Die Kalibrierung von Sterbetafeln für Altersrentner mit Hilfe der mehrdimensionalen Kredibilitätstheorie. Winterthur, den 06.
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1 Die Kalibrierung von Sterbetafeln für Altersrentner mit Hilfe der mehrdimensionalen Kredibilitätstheorie Frank Weber (AXA Winterthur) Alois Gisler (ETH Zürich) Winterthur, den 06. September 2013
2 Daten Anzahl der Lebenden und daraus abgeleitete Grössen Problemstellung Grundlegende Vorgehensweise Gegeben sei eine vom Geburtsjahr g G m = {g 1,..., g m} und vom Alter x X m = {x 1,..., x m} abhängige Sterbetafel Q m = {q g,x ; (g, x) X m G m}, deren Angemessenheit für einen Bestand an Altersrentnern überprüft werden soll. Durch Auszählung aller Personen des Bestandes, welche bis zur Vollendung des x 1-ten Lebensjahres in den Bestand eingetreten sind und bis zum Beobachtungsdatum gestorben sind oder dem Bestand noch angehören, resultieren die Anzahlen l g,x lebender Personen, g G m+1, x X m+1, g + x Beispiel (Männer, x 1 = 65, m = 8): Geburts- Vollendetes Altersjahr x jahr g Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 1
3 Daten Anzahl der Lebenden und daraus abgeleitete Grössen Problemstellung Grundlegende Vorgehensweise Aus den Anzahlen l g,x lebender Personen lassen sich die erwarteten Anzahlen an Todesfällen, e g,x = q g,x l g,x, die beobachteten Anzahlen an Todesfällen, d g,x = l g,x+1 l g,x, sowie die beobachteten f g,x = d g,x/e g,x ableiten. Für Summen bzw. Mittelwerte dieser Grössen gelten die Notationen e g,+ = x eg,x, e+,+ = dg,+ g xeg,x, fg, =, f, = d+,+. e g,+ e +,+ Fortführung des Beispiels (Abweichungen zur Schweizer Sterbetafel GRM 95): Geburts- Vollendetes Altersjahr x jahr g f g, f,x f, = 0.74 Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 2
4 Ansatz Multiplikative Struktur und Bayes-Ansatz Problemstellung Grundlegende Vorgehensweise Ziel ist eine Anpassung der vorgegebenen Todesfallwahrscheinlichkeiten, so dass die kalibrierte Sterbetafel Q m = { q g,x ; (g, x) G m X m} das Sterbeverhalten im betrachteten Bestand adäquat widerspiegelt. Basis ist der multiplikative Ansatz q g,x = ϕ g ψ x ( f, q g,x), (g, x) G m X m. Die Bestimmung der Auslenkungsfaktoren ϕ = (ϕ g1,..., ϕ gm ) T, ψ = (ψ x1,..., ψ xm ) T erfolgt mittels Kredibilitätstheorie. Dazu werden die beobachteten Anzahlen an Todesfällen, d g,x, als Realisierungen von Zufallsvariablen D g,x, und die Vektoren ϕ, ψ der Auslenkungsfaktoren als Realisierungen von Zufallsvektoren Φ=(Φ g1,..., Φ gm ) T, Ψ=(Ψ x1,..., Ψ xm ) T aufgefasst. Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 3
5 Ansatz Multiplikative Struktur und Bayes-Ansatz Problemstellung Grundlegende Vorgehensweise Der (inhomogene) Kredibilitäts-Schätzer, etwa für einen generationenabhängigen Faktor Φ g, ist der bestmögliche Schätzer aus der Klasse { L(D, 1) = a 0 + } a g,x D g,x ; a 0, a g,x R. g x Dabei bedeutet bestmöglich", dass der Schätzer Φ (kred) g L(D, 1) die Bedingung [ ( ) ] 2 [ E Φ (kred) g Φ g E (Φ Φ g) 2], Φ L(D, 1), erfüllt (vgl. [BG05, Kapitel 3]). Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 4
6 Modellierung... der Anzahl an Todesfällen Einführung (S 1) Sei Ω g,x = { } ω 1,..., ω lg,x der Teilbestand der x-jährigen Rentner, welche im Jahr g G m geboren wurden. Für jede Person dieses Teilportfolios wird { 1, falls ωi im (x + 1)-ten Lebensjahr stirbt, D g,x(ω i) := 0, falls ω i das (x + 1)-te Lebensjahr überlebt, definiert. Wir nehmen an, dass jeder Rentner ω i Ω g,x die gleiche Sterblichkeit q g,x(φ, Ψ) = Φ g Ψ x f, q g,x aufweist, so dass { 1 Φg Ψ x f, q g.x Θ i, falls k = 0, P[ D g,x(ω i) = k Φ, Ψ], Θ i = Φ g Ψ x f, q g.x Θ i, falls k = 1. Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 5
7 Modellierung... der Anzahl an Todesfällen Einführung (S 1) Sei Ω g,x = { } ω 1,..., ω lg,x der Teilbestand der x-jährigen Rentner, welche im Jahr g G m geboren wurden. Für jede Person dieses Teilportfolios wird { 1, falls ωi im (x + 1)-ten Lebensjahr stirbt, D g,x(ω i) := 0, falls ω i das (x + 1)-te Lebensjahr überlebt, definiert. Wir nehmen an, dass jeder Rentner ω i Ω g,x die gleiche Sterblichkeit q g,x(φ, Ψ) = Φ g Ψ x f, q g,x aufweist, so dass { 1 Φg Ψ x f, q g.x Θ i, falls k = 0, P[ D g,x(ω i) = k Φ, Ψ], Θ i = Φ g Ψ x f, q g.x Θ i, falls k = 1. (S 2) Die Summe D g,x = l g,x i=1 Dg,x(ωi) ist bedingt binomialverteilt, D g,x (Φ g, Ψ x) B(l g,x, Φ g Ψ x f, q g,x), sofern Todesfälle innerhalb Ω g,x unabhängig voneinander eintreten. und die Schwankungen Θ 1,..., Θ lg,x voneinander unabhängig sind. Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 5
8 Modellierung... der Anzahl an Todesfällen Einführung (S 1) Sei Ω g,x = { } ω 1,..., ω lg,x der Teilbestand der x-jährigen Rentner, welche im Jahr g G m geboren wurden. Für jede Person dieses Teilportfolios wird { 1, falls ωi im (x + 1)-ten Lebensjahr stirbt, D g,x(ω i) := 0, falls ω i das (x + 1)-te Lebensjahr überlebt, definiert. Wir nehmen an, dass die Sterblichkeit q g,x(φ, Ψ) für jeden Rentner ω i Ω g,x durch eine Zufallsvariable Θ i mit E[Θ i] = 1 ausgelenkt wird, so dass { 1 Φg Ψ x f, q g.x Θ i, falls k = 0, P[ D g,x(ω i) = k Φ, Ψ, Θ i] = Φ g Ψ x f, q g.x Θ i, falls k = 1. (S 2) Die Summe D g,x = l g,x i=1 Dg,x(ωi) ist bedingt binomialverteilt, D g,x (Φ g, Ψ x) B(l g,x, Φ g Ψ x f, q g,x), sofern Todesfälle innerhalb Ω g,x unabhängig voneinander eintreten und die Schwankungen Θ 1,..., Θ lg,x voneinander unabhängig sind. Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 5
9 Modellierung... der Anzahl an Todesfällen Einführung Lemma Seien Θ i, X i, i = 1,..., n, Zufallsvariablen mit folgenden Eigenschaften: (V 1) Die Zufallsvariablen Θ i, i = 1,..., n, sind voneinander unabhängig mit Werten in [0, 1] und E [Θ i] = p. (V 2) Die Zufallsvariablen X i, i = 1,..., n, sind bedingt, gegeben Θ i, unabhängig mit { 1 Θi, falls k = 0, P[ X i = k Θ i] = Θ i, falls k = 1. Dann ist Y = n i=1 Xi binomialverteilt mit Parametern n und p, d.h. Y B(n, p). Beweis: Die Behauptung folgt durch Berechnung der momenterzeugenden Funktion, M Y(r) = E[exp(r Y)]: E[exp(r Y)] = E[E[ exp (r Y) Θ 1,..., Θ n]] = E [ n i=1 [1 Θi + Θi exp(r)]] = n i=1 {1 E[Θi] + E[Θi] exp(r)} = [1 p + p exp(r)]n, r R. Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 6
10 Modellierung... der Anzahl an Todesfällen Einführung (S 2) Die Summe D g,x = l g,x i=1 Dg,x(ωi) ist bedingt binomialverteilt, D g,x (Φ g, Ψ x) B(l g,x, Φ g Ψ x f, q g,x). Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 7
11 Modellierung... der Anzahl an Todesfällen Einführung (S 2) Die Summe D g,x = l g,x i=1 Dg,x(ωi) ist bedingt binomialverteilt, D g,x (Φ g, Ψ x) B(l g,x, Φ g Ψ x f, q g,x). (S 3) Der Einfachheit halber gehen wir näherungsweise davon aus, dass die Anzahl D g,x an Todesfällen bedingt Poisson-verteilt ist: D g,x (Φ g, Ψ x) Poi(Φ g Ψ x f, e g,x). Somit gilt insbesondere E [ D g,x Φ, Ψ] = Var [ D g,x Φ, Ψ] = Φ g Ψ x f, e g,x. Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 7
12 Modellierung... der Kovarianzen zwischen den Auslenkungsfaktoren Wir nehmen an, dass die Kovarianz-Matrix des Zufallsvektors Φ = (Φ g1,..., Φ gm ) T der generationenabhängigen Auslenkungsfaktoren aus den Elementen Cov [ { ] τ 2 Φ gi, Φ gj = Φ ρ g i g j Φ, falls ρ Φ (0, 1], mit τ τφ 2 Φ > 0, ρ [0, 1], δ i,j, falls ρ Φ = 0, besteht. Daraus folgt: Alle Zufallsvariablen Φ g1,..., Φ gm besitzen die gleiche Varianz τ 2 Φ. Die Korrelation zweier Faktoren Φ gi, Φ gj hängt nur vom Abstand g i g j der Generationen ab. Das Ausmass der Abhängigkeit wird durch ρ Φ bestimmt. Grenzfälle: ρ Φ = 0 = Φ g1,..., Φ gm unkorreliert, ρ Φ = 1 = Φ g1,..., Φ gm vollständig korreliert. Wir nehmen an, dass die Kovarianz-Matrix des Vektors Ψ eine analoge Struktur hat. Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 8
13 Kredibilitätsmodell Poisson-Modell Einführung Annahmen (P K) (V 1) Die Zufallsvariablen D g,x sind bedingt, gegeben {Φ, Ψ}, unabhängig, wobei E [D g,x Φ, Ψ] = Var [D g,x Φ, Ψ] = Φ g Ψ x f, e g,x. (V 2) Die Zufallsvariablen Φ g1,..., Φ gm sind identisch verteilt mit E [Φ g] = 1 und Cov [ { Φ, Φ T] = τφ 2 ρ i j, falls ρ (0, 1], R(ρ Φ) mit (R(ρ)) i,j = δ i,j, falls ρ = 0. Analog dazu sind Ψ x1,..., Ψ xm identisch verteilt mit E [Ψ x] = 1 und Cov [ Ψ, Ψ T] = τ 2 Ψ R(ρ Ψ). (V 3) Die Zufallsvektoren Φ and Ψ sind voneinander unabhängig. Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 9
14 Kredibilitäts-Schätzer... zur Bestimmung eines einzelnen Auslenkungsvektors Theorem (E 1) Der Vektor Ψ = (Ψ x1,..., Ψ xm ) T sei gegeben. Wir definieren ( ) T F (Ψ) = F g (Ψ) 1,,..., F g (Ψ) m, mit F (Ψ) x Dg,x g, = x e(ψ) g,x, e (Ψ) g,x = Ψ x f, e g,x. Unter den Annahmen (P K) resultiert dann für Φ der Kredibilitäts-Schätzer ) ( ) Φ (kred) = (I A (Ψ) 1 + A (Ψ) F (Ψ) = 1 + A (Ψ) F (Ψ) 1, ( ( ) ) 1 1 mit A (Ψ) = R(ρ Φ) R(ρ Φ) + τ 2 Φ W (Ψ), ) wobei (W (Ψ) = δ i,j x e(ψ) g i,x. i,j (E 2) Ist Φ bekannt, resultiert ein analoger Kredibilitäts-Schätzer Ψ (kred) für Ψ. Der Beweis basiert auf [BG05, Theoreme 7.2, 7.12] (H. Bühlmann, A. Gisler, 2005). Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 10
15 Kredibilitäts-Schätzer... zur Bestimmung eines einzelnen Auslenkungsvektors Bemerkung (Grenzfälle ρ Φ {0, 1}) (G 1) Im Fall ρ Φ = 0 von unkorrelierten Auslenkungsfaktoren folgt ( Φ (kred) g = 1 a (Ψ) g ) + a (Ψ) g D g,+ e (Ψ) g,+ mit a (Ψ) g = e (Ψ) g,+ e (Ψ) g,+ + τ 2 Φ, g G m, d.h. Φ (kred) g hängt nur von Beobachtungen über die Generation g ab. (G 2) Im Fall ρ Φ = 1 von vollständig korrelierten Auslenkungsfaktoren folgt d.h. Φ (kred) g ( Φ (kred) g = 1 a (Ψ)) + a (Ψ) D +,+ e (Ψ) +,+ mit a (Ψ) = e (Ψ) +,+ e (Ψ) +,+ + τ 2 Φ, g G m, hängt von den Beobachtungen aller Generationen gleichermassen ab. Im späteren numerischen Beispiel hat τ 2 Φ Werte im Bereich von 29 bis 35. Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 11
16 Iterativer Schätzer... zur simultanen Bestimmung aller Auslenkungsfaktoren Algorithmus (I 0) Start: Setze ψ (0) = 1 R m. (I n) Iteration (n n + 1): (a) Berechne Φ (kred) mit bekanntem Ψ = ψ (n). Setze ϕ (n+1) = Φ (kred). (b) Berechne Ψ (kred) mit bekanntem Φ = ϕ (n+1). Setze ψ (n+1) = Ψ (kred). Als Auslenkungsfaktoren ϕ, ψ werden die Grenzwerte der Iteration verwendet. Bemerkungen (B 1) Die Grenzwerte hängen nicht davon ab, ob die Iteration mit ψ (0) = 1 oder ϕ (0) = 1 beginnt. (B 2) Die Parameter τ Φ und τ Ψ werden in jedem Iterationsschritt geschätzt. (B 3) Die Werte der Parameter ρ Φ und ρ Ψ entsprechen aktuariellen Annahmen und variieren während der Iteration nicht. Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 12
17 Generationen-Effekt Beobachtete und geschätzte Auslenkungsfaktoren f g, und f, ϕ g Beobachtete f g, Geschätzte f, φ g Globale Niveaukorrektur f, = 0.97 für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = ρ Ψ = 0. Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Generation g Männer, Generation, GR95, ρ g =0.00, ρ x =0.00, τ g =0.1737, τ x =0.0642, f.,.=0.9704, mit Niveaukorrektur Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 13
18 Generationen-Effekt Beobachtete und geschätzte Auslenkungsfaktoren Beobachtete f g, Geschätzte φ g Globale Niveaukorrektur f, = 0.97 f g, und ϕ g für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = ρ Ψ = 0. Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Generation g Männer, Generation, GR95, ρ g =0.00, ρ x =0.00, τ g =0.1737, τ x =0.0642, f.,.=0.9704, ohne Niveaukorrektur Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 14
19 Generationen-Effekt Beobachtete und geschätzte Auslenkungsfaktoren Beobachtete f g, Geschätzte φ g Globale Niveaukorrektur f, = 0.97 f g, und ϕ g für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = ρ Ψ = Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Generation g Männer, Generation, GR95, ρ g =0.50, ρ x =0.50, τ g =0.1798, τ x =0.0541, f.,.=0.9704, ohne Niveaukorrektur Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 15
20 Generationen-Effekt Beobachtete und geschätzte Auslenkungsfaktoren Beobachtete f g, Geschätzte φ g Globale Niveaukorrektur f, = 0.97 f g, und ϕ g für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = ρ Ψ = Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Generation g Männer, Generation, GR95, ρ g =0.90, ρ x =0.90, τ g =0.1867, τ x =0.0620, f.,.=0.9704, ohne Niveaukorrektur Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 16
21 Generationen-Effekt Beobachtete und geschätzte Auslenkungsfaktoren Beobachtete f g, Geschätzte φ g Globale Niveaukorrektur f, = 0.97 f g, und ϕ g für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = ρ Ψ = Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Generation g Männer, Generation, GR95, ρ g =0.95, ρ x =0.95, τ g =0.1835, τ x =0.0663, f.,.=0.9704, ohne Niveaukorrektur Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 17
22 Generationen-Effekt Beobachtete und geschätzte Auslenkungsfaktoren Beobachtete f g, Geschätzte φ g Globale Niveaukorrektur f, = 0.97 f g, und ϕ g für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = ρ Ψ = Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Generation g Männer, Generation, GR95, ρ g =0.99, ρ x =0.99, τ g =0.1712, τ x =0.0833, f.,.=0.9704, ohne Niveaukorrektur Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 18
23 Generationen-Effekt Beobachtete und geschätzte Auslenkungsfaktoren Beobachtete f g, Geschätzte φ g Globale Niveaukorrektur f, = 0.97 f g, und ϕ g für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = ρ Ψ = Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Generation g Männer, Generation, GR95, ρ g =0.995, ρ x =0.995, τ g =0.1676, τ x =0.0957, f.,.=0.9704, ohne Niveaukorrektur Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 19
24 Generationen-Effekt Beobachtete und geschätzte Auslenkungsfaktoren Beobachtete f g, Geschätzte φ g Globale Niveaukorrektur f, = 0.97 f g, und ϕ g für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = ρ Ψ = Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Generation g Männer, Generation, GR95, ρ g =0.999, ρ x =0.999, τ g =0.1679, τ x =0.1277, f.,.=0.9704, ohne Niveaukorrektur Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 20
25 Generationen-Effekt Beobachtete und geschätzte Auslenkungsfaktoren Beobachtete f g, Geschätzte φ g Globale Niveaukorrektur f, = 0.97 f g, und ϕ g für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = ρ Ψ = 1. Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Generation g Männer, Generation, GR95, ρ g =1.00, ρ x =1.00, τ g =0.1767, τ x =0.1523, f.,.=0.9704, ohne Niveaukorrektur Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 21
26 Alters-Effekt Beobachtete und geschätzte Auslenkungsfaktoren f,x und ψ x Beobachtete f, x Geschätzte ψ x für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Globale Niveaukorrektur f, = 0.97 Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = ρ Ψ = 0. Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Alter x Männer, Generation, GR95, ρ g =0.00, ρ x =0.00, τ g =0.1737, τ x =0.0642, f.,.=0.9704, ohne Niveaukorrektur Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 22
27 Alters-Effekt Beobachtete und geschätzte Auslenkungsfaktoren f,x und ψ x Beobachtete f, x Geschätzte ψ x für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Globale Niveaukorrektur f, = 0.97 Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = ρ Ψ = 0. Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Alter x Männer, Generation, GR95, ρ g =0.00, ρ x =0.00, τ g =0.1737, τ x =0.0642, f.,.=0.9704, ohne Niveaukorrektur Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 23
28 Alters-Effekt Beobachtete und geschätzte Auslenkungsfaktoren f,x und ψ x Beobachtete f, x Geschätzte ψ x für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Globale Niveaukorrektur f, = 0.97 Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = ρ Ψ = Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Alter x Männer, Generation, GR95, ρ g =0.50, ρ x =0.50, τ g =0.1798, τ x =0.0541, f.,.=0.9704, ohne Niveaukorrektur Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 24
29 Alters-Effekt Beobachtete und geschätzte Auslenkungsfaktoren f,x und ψ x Beobachtete f, x Geschätzte ψ x für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Globale Niveaukorrektur f, = 0.97 Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = ρ Ψ = Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Alter x Männer, Generation, GR95, ρ g =0.95, ρ x =0.95, τ g =0.1835, τ x =0.0663, f.,.=0.9704, ohne Niveaukorrektur Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 25
30 Alters-Effekt Beobachtete und geschätzte Auslenkungsfaktoren f,x und ψ x Beobachtete f, x Geschätzte ψ x für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Alter x Globale Niveaukorrektur f, = 0.97 Männer, Generation, GR95, ρ g =0.999, ρ x =0.950, τ g =0.1308, τ x =0.1442, f.,.=0.9704, ohne Niveaukorrektur Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = 0.999, ρ Ψ = Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 26
31 Resultierende Korrektur Geschätzte Auslenkungsfaktoren Alter x Generation g f, ϕ g ψ x für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = ρ Ψ = 0. Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 27
32 Resultierende Korrektur Geschätzte Auslenkungsfaktoren Alter x Generation g f, ϕ g ψ x für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = ρ Ψ = Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 28
33 Resultierende Korrektur Geschätzte Auslenkungsfaktoren Alter x Generation g f, ϕ g ψ x für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = ρ Ψ = Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 29
34 Resultierende Korrektur Geschätzte Auslenkungsfaktoren Alter x Generation g f, ϕ g ψ x für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = ρ Ψ = Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 30
35 Resultierende Korrektur Geschätzte Auslenkungsfaktoren Alter x Generation g f, ϕ g ψ x für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = ρ Ψ = Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 31
36 Resultierende Korrektur Geschätzte Auslenkungsfaktoren Alter x Generation g f, ϕ g ψ x für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = ρ Ψ = Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 32
37 Resultierende Korrektur Geschätzte Auslenkungsfaktoren Alter x Generation g f, ϕ g ψ x für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = ρ Ψ = Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 33
38 Resultierende Korrektur Geschätzte Auslenkungsfaktoren Alter x Generation g f, ϕ g ψ x für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = 0.999, ρ Ψ = Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 34
39 Resultierende Korrektur Geschätzte Auslenkungsfaktoren Alter x Generation g f, ϕ g ψ x für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = 0.999, ρ Ψ = Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 35
40 Resultierende Korrektur Geschätzte Auslenkungsfaktoren Alter x Generation g f, ϕ g ψ x für ein Portfolio von Altersrentnern Zu überprüfende Sterbetafel: GRM 95. Aktuarielle Annahmen: ρ Φ = 0.999, ρ Ψ = Schätzungen: τ Φ = , τ Ψ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 36
41 Kredibilitätsmodell Risikogruppen Einführung Wir unterteilen das betrachtete Rentner-Portfolio in Risikogruppen B 1,..., B r. Ziel ist die Differenzierung der kalibrierten Sterbetafel Q m = { q g,x ; (g, x) G m X m} entsprechend dem Sterbeverhalten in den Risikogruppen. Die Differenzierung erfolgt durch altersabhängige, d.h. pro Risikogruppe B k wird ein Vektor ψ(k) = (ψ x1 (k),..., ψ xm (k)) T mit altersabhängigen Auslenkungsfaktoren bezüglich der kalibrierten Sterbetafel hergeleitet. Für jede Risikogruppe B k, k {1,..., r}, ergeben sich dann die Todesfallwahrscheinlichkeiten q g,x(k) = ψ x(k) q g,x = ψ x(k) (ϕ g ψ x f, q g,x), (g, x) G m X m. Wir verwenden folgende Notationen: (N 1) Die in Risikogruppe B k gemäss der kalibrierten Sterbetafel Q m erwarteten Anzahlen an Todesfällen werden mit e g,x(k) bezeichnet. (N 2) Die in Risikogruppe B k beobachteten Anzahlen an Todesfällen werden mit d g,x(k) bezeichnet. Sie sind Realisierungen von Zufallsvariablen D g,x(k). Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 37
42 Kredibilitätsmodell Poisson-Modell Einführung Die zu bestimmenden ψ(k) = (ψ x1 (k),..., ψ xm (k)) T, k = 1,..., r, werden als Realisierungen von Zufallsvektoren Ψ(k) = (Ψ x1 (k),..., Ψ xm (k)) T aufgefasst. Annahmen (P D) (V 1) Die Zufallsvariablen D g,x(k), k = 1,..., r, sind bedingt, gegeben Ψ(k), unabhängig, wobei E [D g,x(k) Ψ(k)] = Var [D g,x(k) Ψ(k)] = Ψ x(k) e g,x(k). (V 2) Alle Paarungen (Ψ(k), D g,x(k)), k = 1,..., r, sind voneinander unabhängig. (V 3) Die Zufallsvektoren Ψ(k), k = 1,..., r, sind voneinander unabhängig und identisch verteilt mit E [Ψ(k)] = 1, Cov [ Ψ(k), (Ψ(k)) T] = τ 2 R(ρ). Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 38
43 Kredibilitäts-Schätzer... zur Bestimmung der Auslenkungsfaktoren Theorem Wir definieren ( ) T D+,x1 (k) F(k) = e +,x1 (k),..., D+,xm (k), k = 1,..., r. e +,xm (k) Unter den Annahmen (P K) resultieren dann für Ψ(i) die Kredibilitäts-Schätzer Ψ (kred) (k) = (I A(k)) 1 + A(k) F(k) = 1 + A(k) (F(k) 1) ( mit A(k) = R(ρ) R(ρ) + τ 2 (W(k)) 1) 1, (W(k))i,j = δ i,j e +,xj (k). Bemerkung Der Parameter τ wird geschätzt. Der Wert von ρ entspricht hingegen einer aktuariellen Annahme. Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 39
44 Geschätzte Auslenkungsfaktoren... für die Gruppen B i von Wirtschaftsbranchen (i = 1, 2, 6) Geschätzte Auslenkung ψ x=72 (2) Beobachtete Auslenkung f, (2) B 2 f, (i) und ψ x (i) für Altersrentner der verschiedenen Branchengruppen, Alter x B 1 B 6 Männer, Generation, GR95, justiert mit ρ g = ρ x = 0.95, ρ = 0.800, τ=0.3219, nc_kat 1,2,6 Grundlage ist die (mit ρ Φ = ρ Ψ = 0.950) angepasste Tafel GRM 95. Aktuarielle Annahme: ρ = Schätzung: τ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 40
45 Geschätzte Auslenkungsfaktoren... für die Gruppen B i von Wirtschaftsbranchen (i = 1, 2, 6) B 2 f, (i) und ψ x (i) für Altersrentner der verschiedenen Branchengruppen, Alter x B 1 B 6 Männer, Generation, GR95, justiert mit ρ g = ρ x = 0.95, ρ = 0.900, τ=0.3219, nc_kat 1,2,6 Grundlage ist die (mit ρ Φ = ρ Ψ = 0.950) angepasste Tafel GRM 95. Aktuarielle Annahme: ρ = Schätzung: τ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 41
46 Geschätzte Auslenkungsfaktoren... für die Gruppen B i von Wirtschaftsbranchen (i = 1, 2, 6) B 2 f, (i) und ψ x (i) für Altersrentner der verschiedenen Branchengruppen, Alter x B 1 B 6 Männer, Generation, GR95, justiert mit ρ g = ρ x = 0.95, ρ = 0.950, τ=0.3219, nc_kat 1,2,6 Grundlage ist die (mit ρ Φ = ρ Ψ = 0.950) angepasste Tafel GRM 95. Aktuarielle Annahme: ρ = Schätzung: τ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 42
47 Geschätzte Auslenkungsfaktoren... für die Gruppen B i von Wirtschaftsbranchen (i = 1, 2, 6) B 2 f, (i) und ψ x (i) für Altersrentner der verschiedenen Branchengruppen, Alter x B 1 B 6 Männer, Generation, GR95, justiert mit ρ g = ρ x = 0.95, ρ = 0.990, τ=0.3219, nc_kat 1,2,6 Grundlage ist die (mit ρ Φ = ρ Ψ = 0.950) angepasste Tafel GRM 95. Aktuarielle Annahme: ρ = Schätzung: τ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 43
48 Geschätzte Auslenkungsfaktoren... für die Gruppen B i von Wirtschaftsbranchen (i = 1, 2, 6) B 2 f, (i) und ψ x (i) für Altersrentner der verschiedenen Branchengruppen, Alter x B 1 B 6 Männer, Generation, GR95, justiert mit ρ g = ρ x = 0.95, ρ = 0.995, τ=0.3219, nc_kat 1,2,6 Grundlage ist die (mit ρ Φ = ρ Ψ = 0.950) angepasste Tafel GRM 95. Aktuarielle Annahme: ρ = Schätzung: τ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 44
49 Geschätzte Auslenkungsfaktoren... für die Gruppen B i von Wirtschaftsbranchen (i = 1, 2, 6) B 2 f, (i) und ψ x (i) für Altersrentner der verschiedenen Branchengruppen, Alter x B 1 B 6 Männer, Generation, GR95, justiert mit ρ g = ρ x = 0.95, ρ = 0.999, τ=0.3219, nc_kat 1,2,6 Grundlage ist die (mit ρ Φ = ρ Ψ = 0.950) angepasste Tafel GRM 95. Aktuarielle Annahme: ρ = Schätzung: τ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 45
50 Geschätzte Auslenkungsfaktoren... für die Gruppen B i von Wirtschaftsbranchen (i = 1, 2, 6) B 2 f, (i) und ψ x (i) für Altersrentner der verschiedenen Branchengruppen, Alter x B 1 B 6 Männer, Generation, GR95, justiert mit ρ g = ρ x = 0.95, ρ = 1.000, τ=0.3219, nc_kat 1,2,6 Grundlage ist die (mit ρ Φ = ρ Ψ = 0.950) angepasste Tafel GRM 95. Aktuarielle Annahme: ρ = Schätzung: τ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 46
51 Geschätzte Auslenkungsfaktoren... für die Gruppen B i von Wirtschaftsbranchen (i = 1,..., 7) B 7 Beobachtete Auslenkung f, (7) B 2 B 3 Intervall der Auslenkung ψ x (3) B 1 B 4 B 5 f, (i) und ψ x (i) für Altersrentner der verschiedenen Branchengruppen, Grundlage ist die (mit ρ Φ = ρ Ψ = 0.950) angepasste Tafel GRM 95. Erwartete Anzahl Fälle e +,+ (7) 223 Erwartete Anzahl an Todesfällen e +,+(i) Männer, Generation, GR95, justiert mit ρ g = ρ x = 0.95, ρ = 0.800, τ= B 6 Aktuarielle Annahme: ρ = Schätzung: τ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 47
52 Geschätzte Auslenkungsfaktoren... für die Gruppen B i von Wirtschaftsbranchen (i = 1,..., 7) B 2 B 3 B 1 f, (i) und ψ x (i) für Altersrentner der verschiedenen Branchengruppen, B 7 B 4 B 5 Grundlage ist die (mit ρ Φ = ρ Ψ = 0.950) angepasste Tafel GRM 95. Erwartete Anzahl an Todesfällen e +,+(i) Männer, Generation, GR95, justiert mit ρ g = ρ x = 0.95, ρ = 0.900, τ= B 6 Aktuarielle Annahme: ρ = Schätzung: τ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 48
53 Geschätzte Auslenkungsfaktoren... für die Gruppen B i von Wirtschaftsbranchen (i = 1,..., 7) B 2 B 3 B 1 f, (i) und ψ x (i) für Altersrentner der verschiedenen Branchengruppen, B 7 B 4 B 5 Grundlage ist die (mit ρ Φ = ρ Ψ = 0.950) angepasste Tafel GRM 95. Erwartete Anzahl an Todesfällen e +,+(i) Männer, Generation, GR95, justiert mit ρ g = ρ x = 0.95, ρ = 0.950, τ= B 6 Aktuarielle Annahme: ρ = Schätzung: τ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 49
54 Geschätzte Auslenkungsfaktoren... für die Gruppen B i von Wirtschaftsbranchen (i = 1,..., 7) f, (i) und ψ x (i) B 2 B 3 B 1 für Altersrentner der verschiedenen Branchengruppen, B 7 B 4 B 5 Grundlage ist die (mit ρ Φ = ρ Ψ = 0.950) angepasste Tafel GRM 95. Erwartete Anzahl an Todesfällen e +,+(i) Männer, Generation, GR95, justiert mit ρ g = ρ x = 0.95, ρ = 0.995, τ= B 6 Aktuarielle Annahme: ρ = Schätzung: τ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 50
55 Geschätzte Auslenkungsfaktoren... für die Gruppen B i von Wirtschaftsbranchen (i = 1,..., 7) B 2 B 3 B 1 f, (i) und ψ x (i) für Altersrentner der verschiedenen Branchengruppen, B 7 B 4 B 5 Grundlage ist die (mit ρ Φ = ρ Ψ = 0.950) angepasste Tafel GRM 95. Erwartete Anzahl an Todesfällen e +,+(i) Männer, Generation, GR95, justiert mit ρ g = ρ x = 0.95, ρ = 0.995, τ= B 6 Aktuarielle Annahme: ρ = Schätzung: τ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 51
56 Geschätzte Auslenkungsfaktoren... für die Gruppen B i von Wirtschaftsbranchen (i = 1,..., 7) B 2 B 3 B 1 f, (i) und ψ x (i) für Altersrentner der verschiedenen Branchengruppen, B 7 B 4 B 5 Grundlage ist die (mit ρ Φ = ρ Ψ = 0.950) angepasste Tafel GRM 95. Erwartete Anzahl an Todesfällen e +,+(i) Männer, Generation, GR95, justiert mit ρ g = ρ x = 0.95, ρ = 0.999, τ= B 6 Aktuarielle Annahme: ρ = Schätzung: τ = Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 52
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58 Einführung [BG05] H. Bühlmann und A. Gisler: A Course in Credibility Theory and its Applications, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, [Kul12] E. Kuleshova: Untersuchungen zu Sterbewahrscheinlichkeiten mittels Kredibilitätstheorie, Masterarbeit, Universität Zürich, [Man11] A. Mancini: zur Schätzung von Sterbewahrscheinlichkeiten, Masterarbeit, ETH Zürich, [Mul06] P. Müller: Ausgleichsverfahren, verallgemeinerte lineare Modelle und Credibility bei additiven und multiplikativen Tarifstrukturen, Diplomarbeit, ETH Zürich, Frank Weber (AXA Winterthur), Alois Gisler (ETH Zürich) Die Kalibrierung von Sterbetafeln 54
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