Mathematik (Profile I, L, M, S, W, Z) Kandidatin / Kandidat

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1 Gymnasium Muttenz Maturitätsprüfung 2007 Mathematik (Profile I, L, M, S, W, Z) Kandidatin / Kandidat Name Vorname:... Klasse:... Hinweise Die Prüfung dauert 4 Stunden. Es können maximal 48 Punkte erreicht werden. 40 Punkte ergeben die Note 6. Erlaubte Hilfsmittel: 1. Teil (Aufgaben 1 bis 3): TI-89 Formelsammlung der Kantonsschule Zelgli 2. Teil (Aufgaben 4 und 5): Nur Formelsammlung der Kantonsschule Zelgli (Aarau) Vorgehen: Im 1. Teil lösen Sie die Aufgaben 1 bis 3 mit Hilfe des TI-89. Nach Abgabe des TI-89 erhalten Sie die Aufgaben 4 und 5, welche ohne Taschenrechner gelöst werden müssen. Der Lösungsweg muss bei allen Aufgaben ersichtlich und vollständig sein. Der Einsatz des TI-89 ist klar anzugeben. Klassen Examinatoren/Examinatorin Experten 4IL/4LI 4MS/4SM 4S 4Wa 4Wb 4Z Bewertung (Details siehe Lösungen) Aufgabe 1 10 Punkte (möglich) Punkte (erreicht) Punktsumme Benotung Note = " Punktesumme! 5 +1 $ # 40 %, gerundet auf halbe Noten!

2 1. Teil (mit TI 89) Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktionenschar f a : x! y = f a = a " x " x3 a > Berechnen Sie von den Graphen von f a die Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte in Abhängigkeit von a. Die Nachweise sind zu erbringen. (3 Punkte) 1.2. Zeichnen Sie die Graphen von f a für a = 1 und a = 2. Dabei müssen Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte exakt eingezeichnet und mit den Koordinaten beschriftet sein (Einheiten auf beiden Koordinatenachsen: 2 Häuschen) Alle Hochpunkte der Graphen der Funktionenschar liegen auf einer Kurve. Ermitteln Sie die Gleichung dieser Kurve und zeichnen Sie diese mit einer neuen Farbe in dasselbe Koordinatensystem. (1.5 Punkte) 1.4. Ein Graph der Funktionenschar schliesst mit der x-achse im ersten Quadranten eine Fläche mit 9 Flächeneinheiten ein. Berechnen Sie a. Für die folgende Teilaufgabe gilt a = Der Punkt P(u v) mit 0 < u < 5 liegt auf der Kurve von f 2. Die Punkte P, Q(u 0) und R(5 0) sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Berechnen Sie die Koordinate u des Punktes P so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal ist. Der Nachweis des Maximums muss erbracht werden.

3 Aufgabe 2 Bei der Gymnasiade wird unser Gymnasium durch eine Delegation von sechs Personen aus der zweiten, acht Personen aus der dritten und vier Personen aus der vierten Klasse vertreten Für die Vorbereitungsarbeiten werden zwei Personen aus unserer Vertretung ausgelost. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse. Ereignis A: Beide Personen sind aus der zweiten Klasse. Ereignis B: Eine Person ist aus der dritten und eine aus der vierten Klasse Bei der Eröffnung stellen sich alle Teilnehmer aus unserer Schule in eine Reihe Wie viele Anordnungen gibt es, wenn nur die Zugehörigkeit zur Klasse interessiert? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass vier Teilnehmer aus der vierten Klasse nebeneinander stehen Ein Wettbewerb ist Ballzielwurf. Peters Trefferwahrscheinlichkeit sei bei jedem Wurf Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Peter bei zehn Würfen genau 4 Treffer erzielt Wie oft muss Peter werfen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass er wenigstens zweimal trifft, mindestens 0.95 beträgt? (1.5 Punkte) 2.4. Zum Schluss findet ein Plauschwettbewerb statt, an dem noch neun zuvor bestimmte Personen unserer Schule teilnehmen. Es müssen eine Zweier-, eine Dreier- und eine Vierermannschaft gebildet werden. Auf wie viele Arten können diese gebildet werden, wenn unter den neun Personen zwei auf keinen Fall in der gleichen Mannschaft sein wollen?

4 Aufgabe 3 8 Punkte Einem Würfel mit der Kantenlänge a = 1 m wird ein gerader Zylinder so aufgesetzt, dass die Grundfläche des Zylinders der Deckfläche des Würfels einbeschrieben wird. Auf gleiche Weise wird dem Zylinder ein zweiter Würfel so aufgesetzt, dass dieses Mal die Grundfläche des zweiten Würfels der Deckfläche des Zylinders einbeschrieben wird. Die Höhen der Zylinder sind jeweils gleich lang wie die Durchmesser d ihrer Grundflächen. Dieser Prozess wird unendlich oft wiederholt. a a a 3.1. Berechnen Sie die Kantenlängen der ersten beiden aufgesetzten Würfel und die Durchmesser der ersten beiden aufgesetzten Zylinder Berechnen Sie die Volumeninhalte der ersten beiden aufgesetzten Würfel und der ersten beiden Zylinder Berechnen Sie die Höhe dieses Würfel-Zylinder-Turmes, wenn der Prozess unendlich oft durchgeführt wird Berechnen Sie den Grenzwert des Turmvolumens, wenn der Prozess unendlich oft durchgeführt wird. (1.5Punkte)

5 Gymnasium Muttenz Maturitätsprüfung 2007 Mathematik (Profile I, L, M, S, W, Z) Kandidatin / Kandidat Name Vorname:... Klasse: Teil (ohne Rechner) Aufgabe Gegeben sind zwei Geraden " 2% " )3% " )2% " )2% g 1 :! r = $ 2' $ ' + t ( $ 4 ' g $ ' 2 :! r = $ 4 ' $ ' + s ( $ 6 ' $ ' # 1& # 1 & # 4 & # )1& Zeigen Sie rechnerisch, dass sich die Graphen von g 1 und g 2 in einem Punkt S schneiden und berechnen Sie die Koordinaten von S Geben Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E durch g 1 und g 2 an Eine kleine Kugel liegt auf dem Punkt R(0 0 4) der Ebene E. Die Kugel rollt senkrecht zur ersten Spur von E auf der Ebene E hinunter. Beschreiben Sie die Bahn der Kugel durch Angabe einer Geradengleichung Ein Lichtstrahl geht vom Punkt P(6 0 5) aus und trifft senkrecht auf die Gerade g 1. Bestimmen Sie einen Richtungsvektor des von P ausgesandten Lichtstrahls. (3 Punkte)

6 Aufgabe Lösen Sie die unbestimmten Integrale 3x (1)! " dx (2) " ( 2! sin(x) + cos(2x) + x 2 3x)! dx x Für welche Zahlen a hat die Gleichung e 2x ( a 2)! e x + 4 = 0 genau eine Lösung und wie lautet diese Lösung? e ist die Eulersche Zahl Vom Graphen der Funktion x! y = f (x) kennt man vier Punkte A, B, C und D sowie den Graphen der ersten Ableitungsfunktion x! y' = f '(x) (siehe Beiblatt) Zeichnen Sie in den Kurvenpunkten B und D der Funktion x! y = f (x) die Tangenten möglichst exakt ein Zeichnen Sie im oberen Koordinatensystem einen möglichen Graphen der Funktion x! y = f (x) (4 Punkte) (1.5 Punkte)

7 Beiblatt zu Aufgabe 5.3. y x y' x