HRP BOS- Name: Datum:

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1 HRP BOS- Name: Datum: Vorschlag 1: Aus 5 Aufgaben können Sie 3 auswählen. Sie müssen dabei Folgendes beachten: Die Aufgabe 3 (Exponentialfunktion) ist eine Pflichtaufgabe. Sie sollte von allen bearbeitet werden! Zwischen Aufgabe 1 (Gebrochenrationale Funktion) und Aufgabe 5 (Trigonometrische Funktion) müssen Sie wählen. Auch zwischen Aufgabe 2 (Stochastik) und Aufgabe 4 (Analytische Geometrie) müssen Sie wählen. Sollten Sie keine Auswahl treffen und zum Beispiel Teilaufgaben aus Stochastik und analytischer Geometrie bearbeiten, dann werden nur die Teilaufgaben zur Stochastik bewertet; ähnlich wird mit der Bearbeitung der beiden Aufgaben Gebrochenrationale Funktion und Trigonometrische Funktion verfahren. Die Bearbeitungszeit beträgt 240 Minuten. Beschreiben Sie Ihre Vorgehensweise und kommentieren Sie Ihre Lösungen. Die Qualität der textlichen Begleitung wird mitbewertet. Aufgabe 1. [33%] Der Entwurf einer Wasserrutschbahn wird durch den Graphen der Funktion f beschrieben. Diese Funktion ist definiert durch f (x) = 1,6(0,9+x) 0,5+1,5x 2 ; D fmax R. 1.1 Untersuchen Sie die Funktion f : Erste Hilfe Geben Sie den maximalen Definitionsbereich von f an! Berechnen Sie den Wert der Funktion f an der Stelle x = 4! Zeigen Sie: Die Funktion f besitzt keine Polstellen! Zeigen Sie: y = 0 ist die einzige Asymptote der Funktion f! Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit den Koordinatenachsen! Weisen Sie nach, dass P E1 ( 1, 97 0, 27) und P E2 ( 0, 17 3, 15) die einzigen Extremalpunk der Funktion f sind! Verwenden Sie: f (x) = 2,4x2 4,32x+0,8 (0,5+1,5x 2 ) 2 und f (x) = 7,2( 0,5+x)(0,2+x)(3+x) (0,5+1,5x 2 ) Im Punkt P W (x y), x > 0 hat der Graph der Funktion f das größte Gefälle. Berechnen Sie die Koordinate des Punktes P W! 1.2 Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f für 6 x 6 in ein Koordinatensystem! Verwenden Sie hierz auch die Ergebnisse aus Der Punkt P(x f (x)) mit x 0 und f (x) 0 liegt auf dem Graphen der Funktion f. Die beiden Geraden, d jeweils parallel zur x- beziehungsweise y-achse verlaufen und auf denen der Punkt P liegt, schließen mit de x-undy-achse ein Rechteck ein Den maximalen Flächeninhalt dieses Rechtecks erhält man über die Funktion A mit A(x) = 1,6x2 1,44 0,5+1,5x 2 Weisen Sie zunächst nach, dass A eine Zielfunktion ist Berechnen Sie die x-koordinate des Punktes P, für den der Flächeninhalt dieses Rechtecks maximal wird Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt dieses Rechtecks! Im Auftrag der Senatsschulverwaltung: Hä, Ra, Scha. Seite: 1 von 6

2 2.1 Wir unterscheiden zwischen Schülerinnen S w und Schülern S m! 2000 Schülerinnen und Schüler eines Oberstufenzentrums werden ein Jahr vor einer Wahl befragt. 30% diese Schülerinnen und Schüler wollen die Partei A wählen. Von den Schülerinnen und Schülern, die der Partei A ihre Stimme geben wollen, sind 60% Schüler. Unter de Schülerinnen und Schülern, welche die Partei A nicht wählen wollen, sind nur 20% Schüler Wie viele Schüler müssten nach diesen Angaben das Oberstufenzentrum besuchen? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schülerin des Oberstufenzentrums die Partei A wähle will? Ergänzen Sie Ihre Rechnung durch ein entsprechendes Baumdiagramm! 2.2 In der gymnasialen Oberstufe eines Gymnasiums in der Nähe des Oberstufenzentrums gibt es 100 Schül rinnen und 80 Schüler. Auch dort wird eine Umfrage zum Wählerverhalten durchgeführt. Der prozentua Anteil der Schüler des Gymnasiums, die der Partei A ihre Stimme geben wollen, liegt bei 65%. Der prozentuale Anteil aller Schülerinnen und Schüler des Gymnasiums, welche die Partei A nicht wähle wollen, liegt bei 40%. Berechnen Sie den prozentualen Anteil der Schülerinnen des Gymnasiums, welche die Partei A wählen wo len? 2.3 Nach 2.2 liegt der prozentuale Anteil der Schüler des Gymnasiums, die der Partei A ihre Stimme geben wo len, bei 65%. In einer Klasse des Oberstufenzentrums sitzen 12 Schülerinnen und 10 Schüler. Sie diskutiere über das Parteiprogramm der Partei A. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse Genau zwei der anwesenden Schüler wollen die Partei A wählen! Höchstens einer der anwesenden Schüler will die Partei A wählen! Wie viele Schüler müssten anwesend sein, damit die Wahrscheinlichkeit größer als 90% ist, dass minde tens einer von ihnen die Partei A wählen will? Nur eine der beiden folgenden Aufgaben ist zu bearbeiten: 2.4 oder 2.5! 2.4 Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schülerin oder ein Schüler des OSZ die Partei A wählt, liegt bei 30% (sieh 2.1). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Schülerinnen und Schüler des Oberstufenzen trums, welche die Partei A wählen, um höchstens 20 vom Erwartungswert abweicht! Hinweis: Eine Tabelle zur Standardnormalverteilung befindet sich auf Seite 6! 2.5 Bei einer Befragung von 400 Schülerinnen gaben 100 Schülerinnen an, dass sie regelmäßig eine Tageszeitun lesen und 70 gaben an, dass sie die Partei A wählen wollen. Von 60 der 400 Schülerinnen Gruppe weiß man dass sie die Partei A wählen wollen und auch regelmäßig eine Tageszeitung lesen Ist das Wählerverhalten einer Schülerin stochastisch davon ab abhängig, ob sie regelmäßig eine Tagesze tung liest? Unter 20 Schülerinnen befinden sich 12 Schülerinnen, die die Partei A wählen wollen. Aus dieser Grupp von 20 Schülerinnen wählen Sie 6 Schülerinnen aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen 6 Schülerinnnen 4 Schülerinnen sind, die die Part A wählen wollen? Im Auftrag der Senatsschulverwaltung: Hä, Ra, Scha. Seite: 2 von 6

3 h 0 = 50 cm mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Exponentialfunktion mit der Gleichung h(t) = 50 e 0,2 t ; 0 t b schreibt die zeitlich veränderliche Füllhöhe beim Auslaufen des Gefäßes. Die Füllhöhe h misst man in Zentimeter (cm) und die Zeit t in Minuten (min). 3.1 Vervollständigen Sie die Wertetabelle und skizzieren Sie den Graphen der Funktion h! tinmin h(t) in cm 3.2 Berechnen Sie die Zeit, nach der die Füllhöhe 15 cm beträgt! 3.3 Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Füllhöhe im Gefäß innerhalb einer Minute abnimmt! 3.4 Berechnen Sie, ab wann die Füllhöhe um weniger als 1 min cm abnimmt, d.h. ab wann ist die momentane Änd rungsrate kleiner als 1 min cm! 3.5 Mit Hilfe einer Pumpe lässt sich der Zylinder schneller entleeren. Die lineare Funktion g mit g(t) = 5 t + 50; 0 t beschreibt die zeitlich veränderliche Füllhöhe bei Verwendung der Pumpe Berechnen Sie die Zeit, die die Pumpe zum Entleeren des Zylinders benötigt! Zeichnen Sie den Graphen der Funktion g! Verwenden Sie hierzu das Koordinatensystem aus dem Au gabenteil 3.1! 3.6 Die unterschiedliche Geschwindigkeit, mit der das zylindrische Gefäß entleert wird (mit und ohne Pumpe lässt sich durch die Funktion d(t) =g(t) h(t) beschreiben. Berechnen Sie das Maximum dieser Funktio für t ɛ [0; 8] 3.7 Zeigen Sie, dass der Graph von g mit der x- und y-achse eine Fläche einschließt, deren Inhalt so groß ist w der Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion h mit den beiden Koordinatenachsen einschließt! Im Auftrag der Senatsschulverwaltung: Hä, Ra, Scha. Seite: 3 von 6

4 Z Aufgabe 4. [33%] Zu den eindrucksvollsten Bauwerken gehören die ägyptischen Pyramiden. Einige von ihnen waren mit weißen Kalksteinplatten verkleidet. Bild 4.1 zeigt ein Modell einer solchen Pyramide (mit Grabkammer und Luftschacht, siehe Aufgabe 4.6). Ihre Spitze liegt über dem Mittelpunkt einer quadratischen Grundfläche. Die Höhe der Pyramide beträgt 90 m; die Seiten der Grundfläche sind jeweils 150 m lang. X D S C A Pyramide mit Grabkammer und Luftsc B Y Bild 4.1 Es wird ein kartesisches Koordinatensystem mit der Längeneinheit von 1 m verwendet, dessen Koordin tenursprung in der Mitte der quadratischen Grundfläche der Pyramide liegt und dessen x- undy-achs parallel zu den Grundkanten verlaufen. Die Bezeichnung der Eckpunkte können Sie Bild 4.1 entnehmen. 4.1 Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte A, B, C, D und S an! 4.2 Berechnen Sie die Mantelfläche (d. i. Oberfläche ohne Grundfläche) der Pyramide! 4.3 Das Dreieck Δ(A, B, S) liegt in einer Ebene. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Ebene! 4.4 Jede der vier Seitenflächen der Pyramide hat bzüglich der Grundfläche der Pyramide den gleichen gungswinkel. Bestimmen Sie diesen Neigungswinkel! 4.5 Mit Hilfe einer Computeranimation lassen sich Schnittbilder der Pyramide darstellen. Ein Schnittbild in der Ebene S :3x + 4y = 180. Beschreiben Sie die Lage dieser Ebene bezüglich des Koordintenurspru und der Koordinatenachsen! Z 4.6 Die Ägypter bauten ihre Pyramiden schichtweise. Zum Transport der Steine zur jeweiligen Schichthöhe des Pyramidenstumpfes verwendete man in der ersten Bauphase eine Rampe, die bis an die jeweilige Schichthöhe der Pyramide heranreichte (Bild 4.2). Sei R : 6y + 25z = 750 die Ebenengleichung der Ebene, in der die begehbare rechteckige Fläche (R 1, R 2, R 3, R 4 ) der Rampe liegt. X h R 3 R 4 Bild 4.2 Pyramidenstumpf mit Ra l Y R 1 R Zeigen Sie, dass die Höhe des Pyramidenstumpfes 15 m beträgt! Berechnen Sie die Länge l des Rechtecks (R 1, R 2, R 3, R 4 )! 4.7 Der Punkt P( ) liegt in der Dreiecksfläche Δ(A, B, S). Senkrecht zu dieser Fläche verläuft ein Luf schacht, dessen Mittelachse von P ausgeht und in 15 m Höhe über der Grundfläche am Eingang de Königsgrabes endet. Berechnen Sie die Koordinaten dieses Endpunktes! Im Auftrag der Senatsschulverwaltung: Hä, Ra, Scha. Seite: 4 von 6

5 5.1 Untersuchen Sie die Funktion f im Intervall [0; 2π] auf Nullstellen Extremalpunkte. 5.2 Skizzieren Sie den Graphen G f - unter Verwendung der Ergebnisse aus in das vorgegebene Koordin tensystem! y t 1 sei die Tangente an den Graphen von f im Punkt P 1 ( 3π ) und t 2 sei die Tangente an den Graphen vo f im Punkt P 2 ( π ). Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t 1 und zeigen Sie, dass die Tangenten t 1 un t 2 parallel liegen! 5.4 Oberhalb der x-achse schließt der Graph der Funktion f über dem Intervall [0; 2π] mit der x-achse die Fläch A ein. Unterhalb der x-achse schließt der Graph der Funktion f über der Intervall [0; 2π] mit der x-achse d Fläche B ein. Zeigen Sie, dass die Flächeninhalte der beiden Flächen A und B gleich sind! 5.5 a und b sind zwei beliebige Parameter. Bestimmen Sie die Schnittstellen der beiden Funktionen f a (x) =a sin x +(1 a) sin 2x und f b (x) =b sin x +(1 b) sin 2x; x ɛ R und interpretieren Sie das Ergebnis! x Im Auftrag der Senatsschulverwaltung: Hä, Ra, Scha. Seite: 5 von 6

6 2 Π Φ x x 0 x Tabelle zur Standardnormalverteilung x Im Auftrag der Senatsschulverwaltung: Hä, Ra, Scha. Seite: 6 von 6