SCHRIFTENREIHE SCHIFFBAU

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1 August 2008 SCHRIFTENREIHE SCHIFFBAU Stefan Krüger Hydrostatik von Schiffen

2 Institut für Entwerfen von Schiffen und Schiffssicherheit Prof Dr-Ing Stefan Krüger Hydrostatik von Schiffen Prof Dr-Ing Stefan Krüger 23 April 2013

3 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 4 11 Hauptabmessungen 4 12 Koordinatensystem 5 13 Ansichten 6 14 Linienriss 7 15 Völligkeitsgrade 8 16 Flächenträgheitsmomente 9 2 Gesetz des Archimedes Druckverteilung im Wasser Schwimmender Körper 11 3 Kleine Änderungen der Schwimmlage Beliebige, kleine Änderung der Schwimmlage Tiefertauchung um δt Verdrehung um δϕ Verdrehung um δψ Schwimmkörper unter äußeren Einwirkungen 23 4 Stabilität von Schwimmlagen 27 5 Kleine Schwimmlagenänderungen intakter Schiffe Krängung um δϕ : Trimm um δψ : Einheitstrimmmoment Stabilitätsbedingungen 37 6 Pantokarenen und Stabilitätshebelarme Pantokarenen Stabilitätshebelarme Schiffskörper unter der Wirkung eines krängenden Momentes M ξ und außermittiger Lage y G des Gewichtsschwerpunktes Pantokarenen und Hebelarme unvertrimmter Quader Berechnung des Verdrängungsschwerpunkts und der Pantokarenen gekrängter Quader (Formschwerpunktskurve) Berechnung der Schwerpunktskoordinaten des Verdrängungsschwerpunktes und der Pantokarenen für die Bereiche I und Berechnung der Schwerpunktskoordinaten des Verdrängungsschwerpunktes und der Pantokarenen für die Bereiche II und Berechnung der Schwerpunktskoordinaten des Verdrängungsschwerpunkts und der Pantokarenen für die Bereiche III und 3 51 Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 2/77

4 635 Krümmung, Krümmungsradius der Formschwerpunktskurve (Metazentrische Evolute) Metazentrische Evolute eines Quaders für die Bereiche I und Metazentrische Evolute für die Bereiche II und Metazentrische Evolute eines Quaders für die Bereiche III und Stabilitätskurven bzw Pantokarenen Hebel des aufrichtenden Momentes Schiff und Quader 61 7 Krängende Momente Moment durch seitlichen Winddruck Moment bei Drehkreisfahrt Verschiebung von Flüssigkeiten in Tanks mit freien Oberflächen Moment durch Verrutschen von Ladung Moment durch Wasser an Deck Moment durch Vereisung Moment durch Personen Moment durch hängende Lasten Moment durch Trossenzug Moment durch Propellerdrehmoment Momentenbilanz Stabilitätsforderungen 67 8 Schiff mit Grundberührung Schiff sitzt mit der ganzen Länge des Kiels auf (Schiff im Dock) Schiff sitzt auf einem Punkt des Kiels fest (Strandung, Aufdrehen beim Stapellauf) 70 9 Stapellauf Allgemeines Ablauf Erweiterungen und Notizen Pantokarenen 77 Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 3/77

5 1 Grundlagen 11 Hauptabmessungen Abbildung 1: Hauptabmessungen, nach Normentwurf DIN Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 4/77

6 Bezeichnung Einheit Bedeutung deutsch englisch L OA L OA m Länge über alles, vom vordersten zum hintersten festen Punkt L PP L PP m Länge zwischen den Loten (Perpendiculars) L WL L WL m Länge in der Schwimmwasserlinie DWL CWL m Konstruktionswasserlinie VL FP m Vorderes Lot (Fore Perpendicular), Schnittpunkt CWL mit Mallkante Vordersteven HL AP m Hinteres Lot (After perpendicular), Mitte Ruderschaft B OA B OA m Breite über alles T, T DWL T, d, T D m Konstruktionstiefgang gemessen auf halber Länge zwischen den Loten H D m Seitenhöhe F F m Freibord m 3 Verdrängtes Volumen des Schiffes auf Spanten t Deplacement: Verdrängte Masse MS CL Mittschiffsebene (Centreline plane) HS, MF Hauptspant WL WL Wasserlinie SB SB Steuerbordseite (starboard) BB, XB PS, XB Backbordseite (portside) Tabelle 1: Einige wichtige Abmessung In der Seefahrt wird das gebunkerte Süßwasser als Frischwasser bezeichnet, in Anlehnung an das englische Wort freshwater für Süßwasser 12 Koordinatensystem Man führt ein schiffsfestes Koordinatensystem ein Üblicherweise liegt der Koordinatenursprung im hinteren Lot (HL) auf der Höhe der Basis in der Schiffsmitte Die x- Achse geht entlang der Schiffslängsachse, die y-achse ist die Querachse und die z-achse die Hochachse Da der Ursprung in der Schiffsmitte liegt, können die y-werte sowohl positiv als auch negativ sein Für die Backbordseite sind die y-werte positiv und für die Steuerbordseite negativ Die x-werte werden zum Bug hin positiv gezählt, alles was hinter HL liegt wird negativ Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 5/77

7 Abbildung 2: Schiffsfestes Achsensystem, nach Normentwurf DIN Ansichten Man denkt sich den Schiffsrumpf von Ebenen parallel zu den Ebenen des kartesischen Koordinatensystems zerschnitten Die Projektionen der so entstandenen Umrisslinien auf jeweils eine gemeinsame Zeichenebene ergeben drei Ansichten des Schiffskörpers (siehe Abbildung 3): Spantenriss (body plan) in der y,z-ebene (Spanten, frames,sections), Längsriss (sheer plan) in der x,z-ebene (Schnitte, buttocks), Wasserlinienriss (half-breadth plan, water-line plan) in der x,y-ebene (Wasserlinien, waterlines) Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 6/77

8 Abbildung 3: Projektion des Schiffskörpers in die drei Ebenen des kartesischen Koordinatensystems Wegen der Übersichtlichkeit ist der Ursprung verschoben gezeichnet Ein weiterer Schnitt, der in einem Winkel zur Mittschiffsebene gelegt wird, dient der Kontrolle des Linienverlaufs und wird Sentenriss (plan of diagonals) genannt Ausgehend von der Mittschiffsebene werden geneigte Schnitte geführt, die möglichst viele Spanten möglichst senkrecht schneiden Es ergeben sich den Wasserlinien ähnliche Kurven 14 Linienriss Der Linienriss enthält den Spantenriss, den Längsriss und den Wasserlinienriss Bei der Entwicklung des Linienrisses müssen die Linien straken, dh sie müssen stetig verlaufen Spanten: L pp wird in eine gerade Anzahl gleicher Abstände eingeteilt (zb 10 oder 20); es entstehen 10 bzw 20 Konstruktionsspanten, wobei man mit der Zählung am AP mit 0 beginnt Da an den Schiffsenden starke Krümmungen der Außenhaut auftreten, werden hier meist weitere Spanten in engeren Abständen angeordnet Im Spantenriss wird das Vorschiff rechts und das Hinterschiff links dargestellt Schnitte: Der Umriss stellt Vor- und Hintersteven, die Aufbauten und den Decksverlauf dar Dabei werden die halben Schnitte durch die vordere Schiffshälfte rechts und die durch die hintere Schiffshälfte links dargestellt Wasserlinien: Glatte Abstände, zb 0,5 m oder 1 m usw Zusätzlich wird die Konstruktionswasserlinie CWL eingezeichnet Es wird jeweils nur die Backbordhälfte Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 7/77

9 dieser Kurven in den Linienriss eingezeichnet Abbildung 4: Linienriss 15 Völligkeitsgrade Unter dem Völligkeitsgrad oder der Völligkeit versteht man im Schiffbau das Verhältnis einer beliebig geformten Fläche zur Fläche des umschreibenden Rechtecks, eines beliebig geformten Körpers zum Volumen des umschreibenden Quaders Die Völligkeitsgrade charakterisieren die Schiffsform Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 8/77

10 Definition Bezeichnung Erläuterung Völligkeitsgrad der Wasserlinienfläche C WP = A W L B Verhältnis der auf Mallkante bezogenen Wasserlinienfläche zum umschreibenden Rechteck C M = A M B T Völligkeitsgrad der eingetauchten Hauptspantfläche Verhältnis der auf Mallkante bezogenen eingetauchten Hauptspantfläche zu dem Rechteck aus Breite und Tiefgang C B = V L B T Blockkoeffizient Verhältnis des Volumens des Unterwasserschiffes zum umschriebenen Quader C P = V A M L Zylinderkoeffizient oder Schärfegrad Verhältnis des Volumens des Unterwasserschiffes zum Volumen des aus Hauptspantfläche und Länge gebildeten Körpers 16 Flächenträgheitsmomente Im Schiffbau gibt es für die Flächenträgheitsmomente der Wasserlinienfläche verschiedene übliche Bezeichnungen So wird das Flächenträgheitsmoment um die x-achse auch Breitenträgheitsmoment genannt, übliche Bezeichnungen sind: I xs = I W L = I T Das Flächenträgheitsmoment um die y-achse wird auch Längenträgheitsmoment genannt und hat die Bezeichnungen: I ys = I W LL = I L Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 9/77

11 2 Gesetz des Archimedes Diese Dokumentation wurde erstellt aufgrund der Vorlage von Prof Kloppenburg, ehem Inst f Schiffbau 21 Druckverteilung im Wasser Neben dem bereits in Kapitel 1 erwähnten schiffsfesten Koordinatensystem wird ein ortsfestes Koordinatensystem eingeführt Das globale Koordinatensystem ξ, η, ζ (xi, eta, zeta) orientiert sich an der Wasseroberfläche Die ξ, η-ebene ist die Wasseroberfläche oder eine dazu parallele Ebene, ζ weist senkrecht nach unten (zum Erdmittelpunkt) Das ruhende Wasser besitzt die Dichte ρ und damit das spezifische Gewicht (ρg) Das spezifische Gewicht gibt den Quotienten aus Gewichtskraft (gravity, Abkürzung G) und Volumen an: G V = m g = ρg V Die Flüssigkeitssäule hat den Querschnitt A und die Höhe ζ Dann existieren an der Wassersäule folgende Vertikalkräfte (Kräfte, die nach oben zeigen, werden positiv gezählt), siehe Abbildung 5 Luftdruck p B η ξ ζ Globales Koordinatensystem ζ A Wasserdruck p Abbildung 5: Absoluter Wasserdruck F 0 = p 0 A (Druckkraft an der Oberseite) (21) F G = G = (ρg) V = (ρg)a ζ (Gewicht) (22) F S = p A (Druckkraft an der Unterseite) (23) Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 10/77

12 Das statische Gleichgewicht liefert: F = p0 A (ρg)a ζ + p A = 0 (24) Damit erhält man in der Tiefe ζ einen Überdruck von: (p p 0 ) = (ρg) ζ (25) Der Überdruck ist die Differenz zwischen dem Umgebungsdruck p 0 und dem Druck p in der Tiefe ζ 22 Schwimmender Körper Es gibt zwei Schwimmzustände für Schwimmkörper: voll getaucht und teilweise getaucht Ein voll getauchter Schwimmkörper befindet sich in nur einem Medium, wie zb ein U- Boot ganz unter Wasser, ein teilweise getauchter Schwimmkörper befindet sich in zwei Medien, wie zb ein konventionelles Frachtschiff in Luft und Wasser Daraus ergeben sich für das Schwimmverhalten, zb die Schwimmstabilität, unterschiedliche Zusammenhänge Bei einer Krängung eines Überwasserschwimmkörpers verändert sich die Form des eingetauchten Volumens, entsprechend muss sich auch die Lage des Auftriebsschwerpunktes ändern Wird ein Unterwasserschwimmkörper gekrängt, so ändert sich die Lage des Auftriebsschwerpunktes nicht, da sich die Wasser verdrängende Form nicht ändert Im Auftriebsschwerpunkt greift die Auftriebskraft F B an Es existiert ein schwimmender/teilweise eingetauchter Körper mit einer Unterwasserform S(ξ,η) siehe Abbildung 6 p B da Körper η ξ G ξ B da dv G B W F B ξ S(ξ,η) ζ pda Abbildung 6: Auftrieb Denkt man sich eine Säule mit dem Querschnitt da aus dem Körper herausgeschnitten, wirken an der Säule folgende Vertikalkräfte, wobei die Kräfte, die nach oben zeigen, Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 11/77

13 wieder positiv gezählt werden: df B = (p p B ) da = (ρg)ζ da = (ρg) dv (26) Momente von df B um die ξ und η Achse: dm Bξ = ηdf B = (ρg)ηζda = (ρg)ηdv, dm Bη = ξdf B = (ρg)ξζda = (ρg)ξdv (27) Hier bedeutet dv den eingetauchten/schraffierten Volumenanteil Für den Gesamtauftrieb gilt dann: F B = df B = (ρg) ζda = (ρg)v ; ζ > 0 (28) S S F B ist die Gesamtauftriebskraft S ist der eingetauchte, benetzte Oberflächenanteil des Körpers V ist das eingetauchte Körpervolumen, dh seine Verdrängung B(ξ B ; η B ; ζ B ) ist der Auftriebsschwerpunkt, dh der Volumenschwerpunkt der verdrängten Flüssigkeit Momente des Gesamtauftriebs F B um die ξ bzw η Achse: M Bξ = dm Bξ = (ρg) ηζda = (ρg) ηdv = (ρg)m V ξ = (ρg)η B V, S S S M Bη = dm Bη = (ρg) ξζda = (ρg) ξdv = (ρg)m V η = (ρg)ξ B V (29) S S M Bξ bzw M Bη nennt man Auftriebsmoment, bei M V ξ bzw M V η spricht man vom Volumenmoment S Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtkörper: Drei Gleichgewichtsbedingungen definieren die hydrostatische Schwimmlage eines teilgetauchten Körpers: Eine translatorische (Kräftegleichgewicht in ζ-richtung) und zwei rotatorische (Momentengleichgewicht um die ξ-achse und um die η-achse) Gleichgewichtsbedingungen Kräftegleichgewicht: Daraus folgt das Gesetz des Archimedes: G + F B = G + (ρg)v = 0 G = g = (ρg)v (210) Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 12/77

14 In Worten: Das Gewicht eines Schwimmkörpers ist gerade so groß wie das Gewicht des von ihm verdrängten Wassers Anders: Die Auftriebskraft eines schwimmenden Körpers ist gleich der Gewichtskraft des verdrängten Flüssigkeitsvolumens G ist die Gewichtskraft - kurz das Gewicht - des Schwimmkörpers, = ρv ist sein Deplacement (Masse; Einheit in t), V ist das eingetauchte Volumen (wird im Schiffbau auch mit dem Symbol gekennzeichnet) Momentengleichgewicht: G(ξ G ; η G ; ζ G ) ist der Gewichtsschwerpunkt Moment um die ξ Achse: G η G + M Bξ = G η G + (ρg)η B V = 0 Daraus folgt: Moment um die η Achse: η G = η B (211) G ξ G + M Bη = G ξ G + (ρg)ξ B V = 0 Daraus folgt: ξ G = ξ B (212) In der Gleichgewichtslage liegen Gewichtsschwerpunkt G und Auftriebsschwerpunkt B auf einer gemeinsamen vertikalen Wirkungslinie Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 13/77

15 Beispiele: Beispiel 1: Ein Holzfloß mit dem Volumen V F l = 0,8m 3 und der Dichte von Holz ρ H = 0,7 t m 3 schwimmt in Süßwasser (engl freshwater; ρ F W = 1 t ); g = 9,81 m = 9,81 N m 3 s 2 kg = 9,81 kn t Bei welcher Beladung F geht das Floß unter? Man betrachtet das Kräftegleichgewicht F B G F = 0 kurz bevor das Floß untergeht, also wenn es vollständig getaucht ist; das eingetauchte Volumen entspricht dann dem Gesamtvolumen des Floßes Daraus folgt: F = F B G = (ρ F W ρ H )g V F l = (1,0 0,7) t m 3 9,81kN t 0,8m 3 = 2,35kN Beispiel 2: Ein Ponton (L = 7m; B = 2m; = 6t) schwimmt in Seewasser (ρ SW = 1,03t/m 3 ) a) Welcher Tiefgang stellt sich ein? b) Welche Masse m muss zu-/abgeladen werden, damit eine Tiefgangszu-/abnahme von δt = 0,15m erreicht wird? Zu a): Mit = ρ SW V = ρ SW L B T findet man: Zu b): T = ρ SW L B = 6t 1,03 t 7m 2m = 0,416m m 3 m = ρ SW L B δt = 1,03 t 7m 2m 0,15m = 2,16t m3 Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 14/77

16 3 Kleine Änderungen der Schwimmlage Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Betrachtung der Kräfte und Momente an einem beliebig geformten Körper, wenn dieser kleine Änderungen seiner Schwimmlage erfährt Hier wird also die Theorie hergeleitet, die dann im Kapitel Kleine Schwimmlageänderungen intakter Schiffe auf Schiffe angewendet wird Wichtig ist, dass die Formeln dieser beiden Kapitel nur für kleine Neigungen gelten Wie in der Einführung bereits benutzt, ist bei der Betrachtung schwimmender Körper im allgemeinen eine Unterscheidung zwischen einem globalen/ortsfesten (ξ; η; ζ) und einem lokalem/körperfesten (x; y; z) Koordinatensystem nötig oder nützlich Die einschränkende Aussage hier, dass nämlich nur kleine Änderungen der Schwimmlage betrachtet werden sollen, ist dagegen so gemeint, dass diese Unterscheidung zwischen den beiden Koordinatensystemen nicht erforderlich ist Der Unterschied beider Systeme sei also klein und vernachlässigbar Deshalb wird im Folgenden immer nur vom globalen Koordinatensystem gesprochen werden Die ξ; η Ebene sei wieder horizontal, also parallel zur Wasseroberfläche, die ihrerseits als unveränderlich angesehen wird Dagegen kann der Koordinatenursprung beliebig gewählt werden Nach der Wahl bleibt das Koordinatensystem (ξ; η; ζ) fest Veränderungen der Schwimmlage werden als Veränderungen im gewählten Koordinatensystem angegeben, s Abb 7 Ausgehend von einer statischen Gleichgewichtslage, ΣF = 0; ΣM = 0, sollen kleine Veränderungen / Abweichungen von einer erwarteten/gewollten Schwimmlage betrachtet werden Der Schwimmkörper erfahre kleine Verschiebungen (Translationen) und Verdrehungen (Rotationen) Er besitzt sechs Freiheitsgrade, drei translatorische und drei rotatorische Verschiebungen in ξ und η Richtung (also Bewegungen parallel zur Wasseroberfläche), sowie Drehung um die ζ Achse bewirken keine Veränderung des eingetauchten Volumens/ Auftriebs, dadurch ergeben sich keine zusätzlichen Kraft- bzw Momentenwirkungen Bezüglich dieser drei Freiheitsgrade befindet sich der Körper im indifferenten Gleichgewicht 31 Beliebige, kleine Änderung der Schwimmlage Eine beliebige, kleine Veränderung der Lage des Schwimmkörpers enthält ein δt als Verschiebung in ζ Richtung und Drehungen δϕ um die ξ Achse und δψ um die η Achse Jede dieser anteiligen Lageänderungen des Schwimmkörpers liefert eine Veränderung des eingetauchten Volumens um δv und führt dadurch zu Änderungen des Auftriebs δf B und der Auftriebsmomente δm Bξ und δm Bη Es werden nun also die Änderungen des Auftriebs und der Auftriebsmomente für die drei Änderungen der Schwimmlage näher betrachtet: 1 Tiefertauchung um δt (translatorische Bewegung in Richtung der ζ-achse), 2 Verdrehung um δϕ (rotatorische Bewegung um die ξ-achse), 3 Verdrehung um δψ (rotatorische Bewegung um die η-achse) Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 15/77

17 32 Tiefertauchung um δt δt Aw ζ Schwimmwasserlinie ursprglwl da ξ η Körper Abbildung 7: Tiefertauchung um δt Vergrößerung des Tiefgangs T um δt liefert eine Veränderung des Volumens um δv, siehe Abbildung 7: δv = δt da = δt A w da = δt A w A w (31) mit A w als Fläche der Schwimmwasserlinie (WL-Fläche) Auftriebsänderung: Mit dem Gesetz des Archimedes findet man den Differenzenquotienten δf B δt F B = (ρg)v (32) deltaf B = (ρg)δv (33) = (ρg)δv δt = (ρg)a w (34) Beim Grenzübergang δt 0 wird daraus der Differentialquotient: F B T = (ρg)a w (35) δf B sei positiv bei einer Tiefgangszunahme, dann ist δf B nach oben gerichtet Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 16/77

18 Änderung des Momentes M Bη des Auftriebs F B (Auftriebsmoment um die η-achse): δm Bη = ξδf B = ξ(ρg)δv = (ρg)δt ξ da A w (36) Der Schwerpunkt der WL-Fläche habe die Koordinaten F (ξ w ; η w ), berechnet aus A w ξ w = ξ da; A w A w η w = η da A w (37) Damit wird und beim Grenzübergang δt 0 : δm Bη δt M Bη T = (ρg) ξ w A w, (38) = (ρg) ξ w A w (39) Damit wird Änderung des Auftriebsmomentes M Bξ ( um die ξ-achse): δm Bξ = ηδf B = η(ρg)δv = (ρg)δt η da, A w δm Bξ δt und beim Grenzübergang δt 0 : = (ρg) η w A w, M Bξ T = (ρg) η w A w Zusammenstellung : Aufgrund einer Tiefertauchung T ergibt sich: F B T = (ρg)a w; M Bη T = (ρg) ξ w A w ; M Bξ T = (ρg) η w A w 33 Verdrehung um δϕ Rechts-(Links-)Drehung des Körpers um die negative (positive) ξ Achse um δϕ (Eine Verdrehung um die horizontale ξ Achsen liefert zunächst eine Horizontalverschiebung des Körpers um ζdϕ, womit keine Änderung des eingetauchten Volumens verbunden ist Allerdings ist als zusätzlicher Effekt mit der Verdrehung auch eine parallele Tiefertauchung um ζ(dϕ) 2 verbunden Letztere ist jedoch von höherer Ordnung klein und damit vernachlässigbar Gleiches gilt auch für eine Verdrehung um die η Achse) Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 17/77

19 ζ δϕ WL ursprgl WL da h= ηδϕ ζ δϕ r r B B δη Β ξ η Körper ξ ϕ η Körper Abbildung 8: Verdrehung um δϕ (links) und Auswanderung des Auftriebsschwerpunktes (rechts) Verdrehung um δϕ liefert, siehe Abbildung 8 (links): δv = h da = δϕ A w ηda = δϕ η w A w A w Auftriebsänderung: bzw δf B δϕ = (ρg)δv δϕ = (ρg) η w A w F B ϕ = (ρg) η w A w Änderung des Auftriebsmomentes M Bη : δm Bη = ξδf B = ξ(ρg)δv = (ρg)δϕ ξ η da A w bzw I ξη = A w ξ η da δm Bη δϕ M Bη ϕ = (ρg)j ξη = (ρg)j ξη Zentrifugalmoment der WL-Fläche, bezogen auf die ξ und η Achse Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 18/77

20 Änderung des Auftriebsmomentes M Bξ : Moment des eintauchenden Volumens δv : δm Bξ1 = ηδf B = η(ρg)δv = (ρg)δϕ η 2 da A w bzw I ξ = A w η 2 da δm Bξ1 δϕ = (ρg)i ξ M Bξ1 ϕ = (ρg)i ξ Trägheitsmoment der WL-Fläche bezogen auf die ξ Achse Moment durch Änderung der Lage des Auftriebsschwerpunktes B, s Abb 8 (rechts), (Änderung des Momentes M Bξ der Gesamtverdrängung V ) : ζ Β δη B ξ ϕ r r δϕ η B =rcosϕ r δϕ ζ B =rsinϕ δηb ϕ B η Abbildung 9: Änderung δη B bei Verdrehung um δϕ Der Auftriebsschwerpunkt habe die Koordinaten B(ξ B ; η B ; ζ B ) Durch Drehung um δϕ wandert er nach B, r bleibt erhalten, ϕ ändert sich um ( δϕ), siehe Abbildung 9 δη B = dη B dϕ η B = r cos ϕ; ζ B = r sin ϕ cos ϕ) ( δϕ) = d(r δϕ = r sin ϕ δϕ = ζ B δϕ; dϕ dη B dϕ = ζ B; dη B dt = dη B dψ = 0 Bei diesem Anteil der Änderung des Auftriebsmomentes ist die Gesamtverdrängung beteiligt! δm Bξ2 = δη B (ρg)v = (ρg)δϕ ζ B V Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 19/77

21 bzw δm Bξ2 δϕ M Bξ2 ϕ = (ρg)ζ BV = (ρg)ζ BV Zusammenstellung : Aufgrund einer Verdrehung δϕ um die negative ξ Achse ergibt sich: F B ϕ = (ρg)η wa w ; M Bη ϕ = (ρg)i ξη; M Bξ ϕ = (ρg)(i ξ + ζ B V ) 34 Verdrehung um δψ Rechtsdrehung des Körpers um die positive η Achse um δψ Verdrehung um δψ liefert, s Abb 10 (links): η ζ δψ ξ da WL ursprgl WL Körper h= ξδψ ζ η δψ ψ r r Β ξ B=rcosψ δξ B r δψ ζ B =rsinψ B ψ B ξ Abbildung 10: Verdrehung um δψ δv = h da = δψ A w ξ da = δψ ξ w A w A w Auftriebsänderung: δf B δψ = (ρg)δv δψ = (ρg) ξ w A w bzw F B ψ = (ρg)ξ w A w Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 20/77

22 Änderung des Auftriebsmomentes M Bη : Moment des eintauchenden Volumens: δm Bη1 = ξδf B = ξ(ρg)δv = (ρg)δψ ξ 2 da A w bzw I η = A w ξ 2 da δm Bη1 δψ = (ρg)i η M Bη1 ψ = (ρg)i η Trägheitsmoment der WL-Fläche bezogen auf die η Achse Moment durch Änderung der Lage des Auftriebsschwerpunktes B Durch Drehung um δψ wandert der Auftriebsschwerpunkt nach B, r bleibt erhalten, ψ ändert sich um δψ, s Abb 10 (rechts) ξ B = r cos ψ; ζ B = r sin ψ δξ B = dξ B dψ ( δψ) = r sin ψ δψ = ζ B δψ dξ B dψ = ζ B; dξ B dt = dξ B dψ = 0 δm Bη2 = δξ B (ρg)v = (ρg)δψ ζ B V bzw δm Bη2 δψ M Bη2 ψ = (ρg)ζ BV = (ρg)ζ BV Änderung des Auftriebsmomentes M Bξ: δm Bξ = ηδf B = η(ρg)δv = (ρg)δψ ξ η da A w bzw δm Bξ δψ M Bξ ψ = (ρg)i ξη = (ρg)i ξη Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 21/77

23 Zusammenstellung : Aufgrund einer Verdrehung δψ um die positive η Achse ergibt sich: F B ψ = (ρg)ξ w A w ; M Bη ψ = (ρg)(i η + ζ B V ); M Bξ ψ = (ρg)i ξη Gesamtänderung df B (totales Differential) des Auftriebs aufgrund von dt ; dψ; dϕ : df B = F B T dt + F B ψ dψ + F B ϕ dϕ = (ρg)[a w dt + ξ w A w dψ + η w A w dϕ] (310) Gesamtänderung dm Bη des Auftriebsmomentes: dm Bη = M Bη T dt + (M Bη1 + M Bη2 ) dψ + M Bη ψ ϕ dϕ = (ρg)[ξ w A w dt + (I η + ζ B V )dψ + I ξη dϕ] (311) Gesamtänderung dm Bξ des Auftriebsmomentes: dm Bξ = M Bξ T dt + M Bξ ψ dψ + (M Bξ1 + M Bξ2 ) dϕ ϕ = (ρg)[η w A w dt + I ξη dψ + (I ξ + ζ B V )dϕ] (312) Die neun Ableitungen von F B ; M Bη ; M Bξ nach T ; ψ; ϕ lassen sich in folgender Kurzschreibweise zusammenfassen: (F B ; M Bη ; M Bξ ) (T ; ψ; ϕ) A = F B T M Bη T M Bξ T F B ψ M Bη ψ M Bξ ψ F B ϕ M Bη ϕ M Bξ ϕ = A A w ξ w A w η w A w = (ρg) ξ w A w (I η + ζ B V ) I ξη (313) η w A w I ξη (I ξ + ζ B V ) Die Matrix A der Ableitungen ist quadratisch und symmetrisch Die drei Gleichungen 310, 311, 312 zur Berechnung der Änderungen von Auftrieb und Auftriebsmomenten lassen sich damit in folgender Kurzschreibweise zusammenfassen: df B dm Bη dm Bξ = A dt dψ dϕ (314) Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 22/77

24 35 Schwimmkörper unter äußeren Einwirkungen Bisher wurde statisches Gleichgewicht angenommen, F = 0; M = 0 Jetzt soll der Fall behandelt werden, dass sich endliche Resultierende ergeben, dh von außen wird auf den Körper eingewirkt Resultierende Vertikalkraft: bzw F ζ = F B W δf ζ = δf B δw Da sich durch Änderung der Schwimmlage das Gewicht des Schwimmkörpers nicht ändert (G = konst), verschwinden auch alle Ableitungen G T = G ψ = G ϕ 0 und es kann δg 0 gesetzt werden und somit: δf ζ = δf B Die Definition von F ζ ist: Wenn eine Tiefertauchung δt eintritt, ist F B > G F ζ > 0 Damit weist F ζ positiv nach oben, was jedoch auch bedeutet, dass die äußere Einwirkung den Schwimmkörper nach unten drückt Resultierende Momente : η Achse: bzw ξ Achse: bzw M η = M Bη ξ G G δm η = δm Bη δξ G G M ξ = M Bξ η G G δm ξ = δm Bξ δη G G Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 23/77

25 Änderung der Schwerpunktskoordinaten : ζ G δη G r δϕ r ϕ G ξ ϕ δϕ r η G = rcosϕ ζ G =rsinϕ δηg η Abbildung 11: Änderung δη G bei Verdrehung um δϕ Der Gewichtsschwerpunkt habe die Koordinaten G(ξ G ; η G ; ζ G ) Drehung um δϕ um die negative ξ Achse, siehe Abbildung 11: η G = r cos ϕ; ζ G = r sin ϕ; δη G = dη G dϕ ( δϕ) = r sin ϕ δϕ = ζ G δϕ Bei einer Verschiebung um δt ändert sich η G nicht, auch nicht durch Verdrehung um δψ Zusammengefasst: dη G dϕ = ζ dη G G; dt = dη G dψ = 0 Drehung um δψ um die positive η Achse: ξ G = r cos ψ; ζ G = r sin ψ δξ G = dξ G dψ ( δψ) = r sin ψ δψ = ζ G δψ Bei einer Verschiebung um δt ändert sich ξ G nicht, auch nicht durch Verdrehung um δϕ Zusammengefasst: dξ G dψ = ζ G; dξ G dt = dξ G dϕ = 0 Die Gesamtänderungen von F ζ ; M η ; M ξ (totales Differential) aufgrund von dt ; dψ; dϕ: df ζ = df B = F ζ T dt + F ζ ψ dψ + F ζ ϕ dϕ dmη = dm Bη Gdξ G = (ρg)[a w dt + ξ w A w dψ + η w A w dϕ] (315) = M η T dt + M η ψ dψ + M η ϕ dϕ = (ρg)[ξ w A w dt + (I η + ζ B V )dψ + I ξη dϕ] Gζ G dψ (316) Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 24/77

26 dm ξ = dm Bξ Gdη G = M ξ T dt + M ξ ψ dψ + M ξ ϕ dϕ = (ρg)[η w A w dt + I ξη dψ + (I ξ + ζ B V )dϕ] Gζ G dϕ (317) Hier wurden df B ; dm Bη und dm Bξ von vorne übernommen, s Gl (310); (311) und (312) Die neun Ableitungen von F ζ ; M η ; M ξ nach T ; ψ; ϕ lassen sich in folgender Kurzschreibweise zusammenfassen: (F ζ ; M η ; M ξ ) (T ; ψ; ϕ) S = F ζ T M η T M ξ T M ζ ψ M η ψ M ξ ψ F ζ ϕ M η ϕ M ξ ϕ = S (318) A w ξ w A w η w A w ξ w A w (I η + ζ B V ) I ξη = (ρg) Gζ G /(ρg) η w A w I ξη (I ξ + ζ B V ) Gζ G /(ρg) Die Matrix S der Ableitungen ist quadratisch und symmetrisch, dh: S = S S ist die transponierte Matrix zu S Für die Elemente der Matrix S gilt deshalb: a ik = a ki Hier bedeutet i den Zeilenzähler und k den Spaltenzähler Für Gleichgewicht der Vertikalkräfte gilt: G = (ρg)v = F B (319) Dann wird aus der Matrix S: (ρg)a w (ρg)ξ w A w (ρg)η w A w S = (ρg)ξ w A w G(I η /V + ζ B ζ G ) (ρg)i ξη (320) (ρg)η w A w (ρg)i ξη G(I ξ /V + ζ B ζ G ) Das Gleichungssystem 315; 316; 317 lässt sich analog zu Gl314 ebenfalls in kurzer Matrizenschreibweise darstellen: df ζ dm η dm ξ = S dt dψ (321) dϕ Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 25/77

27 Zu gegebenen dt ; dψ; dϕ lassen sich hiermit direkt die aus Gewicht G und Auftrieb F B resultierenden Kräfte und Momente bestimmen, indem die Matrix S mit dem Vektor dt dψ multipliziert wird Sind jedoch resultierende Kräfte oder Momente gegeben, dϕ ist die Schwimmlagenänderung durch Lösung des resultierenden Gleichungssystems zu ermitteln Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 26/77

28 4 Stabilität von Schwimmlagen Stabilität ist die Fähigkeit eines Schwimmkörpers, sich aus einer geneigten Lage (Krängung) wieder selbstständig aufzurichten Allgemein wird die Stabilität von folgenden Faktoren beeinflusst: die Form des Unterwasserschiffes, zb völlige oder weniger völlige Hauptspantform, die Verhältniswerte der Hauptabmessungen, zb B/T, T/D, vom Freibord; bei geringem Freibord taucht Seite Deck zu früh ein, die Lage des Gewichtsschwerpunktes; ein tiefliegender Gewichtsschwerpunkt führt zu starken aufrichtenden Momenten (Schiff ist steif ), ein hochliegender Gewichtsschwerpunkt bewirkt nur ein geringes aufrichtendes Moment (Schiff ist rank), äußere Einflussgrößen wie Winddruck, überkommende Wassermassen bei Seegang Der Schwimmkörper befinde sich in der Gleichgewichtslage: F ζ = M η = M ξ 0 Die Schwimmlage ist stabil, wenn kleine Schwimmlageänderungen (δt ; δψ; δϕ) in beliebiger Kombination eine positive (zu leistende) Arbeit erfordern, dh der Schwimmkörper wird versuchen in die aufrechte Position zurückzukehren Wiederholung der Vorzeichendefinitionen, s Abb 12: δt δψ Tiefertauchung des Körpers: Kraft δf ζ nach oben Rechtsdrehung um η Achse: Moment δm η linksdrehend um η δϕ Linksdrehung um ξ Achse: Moment δm ξ rechtsdrehend um ξ Schwimmlageänderungen (δt ; δψ; δϕ) und daraus resultierende Kräfte/Momente sind entgegengesetzt gerichtet Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 27/77

29 ζ R ζ ζ δt δt δϕ R ξ δψ R η ξ ϕ η η ψ ξ Abbildung 12: Vorzeichendefinition Tiefertauchung δt erfordert die Arbeit, s Abb13: L 1 = T0 +δt T 0 F ζ dt = 1 2 δt δf ζ Hier ist T 0 der Gleichgewichtstiefgang Treten außerdem Änderungen (δψ; δϕ) auf, so ist die Gesamtarbeit: L = 1 2 (δt δf ζ + δψδm η + δϕδm ξ ) In Matrizenschreibweise: (siehe Kapitel Kleine Änderung der Schwimmlage ) δf ζ 2L = (δt δψ δϕ) δm η δm ξ δt 2L = (δt δψ δϕ) S δψ δϕ Die Schwimmlage ist dann und nur dann stabil, wenn 2L für beliebige Vektoren (δt ; δψ; δϕ) (0; 0; 0); positiv ist: dh wird S von rechts mit einem Vektor (0; 0; 0) und von links mit demselben Vektor multipliziert, muss sich eine positive Zahl ergeben S ist positiv definit Eine Dreiecksmatrix mit nur positiven Elementen in der Hauptdiagonalen ist positiv definit Deshalb muss S in eine Dreiecksmatrix umgeformt werden a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33 E 1 A B 0 E 2 C 0 0 E 3 Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 28/77

30 R ζ T 0 δt L 1 δr ζ T Abbildung 13: Arbeit bei Tiefertauchung δt 1Index i =Zeile, 2Index k =Spalte Da die Matrix S symmetrisch ist, sind die Elemente a ik = a ki 1) 2) 3) a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33 (a 12 /a 11 ) (a 13 /a 11 ) (2 1) (3 1) Damit sind aus der zweiten und dritten Zeile die jeweils ersten Elemente a 12 ; a 13 entfernt und man erhält: ) 1) 2) 3) a 11 a 12 a 13 ( 0 (a 22 a 2 12 /a 11) (a 23 a 12 a 13 /a 11 ) a23 a 12 a 13 /a 11 0 (a 23 a 12 a 13 /a 11 ) (a 33 a 2 13 /a a 22 a ) /a 11 Die Dreiecksmatrix wird schließlich zu: a 11 a 12 a 13 0 (a 22 a 2 12 /a 11) (a 23 a 12 a 13 /a 11 ) 0 0 (a 33 a 2 13 /a 11) ( (a23 a 12 a 13 /a 11 ) 2 a 22 a 2 12 /a 11 ) (3 2) Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 29/77

31 Damit werden die Elemente der Hauptdiagonalen der Dreiecksmatrix und nach dem Ersetzen der a ik aus der Matrix S zu: E 1 = a 11 = (ρg)a w E 2 = a 22 a 2 12/a 11 = (ρg)(i η + ζ B V ) Gζ G (ρg)ξ 2 wa w E 3 = a 33 a 2 13/a 11 1 E 2 (a 23 a 12 a 13 /a 11 ) 2 = (ρg)(i ξ + ζ B V ) Gζ G (ρg)η 2 wa w 1 E 2 ((ρg)i ξη (ρg)ξ w η w A w ) 2 E 2 ; E 3 lassen sich mit Hilfe des Steinerschen Satzes vereinfachen: I η ξ 2 wa w = I ηs I ηs ist das Flächenträgheitsmoment der WL-Fläche A w um eine zur η Achse parallele Achse durch den Schwerpunkt der WL-Fläche I ξ η 2 wa w = I ξs I ξs ist das Flächenträgheitsmoment der WL-Fläche A w um eine zur ξ Achse parallele Achse durch den Schwerpunkt der WL-Fläche I ξη ξ w η w A w = I ξηs I ξηs ist das Zentrifugalmoment der WL-Fläche A w bezüglich der Schwerpunktsachsen der WL-Fläche E 1 E 2 E 3 = (ρg)a w = (ρg)(i ηs + ζ B V ) Gζ G = (ρg)(i ξs + ζ B V ) Gζ G 1 E 2 (ρg) 2 I 2 ξηs Da G = (ρg)v > 0 und für die stabile Schwimmlage die E i > 0; (i = 1; 2; 3) sein müssen, wird durch G bzw (ρg)v geteilt Damit ist die Schwimmlage nur und nur dann stabil, wenn 1) A w > 0; 2) I ηs /V + ζ B ζ G > 0; ) 2 3) I ξs /V + ζ B ζ G /(IηS /V + ζ B ζ G ) > 0 ( IξηS V Ist eine der drei Größen gleich Null, die anderen jedoch größer Null, so kann die Schwimmlage stabil, instabil oder indifferent sein Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 30/77

32 So ist zb bei einem Fisch A w = 0 Er befindet sich in einem indifferenten Gleichgewicht Da G = (ρg)v, kann der Fisch ohne Arbeitsaufwand vertikal verschoben werden Ist nur eine der drei Größen kleiner Null, so ist die Schwimmlage instabil, dh die Schwimmlage verändert sich ohne Arbeitsaufwand in eine neue, stabile Gleichgewichtslage Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 31/77

33 5 Kleine Schwimmlagenänderungen intakter Schiffe Wir betrachten symmetrische, aufrecht schwimmende Schiffe, bei denen das Archimedische Gesetz G = (ρg)v = F B erfüllt ist Sie sollen kleine Änderungen (δt ; δϕ; δψ) der Schwimmlage erfahren Alle Formeln sind nur gültig für kleine Änderungen der Schwimmlage Praktisch bedeutet das, dass beispielsweise die Formänderung der Wasserline durch Ein- bzw Austauchen infolge von Trimm, Krängung oder Tiefertauchung verschwindend gering ist und im Wesentlichen der Ausgangsform entspricht Absolute Zahlenwerte können für moderne Schiffslinien nicht angegeben werden Beim Schiff nennt man die Änderung um δt Tiefertauchung, die Änderung um δϕ Krängung und die Änderung um δψ Trimm Das schiffsfeste Koordinatensystem (x; y; z) und das an der Wasseroberfläche orientierte raumfeste Koordinatensystem (ξ; η; ζ) fallen ungefähr zusammen Somit können (M ξ ; M η ; F ζ ) durch (M x ; M y ; F z ) ersetzt werden Dabei ist: Schiffslängsrichtung x; nach Backbord y; nach oben z Die x,z Ebene ist die Mittschiffs- und Symmetrieebene; dafür gilt: y w = 0; I xy = 0, da das Flächendeviationsmoment I xy für symmetrische Körper gleich Null wird Da y w = 0 und I xy = 0, vereinfacht sich die Matrix der Auftriebs-/Momentenänderungen zu (siehe Kapitel Kleine Änderungen der Schwimmlage ): F z / T F z / ψ F z / ϕ M y / T M y / ψ M y / ϕ = S M x / T M x / ψ M x / ϕ A w x w A w 0 S = (ρg) x w A w G (ρg) (I y/v + z B z G ) G (ρg) (I x/v + z B z G ) Multipliziert man S mit der Spaltenmatrix (δt ; δψ; δϕ) ergibt sich: δf z δm y δm x = (ρg)a w (δt + x w δψ); = (ρg)x w A w δt + G(I y /V + z B z G )δψ; = G(I x /V + z B z G )δϕ Legt man den Koordinatenursprung in den Schwerpunkt der WL-Fläche so wird: x w = 0; I x I xs = I W L ; I y I ys = I W LL Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 32/77

34 Dann gilt: δf z = (ρg)a w δt ; δm y δm x = G(I W LL /V + z B z G )δψ; = G(I W L /V + z B z G )δϕ Danach bewirkt eine Vertikalkraft im WL-Schwerpunkt nur eine Änderung des Tiefgangs um (δt ) Trimm und Krängung bleiben unverändert Ein Moment um Queroder Längsachse (y, oder x Achse) ändert nur Trimm oder Krängung um (δψ) oder (δϕ) Der Tiefgang am WL-Schwerpunkt bleibt unverändert, da das Schiff um den WL- Schwerpunkt dreht 51 Krängung um δϕ : Durch die Krängung ändert sich die Form des eingetauchten Volumens des Schiffes; der Auftriebsschwerpunkt B wandert nach B (s Abb 10) Die neue Wirklinie der Auftriebskraft geht durch den Punkt B und schneidet die bisherige Wirklinie der Auftriebskraft im Punkt M, dem Metazentrum Der Begriff meta (griech: scheinbar) weist darauf hin, dass dieser Schnittpunkt kein wirkliches Zentrum ist, also nicht festliegt Die Bahn, auf der sich das Metazentrum bewegt, heißt Evolvente Bei Schiffsformen ist das Metazentrum aber für kleine Krängungswinkel bis etwa 10 ein fester Punkt Vor allem in älterer Literatur wird das Metazentrum als scheinbarer Drehpunkt oder Aufhängepunkt gedeutet Durch die Krängung erfolgt eine Verschiebung eines Keilvolumens von der austauchenden Seite zur eintauchenden Seite Die Keilvolumina setzen sich aus Volumenteilchen δv zusammen, die alle horizontal und vertikal verschoben werden; es entstehen so horizontale und vertikale Verschiebungsmomente Die Summe der Verschiebungsmomente der Teilvolumen entspricht dem Verschiebungsmoment der Gesamtverdrängung Mit der Gesamtverschiebung des Autriebsschwerpunktes (y B,z B ) gilt für die Verschiebungsmomente in y-richtung y B V und in z-richtung z B V (siehe Abbildung 14): Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 33/77

35 M δϕ δϕ W G B z K x h y B z B y B F B da Abbildung 14: Krängung um δϕ 1 Die Verschiebung in y-richtung: y B V = ydv = A w ydz da = A w yyδϕ da = δϕ A w y 2 da = δϕi T A w Daraus folgt: y B = I W L V δϕ In dem annäherungsweise rechtwinkligen Dreieck BB M sieht man, dass für kleine Winkel gilt: y B = sin(δϕ) δϕ BM Damit ist: BM = y B δϕ = I W L V 2 Die Verschiebung in z-richtung: In z-richtung wandert der Auftriebsschwerpunkt kaum aus, so dass z B z B ist Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 34/77

36 Metazentrum: Die z-koordinate von M ist: Beim Schiff bedeuten: z M = y B δϕ + z B I W L V + z B I xs V = I W L V = BM; z B = KB; z G = KG; z M = KM KM = BM + KB = I W L + KB Eine Krängung um δϕ ruft ein aufrichtendes Moment M A hervor: δr x = M A = F B h = G h Aus der Abbildung liest man ab: h = GM δϕ Daraus folgt: M A = G GM δϕ GM nennt man die (Breiten-)Metazentrische Höhe GM = KB+BM KG Wird allegemein vom Metazentrum oder der metazentrischen Höhe gesprochen, so ist in aller Regel das Breitenmetazentrum gemeint Für übliche Handelsschiffe ist GM wenige Dezimeter bis wenige Meter 52 Trimm um δψ : Hier bedeuten δm y = G( I W LL V + z B z G )δψ = GGM L δψ GM L = KB + BM L KG I ys V = I W LL V = BM L, M L das Längenmetazentrum und GM L die Längenmetazentrische Höhe Für übliche Handelsschiffe ist GM L von der Größe der Schiffslänge oder größer Bei kleinen Drehungen (δψ; δϕ) ist die Lage von M; M L etwa konstant, aber nicht gleich M und M L unterscheiden sich erheblich Als Abschätzung dient: BM LB 3 ; BM L L 3 B BM L BM ( ) L 2 B Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 35/77

37 53 Einheitstrimmmoment Das Einheitstrimmmoment E T ist dasjenige Trimmmoment, das eine gesamte Trimmänderung von t = 1m hervorruft Herleitung: t sei der Unterschied der Tiefgänge an vorderer und hinterer Ahming (Ahming: Tiefgangsmarken, die am Bug, am Heck und mittschiffs angebracht sind Die Tiefgangsangabe wird vom Kiel gerechnet), L A L pp sei der Abstand zwischen den Ahmingen, siehe Abbildung 15) t = T v T h = tan ψl A Für kleine Trimmänderungen gilt dann mit tan ψ ψ: δt = L A δψ ψ t L A Abbildung 15: Trimmänderung Das trimmende Moment errechnet sich dann δm y = G GM L δψ = G GM L δt L A Trimmende Momente δm y werden durch Längsverschiebung von Massen m i hervorgerufen: δm y = g i m i x i = g GM L δt L A Mit = ρv als Masse (Deplacement) des Schiffes wird das Trimmmoment zu: δm y g = i m i x i = GM L δt L A bzw das Einheitstrimmmoment E T (Trimmmoment für 1m Tiefgangsunterschied) wird zu: Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 36/77

38 E T = GM L L A = L A (KB + BM L KG) Da (KB KG) BM L ist, kann vereinfacht berechnet werden: E T L A BM L = L A IW LL V = ρi W LL L A Einheitskrängungsmoment: Analog zum Einheitstrimmmoment kann auch ein Einheitskrängungsmoment berechnet werden: E K = B (KB + BM KG) = B (KB + I W L V KG) B ist die Breite des Schiffes Das Einheitskrängungsmoment findet in der Praxis nahezu keine Verwendung 54 Stabilitätsbedingungen Stabilitätsbedingungen für die Schwimmlage eines intakten Schiffes: 1) A w > 0; 2) I W LL V + z B z G = BM L + KB KG = GM L > 0; ( ) 3) I W L IxyS 2 ( ) V + z B z G V / IW LL V + z B z G > 0 Für zur Mittschiffsebene symmetrische Schiffe wird J xys = 0, so dass sich die Stabilitätsbedingung 3) vereinfacht: 3) I W L V + z B z G = BM + KB KG = GM > 0 Falls M unterhalb von G liegt (negatives GM), ist das Schiff instabil, der Krängungswinkel vergrößert sich dann eventuell bis zum Kentern Falls G und M an derselben Stelle liegen, befindet sich das Schiff im indifferenten Gleichgewicht Damit sind Schiffe stabil, wenn A w, GM L und GM > 0 Da GM GM L, bleibt im Wesentlichen die Berechnung von GM zur Überprüfung der Stabilität Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 37/77

39 6 Pantokarenen und Stabilitätshebelarme Die Bedingung für kleine Neigungen ist nun nicht mehr erfüllt; die Formeln aus dem Kapitel Kleine Schwimmlageänderungen intakter Schiffe können nicht benutzt werden Die Änderungen der Schwimmlage sind also nun nicht mehr klein, dh das schiffsfeste (lokale) x; y; z Koordinatensytem und das globale ξ; η; ζ -Koordinatensystem fallen nicht mehr zusammen Der Koordinatenursprung ist für beide Systeme gleich, nämlich Kielpunkt K im Schnitt von Mittschiffs- und Hauptspantebene, siehe Abbildung 16 und Abbildung 17 WL ζ z B F B x ϕ ξ η Β η y Abbildung 16: Lokales und globales Koordinatensystem in der y; z Ebene ζ z WL y ψ ξ x η Abbildung 17: Lokales und globales Koordinatensystem in der x; z Ebene x; y; z Koordinatensystem x Längsachse, positiv nach vorn, Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 38/77

40 y Querachse,positiv nach Bb, z Hochachse, positiv nach oben ξ; η; ζ Koordinatensystem ξ; η Achsen, parallel zur Wasseroberfläche, ζ Achse, senkrecht nach oben 61 Pantokarenen Bei den Pantokarenen handelt es sich um das Lot vom Kielpunkt auf die Wirklinie der Auftriebskraft F B, sie werden im Allgemeinen mit w abgekürzt Diese Strecke w ändert sich mit der Krängung, dem Trimm und dem Tiefgang Für eine konstante Krängung ϕ kann dann die zugehörige Pantokarene bestimmt werden Die aus Auftrieb (ρg)v und Gewicht G resultierenden Kräfte und Momente sind (siehe auch Kapitel Kleine Schwimmlageänderungen intakter Schiffe ): die resultierende Vertikalkraft F ζ = (ρg)v G; das resultierende Moment um die Querachse (Trimmmoment) M η = (ρg)ξ B V ξ G G; das resultierende Moment um die Längsachse (krängendes Moment) M ξ = (ρg)η B V η G G Mit F B = (ρg)v = G folgt: F ζ = 0; M η = (ξ B ξ G )G; M ξ = (η B η G )G Hier wird η B = w bezeichnet w ist das Lot vom Kielpunkt K auf die Wirkungslinie von F B bei vorgegebener Neigung ϕ, aus Abbildung 18 liest man ab: w = y B cos ϕ + z B sin ϕ Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 39/77

41 WL ζ z η B =w y B B Κ y B cosϕ ϕ zb ϕ z B sinϕ η y Abbildung 18: Berechnung von w aus den lokalen Koordinaten von B Die Bestimmung der Pantokarene w ist eine geometrische Aufgabe, dh Berechnung von Volumen und Volumenschwerpunkten (y B ; z B ) Die Pantokarene ist vom Tiefgang bzw eingetauchten Volumen, dem Trimm bzw Gewichtsschwerpunkt in Schifflängsrichtung und der Krängung abhängig: w = f(t ; ψ; ϕ) = f(v,x G ; ϕ) Die Pantokarene für vorgegebene konstante Krängung ϕ hängt damit nur noch vom Tiefgang bzw eingetauchten Volumen und dem Trimm bzw Gewichtsschwerpunkt in Schifflängsrichtung ab: w = f(v ; x G ) mit ϕ = konst Berechnung der Pantokarenen: Die Berechnung der Pantokarenen erfolgt also über die Bestimmung des Verdrängungsschwerpunkts B(y B ; z B ) Dies geschieht zunächst im lokalen System, dann erfolgt mit w = y B cos ϕ + z B sin ϕ die Umrechnung über den Krängungswinkel ϕ ins globale System Trimmausgleich: Für alle Volumina V und Krängungswinkel ϕ wird der Trimmwinkel ψ = konst; in der Regel ψ = 0 angenommen Da aber im Allgemeinen die Längskoordinate des Auftriebsschwerpunktes ξ B vom verdrängten Volumen und vom Krängungswinkel abhängt ξ B = f(v,ϕ); wobei die Änderungen allerdings klein sind, bleibt ein kleines resultierendes Trimmmoment, da der Gewichtsschwerpunkt ja konstant bleibt für alle Änderungen der Schwimmlage (ξ G = konst) In der Regel wird diese Abhängigkeit des Auftriebsschwerpunktes vom Trimmwinkel jedoch vernachlässigt Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 40/77

42 Pantokarenen ohne Trimmausgleich: Rechnet man die Pantokarene ohne Trimmausgleich, tut man damit so, als verhielte sich ξ B wie ξ G Die Lage des Auftriebsschwerpunktes bleibt dann konstant Pantokarenen mit Trimmausgleich: Rechnet man mit Trimmausgleich, wird nur für ϕ = 0 der Trimmwinkel ψ = konst, in der Regel ψ = 0 angenommen Für ϕ > 0 wird das Trimmmoment durch einen veränderten Trimmwinkel ausgeglichen Pantokarenen mit Trimmausgleich fallen immer kleiner aus als ohne Der Unterschied ist dann besonders deutlich, wenn die Unterwasserform stark asymmetrisch zur Lage x w des Wasserlinienschwerpunktes ist Bei Symmetrie von Vor- und Hinterschiff ist immer M η 0, dann liegt für alle ϕ der Verdrängungsschwerpunkt B in der Symmetrie- /Hauptspantebene 62 Stabilitätshebelarme Eine Gleichgewichtslage mit der Krängung ϕ = ϕ EQ (EQ als Abkürzung für Equi Librium) ist dadurch gegeben, dass Auftrieb und Gewicht gleich groß sind und die jeweiligen Schwerpunkte erdfest übereinander liegen, siehe Abbildung 19 G G G G B B K F B K F B LC LC Abbildung 19: Gleichgewichtslage; links: y G = 0 rechts: y G 0 Bildet man nun das Moment um den Kielpunkt K, ergibt sich: MK = 0 = B(y B cos ϕ EQ + z B sin ϕ EQ ) G(y G cos ϕ EQ + z G sin ϕ EQ ) Daraus folgt die Gleichgewichtsbeziehung: y B cos ϕ EQ + z B sin ϕ EQ = y G cos ϕ EQ + z G sin ϕ EQ Für einen Winkel, in dem sich das Schiff nicht in einer Gleichgewichtslage befindet, gilt für den Stabilitätshebelarm h: h = y B cos ϕ + z B sin ϕ y }{{} G cos ϕ z G sin ϕ w=pantokarene Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 41/77

43 Liegt der Massenschwerpunkt auf Center Line, dh y G = 0, vereinfacht sich h zu: h = w z G sin ϕ = 0 Gleichgewichtslage h > 0 aufrichtender Hebel (stabil; rückdrehendes Moment) < 0 krängender Hebel (instabil; krängendes Moment) Ist h > 0, so nimmt der Schwimmkörper eine Schwimmlage mit kleinerer Krängung ϕ, für h < 0 mit größerer Krängung ϕ ein Eine stabile Gleichgewichtslage erfordert zusätzlich dh = dh aufrichtend + dh krängend dϕ EQ dϕ dϕ Trägt man die Hebel h über die Winkel ϕ auf, entsteht die sog Hebelarmkurve Bestimmt man bei ϕ = 0 die Steigung der Tangente an die Hebelarmkurve, ergibt sich daraus das Anfangsmetazentrum GM (siehe Abbildung 22) > 0 GM = dh dϕ = dw dϕ z G sin ϕ = dw dϕ dϕ z G cos ϕ GM = dw dϕ KG cos ϕ Der maximale Hebel gibt das maximal ertragbare Moment an 621 Schiffskörper unter der Wirkung eines krängenden Momentes M ξ und außermittiger Lage y G des Gewichtsschwerpunktes Die Koordinaten des Massenschwerpunktes sind G(x G ; y G ; z G = KG) Im globalen System wird aus η G = y G cos ϕ + KG sin ϕ Mit y G 0 wird eine außermittige Lage des Gewichtsschwerpunktes zugelassen, wie sie sich aus einer seitlichen Verschiebung einer Masse m ergibt Für die Gleichgewichtslage eines Schiffes, auf das zusätzlich ein äußeres krängendes Moment M ξ wirkt, gilt für das Momentengleichgewicht um K: MK = 0 = F B w G(KG sin ϕ + y G cos ϕ) M ξ 0 = w KG sin ϕ y G cos ϕ M ξ G w = KG sin ϕ + y G cos ϕ + M ξ G h aufr = h kr (61) Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 42/77

44 m WL R ξ ζ z G y G cosϕ y G KGsin ϕ Κ W ϕ B h w F B η y Abbildung 20: Schiffskörper unter der Wirkung eines krängenden Momentes M ξ außermittiger Lage y G des Gewichtsschwerpunktes und Damit wird in der Gleichgewichtslage der aufrichtende Hebel gleich dem krängenden Hebel Das Momentengleichgewicht kann um jeden beliebigen Punkt gebildet werden, wie bisher um den Kielpunkt K, so wird der aufrichtende Hebel (als derjenige Hebel, der zur aufrichtenden Kraft F B gehört) gleich der Pantokarene Bildet man das Momentengleichgewicht um den Punkt X, so ergibt sich der aufrichtende Hebel (Hebel zur Kraft F B ) zu w KG sin ϕ Im Grunde sind diese nur verschiedene Notationen Beispiel: Das Deplacement eines Schiffes beträgt in Seewasser (ρ SW = 1025kg/m 3 ) = 1025t Eine Ladung m = 102,5t werde parallel zum Doppelboden um y k = 5m seitlich verschoben, KG = 5m, die Pantokarenen seien bekannt Die Verdrängung beträgt V = /ρ = 1000m 3 Durch die Ladungsverschiebung krängt das Schiff, der Krängungswinkel der neuen Gleichgewichtslage wird nun gesucht Wird in einer Masse eine Teilmasse verschoben, so erfährt der Gesamtschwerpunkt eine gleichsinnige, parallel gerichtete Verschiebung, vergleiche Verschiebungssatz formuliert von Herner Die beiden Momente, gebildet aus Verschiebungsweg und Masse sind gleich groß: y G = y k m Daraus folgt: Die außermittige Lage des Gewichtsschwerpunktes beträgt nach der Verschiebung y G = (y k m)/ = 5 102,5/1025m = 0,5m Mit den gegebenen Pantokarenen können dann die Hebelarme h = w z G sin ϕ y G cos ϕ bestimmt werden: Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 43/77

45 ϕ w in [m] 1,0 2,0 2,95 3,82 4,40 h in [m] -0,36-0,18 0,02 0,28 0,24 Trägt man nun den Hebel h über den Winkel ϕ auf, so ergibt sich die Hebelarmkurve für ein Schiff mit außermittiger Lage des Gewichtsschwerpunktes Der Schnittpunkt bei h = 0 mit der ϕ-achse zeigt den Krängungswinkel der Gleichgewichtsschwimmlage mit ϕ EQ 29, also der Winkel, den das Schiff aufgrund der Ladung einnehmen wird, siehe Abbildung 21 h [m] 0,3 0,2 0,1 0-0,1-0,2-0, ö Abbildung 21: Hebelarmkurve Alternativ lässt sich die Hebelarmkurve des Schiffes ohne Ladeverschiebung mit h = w z G sin ϕ (y G = 0) berechnen (siehe Abbildung 22) Zusätzlich wird der Hebelarm der Ladeverschiebung y G cos ϕ als eigene Kurve über den Krängungswinkel ϕ aufgetragen: ϕ w in [m] 1,0 2,0 2,95 3,82 4,40 h in [m] 0,13 0,29 0,45 0,61 0,57 y G cos ϕ in [m] 0,49 0,47 0,43 0,38 0,32 So liefert der Schnittpunkt der beiden Kurven h(ϕ) und y G cos ϕ auch hier den Krängungswinkel der Gleichgewichtsschwimmlage mit ϕ EQ 29 Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 44/77

46 m h 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 y G cosϕ m y G cosϕ 29 o h 10 o 20 o 40 o 30 o 50 o 57,3 o GM ϕ Abbildung 22: Bestimmung des Krängungswinkels Beide Betrachtungen liefern als Gleichgewichtsschwimmlage denselben Krängungswinkel; im ersten Fall werden für das Schiff direkt die Hebelarme mit Ladeverschiebung berechnet, indem angenommen wird, der Gewichtsschwerpunkt des Schiffes habe sich verschoben Im zweiten Fall hingegen wird die Ladeverschiebung als ein krängendes Moment aufgefasst (siehe Kapitel Krängende Momente ) und mit der Hebelarmkurve des ungekrängten Schiffes aufgetragen Bei in aufrechter Schwimmlage symmetrischen Körpern ist die Mittschiffsebene (ξ,ζ Ebene) die Symmetrieebene M ξ = G h G y G cos ϕ Für die Änderung des krängenden Momentes gilt: dm ξ dϕ = G dh dϕ + G y G sin ϕ Für kleine Krängungen (ϕ 0) und verschwindendes y G wird daraus mit ξ = x : dm x dϕ = G dh dϕ ϕ=0 Für kleine Winkel war früher gefunden worden: δm x = G GM δϕ bzw für ϕ 0 : dm x dϕ = G dh ϕ=0 dϕ = G GM ϕ=0 Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 45/77

47 Dann wird dh dϕ = GM = tan α = GM ϕ=0 1 Die Fläche unter der Hebelarmkurve gibt die Arbeit an 1 im Bogenmaß entspricht einem Winkel von ϕ = 57,3 Zeichnet man bei ϕ = 0 die Tangente an die Hebelarmkurve, so läßt sich bei ϕ = 57,3 das GM der aufrechten Schwimmlage ablesen, siehe Abbildung 22 Betrachtet man die Hebelarmkurve mit der Ladungsverschiebung, erkennt man, dass die Steigung im Punkt 0 negativ ist, das Schiff hat also aufgrund der verschobenen Ladung ein negatives GM und seine Gleichgewichtslage nicht mehr bei ϕ = 0 sondern bei ϕ Pantokarenen und Hebelarme unvertrimmter Quader 631 Berechnung des Verdrängungsschwerpunkts und der Pantokarenen gekrängter Quader (Formschwerpunktskurve) Hier wird zunächst nun für unvertrimmte Quader gezeigt wie der Verdrängungsschwerpunkt bestimmt werden kann Daraus ergeben sich mit den Krängungswinkeln ϕ dann unmittelbar die Pantokarenen Die Bezeichnungen Verdrängungs- oder Auftriebs- oder Formschwerpunkt werden in gleicher Bedeutung benutzt und bezeichnen den Schwerpunkt des eingetauchten Volumens des Quaders bzw des Schwimmkörpers Übergeordnetes Kriterium ist, dass der Betrag des eingetauchten Volumens V 0 = LBT = konst (62) für alle Neigungen ϕ erhalten bleibt Es kommt nur zur Änderung der Form des eingetaucheten Volumens Implizit heißt das jedoch auch, dass das Volumen des Überwasserschiffes Vü = LBF = konst für alle Neigungen ϕ erhalten bleibt, beide Volumen sind einander komplementär Für das Gesamtvolumen V des Quaders gilt immer V = V 0 + Vü (63) Es wird nun zwischen zwei Fällen unterschieden: 1 Fall: Das Volumen das oberhalb der Wasseroberfäche liegt ist größer als das Volumen unterhalb der Wasseroberfläche, das bedeutet Freibord F ist größer als Tiefgang T 2 Fall: Das Volumen das oberhalb der Wasseroberfäche liegt ist kleiner als das Volumen unterhalb der Wasseroberfläche, das bedeutet Freibord F ist kleiner als Tiefgang T 1 Fall 2 Fall F/T > 1 : (Abb 23, links) Bereich I: 0 tan ϕ < T/(B/2) (Kimm taucht aus) Bereich II: T/(B/2) tan ϕ < H 2 /(2BT ) (Seite Deck taucht ein) Bereich III: H 2 /(2BT ) tan ϕ tan(90 o ) F/T < 1 : (Abb 23, rechts) Bereich 1: 0 tan ϕ < F/(B/2) (Seite Deck taucht ein) Bereich 2: F/(B/2) tan ϕ < H 2 /(2BF ) (Kimm taucht aus) Bereich 3: H 2 /(2BF ) tan ϕ tan(90 o ) Prof Dr-Ing Stefan Krüger wwwssitu-harburgde Seite: 46/77