Protokoll zum Anfängerpraktikum

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1 Protokoll zum Anängerpraktikum Geometrische Optik, optische Abbildungen und Aberrationen Gruppe, Team 5 Sebastian Kor Frerich Max 5.5.6

2 Inhaltsverzeichnis. Einleitung -3-. Versuchsdurchührung -4-. Brennweitenbestimmung Chromatische Aberration Grundlagen Durchührung Sphärische Aberration Grundlagen Durchührung Schärentiee Grundlagen Durchührung --. Sehwinkelvergrößerung durch eine Lupe --.. Grundlagen --.. Durchührung --.3 Sehwinkelvergrößerung durch ein Fernrohr Grundlagen Durchührung Beantwortung der Fragen -6- Literaturverzeichnis Anhang

3 . Einleitung In der geometrischen Optik wird das Licht als aus Lichtstrahlen zusammengesetzt betrachtet. Eine Lichtquelle sendet Lichtstrahlen aus, welche dann relektiert, gebrochen oder augespalten werden. Die Strahlenoptik bildet die Grundlage ür die Berechnung der Abbildungseigenschaten von Brillen, Linsen und optischen Geräten wie Mikroskopen und Teleskopen. Auch das Raytracing-Verahren in der 3D-Computergraik beruht au der geometrischen Optik. Eekte, die von der geometrischen Optik nicht beschrieben werden können, sind insbesondere Beugung (welche die maximale Aulösung optischer Instrumente bestimmt) und Intererenz. Einache Formen der optischen Abbildung inden sich bereits in der reien Natur: So nehmen Lichtlecken, die unter einem löchrigen Blätterdach am Boden sichtbar sind, nicht die Form der Löcher, sondern die der Lichtquelle an. D. h. bei Sonnenschein sind sie rund. Diese Beobachtung ührt in einer ersten Abstraktion zur Entwicklung der Camera Obscura: In einem abgedunkelten Raum, dessen eine Wand ein kleines Loch hat, wird au der Rückseite eine Abbildung der äußeren Realität erzeugt. Das Bild, das in der Camera Obscura erzeugt wird, ist umso heller, je größer das Loch ist. Allerdings nimmt mit der Größe des Lochs auch die Schäre des Bildes ab. Dieses Dilemma lässt sich durch Bündelung des Lichts mittels einer Sammellinse aulösen. Jede Sammellinse hat einen Fokus (Brennpunkt), in dem das Licht einer "unendlich weit enternten, punktörmigen Lichtquelle" wieder zu einem Punkt vereinigt wird. Eine lächige Lichtquelle wird wiederum zu einem Bild derselben vereinigt (natürlich in der Brennebene, da der Brennpunkt ja ohne Ausdehnung ist und somit kein ausgedehntes Bild aunehmen kann). Nach der GAUß schen Linsengleichung gilt: () + b g, wobei hierbei der Brennweite, b der Bildweite und g der Gegenstandsweite entspricht. Nach der Linsenmachergleichung gilt ür die Brennweite () ( n ) R R 3

4 ,wobei n die Brechzahl des Linsenglases ist und und R die Krümmungsradien der linken bzw. rechten Linsenoberläche. R Für die Bestimmung der Brennweite einer nicht bekannten Linse verwendet man die BESSEL-Methode, benannt nach FRIEDRICH WILHELM BESSEL ( ). Dazu verwendet man eine Optische Bank der esten Basislänge e, an deren einen Ende in unserem Fall das Messdia mit Lichtquelle und an deren anderen Ende im Allgemeinen ein Schirm, aber in unserem Fall eine CCD-Kamera, angebracht sind. Gilt e > 4, so gibt es genau zwei Linseneinstellung, sodass die Linse ein schares Bild au dem Schirm erzeugt. Daraus erhält man die Abstandsdierenz Positionen aus der dann die Brennweite wie olgt berechnet werden kann: (3) d e d ² ² ² e 4 e 4e d der beiden Gegenüber der einachen Berechnung aus Bild- und Gegenstandsweite mittels der Linsengleichung hat das Bessel-Verahren den Vorteil, dass etwa bei dicken Linsen oder Linsensystemen die Lage der Hauptebenen nicht bekannt sein muss. Ein weiteres Messverahren, das auch noch diese lieert, ist das ABBE-Verahren.. Versuchsdurchührung. Brennweitenbestimmung Es soll die Brennweite einer Linse bestimmt werden. Au einer optischen Bank ist eine Halogenlampe HL und eine CCD Kamera im Abstand e (93 ) mm ± positioniert. Inklusive der Apparatekonstante a, 3mm, die den Abstand von Kamera Target zum Kamera Gehäuse angibt, ergibt sich e ( 94,3 ± ) mm. Abb.A: Versuchsanordnung zur Brennweitenbestimmung. HL: Halogenlampe, K: Kondensor, MS: Mattscheibe, B : Irisblende, F: Intererenzilter, G: Messdia, B: Blende vor Linse L, R: Grauilterrad, S: Rohr zur Streulichtminimierung, T: Kamera-Target, a: Apparatekonstante, e: Abstand Messdia / Kamera-Target. Strichpunktierte Linie: optische Achse. 4

5 Eine Halogenlampe HL streut Licht ab, welches durch die Mattscheibe eine gleichmäßige und diuse Ausleuchtung des Dias erreicht. Die Irisblende B minimiert das Streulicht. Vor dem Messdia G beindet sich ein Intererenzilter F, der nur eine bestimmte Wellenlänge durchlässt. Es werden nun die zwei Positionen der Linse L bestimmt, bei der das Bild au dem Monitor schar abgebildet ist. Bei einer Ablesegenauigkeit der Skala au der optischen Bank von ±mm ergibt sich ür die Dierenz d der beiden Positionen d ( 368 ± ) mm. Damit erhält man nach Gleichung (3) ür die Brennweite: ( 3,54 ±,3) mm.. Chromatische Abberation... Grundlagen Der Brechungsindex n jeden Materials variiert mit der Wellenlänge λ des einallenden Lichts. Folglich ist die Brennweite auch von der Wellenlänge λ abhängig, so dass Licht verschiedener Wellenlänge in verschiedenen Punkten okussiert wird. Diese Abhängigkeit nennt man Dispersion. Es werden an Kanten des Bildmotivs so genannte Farbsäume sichtbar, die in aller Regel störend wirken. Es gilt ür die Brennweite: (4) R ( λ ) n( λ) R R R,wobei R die Krümmungsradien der linken und rechten Linsenoberläche ist. Die Brechungsindizes n(λ) werden mittels eines Polynoms ür BK-7 Glas aus dem Skript berechnet. Abb.: chromatische Aberration (7.5.5) 5

6 Chromatische Aberration (vom griechischen chroma : Farbe) kann durch zwei verkittete Linsen, die ein achromatisches Doppel bzw. einen Achromaten bilden, reduziert werden. Die Brechungsindizes der beiden Linsen werden dabei derart gewählt, dass sie sich bei zwei Wellenlängen (Rot und Blau) einander kompensieren. Erstmals gelang dies durch den Einsatz von Flint- bzw. Kronglas. Abb.: chromatische Zweilinser mit achromatischer Dopplung Eine Fortentwicklung stellen so genannte apochromatisch korrigierte Linsen oder Apochromaten dar. In der klassischen Ausührung werden die Linsensysteme so berechnet, dass die Bilder bei drei Wellenlängen (Rot, Grün, Blau) möglichst genau übereinstimmen, wodurch die Farbehler auch bei allen anderen Wellenlängen des sichtbaren Lichts minimiert werden.... Durchührung Mit dem gleichen Aubau wie in. soll nun die Brennweite mittels BESSEL- Verahren der gleichen Linse wie in. bestimmt werden. Dabei werden zusätzlich hintereinander 7 Intererenzilter F vor dem Messdia G in den Strahlengang eingebracht, die nur Licht einer bestimmten Wellenlänge λ passieren lassen. Die Brennweite wird nun über der Wellenlänge λ augetragen: (7.5.5) / mm

7 Wellenlänge Brennweite Größtehler λ / nm / mm Δ / mm 45, 3,44,3 45,6 3,49,3 59,6 3,54,3 543,8 3,55,3 577, 3,56,3 667,6 3,59,3 693, 3,6,3 Brennweite Abb.3: Dispersionskurve in Abhängigkeit der Wellenlänge λ mit Fit nach Gleichung (4) Für den Nicht-linearen Fit durch die Messwerte benutzen wir die nach umgeormte Gleichung () bzw. (4). Der Krümmungsradius ist dabei unendlich groß und R der zu bestimmende Fit-Parameter. Damit ergibt sich: R ( n( λ) ) ( ) λ R ( λ) R n( λ) ( n( λ) ) R Wir erhalten somit ür den konvexen Krümmungsradius R der plankonvexen Linse mit Hile von ORIGIN: R (66,76,79) mm ±.. Sphärische Abberation... Grundlagen Sphärische Aberration maniestiert sich bei Lichtstrahlen, die nahe am Rand der Optik einallen. Diese Lichtstrahlen werden in einer anderen Enternung okussiert als mittig einallende Lichtstrahlen; die Folge ist ein leicht verschwommenes Bild. Das heißt achsenerne Parallelstrahlen (im Gaußschen Raum, d. h. in ca. 5 um die optische Achse) werden stärker gebrochen als achsennahe Parallelstrahlen: es entsteht der so genannte Kugelgestaltsehler. Sphärische Aberration kann in optischen Systemen, die aus mehreren Linsen bestehen, ot durch eine geeignete Kombination mehrerer Linsenoberlächen reduziert werden. Es ergibt sich ür die Brennweite in Abhängigkeit des Abstands h (Abstand zur optischen Achse): (5) ( h) k h² 7

8 3 Abb.4: sphärische Aberration... Durchührung Bei gleichem Versuchsaubau mit esten Intererenzilter F ( λ 59,6 nm ) werden 5 Kreisringblenden verschiedener mittlerer Radien r vor der Linse in den Strahlengang eingebracht. Es soll nun die Brennweite des Radius-Quadrats r bestimmt werden. mittels BESSEL-Verahren in Abhängigkeit / mm 3,54 3,53 3,5 3,5 3,5 3,49 Mittlerer Radius mm r / r ² / mm² Brennweite / mm Größtehler Δ / mm 6,5 4,5 3,54,5,5 3,5 3,53,3 6,5 7,5 3,5,3 6,5 7,5 3,48,3,5 46,5 3,5,3 3, r / mm Abb.5: Brennweite in Abhängigkeit des Quadrats des mittleren Kreisradius r Mit dem Linear-Fit aus ORIGIN ergibt sich gemäß Gleichung (5) 5 ( h) k h² (3,54 ±,) mm (9,7 ±,7) h Die Proportionalität ist oensichtlich in dem Graphen zu erkennen. Die Brennweite im paraxialen Bereich ist somit (3,54,) mm. ±..3 Schärentiee 3 (7.5.6) 8

9 ..3. Grundlagen Der als Schärentiee (auch als Abbildungstiee, umgangssprachlich ot auch als Tieenschäre) bezeichnete Schärebereich ist die Ausdehnung des schar abgebildeten Bereichs entlang der optischen Achse eines optischen Systems. Als schar empindet ein Betrachter ein Bild dann, wenn es seinen normalen Sehgewohnheiten entspricht. Linien und Kanten des Bildinhaltes haben klare Grenzen. In der geometrischen Optik kann streng genommen ein völlig schares Bild au der Bildebene nur von einer einzigen Gegenstandsebene erzielt werden. Nur von dieser einzigen Gegenstandsebene werden sämtliche Punkte als Bildpunkte (ein Punkt hat genau genommen keine Ausdehnung) wiedergegeben. Alle anderen Punkte, die sich in näher oder weiter liegenden Ebenen beinden, erscheinen nicht mehr als Punkte, sondern als Scheibchen, so genannte Zerstreuungskreise oder Unschärekreise (Z). Sie entstehen, weil die vom Objektiv au den Film allenden Lichtkörper Kegel sind; gerät die Kegelspitze hinter den Film, weil nicht genau au diesen Punkt okussiert ist, wird die Spitze abgeschnitten, endet die Kegelspitze vor der Filmebene, werden die Oberlächenlinien des Kegels dorthin verlängert (analog Spiegelbild des Kegels) und es entsteht ebenso ein Zerstreungskreis au dem Film. Alle optischen Abbildungen sind durch Beugung begrenzt, so dass ein einzelner Punkt niemals au einen Punkt, sondern nur au ein Beugungsscheibchen (oder Airyscheibchen) abgebildet werden kann. Die Trennschäre zweier benachbarter Beugungsscheibchen deiniert analog zum otograischen Film einen maximal zulässigen Zerstreuungskreis. Nach dem Rayleigh-Kriterium muss die Intensität zwischen zwei benachbarten Bildpunkten um % aballen, um als schar zu gelten. Die Größe des Beugungsscheibchens ist abhängig von der Wellenlänge des Lichts. Für die Schärentiee-Bereich Δb gilt nach den Strahlensätzen: D b mit M d b d Δb Δb D b ür die transversale Vergrößerung einer Linse ergibt sich d ( M ) Δb D Für den Durchmesser d eines scharen Bildes gilt ( M ) (6) Δb (Frage 4) D m d <. Es olgt: m 9

10 Dabei ist die Brennweite, D der Linsendurchmesser und m die augezeichnete Linienpaare. Abb.5.: Abbildung zur Verdeutlichung der Schärentiee..3. Durchührung Es soll nun die Schärentiee der verwendeten Linse gemessen werden. Dazu werden 6 Lochblenden mit dem Durchmesser D vor der Linse in den Strahlengang eingebracht. Außerdem wird wiederum der este Intererenzilter F ( λ 59,6 nm ) verwendet. Durch Verschieben der CCD-Kamera entlang der optischen Achse messen wir den Bereich Δb, in der das Bild des Messdias G au dem Monitor noch schar abgebildet wird und tragen die Messwerte über dem Kehrwert des Blenden- Durchmessers au: Δb / mm Blenden- Durchmesser D / mm Δb / mm ± mm ,,3,4,5,6,7,8,9,, D - / mm - Abb.6: -acher Schärebereich der Linse augetragen über dem Kehrwert des Blendendurchmessers D

11 Der aus Gleichung (6) vermutete antiproportionale Zusammenhang dieser beiden Größen Δ b ~ hat sich somit in etwa bestätigt, obwohl die Messabweichungen im D unteren Bereich von D relativ groß sind.. Sehwinkelvergrößerung durch eine Lupe.. Grundlagen Eine Lupe, auch Brennglas genannt, ist eine Konvexlinse kleiner Brennweite, bei der sich der abzubildende Gegenstand innerhalb der Brennweite beindet. Sie erzeugt ein aurechtes virtuelles Bild. Der Name Brennglas rührt von der Eigenschat her, Sonnenstrahlen so in einem Punkt zu bündeln, dass die Zündtemperatur von Papier, Holz, o.ä. im Brennpunkt überschritten wird. Mit einer Lupe kann man sich einem Gegenstand stärker nähern und ihn so größer sehen, als es die Augen-Akkommodation ohne Linse zuließe. Als Brille benutzt, gleicht sie Fehlsichtigkeit, wie Weit- oder Kurzsichtigkeit aus. Um die Vergrößerungsleistung einer Lupe abzuschätzen, wählt man den Nahpunkt des Auges (deutliche Sehweite) d 5 mm als Bezugsgröße. Ein Gegenstand mit der Höhe h erscheint in dieser Enternung unter dem Winkel h h (7) α arctan d d h h 4 Abb.7: schematische Darstellung der Vergrößerung durch eine Lupe Das Auge ist ohne Lupe entspannt, wenn es au große Enternung akkomodiert. Das ist der Fall ür eine große Bildweite S. Sie nimmt zu, wenn sich die Gegenstandsweite S dem Brennpunkt F der Lupe nähert (siehe Abb. 7). 4 (7.5.6)

12 Im Grenzall S erscheint das vergrößerte Bild unter dem Winkel (8) h h α arctan. Für die Vergrößerung M der Lupe gilt damit das Verhältnis der beiden Sehwinkel: (9) h α M d α h d.. Durchührung Wir bestimmen mittels BESSEL-Verahren die Brennweite der Lupe. Für die Dierenz der beiden Positionen wurde der Wert e ( 383, ± ) mm ( 8,5±,3) mm nach Gleichung (3) ür die Brennweite: d ( 4,9 ± ) mm bestimmt. Man erhält mit Für die Sehwinkelvergrößerung im Nahbereich des Auges ( d 5mm ) ergibt sich nach Gleichung (9) somit: 5 mm M,37 ±, Nun sollte die Sehwinkelvergrößerung M experimentell bestimmt werden. Dazu wurde mit dem Auge die Höhe h von cm au einem ca. 5 cm enternten Zollstock bestimmt. Es ergibt sich ür den Sehwinkel α ohne Lupe: α h,5cm 5cm d,6 Für den Sehwinkel α mit Lupe wird nun der gleiche Zollstock durch die Linse au dem 64 cm enternten Schirm betrachtet und die Höhe des betrachteten Zentimeters bestimmt. Es ergibt sich ür den Sehwinkel: α h 5,8 cm d 64 cm,9 Experimentell ergibt sich somit eine Vergrößerung α M,5. α Trotz des vermutlich sehr großen Fehlers bei dieser Methode, haben wir trotzdem ein vergleichbares Ergebnis erzielt. Eine Fehlerrechnung macht bei diesem Versuch h d

13 jedoch wenig Sinn, da der Messehler relativ groß ist und nur sehr schwer abschätzbar ist. Insgesamt kann man also sagen, dass diese Methode ür signiikante Ergebnisse eher nicht geeignet ist..3 Sehwinkelvergrößerung durch eine Fernrohr.3. Grundlagen Ein Fernrohr ist ein optisches aokales Linsensystem, mit dem man enternte Gegenstände unter einem größeren Sehwinkel als mit dem bloßen Auge und dadurch scheinbar näher sieht. Als aokal bezeichnet man ein Linsensystem, dessen Systembrennweite im Unendlichen liegt, d.h. parallel eintreende Strahlenbündel werden zwar innerhalb des Systems konvergent bzw. divergent gebrochen, weitere Linsen im Strahlengang bewirken jedoch, dass das Licht wieder parallel gerichtet austritt. Astronomische Teleskope sind meist nicht aokal, sondern nur dann, wenn sie ür die Betrachtung der Objekte mit dem Auge mit einem Okular ausgestattet sind. Allgemein benutzte man in der Astronomie rüher bevorzugt Linsenernrohre, auch als Reraktoren bezeichnet, während in neuerer Zeit alle größeren Teleskope Spiegelteleskope, also Relektoren, sind. Die Funktionsweise wird hier am Beispiel eines KEPLER'schen Fernrohrs erklärt (siehe Abb. 8): Das Objektiv () erzeugt von einem weit enternten Objekt (4) ein reelles, umgekehrtes Zwischenbild (5). Dieses wird durch das Okular (), das wie eine Lupe wirkt, betrachtet. Dem Auge (3) erscheint daher ein vergrößertes, virtuelles Bild (6) in großer Enternung (parallele gestrichelte Strahlen). Da das Bild umgekehrt ist, wird es bei terrestrischen Fernrohren mit Hile von Umkehrprismen oder einer Zwischenlinse zwischen Objektiv und Okular augerichtet. 3

14 5 Abb.8: schematische Darstellung der Vergrößerung durch eine Fernrohr Die Vergrößerung M eines Fernrohrs ist durch das Verhältnis der Brennweiten und von Objektiv und Okular gegeben. Das heißt, ein Fernrohr mit auswechselbaren Okularen, wie es in der Astronomie üblich ist, hat keine este Vergrößerung; je kürzer die Brennweite des verwendeten Okulars ist, desto stärker ist die resultierende Vergrößerung. Wegen verschiedener Störgrößen, wie z.b. Beugung und Lutunruhe ist eine übertrieben starke Vergrößerung jedoch sinnlos. Analog zum Verhältnis der Sehwinkel α bei der Lupe ergibt sich ür das Fernrohr: α () M α h h (Frage 5).3. Durchührung Durch das Verhältnis der beiden Linsen ( ) mm und ( ) mm des ± ± verwendeten Fernrohrs ergibt sich ür die Sehwinkelvergrößerung nach Gleichung (): M mm, ±,4 mm Wir betrachten nun die Halterung einer Antenne au dem Dach gegenüber des h Labors und bestimmen analog zu.. die Höhe ohne Blick und h mit Blick durch das Fernrohr au der 53cm enternten Fensterscheibe. Daraus ergeben sich wiederum die beiden Sehwinkel ohne und mit Fernrohr: α h 3,8 cm 53cm d, (7.5.6) 4

15 α h 4,7 cm d 53cm,778 Daraus erhalten wir eine experimentell bestimmte Sehwinkelvergrößerung von α M α,77,7 Auch hier erhalten wir ein ähnliches Ergebnis wie in... Obwohl wir einen großen Fehler in der Abschätzung erwarten, ist das Ergebnis ungeähr das Gleiche. Auch diese Methode ist nicht ür signiikante Ergebnisse zu gebrauchen. 5

16 3. Beantwortung der Fragen Frage : Für die Brennweite einer plankonvexen Linse aus Glas ( n,5 ), deren sphärische Fläche einen Krümmungsradius von R mm hat ergibt sich nach Gleichung (): ( n ) R R,5 mm mm Es spielt dabei keine Rolle, ob die plane Linsenoberläche rechts oder links liegt. Es ändert sich lediglich das Vorzeichen. Damit ist jeodch der Betrag der Brennweite in beiden Fällen gleich. Frage : negative transversale Vergrößerung: b M + b Damit entspricht ein negativ transversal vergrößertes Bild dem normalen Bild. Es sind lediglich die Seiten von Gegenstand und Bild vertauscht. Frage 3: Wie wir in der Durchührung gesehen haben, erscheinen spektralarbige Ränder am Außenrand des Bildes. Siehe auch... Frage 4: siehe..3. Frage 5: siehe.3. 6

17 Literaturverzeichnis Breuer, Hans, dtv-atlas Physik, 6. Aulage, Deutscher Taschenbuch Verlag GmbH & Co. KG München, September 5 Helmers, Dr. Heinz, Skript zum Anängerpraktikum Physik II, CvO Universität Oldenburg, Institut ür Physik, April 6 7

18 Anhang 8