Elektrotechnik und Elektronik. ETEK Wechselstrom

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1 Elektrotechnik und Elektronik 1/18 ETEK Wechselstrom 1 Einleitung n der Energietechnik (elektrische Energiewandlung und -verteilung) hat sich der sinusförmige Wechselstrom, kurz Wechselstrom (alternating current, AC) auf Grund seiner technischen Vorteile gegenüber dem Gleichstrom (direct current, DC) durchgesetzt. Dessen Vorteile liegen in der relativ einfachen technischen Realisierbarkeit der Wechselstrom-, bzw- Drehstromerzeugung 1 (Generator als drehende Maschine) und in der ebenfalls einfachen Realisierbarkeit der Spannungstransformation ohne beweglichen mechanische Teile (Transformatoren). Die Berechnung von elektrischen Schaltungen bei Wechselstrom ist natürlich um einiges komplizierter als bei Gleichstrom. um Beispiel: Bei der Addition von Wechselgrössen müssen zwei sinusförmige Signale 2 zu jedem eitpunkt addiert werden. Der Begriff elektrischer Widerstand eines weipols, definiert als Verhältnis von Spannung zu Stromstärke, ergibt bei Wechselstrom nicht notwendigerweise eine (zeitunabhängige) feste ahl wie dies bei Gleichstrom der Fall ist. Bei Wechselstrom kommen zusätlich zur Eigenschaft Widerstand (resistance) zwei weitere Eigenschaften der elektrischen Komponenten, nämlich die Kapazität (capacitance) und die nduktivität (inductance) dazu. Die Wechselstromlehre, wie sie heute immer noch hochaktuell ist, wurde durch Charles Steinmetz ( ) ausgearbeitet und Ende des neunzehnten Jahrhunderts anlässlich eines nternationalen Elektrischen Kongresses in Chicago der Fachwelt präsentiert 3. Die Leistung von Charles Steinmetz bestand in der Erkenntnis, dass durch Benutzen von komplexen ahlen die Berechnung von elektrischen Wechselstromschaltungen auf die Berechnungsmethoden von Gleichstromschaltungen zurückgeführt werden konnte. Steinmetz erkannte auch, dass diese Methode nicht nur für die Berechnung von Wechselstromschaltungen angewendet, sondern auch bei allen physikalischen Aufgaben eingesetzt werden konnte, bei denen stationäre sinusförmige Schwingungen auftreten. Die Theorie der Wechselstromlehre ist demzufolge eine Methode, die beim Auftreten von sinusförmigen Signalen mit Vorteil zum Einsatz kommt. Damit in einem System wie eine elektrische Schaltung rein sinusförmige oder harmonische Signale auftreten, müssen folgende drei Bedingungen erfüllt sein: 1. Einheitliche, sinusförmige Anregung der Schaltung mit einer festen Frequenz n der Schaltung befinden sich eine oder mehrere Wechselstromquellen (Spannungs- oder Stromquellen) die alle mit derselben konstanten (nicht zeitabhängigen) Frequenz schwingen. Die 1 Drehstrom ist eine besondere Form von Wechselstrom: er besteht aus drei zeitlich versetzten Wechselstromspannungen. 2 nter Signal wird hier der zeitliche Verlauf einer physikalischen Grösse (hier Spannung oder Stromstärke) verstanden. 3 Charles Steinmetz, Complex Quantities and Their se in Electrical Engineering, We are coming more and more to use complex quantities instead of using sines and cosines, and we find great advantage in their use for calculating all problems of alternating currents, and throughout the whole range of physics. Anything that is done in this line is of great advantage to science. 27. August 2005, M. Schlup

2 Quellen müssen dabei nicht synchron arbeiten, d. h. die Nulldurchgänge der sinusförmigen Grössen müssen nicht gleichzeitig sein. 2. Lineare Schaltung Die Schaltung enthält nur lineare Komponenten (Spannungs- und Stromquellen, R,L,C). 3. Stationärer ustand erreicht (Einschwingphasen abgeklungen) Nach dem Dazuschalten einer sinusförmigen Quelle stellen sich nicht sofort sinusförmige Spannungen und Stromstärken in der Schaltung ein. Dieser sogenannt stationäre ustand stellt sich erst nach einer bestimmten eit ein: Die Dauer dieses Einschwingvorgangs oder Einschwingtransiente 4 hängt nur von der Schaltung ab und nicht von der anregenden Frequenz. Sind die obigen Bedingungen erfüllt, so sind sämtliche Spannungen und Stromstärken der Schaltung sinusförmig, bzw. harmonisch! 2/18 4 Transiente Phase bedeutet wörtlich Übergangsphase.

3 3/18 2 Harmonische Signale und ihre Darstellung 2.1 Sinusförmige Signale Signale die mit der folgenden Formel 5 dargestellt werden können, heissen sinusoidal (sinusförmig) oder harmonisch: xt ()= A x cos( ωt +ϕ x ) Bezeichnungen: A x ω f T ϕ x ωt+ϕ x Amplitude (Scheitelwert) Kreisfrequenz mit ω = 2πf = 2π/T, [ω] = s -1 = rad/s Frequenz, [f] = Hz (Hertz) Periodendauer, [T] = s Nullphasenwinkel auch kurz Phase, üblicher Definitionsbereich: (-π, π], d.h. -π < ϕ x π Phasenwinkel oder kurz Phase Beispiele: xt ()= A x sin( ωt)= A x cos( ωt π 2) xt ()= A x cos( ωt +ϕ x )= A x cos( ωt +ϕ x ± π) Ein Vorzeichenwechsel wird durch eine Veränderung des Phasenwinkels um + π oder π erreicht. Das Vorzeichen von π wird so gewählt, dass der Nullphasenwinkel in Definitionsbereich (-π, π] liegt. xt ()= A x sin( ωt)= A x cos( ωt +π 2) xt ()= A x sin( ωt +ϕ x )= A x cos( ωt +ϕ x + π 2) 5 Diese Form heisst allgemeine Cosinusfunktion. Sinusförmige Signale könnten ebensogut mit der allgemeinen Sinusfunktion x(t) = A x sin(ωt+φ x ) dargestellt werden.

4 2.2 Darstellung mit eiger ETEK Wechselstrom 4/18 Drehzeiger Ein sinusförmiges Signal kann als Projektion eines mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω drehenden 6 eigers (phasor) auf eine Projektionsachse Projektionsachse Ax Drehzeiger Ax x(t1) x(t1) ωt1+ϕx 0 -Ax betrachtet werden: 0 t1/t eit in Anzahl Perioden t/t Figur 1.1 Drehzeiger und nterpretation Festzeiger Bei fester (konstanter) Kreisfrequenz ω ist die gesamte nformation über das Signal x(t) in den Parametern A x und ϕ x enthalten. Dies kann als Bild des Drehzeigers bei t = 0 Ax Festzeiger dargestellt werden: Figur 1.2 Festzeiger ϕx Projektionsachse Summe von sinusförmigen Signalen gleicher Frequenz Behauptung: Die Summe (oder Differenz) zweier sinusförmigen Signalen mit gleicher Kreisfrequenz ergibt wiederum ein sinusförmiges Signal derselben Frequenz. xt ()= x 1 ()+ t x 2 ()= t A 1 cos( ωt +ϕ 1 )+ A 2 cos( ωt + ϕ 2 )= Acos( ωt + ϕ) ( ) 2 + ( A 1 sinϕ 1 + A 2 sinϕ 2 ) 2 = A A A 1 A 2 cos(ϕ 1 ϕ 2 ) A = A 1 cosϕ 1 + A 2 cosϕ 2 ϕ=atan A sinϕ + A sinϕ A 1 cosϕ 1 + A 2 cosϕ 2 6 m mathematisch positiven Sinn drehend, d.h. im Gegenuhrzeigersinn.

5 5/18 nterpretiert man diese Ergebnisse geometrisch, so kann man zeigen, dass der eiger der Summe, bzw. der Differenz zweier sinusförmigen Signalen gleicher Frequenz, sich durch vektorielle Addition, bzw. Subtraktion der eiger der Summanden bestimmen lässt. X2 X2 X=X1+X2 X1 X1 X=X1 X2 Figur 1.3 Summe und Differenz zweier Signale in eigerdarstellung Ableitung nach der eit eines sinusförmigen Signals Die Ableitung nach der eit 7 eines sinusförmigen Signals ist wiederum sinusförmig. Die Amplitude der Ableitung wird dabei um die Kreisfrequenz ω und die Phase um π/2 grösser. x 1 (t) = dx(t) dt = da ( cos(ωt +ϕ) ) dt = ωa sin(ωt +ϕ) =ωa cos ωt +ϕ+ π 2 < > Der eiger des abgeleiteten Signals wird um ω "gestreckt" und um +π/2 gedreht. Figur 1.4 eiger eines Signals (X) und der zeitlichen Ableitung dieses Signals (X 1 ) X 1 X 7 Die Ableitung ist eine lineare Operation.

6 3 Wechselstrom - Widerstände ETEK Wechselstrom 6/ Verhältnisse von eigern nter den Voraussetzungen lineare Bauelemente, sinusförmiger Anregung und eingeschwungener ustand, kann der usammenhang zwischen Spannungs- und Stromverlauf an den Klemmen eines weipols durch das Verhältnis der eiger 8 von Spannung und Stromstärke dargestellt werden. Beispiel 1.1: Widerstand Es ist üblich, die zeitliche Grösse u R (t) bzw. i R (t) mit dem eiger R bzw. R darzustellen. u R (t) < > R i R (t) < > R Widerstand: u R (t) = R i R (t) < > R = R R R bzw. R R = R, R R (ϕ u ϕ i ) = R 0 R Das Verhältnis der Amplituden von Spannung und Stromstärke ist konstant und beide Signale verlaufen zeitlich synchron, sie sind phasengleich. Beispiel 1.2: Kapazität C u C (t) < > C i C (t) < > C C Kapazität: i C (t) = C du C dt < > C C (ϕ i ϕ u ) =ωc π 2 Das Verhältnis der Amplituden von Spannung und Stromstärke ist invers proportional zur Frequenz: bei der Frequenz Null verschwindet die Stromstärke (Leerlauf), bei unendlich hoher Frequenz die Spannung (Kurzschluss). Spannung und Stromstärke verlaufen zeitlich um den Phasenwinkel π/2 verschoben. Die Stromstärke eilt der Spannung um π/2 voraus. Beispiel 1.3: nduktivität L u L (t) < > L i L (t) < > L nduktivität: u L (t) = L di L dt < > L L (ϕ u ϕ i ) =ωl π 2 L Das Verhältnis der Amplituden von Spannung und Stromstärke ist proportional zur Frequenz: bei der Frequenz Null verschwindet die Spannung (Kurzschluss), bei unendlich hoher Frequenz die Stromstärke (Leerlauf). Die Spannung eilt der Stromstärke um π/2 voraus. 8 Drehzeiger und Festzeiger führen auf das gleiche Ergebnis da sich der zeitabhängige Term e jωt herauskürzt.

7 7/18 Beispiel 2: RC-Glied R i R i(t) u (t) q u(t) u (t) R C u (t) C Figur 1.5 RC-Glied mit linearer Quelle m eingeschwungenen ustand, ist bei sinusförmiger Anregung der Verlauf von allen Signalen der Schaltung sinusförmig. Der zeitliche Verlauf der Quellenspannung sei u q (t) = Û q cos(ωt). Gesucht werden der Strom i(t) sowie die Spannungen u R (t) und u C (t). nter Benutzung der Linearität der Abbildung und des Gesetzes für die Ableitungsbildung ergibt sich Widerstand u R (t) = R i(t) < > R = R Kapazität i(t) = C du C /dt < > π = C ω C 2 ; Maschensatz u q (t) = (R i +R) i(t) + u C (t) < > = (R + R) + q i C C = ω C Die Festzeiger dieses Beispiels können im sogenannten eigerdiagramm dargestellt werden: + Ri R = + + q Ri R C C Figur 1.6 eigerdiagramm: Festzeiger der Schaltung Damit ergibt sich für das Amplitudenverhältnis Û q /Î sowie die Phasenwinkeldifferenz ϕ q - ϕ zwischen den Signalen u q (t) und i(t): ˆ q ˆ ϕ uq = q = ( R i + R) ω 2 C 2 1 ϕ i = a tan ωc ( R i + R) Der Strom und die Spannungen über den Widerständen sind dabei Phasengleich. Die Spannung über dem Kondensator eilt dem Strom um den Winkel π/2 nach. Das Verhältnis der Amplituden von C und ist abhängig von der Frequenz. Demzufolge ist auch der Phasenwinkel zwischen den Grössen q und, bzw. q und C frequenzabhängig.

8 8/18 4 Leistung bei Wechselstrom 4.1 Effektivwerte und mittlere Leistung Gesucht werden die Gleichspannung und der Gleichstrom die dieselbe Leistung an einem Ohmschen Widerstand R wie die sinusförmigen Wechselspannungsgrössen im Mittel (eitmittel) abgeben. u(t) = ˆ cos(ωt +ϕ u ) i(t) = ˆ cos(ωt +ϕ i ) Offensichtlich muss zu jedem eitpunkt u(t)/i(t) = Û/Î = R gelten und die Nullphasenwinkel von Spannung und Strom müssen identisch sein: ϕ u = ϕ i Momentan verbrauchte Leistung (Wahl von t so, dass ϕ u =ϕ i =0): p(t) = u(t) i(t) = ˆ ˆ cos 2 (ωt) = ˆ ˆ 2 ( 1 + cos(2ωt) ) m Mittel im Widerstand verbrauchte Leistung (Periodendauer: T=2π/ω): T P = 1 p(t) dt T = 1 ˆ ˆ 2 0 Für die Effektivwerte und gilt gemäss Definition: P= = 2 R = R 2 Der Vergleich der Ausdrücke führt zu = 1 2 ˆ bzw. = 1 ˆ 2 Der Effektivwert einer zeitlich abhängigen, periodischen Grösse entspricht ihrem quadratischen Mittelwert. Er entspricht dem zeitlich konstanten Signal (Gleichspannung, -strom) das dieselbe Leistung an einen Widerstand abgeben würde, wie im Mittel das veränderliche Signal. Bemerkungen: Der Effektivwert entspricht dem quadratischen Mittelwert eines Signals. Effektivwerte machen demzufolge nur bei periodischen Signalen einen Sinn. Effektivwerte beschränken sich nicht auf sinusförmige Signale, sondern können für beliebige periodische Signale angegeben werden. n diesem fall spricht man eher vom quadratischen Mittelwert. Wechselstromgrössen werden in der Praxis fast ausschliesslich als Effektivwerte angegeben ohne, dass dies ausdrücklich vermerkt wird. Auch bei eigern wird im Allgemeinen nicht der Scheitelwert, sondern der Effektivwert des sinusförmigen Signals als Betrag für den eiger angegeben (Effektivwertzeiger). Ohne gegenteilige und ausdrückliche Angabe, werden in diesem Skript eiger als Effektivwertzeiger verstanden.

9 9/ Wirk-, Blind- und Scheinleistung Der zeitliche Verlauf des Energiestroms an den Klemmen eines beliebigen weipols wird Momentanleistung genannt. Diese kann aus den zeitlichen Verläufen der Spannung und der Stromstärke wie folgt bestimmt werden: p(t) = u(t) i(t) Ob der weipol zu einem bestimmten eitpunkt Energie Aufnimmt oder abgibt, hängt vom Vorzeichen der Momentanleistung und vom gewählten Bezugspfeilsystem ab. Wir werden für die folgenden Überlegungen ein Verbraucherpfeilsystem voraussetzen: Bei einem positiven Wert der Momentanleistung wirkt der weipol passiv (nimmt Energie auf), bei einem negativen aktiv. Wirkleistung Der lineare Mittelwert der Momentanleistung heisst Wirkleistung und beträgt: P = 1 T T 0 p(t) dt = cos(ϕ u ϕ i ) = cos(ϕ) Für P > 0, bzw. für ϕ < π/2, entspricht die Wirkleistung der im eitmittel im weipol dissipierten 9 Leistung. Bei P < 0, bzw. für π/2 < ϕ < π, entspricht die Wirkleistung dem mittleren vom weipol gelieferten Energiestrom. Bei ϕ = 0 nimmt der weipol die maximal mögliche Wirkleistung auf, bei ϕ = π gibt er sie ab. Bei ϕ = π/2 ist P = 0, d.h. es wird keine Wirkleistung aufgenommen oder abgegeben, auch wenn die Momentanleistung verschieden von Null ist. Einheit der Wirkleistung: [P] = W (Watt) P kann positiv sein, obschon p(t) zeitweise negativ wird und umgekehrt. Der Winkel ϕ = ϕ u - ϕ i wird Phasenverschiebungswinkel genannt. Scheinleistung Die Amplitude des Wechselanteils der Momentanleistung wird Scheinleistung genannt und mit dem Symbol S bezeichnet. S = Die Einheit der Scheinleistung wird zur nterscheidung von der Wirkleistung nicht mit Watt angegeben, sondern mit Volt-Ampère: [S] = VA (Volt-Ampère) Da die Scheinleistung einer Amplitude entspricht, ist sie immer positiv, auch wenn P < 0 ist. Mit der Scheinleistung kann für die Wirkleistung geschrieben werden: P = cos(ϕ)= S cos(ϕ) Ferner wird das Verhältnis P/S Leistungsfaktor genannt und mit dem Symbol λ (griechischer Buchstabe Lambda) bezeichnet. λ = P/S = cos(ϕ) 9 in Wärmeenergie umgewandelt

10 10/18 Blindleistung Bei einem weipol, der fähig ist Energie zu speichern 10, setzt sich der Wechselanteil der Momentanleistung zusammmen aus einem dissipierten Wirkanteil und einem Energieanteil der nicht dissipiert, sondern periodisch umgespeichert wird. Die Grösse Q = sin(ϕ) heisst Blindleistung. hre Einheit wird in var (Volt-Ampère reaktiv) angegeben. Das Verhältnis Q/S = sin(ϕ) wird Blindfaktor genannt. Die Grössen Wirk- Blind- und Scheinleistung sind unten illustriert. 10 d.h. der weipol weist die Eigenschaft Kapazität oder nduktivität auf

11 11/18 5 Dreispannungsmesser-Verfahren Beispiel 3: Dreispannungsmesser-Verfahren zur Bestimmung der Serieersatzgrössen Widerstand R S und nduktivität L S einer Spule R m m R S R S L S L Gemessen werden die drei Effektivwerte, m und S der entsprechenden Spannungen. Die Spannungen R und L können nicht gemessen werden. Der Messwiderstand R m ist frei wählbar und daher bekannt und ermöglicht es den Effektivwert der Stromstärke zu bestimmen. Gesucht werden die Effektivwerte R und L der entsprechenden Spannungen mit denen die Ersatzgrössen R S und L S bestimmt werden können: R S = R = R R m, L S = L m ω = L R m m ω eigerdiagramm: S L m R Aus dem eigerdiagramm lassen sich folgende Beziehungen herauslesen: S = R + L S 2 = R 2 + L 2 = m + R + L 2 = ( m + R ) L Die gesuchten Ersatzgrössen können nun durch Auflösen dieser Gleichungen (Elimination der Grössen R und L ) rechnerisch ermittelt werden.

12 12/18 6 Drehstromsysteme Drehstromsysteme (siehe Figur 1.7) weisen gegenüber Wechselstromsystemen (siehe Figur 1.8) mit unabhängigen Strängen wesentliche praktische Vorteile auf. nter anderem Die von einem Drehstromsystem übertragene Momentanleistung ist bei symmetrischer Belastung (Verbraucher) zeitlich konstant. > Die den Synchrongenerator antreibende Maschine (z. B. Turbine) wird mit einem zeitlich konstanten Drehmoment belastet. Auf der Verbraucherseite kann ein magnetisches Drehfeld mit drei (räumlich stationären) Spulen erzeugt werden. Das Drehstromsystem liefert sechs verschiedene Spannungen die sich bezüglich Effektivwert und Phasenlage unterscheiden. Die Übertragungsverluste bei gleicher übertragener Energie sind geringer als bei einem Wechselstromsystem mit drei unabhängigen Strängen (drei, bzw. vier anstelle von sechs Leitern). Für die Bezeichnungen der Drehstromsystemen sollte die Norm DN 40'108, Ausgabe April 1978 benutzt werden, die in entscheidenden Punkten von der vorher gültigen Norm mit Ausgabe Juni 1966 abweicht. Erzeuger (Synchrongenerator) Aussenleiter L 1 1 1N = Y 0 V 1 Aussenleiter L N = Y -120 Aussenleiter L 3 23 W1 3N = Y V 2 W2 Sternpunktleiter N Sternpunkt N Figur 1.7 Drehstromsystem (drei Aussenleiter ohne Last) Erzeuger Übertragungsleitung Verbraucher = ϕu Figur 1.8 Wechselstromsystem (ein einziger Strang mit Last)

13 13/18 Glossar (nach DN 40'108) Aussenpunkte 1, V 1, W 1 Wicklungsenden des Synchrongenerators 2, V 2, W 2 in einem Knotenpunkt verbunden, Sternpunkt N Strangspannungen 1N = 1N 0 (willkürliche Festlegung des Nullphasenwinkels) 2N = 2N 120 3N = 3N 120 Sternspannung Aussenleiterspannungen Y = 1N = 2N = 3N (Effektivwert der Strangspannungen, falls Strangspannungen symmetrisch) 12 = 1N 2N = = 2N 3N = = 3N 1N = 150 L 2 12 L 1 1N 2N 23 3N 31 L 3 Figur 1.9 eigerdiagramm der Spannungen Dreieckspannung = 12 = 23 = 31 (Effektivwert der Aussenleiterspannungen falls symmetrisch) Es gilt: = 3 Y n Europa gilt insbesondere: = 400 V, Y = 230 V, f = 50 Hz Aussenleiter Leiter des Drehstromsystems L1, L2 und L3. Früher wurden diese mit R, S und T bezeichnet und als Phasen bezeichnet (siehe unten). Sternpunktleiter Mittelleiter Neutralleiter Vierleitersystem Dreileitersystem Leiter der im Sternpunkt eines Drehstromsystems angeschlossen ist. Leiter der im Mittelpunkt eines symmetrischen Gleichstrom- oder Wechselstromsystems angeschlossen ist. Gemeinsame Bezeichnung für Sternpunktleiter und Mittelleiter. Leitersystem mit drei Aussenleitern und einem Sternpunktleiter. Leitersystem mit nur drei Aussenleitern. starres Netz Netz bei dem die Aussenleiterspannungen lastunabhängig sind (ideale Generatoren, keine Leitungsverluste).

14 14/ Symmetrische Belastung Sternschaltung der Verbraucher (Drei- oder Vierleitersystem) L1 L3 N 1 3 N L2 2 Figur 1.10 Symmetrische Sternschaltung der Verbraucher Last: = ϕ ( induktiv: 0 < ϕ π/2, kapazitiv: -π/2 ϕ < 0 ) Aussenleiterstromstärken 1 = 1N = Y ϕ 2 = 2N 3 = 3N = Y ϕ 120Þ = Y ϕ+120þ Für den Sternpunktleiter gilt: N = = 0 Wirkleistung Momentanleistung Blindleistung Scheinleistung P = 3 Y cos() ϕ pt ()= P = 3 Y cos()= ϕ konstant (ohne Herleitung) Q = 3 Y sin(), ϕ induktiv für ϕ > 0, bzw. Q > 0, kapazitiv für ϕ < 0, bzw. Q < 0 S = P + jq = 3 Y ϕ = 3 2 Y ϕ = ϕ 2

15 15/ Dreieckschaltung der Verbraucher L1 L3 L Figur 1.11 Symmetrische Dreieckschaltung der Verbraucher Last: = ϕ ( induktiv: 0 < ϕ π/2, kapazitiv: -π/2 ϕ < 0 ) Laststromstärken = = ϕ + = = = ϕ = ϕ Aussenleiterstromstärken = = 3 ϕ = = 3 ϕ = = 3 ϕ allgemein: = 3 = Für den Aussenleiterstromstärken gilt: = 0 Wirkleistung Momentanleistung P = 3 cos()= ϕ 3 cos( ϕ) p()= t P = 3 cos( ϕ)= konstant Blindleistung Q = 3 sin() ϕ Scheinleistung S = P + jq = 3 ϕ = 3 2 ϕ = 3 ϕ = 3 Y ϕ

16 16/ AC-Generatoren AC-Generatoren können als Asynchron- oder Synchrongeneratoren ausgelegt werden. Die nachfolgende kurze Ausführung beschreibt nur die Funktionsweise eines Synchrongenerators. Die Maschinen erzeugen alle ein Drehfeld mit 3 Phasen, wobei in Europa 50Hz und in den SA 60Hz erzeugt werden. Lokale Netze wie beispielsweise dasjenige eines Airbus A380 kann andere Frequenzen aufweisen, dort sind es 400 Hz. 1 2 W2 2 V2 S 1 V1 W1 W2 N V1 W1 V2 Figur 1.11 Prinzipskizze (links) und Klemmenkasten (rechts) eines Synchrongenerators Alle 3-Phasen-Maschinen verwenden ein rotierendes Magnetfeld. Dieses kann wie auf dem Bild mit einem Permanentmagneten ausgeführt sein. Bei grösseren Generatoren wird das Feld mit einer rotierenden Spule ausgeführt. Die DC-Versorgung dieser Spule wird über Schleifringe realisiert. m Bild sind drei ortsfeste Spulen je 120 verschoben angeordnet. Jede dieser Spulen wird auf den Klemmenkasten geführt. Das rotierende Magnetfeld erzeugt durch nduktion immer abwechselnd einen Nord- und einen Südpol auf der nach innen gerichteten Seite der Spulen. Der zeitliche Verlauf der Magnetfelder auf den Spulen entspricht dem zeitlichen Verlauf der Spannung jeder Phase. Dieser ist snusförmig. Wenn eine Phase auf ihrem Maximum steht, läuft in den beiden anderen Phasen ein Strom in die andere Richtung, mit jeweils halber Spannung. Die drei Phasen weisen zueinander eine Phasenverschiebung von einem Drittel der Periode auf (jeweils 120 ). Auf dem Klemmenkasten können die Spulen ebenfalls in Stern oder Dreieck zusammengeschaltet werden.

17 17/18 Anhang 1.1 eitliche Mittelwerte Linearer Mittelwert einer periodischen Funktion x(t) mit Periodendauer T: X lin = 1 T T x(t) dt Bemerkungen: Der lineare Mittelwert entspricht der mittleren x-t-fläche unter dem Funktionsverlauf. Anteile für die x < 0 ist, zählen negativ. Der lineare Mittelwert einer ungeraden Funktion ( x(-t) = -x(t) ) ist immer gleich Null. Bei periodischen Signalen hängt das Ergebnis des bestimmten ntegrals nicht von der Wahl der unteren ntegrationsgrenze ab, sofern das ntegral über die Periodendauer T gebildet wird. Quadratischer Mittelwert einer periodischen Funktion x(t) mit Periodendauer T: X quad = 1 T x2 (t) dt T Bemerkung: st die Grösse x(t) eine Spannung oder eine Stromstärke, so spricht man vom Effektivwert. Bei periodischen Signalen hängt das Ergebnis des bestimmten ntegrals nicht von der Wahl der unteren ntegrationsgrenze ab, sofern das ntegral über die Periodendauer T gebildet wird. Das es sich bei einem Mittelwert um einen quadratischen Mittelwert handelt, wird im Allgemeinen nicht durch eine Bezeichnung wie z.b. in der obigen Formel mit den ndex quad hervorgehoben. Mischsignale Jedes periodische Signal kann als Summe seines linearen Mittelwertes X lin = X 0 und eines mittelwertfreien Wechselterms x w (t) dargestellt werden: x(t) = X 0 + x w (t) Ein Signal bestehend aus einem konstanten Term und einem mittelwertfreien, periodischen Wechselterm heisst Mischsignal. Der quadratische Mittelwert eines Mischsignals X lässt sich aus dem linearen und dem quadratischen Mittelwert des Wechselterms X w einfach berechnen. Dabei gilt folgender usammenhang (Beweis durch einsetzen der Mischsignalformel in die Formel für den quadratischen Mittelwert): X 2 = X X w 2

18 Verhältniszahlen ETEK Wechselstrom 18/18 Für periodische Signale 11, insbesondere für Mischsignale, sind folgende Begriffe im usammenhang mit den Mittelwerten definiert: Scheitelwert (peak value, crest val.) maximaler Betrag Gleichwert (direct component) linearer Mittelwert Effektivwert (root mean square val., RMS) quadratischer Mittelwert Gleichrichtwert (rectified value) linearer Mittelwert des gleichgerichteten Signals Scheitelfaktor (crest factor) Formfaktor (form factor) Schwingungsgehalt effektive Welligkeit Riffelfaktor Scheitelwert Effektivwert Effektivwert Gleichrichtwert Effektivwert des Wechselanteils Effektivwert der Mischgrösse Effektivwert des Wechselanteils Gleichwert der Mischgrösse Scheitelwert des Wechselanteils Gleichwert der Mischgrösse 11 Signal: zeitlich veränderliche physikalische Grösse