ist geringer als in einer Situation, in der sich alle Akteure kollektiv rational verhalten würden. Die Akteure befinden sich offensichtlich in einem sozialen Dilemma : Individuell rationales Verhalten führt zu einem ineffizienten, kollektiv irrationalen Ergebnis. 30

31 c) Stellen Sie das Problem graphisch dar. Die Abb. zeigt das Problem graphisch. Die individuellen Grenzkosten des Beitrags sind GK i = 2q i. Der individuelle Grenznutzen ist GN i = 10 und der soziale Grenznutzen ist GN = 100. GN GK i = 2q i GN GN i q i d) Interpretieren Sie die Werte aus a) und b). Zeigen Sie, dass die Situation in b) kein Gleichgewicht ist (Hinweis: Zeigen Sie, dass sich einseitiges Abweichen von der kooperativen Lösung in b) lohnt). Angenommen i = 1 wählt q 1 = 5, alle anderen i wählen q i = 50 als Beitrag. Für diese Individualbeiträge ergäbe sich folgender Gesamtbeitrag: Q = 9 q i + q 1 = = 455 Die individuellen Gewinne wären: π 1 = q Q = (5 2 ) = π i = q i Q = (50 2 ) = Der kollektive Gewinn wäre: Π = =

32 Daraus wird deutlich, dass sich ein einseitiges Abweichen von der Kooperativen Lösung für den Abweichenden lohnt und somit in b) kein Gleichgewicht vorliegt. Aufgabe 4.5: Market for Lemons Angenommen, es gibt einen Gebrauchtwagenmarkt mit drei VW Golf. Jeder Golf wird von je einem Händler angeboten, der die Qualität des Wagens kennt. Die Preise der Wagen sind 1500, 3500 und Die Qualität ist positiv mit dem Preis korreliert. Es gibt drei potentielle Käufer, die je nach Qualität eine unterschiedliche Zahlungsbereitschaft (ZB) haben: Die (ZB) für hohe (mittlere, schlechte) Qualität ist (4.000, ). a) Angenommen, die Qualität ist gleichverteilt und die Käufer können die Qualität nicht beobachten. Welche Transaktionen finden statt? Wie hoch ist der Wohlfahrtsgewinn? Die Transaktion zwischen dem Anbieter des Wagens mit niedrigem Preis und dem Käufer mit durchschnittlicher Zahlungsbereitschaft (von ) findet statt: Verkauf zu Die Transaktion zwischen dem Anbieter des Wagens mit mittlerem Preis und dem Käufer mit durchschnittlicher Zahlungsbereitschaft findet statt: Verkauf zu Die Transaktion zwischen dem Anbieter des Wagens mit hohem Preis und dem Käufer mit durchschnittliche Zahlungsbereitschaft findet nicht statt, da der Preis von über der Zahlungsbereitschaft von liegt. Wohlfahrtgewinn = = b) Gehen Sie nun von vollständiger Information aus. Welche Transaktionen finden statt? Wie hoch ist der Wohlfahrtsgewinn? Die Transaktion zwischen dem Anbieter des Wagens mit niedrigem Preis und dem Käufer mit niedriger Zahlungsbereitschaft findet statt: Verkauf zu Die Transaktion zwischen dem Anbieter des Wagens mit mittlerem Preis und dem Käufer mit mittlerer Zahlungsbereitschaft findet statt: Verkauf zu Die Transaktion zwischen dem Anbieter des Wagens mit hohem Preis und dem Käufer mit hoher Zahlungsbereitschaft findet statt: Verkauf zu Wohlfahrtgewinn = =

33 c) Diskutieren Sie Lösungsmöglichkeiten für das Marktversagen. Das Problem bei dieser Art des Marktversagens liegt in der systematisch ungleich verteilten, also asymmetrischen Information. Lösungsmöglichkeiten beruhen also in erster Linie auf einem Ausgleich des Informationsrückstandes, hier auf Seiten der Nachfrager. Im vorliegenden Fall der asymmetrischen Information beim Gebrauchtwagenkauf könnten die Gebrauchtwagenverkäufer Signale setzen, welche eine gute Qualität ihrer Wagen glaubhaft machen. Dies könnte beispielsweise über Garantieleistungen erfolgen. Garantien sind ein glaubhaftes Versprechen guter Qualität, da man im Falle schlechter Qualität den Wagen wieder zurückbringen kann. Somit werden nur diejenigen Verkäufer eine Garantie anbieten, die auch wirklich Wagen mit guter Qualität verkaufen, denn andernfalls würden die eingeforderten Garantieleistungen zu hohe Kosten verursachen. Eine weitere, aber langwierigere Möglichkeit besteht darin, sich als Anbieter von Wägen mit hoher Qualität einen guten Ruf ( Reputation ) aufzubauen und diesen durch das fortlaufende Anbieten von Qualitätswägen aufrechtzuerhalten. Dadurch wird es möglich, höhere Preise zu verlangen, was die höheren Kosten von guten Autos ausgleicht und den Verkauf lukrativ macht. 33

34 Kapitel 5 Aufgabe 5.1: Konsumententheorie I Gegeben sei folgende Nutzenfunktion: U = U(x, y) = x α y 1 α, wobei x und y die Konsummengen zweier beliebiger Güter bezeichnen. Der Preis für eine Einheit x betrage P x = 2, der Preis für eine Einheit y P y = 1. Das Einkommen des Konsumenten betrage 7 Geldeinheiten. Es sei bekannt, dass α = 0,25. a) Zeigen Sie, dass die Steigung der zu U gehörigen Indifferenzkurven allgemein gegeben ist als dy = α y. dx 1 α x Wir bilden das totale Differential der Nutzenfunktion: du = U U dx + dy x y Die Nutzenänderung entlang einer Indifferenzkurve ist Null. Zu fordern ist daher: du = 0 U x U dx dx + dy = 0 y U = y dy Die Steigung der Indifferenzkurve ist also gegeben durch den Quotienten der Grenznutzen der beiden Güter. Für die Nutzenfunktion U(x, y) = x α y 1 α ergibt sich: dx = (1 α)xα y α dy αx α 1 y 1 α = 1 α α U x xα (α 1) y α (1 α) = 1 α x α y b) Berechnen Sie numerisch das optimale Güterbündel! Die Beantwortung von (b) erfolgt im Rahmen von (c) und (d). c) Zeigen Sie allgemein, dass die optimale Nachfragemenge für x sich immer invers zum Güterpreis verhält und gegeben ist als x opt = I P x (2 α). 34

35 d) Zeigen Sie, dass sich auch die optimale Güternachfrage nach y invers zum Preis des Gutes verhält und allgemein gegeben ist als y opt = I(1 α) P y α(2 α). Das optimale Güterbündel ist durch den Tangentialpunkt von Indifferenzkurve und Budgetgerade charakterisiert. Die Steigungen beider Funktionen stimmen exakt überein. Es muss also gelten: 1 α x = p y x = y α y p x αp y p x (1 α) Aus der Budgetrestriktion ermittelt man: x = I p x p y p x y Gleichsetzen: y αp y p x (1 α) = I p x p y p x y yαp y ( 1 1 α y opt = 1 α I α(2 α) p y Dann folgt sofort: x opt = y opt x opt = I (2 α)p x αp y p x (1 α) xopt = Numerisch ergibt sich: x opt = 7 (2 0,25)2 = 2 y opt = 1 0,25 0,25(2 0,25) 7 1 = ) = I 1 α I αp y α(2 α) p y p x (1 α) e) Welche Nachfragemengen ergeben sich bei einer Verdopplung des Einkommens des Konsumenten auf 14 Geldeinheiten? 35

36 Da die optimalen Güternachfragen proportional zum Einkommen sind, verdoppeln sich mit dem Einkommen auch die optimalen Nachfragemengen: x opt = 14 (2 0,25)2 = 4 y opt = 1 0,25 14 = 24 0,25(2 0,25) 1 f) Welcher Effekt auf die optimalen Konsummengen ergibt sich, wenn sich der Güterpreis für x (y) halbiert (verdoppelt)? Da die optimalen Güternachfragen invers zum Eigenpreis sind, führt eine Verdoppelung (Halbierung) des Preises zur einer Halbierung (Verdoppelung) der optimalen Nachfragemengen: x opt (p x = 4) = x opt (p x = 1) = 7 (2 0,25)4 = 1 7 (2 0,25)1 = 4 y opt (p y = 2) = 1 0,25 0,25(2 0,25) y opt (p y = 0,5) = 1 0,25 7 0,25(2 0,25) 2 = 6 7 0,5 = 6 Aufgabe 5.2: Konsumententheorie II Gegeben sei die folgende Schar von Indifferenzkurven für zwei Güter x und y: y = c, c > 0, a > 0. Die Budgetmenge des Konsumenten ist ax gegeben als I = P y y + P x x. Dabei bezeichnen y und x die konsumierten Mengen, P y, P x die Güterpreise pro Mengeneinheit. a) Durch welche Bedingung ist das optimale Güterbündel charakterisiert? Das optimale Güterbündel ist charakterisiert durch den Tangentialpunkt von Indifferenzkurve und Budgetgerade. Im Tangentialpunkt stimmen die Steigung der Indifferenzkurve, die Grenzrate der 36

37 Substitution, und die Steigung der Budgetgerade (das Preisverhältnis beider Güter) überein. Formal muss gelten: dy dx = P x P y c a 1 x 2 = P x P y b) Zeigen Sie, dass das optimale Güterbündel allgemein gegeben P y ist als x opt = c, y opt = c a P x ax opt. Aus der Tangentialbedingung ergibt sich: c a 1 P y = P x x 2 = c x opt = c x 2 P y a P x a da lediglich die positive Wurzel als ökonomisch sinnvolle Lösung infrage kommt. Damit ist: y opt = c ax opt = c a c Py apx c) Welche optimalen Mengen ergeben sich für a = c = 1, P y = 8 und P x = 2? Für a = c = 1, P Y = 8 und P x = 2 ergibt sich: P y P x x opt = 8 2 = 2 y opt = 1 2 Aufgabe 5.3: Produktionstheorie I Gegeben sei die folgende Produktionsfunktion Q = Q(K, L) = K α L 1 α, 0 < α < 1. Zeigen Sie, dass die Funktion positive aber abnehmende Grenzprodukte der Arbeit und des Kapitals aufweist. Wir bilden die ersten partiellen Ableitungen der Produktionsfunktion: 37

38 Q K = αkα 1 L 1 α > 0 α > 0 Q L = α(1 α)kα 1 L α > 0 α > 0 α < 1 Um abnehmende Grenzprodukte zu zeigen, betrachten wir die zweiten partiellen Ableitungen: 2 Q K 2 = α(α 1)Kα 2 L 1 α < 0 α < 1 2 Q L 2 = α2 (1 α)k α 1 L α 1 < 0 α < 1 Aufgabe 5.4: Minimalkostenkombination Gegeben sei die folgende Isoquantenschar: K = c, wobei K und L al die Faktoreinsatzmengen an Kapital und Arbeit bezeichnen. Die Isokostengerade sei gegeben als C = wl + rk, mit w als Lohnsatz und r als Kapitalkostensatz (Zinssatz). a) Ermitteln Sie allgemein die Minimalkostenkombination! Die MKK ist durch den Tangentialpunkt von Isoquante und Isokostengerade charakterisiert. Im Tangentialpunkt stimmen die Steigungen beider Funktionen exakt überein. Die Steigung der Isoquante ermittelt man leicht als: K = c L al 2 Die Steigung der Isokostengerade ist w. Also muss gelten: r w = c r al 2 Lopt = c a Daraus folgt sofort: K opt = c al opt = c a c r aw r w K opt = c2 a 2 c r a w = c a w r 38

39 b) Wie wird die optimale Arbeitsnachfrage auf Änderungen des Lohnsatzes reagieren? Begründen Sie Ihr Ergebnis mathematisch und ökonomisch! Um zu zeigen, wie die Arbeitsnachfrage eines kostenminimierenden Unternehmens auf Lohnsatzänderungen reagiert, differenzieren wir (mit Hilfe der Kettenregel!) die optimale Arbeitsnachfrage nach w: L opt w = c r aw ( acr a 2 w 2) < 0 Verteuert sich also ceteris paribus der Faktor Arbeit, so nimmt die Nachfrage nach dem Faktor ab. Aufgabe 5.5: Kostentheorie Gegeben sei die Produktionsfunktion Q = Q(K, L) = K α L 1 α, 0 < α < 1. Der Lohnsatz pro Einheit Arbeit sei w = 15, die Fixkosten der Produktion liegen bei FK = Vervollständigen Sie die folgende Tabelle, d.h., berechnen Sie für die angegebenen Ausbringungsmengen i) das Grenzprodukt des Faktors Arbeit (GPA); ii) die Grenzkosten der Produktion (GK); iii) die Gesamtkosten der Produktion (K) sowie die iv) Durchschnittskosten (DK). K L α Q GPA w GK FK K DK ,75 100, ,75 110,668 0, , , ,75 118,921 0, , , ,75 125,743 0, , ,75 131,607 0, , ,176 Zunächst können mit Hilfe der Produktionsfunktion die Outputmengen für die unterschiedlichen Faktoreinsatzkombinationen berechnet werden. Für K = 100, L = 150 ergibt sich beispielsweise: Q = 100 0, ,25 110,668 Analog ermittelt man leicht die übrigen Mengen. 39

40 Aus den Outputänderungen lassen sich dann die Grenzprodukte der Arbeit bestimmen. Man erhält: GPA 1 Q 1 = 10,668 0,213 L 1 50 GPA 2 Q 2 L 2 = 8, ,165 GPA 3 Q 3 L 3 = 6, ,136 GPA 4 Q 4 L 4 = 5, ,103 Da gilt: GK C = VC = w L = w Q Q Q GPA lassen sich auch die zugehörigen Grenzkosten leicht berechnen: GK 1 w L 1 Q 1 GK 2 w L 2 Q 2 GK 3 w L 3 Q 3 GK 4 w L 4 Q 4 Wegen GK C = VC Q Q = ,668 70,203 = ,253 90,881 = , ,928 = , ,898 kann die Änderung der variablen Kosten leicht berechnet werden als: GK Q = VC 40

41 Man berechnet: VC 1 = 70,203 10,668 = 750 VC 2 = 90,881 8,253 = 750 VC 3 = 109,928 6,823 = 750 VC 4 = 127,898 5,171 = 750 Die gesamten variablen Kosten bei der ursprünglichen Produktionsmenge von Q = 100 belaufen sich natürlich auf VC = w L = = Damit ergeben sich die variablen Kosten für die unterschiedlichen Produktionsniveaus als VC 1 = = VC 2 = = VC 3 = = VC 4 = = Gegeben das Fixkostenniveau von ergeben sich die gesamten Produktionskosten als: C 1 = , C 2 = , C 3 = , C 4 = Damit lassen sich die Stückkosten ermitteln als: AC 1 = C 1 Q 1 = ,668 = 110,691 AC 2 = C 2 Q 2 = ,921 = 109,317 AC 3 = C 3 Q 3 = ,743 = 109,350 41

42 AC 4 = C 4 Q 4 = ,607 = 110,176 Die Stückkosten fallen also zunächst, steigen dann aber wieder an. Aufgabe 5.6: Produktionstheorie II a) Zeigen Sie allgemein, dass sich Isoquanten nicht schneiden können. Angenommen, zwei Isoquanten würden sich schneiden, wie in der folgenden Abbildung dargestellt: 2 1 Isoquante 1 repräsentiert das höhere Outputniveau Q 1 > Q 2. Weisen die beiden Isoquanten einen Schnittpunkt auf, so wäre es möglich, den höheren Output Q 1 im Punkt A mit geringeren Einsatzmengen beider Produktionsfaktoren zu produzieren was offensichtlich nicht sein kann. b) Gegeben sei die Produktionsfunktion Q = Q(K, L) = K α L 1 α, 0 < α < 1. Zeigen Sie, dass die zugehörigen Isoquanten die Steigung dk = 1 α K aufweisen. Wie verlaufen die Isoquanten? dl α L 42

43 Wir betrachten das totale Differential der Produktionsfunktion und setzen Null: dq = Q Q dk + dl = 0 K L αk α 1 L 1 α dk + (1 α)k α L α dl = 0 dk = 1 α dl α K α K α 1 L L α 1 α = 1 α α K L Die Isoquanten sind durch eine Schar paralleler Hyperbeln gegeben. 43