MATHEMATIK 5 STUNDEN

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Karlheinz Hofmann
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1 EUROPÄISCHES ABITUR 202 MATHEMATIK 5 STUNDEN DATUM :. Juni 202, Vormittag DAUER DER PRÜFUNG: 3 Stunden (80 Minuten) ZUGELASSENE HILFSMITTEL : Prüfung mit technologischem Hilfsmittel /6 DE

2 AUFGABE B ANALYSIS Seite /5 Punkte Für alle ganzen Zahlen n 0 ist die Funktionenschar g n gegeben durch nx e gn( x ). x e a) Skizzieren Sie das Schaubild von g 0. b) Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen x gilt: g0( x) g( x ). Erklären Sie die geometrische Bedeutung dieser Aussage und skizzieren Sie das Schaubild von g im selben Diagramm wie das Schaubild von g 0. c) Zeigen Sie, dass alle Schaubilder y gn( x ) einen gemeinsamen Punkt A besitzen. Bestimmen Sie die Koordinaten von A. d) Bestimmen Sie für n 2 das Verhalten von gn ( x ) für x und für x und geben Sie eine Gleichung der Asymptote an. e) Berechnen Sie gn ( x ) für n 2 und bestimmen Sie, ob g n steigend oder fallend ist. f) Im Punkt mit x 0 besitzt das Schaubild von g n eine Tangente, die parallel zur Gerade 9x 4y 0 ist. Berechnen Sie n und bestimmen Sie eine Gleichung dieser Tangente. g) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Schaubildern von g 0 und g, sowie den Geraden x und x begrenzt wird. h) Für alle ganzen Zahlen n 0 ist eine Zahlenfolge I n gegeben durch 0 I ( ) n gn x dx. Ermitteln Sie mit Hilfe Ihres Rechners die kleinste Zahl n, für die gilt I 0,. n 2/6

3 AUFGABE B2 GEOMETRIE Seite 2/5 Punkte In einem 3-dimensionalen Raum sind die Geraden gegeben x 2 7 x 3 0 d : y 3 4, und d : y 2 6,. 2 z z a) Zeigen Sie, dass d und d 2 windschief sind. b) Die Gerade p schneidet jede der beiden Geraden d und d 2 senkrecht. 5 Punkte Stellen Sie ein Gleichungssystem für die Gerade p auf. c) Bestimmen Sie den kürzesten Abstand zwischen den Geraden d und d 2. d) Die Gerade l geht durch den Punkt M ( 2 0) und sie schneidet jede der beiden Geraden d und d 2. Stellen Sie die Gerade l in Parameterform dar. 4 Punkte e) Gibt es seine Kugel mit dem Mittelpunkt M, die beide Geraden d und d 2 berührt? Begründen Sie Ihre Antwort. f) Bestimmen Sie eine Gleichung für diejenige Kugel, die den Mittelpunkt M besitzt und die die Gerade d 2 berührt. 3/6

4 AUFGABE B3 WAHRSCHEINLICHKEIT Seite 3/5 Punkte Verwenden Sie den Rechner für alle Rechnungen in dieser Aufgabe. Die Durchmesser der Eier, die in einem Bauernhof produziert werden, sind normalverteilt mit einem Mittelwert von 60 mm und einer Standardabweichung von 5 mm. a) 98 % Eier der Produktion besitzen Durchmesser im Intervall 60 k, 60 k. Berechnen Sie, gerundet auf 2 Dezimalstellen, den Wert von k in mm. 5 Punkte Eier mit einem Durchmesser von 70 oder mehr Millimetern werden als extragroß bezeichnet. b) Zeigen Sie, dass extragroße Eier etwa 2,275 % der Produktion ausmachen. 4 Punkte Der Bauernhof produziert täglich 4000 Eier. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in 7 Tagen die Gesamtzahl der extragroßen Eier im Intervall [600, 650] liegt. 5 Punkte Einige Eier besitzen mehr als einen Dotter. Im Durchschnitt haben 30 % der extragroßen Eier mehr als einen Dotter, andererseits besitzen nur 0,5 % der anderen Eier mehr als einen Dotter. d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei, das zufällig aus den Eiern dieses Bauernhofs gewählt wird, mehr als einen Dotter besitzt. e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei mit mehr als einem Dotter kein extragroßes Ei ist. 4/6

5 AUFGABE B4 FOLGEN Seite 4/5 Punkte Gegeben ist eine Folge (u n ) durch: u 2 un un, n 2. 4 a) Berechnen Sie die genauen Werte von u 2 und u 3. Verwenden Sie den Computer und berechnen Sie den auf 4 Dezimalstellen gerundeten Wert von u 20. b) Im Folgenden können Sie voraussetzen, dass für jede natürliche Zahl n gilt: u 2. n Zeigen Sie, dass die Folge (u n ) wachsend ist. Folgern Sie hieraus, dass die Folge (u n ) konvergent ist, und berechnen Sie ihren Grenzwert. 5/6

6 AUFGABE B5 KOMPLEXE ZAHLEN Seite 5/5 Punkte Gegeben ist die komplexe Zahl iz w, z 2 dabei ist z x iy eine komplexe Zahl (x, y reell) mit z 2. a) Bestimmen sie den Realteil und den Imaginärteil von w in Abhängigkeit von x und y. b) Nun sei w eine rein imaginäre Zahl. Zeigen Sie, dass diejenigen Punkte, die z in der komplexen Zahlenebene darstellen, auf einer bestimmten Gerade liegen. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Gerade. 6/6

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