Inhaltsverzeichnis. Information Mathematik (BLF, Abitur) Hinweise und Beispiele zu hilfsmittelfreien Aufgaben

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1 Information Mathematik (BLF, Abitur) Hinweise und Beispiele zu hilfsmittelfreien Aufgaben Inhaltsverzeichnis Einführung Checkliste für Lernende Aufgaben A Pflichtaufgaben Teil A des Orientierungsabiturs für 04 B Aufgaben der ohimi-tests B ohimi-test 0 B ohimi-test 0 B ohimi-test 0 C Weitere Aufgaben

2 Einführung Die verpflichtende Einführung von Computeralgebrasystemen (CAS) entsprechend des weiterentwickelten Thüringer Lehrplans hat Einfluss auf die Aufgaben- und Unterrichtskultur. Dies spiegelt sich ebenfalls in den Aufgabenformaten der zentralen Leistungsfeststellungen und Prüfungen wider. Das Abitur 04 wird erstmalig einen hilfsmittelfreien Teil enthalten. Für die Besondere Leistungsfeststellung ist dies für das Jahr 05 geplant. Verbindliche Grundlage für die Auswahl der Aufgaben im hilfsmittelfreien Teil ist der Lehrplan. Die vorliegende Handreichung dient zur Unterstützung für Lernende und Lehrende und sie erhebt nicht den Anspruch der Vollständigkeit. Für die Lernenden beinhaltet sie eine Checkliste mit zugehörigen Aufgaben, für Lehrende dient sie als Anregung für Diskussionen innerhalb der Fachgruppe und als Anregung für die Gestaltung hilfsmittelfreier Leistungstests. Bei der Konstruktion entsprechender hilfsmittelfreier Aufgaben sind u. a. folgende Kriterien zu beachten: Die Aufgaben sind nicht komple, d. h. sie zielen i. a. nur auf die Überprüfung einzelner mathematischer. Der Rechenaufwand soll möglichst gering und überschaubar sein. Die Aufgaben fordern das geistige Durchdringen grundlegender mathematischer Begriffe und Verfahren (siehe Checkliste für Lernende), sind aus verschiedenen Sichtweisen formuliert und erfordern Anwendung der Kenntnisse und Fertigkeiten in ungewohnten Problemsituationen. Die allgemeinen mathematischen (K K6) werden an unterschiedlichen Inhalten in allen drei Anforderungsbereichen überprüft. Eemplarisch werden Aufgaben aus dem Teil A der Orientierungsaufgaben für das Abitur 04, aus den hilfsmittelfreien Tests (ohimi-test von 0 und 0) und einer von den erstellten Aufgabensammlung zugeordnet. Lehrplan für den Erwerb der allgemeinen Hochschulreife Mathematik, 0. Ebenda, S Sekretariat der Ständigen Konferenz der Kultusminister der Länder in der BRD (Hrsg.) (004 b): Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Bildungsabschluss Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 4..00, München, Wolters Kluwer, S. 7 ff. Oktober 0

3 Checkliste für Lernende Grundlegend gelten die Kompetenzbeschreibungen im weiterentwickelten Thüringer Lehrplan 4. Die Checkliste dient zur Orientierung über die Kompetenzanforderungen. Vollständigkeit wird nicht angestrebt. Sie bietet Möglichkeiten zur Selbstkontrolle und zur Einschätzung des eigenen Lernstands. Grundlagen bis Klassenstufe 0 Ich kann Aufgaben - mit reellen Zahlen rechnen und Rechengesetze zum Vorteil anwenden. C 9 C 0 C C 5 - Potenzgesetze anwenden. C - Prozentrechnung anwenden. C 7 - proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen anwenden. C 8 C - Umfang und Flächeninhalt von ebenen Figuren (ggf. Überschlag) ermitteln. - Volumen und Oberflächeninhalt von Körpern (ggf. Überschlag) ermitteln. - elementare geometrische Sätze (wie Strahlensätze, Satz des Pythagoras, Satz des Thales, Kongruenzsätze, Hauptähnlichkeitssatz) und Definitionen (wie Sinus, Kosinus, Tangens eines Winkels) anwenden. C 6 C 9 C B 4.a) C 6 C 7 C 5 C 5 C C 4 C 49 - Terme zusammenfassen und vereinfachen. B.b) C 7 C 9 - einfache Gleichungen und lineare C 4 Gleichungssysteme lösen. C 0 - Eigenschaften von linearen, quadratischen, trigonometrischen Funktionen, Potenz-, Eponential- und Logarithmusfunktionen bestimmen. B B.a)-c) C 9 C C 6 - einfache Funktionsgleichungen ermitteln. C.a) C 6 C 46 a), b) - Funktionen graphisch darstellen C.b) C 9 C 4 Lehrplan für den Erwerb der allgemeinen Hochschulreife Mathematik, 0. Oktober 0

4 4 - den Zusammenhang zwischen Funktion und Umkehrfunktion erläutern und anwenden. - den Einfluss der Parameter auf Eigenschaften der Funktionen im Vergleich zu f() beschreiben, erläutern und anwenden. - Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse ein- und mehrstufiger Zufallseperimente ermitteln. - Trefferzahl, Erwartungswert, Gewinn und Verlust bei ein- und zweistufigen Zufallseperimenten bestimmen. C 4 A 5.a) B A 8 B 6 B 6 C 5 C 6 C 7 C 7 Analysis Ich kann Aufgaben - ganzrationale Funktionen, gebrochenrationale Funktionen, Potenzfunktionen, Sinus- und Kosinusfunktionen, e-funktionen und ln-funktionen (auch mit Parameter) auf Eigenschaften untersuchen und in verschiedenen Formen (Tabelle, Skizze, Gleichung) darstellen und beschreiben. A 5.b) B B B C 5.b) C 8.a) C 9 C C C C 44 C 50 - Funktionen, deren Eigenschaften gegeben sind, darstellen. - ganzrationale Funktionen, Potenzfunktionen, Sinusund Kosinusfunktionen, e-funktionen ableiten. - Zusammenhänge zwischen Funktionen und Ableitungsfunktionen beschreiben, begründen und darstellen. - Gleichungen von Tangenten und Normalen berechnen oder ggf. graphisch ermitteln. C.b) C C 5.a) C 9 C 0 C 9 C B B 5 A B B 7 C C 4 A A B.c) B.d) C 8.b) Oktober 0

5 5 - Etremwertprobleme lösen. B 5 B 4 - Stammfunktionen und Integrale von ganzrationalen A 4 Funktionen, Potenzfunktionen, Sinus- und B.d) Kosinusfunktionen, e-funktionen ermitteln. B 4 C C 4 Vektorrechnung/Analytische Geometrie Ich kann Aufgaben - Punkte, Geraden, Flächen und Körper im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem C 45 C 8 beschreiben und darstellen. - Vektoren zeichnerisch und rechnerisch addieren, subtrahieren und vervielfachen. C 8.c) C 46.c) - Eigenschaften ebener und räumlicher Figuren mit Hilfe von Vektoren nachweisen. A 6.a) A 6.b) - überprüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen. C 4 C 48 - die Orthogonalität von Vektoren mit Hilfe des Skalarproduktes nachweisen. C 8 C 4 - Geraden durch Gleichungen in der Parameterform A 7 angeben, die Bedeutung der Vektoren erläutern und anwenden. - Koordinaten der Schnittpunkte von Geraden ermitteln. - Koordinaten der Schnittpunkte von Geraden und Koordinatenebenen bestimmen. - Zusammenhang zwischen Gleichungssystem und geometrischer Darstellung beschreiben. C 4 C 46.b) C 47 C 9 C 40 Stochastik Ich kann Aufgaben - Erhebungen anhand statistischer Kenngrößen C 7 beurteilen. - Binomialverteilung als eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreiben. C C 7 - Wahrscheinlichkeiten berechnen. B 6 B 6 C 5 C 6 Oktober 0

6 6 Aufgaben A Pflichtaufgaben Teil A der Orientierungsaufgaben für das Abitur 04. Dargestellt sind die Graphen einer ganzrationalen Funktion f, der zugehörigen Ableitungsfunktion f und einer weiteren Funktion g. y 5 (I) (II) (III) y y Entscheiden Sie, welche Abbildungen die Graphen der Funktionen f und f sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung. BE. Gegeben ist die Funktion f durch y f() 4. Untersuchen Sie, welche der folgenden Geraden die Normale an den Graphen von f an der Stelle ist. (I) y 4 5 (II) y, 5 4 (III) y 5 (IV) y 4, 5 4 BE. Die Graphen der Funktionen f und g besitzen an der Stelle a mit a R eine gemeinsame Tangente. Beschreiben Sie eine Möglichkeit zum Nachweis dieser Eigenschaft. BE Oktober 0

7 7 4. Bestimmen Sie eine Gleichung der Stammfunktion der Funktion f mit y f() 6 4, deren Graph durch den Punkt P (; ) verläuft. BE 5. Gegeben sind die Funktionen f durch und g durch g(). f() a) Beschreiben Sie, wie der Graph von f aus dem Graphen der Funktion g hervorgeht. b) Bestimmen Sie die Stelle, an der die Funktion f den Funktionswert besitzt. BE BE 6. Die Punkte A ;4;, B 6;;, C ;0; und 0;; D sind die Eckpunkte eines ebenen Vierecks ABCD. a) Weisen Sie nach, dass ABCD ein Parallelogramm ist. BE b) Prüfen Sie, ob dieses Viereck sogar ein Rechteck ist. BE 7. Für jeden Richtungsvektor b b o ist eine Gerade gegeben durch g: r b; r R. a) Geben Sie einen Vektor b so an, dass die Gerade g parallel zur -Achse verläuft. BE b) Geben Sie einen Vektor b so an, dass die Gerade g parallel zur y-z-ebene ist. 8. Ein idealer Würfel mit den Augenzahlen bis 6 wird genau zweimal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Produkt der Augenzahlen größer als 6 ist. 9. In einer Urne liegen 7 weiße und schwarze Kugeln. Es wird nacheinander ohne Zurücklegen je eine Kugel zufällig gezogen. Wie oft muss man mindestens ziehen, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50 % mindestens eine der gezogenen Kugeln schwarz ist? BE BE BE Oktober 0

8 8 Hinweise zur. Entscheidung mit Begründung: f (III) K f (I) K4. Untersuchung und Ergebnis: (II) K. Beschreibung einer Möglichkeit z. B. mit: K a g a f a g a K6 f und 4. Bestimmung einer Gleichung der Stammfunktion: F() BE 5.a) Beschreibung K4 5.b) Bestimmung der Stelle: 6.a) Nachweis Parallelogramm K 6.b) Prüfung und Ergebnis: kein Rechteck K 7.a) Angabe eines Richtungsvektors K 7.b) Angabe eines Richtungsvektors K 8. 5 K Bestimmung der Wahrscheinlichkeit: p 8 9. Ansatz und Ergebnis: mindestens dreimal K Oktober 0

9 9 B Aufgaben der ohimi-tests B ohimi-test 0. Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung y f() mit R. a) Welcher der abgebildeten Graphen (A) bis (D) ist der Graph der Funktion f? Geben Sie zwei Gründe für Ihre Entscheidung an. (A) (B) y y O O (C) y (D) y 0,5 O O BE b) Zeigen Sie, dass f() 4 6 gilt. BE Oktober 0

10 0 c) Im Punkt Q ;0 wird die Tangente h an den Graphen der Funktion f gelegt. Ermitteln Sie die Gleichung dieser Tangente. Geben Sie eine Gleichung einer Geraden g an, die senkrecht zur Tangente h verläuft. 4 BE d) Der Graph von f schließt mit den Koordinatenachsen im Intervall 0 eine Fläche ein. Überprüfen Sie, ob die Fläche kleiner als Flächeneinheiten ist. BE. Entscheiden Sie, welche der dargestellten Funktionen g und h die Ableitungsfunktion der anderen sein kann. Geben Sie mindestens zwei Gründe an. y g h O BE. Bilden Sie jeweils die erste Ableitung. a) f() 4 7 b) f() 5 c) f(z) 6z d) f(t) 4 5 t 4 BE 4. Berechnen Sie das folgende Integral. 4 d BE Oktober 0

11 5. Aus einem Draht der Länge 9 m wird ein quaderförmiges Kantenmodell für ein Aquarium hergestellt. Eine Seite der Grundfläche ist doppelt so lang wie die andere. Ermitteln Sie die Kantenlängen dieses Modells so, dass das Fassungsvermögen des Aquariums möglichst groß wird. 6 BE 6. Ein Würfel wird drei Mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt mindestens zwei Sechsen gewürfelt werden? BE Oktober 0

12 Hinweise zur a) B Begründung (zwei Gründe) Aufgabe Hinweise BE Leitidee I II III L4 K b) Nachweis L c). Ableitung K4 4 L4 K f () 8 Gleichung von h: y 8 4 Gleichung von g, z. B.: y 8 8 d) Entscheidung mit Begründung L L4 K6 K K. Entscheidung und Angabe von mindestens zwei Eigenschaften L4 K4. Ableitungen 4 L4 4. Integration L4 5. Ansatz unter Beachtung der Nebenbedingungen Zielfunktion. Ableitung b 0m entfällt b m 6 L L L4 K6 K K K4 K6 a m c 4 m Nachweis für Maimum 6. Ansatz 6³ 5 6³ 6 6 L5 K Oktober 0

13 B ohimi-test 0. Welche Aussagen zum Scheitelpunkt sind für alle Graphen von quadratischen Funktionen wahr? (I) Der Scheitelpunkt ist der Etrempunkt. (II) Der Funktionswert des Scheitelpunkts ist das Minimum. (III) Der Scheitelpunkt ist der einzige Etrempunkt. (IV) Man bestimmt den Scheitelpunkt, indem man zunächst die erste Ableitung bildet und null setzt. (V) An der Scheitelpunktform kann man die Koordinaten des Scheitelpunkts direkt ablesen. (VI) Die -Koordinate des Scheitelpunktes ist immer eine Nullstelle der Funktion. BE.. Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f 4 8 a) Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Funktion f. BE b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f in ein Koordinatensystem. c) Der Graph der Funktion f wird an der -Achse gespiegelt. Ermitteln Sie eine Gleichung der gespiegelten Funktion. d) Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Gerade g mit der Gleichung g() 7 Tangente an den Graphen der Funktion f ist.. Gegeben ist die Funktion ft mit der Gleichung f t t. Beschreiben Sie den Einfluss von t auf den Verlauf des Graphen. BE BE BE BE 4. Kinder wollen aus vier Stangen von jeweils zwei Meter Länge das Gerüst eines Zeltes bauen, welches die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit größtmöglichem Volumen hat. a) Birgit sagt: Lass uns die Grundseite ebenfalls m wählen, dann haben wir die meiste Luft im Zelt. Wie groß ist das Volumen in diesem Fall? b) Paul hat für die Bestimmung des Volumens eine Zielfunktion gefunden. Beschreiben Sie ohne konkrete Rechnung, wie er damit das maimale Volumen berechnen kann. BE BE Oktober 0

14 4 5. Welcher Fehler wurde gemacht? Korrigieren Sie die Rechnung. h h () ² BE 6. In einer Lostrommel befinden sich noch genau 0 Lose, darunter sind nur zwei Gewinnlose. Karla zieht genau Lose. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht Sie dabei nur Nieten? BE 7. Fügen Sie dem abgebildeten Graphen Punkte A, B und C mit folgenden Eigenschaften hinzu: Im Punkt A ist die erste Ableitung negativ. Im Punkt B ist die erste Ableitung am größten. Im Punkt C ist die erste Ableitung null. Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf der Ableitungsfunktion in das Koordinatensystem. y 4 BE Oktober 0

15 5 Hinweise zur Aufgabe Hinweise BE AB I AB I AB I. (I), (III), (IV), (V).a) ; 4 bei einem Fehler BE, sonst 0 BE S.b) Skizze K4 K K6.c) z. B. f() 4 8 K.d) Ansatz Nachweis K. Verschiebung um t Einheiten in Richtung der y-achse K6 4.a) Ansätze K 4 V m 4.b) Beschreibung K6 5. Angabe des Fehlers Korrektur K6 6. P( Nieten ) 7 5 K 7. Punkte Skizze 4 K K4 Oktober 0

16 6 B ohimi-test 0. Bestimmen Sie die Länge der Seite a. 7 cm a 4 cm 4 cm Skizze nicht maßstäblich BE. Peter behauptet: () Die Dreiecke sind flächengleich. () Die Dreiecke sind kongruent. a a a Entscheiden Sie, ob diese Behauptungen wahr sind. Begründen Sie Ihre Entscheidungen. BE. Eine Urne enthält genau zehn Kugeln, drei weiße und sieben rote. Es wird zweimal je eine Kugel gezogen. Nach dem ersten Zug werden der Urne zwei Kugeln der zuvor gezogenen Farbe hinzugefügt. a) Zeichnen Sie ein zugehöriges Baumdiagramm. BE b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, von jeder Farbe genau eine Kugel zu ziehen. BE 4. Einem Rechteck mit den Seitenlängen cm und cm ist der Graph einer Funktion f mit f asinb a, b R y so einbeschrieben, wie in der Skizze dargestellt. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion f. BE Oktober 0

17 7 5. Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion f mit folgenden Eigenschaften in einem geeigneten Intervall. () f 0 () lim f () Die Funktion f ist an der Stelle nicht definiert. BE 6. Gegeben ist der Graph einer Ableitungsfunktion f mit R. Beschreiben Sie das Monotonieverhalten der Ausgangsfunktion f und begründen Sie Ihre Aussagen. y f a b c BE 7. Gegeben sind die Funktionen f durch f und g durch g R. a) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f und g in ein gemeinsames Koordinatensystem. b) Berechnen Sie die Stelle, an der die Differenz der Funktionswerte von f und g am kleinsten ist. BE BE 8. Bestimmen Sie die Gleichung der linearen Funktion f und die Gleichung einer quadratischen Funktion g, deren Graphen einander in den Punkten P ; und Q 0; 5 schneiden. BE 9. Für jede reelle Zahl t ist eine Funktion f durch f t t mit R gegeben. Untersuchen Sie die Anzahl der Nullstellen von f in Abhängigkeit von t. BE Oktober 0

18 8. Begründen Sie, dass die Nullstelle der Umkehrfunktion von f ist. 0. Gegeben ist die Funktion f durch f R BE Hinweise zur Aufgabe Hinweise BE. a 5cm K/. Entscheidungen mit Begründung: () flächengleich K/K4 () nicht kongruent K/K4.a) Baumdiagramm K/K4.b) Berechnung der Wahrscheinlichkeit: K/ 4. K4/ Funktionsgleichung: f sin 5. Skizze für Graphen von f K4/K6 6. Beschreibung des Monotonieverhaltens mit Begründung, z. B.: streng monoton fallend für < a oder > c, da f 0 streng monoton steigend für a < < c, da f 0 7.a) Zeichnungen für Graphen von f und g: g y f K/ K4/ K6 K4 K4 7.b) Ansatz: d K/ : Begründung für Minimum 8. Gleichungen: f() 5 K/ z. B.: g() eine Nullstelle: t 0 zwei Nullstellen: t 0 0. Begründung K/ Oktober 0

19 9 C Weitere Aufgaben Aufgabe C Gegeben ist eine Funktion f durch f. Gesucht sind lineare Funktionen, deren Graphen zum Graphen von f senkrecht verlaufen. a) Geben Sie zwei Gleichungen von verschiedenen Funktionen an, die diese Bedingung erfüllen. b) Stellen Sie Ihre graphisch dar. C.a).b) z. B. g h f y g K K4 h Aufgabe C Skizzieren Sie den Graphen einer streng monoton fallenden Funktion mit einer Nullstelle und einer Wendestelle. C. z. B.: K4 y Oktober 0

20 0 Aufgabe C Gegeben ist eine Funktion f mit f() 0, f () 0 und f (). Formulieren Sie zwei Eigenschaften der Funktion f, die aus den gegebenen Angaben geschlussfolgert werden können. C. z. B. Die Funktion f hat bei eine Nullstelle. Die Funktion f hat bei einen lokalen Tiefpunkt. K6 K Aufgabe C 4 Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit dem Wendepunkt Geben Sie die Aussagen an, die in jedem Fall zutreffend sind. f (II) f 0 (I) 0 (III) f 0 W / f. (IV) Die Funktionswerte von f haben bei einen Vorzeichenwechsel. C 4 4. (II) (IV) K Aufgabe C 5 Gegeben ist für R eine stetige und differenzierbare Funktion f mit den Eigenschaften: - f ist im gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend. - f hat keinen Wendepunkt. - f() und f () a) Skizzieren Sie einen möglichen Graphen. b) Geben Sie die Anzahl der möglichen Nullstellen von f an. C 5 5.a) y y K6 K4 5.b) keine eine Nullstelle K Oktober 0

21 Aufgabe C 6 Aus einem rechteckigen Blatt Papier (Länge 0 cm, Breite cm) kann auf zwei verschiedene Arten der Mantel eines Zylinders hergestellt werden. Peter behauptet: Weil die Flächeninhalte der Mantelflächen gleich sind, sind auch die Volumina der entstehenden Zylinder gleich. Hat Peter recht? Begründen Sie Ihre Entscheidung. (Hinweis: Die Herstellung des Zylindermantels soll ohne Überlappung erfolgen.) C 6 6. Peter hat nicht recht. 0 6 V cm cm V cm 0 cm V cm V cm V V K K Aufgabe C 7 Aus einem rechteckigen Blatt Papier (Länge a, Breite b) kann auf zwei verschiedene Arten der Mantel eines Zylinders hergestellt werden. Peter behauptet: Weil die Flächeninhalte der Mantelflächen gleich sind, sind auch die Volumina der entstehenden Zylinder gleich. Hat Peter recht? Begründen Sie Ihre Entscheidung. (Hinweis: Die Herstellung des Zylindermantels soll ohne Überlappung erfolgen.) C 7 7. Peter hat nicht recht. a b r r a b V b V a a b b a V V 4 4 V V nur für a b, sonst V V K K Oktober 0

22 Aufgabe C 8 Gegeben ist die Funktion f durch f(). a) Zeichnen Sie den Graphen von f in einem geeigneten Intervall. b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle. 4 c) Der Graph wird um v verschoben. Geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung des neuen Graphen an. C 8 8.a) K4 5 8.b) y 4 K 8.c) f() 6 K4 Aufgabe C 9 Gegeben sind die Funktionen ( R) (I) y (II) y (III) y (IV) y y 6 4 a) Geben Sie die Funktion an, die keine lineare Funktion ist. b) Weisen Sie nach, dass zwei Funktionen identisch sind. c) Begründen Sie, dass die Graphen von zwei Funktionen zueinander parallel verlaufen, aber nicht identisch sind. d) Bestimmen Sie die Funktionen, die zueinander orthogonal sind. e) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion (III) im Intervall 5. (V) Oktober 0

23 C 9 9.a) (III) 9.b) Nachweis, dass (II) und (V) identisch sind K 9.c) Nachweis für (I) und (II) bzw. (V) gleicher Anstieg und unterschiedliches absolutes Glied 9.d) (I) und (II) bzw. (V) sind orthogonal zu (IV) K 9.e) y K K4 Aufgabe C 0 Der Graph G f einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades hat folgende Eigenschaften. I. G f hat im Ursprung einen lokalen Tiefpunkt. P ; 0. II. G f schneidet die -Achse im Punkt III. G f und die -Achse begrenzen im Intervall ; Fläche vollständig. Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf des Graphen von f. 0 eine im I. Quadranten liegende C 0 0 K6 K4 y Oktober 0

24 4 Aufgabe C Der Graph G f einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades hat folgende Eigenschaften. (I) G f hat im Ursprung einen lokalen Tiefpunkt. P ; 0. (II) G f schneidet die -Achse im Punkt (III) G f und die -Achse begrenzen im Intervall ; 0 eine im I. Quadranten liegende Fläche vollständig. Der Flächeninhalt dieser Fläche beträgt A 9 FE. 4 Begründen Sie, dass sich aus diesen Bedingungen folgender Ansatz für die Bestimmung der Funktion f ergibt: () a 0 b 0 c 0 d 0 () a 0 b 0 c 0 () 7a 9b c d 0 (4) 8 a 9b 9 c 9 4 d 4 C Ansatz: Begründung: f() a b c d f () a b c () f(0) 0 () f (0) 0 () f() 0 (4) f()d K4 K K6 Aufgabe C Die Graphen einer Schar ganzrationaler Funktionen f t dritten Grades mit dem Parameter t haben folgende Eigenschaften: (I) Die Graphen besitzen einen lokalen Tiefpunkt im Ursprung. P t; 0 mit t R; t 0. (II) Jeder Graph schneidet die -Achse im Punkt (III) Jeder Graph und die -Achse begrenzen im Intervall ; t 0 eine im I. Quadranten liegende Fläche vollständig. t Der Flächeninhalt dieser Fläche beträgt A FE. 4 Stellen Sie einen sansatz zum Ermitteln der Gleichung dieser Funktionenschar auf. Hinweis: Die Angabe der Funktionsgleichung ist nicht erforderlich. C Ansatz: f() a b c d f () a b c () f(0) 0 () f (0) 0 () f(t) 0 (4) t f()d 0 t 4 K6 K Oktober 0

25 5 Aufgabe C Bestimmen Sie anhand der gegebenen Graphen folgende Werte. a) f b) Nullstelle von h c) Monotonie von h d) Schnittpunkte des Graphen der Funktion g mit den Koordinatenachsen e) Hochpunkt des Graphen der Funktion g f y g h -5 C f K4.a) 0.b) o, 5 K4.c) streng monoton fallend K4.d) 4; 0, ; 0, 0; P.e) ; P P y K4 H K4 Oktober 0

26 6 Aufgabe C 4 Geben Sie den Definitionsbereich und die smenge an. a) 5 b) c) 4 C 4 4 a) R, ; L L ; 5 L 0; b) R c) R Aufgabe C 5 Gegeben ist ein Kreis mit einem Radius von 5 cm. Eine Sehne dieses Kreises ist 8 cm lang. Berechnen Sie den Abstand des Kreismittelpunktes von dieser Sehne. C 5 5 Ansatz über Satz des Pythagoras d = cm K Aufgabe C 6 a) Skizzieren Sie die Funktion f() cos in ein Koordinatensystem im Intervall ; R. b) Ermitteln Sie den Wertebereich der Funktion f(). c) Geben Sie die Gleichung der Funktion y f() cos an. in der Form y sin c d C 6 a) graphische Darstellung: K4 y - O,5 b) Wertebereich: 0 y ; y R K/ c) Funktionsgleichung: y sin K4 Oktober 0

27 7 Aufgabe C 7 Der Erwartungswert der Zufallsgröße X mit folgender Wahrscheinlichkeitsverteilung beträgt,. X i 0 P X i 0, p 0, q Die Wahrscheinlichkeiten p und q sind gesucht. Geben Sie einen sansatz an. C 7 7 I p + q = 0,5 II p + q = 0,6 K Aufgabe C 8 Die Punkte A ; ; 0, B ; ; 0 und 5; ; 0 C sind Eckpunkte der rechteckigen Grundfläche einer geraden Pyramide. Der Punkt S ist die Spitze der Pyramide. Die Höhe h beträgt 7 LE. a) Ermitteln Sie den Punkt D der Grundfläche. b) Geben Sie die Punkte an, die Spitze dieser Pyramide sein könnten. S ; 0,5;, S ;,5; 7, S 0,5;,5; 7, S 4 ;,5; 7 c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. C 8 8.a) 5; ; 0 D K 8.b) S, S 4 K 8.c) 8 V VE Oktober 0

28 8 Aufgabe C 9 Geben Sie jeweils die Koordinaten eines Punktes in einem Koordinatensystem mit folgender Eigenschaft an: a) Der Punkt liegt in der y-z-ebene. b) Der Punkt liegt auf der z-achse. c) Der Punkt hat von der -z-ebene den Abstand LE. C 9 9.a), b), c) jeweils einen Punkt angeben K Aufgabe C 0 Gesucht ist die smenge der Gleichung 0 Bewerten Sie folgenden sweg. - = 0 : = 0 + = L = {-;} R G. C 0 0 Der sweg ist nicht korrekt. Mit dem ersten Umformungsschritt wäre eine Fallunterscheidung nötig, da die Division durch Null nicht erklärt. L ; 0;. Die korrekte ist K,K Aufgabe C Ein Sportschütze trifft erfahrungsgemäß mit einem Schuss das Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 %. Er feuert fünf Schüsse unter jeweils gleichen Bedingungen auf ein Ziel ab. 5 a) Interpretieren Sie in diesem Zusammenhang den Term 0,9 0 0, 5. 0 b) Geben Sie die Werte an, die dem Term von Aufgabe a) nicht entsprechen können. Begründen Sie. ) p =,005 ) p = -0,0068 ) p = 0, ) p = 0,0000 C a) mit dem Term wird die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer berechnet (Binomialverteilung mit der Kettenlänge n = 5, Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,9; Wahrscheinlichkeit für Fehlschuss q = 0,) b) () und () wegen 0 P (4) ist Wahrscheinlichkeit für kein Treffer K,K4 K6 K Oktober 0

29 9 Aufgabe C Gegeben ist der Graph der Funktion f() sin. Zeichnen Sie ein Koordinatensystem ein und beschriften Sie die Achsen. C z. B.: y -π π π Aufgabe C Entscheiden Sie, ob folgende Aussage wahr ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung. Jedes Parallelogramm ist ein Drachenviereck. C falsche Aussage Nur wenn die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, trifft es zu. Zeichnung möglich K K6 Oktober 0

30 0 Aufgabe C 4 Entscheiden Sie, ob folgende Aussage wahr ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung. Ein Rhombus (Raute) besitzt zwei stets gleich lange Diagonalen. C 4 4 falsche Aussage, gilt nur für Spezialfall Quadrat Zeichnung möglich K K6 Aufgabe C 5 Für eine Ausstellungsvitrine soll aus 0 m langem Draht ein Kantenmodell eines Quaders mit quadratischer Grundfläche gefertigt werden. Die Höhe des Körpers sei dreimal so groß wie eine Grundkante. Berechnen Sie die Längen der Kanten des Quaders. C 5 a Länge einer der quadratischen Grundkanten c Länge der Höhe Ansatz: 8a 4c 0 m, c a Ergebnis: a 0,5 m; a 0,5 m Die Grundkanten sind jeweils 0,5 m lang und die Höhe beträgt,5 m. K K Aufgabe C 6 Gegeben ist ein Kreis. Sein Flächeninhalt wird verhundertfacht. Erläutern Sie die Veränderung des zugehörigen Umfangs. C 6 Erläuterung, dass u 0 u0 K/K6 Oktober 0

31 in % Aufgabe C 7 Konrad hat zur Veranschaulichung der Anzahl der Geschwister seiner Mitschüler folgendes Diagramm erstellt mehr als Anzahl der Geschwister Bewerten Sie anhand des Diagramms folgende Aussagen. a) Mindestens 5 der Mitschüler sind Einzelkinder. b) Mehr als die Hälfte der Mitschüler haben mindestens zwei Geschwister. c) Die Anzahl der Kinder mit vier Geschwistern ist genauso groß wie die mit drei Geschwistern. d) Es gibt viermal so viel Schüler mit einem Geschwisterkind wie mit drei Geschwistern. e) Höchstens 70 % der Schüler haben Geschwister. f) Mehr als 0 % haben ein Haustier. C 7 jeweils Stellungnahme mit Begründung richtig: a) d) falsch: b), c), e) keine Aussage über Wahrheitsgehalt möglich: f) K K4 K6 Aufgabe C 8 Ein Feld wird von acht Mähdreschern in sechs Stunden abgeerntet. Berechnen Sie die Zeitersparnis, wenn Mähdrescher im Einsatz sind. C 8 Zeitersparnis von Stunden K Oktober 0

32 Aufgabe C 9 Geben Sie zur Berechnung des Flächeninhalts der Figur zwei unterschiedliche Terme an und weisen Sie deren Gleichwertigkeit nach. a b e f C 9 z. B.: a be f und a e be a f b f Nachweis, dass a be f ae be a f b f K4 K Aufgabe C 0 Beschreiben Sie die Fehler, die bei den Termumformungen gemacht wurden. a) b) a ba 4b a 4b C 0 a) b) Der Term 0 fehlt. Der Term -ab fehlt. K6/ K4/ Aufgabe C Geben Sie die Terme an, mit denen man den Flächeninhalt der Figur berechnen kann. a b A A A b b a a b a a b A a b C I, II, IV Oktober 0

33 Aufgabe C Vereinfachen Sie folgende Terme soweit wie möglich. a) 98 b) 00 c) 75 4 C a) 4 K4 b) K4 c) 6 K4 Aufgabe C Ein PKW verbraucht etwa 8 Liter Benzin auf 00 km. Berechnen Sie den Benzinverbrauch für 70 Kilometer. C 5,6 Liter K/ Aufgabe C 4 Zeigen Sie, dass f() 0,5 für 0 eine Umkehrfunktion von 0, 5 g() ist. C 4 rechnerischer Nachweis oder durch graphische Darstellung K K4 Aufgabe C 5 Ein idealer Würfel mit den Augenzahlen,,, 4, 5, 6 wird zweimal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der gewürfelten Augenzahl mindestens 0 beträgt. C 5 p 6 6 K Oktober 0

34 4 Aufgabe C 6 In einem Geschäft werden gefüllte Glückswürfel verkauft. In jedem fünften Glückswürfel befindet sich eine Tierfigur. Julia kauft zwei dieser Würfel. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Julia mindestens eine Tierfigur erhält. C 6 P(A) 0,8 0,6 K Aufgabe C 7 Bei der Herstellung von Kaffeebechern werden erfahrungsgemäß 70 % fehlerfrei glasiert. Man entnimmt der laufenden Produktion rein zufällig 0 Kaffeebecher. a) Geben Sie einen Term für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A an. A:= Von den entnommenen Bechern ist nur der 7. defekt. b) Beschreiben Sie verbal ein Ereignis B, dessen Wahrscheinlichkeit durch P(B) ,7 0,7 0, 0,7 8 0, 0 berechnet wird. C 7 a) P(A) 0, 0,7 9 K/ b) B:= Von den 0 entnommenen Bechern sind höchstens defekt. K6 Aufgabe C 8 c 4 Gegeben sind die Vektoren a c und b. 4 Bestimmen Sie c so, dass die Vektoren zueinander orthogonal sind. C 8 c = -6 K4 Oktober 0

35 5 Aufgabe C 9 A. Der Punkt A ist der Bildpunkt von A bei der Spiegelung an der -z-ebene. a) Beschreiben Sie die besondere Lage der Geraden, die durch die Punkte A und A verläuft. b) Geben Sie den Schnittpunkt der Geraden mit der -z-ebene an. Gegeben ist der Punkt ; ;5 C 9 a) Beschreibung, z. B.: Gerade ist parallel zur y-achse K6 b) S ;0;5 K Aufgabe C 40 Untersuchen Sie die Vektoren Ergebnis geometrisch. 0 a 0, b, 4 C 40 z. B.: c 7 a, b und c auf lineare Abhängigkeit. Interpretieren Sie das 0 0 und Interpretation 4 7 K K4 Aufgabe C 4 6 Gegeben sind die Geraden g mit 6 s (sr) und h mit Entscheiden Sie, welche Aussage zutrifft. I Die Geraden verlaufen parallel. II Die Geraden schneiden sich senkrecht. III Die Geraden schneiden sich nicht senkrecht. IV Die Geraden verlaufen windschief. V Die Geraden sind identisch. 0 8 t (tr). 0 C 4 III ist richtig K Oktober 0

36 6 Aufgabe C 4 Zeigen Sie, dass die Punkte H;;, S;; und 0; ;6 Untersuchen Sie, ob das Dreieck rechtwinklig ist. V ein Dreieck bilden. C 4 Punktprobe Dreieck nicht rechtwinklig Aufgabe C 4 Geben Sie den Term an, der dem unbestimmten Integral d entspricht. A: ln t B: ln t C: ln D: ln t ( t R) C 4 B: ln t Aufgabe C 44 Begründen Sie, dass die Funktion f keine lokalen Etremwerte besitzen kann. a) f() 8 0 b) f() e f() 5 d) f() ln( ) c) C 44 Begründung, z. B. über das Monotonieverhalten der Funktion f K Aufgabe C 45 0;0;0 Die Punkte A, B 4;5;0, C 0;6;0, D und ;;6 S sind Eckpunkte einer vierseitigen Pyramide. a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D so, dass das Viereck ABCD in dieser Reihenfolge ein Parallelogramm ergibt. b) Überprüfen Sie, ob dieses Parallelogramm ein Rhombus ist. c) Zeichnen Sie die Pyramide in ein Koordinatensystem. Oktober 0

37 7 C 45 a) D 4;;0 K b) Überprüfung mit der Entscheidung: kein Rhombus K/ c) Zeichnung K4 Aufgabe C 46 Gegeben sind die Punkte A 7; und B ;8. Der Punkt T teilt die Strecke AB im Verhältnis :. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A und B verläuft. b) Geben Sie die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen an. c) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes T. C 46 a) y 0,5 6, 5 K4 b) S ;0, S y 0;6,5 K4 c) T 4,5;4,5 K4 Aufgabe C 47 Die Punkte A 5; ;, B 4;;, C ;0; und D9;5; sind die Eckpunkte eines ebenen Vierecks ABCD. Geben Sie die Koordinaten des Diagonalenschnittpunktes an. C 47 Angabe der Koordinaten des Punktes: M (6,5; ; ) Oktober 0

38 8 Aufgabe C 48 Gegeben sind die Punkte A;5;, B; 5;4 und 7; 5;a C. Durch die Punkte A und B verläuft die Gerade g. Bestimmen Sie den Parameter a so, dass der Punkt C auf g liegt. C 48 Für t ist a 6 K Aufgabe C 49 Gegeben sind die Punkte A 0;;0, B 0;0; und C 0;; Abstand des Punktes C von der Geraden g(ab).. Bestimmen Sie den C 49 a K Aufgabe C 50 Die Funktion f mit a) y f() a b b) y f() a e b hat an der Stelle 0 den Anstieg und den Funktionswert. Ermitteln Sie die Werte für a und b. C 50 a) b) 7 a ; b 4 4 a ; b e K K Oktober 0