Bestimmen Sie die Rayleigh sche Dissipationsfunktion, stellen Sie die Lagrange-Funktion. dv v = 3πrηv 2. (1) z + D (3)

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1 PDDr.S.Mertens Theoretische Physik I Mechanik J. Unterhinninghofen, M. Huel Blatt 4 WS 2008/ TeilcheninHonig.EineKugelitMasseundRadiusrfälltineineGefäß,dasit 4Pkt.) Honig gefüllt ist und in einen hoogenen Gravitationsfeld steht, vertikal nach unten. DiedabeiauftretendeReibungkannalsStokes-Reibungangenoenwerden,d.h. Fr = 6πrη v. Bestien Sie die Rayleigh sche Dissipationsfunktion, stellen Sie die Lagrange-Funktion aufundlösensiediedarausfolgendenlagrange-gleichungenfürvt =0) =0,zt = 0) =z 0. Lösung: Die Dissipationsfunktion ist D = v 0 dv hv ) = 6πrη Ifolgendensei α = 6πrη. v 0 dv v = 3πrηv 2. 1) Die Kugel falle entlang der z-achse nach unten, d.h. v = ż. Die Lagrange-Funktion ist Lz,ż,t) = ż2 gz, 2) woraus die Lagrangegleichung d L dt ż L z + D ż =0 d +g + αż =0 dtż z +g + αż =0 3) folgt. Diese kann als Differenzialgleichung für v = ż ugeschrieben und durch Trennung der Variable gelöst werden: v =g α v t t 0 = ) αv g α ln. 4) αv 0 g Mitt 0 =0undderAnfangsbedingungv 0 =0giltalso und dait vt) = g α 1 exp αt t zt) =z 0 dt vt ) =z 0 + g 0 α )), 5) t + )) αt α exp. 6) 2. 2MassengleitenaufschiefenEbenen.ZweiMassen und sollenreibungsfreiauf einer Doppelschiefebene gleiten und durch einen Faden der Länge l über eine Rolle verbunden seinsiehe Abbildung). Die Schwerkraft wirke in Richtung der negativen y-achse g = ge y ).BetrachtenSiedabeibeideMassenalspunktförig,dieendlicheAusdehnung der Massen und der Ulenkrolle dienen nur der graphischen Darstellung und sollen vernachlässigt werden. Seite1von6

2 y g a) b) α β LeitensiedieBewegungsgleichungfürx 1 ithilfevonlagrangeiher. x LeitensiedieBewegungsgleichungfürx 1 ithilfevonlagrangeiiher.lösensiedie Bewegungsgleichung. 2Pkt.) 2Pkt.) insgesat 4 Pkt.) Lösung: a) WirlegendasKoordinatensysteindieMittederRolle;o.b.d.Awirdx 1,y 1,y 2 <0 undx 2 >0gewählt. Die Zwangsbedingungen für dieses Proble lauten: g 1 = x 1 cosα) + x 2 cos β = l, g 2 =y 1 x 1 tanα) =0, g 3 =y 2 +x 2 tanβ) =0 Dies setzen wir in die folgende Bewegungsgleichung ein: n x n =F n + 4 i=1 λ i g i x n. Dies liefert uns die folgenden Gleichungen: x 1 = 1 cosα) λ 1 λ 2 tanα), x 2 = 1 cosβ) λ 1 + λ 3 tanβ), y 1 = λ 2 g, y 2 = λ 3 g Außerde ergeben sich über zweifache ableitung der Zwangsbedingungen folgende Gleichungen: ÿ 1 =ẍ 1 tanα),ÿ 2 = ẍ 2 tanβ),ẍ 2 =ẍ 1 cosβ) cosα). Lösung dieses Systes liefert ẍ 1 = gcosα) sinα) + sinβ) +. 7) b) U die Lagrangegleichung aufzustellen, bestien wir die kinetische und die potentielle Energie: T = 2 2ṙ2 i i = 2 ẋ2 1 +ẏ2 1 ) + 2 ẋ2 2 +ẏ 2 2). i=1 U = gy 1 + gy 2. Seite2von6

3 ity 1 =x 1 tan α,y 2 = x 2 tanβ)undderzwangsbedingungg 1 findenwirdie Lagrangegleichung L=T-U: Lx 1,ẋ 1 ) = + 2 ẋ1 2 ) sinβ) cos 2 x 1 gtanα) + gx 1 α) cosα). Hierbei wurde jeder auftauchende konstante Ter i Potential = 0 gesetzt! Aus derlagrangegleichungerhaltenwirnunüber d L dt ẋ 1 = L x 1 diegesuchtebewegungsgleichung: ẍ 1 =gcosα) sinα) + sinβ) + 8) Die Lösung der Bewegungsgleichung liefert eine gradlinig beschleunigte Bewegung. 3. Lagrange-Foralisus in der Ökonoie. Der Lagrange-Foralisus kann allgeein 2Pkt.) zur Lösung von Optiierungsprobleen unter Nebenbedingungen verwendet werden. Solche treten nicht nur in der Physik auf, sondern auch z.b. in den Wirtschaftswissenschaften. BetrachtenSieeinePersonA,diegenauzweiGüterg 1,g 2 konsuierenkann,diediepreise p 1,p 2 haben.diepersonhatzukonsueinbudgetb,dasvollständigausgegebenwerdenuss;siedarfaberauchkeineschuldenachen.dernutzen,densievokonsu hat,seiug 1,g 2 ).Gesuchtsindnung 1,g 2 so,dassuaxiiertwird. a) Stellen Sie die Lagrange-Gleichungen 1. Art auf. Was ist die Bedeutung des Lagrange- Multiplikators λ?hinweis: Bestien Sie it Hilfe der Lagrange-Gleichungen du/db!) b) SeinunkonkretUg 1,g 2 ) =g1 0.2g0.8 2,p x =5,p y =10 undb =100.BestienSie dieoptialenstückzahlenderkonsugüterg 1,g 2. Lösung: a) DieNebenbedingungistB = p 1 g 1 +p 2 g 2 holonoezwangsbedingung);die LangrangefunktionistdaitLg 1,g 2, λ) =Ug 1,g 2 ) λp 1 g 1 +p 2 g 2 B).Dait lauten die Lagrangegleichungen L = U λp 1 =0, g 1 g 1 L = U λp 2 =0, g 2 g 2 L λ = B p 1g 1 p 2 g 2 ) =0. Aus den ersten zwei Gleichungen folgt du = U g 1 dg 1 + U g 2 dg 2 = λp 1 dg 1 + λp 2 dg 2, ausderdrittendb = p 1 dg 1 +p 2 dg 2,alsoinsgesatdU/dB = λ.daitkann an λ als den sogenannten Grenznutzen interpretieren: Wird das Bugdet u db erhöht, steigt der Nutzen gerade u λ. 9) 10) Seite3von6

4 b) Hier lauten die Lagrange-Gleichungen 0.2g1 0.2 g λ =0, 0.8g1 0.2 g λ =0, 5g 1 10g =0. 11) Daraus ergibt sich g 1 =2,g 2 =8, λ =10. 12) Seite4von6

5 4. Schwingungstilger. 2Pkt.) Betrachten Sie das skizzierte Syste. Der Aufhängungspunkt A eines Systes führt vertikale, haronische Schwingungendurch: x A t) = AcosΩt).Aufbeide A Massen wirken die Federkräfte und durch die Luft erzeugtereibungskräfte,diealsr i = c i ẋ i angeno- D 1 enwerdenkönnen.zeigensie,dassdiemasse nach de Einschwingen nahezu in Ruhe bleibt, wenn 1 Ω = D 2 / undc 2 sehrkleinist.erklärensie,wie D dieser Effekt zustande kot. 2 Hinweis: Arbeiten Sie it koplexen Ansätzen, d.h. setzensiezunächstx A t) = Ae iωt anundbetrachtenerst später Real- und Iaginärteile. Lösung:Seienx 1,x 2 dieauslenkungendermassen, ausihrenjeweiligenruhelagen. Die kinetische Energie des Gesatsystes ist dann T = 2 ẋ ẋ ) DiepotentiellenEnergienfr, ergebensichausdepotentialderfederkräfte, V = D x 2 /2,wobeiDdieFederkonstanteund xderabstanddermassezurruhelage ist. Also: V = D 1 x 1 Ae iωt) 2 D x 1 x 2 ) 2 ; 14) Die Dissipationsfunktion ist D = c 1 + c 2 2ẋ1 2ẋ2. 15) Wirsetzenifolgendengleich Ω = D 2 / ein.ausderlagrangefunktionergeben sich die Bewegungsgleichungen ẍ 1 + c 1 ẋ 1 + D ) 1 x 1 Ae i D 2 / t + D 2 x 1 x 2 ) =0 ẍ 2 + c 2 ẋ 2 + D 2 x 2 x 1 ) =0. Gleichung??) ist ein inhoogenes Differenzialgleichungssyste; die Lösung setzt sich also aus allgeeiner hoogener und spezieller Lösung zusaen. Die hoogene Lösung beschreibt das bekannte Verhalten eines gedäpften Schwingers; sie klingt alsoschnellab undbeschreibtdaitdaseinschwingendessystes.dahiernurderzustand nach de Einschwingvorgang, d.h. für Zeiten, zu denen die hoogene Lösung schon abgeklungen ist, interessiert, suchen wir nur eine spezielle Lösung. Diese wird it der Erregerfrequenz Ω schwingen, jedoch eventuell phasenverschoben zur Erregung, also x i t) =a i e iωt α i =a i e i D 2 / t α i. 17) Einsetzen in Gl.16) liefert D 2 + D 1 +D 2 ) D 2 +i c 1 D 2 a 2 e iα 2 D 2 a 1 e iα 1 =0. i c 2 a 1 e iα 1 D 1 A D 2 a 2 e iα 2 =0 16) 18) Seite5von6

6 Die zweite Gleichung ist erfüllt, wenn beide Größen von Betrag und Phase her gleich sind: α 2 = α 1 + π 2,a 1 = c 2 2 D 2 a 2. 19) Einsetzen in die erste Gleichung ergibt a 2 = D 1A D 2 c 2 G2 +H 2,tan α 1 = G H, 20) it G = D 1 +D 2 D 2,H= D 2 c1 + D ) 2. 21) c 2 Wegena 1 c 2 istdiedäpfungderschwingungvon fürkleinec 2 besonders gut.danngiltauch α 1 π/2, α 2 π,d.h. istnahezuinruhe, schwingtgegenphasigzurerregung diefederkräfteauf 1 vonderaufhängungundvon ) kopensieren sich also nahezu. Das Ganze funktioniert natürlich nur, wenn die Erregungsfrequenz konstant und gut abgestit ist! Auf diese Übungsblatt sind axial 12 Punkte zu erreichen, Abgabe erfolgt a Seite6von6