Ferienkurs Experimentalphysik 3 - Übungsaufgaben Geometrische Optik - Lösung

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1 Ferienkurs Experimentalphysik 3 - Übungsaugaben Geometrische Optik - Matthias Brasse, Max v. Vopelius Augabe : Zeigen Sie mit Hile des Fermatschen Prinzips, dass aus der Minimierung des optischen Wegunterschieds ür zwei mögliche Wege P Q das Relexions- und Brechungsgesetz olgen. a) Unterschied der optischen Weglänge: n XC n Y C = n d sin Θ e n d sin Θ t! = 0 n d sin Θ e = n d sin Θ t bzw.n sin Θ e = n sin Θ t b) d P C, QC (eigentlich inenitesimaler Unterschied d) n C Y n C X = n d cos Θ e n d cos Θ t! = 0 Θ e = Θ t

2 Augabe : a) Zur Korrektur der Kurzsichtigkeit eines Auges (hervorgeruen durch Verlängerung des Augapels) ist ein Brillenglas mit einer Dioptrienzahl von D = erorderlich. Bestimmen Sie die maximale Enternung s max, au die das Auge ohne Brille akkomodieren kann. b) Ein altersweitsichtiges Auge (normale Länge des Augapels) kann nur noch bis herab zu s min = 40cm akkomodieren. Bestimmen Sie die erorderliche Dioptrienzahl einer Brille, die schares Sehen bis s 0 = 0cm ermöglicht. Bis zu welcher maximalen Enternung kann das Auge mit Brille noch akkomodieren. a) D = = 0, 5m Ziel: parallele Strahlen (g ) okussieren im Punkt s max des Auges. b = = s max s max = 0, 5m b) g = 0, m soll erreicht werden b = 0, 4m virtuell, muss au gleicher Seite entstehen und Punkt minimaler Akkomodierähigkeit treen + = = 0, 4m D =.5 b g schar sehen bis zu dem Punkt bei dem Strahlen parallel in die Linse kommen (also b ), bis g = 0.4m möglich. Augabe 3: Au einen sphärischen Konkavspiegel mit einem Durchmesser von 40cm und einem Krümmungsradius von 60cm alle ein Lichtbündel parallel zur optischen Achse. Relektierte Strahlen schneiden die optische Achse nicht genau im Brennpunkt. Den Abstand dieses Schnittpunktes zum Brennpunkt nennt man sphärische Längenaberration. a) Bestimmen Sie die Längenaberration als Funktion des Einallwinkels α (Winkel zwischen einallendem Strahl und Einallslot). b) Die Breite des Lichtbündels sei größer als der Durchmesser des Spiegels. Berechnen Sie die größte vorkommende Längenaberration. c) Zeigen Sie, daß die Lichtintensität au der optischen Achse tatsächlich im Brennpunkt maximal ist. a) (i) s = R = r, cos α ( (ii) x = s = R cos α ), Dreieck gleichschenklig, Basis r und Winkel α

3 b) sin α = h R α max = arcsin x max =, 8cm ( ) d = 9, 5 r c) Intensität Φ bestrahlte Fläche Änderung dφ πydy (Fläche eines Kreissegments, da das autreende Licht eine Kreisläche sieht mit Abstand y zum Mittelpunkt) Wir suchen dφ, also die Änderung nicht au die Höhe, sondern den Abstand zum Brennpunkt bezogen. Dies soll gerade an der Stelle x = 0 maximal dx sein. y = R sin α, dy = R cos αdα dφ πr sin α cos αdα dx dα = R sin α cos α dφ πr sin α cos α cos α R sin α dx = 4πR cos3 αdx cos α = R R + x = R x + R dφ dx 4π R 4 3 maximal ür x = 0 (x + R) Augabe 4: Gegeben sei ein Fernrohr mit dem Objektivdurchmesser D und der Vergrößerung v. Bestimmen Sie das Verhältnis der Beleuchtungsstärken (Strahlungsleistung pro Flächeneinheit) der Bilder, die von weit enternten Gegenständen au die Netzhaut eines Auges (Pupillendurchmesser d) mit und ohne Fernrohr projeziert werden. H := Helligkeit / Beleuchtungsstärke H φ e B, Önungswinkel φ e Objektivdurchmesser D e VergrößerungV T = g = b g = B G b =, da g B H D v = mit Instrument ohne Instrument H mit H ohne D e d = D v d 3

4 Augabe 5: Ein Okular bestehe aus zwei dünnen Plankonvexenlinsen mit den Krümmungsradien r und r im Abstand d =.604cm voneinander (siehe Skizze). Ein solches System hat eine Brennweite, wobei = + d. a) Das Okular soll als Lupe die Vergrößerung v = 0 besitzen. Wie groß muss dann die Brennweite gewählt werden? b) Die Brennweite des Okulars soll bei der Wellenlänge λ 0 unabhängig von kleinen Wellenlängenänderungen sein (Achromat). Bei λ 0 habe das Material beider Linsen den Brechungsindex n =.4. Berechnen Sie die Krümmungsradien r und r der beiden Linsen. Brennweite eines Linsensystems ist = + a) v = ɛ ɛ 0 = s 0 = 0 (Vergrößerung einer Lupe) =, 5cm b) d dλ d = 0 Bedingung dass Brennweite unabhängig von dλ sein soll. Brennweite dünne Linse: i = (n ) ( ) r i + r i = n r (eine Seite plan) = n + n d (n ) r r r r r r = (n ) [r + r (n ) d] }{{} d dλ = d dn N dn dλ = r r N (I) r + r (n ) d! = 0 (II) (I) in (II) [ dn dλ (r + r (n ) d) + (n ) ( d) dn ] dλ r r = (n ) r + (n ) r (n ) d! = 0 (n ) dr r = (n ) r + (n ) ( (n ) d r ) (n ) d r (n ) dr + (n ) d = 0 r, = (n ) ± (n ) d (n ) d (n ) d ± r =, 5cm r = 0, 83cm d 4

5 Augabe 6: Quarz hat ür Neutronen der Wellenlänge λ = nm den Brechungsindex n aλ mit a = m. Beachten Sie, daß gilt: n <. Der Brechungsindex in Lut sei. a) Ein Neutronenstrahl werde durch ein Quarzprisma mit Önungswinkel γ = 0 abgelenkt. Skizzieren Sie den Strahlengang ür den symmetrischen Durchgang. Zeigen Sie, daß bei symmetrischem Strahlengang im Fall n = der Ablenkwinkel δ (Winkel zwischen Strahl vor und nach dem Prisma) in erster Näherung gegeben ist durch δ = ( n) tan ( ) γ. Berechnen Sie in dieser Näherung den Ablenkwinkel δ und die Dispersion dδ/dλ ür Neutronen der Wellenlänge λ = nm. b) Der Neutronenstrahl werde an einer ebenen Quarzoberläche totalrelektiert. Zeigen Sie, daß der Grenzwinkel δ der Totalrelektion bei streiendem Einall (siehe Skizze) in erster Näherung gegeben ist durch δ =....Berechnen Sie den Grenzwinkel δ ür Neutronen der Wellenlänge λ = nm. Neutronen welcher Wellenlänge werden bei einem esten Einallswinkel δ (siehe Skizze) totalrelektiert? a) α + α + (π γ))π α = γ (α α) + (α α) + (π δ) = π δ = (α α) und sin α = n sin α n α α Entwicklung sin α um α = n [sin α + (α α) cos α +... ] (. Ordg) ( n) tan α = n (α α) ( n) tan γ = δ n = aλ δ = aλ tan γ = rad dδ dλ = 4aλ tan γ = rad 5

6 b) δ + Θ = π, n =, n = aλ n sin }{{ 90 } = sin Θ = cos δ δ n = δ δ = ( n) n = aλ λ = nm δ = a λ λ λ = a δ δ =, 4 0 rad =, 3 circ Augabe 7: Ein Gegenstand wird durch eine dünne bikonvexe Glaslinse (n =.5) mit den Krümmungsradien 30cm und 50cm au einen Schirm abgebildet. Das Bild hat die halbe Größe des Gegenstandes. Wie weit ist die Linse vom Gegenstand und wie weit vom Schirm enternt? B = G b = g b + g = 3 g = ( = (n ) + ) r r g = 0cm, b = 60cm = 0, 5 ( 30cm + ) 50cm 40cm Augabe 8: Au dem Boden eines Beckens mit der Wassertiee d = m liegt eine Münze, die ein Junge, dessen Augen sich h = m über der Wasserläche beinden, unter einem Winkel von 45 zur Wasseroberläche sieht. Unter welchem Winkel wird er sie sehen nachdem das Wasser abgelassen ist? sin α = n w sin β x = d tan α x = d tan β γ = arctan ( d x + x ) = arctan tan α + tan ( arcsin ( n w sin α )) = 50, 86 6

7 Augabe 9: Berechnen Sie die Brennweite einer dicken bikonvexen Linse aus Kronglas SK und den Krümmungsradien +0cm und 0cm. Die Linse sei 4cm dick und beinde sich in Lut (n = ). Möglichkeit (a): Im Skript verwendete Formel: [ = (n ) ] (n ) d + r r nr r r = 0cm r = 0cm n SK =, 606 = 0, 7m Möglichkeit (b): Hintereinanderausührung des Brechungsgesetzes an Kugellächen n g + n b = n n mitg r b = n r = 5, 8cm n n g = (b 4cm) = 48, 8cm Gegenstandsweite der zweiten Abbildung n g + n b = n n b = = (jetzt Brechung von n nach n ) r ] = 0, 6m [ n n n r g Der Unterschied zwischen den Ergebnissen resultiert aus der Einührung der Hauptebenen, ür die die Brennweite oberer Formel gelten. Möglichkeit (b) berechnet die Brennweite ab Oberläche, Möglichkeit (a) ab der Hauptebene. Augabe 0: Ein dünner Glasstab habe die Länge l = 30cm, die Brechzahl n =.5, und werde durch ein planes und ein sphärisch konvexes Ende mit Krümmungsradius r = 0cm abgeschlossen. Außerhalb des Stabes, im Abstand g = 60cm vor der sphärischen Fläche, beinde sich au der Symmetrieachse des Stabes eine punktörmige Lichtquelle Q. Skizzieren Sie den Verlau der von Q ausgehenden Lichtstrahlen. Gibt es einen Punkt, in dem sich die Strahlen wieder treen? Und wenn ja: wo? Unter welchem Winkel ξ treen sich Strahlen, die bei Q mit einem Winkel α mit der optischen Achse einschließen? Wie groß ist die Winkelvergrößerung? 7

8 dünn bedeutet D, und damit sin α tan α α g tan α = r tan β β = g r α γ = β + α n }{{} = γ = n δ γ δ = n ɛ = β δ ɛ = g g r α α + α r = g ( n r α ) n b tan ɛ = g tan α b g ( r α ) α = g α n n b g r b α n g = g n rn n b + g = n r n = ξ ɛ, a = (b l) ɛ ξ = 0cm b = 45cm(länger als der Stab) Winkelvergrößerung ξ α = (n ) g r = Augabe : In der Photographie wird die Blende : F = D als Verhältnis zwischen dem Durchmesser D der Eintrittspupille und der Brennweite eines Objektivs angegeben. Mit einem Teleobjektiv ( = 50mm) wird bei Blende : 4 au einen Gegenstand in 5m Enternung okussiert. Berechnen Sie den Tieenschärebereich. Nehmen Sie dazu an, dass ein Gegenstand als schar erscheint, solange er au dem Film als Kreisscheibe mit einem Durchmesser d 0.05mm abgebildet wird. Blendenzahl : F = D Teleobjektiv, = 50mm, d 0, 05mm = B 0 maximale Größe der Kreisscheibe 8

9 g b B 0 D V L (vgl. Skript) g b = V L = (g ) Augabe : g 4 }{{} D (g ) B0 4 B0g =, cm Das Modell eines Zoom-Objektivs ür eine Kleinbild-Kamera soll aus zwei dünnen Sammellinsen mit veränderbarem Abstand d, gleichen Brennweiten und Brechzahlen n =.57 augebaut werden und olgende Eigenschaten haben: Brennweitenvariation zwischen 90mm und 0mm, Önungsverhältnis : 3.5. a) Alle Oberlächen der sphärischen Sammellinsen haben den Krümmungsradius r = 9mm. Wie groß ist deren Brennweite? b) Welchen Durchmesser D muss die Frontlinse (Eintrittspupille) haben? c) In welchem Bereich muss der Linsenabstand d veränderbar sein? d) Welche kleinste Brennweite ist möglich, wenn beide Linsen denselben Durchmesser D haben? zwei Linsen, Abstand d variabel Brennweiten gleich, Brechzahl n =.57 Blendenvariation zwischen 90mm und 0mm, Önungsverhältnis : 3, 5 a) r = r b) Blendenzahl F = D D = F = 60mm c) Brennweiten sind gleich, = = + durch einsetzen: = ( ) r r = 79, 8mm n r r d = + d = d d = min = 90mm d min = 88, 8mm max = 0mm d max = 9, 3mm 9

10 d) Der kleinste Abstand entspricht zwei mal der halben Linsendicke. Trigonometrie ergibt: ( r = r d ) ( ) D + Kleinere d = 0, mm Augabe 3: d 4rd + D = 0, d = r ± 4r D kleinste Brennweite = d = 4, 6mm Ein Teleskop zur Betrachtung weit enternter Sterne bestehe aus zwei sphärischen Spiegeln (siehe Skizze). Der Krümmungsradius des großen Spiegels (mit einem Loch im Zentrum) sei.0m, derjenige des kleinen betrage 0.6m. Der Abstand der Scheitel S, S der beiden Spiegel sei 0.75m. a) Berechnen Sie den Abstand des bildseitigen Brennpunktes F des Spiegelsystems vom Scheitel S des kleinen Spiegels (parallel einallende Strahlen, siehe Skizze). b) Bestimmen Sie die eektive Brennweite der Anordnung beider Spiegel (eektive Brennweite = Brennweite einer Sammellinse mit gleichen abbildenden Eigenschaten wie das Spiegelsystem). c) Mit Hile eines Okulars ( OK = cm) wird nun das reelle Zwischenbild des Sterns mit entspanntem Auge betrachtet. Berechnen Sie die Vergrößerung des Gesamtsystems. d) Was sind die Hauptvorteile von Spiegelteleskopen gegenüber astronomischen Fernrohren (Linsenteleskope)? (max. Sätze!) a) + =, g und = r = g b b r außerdem b = y m y = r negative Vorzeichen vor y und r! 0, 75m = 0, 5m y + x = r x = yr y r = ( 0, 5m) ( 0, 6m) 0, 5m + 0, 6m =, 5m 0

11 b) Konstruktion mit Strahlensatz c) v = Ok = 6 0,0 = 300 d) d D = x und d D = y y + 0, 75m ( y + 0, 75m) x = = 6m y keine chromatische Aberration durch Brechung Spiegel können größer gebaut werden höhere Lichtausbeute Spiegel kosten weniger als Linsen Augabe 4: Ein Lichtstrahl tree aus Lut (n = ) au einen Plexiglasquader, der ast vollständig in Äthylalkohol eingetaucht ist (siehe Abbildung). a) Berechnen Sie den Winkel Θ, ür den sich am Punkt P Totalrelexion ergibt. b) Wenn der Äthylalkohol enternt wird, ergibt sich dann auch mit dem in a) berechneten Winkel Θ am Punkt P Totalrelexion? Begründung! a) Es ist n P lexiglas =, 49 und n Alkohol =, 367.Brechung n sin θ = n P lexi sin θ aus Symmetrie olgt θ = π θ

12 .Brechung Für Totalrelexion muss θ 3 = 90 sein. θ = arccos n Alk. n P lexi = 4 θ = arcsin (n P lexi sin θ ) = 37, 4 ( π n P lexi sin θ = n Alk. sin θ 3 }{{} cos θ b) da n alk > n Lut ist kritischer Winkel ür Lut kleiner und es indet immer noch Totalrelexion statt. )