Physik I Übung 6 - Lösungshinweise

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1 Physik I Übung 6 - Lösungshinweise Moritz Kütt WS 2011/12 Stefan Reutter Stand: Franz Fujara Aufgabe 1 Pyramidenabbau in Darmstadtia Zu einer Zeit, in der die südhessische Rheinebene noch völlig von Wüstensand bedeckt war, standen hier natürlich auch Pyramiden. Nachdem der Sand jedoch irgendwann völlig verschwunden war, stellte die Pharaonin Hainanchamun fest, dass Pyramiden hier einfach nicht hinpassen. Sie gab den Befehl, die Pyramiden wieder abzubauen, und dazu eine schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel α = 30 zu benutzen. Ein Pyramidenstein hat die Masse m = 5000 kg. Die Gleitreibung auf der Ebene beträgt µ G = Damit es schneller geht, sollen noch Arbeiter mit einer Kraft von F = 10 kn an den Steinen ziehen. Unter welchem Winkel zur Horizontalen müssen sie ziehen, um eine maximale Beschleunigung der Steine erreichen zu können? Wie groß ist diese? Zunächst mal eine Zeichnung, hoffentlich verständlich. F res (nicht eingezeichnet) muss maximiert werden, im folgenden werden immer nur Beträge der Kräfte verrechnet. Die aus F G resultierende Hangabtriebskraft F H ist auch nicht eingezeichnet, man sollte sie aber aus anderen Aufgaben zu schiefen Ebenen kennen. 1

2 F res = F zug,h + F H F R = F cos(α β) + F G sin α µ G (F N F zug,n ) = F cos(α β) + F G sin α µ G (F G cos α F sin(α β)) d dβ F res = F sin(α β) + µ G F cos(α β) d dβ F res! = 0 0 = F sin(α β) + µ G F cos(α β) tan(α β) = µ G α β = 19 β = 11 Die Beschleunigung in dem Fall ist dann: ma = F res a a = F res m = 4 m/s (ohne die Kraft wären es nur a = 1, 9 m/s gewesen) Aufgabe 2 Not Conversative Progressive Are the following force fields conservative? Prove or explain. a) The force on a Jedi practicing his skills on a space station (Force active) F( x) = β x b) A circular force x F( y ) = y x c) A central force F( x) = α x 2

3 a) und b) sind nicht konservativ, c) ist konservativ a) Kann man z.b. sehen, wenn man sich auf einer Kreisbahn bewegt, bei der z konstant ist. Das Gravitationsfeld verrichtet dann keine Arbeit, während die Reibungskraft immer entgegen der Bewegungsrichtung zeigt. Die damit verbundene Arbeit ist bei z.b. konstanter Geschwindigkeit konstant und negativ, das heißt, dem Jedi geht Energie verloren und das Feld ist somit nicht konservativ da ein geschlossenes Wegintegral in einem konservativen Feld immer null sein muss. Mathematisch könnte man das mit dem geschlossenen Integral über eine Kreisbahn im Feld zeigen so zeigen: x(t) = W = cos t sin t F d x = m 2π F xdt = 2π βv 2 dt = 2πβv b) Gleiche Begründung wie bei a): Wenn man sich auf einer Kreisbahn bewegt, zeigt die Kraft in Richtung der Tangente und somit der Geschwindigkeit. Die Arbeit ist konstant ungleich 0 und somit ist das Feld nicht konservativ (in diesem Fall wäre es allerdings möglich, Energie zu gewinnen, wenn man sich in Feldrichtung dreht). c) Zentralkraftfelder sind immer konservativ. Eine mögliche Begründung: Man teilt gedanklich das Wegelement im Arbeitsintegral in ein radiales und ein dazu senkrechtes Wegelement auf. Da die Kraft in radiale Richtung zeigt, erkennt man leicht, dass die Bewegung entlang der Kreislinien keinen Beitrag liefert, da sie senkrecht zur Kraft stehen. Für die radialen Wegelemente kann man sich dann überlegen, dass bei einem geschlossenen Weg jedes Wegelement einmal in die eine Richtung und einmal in die andere durchlaufen werden muss. Damit ist die Gesamtarbeit null. Mathematisch kann man laut Vorlesung überprüfen, ob die Rotation F 0 ist. Ist ein Feld nur ortsabhängig und rotationsfrei, ist es konservativ. Dass die Rotation eines Zentralfeldes verschwinden muss, kann man leicht nachrechnen. leicht ausrechnen. Aufgabe 3 Schweinisches Karussell Das kleine Schweinchen Oinki würde am liebsten den lieben langen Tag Schabernack treiben. Heute ist der Jahrmarkt in der Stadt und Oinki ist natürlich sofort aus seinem Stall ausgebüchst, um ihn zu besuchen. Die erste Attraktion, die Oinkis Aufmerksamkeit auf sich zieht, ist ein Karussell auf dem viele bunte Tierfiguren immer rundherum im Kreis fahren. Oinki positioniert sich zwischen Giraffe und Bär und fängt an, sich munter im Kreise zu drehen bis ihm schlecht wird. 3

4 Während das Karussell sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω dreht, lässt sich Oinkis Bewegung durch folgende Differentialgleichung beschreiben: ẋ ẏ = ω y x a) Löse diese Gleichung allgemein mit einem sin-ansatz für x und y. b) Identifiziere die x- y-ebene mit der Gaußschen Zahlenebene der komplexen Zahlen, stelle eine passende Differentialgleichung auf und löse diese wiederum allgemein mit dem Ansatz z = e kx Hinweis: Zu b): wenn z = x + i y, was ist iz? a) Die Vektorgleichung ist ein System aus zwei gekoppelten Differentialgleichungen erster Ordnung: ẋ = ẏ = ω y ωx Man kann eine der beiden Gleichungen einmal ableiten: ẍ = ÿ = ω ẏ ωẋ Und nun die entsprechende Gleichung von zuvor einsetzen (es ergibt sich eine ungekoppelte Differentialgleichung zweiter Ordnung): ÿ = ω 2 y Diese Gleichung kann man nun mit dem sin-ansatz lösen zu y = Asin(ωt + φ) Aus dem System der gekoppelten Differentialgleichungen und dieser Lösung ergibt sich z.b. durch einmaliges Ableiten der Lösung und einsetzen die Lösung für x x = Acos(ωt + φ) In Vektorschreibweise ist das x y = A cos (ωt + φ) sin (ωt + φ) 4

5 wie man leicht nachprüfen kann. Die beiden Konstanten bestimmen sich dann aus der jeweiligen Anfangsbedingung. Es ist natürlich auch möglich, dass die Lösung für y ein cos ist und die Lösung für x ein sin, die dazu nötige Phasenverschiebung steckt in der Wahl von φ. b) Die dazugehörige DGL im Komplexen ist ż = iωz. Dies lässt sich einfach herleiten z.b. über ż = ẋ + i ẏ = ω y + iωx = ω(ix y) Hier kann man nun den Hinweis benutzen iz = i(x + i y) = ix y Wenn man das in die obere Gleichung einsetzt, ergibt sich genau ż = iωz. Diese DGL wird gelöst durch z = Ae iωt. Hier steckt die Phasenverschiebung in der nun komplexen Amplitude A mit drin. 5

6 Hausaufgabe 1 Achterbahnbau Du möchtest eine Achterbahn konstruieren, ähnlich der Zeichnung. Die Wagen liegen dabei nur in einer Bahn, wie bei einer Rutsche (sie können also im Looping herunterfallen). Ein Wagen wiegt 200 kg. Die Höhe des Looping ist h = 10 m a) Wenn du die Wagen bei H = 15 m startest, wie schnell sind sie dann am höchsten Punkt des Looping? b) Gleiche Starthöhe und Loopinghöhe: wie schnell sind die Wagen am Ende der Bahn? c) Wie hoch musst du den Startpunkt deiner Bahn legen, damit garantiert kein Wagen aus dem Looping fällt? a) Nach Energieerhaltung ist die Geschwindigkeit am höchsten Punkt des Loopings: 1 mv 2 2 oben + mgh = mgh v oben = 2g(H h) v oben = 9, 9 m/s b) Energieerhaltung für diesen Fall: mgh = 1 2 mv 2 ende v ende v ende = 2gH = 17, 2 m/s c) Bedingung dafür, dass er nicht rausfällt ist, dass Flieh- und Gewichtskraft zumindest gleich sind, also F z = F g. Ausgeschrieben: m v 2 oben h 2 = mg v oben = gh 2 6

7 gleichgesetzt mit dem v oben aus a) ergibt sich 2g(H h) = gh 2 H = 5 4 h Hausaufgabe 2 Energie zieht Wagen Über eine Umlenkrolle an einem Wagen (200 kg) läuft ein an einer Gebäudewand befestigtes Seil, an dem die Masse m 1 hängt, die durch ihre Fallbeschleunigung den Wagen vorwärts bewegen soll. Wie groß muss die Masse m 1 sein, wenn der Wagen nach Durchlaufen einer Strecke von s = 12 m die Geschwindigkeit von v = 5 m/s haben soll? Achtung: Die Masse m 1 bewegt mit dem Betrag Geschwindigkeit des Wagens nach unten, aber auch mit dem Betrag der Geschwindigkeit des Wagens nach links. Die Gesamtgeschwindigkeit von m 1 nach der Strecke s ist daher v m1 = v 2 w + v 2 w = 2 v w Da Wagen und Masse nun unterschiedliche Geschwindigkeiten haben, muss man sie im Ansatz für die Energieerhaltung auch getrennt betrachten: E kin = E pot 1 2 m 1v 2 m m wv 2 w = m 1gs 1 2 m 1( 2v w ) m wv 2 w = m 1gs m 1 (gs v 2 w ) = m 1 = m 1 = 1 2 m wv 2 w 1 2 m wv 2 w gs v 2 w 27kg 7

8 Hausaufgabe 3 Die spinnen, die Astronomen Astronomen sind schon ein verrücktes Völkchen. Sie riskieren zum Beispiel für ihre Messungen eine Quecksilbervergiftung, indem sie das flüssige Metall in einen großen Bottich kippen, den sie dann mit einer praktisch konstanten Winkelgeschwindigkeit drehen. Durch die Zentrifugalkraft ist der Flüssigkeitsspiegel außen höher als innen. Berechne die Form des Spiegels einmal, indem du Kräftegleichgewicht entlang der Tangente des Spiegels für jedes Flüssigkeitsteilchen ansetzt und einmal, indem du Energie verwendest. Hinweis: Betrachte das Teilchen im mitrotierenden Koordinatensystem. Erstmal mit Kräften. Senkrecht zur Oberfläche oder für Atome im Bad gleicht das Quecksilber alle Kräfte aus. Entlang der Tangente wirken Anteile der Zentrifugalkraft mω 2 r cos α sowie Gewichtskraft mg sin α (siehe Skizze), bzw. äquivalent gesprochen stellt die Gewichtskraft die Zentripetalkraft bereit, die das Atom auf seiner Bahn hält. Setzt man beides gleich, erhält man den Winkel der Tangente in Abhängigkeit des Radius: α F G α T F ZF mω 2 r cos α = mg sin α tan α = ω2 g r Jetzt kann man ein Steigungsdreieck an die Tangente anlegen, damit ergibt sich dy dr = tan α = ω2 g r d y = ω2 g rdr y = ω2 2g r2 + C Die Integrationskonstante ist hierbei die Höhe des Minimum der Parabel. Mit Energie geht es schneller: 8

9 1 E kin = E pot 2 m(ωr)2 = mg(y C) y = ω2 2g r2 + C Dieses Verfahren wird von Astronomen im Übrigen tatsächlich angewendet und ist nicht frei erfunden (z.b. am Large Zenith Telescope in Kanada). Hausaufgabe 4 Corioliskraft Du fährst in Darmstadt (geographische Breite 49.9 ) mit einer schnellen Sportkarosse auf einer Autobahn schnurstracks Richtung Osten, immer schön auf dem Breitengrad lang. Da die Autobahn keine Geschwindigkeitsbegrenzung hat, bringst du dein Vehikel auf 270 km/h und hältst dann die Geschwindigkeit konstant. Berechne, wie viel kleiner die Erdbeschleunigung durch Zentrifugalkraft und Corioliskraft in diesem Fall ist. Hinweis: Dafür ist jeweils nur der Teil der Kraft wichtig, der in radialer Richtung vom Erdmittelpunkt wegzeigt Ein Teil der Gewichtskraft des Autos wird benötigt, um dieses auf seiner Kreisbahn. Dazu ist die Zentripetalkraft F Z P = mω 2 r nötig, wobei r = R E sin θ der Abstand des Autos zur Erdachse ist (dieser ist konstant, da sich das Auto auf einem Breitengrad bewegt). Der Polarwinkel θ = 90 α ist der Winkel zur positiven z-achse, wie üblich in Kugelkoordinaten, wenn α der Breitengrad ist. Da die Gewichtskraft zum Erdmittelpunkt hin wirkt, muss nur die Komponente der Zentripetalkraft von der Gewichtskraft bereitgestellt werden, die senkrecht zur Erdoberfläche ist. Die Kraft parallel zur Erdoberfläche wird durch Reibung ausgeglichen. Dadurch ergibt sich noch einmal ein Faktor sin θ. F = mω 2 R E sin 2 θ Bleibt noch die Aufgabe, die Winkelgeschwindigkeit des Autos zu berechnen. Sie setzt sich zusammen aus der Rotationsgeschwindigkeit der Erde und einem Anteil durch die Fahrtgeschwindigkeit des Autos 9

10 ω = ω E + ω A = 2π T + v r = s s 1 Eingesetzt ergibt sich a = F m = m s 2 Das Ganze lässt sich auch im mitrotierenden Erdsystem rechnen. Dort ergeben sich die Coriolisund Zentrifugalkraft F Z F = mω 2 0 r F C = 2mv ω 0 Wenn man das tut, muss man allerdings noch berücksichtigen, dass die Bewegung des Autos auch im mitrotierenden Koordinatensystem eine Kreisbewegung und nicht geradlinig ist (Coriolis- und Zentrifugalkraft sind nur für geradlinige Bewegungen exakt). Es ergibt sich ein dritter Term F K = m v 2 Damit erhält man das gleiche Ergebnis wie in der obigen Rechnung. r 10