Seminar zur Vorbereitung des Praktikums

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1 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Lisa Hefendehl-Hebeker WS 2011/12 Seminar zur Vorbereitung des Praktikums Beispiel für eine Unterrichtsplanung Erkundungen zur Addition und Subtraktion in Z anhand des Lernspiels Guthaben und Schulden Ausgangsdaten Schule:Anna-Lyse-Gymnasium Hochfelden 1 Datum und Uhrzeit: Montag, ttmmjj, 3. Stunde ( ) Klasse: 5c Fachlehrerin: OStR M. Hellmann 1. Thema der Unterrichtseinheit Einführung der negativen ganzen Zahlen 2. Thema der Stunde Erkundungen zur Addition und Subtraktion in Z anhand des Lernspiels Guthaben und Schulden 3. Bemerkungen zur Lerngruppe Die Lerngruppe umfasst 28 Schülerinnen und Schüler, davon 13 Jungen und 15 Mädchen. Die Klasse ist einsatzfreudig und sehr lebhaft. Das Leistungsspektrum ist heterogen. Ich habe in der Klasse während drei Unterrichtsstunden hospitiert und zwei Stunden selbst gehalten. 4. Bemerkungen zu den Lernvoraussetzungen Es handelt sich um die 5. Stunde der laufenden Unterrichtseinheit zur Einführung der negativen ganzen Zahlen. In den vorausgehenden Stunden wurden folgende Themen behandelt: Positive und negative rationale Zahlen in Sachkontexten (Temperaturen, geographische Höhen, Wasserstände ); Darstellung der ganzen Zahlen an der Zahlengerade; Begriff der Gegenzahl; Orientierungsübungen Rauf und runter an der Zahlengeraden (Beispiel: Gehe von +5 aus um 8 Schritte nach links bzw. unten); Anordnung der ganzen Zahlen. 1 Alle Angaben zur Schule und zur Lerngruppe (Ausgangsdaten und die Abschnitte 3 4) sind fiktiv. 1

2 Insgesamt bringen die Schülerinnen und Schüler folgende Vorerfahrungen mit: a) Auf der fachlich-inhaltlichen Ebene: Sie haben in verschiedenen Sachkontexten die ganzen Zahlen als relative Zahlen bezüglich einer Vergleichsmarke (Nullpunkt, Normalnull usw.) kennen gelernt und den Zahlenstrahl zur Zahlengeraden erweitert. Sie wissen, dass für zwei ganze Zahlen a und b genau dann a < b gilt, wenn a auf der Zahlengeraden unterhalb bzw. links von b liegt. Hierfür wurde insbesondere die Temperaturskala als Modellkontext herangezogen. b) Auf der fachmethodischen Ebene: Seit der Grundschule werden Zahloperationen als Abstraktionen aus Handlungssituationen erfahren. So entspricht die Addition Handlungen des Aufnehmens oder Hinzufügens, die Subtraktion Handlungen des Abgebens oder Wegnehmens. An diese Gewohnheit soll die geplante Stunde anknüpfen. c) Auf der unterrichtsmethodischen Ebene: Die Schülerinnen und Schüler sind es gewohnt, in Partner- oder Gruppenarbeit Aufträge zu erfüllen und ihre Ergebnisse schriftlich zu dokumentieren und/oder mündlich vorzutragen. Diese Fähigkeit soll in der geplanten Doppelstunde genutzt werden. Die Klasse arbeitet mit dem UnterrichtswerkLambacher Schweizer 5, kurz LS 5, (2009) für das achtjährige Gymnasium. Das Lernspiel Guthaben und Schulden wird dort behandelt (Anhang 1). 5. Didaktische Analyse (1) Zur Legitimation des Themas Die Einführung der negativen Zahlen ist eine wesentliche Etappe im Aufbau des Zahlensystems von den natürlichen bis zu den reellen Zahlen. Sie bildet ein Kernthema in der Mittelstufe des Gymnasiums, das unerlässliche Grundlagen für weiterführende Themen (z.b. Funktionenlehre, analytische Geometrie) legt. Die Einführung des achtjährigen Gymnasiums machte es notwendig, den Lehrplan zu straffen. Im Rahmen dieser Entwicklung wurde die bislang für die Jahrgangsstufe 7 vorgesehene Behandlung der negativen Zahlen vorgezogen und auf die Jahrgangsstufen 5 und 6 verteilt. In der Klasse 5 werden zunächst die ganzen Zahlen mit den Rechenoperationen Addition und Subtraktion eingeführt. Die Multiplikation und Division werden in LS 5 zwar behandelt, aber als fakultativ ausgewiesen. In Klasse 6 wird dann der verfügbare Zahlenvorrat um die positiven und negativen Bruchzahlen erweitert und der Kanon der Grundrechenarten vervollständigt. Diese Vorgehensweise hat gegenüber der traditionellen kompakten Behandlung der negativen Zahlen in Klasse 7 den Vorteil des verteilten Lernens. Das Lernspiel Guthaben und Schulden ist aufgrund seines Realitätsbezuges geeignet, Verständnis für die Rechenoperationen Addition und Subtraktion imerweiterten Zahlenbereich zu erzeugen. 2

3 (2) Sachanalyse Es geht darum, die für positive Zahlen geläufigen Grundrechenarten Addition und Subtraktion auf den erweiterten Zahlenbereich fortzusetzen und das zugehörige Regelwerk kennen zu lernen. Insbesondere müssen folgende Zusammenhänge verstanden werden: Addition einer negativen Zahl ist gleichwertig zur Subtraktion ihrer positiven Gegenzahl. Subtraktion einer negativen Zahl ist gleichwertig zur Addition ihrer positiven Gegenzahl. Addiert man zu einer Zahl ihre Gegenzahl, ist das Ergebnis Null. Damit verbunden ist die (zunächst ungewohnte) Einsicht, dass Addition auch eine Verringerung und Subtraktion eine Erhöhung des Bestandes bewirken kann. In Bezug auf die Notation muss begriffen werden, dass die Zeichen + und nun in zwei Bedeutungen auftreten: als Vorzeichen und als Rechenzeichen. Wichtig ist auch die Einsicht, dass der Begriff Gegenzahl einer Zahl hilfreich ist, um die Rechenregeln präzise zu formulieren. Ein wichtiges Fazit aus den Rechenregeln ist die Erkenntnis, dass man im erweiterten Zahlenbereich jede Subtraktion auch als Addition darstellen kann. Dieser Lernprozess zielt auf einen Wandel der Zahlvorstellung. Es geht darum, das am Begriff der (positiven) Größe orientierte Zahlenverständnis zu einem relationalen Zahlenverständnis (ganze Zahlen als relative Zahlen bezüglich einer Vergleichsmarke) zu modifizieren (Winter 1989, Hefendehl-H. 1989, Hefendehl- H. & Prediger 2006); in diesem Rahmen auch ein stärker formal geprägtes Verständnis der Rechenoperationen zu entwickeln. (3) Geeignete Darstellungsmöglichkeiten Abb. 1: Lernspiel Guthaben und Schulden aus: Kietzmann, Kliemann u. a. (2000), S. 14 3

4 Das Lernspiel Guthaben und Schulden stellt eine Lernumgebung dar, in der die Schülerinnen und Schüler die intendierten Zusammenhänge spielend erfahren und dabei die formalen Regeln selbst entdecken können. Das Spiel kommt aus mehreren Gründen der Befindlichkeit der Jahrgangsstufe 5 entgegen: Es entspricht dem Tatendrang und der Spielfreude der Kinder und enthält zusätzliches Motivationspotential durch seinen Wettbewerbscharakter. Es ermöglicht handlungsorientiertes Lernen, das dem Entwicklungsstadium des konkret-operativen Denkens angepasst ist. Im Spiel erscheinen Zahlen und Rechenoperationen in einer spezifischen Darstellung. Ganze Zahlen sind zunächst Anzahlen in zwei verschiedenen Bedeutungen: +3 steht für 3 Gutscheine, -5 für 5 Schuldscheine. Im Spielverlauf kommt die erweiterte Bedeutung des Kontostandes als Bilanz aus den vorhandenen Gutscheinen und Schuldscheinen hinzu. Ein Kontostand kann aus (im Prinzip) unendlich vielen gleichwertigen Kombinationen aus Gutscheinen und Schuldscheinen resultieren. Wenn ein Bestand aus 5 Gutscheinen und 7 Schuldscheinen durch das geordnete Zahlenpaar (5; 7) protokolliert wird, ergeben sich exemplarisch Gleichungsketten der folgenden Art: +5 = (5;0) = (6;1) = (7;2) = -5 = (0;5) = (1;6) = (2;7) = Die Bilanz aus den vorhandenen Gutscheinen und Schuldscheinen ergibt die Standarddarstellung der Zahl (im Beispiel +5 oder -5). Dieser Darstellungszusammenhang findet später in der Bruchrechnung ein Analogon, da eine Bruchzahl ebenfalls durch unendlich viele Brüche dargestellt werden kann. Die ZahloperationenAddition und Subtraktion sind durch die Handlungen Aufnehmen und Abgeben verkörpert. Damit werden die seit der Grundschule eingeübten Handlungsvorstellungen beibehalten. Allerdings sind damit bisher ungewohnte Effekte verbunden (siehe Sachanalyse). Diese finden jedoch im vorliegenden Spielkontext eine plausible, an alltagsweltliche Erfahrungen anknüpfende Erklärung. Das Abgeben von Schuldscheinen ist gleichwertig zum Aufnehmen von Gutscheinen und erhöht den Kontostand. Das Aufnehmen von Schuldscheinen ist gleichwertig zum Abgeben von Gutscheinen und senkt den Kontostand. Somit hat die formale Notation einer Rechnung wie (-3)-(+8) = (-11) im gegebenen Spielkontext eine klar festgelegte Entsprechung. Bei einem Kontostand von -3 müssen 8 Gutscheine abgegeben werden. Dadurch verringert sich der Kontostand auf -11. Diese Notation kann mit Hilfe eines Spielprotokolls (Anhang 2) eingeübt werden. Die Idee zur Gestaltung wurde von Eschweiler (2006) übernommen.die Protokolle dienen anschließend zu einer reflektierenden Betrachtung als Grundlage für die Formulierung von Rechenregeln. 4

5 (4) Zu erbringende Denkleistungen Zunächst müssen die Schülerinnen und Schüler die Spielregeln verstehen und sicher umsetzen. Die Bestimmung der Kontostände aus den vorhandenen Gutscheinen und Schuldscheinen und die Ermittlung der Gewinner des Spiels sollte aufgrund der Vorerfahrungen in den vorangegangenen Unterrichtsstunden kein Problem sein. Im Verlauf des Spiels können Konstellationen auftreten, in denen ein Spielzug zunächst nicht ausgeführt werden kann, weil nicht genug abzugebende Scheine vorhanden sind. Diese spielinterne Hürde, die in den Spielregeln nicht explizit thematisiert wird, ist ein Anlass, den Kunstgriff der besitzneutralen Aufstockung durch wertneutrale Gutschein- Schuldschein-Paare zu erfinden und damit eine kreative Leistung auf der Spielebene zu erbringen. Sie erfordert die grundlegende Einsicht, dass ein Kontostand durch viele verschiedene Kombinationen aus Gutscheinen und Schuldscheinen repräsentiert werden kann. Mit dem Ausfüllen des Spielprotokolls erfolgt der Übergang von der Handlungsebene des Spiels zur symbolischen Ebene. Dazu sind zwei wesentliche Leistungen erforderlich: Die sorgfältige Handhabung der exemplarisch vorgegebenen Notationsregeln. Die Ermittlung des Kontostandes nach jedem Spielzug. Hierbei ist zu erwarten, dass es zumindest den leistungsstärkeren Lernenden bei zunehmender Erfahrung gelingt, den neuen Kontostand unmittelbar aus dem alten Kontostand und dem ausgeführten Spielzug zu errechnen, ohne auf das Abzählen der vorhandenen Scheine zurückgreifen zu müssen. In einer anschließenden Reflexion des Spiels geht es schließlich darum, Strukturen zu erfassen und formale Muster zu erkennen und diese verbal und symbolisch darzustellen. (5) Zu erwartende Lernschwierigkeiten Den erforderlichen Denkleistungen entsprechen je eigene Schwierigkeiten und Fehlerquellen. Auf der Spielebene und der Ebene der symbolischen Darstellung ist viel Aufmerksamkeit für die genaue Befolgung der Anweisungen gefordert, was immer die Gefahr von Verwechslungen und Flüchtigkeitsfehlern mit sich bringt. Wenn in einer Spielgruppe zum ersten Mal der Fall auftritt, dass ein Spielzug nicht unmittelbar ausgeführt werden kann, ist eventuell mit Ratlosigkeit zu rechnen. Hierzu sollten behutsame Impulse bereitgehalten werden: Gibt es zu demselben Kontostand eine Kombination aus Gutscheinen und Schuldscheinen, für die der Spielzug ausgeführt werden kann? 5

6 6. Didaktische Aufbereitung Für die Durchführung des Spiels ist es von Vorteil, dass die Regeln im vorhandenen Lehrbuch beschrieben sind. Jedoch muss zu Beginn sichergestellt werden, dass zuerst die Spielregeln und dann die Darstellungsanweisungen für das Spielprotokoll verstanden werden und umgesetzt werden können. Es ist damit zu rechnen, dass die Durchführung und Protokollierung des Spiels die verfügbare Unterrichtszeit weitgehend ausschöpft und die Phase der Reflexion und Regelformulierung auf die Folgestunde verschoben werden muss. Als Vorbereitung eignet sich eine Hausaufgabe, die den Schülerinnen und Schülern bewusst macht, dass es zu jedem Spielzug einen gleichwertigen Spielzug mit demselben Ergebnis gibt (siehe 10.) Damit ergibt sich die folgende Phaseneinteilung für die Stunde: 1. Einstieg: Ankündigung des Spiels; 2. Vorbereitung: Aufstellen der Gruppentische, Einteilung der Gruppen, Rollenverteilung innerhalb der Gruppen, Verteilung der Spielmaterialien; 3. Durchführung des Spiels in Phasen: Erarbeiten der Spielregeln, Erarbeiten der Darstellungsregeln für das Protokoll, eigentliche Spielphase; 4. Stellen der Hausaufgabe. 7. Intentionen Lernziele und Kompetenzen Aus den bisherigen Überlegungen ergeben sich folgende Lernziele: Inhaltsbezogene Lernziele: Die Schülerinnen und Schüler erfassen die Spielregeln und setzen sie in der Spielphase um, erfassen die zugehörigen Notationsregeln und erstellen damit das Spielprotokoll. Prozessbezogene Lernziele: Die Schülerinnen und Schüler arbeiten im Team, ziehen Informationen aus mathematikhaltigen Darstellungen und setzen sie um, sprechen über vorgegebene und eigene Ergebnisse und Darstellungen; finden, erklären und korrigieren Fehler. 8. Methodische Umsetzung Einstieg: Da die Aussicht auf ein Spiel eine unmittelbare Spannung erzeugt, kann die Einstiegsphase kurz gehalten werden und sich auf eine Ankündigung beschränken: Heute spielen wir ein Zahlenspiel. Die Spielregeln stehen im Mathebuch auf Seite

7 Vorbereitung: In dieser Phase werden die äußeren Spielbedingungen geschaffen. Die Bildung von Vierergruppen und das Aufstellen von Gruppentischen sind eingeübt und sollten zügig gehen, wobei immer wieder zur Ruhe gemahnt werden muss. Für eine disziplinierte Durchführung des Spiels wird häufig empfohlen, allen Gruppenmitgliedern eine Rolle mit eigenen Verantwortlichkeiten zuzuweisen. Als Rollen bieten sich hier an: Gruppensprecher/in: Er/sie nimmt in Problemfällen Kontakt mit der Lehrkraft auf. Spielleiter/in: Er/sie überwacht die Einhaltung der Spielregeln. Protokollbeobachter/in: Er/sie überwacht die Einhaltung der Protokollregeln. Manager/in: Er/sie achtet darauf, dass keine Zeit vertrödelt und nicht zu viel Lärm gemacht wird. Die Rolleneinteilung können die Gruppen selbst vornehmen. In dieser Zeit verteilt die Lehrkraft die Spielmaterialien. Durchführung: Um eine effektive Durchführung des Spiels sicherzustellen, sollte diese Phase unterteilt werden: Eingewöhnungsphase: Die Lernenden machen sich mit den Spielregeln vertraut, spielen drei Runden und ermitteln anschließend, wer gewonnen hat. Dabei achtet insbesondere der Spielleiter auf die genaue Einhaltung der Regeln. Wenn Probleme und Fragen auftauchen, wendet sich der Sprecher an die Lehrkraft. Wenn die Gruppe ihre drei Runden abgeschlossen hat, holt der/die Protokollbeobachter/in für jedes Gruppenmitglied einen Protokollbogen. Eigentliche Spielphase: Die Lernenden machen sich mit den Protokollanweisungen vertraut und beginnen dann mit dem Spiel. Dabei achtet insbesondere der Protokollbeobachter auf die genaue Einhaltung der Notationsregeln. Zusammenfassung und Ausblick: Falls noch Unterrichtszeit übrig bleibt, können erste Beobachtungen aus der Spielphase gesammelt werden. Andernfalls wird nur noch auf die Hausaufgabe verwiesen. Zur Vereinfachung kann diese unten auf dem Protokollbogen notiert werden. 7

8 9. Tabellarischer Überblick über den Stundenverlauf Phase Ablauf Ziele Medien Arbeitsund Sozialform Einstieg Lehrerimpuls: Heute spielen wir ein Zahlenspiel Einstimmung in das Thema, Wecken von Interesse Lehrbuch, S. 178 UG; PL Vorbereitung Einteilung der Gruppen und Rollen: Sprecher Spielleiter Protokollbeobachter Manager Äußere Spielbedingungen herstellen GA Aufstellung der Gruppentische Eingewöhnung Erarbeiten der Spielregeln Durchführung von drei Spielrunden ohne Ergebnisnotation Vertraut werden mit den Spielregeln Lehrbuch, Spielmaterial GA Durchführung Erarbeiten der Protokollanweisungen Durchführung von zehn Spielrunden mit Protokoll Lehrbuch, Spielmaterial, Erkunden des Spiels und der symbolischen Notation Protokollbögen GA Zusammenfassung und Ausblick Ggf. Zusammentragen erster Beobachtungen, Stellen der Hausaufgabe Bewusstmachen von Spielerfahrungen UG; PL 8

9 10. Zusatzangaben Hausaufgabe: 1) Überlege zu jeder Kontobewegung auf deinem Spielprotokoll, ob es eine andere mögliche Kontobewegung gibt, die zum selben Kontostand führt. Schreibe dazu dein Spielprotokoll neu. Beispiel: 0 (+5) = -5; 0 + (-5) = -5 2) Überlege dir drei verschiedene Rechnungen, die jeweils das Ergebnis Null haben, und notiere sie. 11. Verlaufsanalyse Gehört im Praktikumsbericht unbedingt dazu! Nicht vergessen!!! 12. Literaturverzeichnis Eschweiler, M.: Ausbildung von Grundvorstellungen zu negativen Zahlen. Empirische Untersuchungen im Rahmen einer Lernwerkstatt in der siebten Klasse. Schriftliche Hausarbeit im Rahmen der Ersten Staatsprüfung. Duisburg Hefendehl-Hebeker, L.: Die negativen Zahlen zwischen anschaulicher Deutung und gedanklicher Konstruktion. Geistige Hindernisse in ihrer Geschichte. mathematiklehren 35 / August 1989, Hefendehl-Hebeker, L. & Prediger, S.: Unzählig viele Zahlen: Zahlbereiche erweitern - Zahlvorstellungen wandeln. In: Praxis der Mathematik in der Schule Heft 11 / Oktober 2006, 1-7. Kietzmann, U. Kliemann, S. u.a.: mathelive 7. Mathematik für Gesamtschulen. Stuttgart: Klett Lambacher Schweizer 5, Mathematik für Gymnasien, Nordrhein-Westfalen. Stuttgart: Klett Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Hrsg.): Kernlehrplan für das Gymnasium Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen. Mathematik. Frechen: Ritterbach-Verlag Winter, H.: Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. Braunschweig Wiesbaden: Vieweg

10 Anhang 1: Das Lernspiel Guthaben und Schulden nach LS 5, S. 178 Anhang 2: 10

11 Spielprotokoll Guthaben und Schulden Name:... Konto- alter stand Kontobewegung neuer Kontostand Rechnung Dies ist ein Beispiel 1. Runde o (+5) 5 0 (+5) = Runde -5 + (+1) -4 (-5) + (+1) = Runde -4 Hier kannst du nun selbst eintragen: 1. Runde 2. Runde 3. Runde 4. Runde 5. Runde 6. Runde 7. Runde 8. Runde 9. Runde 10. Runde Hausaufgabe: 1) Überlege zu jeder Kontobewegung auf deinem Spielprotokoll, ob es eine andere mögliche Kontobewegung gibt, die zum selben Kontostand führt. Schreibe dazu dein Spielprotokoll neu. Beispiel: 0 (+5) = -5 kann ersetzt werden durch 0 + (-5) = -5. 2) Überlege dir drei verschiedenen Rechnungen, die jeweils das Ergebnis Null haben, und notiere sie. 11