Für das Potential W und das Schwerefeld g an der Erdoberfläche hat man die Werte: und

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1 C:\soffelskript\GRAV_02_12.docBibliothek Seite Schwerefeld und -Potential der Erde (Normalfeld) Näherungen 1. Näherung Für viele Fälle der Praxis kann man das Schwerefeld der Erde als das einer ruhenden Kugel ansehen; die Erdoberfläche ist dann eine Äquipotentialfläche. Masse: M E = 5, kg ; G M E = 3, m 3 s 2 G M E ergibt sich aus astronomischen Daten und Satellitenmessungen. Die Gravitationskonstante wurde 1798 durch Cavendish bestimmt. G = 6, kg 1 m 3 s 2 = 6, g 1 cm 3 s 2 Radius der volumengleichen Kugel: R E = 6, km = 6, m. Für das Potential W und das Schwerefeld g an der Erdoberfläche hat man die Werte: W = G M E /R E = 62, m 2 s 2 g G M E /R 2 E 9,82 m s 2 und 2. Näherung Die Erdkugel rotiert und dabei entstehen Fliehkräfte, die von der geographischen Breite abhängen. Abbildung Fliehkraft als Funktion der Breite ϕ Aus astronomischen Beobachtungen ergibt sich: ω = 2 π f = 7, rad s 1 Die von der Drehachse nach außen wirksame Zentrifugalbeschleunigung ist gleich: g nach außen = ω 2 ρ (in m s 2 ), wobei ρ der Abstand von der Drehachse ist. Die auf des Zentrum der Erde hin gerichtete Komponente ist wegen ρ = R E cosϕ am Äquator maximal und am Pol gleich Null. Das Potential der Zentrifulgalbeschleunigung ist gegeben durch: W = ½ ω 2 ρ 2 = ½ ω 2 R E 2 cos 2 ϕ. 3. Näherung Diese berücksichtigt über ein Volumenintegral die Ellipsenform der Erde. Der Beitrag hat die Form: G (1/r) σ (r,ϕ) dv 4. Näherung Schließlich müssen die Dichte-Inhomogenitäten in Form eines weiteren Integrals berücksichtigt werden. Dieser Beitrag liefert: G (1/r) σ (r,ϕ,θ) dv 1

2 C:\soffelskript\GRAV_02_12.docBibliothek Seite Zusammengefaßt kann man das sogenannte Geopotential wie folgt darstellen: W= G M E /R E ½ ω 2 R E 2 cos 2 ϕ G (1/r) σ (r,ϕ) dv G (1/r) σ (r,ϕ,θ) dv Anziehungs- und Fliehkraftterm liefern natürlich die weitaus größten Beiträge Abschätzung der vom Fall der Kugel abweichenden Effekte auf g Abbildungen zur Abschätzung der Fliehkraftkomponente Die maximale Zentrifulgalkomponente tritt am Äquator auf, sie ändert sich mit der Breite ϕ. Dazu muß man W = ½ ω 2 R E 2 cos 2 ϕ nach dem Radius ableiten und erhält: g = ω 2 R E cos 2 ϕ Setzt man die entsprechenden Werte für R E und ω ein, so ergibt sich für die Fliehkraftkomponente: g zentr = 33, cos 2 ϕ in m/s 2. Im Vergleich zur mittleren Schwerkraft der Erde sind das 3, /289,9 1/300. Durch die Fliehkraft zeigt der Schwerevektor lediglich am Pol und am Äquator genau auf den Erdmittelpunkt zu, sonst nicht. Stets steht aber der Schwerevektor senkrecht auf der örtlichen Äquipotentialfläche. Die Gesamtschwerkraft (Anziehungs- und Fliehkraftkomponente) können über den Cosinus-Satz zusammengefaßt werden. Daraus ergibt sich eine Abschätzung für die Formel für die Normalschwere der Erde: g = g Äquator ( 1 + A sin 2 ϕ ), mit A = 0, Dieser Wert für A ist wegen einiger Vernachlässigungen aber etwas zu klein Standard-Schwereformel, Normalfeld Für die Geodäsie und die Geophysik nutzt man folgende, alle notwendigen Effekte berücksichtigende Standard-Schwereformel für das Normalfeld. g = g Äquator [ 1 + β sin 2 ϕ β' sin 2 (2ϕ)] mit den Koeffizienten und Größen: g Äquator = 9, m s 2 ; β = 5, ; β' = 5, Diese Größen und Koeffizienten gelten nach einer internationalen Vereinbarung (IUGG) für das Schwerefeld in Normalhöhe (0 m NN) seit Früher bestimmte Normalfelder (z.b. für 1930 und 1967) waren weniger genau vermessen worden. Deshalb gibt es Formeln zur Umrechnung (s. Skript) verschiedener Epochen und der dort gemessenen Schwerefelder. 2

3 C:\soffelskript\GRAV_02_12.docBibliothek Seite Gradienten des Normalfeldes Diese spielen bei den Reduktionen (2.5) eine große Rolle. a) Vertikalgradient Man erhält ihn, indem man die Normalfeldformel nach z (bzw. r) ableitet. In erster Näherung kann man den Zentrifugalanteil vernachlässigen: g/ r = 2 G M E /R E 3 = 2 g /R E 3, s 2 = 3,083 GU/m = 3, Eö 1 Eö = 1 Eötvös = 10 9 ms 2 /m = 10 9 s 2 als Einheit des Schweregradienten. Die genaue Formel berücksichtig auch die Breitenabhängigkeit: g/ r = 3,0877 ( 1 0,00139 sin 2 ϕ ) GU/m Für die Breite von München (ϕ = 48 ) haben wir: g/ r = g/ z = 3,08533 GU/m = 0, mgal/m Den Vertikalgradienten des Vertikalgradienten (also 2 g/ r 2 ) kann man vernachlässigen. Dies bedeutet, daß man für alle in der Praxis vorkommenden Höhenbereiche den Wert g/ r = 3,0877 ( 1 0,00139 sin 2 ϕ ) GU/m verwenden kann (s. Skript). b) Breitengradient Die Breitenabhängigkeit des Normalfeldes g(ϕ) erhalten wir durch den Operator: / x= (1/r) / ϕ. g/ x = (1/r) g/ ϕ = (1/R E ) g Äquator 2 sin (2ϕ) = 8,122 sin (2ϕ) GU/km. Dies entspricht g/ x = 0,8122 sin (2ϕ) mgal/km. Abhängigkeit des Breitengradienten von der Breite ϕ Auch für diese Größe ist der Vertikalgradient ( 2 g/ r ϕ) vernachlässigbar. Die Meßgenauigkeit moderner Gravimeter in der Größenordnung 10 2 mgal macht es notwendig, die Höhe bzw. Lage der Meßpunkte in der Fläche im cm-bereich bzw. m-bereich zu erfassen Kugelfunktionsentwicklung des Schwerepotentials Das an der Erdoberfläche oder von Satelliten aus tatsächlich gemessene Schwerepotential der Erde läßt sich als Summe der Wirkung eines Schwere-Monopols und weiterer Schwere-Multipole (aufgrund von lokalen Dichte-Inhomogenitäten) mit Hilfe der Kugelfunktionen und ihren Koeffizienten darstellen. Einzelheiten: s. Skript. W = (1/a) { (a/r) n+1 P nm (cosϑ) [C nm cos(m λ) + S nm sin(m λ)] } Der regelmäßige und weitgehend schalenförmige Aufbau der Erde hat zur Folge, daß der Monopol-Term stark überwiegt. Die höheren Terme können nur mit einem sehr hohen technischen Aufwand bestimmt werden. Dafür sind Satelliten sehr gut geeignet. 2000: Champ-Satellit des GFZ. GPS-Empfänger für die Bahnbestimmung. 3

4 C:\soffelskript\GRAV_02_12.docBibliothek Seite Abbildung CHAMP-Satellit Abbildung Kugelfunktionskoeffizienten des Schwerefeldes Weitere Einzelheiten: s. Skript Figur der Erde Das Schwerefeld erzwingt bei allen größeren Himmelskörpern eine mehr oder weniger perfekte Kugelgestalt. Nur ganz kleine Körper (Asteroide) zeigen deutliche Abweichungen von der Kugelform. Die Oberflächen der Gestirne versuchen, eine Äquipotentialfläche auszubilden. Bei der Erde wird dies durch tektonische Prozesse und Erosion immer wieder gestört, trotzdem ist ihre Gestalt sehr gut kugelförmig und weicht von der Kugelform hauptsächlich durch die Wirkung der Zentrifugalkraft ab (Abplattung ε 1/300). Die physische Oberfläche der Erde (s.skript) zeigt große Flächen auf ± Meereshöhe und ± etwa 4000 Meter Tiefe (Ozeanbecken). Die Häufigkeit der einzelnen Höhenstufen zeigt eine bimodale Verteilung. Dies ist bei den anderen Planeten (Mars, Venus, Merkur) und beim Erdmond nicht der Fall. Die Fläche mit W = 62, m 2 s 2 nennt man das Geoid. Es hat fast die Form eines Rotationsellipsoids. Das am besten genäherte Ellipsoid ist das Internationale Referenzellipsoid mit den Halbachsen a = b = 6378,137 km und c = 6356,752 km. Als Abplattung ε definiert man die Größe (a c)/a = ε = 1/298,2572. Abbildung mit Daten für das Normalfeld und die Figur der Erde Verbesserung der Daten Huygens ( ) und Newton ( ) haben versucht, die Ellipsen-Gestalt der Erde durch Hypothesen über die Massenverteilung im Erdinnern zu erklären. Newton: homogene Dichteverteilung und die Bedingung, daß im Zentrum der Erde hydrostatischer Spannungszustand herrschen soll. Er erhielt eine Abplattung von ε = 1/232. Huygens: Die Masse sei im Zentrum konzentriert und die Erdoberfläche sei eine Potentialfläche. Er erhielt eine Abplattung von ε = 1/580. Einzelheiten der Ableitungen: s. Skript. Die richtige Abplattung beträgt ε = 1/298,26 und zeigt, daß die Dichteverteilung im Erdinnern näher beim Newton-Modell liegt, daß aber die Dichte nach innen zunehmen muß. Die Dichtemodelle der Erde müssen daher auch die beobachtete Abplattung erklären können. Clairot ( ) befaßte sich auch mit dem Zusammenhang zwischen der Gestalt der Erde (ausgedrückt durch die Abplattung ε) und der Schwerkraftänderung zwischen Pol und Äquator. Er leitete folgende als Clairot'sches Theorem bezeichnete Beziehung ab: ε = (5/2) (ω 2 R E / G M E R E 2 ) (g Pol g Äquator ) / g Pol Die Abweichungen zwischen dem Geoid und dem Internationalen Referenzellipsoid sind kleiner als 100 Meter, meist nur einigen 10er Meter. Sie werden als Geoidundulationen bezeichnet. Abbildung mit einer Merkator-Karte der Geoidundulationen 4

5 C:\soffelskript\GRAV_02_12.docBibliothek Seite Die Geoidundulationen unterschiedlicher Wellenlängen bilden Dichteinhomogenitäten in der Erde in verschiedenen Tiefenbereichen ab und sind Ausdruck der dynamischen Vorgänge im Erdinnern. Man berechnet das Geoid und seine durch Dichte-Inhomogenitäten verursachten Deformationen aus den an der Erdoberfläche gemessenen Schwerewerten durch eine Integration. Abbildungen für die Berechnung des Geoids aus Schweredaten Die lokale Steigung θ der Äquipotentialfläche ist gegeben durch: θ tgθ = δg x /g = x-komponente des Störfeldes : lokaler Schwerevektor Mit θ tgθ = h/ x ist die Erhebung h(x) der Äquipotentialfläche über einer von der Störmasse m verursachten Schwereanomalie δg z hinweg gegeben durch folgendes Integral (s. Skript): h = θ dx = (G m/g) (t 2 +x 2 ) 3/2 x dx = (G m/g) (t 2 +x 2 ) 1/2 = (δg z / g) t 2 (t 2 +x 2 ) 1/2, wenn wir G m/t 2 durch δg z substituieren. Im Punkt x = 0 erhalten wir die Maximalamplitude zu h max = (δg z / g ) t. Einzelheiten der Ableitung: s. Skript. Dort finden sich auch Beispiel für die Geoidundulationen kleinerer Massen (cm-bereich) und großer Gebirge (Bereich 10er Meter). Abbildung globale Äquipotentialfläche, sehr stark überhöht In den nächsten Jahren ist mit neuen Geoidmodellen durch neue Satellitenmissionen zu rechnen Zeitliche Variationen (Gezeitenwirkungen) Abbildung zur Ableitung der Gezeiteneffekte Hierüber gibt es in der geodätischen Literatur umfangreiche Abhandlungen, weil dieses Thema hauptsächlich dort bearbeitet wird. In der Geophysik interessieren die Gezeiten hauptsächlich wegen ihres Einflusses auf die Messungen im Gelände (s. Reduktionen). Die Gezeiten kommen dadurch zustanden daß a) sich die Erde 1 Mal am Tag um die eigene Achse dreht und b) die anziehende Wirkung von Mond und Sonne zu Differenzkräften an der Erdoberfläche bezogen auf den Mittelpunkt der Erde führt. Diese Differenzkräfte, die wegen der Eigenrotation der Erde zeitlich variieren, können aus astronomischen Daten berechnet werden (theoretische Gezeiten). Sie haben eine maximale Amplitude an den Punkten P und P' in der Ekliptik-Ebene. Die einzelnen Größen (Abstände, Massen) können der Tabelle im Skript entnommen werden. Die Maximaleffekte in P bzw. P' sind durch die Differenz zur Anziehungskraft von Sonne bzw. Mond im Zentrum der Erde gegeben. 5

6 C:\soffelskript\GRAV_02_12.docBibliothek Seite g max = g (P bzw. P') g(z) = G M M,S [1/(r±R E ) 2 1/r 2 ] Bei Vernachlässigung höherer Potenzen von R E /r (r>>r E ) und Substitution von G durch G = g E R E 2 /M E (s. Skript) erhält man für g max : g max = ± 2 g E (R E/r) 3 ( M M,S /M E ) (M M,S: Masse Mond bzw. Sonne) Zur Ableitung der Breitenabhängigkeit der Gezeitenwirkung in der Nord-Süd (x) und Vertikalkomponente (z) sei auf das Skript verwiesen, sowie auf die Spezialliteratur. Für die Nord-Süd (x) -Komponente und die Vertikalkomponente (z) erhält man: g x = (3/2) g E (R E/r) 3 ( M M,S /M E ) sin (2ϕ) bzw. g z = g E (R E/r) 3 ( M M,S /M E ) ( 2 cos2 ϕ sin 2 ϕ ). Abbildung mit dem Verlauf der Breitenabhängigkeit von g x und g z Die Werte für Sonne und Mond sind unterschiedlich bzgl. Größe und Phase. Abbildung mit der Größe von g x und g z für Mond und Sonne Abbildung mit den Hauptperioden für Mond und Sonne Abbildung mit Registrierung von g z (Einfluß von Mond und Sonne) Die Gezeitenkräfte lassen sich auch von einem Potential ableiten, dem Gezeitenpotential (Formel: siehe Skript), auf das hier nicht näher eingegangen werden kann. Es gibt folgende Auswirkungen der Gezeiten auf das System Erde: Luftdruckänderungen, Massenverlagerungen in Gewässern (z.b. Meeresgezeiten, Tiden) und Deformationen des Erdkörpers und damit verbunden Massenverlagerungen. Die von den Gezeiten abhängenden Potentialanteile werden als proportional zum Gezeitenpotential selbst angesehen und lassen sich durch die Einführung der sogenannten Love-Zahlen beschreiben, die wiederum von der Dichte und vom Scherungsmodul µ der Erde abhängen. Somit kann man auch mit Hilfe der lokalen Wirkungen der Gezeiten Erdmodelle berechnen. Hierzu sei auf Spezialliteratur verwiesen. Nicht nur die Wassermassen in Gewässern, sondern auch die feste Erde unterliegt einem Gezeitenhub. Dieser ist breitenabhängig und abhängig von lokalen Love-Zahlen, die man geodynamisch interpretieren kann. Größenordnungen: Hub der Meere: ca. 1 Meter, Hub der festen Erde ca. 0,2 Meter. Höhere Tidenhube am Meer ( > 10 m) sind durch die Morphologie der Küsten und Schelfe bedingt (z.b. am Mont St. Michel, Normandie). Abbildung mit Höhe der Flutwellen im Ärmelkanal Durch die Gezeiten wird die Erde "durchgeknetet" und ständig deformiert. Die dadurch entstehende Wärme trägt zum Wärmehaushalt der Erde nur wenig bei, jedoch wird die Eigenrotation der Erde dabei langsam abgebremst. Die Gezeiten der Festen Erde und der Ozeane führen zu somit zu einer Verlangsamung der Erdrotation von etwa 6

7 C:\soffelskript\GRAV_02_12.docBibliothek Seite [2,5 ± 0,2] 10 3 Sekunden/ Tag und pro Jahrhundert. Im Erdaltertum hatte das Jahr etwa 400 Tage. Abbildung mit Tage pro Jahr in geologischen Zeiten Diesem Effekt überlagert sind kürzerperiodische Tageslängenänderungen (lod, length of day- Variationen), die wahrscheinlich durch Effekte im Erdkern bedingt sind. Siehe auch Erdmagnetismus (jerk). Abbildung mit kurzperiodischen lod-variationen Roche-Grenze: Dies ist der Ort zwischen zwei Himmelskörpern, an dem sich die Anziehungskräfte genau aufheben. Beim System Erde-Mond ist dieser Punkt in der Nähe des Mondes. Vom Mond aus gesehen muß man bei einem Rückflug diesen Punkt überschreiten. Danach "fällt" das Raumschiff auf die Erde zurück. Einzelrechnungen: s. Skript. 7