Bernd Dreseler. Funktionentheorie I. Sommersemester Vorlesungsmitschrift von J.Breitenbach. Siegen 2002

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1 Bernd Dreseler Funktionentheorie I Sommersemester 1991 Vorlesungsmitschrift von J.Breitenbach Siegen 2002

2 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkung ii 0 Abbildungen f : U lc lc, (x, y) f(x, y) 2 1 Holomorphe Funktionen 10 2 Kurvenintegrale 18 3 Die Stammfunktion Stammfunktionen und der Cauchysche Integralsatz Folgerungen aus dem Cauchyschen Integralsatz Isolierte Singularitäten Nachtrag: Lokal konstante Funktionen und Zusammenhang Der globale Cauchysche Integralsatz 56 5 Anwendungen des Residuenkalküls Anwendung auf die Berechnung uneigentlicher Integrale Anwendung auf die Berechnung von Reihenwerten Funktionentheoretische Konsequenzen des Residuensatzes Umkehrfunktionen 90 i

3 Vorbemerkung Unter der Funktionentheorie versteht man die Analysis einer komplexen Veränderlichen. Der heutige Kanon einer einführenden Vorlesung (wie beispielsweise dieser) besteht aus Ergebnissen, die weitestgehend im Verlauf weniger Jahrzehnte des 19. Jahrunderts entstanden sind und geht vor allem auf die Arbeiten dreier Personen zurück: Augustin Louis Cauchy ( ) Georg Friedrich Bernhard Riemann ( ) Karl Wilhem Theodor Weierstraß ( ) Dass die Funktionentheorie allerdings zu dieser Zeit ein außerordentlich fruchtbares Forschungsgebiet war, zeigt allein schon, nach wie vielen und welchen Personen die Sätze benannt sind. Was den Reiz der Funktionentheorie ausmacht, ist neben ihren zahlreichen Verbindungen zu anderen mathematischen Disziplinen (Algebra, Zahlentheorie, Topologie, um nur einige zu nennen) auch die Eleganz ihrer Ergebnisse und Methoden. So ist eine Funktion, die in einer offenen Umgebung komplex differenzierbar ist, sofort beliebig oft komplex differenzierbar, ja sogar analytisch etwas, das in der reellen Analysis undenkbar ist. Unter den Methoden, die die Funktionentheorie bietet, sticht vor allem die Möglichkeit hervor, uneigentliche Integrale rationaler reeller Funktionen mit einem Umweg über lc zu berechnen. Der Inhalt der Vorlesung sei im Folgenden kurz angerissen: Das einleitende nullte Kapitel zeigt die Unterschiede zwischen reeller und komplexer Interpretation einer Funktion f : U lc lc auf. ii

4 INHALTSVERZEICHNIS 1 Kapitel 1 führt den Begriff der komplexen Differentiation und der Holomorphie ein. Dabei gehen wir eigentlich nur davon aus, dass ein Differentialquotient f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 auch über lc Sinn macht. Eine Funktion, für die in einer vollen Umgebung um z 0 dieser Differentialquotient existiert, nennen wir holomorph. Wie komplexe Differenzierbarkeit in einem Punkt oder eben Holomorphie reell durch die Komponentenfunktionen u + iv charakterisiert werden kann, ist Gegenstand dieses Kapitels. Kapitel 2 befasst sich mit Kurvenintegralen. Diese sind der zentrale Bestandteil von Cauchys Zugang zur Funktionentheorie und nehmen auch im Verlauf dieser Vorlesung einen breiten Raum ein. Ziel dieses Kapitels ist, die wichtigsten Rechenregeln über sie zu erarbeiten. Die wesentlichen Ergebnisse finden sich in Kapitel 3: der Cauchysche Integralsatz, der besagt, dass ein Kurvenintegral einer holomorphen Funktion nur von Anfangs- und Endpunkt des Integrationsweges abhängt, die lokale Darstellbarkeit einer holomorphen Funktion durch eine Potenzreihe (was Weierstraß Zugang zur Funktionentheorie war), die lokale Darstellbarkeit durch eine Laurentreihe n= a n (z z 0 ) n, das Verhalten in der Nähe von Nullstellen oder isolierten Singularitäten. Kapitel 4 widmet sich der Frage, wie die gewonnenen Ergebnisse sich übertragen lassen, wenn ein Integrationsweg mehrfach durchlaufen wird. Eine der wichtigen Folgerungen aus Kapitel 4 ist der Residuensatz, der sich als mächtiges Werkzeug bei der Berechnung von uneigentlichen Integralen oder Reihen herausstellt. Diese Berechnungen werden in Kapitel 5 näher untersucht. Zum Abschluss geht die Vorlesung auf Umkehrfunktionen ein und zeigt, mit welchen Schwierigkeiten dabei zu rechnen ist. Jens Breitenbach

5 Kapitel 0 Abbildungen f : U lc lc, (x, y) f(x, y) Dieses Kapitel dient der Vorbereitung auf einen der zentralen Begriffe der Funktionentheorie, der komplexen Differenzierbarkeit. Ziel dieser Vorbereitung ist es, einige Zusammenhänge aufzuzeigen zwischen Funktionen von IR 2 in sich auf der einen Seite und Funktionen von lc in sich andererseits. Rufen wir uns zunächst einige Ergebnisse der Analysis der Funktionen zweier reeller Veränderlicher in Erinnerung: Eine Funktion f : U lc lc ist im reellen Sinne erst einmal lediglich eine IR 2 wertige Funktion in zwei Veränderlichen: f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) =: Ref(x, y) + i Imf(x, y). Mit (x, y) = x 2 + y 2 und dist((x, y), (x, y )) = (x x, y y ) wird eine Metrik auf U erzeugt. (U, dist) ist damit ein metrischer Raum, der darüber hinaus vollständig ist, falls U in IR 2 abgeschlossen ist. Wir können also den aus Analysis I bis III bekannten Apparat von Beriffen anwenden, etwa Stetigkeit von f in (x 0, y 0 ) oder auf U, partielle Differenzierbarkeit von f in (x 0, y 0 ), (reelle!) totale Differenzierbarkeit in (x 0, y 0 ), ebenso den Begriff der stetigen Differenzierbarkeit, Analytizität von f, d. h. f 1 und f 2 sind in (x 0, y 0 ) durch ihre Taylorreihe darstellbar. Beispiel 0.1 2

6 KAPITEL 0. ABBILDUNGEN F : U lc lc, (X, Y ) F (X, Y ) 3 1. U = IR 2, f(x, y) = x y oder allgemein: f(x, y) = c n,m x n y m + c n,m 1 x n y m , c i,j IR; dies ist eine reellwertige Funktion. 2. f(z) = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n (Polynom über lc). Sind f, g Polynome über lc mit g(z) 0, kann man auch h(z) = f(z) betrachten; eine solche g(z) Funktion wird üblicherweise als gebrochen rationale Funktion bezeichnet. 3. Funktionen e z, sin z, cos z oder allgemein: analytische Funktionen, d. h. Funktionen, die durch eine Potenzreihe dargestellt werden: f(z) = a n (z z 0 ) n. n=0 Betrachten wir eine dieser Funktionen etwas näher, nämlich die Exponentialfunktion: Schreiben wir z = x + iy, gilt e x+iy = e x e iy. In y Richtung ist diese Funktion 2π periodisch; allerdings ist sie bijektiv von dem Streifen S = {(x, y) IR; 0 < y < 2π} = IR (0, 2π) aufs Bild lc \ IR 0 + y v 2π (u, v) = w (x, y) = z S u x Die Umkehrfunktion ist der Logarithmus, der wohldefiniert ist als Abbildung log : lc \ IR 0 + S. Die Umkehrbarkeit von Abbildungen und das Objekt der Riemannschen Fläche sind Gegenstand von Kapitel U = IR 2, f(x, y) = (x, y), oder in komplexer Schreibweise: z z

7 KAPITEL 0. ABBILDUNGEN F : U lc lc, (X, Y ) F (X, Y ) 4 Um den Graphen einer Funktion f : lc lc bildlich darzustellen, hat man anders als bei Funktionen von IR in sich ein prinzipielles Problem: der Graph ist eine dreidimensionale Fläche im vierdimensionalen Raum, was auf einem zweidimensionalen Blatt Papier nicht einfach zu zeichnen ist. Man zeichnet daher in der Regel Real- und Imaginärteil der Funktion separat. Nehmen wir als Beispiel die Funktion f(z) = z 2 oder in reeller Schreibweise f(x, y) = (x 2 y 2, 2xy). Es sind zwei Arten gebräuchlich, Real- und Imaginärteil zu zeichnen: zum einen als Fläche mittels diagonaler Perspektive, zum anderen als Draufsicht und Darstellung des Funktionsverlaufs durch Niveaulinien. Abbildung 1: Real- und Imaginärteil von w = z 2 in Flächendarstellung

8 KAPITEL 0. ABBILDUNGEN F : U lc lc, (X, Y ) F (X, Y ) 5 Abbildung 2: Real- und Imaginärteil von w = z 2 in Niveauliniendarstellung. Die Linien stehen für die Werte Rew = 0, Rew = ±1, Rew = ±2 und Imw = ±1, Imw = ±2 Rufen wir uns als nächstes einige Ergebnisse der Linearen Algebra in Erinnerung: A : IR 2 IR 2 sei eine lineare Abbildung mit Matrix ( ) a b c d. Spezielle Fälle sind Drehungen, ( ) cos t sin t A =, t [0, 2π), sin t cos t Streckungen, ( ) r 0 A =, r IR +, 0 r und Drehstreckungen ( ) a b A = = a a 2 + b 2 a2 + b 2 b a b a2 + b 2 b a2 + b 2 a. a2 + b 2 Zu einer Drehstreckung A gibt es genau ein t [0, 2π) mit A = ( ) cos t sin t a 2 + b 2 sin t cos t Bekanntlich ist IR 2 mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation ein reeller Vektorraum mit kanonischer Basis {(1, 0), (0, 1)}. Wir definieren:

9 KAPITEL 0. ABBILDUNGEN F : U lc lc, (X, Y ) F (X, Y ) 6 Definition i := (0, 1) und i 2 := ( 1, 0). 2. Wir betten IR in lc ein vermöge der Abbildung { IR IR 2 Φ : x (x, 0) Wir schreiben kurz (x, 0) =: x. Φ ist offensichtlich injektiv, und wir können die Multiplikation auf IR ebenfalls in lc einbetten: (x, 0)(y, 0) := (xy, 0); insbesondere: (1, 0)(x, 0) = (x, 0). Die Fortsetzung der Multiplikation von der Basis {(1, 0), (0, 1)} ergibt: (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ). ( lc, +, ) ist ein kommutativer Körper mit Φ(IR) (also IR) als Unterkörper. Die Multiplikation auf lc ist eine IR lineare Abbildung. Die (reelle) Matrix der Abbildung A : IR 2 IR 2, (x, y) (a, b)(x, y) ist bezüglich der kanonischen Basis ( ) a b A =, b a also gerade eine Drehstreckung. Vermöge der Abbildung ( ) (a, b) Φ a b b a bilden die reellen 2 2 Matrizen dieser Gestalt einen zu lc isomorphen Körper. Bemerkung: Die Isomorphie erhält man auch durch eine andere Überlegung: eine komplexe Zahl z = a + bi lässt sich auch in der Form z = re iϕ schreiben, d. h. die multiplikative Gruppe lc ist das direkte Produkt der (multiplikativen) Gruppen IR + und S 1. Mit der Isomorphie S 1 = SO(2) ist also lc = IR + SO(2), dementsprechend {( lc a = b ) } ( b ; a, b IR = IR a ) IR ( Versehen wir Mat(2, IR)( = IR 4 ) mit der Euklidischen Norm, so gilt: ( ) a b Φ(a, b) = = 2a2 + 2b 2 = 2 (a, b), b a ).

10 KAPITEL 0. ABBILDUNGEN F : U lc lc, (X, Y ) F (X, Y ) 7 mit anderen Worten: Φ erhält bis auf einen konstanten Faktor die Norm. Wir setzen: z := x 2 + y 2 für z = (x, y). Lemma 0.3 Der Betrag einer komplexen Zahl hat die folgenden Eigenschaften: 1. z = 0 z = 0 2. z 1 z 2 = z 1 z 2 3. z 1 + z 2 z 1 + z 2 Beweis: 1. offensichtlich. 2. z 1 z 2 2 = (z 1 z 2 )(z 1 z 2 ) = (z 1 z 1 )(z 2 z 2 ) = z 1 2 z α) z 1 + z 2 = 0. Dieser Fall ist klar. β) Sei z 1 + z 2 0. Dann ist 1 = z 1 z 1 + z 2 + z 2 z 1 + z 2. Es folgt Re 1 = z 1 z 2 Re + Re z 1 + z 2 z 1 + z 2 z 1 z 2 z 1 + = z 1 + z 2 z 1 + z 2 z 1 + z 2 + z 2 z 1 + z 2 Beispiel 0.4 Beispiele für Funktionen in z: 1. f(z) = c, c lc (konstante Funktion) 2. f(z) = z (identische Funktion) 3. f(z) = z (Konjugation) 4. f(z) = a z, a 0 (Drehstreckung mittels a) 5. f(z) = Re z (Projektion auf x Achse)

11 KAPITEL 0. ABBILDUNGEN F : U lc lc, (X, Y ) F (X, Y ) 8 6. f(z) = Im z (Projektion auf y Achse) 7. f(z) = z 8. f(z) = a n z n a 1 z + a 0, a ν lc (Polynom über lc) 9. f(z) = p(z), p, q Polynome, z lc \ {z lc; q(z) = 0} (rationale Funktion). q(z) Ein Spezialfall hiervon ist eine lineare Transformation f(z) = az + b cz + d, a, b, c, d lc, z d c. 10. Wir schreiben z = x + iy. Sei f(z) = a µν x µ y ν. µ=1,...,m ν=1,...,n Dann lässt sich dieses Polynom auch als Polynom in z und z schreiben: f(z) = b κλ z κ z λ. κ=1,...,k λ=1,...,l 11. f(z) = n=0 a n(z z 0 ) n, a n lc (Potenzreihe). Bereits aus der reellen Analysis bekannte Potzenzreihen wie exp(z) := sin z := cos z := z n =: ez n! ( 1) 2n+1 z 2n+1 (2n + 1)! ( 1) 2n z2n (2n)! n=0 n=0 n=0 lassen sich ebenso über lc definieren. Wie über IR gelten die Eulerschen Formeln sin z = 1 2i (eiz e iz ), cos z = 1 2 (eiz + e iz ) sowie die Identität e iz = cos z + i sin z.

12 KAPITEL 0. ABBILDUNGEN F : U lc lc, (X, Y ) F (X, Y ) 9 Schreiben wir z = x + iy folgt e z = e x e iy e z = e Rez, arg(e z ) = Imz. Bekanntermaßen gilt e 2πi = 1. Es folgt daher für k ZZ: e z+2kπi = e z (e 2πi ) k = e z. Also hat die Abbildung lc z e z lc die Perioden 2πi k. Dies sind gleichzeitig die einzigen Perioden, denn e z 1 = e z 2 1 = e z 1 z 2 = e x (cos y + i sin y) mit z 1 z 2 = x + iy. Aus dem Verhalten von exp, sin und cos auf IR folgt x = 0 und sin y = 0 cos y = 1 y = 2kπ, k ZZ. Bemerkung: exp : ( lc, +) ( lc, ) ist ein Homomorphismus mit Kern 2πiZZ. Hieraus erhalten wir ein weiteres Resultat: Sei z = x + iy. Es gilt sin z = 0 e 2iz = 1 z = kπ, k ZZ. Mit cos z = sin(z + π/2) folgt: Der komplexe Sinus und Cosinus haben nur reelle Nullstellen und die Perioden 2πk, k ZZ. Sie haben keine weiteren Perioden.

13 Kapitel 1 Holomorphe Funktionen Zur Erinnerung: I IR sei ein offenes Intervall, und sei z 0 I. Eine Funktion f : I IR heißt differenzierbar in z 0, falls der Limes f(z) f(z 0 ) lim =: f (z 0 ) z z 0 z z 0 existiert. Dazu ist äquivalent: Es existiert eine in z 0 stetige Funktion auf I mit f(z) = f(z 0 ) + (z z 0 ) (z), z I. Es gilt (z 0 ) = f (z 0 ). Auf IR 2 sieht dies analog aus: U IR 2 sei offen, f : U IR 2 heißt (reell) differenzierbar in z 0, falls eine lineare Abbildung A : IR 2 IR 2 existiert mit f(z) = f(z 0 ) + A(z z 0 ) + o( z z 0 ) (z z 0 ). Schreiben wir z = (x, y), f = (f 1, f 2 ), hat A die folgende Matrixdarstellung (Jacobimatrix): ( f1 x A = (z f 0) 1 (z ) y 0) f 2 (z f x 0) 2 (z y 0) Eine äquivalente Formulierung der totalen reellen Differenzierbarkeit von f ist: Es existiert eine in z 0 stetige Abbildung A : U Mat(2, IR), z ( A 1 (z) B 1 (z) ) A 2 (z) B 2 (z), so dass für alle z U gilt: f(z) = f(z 0 ) + A(z)(z z 0 ). Es gilt A(z 0 ) = Df(z 0 ). Unser Ziel ist, herauszuarbeiten, wie der Differentialquotient, der ja auch für komplexe Zahlen sinnvoll ist, mit der Jacobimatrix in Einklang gebracht werden kann. 10

14 KAPITEL 1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN 11 Wir schreiben dazu zuerst f := g + ih mit reellwertigen Funktionen g und h, ferner z = x + iy, z 0 = x 0 + iy 0. Dann bedeutet (reelle) Differenzierbarkeit ( ) ( ) ( ) ( ) g(z) g(z 0 ) A 1 (z) B 1 (z) x x 0 f(z) = = + h(z) h(z 0 ) A 2 (z) B 2 (z) y y 0 ( ) ( ) g(z 0 ) A 1 (z)(x x 0 ) B 1 (z)(y y 0 ) = + h(z 0 ) A 2 (z)(x x 0 ) B 2 (z)(y y 0 ) ( ) ( ) ( ) g(z 0 ) A 1 (z) B 1 (z) = + (x x 0 ) +(y y 0 ) h(z 0 ) A 2 (z) B 2 (z) }{{}}{{} =: 1 (z) =: 2 (z) Die Funktionen 1, 2 : U lc sind in z 0 stetig mit 1 (z 0 ) = f x (z 0), 2 (z 0 ) = f y (z 0). Definition 1.1 U lc sei offen, f : U lc, z 0 U. f heißt (komplex) differenzierbar in z 0, falls der Grenzwert (1.1) f (z 0 ) := lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0 existiert. f : U lc wird komplex differenzierbar genannt, falls f in allen Punkten z 0 D komplex differenzierbar ist. f heißt holomorph in z 0 U, falls f in einer Umgebung um z 0 komplex differenzierbar ist. Äquivalent zu (1.1) ist: es existiert eine in z 0 stetige Funktion : U lc mit f(z) = f(z 0 ) + (z)(z z 0 ). Dazu setzt man als (z) gerade den Differenzenquotienten in (1.1) Bemerkung: Sei z lc. lc w (z) w lc (Multiplikation in lc) ist lc linear, also auch IR linear. Folglich gilt: Falls f = g + ih in z 0 komplex differenzierbar ist, ist f auch reell differenzierbar (man wähle A(z) = (z)), und es gilt ( g x A(z 0 ) = (z g 0) (z ) y 0) h (z h x 0) (z y 0)

15 KAPITEL 1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN 12 mit folgenden Gleichungen (1.2) g x (z 0) = h y (z 0), h x (z 0) = g y (z 0) (Cauchy Riemannsche Differentialgleichungen) oder in Kurzschreibweise g x = h y, h x = g y Die Umkehrung gilt auch: Sei f in z 0 U reell differenzierbar, und gelte f(z) = f(z 0 ) + A(z)(z z 0 ), A Mat(2, IR), z A(z) in z 0 stetig, und gelten die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen in z 0. Dann hat A(z 0 ) die Gestalt einer komplexen Zahl vermöge des Isomorphismus Φ : (x, y) ( ) x y y x. Die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen bedeuten also nichts Anderes als dass die (reelle) Jacobimatrix von f die Form einer Drehstreckung hat und damit mit einer komplexen Zahl identifiziert werden kann. Satz 1.2 f : U lc ist genau dann reell differenzierbar in z 0 U, wenn es in z 0 stetige Funktionen A 1, A 2 : U lc gibt mit f(z) = f(z 0 ) + A 1 (z)(z z 0 ) + A 2 (z)(z z 0 ) Beweis: Reelle Differenzierbarkeit von f in z 0 ist äquivalent zu der Aussage (1.3) f(z) = f(z 0 ) + (x x 0 ) 1 (z) + (y y 0 ) 2 (z) mit in z 0 stetigen Funktionen 1, 2 : U lc. Nun gilt x x 0 = 1 2 (z z 0 + z z 0 ), y y 0 = 1 2i (z z 0 z + z 0 ). Setzen wir dies in Gleichung (1.3) ein, erhalten wir f(z) = f(z 0 ) + (z z 0 ) 1 ( 1 (z) + i 2 (z) ) +(z z 0 ) 1 ( 1 (z) i 2 (z) ). } 2 {{}} 2 {{} =:A 1 (z) =:A 2 (z) Umgekehrt kann man aus zwei Funktionen A 1, A 2, die diese Gleichung erfüllen, wiederum zwei Funktionen B 1, B 2 : U lc gewinnen, so dass f(z) = f(z 0 ) + (x x 0 )B 1 (z) + (y y 0 )B 2 (z). Diese Rechnung bleibt dem Leser zur Übung überlassen.

16 KAPITEL 1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN 13 Die Aussage des Satzes legt es nahe, z und z als unabhängige Variablen zu betrachten. Man definiert daher die sogenannten Wirtingerschen Ableitungen 1 (1.4) f z (z 0) := 1 2 (f x if y ), f z (z 0) := 1 2 (f x + if y ), Diese Definition wird klarer, wenn man sich folgende Rechnung vor Augen führt: Wir schreiben f = g + ih. Dann ist ( ) f = g x h x g y h y. Falls f komplex differenzierbar ist, gelten die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen, und f kann mit der komplexen Zahl g x ig y identifiziert werden. Gleichzeitig gilt f x = g x + ih x = g x ig y, f y = g y + ih y = g y + ig x, und für f/ z und f/ z folgt: 2 f z 2 f z = f x if y = g x ig y i(g y + ig x ) = 2g x 2ig y = 2f = f x + if y = g x ig y + i(g y + ig x ) = 0 Wir haben damit die Aussage, dass, falls f komplex differenzierbar in z 0 ist, gilt: f (z 0 ) = f z (z 0), f z = 0. Die Bedeutung der zweiten Gleichung wird vor allem durch den folgenden Satz deutlich Satz 1.3 Sei f : U lc, und sei z 0 U. Dann ist f in z 0 komplex differenzierbar genau dann, wenn f in z 0 reell differenzierbar und f z (z 0) = 0 ist. 1 Nach Wilhelm Wirtinger ( ). Die Operatoren wurden von Henri Poincaré eingeführt, die Theorie um sie wurde jedoch von Wirtinger ausgebaut, weshalb sich vor allem im deutschsprachigen Raum der Begriff Wirtingerkalkül eingebürgert hat.

17 KAPITEL 1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN 14 Beweis: Die Richtung = wurde bereits in obiger Rechnung gezeigt. f = : Sei f reell differenzierbar und gelte z (z 0) = 0. Dann folgt: f x + if y = 0 g x + ih x + i(g y + ih y ) = 0 g x h y + i(h x + g y ) = 0 = g x = h y h x = g y. Beispiel 1.4 Beispiele und Regeln für komplexe Differentiation: 1. f(z) = z ist nirgends komplex differenzierbar, denn Df = ( ) erfüllt nicht die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen. 2. f f ist lc-linear. 3. Es gelten Produkt-, Quotienten- und Kettenregel. 4. Sei f(z) = z n. Dann ist f (z) = nz n Sei f(z) = n=0 a n(z z 0 ) n mit Konvergenzradius R > 0. Behauptung: f ist auf der offenen Kreisscheibe B R (z 0 ) holomorph. 1. Beweis: (a) Man zeigt: f ist in z 0 differenzierbar; dies ist offensichtlich. (b) Man zeigt durch Umentwicklung: f ist in z 1 differenzierbar mit z 1 z 0 < R. 2. Beweis: OBdA. nehmen wir an, der Entwicklungspunkt sei z 0 = 0 und damit f(z) = n a nz n. Sei b lc mit b < R. Dann ist f(z) f(b) =! a n (z n b n ) n=0 = (z b) (z) mit : B R (0) lc in b stetig z n b n = (z b) a n 1 z b. Was wir also zeigen müssen, ist die Stetigkeit dieser Reihe in b. n=1

18 KAPITEL 1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN 15 Nebenrechnung: z n b n z b n 1 = z n 1 k b k k=1 ist ein Polynom vom Grad n-1. Sei ϕ n (z) := { z n b n, z b z b nb n 1, z = b Sei nun r < R, und gelte b r, z r. Dann ist ϕ n (z) n 1 k=0 z }{{} r n 1 k b Wir haben also die Abschätzung a n ϕ n (z) = n=1 }{{} r k nr n 1 a n+1 ϕ n+1 (z) n=0 a n+1 (n + 1)r n. Es bleibt zu zeigen: die Potenzreihe n=0 (n + 1)a n+1z n hat auch den Konvergenzradius R. Sei R der Konvergenzradius dieser Reihe, also 1 R = lim sup n Es bleibt zu zeigen: R = R. n (n + 1) an+1 = lim sup n=0 n n + 1 n }{{} =1 lim sup n α) R sei der Konvergenzradius von n=0 a n+1z n. Dann ist a n z n = a 0 + z n=0 a n+1 z n R R. n=0 n an+1. β) Sei z < R, z 0. Dann ist nach Voraussetzung n=0 a nz n <. Es folgt a n+1 z n 1 z n=0 a n z n 1 z a 0. n=0 Lemma 1.5 (Regeln für die Wirtingerschen Ableitungen) 1. sind lc lineare Operatoren, für die die Leibnizsche Regel gilt. z und z

19 KAPITEL 1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN f z = f z. 3. f z 4. z z = 1, 5. = 0, falls f holomorph, f z 2 f z z = 1 4 z z = 0, ( 2 f x + 2 f ) 2 y 2 } {{ } =: f 6. Sei w = f(z). Dann gilt z z = 1. = 0, falls f holomorph. g f (g f) = z w z + g f w z, g f (g f) = z w z + g f w z. 7. Sei U lc offen und seien ϕ : [a, b] U und f = g + ih : U lc reell differenzierbar. Dann gilt ( d dt (f ϕ)(t 0) = Df(ϕ(t 0 ))ϕ (t 0 ) = = In komplexer Schreibweise ist dies g x h x ( ) g x ϕ 1(t 0 ) + g y ϕ 2(t 0 ) h x ϕ 1(t 0 ) + h y ϕ 2(t 0 ) = f x ϕ 1(t 0 ) + f y ϕ 2(t 0 ). g y h y ) ( ) ϕ 1(t 0 ) ϕ 2(t 0 )... = 1 2 ( fx if y ) (ϕ 1 (t 0 ) + iϕ 2) = f z ϕ (t 0 ) + f z ϕ (t 0 ). ( fx + if y ) (ϕ 1 (t 0 ) + iϕ 2) Anwendung von Eigenschaft 7: γ 1, γ 2 : [0, ε] lc seien stetig mit γ j (0) = z 0 und γ j(0) 0.

20 KAPITEL 1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN 17 γ γ 2(0) 1(0) γ 2 γ 1 z 0 Wir haben (γ 1, γ 2 ) = arg γ 2(0) γ 1(0). Sei f : U lc stetig differenzierbar und injektiv. Wir werden später zeigen, dass dann automatisch f (z) 0 für z U folgt. Wir betrachten t f γ j (t). Nach Eigenschaft 7 ist (f γ j ) (0) = f z (z 0 )γ j(0) + f z (z 0 )γ j (0) Falls f sogar holomorph ist, gilt f z (z 0 ) = 0 und f z (z 0 ) = f (z 0 ) 0. Damit ist (f γ 1, f γ 2 ) = arg f (z 0 )γ 2(0) f (z 0 )γ 1(0) = argγ 2(0) γ 1(0) = (γ 1, γ 2 ), mit anderen Worten: f ist winkeltreu. Es gilt auch die Umkehrung: Ist f winkeltreu und reell differenzierbar, so ist f holomorph. Dazu betrachten wir die Wege γ 1 : t z 0 + t, γ 2 : t z 0 + it. Aus der Winkeltreue von f folgt (f γ 1, f γ 2 ) = π und hieraus 2 Es folgt weiter also (f γ 2 ) (0) = i(f γ 1 ) (0). i(f z (z 0 ) f z (z 0 )) = i(f z (z 0 ) + f z (z 0 )), f z (z 0 ) = 0 und somit die Holomorphie von f in z 0.

21 Kapitel 2 Kurvenintegrale Wege γ : IR [a, b] lc haben wir vorhin als (stückweise) stetig differenzierbare Funktionen kennen gelernt. γ 2 z 0 z 1 γ 1 In diesem Kapitel untersuchen wir Integrale längs solcher Wege. Das Hauptaugenmerk ist der Frage gerichtet, inwieweit das Integral längs eines Weges von der Wahl des Weges abhängt bei der Integration in IR kommt man ja nicht in diese Verlegenheit. Die nahe liegende Definition eines Wegintegrales ist dabei b (2.1) f(z) dz := f(γ(t))γ (t) dt. γ γ a Betrachten wir als Beispiel den Weg γ : [0, 2π] lc, γ(t) = e it. Dann ist dz 2π z = 1 e it ieit dt = 2πi. 0 Aber bevor wir weitere Beispiele durchgehen, soll der Begriff des Wegintegrals zunächst auf ein etwas solideres Fundament gestellt werden. Die Abbildung f : [a, b] lc, t f(t) sei Riemann integrierbar (oder messbar und Lebesgue integrierbar), mit anderen Worten: Ref, Imf : [a, b] IR sind R-integrierbar (bzw. messbar und L-integrierbar). Wir definieren das Integral der komplexwertigen Funktion f als (2.2) b a f(t) dt := b a Ref(t) dt + i b a 18 Imf(t) dt.

22 KAPITEL 2. KURVENINTEGRALE 19 Lemma 2.1 Das Integral (2.2) hat folgende Eingenschaften: 1. Der Operator b a : L1 ([a, b]) lc ist komplex linear. 2. b a f(t) dt = b a f(t) dt. 3. ϕ : [a, b] [c, d] sei stückweise stetig differenzierbar, g : [c, d] lc sei integrierbar. Dann gilt die Substitutionsregel d c g(t) dt = b a g(ϕ(s))ϕ (s) ds. 4. b a f(t) dt b a f(t) dt. Der Beweis bleibt dem Leser zur Übung überlassen. Beispiel Sei lc ω 0, und sei f(t) = e iωt. Für die Funktion g(t) = 1 iω eiωt gilt g (t) = f(t). Dementsprechend gilt b a e iωt dt = 1 [ ] e iωt b iω. a Es folgt für n ZZ: 2π 2π, n = 0 e int dt = 0 0, n 0. Eine erste Folgerung hieraus ist: e im, e in = 1 2π 2π 0 e imt e int dt = δ mn. Eine weitere Folgerung ist: 2π (cos t) 2n dt = 1 2π ( e it + e it) 2n dt 2 2n 0 = 1 2 2n 0 2π 0 2n k=0 ( ) ( ) 2n 2n e i(2n 2k)t dt = 2 2n 2π. k n

23 KAPITEL 2. KURVENINTEGRALE Sei z lc mit Rez > 0. Wir definieren die komplexe Gammafunktion durch Γ(z) := 0 t z 1 e t dt, wobei t z 1 := exp((z 1) ln t). Auf {z lc; Rez > 0} ist Γ hierdurch wohldefiniert. 3. Sei f L 1 ([0, 2π]). Für m ZZ ist der m-te Fourierkoeffizient das Integral f(m) := 1 2π 2π 0 f(t)e imt dt. Definition 2.3 γ : [a, b] lc sei stückweise stetig differenzierbar, f : γ([a, b]) lc stetig. Das Kurvenintegral von f längs γ wird definiert durch b f(z) dz := f(γ(t))γ (t) dt. γ a Bezeichnung: Sei U lc. Eine stetige Funktion γ : [a, b] U wird Weg genannt. A(γ) := γ(a) heißt Anfangspunkt, E(γ) := γ(b) Endpunkt von γ. γ heißt Integrationsweg, falls γ stückweise stetig differenzierbar ist. Ist γ stetig differenzierbar, spricht man von einem stetig differenzierbaren Weg. Gilt γ (t) 0 für alle t [a, b], so heißt γ glatt. 1 Ein Weg γ heißt genau dann geschlossen, wenn γ(b) = γ(a). Ist darüber hinaus γ [a,b) injektiv, spricht man von einem einfach geschlossenen Weg. γ([a, b]) lc wird die Spur von γ genannt und oft mit Sp(γ) angekürzt. Ist M lc die Spur eines Integrationsweges γ, so sagt man, γ parametrisiert M. Beispiel Sei z 0 lc, und sei r > 0. Sei κ(r, z 0 ) := z 0 + re it, t [0, 2π]. κ ist offensichtlich stetig differenzierbar. Ferner ist κ glatt, denn κ (t) = rie it 0. Die Spur von κ ist Sp(κ) = {z lc; z z 0 = r}. r z 0 1 γ (t 0 ) = 0 ist nicht zu verwechseln mit dem Verschwinden der Ableitung einer reellwertigen Funktion: γ (t 0 ) = 0 bedeutet nicht, dass γ eine waagerechte Tangente an t 0 hat, sondern, dass bildlich gesprochen γ an t 0 Geschwindigkeit 0 hat.

24 KAPITEL 2. KURVENINTEGRALE 21 Es gilt κ 1 2π 1 dz = z z 0 0 re it rieit dt = 2πi. R > r sei der Konvergenzradius der Potenzreihe f(z) = n=0 a n(z z 0 ) n. Dann ist das Integral von f längs κ: κ f(z) dz = 2π 0 ( a n r n e )ire int it dt = ir n=0 a n r n n=0 2π 0 e i(n+1)t dt = 0 } {{ } =0, n=0,1,... Sei f dargestellt durch eine Laurentreihe f(z) = n= a n (z z 0 ) n = a n (z z 0 ) n + a n (z z 0 ) n. n=0 } {{ } Nebenteil n=1 } {{ } Hauptteil Der Nebenteil ist eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R; der Hauptteil ist keine Potenzreihe, aber es ist n=1 a nz n eine Potenzreihe mit Radius 1/r, und wir haben z z 0 1 < 1 r z z 0 > r. Gleichmäßige Konvergenz auf kompakter Teilmenge des Kreisringes z 0 R ρ r Konvergenz im offenen Teil

25 KAPITEL 2. KURVENINTEGRALE 22 Eine Laurentreihe stellt auf einer kompakten Teilmenge des Kreisringes eine holomorphe Funktion dar. Sei g(z) := n=1 a nz n. Dann ist g(1/(z z 0 )) genau dann wohldefiniert, wenn z z 0 > r. Sei r < ρ < R. κ(z 0, ρ) := z 0 + ρe it, 0 t < 2π. Es gilt κ(z 0,ρ) 2π f(z) dz = iρ a n ρ n e int e it dt 0 n= 2π = a n ρ n e i(n+1)t dt n= 0 }{{} = 2πia 1. =2πδ 1,n Man nennt daher a 1 auch das Residuum, denn es bleibt als einziger Summand bei dem Integral über den einfach geschlossenen Kreis übrig. 2. Seien z 0, z 1 lc. Die Verbindungsstrecke von z 0 nach z 1, den Weg γ : [0, 1] lc, γ(t) = z 0 + t(z 1 z 0 ) bezeichnen wir mit [z 0, z 1 ]. z 0 z 1 Allgemein: Seien z 0, z 1,..., z n lc. Ein Polygonzug ist der Weg γ : [0, n] lc, γ(t) = z k + (t k)(z k+1 z k ), t [k, k + 1]. Die Spur solch eines Polygonzuges bezeichnen wir mit Sp(γ) =: [z 0,..., z n ]. Speziell: Sei ein Dreieck mit Eckpunkten z 0, z 1, z 2. Der Polygonzug [z 0, z 1, z 2, z 0 ] parametrisiert.

26 KAPITEL 2. KURVENINTEGRALE Gegeben seien die Wege γ 1 : [a, b] lc, γ 2 : [c, d] lc mit γ 1 (b) = γ 2 (c). γ 1 γ 1 (b) = γ 2 (c) γ 2 Der zusammengesetzte Weg ist definiert durch: γ 1 (t) t [a, b] γ 1 γ 2 : [a, b + (d c)] lc, t γ 2 (t + (c b)) t [b, b + d c] Analog kann man n Wege γ 1,..., γ n, sofern für k = 1,..., n 1 der Endpunkt von γ k mit dem Anfangspunkt von γ k+1 übereinstimmt. Z. B. ist der Streckenzug [z 0,..., z n ] = [z 0, z 1 ] [z 1, z 2 ] [z n 1, z n ]. Ist γ : [a, b] lc ein Integrationsweg und a = t 1 < t 2 <... < t n = b eine Zerlegung von [a, b], nennen wir γ k := γ [tk 1,t k ] einen Teilweg. Offensichtlich gilt γ = γ 1 γ n. Bezeichnung: Existiert eine Zerlegung von γ in glatte Teilwege, so nennen wir γ stückweise glatt. Zu einem Weg γ : [a, b] lc definiert man den entgegengesetzten Weg γ 1 : [a, b] lc durch γ 1 (t) := γ(a + b t). Offenbar ist Sp(γ 1 ) = Sp(γ). Ist z. B. γ der Streckenzug [z 0,..., z n ] so ist der entgegengesetzte Weg γ 1 = [z n,..., z 0 ]. Ist z. B. γ = κ(r, z 0 ) = z 0 + re it, t [0, 2π], wird γ 1 dargestellt durch γ 1 (t) = z 0 + re i(2π t). z 0 γ γ 1

27 KAPITEL 2. KURVENINTEGRALE Wir werden im nächsten Kapitel sehen, dass für holomorphe Funktionen f das Wegintegral f unabhängig vom Weg γ ist, und dass nur Anfangsund Endpunkt von γ relevant γ sind. Dass bei nicht holomorphen Funktionen das Wegintegral sehr wohl vom Weg abhängen kann, soll dieses Beispiel verdeutlichen: Sei f(z) := z, und seien γ 1 : [0, π] lc, γ 1 (t) := e i(π t), γ 2 : [ 1, 1] lc, γ 2 (t) := t. γ 1 Wir haben aber γ 1 z dz = γ 2 z dz = γ 2 π γ 1(t) dt = γ 1 (π) γ 1 (0) = 2, t dt = 1 2 t2 1 1 = Ist γ : [a, b] lc ein Integrationsweg, so setzen wir (2.3) L(γ) := b a γ (t) dt = L(γ) ist die Länge des Weges. b a (Reγ (t)) 2 + (Imγ (t)) 2 dt. Dies kann geometrisch wie folgt gedeutet werden: Sei a = t 0 < t 1 <... < t n = b eine Zerlegung von [a, b]. Wir approximieren den Weg durch den Polygonzug [γ(t 0 ), γ(t 1 ),..., γ(t n )]. γ(t n ) γ(t 0 )

28 KAPITEL 2. KURVENINTEGRALE 25 Die Länge von γ ist dann der Grenzwert n γ(t k ) γ(t k 1 ). lim n k=1 Gleichzeitig ist das Integral in (2.3) der Grenzwert der Riemannschen Summe n γ (ξ k ) (t k t k 1 ). lim n k=1 Um zu zeigen, dass diese beiden Grenzwerte gleich sind, gibt es zwei Möglichkeiten: zum Einen kann man den Mittelwertsatz der Differentialrechnung auf jedes Teilintervall [t k 1, t k ] anwenden; zum Anderen gilt folgende Abschätzung: γ(t k ) γ(t k 1 ) γ (ξ k )(t k t k 1 ) tk = (γ (t) γ (ξ k )) dt sup γ (t) γ (t ) (t k t k 1 ) t k 1 t t < t k t k 1 Mit der Stetigkeit von γ auf [a, b] folgt die Behauptung. Satz 2.5 γ sei ein Integrationsweg, f : Sp(γ) lc sei stetig. Dann gilt f(z) dz L(γ) max f(z). z Sp(γ) Beweis: γ γ f(z) dz = b a b a f(γ(t))γ (t) dt f(γ(t)) γ (t) dt b max f(z) γ (t) dt. z Sp(γ) a }{{} =L(γ) Definition 2.6 I, J IR seien kompakte Intervalle, ϕ : J I sei bijektiv, stückweise stetig differenzierbar und streng monoton wachsend mit ϕ (t) 0 auf J. ϕ wird Parametertransformation (kurz: PT) von J auf I genannt.

29 KAPITEL 2. KURVENINTEGRALE 26 Bemerkung: 1. Sind ϕ und ψ Parametertransformationen, so sind auch ϕ ψ und ϕ 1 Parametertransformationen. 2. Ist γ : I lc ein Integrationsweg und ϕ : J I eine PT, so ist auch γ ϕ : J lc ein Integrationsweg. Man sagt dann, γ ϕ geht aus γ durch Umparametrisierung (mittels ϕ) hervor. Satz 2.7 γ 1, γ 2 seien Integrationswege in lc, γ 1 gehe aus γ 2 durch Umparametrisierung hervor. f : Sp(γ 1 ) lc sei stetig. Dann gilt: f(z) dz = f(z) dz. γ 1 γ 2 Beweis: Gelte γ 1 : [a, b] lc, γ 2 : [c, d] lc, Parametertransformation sei ϕ : [c, d] [a, b]. Es ist γ 2 = γ 1 ϕ. γ 1 f(z) dz = = = = b a d c d c f(γ 1 (t))γ 1(t) dt f(γ 1 ϕ(s)) γ 1(ϕ(s))ϕ (s) ds }{{} =(γ 1 ϕ) (s) f(γ 2 (s))γ 2(s) ds γ 2 f(z) dz. Lemma 2.8 γ sei ein Integrationsweg, f : Sp(γ) lc sei stetig. Dann gilt f(z) dz = f(z) dz. γ 1 γ Beweis: Gelte γ, γ 1 : [a, b] lc. γ 1 (t) = γ(a + b t). b f(z) dz = f(γ(a + b t))γ (a + b t) γ 1 a s:=a+b t = a b b = = f(γ(s))γ (s) ds a γ f(γ(s))γ (s) ds f(z) dz.

30 Kapitel 3 Die Stammfunktion Nachdem wir im vorigen Kapitel die Grundlagen von Kurvenintegralen erarbeitet haben, befassen wir uns nun mit der konkreten Berechnung eines solchen Integrals. Besonderes Augenmerk gilt der Frage, ob auch im Komplexen eine Stammfunktion verwendet werden kann. Unser Wunsch ist, dass für einen festen Punkt z 0 und einen Weg γ, der z mit z 0 verbindet, gilt f(ζ) dζ = F (z) F (z 0 ) γ mit F (ζ) = f(ζ). In diesem Fall haben wir gleichzeitig eine Wegunabhängigkeit des Integrals, denn dies hängt nur noch von Anfangs- und Endpunkt des Weges ab. z z 0 27

31 KAPITEL 3. DIE STAMMFUNKTION Stammfunktionen und der Cauchysche Integralsatz Definition 3.1 U lc sei offen, f : U lc sei stetig. F : U lc heißt Stammfunktion von f, falls F auf U holomorph ist und F = f gilt. Wir sagen, f habe eine lokale Stammfunktion auf U, falls es zu jedem Punkt von U eine Umgebung V gibt, so dass f V eine Stammfunktion (auf V ) hat. Satz 3.2 f : U lc sei stetig und habe auf U die Stammfunktion F. γ sei Integrationsweg von z 0 nach z 1. Dann gilt f(z) dz = F (z 1 ) F (z 0 ). γ Beweis: Gelte γ : [a, b] U, a = t 0 < t 1 <... < t n = b sei eine Unterteilung von [a, b], so dass γ [tk,t k 1 ] stetig differenzierbar sei. Dann gilt γ f(z) dz = = = = b a n f(γ(t))γ (t) dt tk k=1 tk n k=1 f(γ(t))γ (t) t k 1 }{{} (F γ) (t) dt (F γ) (t) dt t k 1 n (F γ(t k ) F γ(t k 1 )) k=1 Hieraus folgt unmittelbar: = F (z 1 ) F (z 0 ). Korollar 3.3 f : U lc sei stetig mit Stammfunktion F, γ sei ein einfach geschlossener Integrationsweg in U. Dann gilt f(z) dz = 0. γ Beispiel 3.4

32 KAPITEL 3. DIE STAMMFUNKTION f(z) = z n mit n ZZ \ { 1}. Dann ist F (z) = 1 n + 1 zn+1. Die Stammfunktion existiert für n 0 auf U = lc, für n 2 auf U = lc \ {0}. Ist γ ein Integrationsweg von z 0 nach z 1 in U, dann gilt z n dz = 1 ( ) z n+1 1 z0 n+1 n + 1 γ 2. f sei dargestellt durch eine Laurentreihe: f(z) = n= auf dem Kreisring a n (z z 0 ) n, U : 0 r < z z 0 < R. Falls a 1 = 0, ist F (z) = n= Stammfunktion von f auf U. a n ( ) n+1 z z0 n f(z) = 1 z hat keine Stammfunktion auf lc \ {0}. Satz 3.5 G lc sei ein Gebiet, d. h. offen, und je zwei Punkte in G sind durch einen Integrationsweg verbindbar. Für jeden geschlossenen Integrationsweg γ in G gelte f(z) dz = 0. Dann hat f auf G eine Stammfunktion. γ Beweis: Sei a G fest. Wir setzen F (z) := f(ζ) dζ, γ z wobei γ z ein Integrationsweg von a nach z ist. Behauptung: F (z 0 ) = f(z 0 ) für z 0 G, also F (z) F (z 0 )! lim = f(z 0 ). z z 0 z z 0

33 KAPITEL 3. DIE STAMMFUNKTION 30 a γ z0 z 0 γ 1 z z Aus der Voraussetzung, dass für einen beliebigen geschlossenen Integrationsweg γ das Integral γ f = 0 ist, folgt für den Weg γ = γ z 0 [z 0, z]γ 1 z : f(ζ) dζ + f(ζ) dζ f(ζ) dζ = 0 γ z0 } {{ } =F (z 0 ) [z 0,z] γ z } {{ } =F (z) und mit der Parameterdarstellung z 0 + t(z z 0 ) des Weges [z 0, z]: F (z) F (z 0 ) = f(ζ) dζ = [z 0,z] 1 f(z 0 + t(z z 0 ))(z z 0 ) dt 0 = (z z 0 ) 1 0 f(z 0 + t(z z 0 )) dt. } {{ } =: (z) Es bleibt noch (z) abzuschätzen: es gilt wegen der Stetigkeit von f in z 0 für z z 0 < δ (bzw. t(z z 0 ) < δ ε ): 1 0 f(z 0 + t(z z 0 )) dt f(z 0 ) 1 0 f(z 0 + t(z z 0 )) f(z 0 ) dt < ε }{{} <ε

34 KAPITEL 3. DIE STAMMFUNKTION 31 Analog beweist man Satz 3.6 Seien G lc ein konvexes Gebiet und f : G lc stetig. Für jedes abgeschlossene Dreieck G gelte f(z) dz = 0. Dann hat f auf G eine Stammfunktion. Satz 3.7 (Cauchyscher Integralsatz für Rechtecke) U lc sei offen, f : U lc sei holomorph, Q U sei ein achsenparalleles Rechteck. γ sei die einfach geschlossene Integrationskurve, die Q (im mathematisch positiven Sinne) parametrisiert. Dann gilt: f(z) dz = 0. γ Beweis: α) Sei f(z) = az + b mit a, b lc. Dann hat f die Stammfunktion 1 2 az2 + bz, und f = 0 ist erfüllt. γ β) Der Beweis basiert auf dem folgenden Prinzip: Wir zerlegen Q in vier Teilrechtecke. Q Die Teilrechtecke seien mit q 1,..., q 4 bezeichnet; der Rand von q i sei durch den Weg γ i parametrisiert. Da die im Inneren von Q verlaufenden Teile der Wege γ i jeweils genau entgegengesetzt sind, ist in der folgenden Abschätzung die erste Gleichung erfüllt. γ f(z) dz = 4 i=1 γ i f(z) dz 4 i=1 γ 1 f(z) dz 4 γ 1 f(z) dz,

35 KAPITEL 3. DIE STAMMFUNKTION 32 wobei γ 1 der Teilweg γ i sei, bei dem f(z) dz γ i am größten ist. Das zugehörige Teilrechteck bezeichnen wir mit Q 1. Induktiv erhalten wir auf diese Weise eine Folge Q Q 1 Q 2... von Teilrechtecken mit Randkurven γ, γ 1, γ 2,... und (3.1) f(z) dz 4 n f(z) dz. γ γ n Da diam(q n ) 0 für n, folgt aus dem Cantorschen Schachtelsatz, dass die Rechtecke Q n sich auf einen Punkt zusammenziehen; sei also {z 0 } := n 1 Q n. Nach Voraussetzung ist f in z 0 holomorph. Zu ε > 0 existiert somit ein δ > 0 mit (3.2) f(z) f(z 0 ) (z z 0 )f (z 0 ) ε z z 0 für 0 < z z 0 < δ. Diese Abschätzung machen wir uns im weiteren Verlauf zu Nutze, denn gleichzeitig gilt mit α): (3.3) f(z) dz = γ n γ n ( f(z) f(z0 ) (z z 0 )f (z 0 ) ) dz. Seien ρ der Durchmesser und l der Umfang von Q. Daraus folgt, dass Q n den Durchmesser 2 n ρ und den Umfang 2 n l hat. Wir wählen n nun groß genug, damit 2 n ρ < δ gilt und wenden (3.2) an. Daraus erhalten wir für (3.3) die Abschätzung γ n ( f(z) f(z0 ) (z z 0 )f (z 0 ) ) dz L(γ n )ε2 n ρ = ε4 n ρl. Fassen wir dies mit (3.1) zusammen, folgt f(z) dz < ερl γ

36 KAPITEL 3. DIE STAMMFUNKTION 33 für beliebiges vorgegebenes ε > 0, also f(z) dz = 0. γ Satz 3.8 (Cauchyscher Integralsatz für C 1 Bilder von Rechtecken) Seien U lc offen, f : U lc holomorph und Q lc ein abgeschlossenes achsenparalleles Rechteck, dessen Rand (im mathematisch positiven Sinne) durch γ parametrisiert werde. ϕ : Q U sei reell stetig differenzierbar. Dann gilt Beweis: ϕ(γ) f(z) dz = 0. ϕ α) f(z) = az + b ist offensichtlich (siehe oben). β) Wir konstruieren wie oben eine Folge von Rechtecken Q 1 Q 2... mit f(z) dz 4 n f(z) dz. ϕ γ ϕ γ n Da Q kompakt und ϕ stetig differenzierbar sind, ist Dϕ auf Q gleichmäßig stetig, d. h. es existiert ein c > 0 mit Dϕ(p) c für alle p Q. Mit dem Mittelwertsatz folgt, dass der Durchmesser von ϕ(q n ) nicht größer als ρ c 2 n und die Länge von γ n nicht größer als l c 2 n sind.

37 KAPITEL 3. DIE STAMMFUNKTION 34 Korollar 3.9 Seien α, β : [t 0, t 1 ] U stetig differenzierbare Integrationswege, und liege {(1 τ)α(t) + τβ(t); τ [0, 1]} in U für alle t. f : U lc sei holomorph. α h 0 h 1 β Dann gilt (3.4) f + h 0 β f f h 1 α f = 0, wobei h 1, h 2 : [0, 1] U, h i (τ) := (1 τ)α(t i ) + τβ(t i ). Beweis: Die Abbildung ϕ : [t 0, t 1 ] [0, 1] lc, (t, τ) (1 τ)α(t) + τβ(t) ist stetig differenzierbar. Die Aussage folgt somit aus Satz 3.8. Beispiel 3.10 Spezialfälle hiervon sind: 1. Einfach geschlossene Dreiecke in U: α und β sind geradlinige Strecken und haben den gleichen Ausgangspunkt, h 0 besteht also nur aus einem Punkt, h 1 verbindet die Endpunkte. Es folgt: f f f = 0; β α h 1 := βh 1 1 α 1 parametrisiert den Rand eines Dreiecks (in positiver Orientierung). Also gilt die Aussage des Cauchyschen Integralsatzes auch für Dreiecke.

38 KAPITEL 3. DIE STAMMFUNKTION α und β sind einfach geschlossene Kurven. α β In diesem Fall ist h 1 = h 0, und Gleichung (3.4) vereinfacht sich zu α f = β f. Insbesondere gilt dies für Kreise D 1, D 2 mit D 2 D 1 und α = D 1, β = D α und β haben Anfangs- und Endpunkt gemeinsam. Dann folgt ebenfalls α f = β f. 3.2 Folgerungen aus dem Cauchyschen Integralsatz Satz 3.11 (Cauchysche Integralformel für eine Kreisscheibe) U lc sei offen, z 0 U, r > 0. Ferner gelte für die Kreisscheibe mit Radius r um z 0 : D r (z 0 ) U. f : U lc sei holomorph. Dann gilt für jedes a U mit a z 0 < r: (3.5) f(a) = 1 2πi κ(r,z 0 ) κ(r,z 0 ) f(z) z a dz. Beweis: Sei ρ hinreichend klein. Dann ist nach Beispiel 3.10 f(z) (3.6) z a dz = f(z) z a dz. κ(ρ,a) Es gilt auf κ(ρ, a): z = a + ρe iϕ, ϕ [0, 2π). Wir haben also für das rechte Kurvenintegral in (3.6) die Parameterdarstellung dz = iρe iϕ dϕ = dz z a = i dϕ.

39 KAPITEL 3. DIE STAMMFUNKTION 36 Setzen wir dies in (3.6) ein, ergibt sich κ(ρ,a) f(z) 2π z a dz = i f(a + ρe iϕ ) dϕ. 0 Wegen der Stetigkeit von f in a gilt für beliebige ϕ f(a + re iϕ ) f(a)) < ε für hinreichend kleines r ρ. Wir haben also 2π 0 und können errechnen 2π 0 f(a + re iϕ ) f(a)) dϕ 2πε 2π f(a + re iϕ ) dϕ = f(a) dϕ + (f(a + re iϕ ) f(a)). 0 0 }{{}}{{} =2πf(a) 2π Satz 3.12 (Potenzreihenentwicklungssatz) U lc sei offen, f : U lc sei holomorph, z 0 U. Für ρ > 0 gelte D ρ (z 0 ) U. Dann gibt es eine Potenzreihe n=0 c n(z z 0 ) n mit Konvergenzradius ρ und 2πε f(z) = c n (z z 0 ) n n=0 für z z 0 < ρ. Für die Koeffizienten gilt die Formel c n = 1 f(z) dz für 0 < r < ρ. 2πi (z z 0 ) n+1 κ(r,z 0 ) Ferner gilt die Cauchysche Integralformel für die n-te Ableitung: (3.7) f (n) (z) = n! f(z) 2πi (z z 0 ) dz für z z 0 < r. n+1 κ(r,z 0 ) Beweis: α) Wenn es eine solche Potenzreihe gibt, ist f beliebig oft differenzierbar, und es gilt c n = 1 n! f (n) (z 0 ),

40 KAPITEL 3. DIE STAMMFUNKTION 37 woraus die Eindeutigkeit folgt. β) Sei o. B. d. A. z 0 = 0 und z < r < ρ. Aus der Cauchyschen Integralformel (3.5) folgt f(z) = 1 f(ζ) 2πi (ζ z) dζ (3.8) = 1 2πi = κ(r,0) κ(r,0) ( 1 2πi n=0 f(ζ) ζ 1 1 z ζ }{{} = f(ζ) dζ κ(r,0) ζn+1 }{{} =: c n n=0 (z/ζ)n ) z n Für festes z und ζ mit ζ = r konvergiert die Reihe in (3.8) gleichmäßig, was den letzten Schritt, die Vertauschung von Summation und Integration, rechtfertigt. Es folgt unmittelbar hieraus: Satz 3.13 U lc sei offen, f : U lc sei holomorph. Dann ist f auf U beliebig oft differenzierbar. Ein solches Resultat ist im Reellen undenkbar; gewisse Konstrukte der reellen Analysis leben gerade davon, dass eine Funktion genau k mal differenzierbar ist, aber die k-te Ableitung in einem bestimmten Punkt unstetig. Es sei etwa an Volterras Funktion erinnert, die differenzierbar, aber deren Ableitung nicht Riemann integrierbar ist. Satz 3.14 U lc sei offen, f : U lc sei holomorph. Für ein geeignetes r > 0 und z 0 U gelte D r (z 0 ) U. Sei f(z) M für alle z mit z z 0 = r, und sei n c n(z z 0 ) n die Potenzreihenentwicklung von f. Dann gilt c n M/r n dζ Beweis: c n = 1 2πi κ(r,0) f(z) (z z 0 ) dz 1 M 2πr. n+1 2π rn+1 Satz 3.15 (Liouville) Jede beschränkte, auf ganz lc holomorphe Funktion ist konstant.

41 KAPITEL 3. DIE STAMMFUNKTION 38 Beweis: Sei f(z) M für alle z lc, und sei f(z) = n c nz n. Es gilt nach Satz 3.14: c n M/r n für jedes r > 0. Damit folgt f(z) c 0. Aus dem Satz von Liouville erhalten wir einen eleganten Beweis für Satz 3.16 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes Polynom über lc vom Grad 1 hat in lc mindestens eine Nullstelle. Beweis: damit Sei p = a n z n a 1 z + a 0 mit a n 0 und n 1. Für z 0 gilt p(z) = z n( a n + a n 1 z + + a 0 z n } {{ } a n ( z ) wobei das folgende asymptotische Verhalten verwendet wird: Zu M IR + gibt es ein r > 0, so dass p(z) M für z r. (Beweis zur Übung.) Nehmen wir an, dass p auf lc keine Nullstelle hat. Dann ist f(z) := 1/p(z) in ganz lc holomorph. Aufgrund der Asymptotik gilt f(z) 0 für z. Da f beschränkt ist, ist diese Funktion nach dem Satz von Liouville konstant, also f(z) c. Damit folgt p(z) c 1, im Widerspruch dazu, dass Grad(p) 1. Satz 3.17 (Morera) U lc sei offen, f : U lc sei stetig. Für jedes abgeschlossene Dreieck U gelte f(z) dz = 0. Dann ist f auf U holomorph. Dieser Satz stellt also gewissermaßen die Umkehrung des Cauchyschen Integralsatzes dar. Beweis: Da Holomorphie eine lokale Eigenschaft ist, reicht es zu zeigen, dass die Aussage des Satzes gilt, wenn U eine offene Kreisscheibe ist. Die Voraussetzungen für Satz 3.6 sind erfüllt, daher besitzt f in U eine Stammfunktion F. F ist holomorph und somit beliebig oft komplex differenzierbar, also auch die Ableitung f = F. Satz 3.18 (Weierstrass) U lc sei offen, f ν : U lc (ν = 1, 2,...) seien holomorph, und die Folge {f ν } konvergiere lokal gleichmäßig auf U (d. h. gleichmäßig auf kompakten Teilen von U) gegen die Funktion f. Dann ist f in U holomorph, und für alle n = 1, 2,... konvergiert {f ν (n) } lokal gleichmäßig gegen f (n) auf U. ),

42 KAPITEL 3. DIE STAMMFUNKTION 39 Beweis: α) f sei stetig. Sei γ eine Parametrisierung des Randes eines Dreiecks in U. Es gilt f(z) dz = lim f ν (z) dz = 0, γ ν γ }{{} =0 (Cauchy) woraus aus dem Satz von Morera folgt, dass f in U holomorph ist. β) Es reicht zu zeigen, dass f ν f lokal gleichmäßig konvergiert; die höheren Ableitungen ergeben sich induktiv daraus, dass f ν und f ihrerseits wieder holomorph sind. Es gilt für z 0 U und geeignetes r > 0 (f ν f) (z) = 1 f ν (ζ) f(ζ) dζ 2πi (ζ z) 2 κ(r,z 0 ) für alle z U mit z z 0 < r. Es folgt für z mit z z 0 < r/2: f ν(z) f (z) 1 2π 2πr 1 ( r 2) 2 max ζ z 0 <r/2 f ν (ζ) f(ζ), }{{} 0 (ν ) die Konvergenz auf der rechten Seite wegen der gleichmäßigen Konvergenz f ν f auf kompakten Teilen. Satz 3.19 (Schwarzsches Spiegelungsprinzip) U sei im Teilraum {z lc; Imz 0} des metrischen Raums lc offen, und U IR enthalte ein offenes Intervall. f : U lc sei stetig, und f sei holomorph. Ferner nehme f auf U IR nur U reelle Werte an. Dann ist durch { f(z), z U f := f(z), z U eine auf U U holomorphe Funktion definiert. Beweis: α) Zunächst zeigen wir, dass f auf U holomorph ist: Schreiben wir f = g + ih und z = x + iy, so gilt f(z) = g(x, y) ih(x, y) =: g(x, y) + i h(x, y). Offenbar sind g und h reell differenzierbar.

43 KAPITEL 3. DIE STAMMFUNKTION 40 Es bleiben die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen nachzurechnen: g x = g x (x, y) = h y (x, y) = h y g y = g y (x, y) = h x (x, y) = h x β) Um zu zeigen, dass sich f analytisch von der oberen Halbebene auf die untere Halbebene forsetzen lässt, wenden wir wiederum den Satz von Morera an. C U a α β b A B U Sei dazu γ = [A, B, C, A] der Rand eines Dreieckes U U. Einzig interessant ist der Fall, wenn sowohl U als auch U gilt falls komplett in der oberen oder unteren Halbebene liegen sollte und IR = gilt, ist das Integral γ f = 0, da f nach Voraussetzung und nach α) außerhalb der Achsen holomorph ist. O. B. d. A. liege der Punkt C in der oberen Halbebene, die Punkte A, B in der unteren ansonsten betrachten wir die jeweils andere Halbebene; für den Fall, dass einer der Punkte auf der reellen Achse liegt, wird analog verfahren. Seien a, b die Schnittpunkte der Kanten [C, A] und [B, C] mit der reellen Achse. Wir zeigen, dass das Integral von f über den Streckenzug γ := [a, b, C, a] verschwindet analog verfährt man bei dem Integral über [A, B, b, a, A].

44 KAPITEL 3. DIE STAMMFUNKTION 41 Auf dem abgeschlossenen Dreieck, das durch die Punkte a, b, C begrenzt wird, ist f nach Voraussetzung stetig, also gleichmäßig stetig. Zu ε > 0 gibt es somit ein δ > 0, so dass f(z) f(z ) < ε für z z < δ. Seien α, β auf den Strecken [C, a] bzw. [b, C] so gewählt, dass α a < δ und β b < δ. Das Dreieck [α, β, C, α] liegt ganz in der oberen Halbebene, da f dort holomorph ist, gilt f = f. γ [a,b,β,α,a] Nach Wahl von α und β ist für 0 t 1 also tβ + (1 t)α (tb + (1 t)a) = t(β b) + (1 t)(α a) < δ, f(tβ + (1 tα)) f(tb + (1 t)a) < ε. Sei M das Maximum von f auf dem Dreieck a,b,c und sei l = L(γ ). Es folgt unmittelbar, dass f < Mδ und f < Mδ, also insgesamt [α,a] [b,β] f 2Mδ + f f γ = 2Mδ + [a,b] (b a) 2Mδ + b a [β,α] (b a) (β α) 0 f(tb + (1 t)a) dt (β α) 1 ( f(tb + (1 t)a) f(tβ + (1 t)α) ) dt 1 0 f(tβ + (1 t)α) dt 2Mδ + ε b a + M (b β) + (α a) 4Mδ + εl. 0 f(tβ + (1 t)α) dt Da bei vorgegebenem ε auch δ < ε gewählt werden kann, wird das Integral f γ betraglich beliebig klein.

45 KAPITEL 3. DIE STAMMFUNKTION 42 Definition 3.20 Sei f : U lc holomorph, und sei f(z 0 ) = 0. Unter der Ordnung der Nullstelle versteht man diejenige Zahl k (falls es eine solche gibt), für die f(z 0 ) = f (z 0 ) =... = f (k 1) (z 0 ) = 0, f (k) 0 und sonst. Zum Beispiel hat die Funktion f(z) = z k in 0 eine Nullstelle der Ordnung k. Bemerkung: 1. Hat f in z 0 eine Nullstelle der Ordnung, so verschwindet f identisch in einer Umgeung um z 0. Dies folgt unter anderem aus dem Potenzreihenentwicklungssatz: f(z) = n=0 f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n. n! 2. g habe in z 0 eine einfache Nullstelle. Dann hat f(z) = (g(z)) k in z 0 eine k-fache Nullstelle. Satz 3.21 (Verhalten holomorpher Funktionen in der Nähe von Nullstellen) Hat die Funktion f bei z 0 eine k-fache Nullstelle, so gibt es eine in einer Umgebung U 0 um z 0 holomorphe Funktion h mit einer einfachen Nullstelle in z 0 und f(z) = (h(z)) k für z U 0. Beweis: Sei o. B. d. A. z 0 = 0. Nach Satz 3.12 gilt f(z) = n=k c nz n für z < ρ, wobei ρ der Konvergenzradius der Potenzreihe ist. Sei ohne Einschränkung c k = 1 ansonsten betrachten wir die Funktion 1/c k f. Wir können also schreiben: ) f(z) = z (1 k + c n z n. n=k+1 } {{ } =:g(z) Für die Funktion g können wir sofort erkennen: g ist holomorph, und g(0) = 0. Die Idee ist nun, f in der folgenden Art zu schreiben: ( f(z) = z + k ) k. 1 + g(z) }{{} =:h(z) Wegen k 1 + g(0) 0 hätte h in 0 nur eine einfache Nullstelle. Es bleibt die Frage, ob k 1 + g(z) eine holomorphe Funktion ist.

46 KAPITEL 3. DIE STAMMFUNKTION 43 Man vergleiche etwa: z ist in 0 nicht holomorph, denn 0 = 0; ist m die Ordnung dieser Nullstelle, so hätte ( z) 2 = z in 0 eine Nullstelle der Ordnung 2m. Aber die Funktion z hat im Nullpunkt eine Nullstelle erster Ordnung. Es gilt aber folgende Aussage: 1 + g(0) = 1 und dzk dz = k 0. Mit dem aus der reellen Analysis bekannten z=1 Satz von der Umkehrfunktion 1 können wird folgern, dass z z k lokal um den Punkt 1 ein Diffeomorphismus ist, also mit differenzierbarer Umkehrabbildung. Betrachten wir also z z k : U 1 U 2 lokal in geeigneten Umgebungen U 1, U 2 um 1. Sei χ := k die zugehörige Umkehrfunktion. Man wähle die Umgebung U 0 so klein, dass (1 + g(z)) U 2 für alle z U 0. Dann ist χ(1 + g(0)) = 1, und h(z) = zχ(1 + g(z)) hat in 0 eine einfache Nullstelle, und f(z) = (h(z)) k in U 0. Wir haben im vorangegangenen Beweis die Umgebung um den Punkt 1 klein gewählt. In einer Umgebung um eine k-fache Nullstelle muss man sich nämlich auf ein anderes Verhalten einstellen. Betrachten wir als Beispiel die Funktion z z 2 in einer Umgebung um den Nullpunkt. y z v w x u Ist z = Re iϕ, so ist z 2 = R 2 e i2ϕ = ( z) 2. Zu einem Punkt lassen sich also zwei Urbilder finden, abgesehen von der Nullstelle. Allgemeiner gilt die folgende Aussage: Satz 3.22 (Blätterzahl bei einer Nullstelle einer holomorphen Funktion) Sei z 0 eine k fache Nullstelle einer holomorphen Funktion f. Dann gibt es zu jedem hinreichend kleinen ε > 0 eine offene Umgebung U ε von z 0, die durch f auf 1 Oder dem Identitätssatz für Potenzreihen

47 KAPITEL 3. DIE STAMMFUNKTION 44 die Kreisscheibe {w; w < ε} abgebildet wird, und zwar so, dass f Uε jeden Wert w mit 0 < w < ε genau k mal und den Wert 0 genau einmal bei z 0 annimmt. Beweis: Sei o. B. d. A. z 0 = 0. α) f(z) = z k ist verstanden; denn ist w = re iϕ, r > 0, so existieren genau k Wurzeln k re i ϕ+2πm k, m = 0, 1, 2,..., k, woraus die Behauptung für einen Spezialfall folgt. β) Aus Satz 3.21 folgt: es gibt eine lokal biholomorphe Funktion h : lc lc in einer Umgebung um 0, mit h(0) = 0, h (0) 0 und f(z) = (h(z)) k, d. h. es gibt Umgebungen U, V von 0, so dass h U : U V bijektiv und holomorph ist und (h U ) 1 ebenfalls holomorph ist. Sei ε so klein, dass {ζ; ζ < k ε} V, so hat (h U ) 1 ({ζ; ζ < k ε}) =: U ε die gewünschte Eigenschaft. Satz 3.23 (Identitätssatz für holomorphe Funktionen) G lc sei ein Gebiet. f, g : G lc seien holomorph und stimmen auf einer Teilmenge von G, die mindestens einen Häufungspunkt in G enthält, überein. Dann gilt f = g auf ganz G. Beweis: z 0 sei ein solcher Häufungspunkt. Dann hat h = f g bei z 0 eine Nullstelle unendlicher Ordnung. (Ansonsten gäbe es nach Satz 3.22 eine Umgebung von z 0, die keine weitere Nullstelle von h enthält. Nullstellen endlicher Ordnung liegen isoliert.) Sie die Menge M definiert durch M := {z G; h hat in z eine Nullstelle unendlicher Ordnung}. Dann ist M offenbar nichtleer (denn z 0 M). Ferner ist M offen, denn nach dem Potenzreihenentwicklungssatz gilt lokal um z 0 h (n) (z 0 ) h(z) = (z z 0 ) n 0. n! n=0 Gleichzeitig ist auch G \ M offen, denn falls es ein p G \ M mit h(p) 0 gibt, folgt aus der Stetigkeit von h, dass es eine volle Umgebung um p geben muss, wo h von Null verschieden ist. Also: M ist nichtleer und offen und abgeschlossen in G. Da G zusammenhängend ist, folgt M = G.