Straßentunnel. die Bohrlinie der Bohrung II, also die Gerade durch B 1 und B 2, trifft und berechnen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt B 3.

Transkript

1 $XIJDEH $QDO\WLVFKH*HRPHWULH NAME:. Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Beschreiben Sie dabei Ihre Vorgehensweise und kommentieren Sie Ihre Lösungen. Die Qualität der tetlichen Begleitung wird mitbewertet. Notieren Sie Ihre Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse in der in der Mathematik üblichen Form und nicht in der CAS-Eingabeform. Straßentunnel Um eine, alte unfallträchtige Straße über einen Alpenpass zu entlasten, wird ein Tunnel für eine neue Straße durch ein Bergmassiv gebohrt. Eine erste Bohrung I für einen Teil des neuen Tunnels führt geradlinig vom Punkt A ( 0 00) zum Punkt A (7 50 0). Einer Einheit im Koordinatensystem entsprechen 0 m im Gelände. Geben Sie Ihre Ergebnisse (durch Näherungswerte) auf einen Meter genau an. Die -y-ebene entspricht der Erdoberfläche auf Meereshöhe. a) Stellen Sie die Geradengleichung für die Bohrung I durch A und A auf. Berechnen Sie, wie lange die Bohrung von A nach A dauert, wenn die Bohrung pro Tag um m vorangetrieben wird. b) Zeitgleich wird eine Bohrung II von B ( ) nach B ( ) durchgeführt. Weisen Sie nach, dass die Bohrungen I und II sich auch bei Verlängerung nicht treffen können. Bestimmen Sie, wie viele Meter bei Bohrung II pro Tag geschafft werden müssen, damit beide Bohrungen (von A bis A bzw. von B nach B ) gleich lange dauern. c) Bohrung I wird über A hinaus bis zur doppelten Länge fortgeführt. Berechnen Sie den neuen Endpunkt A 3. Zur Kontrolle Ihrer eigenen Rechnung: A 3 ( 60 0) d) Im Punkt A 3 trifft die Bohrung I auf eine sehr harte Gesteinsschicht. Deshalb wird von 9 r A 3 weiter in Richtung v = 0 gebohrt. Prüfen Sie, ob die Fortführung dieser Bohrung 5 die Bohrlinie der Bohrung II, also die Gerade durch B und B, trifft und berechnen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt B 3. e) Ermitteln Sie Zahlen λ, µ und ν derart, dass gilt: A B = A A + µ A3 B3 + ν BB λ. r r r Prüfen Sie, ob der Vektor AB auf diese Art auch allein durch AA und A3B3 ausgedrückt werden kann, und geben Sie falls möglich diese Darstellung an. Diese Darstellungen können aus den bisherigen Ergebnissen ohne große Rechnung hergeleitet werden. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe BE

2 $XIJDEH $QDO\WLVFKH*HRPHWULH NAME:. Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Beschreiben Sie dabei Ihre Vorgehensweise und kommentieren Sie Ihre Lösungen. Die Qualität der tetlichen Begleitung wird mitbewertet. Notieren Sie Ihre Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse in der in der Mathematik üblichen Form und nicht in der CAS-Eingabeform. Seenot Auf einer Segelyacht wird eine Person bewusstlos. Der Schiffsführer setzt sofort einen Notruf ab. Dieser Notruf erreicht eine Küstenfunkstelle sowie einen Fischkutter im näheren Umkreis der Segelyacht. Von der Küstenfunkstelle läuft daraufhin unmittelbar ein Seenotrettungskreuzer aus. Der Kutter nimmt ebenfalls Kurs auf die gemeldete Unglücksstelle. a) Die Segelyacht meldet beim Notruf die Koordinaten ( 9 0). Die Koordinaten der Küstenfunkstelle sind (3 5 0). Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden, auf der sich der Rettungskreuzer bewegen muss. b) Der Rettungskreuzer läuft konstant mit Knoten, das sind 0 km/h. Bestimmen Sie die Zeit (auf ganze Minuten gerundet), nach der er die Segelyacht erreicht. ( Längeneinheit im Koordinatensystem entspreche km in der Wirklichkeit.) Zur Kontrolle Ihrer eigenen Rechnung: t min 8 r c) Die Kurslinie des Kutters entspricht der Geraden = 3 + n, n R. 0 0 Prüfen Sie, ob der Kutter auf diesem Kurs die gemeldete Position der Segelyacht trifft und berechnen Sie gegebenenfalls die Größe des Winkels, unter dem der Kutter auf den Seenotrettungskreuzer treffen würde. d) Fertigen Sie eine Zeichnung nur in der -y-ebene an, die den Sachverhalt vollständig darstellt (Winkel, alle genannten Positionen sowie sinnvolle Darstellungen der Richtungsvektoren). Wählen Sie für die Längeneinheit: LE = 0,5 cm. e) Der Rettungskreuzer erreicht die gemeldete Unglücksstelle als erster. Leider ist die Segelyacht mittlerweile durch eine Strömung abgetrieben worden. Die Strömung setzte genau rechtwinklig zur Kurslinie des Rettungskreuzers mit km/h ein, und zwar aus Blickrichtung der Besatzung des Rettungskreuzers nach steuerbord, das ist der seemännische Ausdruck für in Kursrichtung rechts. Bestimmen Sie rechnerisch eine vektorielle Gleichung für die Gerade, auf der die Segelyacht abgetrieben wurde. Geben Sie auch eine Geradengleichung an, in der für den Richtungsvektor r gilt: r =. f) Berechnen Sie die neue Position der Yacht. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe BE

3 $XIJDEH $QDO\VLV NAME:. Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Beschreiben Sie dabei Ihre Vorgehensweise und kommentieren Sie Ihre Lösungen. Die Qualität der tetlichen Begleitung wird mitbewertet. Notieren Sie Ihre Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse in der in der Mathematik üblichen Form und nicht in der CAS-Eingabeform. Eponentialfunktion Im Folgenden werden die für alle reellen Zahlen definierte Funktion f mit f ( ( + ) e = und ihr Graph G f auf charakteristische Eigenschaften untersucht. a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und untersuchen Sie G f auf relative Etrempunkte und deren Art sowie auf Wendepunkte. b) Geben Sie lim ( ) e + Koordinatensystem: LE = cm. + an und zeichnen Sie den Graphen G f für,5 < < 8. c) Berechnen Sie den Inhalt A der Fläche im. Quadranten, die von der -Achse, der y- Achse und dem Graphen G eingeschlossen wird. f d) Die Tangente im Wendepunkt und die zu dieser Wendetangente orthogonale Tangente an den Graphen G bilden mit der -Achse ein Dreieck. Bestimmen Sie den Schnittpunkt f der zwei Tangenten und den Flächeninhalt des Dreiecks. e) Ihre in b) gezeichnete Kurve wird nun für 0 als das seitliche Profil einer Rodelbahn betrachtet. Im höchsten Punkt H (0 ) startet ein Rodler und gewinnt mit stärker werdendem Gefälle an Fahrt. In einem Punkt ist das Gefälle maimal. Geben Sie zunächst diesen Punkt und das Gefälle dort an. Erläutern Sie sodann, ob es Punkte auf der Rodelbahn geben muss, an denen das Gefälle 0 % des maimalen Gefälles beträgt. Bestimmen Sie gegebenenfalls die Koordinaten. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe BE

4 $XIJDEH 6WRFKDVWLN NAME:. Bearbeiten Sie die Aufgabenteile. Beschreiben Sie dabei Ihre Vorgehensweise und kommentieren Sie Ihre Lösungen. Die Qualität der tetlichen Begleitung wird mitbewertet. Notieren Sie Ihre Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse in der in der Mathematik üblichen Form und nicht in der CAS-Eingabeform. Handy am Steuer Auf einer Durchgangsstraße soll der Anteil der Autofahrer untersucht werden, die während der Fahrt das Handy benutzen. Wir nehmen an, dass die Autofahrer unabhängig voneinander telefonieren oder nicht telefonieren. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Autofahrer telefoniert, sei p. a) Bestimmen Sie für p = 5 % die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass unter 0 vorbeifahrenden Autos - kein Fahrer, - genau ein Fahrer bzw. - mindestens ein Fahrer sein Handy benutzt. b) Ermitteln Sie die unbekannte Wahrscheinlichkeit p dafür, dass unter 0 vorbeifahrenden Autos mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % mindestens eines von einer telefonierenden Person gelenkt wird. c) Berechnen Sie für p = 5 % die Anzahl der Autos, die man mindestens überprüfen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % oder mehr mindestens einmal ein Fahrer beim Telefonieren beobachtet wird. d) Bei bekannter Wahrscheinlichkeit p = 5 % kontrolliert man die vorbeifahrenden Autos so lange, bis man einen telefonierenden Fahrer entdeckt, höchstens aber 0 Fahrzeuge. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass tatsächlich 0 Fahrzeuge kontrolliert werden müssen. e) Das Ereignis, dass bei einer Kontrolle von 0 Fahrzeugen die ersten vier Autos von keiner telefonierenden Person gelenkt werden, aber trotzdem unter den 0 Fahrern genau zwei Personen während der Fahrt das Handy benutzen, werde mit B benannt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit P(B) allgemein in Abhängigkeit von p. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe BE

5 LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH $XIJDEH6WUD HQWXQQHO Aufgabenteil Erwartete Leistung BE in AFB Erbrachte Leistung I II III BE Begutachtung a) Geradengleichung der Gerade A A g : 5 r = 0 + r 0 00 Abstand d(a,a ) = 6,5 Das entspricht ca. der Länge m, die Bohrung dauert 56 Tage 3 b) Geradengleichung der Gerade B B g : 75 0 r = 90 + s 0 7 Die Richtungsvektoren sind parallel Punktprobe oder Identitätsprüfung führt auf einen Widerspruch Folgerung: Geraden sind echt parallel Abstand d(b,b ) = 50, 99 Das entspricht ca. m Tunnellänge; bei 56 Tagen Bohrung müssen m pro Tag geschafft werden c) In g wird r = gesetzt: A 3 ( 60 0) d) Geradengleichung durch A 3 e) g 3 : 9 r = 60 + t LGS lösen: s =,5 und t = Schnittpunkt mit g ist B 3 (50 0 ) r r r r r r r A B = A A + A B,5B B 3 3 A B = 7A A + A B Summe 9 mögliche BE 35 erreichte BE: Bei der Bemessung der Anzahl der Bewertungseinheiten und bei der Zuordnung zu den Anforderungsbereichen wurde die Dauer der Unterrichtszeit im ma-3 bis zur Probeklausur berücksichtigt und von den inhaltlichen Vorgaben im Fachbrief vom ausgegangen.

6 LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH $XIJDEH6HHQRW Aufgabenteil Erwartete Leistung a) Geradengleichung durch Punkte, z.b. 3 8 r = 5 + m, m R b) c) Abstandsbestimmung für Punkte, Ergebnis: d = 60 6, Streckenlänge: ca. 6, km d t = 0,03 h min v Ortsvektor für ( 9 0) einsetzen, Ergebnis: Der Punkt liegt auf der Kurslinie des Kutters. Der Kutter würde unter einem Winkel von ca. 36 auf den Seenotrettungskreuzer treffen. d) Zeichnung BE in AFB Erbrachte Leistung I II III BE Begutachtung 5 6 Zwischensumme 0 0

7 LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH $XIJDEH6HHQRW e) Übertrag 0 0 Bestimmung eines orthogonalen Vektors unter Beachtung der Bedingung z = 0, 7 7 Ergebnis z.b.: oder. 0 0 Angabe einer Geradengleichung, z. B.: 7 r = 9 + a 0 0 Geradengleichung mit normiertem Richtungsvektor: 7 / 65 r 3 = 9 + a / f) Berechnung der neuen Position mit der Zeit t min (aus b): (, 8, 0) 5 Summe 3 8 mögliche BE 35 erreichte BE: Bei der Bemessung der Anzahl der Bewertungseinheiten und bei der Zuordnung zu den Anforderungsbereichen wurde die Dauer der Unterrichtszeit im ma-3 bis zur Probeklausur berücksichtigt und von den inhaltlichen Vorgaben im Fachbrief vom ausgegangen.

8 LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH $XIJDEH([SRQHQWLDOIXQNWLRQ Aufgabenteil a) Erwartete Leistung Berechnung von f ( 0) = und Angabe von S (0 ), Nennen der Bedingung y f ( = 0 für Nullstellen, Lösen der Gleichung 0 = ( + ) e = und Angabe von S ( 0). Nennen einer hinreichenden Bedingung für lokale Etrema, z. B. f ( = 0 f ( 0, Angabe von f ( = e, Verwenden der notwendigen Bedingung f ( = 0, Lösen von 0 = e = 0. Angabe von = f ( e und von f (0) = < 0 ; Aussage, dass 0 eine relative Maimalstelle ist sowie Angabe von H (0 ). 3 Nennen einer hinreichenden Bedingung für Wendestellen, z. B. f ( = 0 f ( 0, Verwenden der notwendigen Bedingung f ( = 0, Lösen von 0 = e =. Angabe von f ( = e ( e und von f () = 0 ; Aussage, dass eine Wendestelle ist; Angabe von W ( 8 e ) W (,9). 3 BE in AFB Zwischensumme 0 0 Erbrachte Leistung I II III BE Begutachtung

9 LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH $XIJDEH([SRQHQWLDOIXQNWLRQ b) Angabe von lim ( + ) e = 0 + Zeichnung: Übertragung des Graphen vom CAS Übertrag 0 0 c) d) Ansatz 0 A = ( + ) e d und A = 8e 6 ( FE Angabe von ) Gleichung der Wendetangente: t ( = e + e ; Berührpunkt für die orthogonale Tangente: B ( 0,88 3,8), e Gleichung: t ( +, 67 ; Schnittpunkt der Tangenten S ( 0,,5) ; Nullstellen von t und t : = 6 und 3, ; Ansatz für Flächeninhalt eines Dreiecks: A = g h ; 5 e) A (6 + 3,),5, A,3 ( FE) Angabe von W ( 8 e ) und des Gefälles im Wendepunkt aus d): () = e f. Begründen aus dem Verlauf des Graphen, dass es zwei Punkte geben muss; Angabe von 0% des Gefälles = mit f ( e 0, und der Gleichung e = 0, e Angabe der Lösungen und der Punkte mit korrekten Rundungen: P (0,6,00) und Q (8,00 0,37). ; Summe 0

10 mögliche BE 35 erreichte BE:

11 LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH $XIJDEH+DQG\DP6WHXHU Aufgabenteil a) Erwartete Leistung Bernoullikette der Länge n=0 mit der Trefferwahrscheinlichkeit p=0,5. P(X=0)= B(0;0,5;0)=0,85 0 = 0,97 P(X=)=B(0;0,5;)=0,37 P ( X ) = P( X = 0) = -B(0;0,5;0)=-0,85 0 =0,803 b) X liefert die Anzahl der telefonierenden Fahrzeuglenker. Es liegt eine Bernoullikette der Länge n=0 mit der unbekannten Trefferwahrscheinlichkeit p vor, wobei mindestens Treffer mit 95% Wahrscheinlichkeit erzielt werden soll: P ( X ) = P( X = 0) = 0, B (0; p;0) = 0,05 ( ) 0 p p 0, p = 0,05 0,59 c) P ( X ) = P( X = 0) 0, 95 0 n 0 = 0,05 n BE in AB P( X = 0) = 0,5 0,85 = 0, 85 n log0,05 0,85 0,95 ; n 8, log0,85 Man muss wenigstens neunzehn Autos kontrollieren, um mit mindestens 95% Wahrscheinlichkeit einen Fahrer mit Handy zu finden. 8 Zwischensumme 0 Erbrachte Leistung I II III BE Begutachtung 6

12 LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH $XIJDEH+DQG\DP6WHXHU Übertrag 0 d) X liefert die Anzahl der bei diesem Vorgehen kontrollierten Autos. E habe die Bedeutung, dass im 0. Auto ein telefonierender Fahrer sitzt oder im 0. Auto immer noch kein telefonierender Fahrer sitzt: P(E)=(-p) 9 p+(-p) 0 =(-p) 9 =0,85 9 =0,3 bei bekanntem p=0,5. 5 e) Die ersten vier sind keine Handybenutzer, Ereignis F: P(F) = (-p) ; bei den nächsten sechs sind zwei Handybenutzern dabei: Bernoullikette der Länge n=6 mit genau zwei Treffern 6 B(6;p;)= ( p) p. Somit erhält man P(B)=P(F)B(6;p;) 8 = 5 p ( p) Summe 9 mögliche BE 35 erreichte BE: