Geometrische Aberrationen

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1 Inhalt: 2.1 Geometrische Aberrationen 1. Definitionen 2. Querabweichungen und Spotdiagramme 3. LängsabweichungenL 4. Potenzreihendarstellungen 5. Flächenanteile 6. Sphärische Aberration 7. Astigmatismus 8. Bildfeldwölbung lbung und Petzvalsatz 9. Koma 10. Verzeichnung Page No. 1

2 Inhalt: 1. Definitionen 2. Querabweichungen und Spotdiagramme 3. LängsabweichungenL 4. Potenzreihendarstellungen 5. Flächenanteile 6. Sphärische Aberration 7. Astigmatismus 8. Bildfeldwölbung lbung und Petzvalsatz 9. Koma 10. Verzeichnung Page No. 2

3 Systembeschreibung Grenzflächen : Mathematisch beschriebene Flächen, Ebene, Kugel, Asphären, Kegelschnitte, Freiformflächen Größ öße e der Komponenten : Dicke der Glasteile bzw. Luftabstände Transversale Begrenzung ( Durchmesser ), auch komplizierte Formen Geometrie : 3-D-Geometrie in vektorieller Beschreibung, Sonderfall : zentriert auf der optischen Achse Materialien : Brechzahlen für f r die verwendeten Wellenlängen, ngen, Speziell : Absorption, Doppelbrechung, Nichtlinearitäten, ten, n-gradientenn Spezielles : Gitter bzw. DOE's mit strukturierten Oberflächen, streuende Flächen Page No. 3

4 Schema optisches System Strahl : Gerade zwischen zwei Durchstoßpunkten System : Kugelflächen mit Scheitel-Abst Abständen und Brechzahlüberg bergängen u' j-1 Strahl d s j-1 d s j Schiefe Dicke i j i' j u' j y j d j-1 Scheitelabstand d j Optische Achse z y j Normale x j y j+1 Medium n j-1 Medium n j Durchstoßpunkt P j e j Fläche r j-1 Fläche r j s j Strahl Durchstoßpunkt P j+1 x j+1 Fläche Nr j Abstand e j+1 d j s j+1 Normale z Fläche Nr j+1 Page No. 4

5 Flächenoperatoren Durchstoßpunkt Form plan Speziell Optionen eines Strahls an einer Fläche : sphärisch asphärisch Kegelschnitt Zylinder Torus Freiformfläche Begrenzung Durchmesser Randkontur Obscuration Loch Strahlrichtung Brechung regulär Reflexion diffraktive Struktur Gitter Totalreflexion DOE HOE Streuung homogen ideale Linse Lambert BSDF Page No. 5

6 Ideale optische Abbildung Optische Abbildung : Alle Strahlen von einem Objektpunkt laufen im Bildpunkt zusammen men Achsnaher Bereich : gaußsche Abbildung, ideal, paraxial Bildfeld: Hauptstrahl Öffnung / Apertur: Randstrahl Objekt O 2 Feldpunkt Achspunkt Randstrahl Hauptstrahl Blende / Pupille Optiksystem O 1 O' 1 Bild O' 2 Page No. 6

7 Darstellung von Bildfehlern Längsaberration s reference ray ray logitudinal aberration along the reference ray l' Gaussian image plane ray Gaussian image plane U' reference point optical axis l' o optical axis system longitudinal aberration projected on the axis system s' longitudinal aberration Queraberration y reference ray (real or ideal chief ray) y' transverse aberration ray U' optical axis reference plane system Page No. 7

8 Darstellung von Bildfehlern Winkelaberration u ideal reference ray U' angular aberration real ray optical axis system Wellenaberration W x reference sphere wavefront W > 0 Gaussian reference plane paraxial ray real ray U' C z R y' Page No. 8 s' < 0

9 Spotdiagramm Ein Punkt in der Objektebene Strahlen durch alle Punkte der Pupille ( 2D ) Spotdiagramm in der Bildebene Objektebene Eintrittspupille Austritts- Pupille Bild Spotdiagramm y o y p y' p y' x o x p x' p x' z Page No. 9

10 Strahlrasterung in der Pupille Rasterung der Strahlen in der Eintrittspupille : - Willkürliche Strahlauswahl - Spezielle Muster führen f zu Symmetrie-Artefakten im Bild - Sinnvoll ist eine Gleichgewichtung ( iso-energetisch ) der Strahlen Schießscheiben scheiben-raster : - Geometrie der rotationssymmetrischen Systeme angepaßt - nicht iso-energetisch : Mitte überbewertet Kartesisches Raster : - iso-energetisch - schlechte Modellierung des Randes - notwendig für f r FFT-Weiterverarbeitung bei Psf-Berechnung - Rand-Gewichtung denkbar Page No. 10

11 Strahlrasterung in der Pupille Schießscheiben scheiben-raster isoenergetisch : - gleich große e Patches - Ringbreiten für f r ganzzahlige Patchzahl angepaßt - sehr vorteilhafte Rasterung Statistische Rasterung : - für r Beleuchtungs- oder Streulichtrechnungen günstigg - Risiko von Ungleichmäß äßigkeiten - Vorteil : keine Strukturen im Bild erzeugt Hexagonale Rasterung : - isoenergetisch - Randbeschreibung relativ gut - sehr vorteilhafte Rasterung Page No. 11

13 Transversale Aberrationen Klassische Bildfehlerkurven: Abweichung über der Öffnung In der Regel nur Rasterung der Pupille auf den Achsen, keine Information über die Quadranten Interpretation: Defokus: Kippung Koma: Quadratisch Sphär. : Kubisch Verz.: Offset tangential y 5 µm sagittal x 5 µm -1 1 y p -1 1 x p D x D y λ= 486 nm λ= 588 nm λ= 656 nm Page No. 13

14 Diagramm Querabweichungen Achse Feldzone Feldrand Abweichung meridional Abweichung sagittal Page No. 14

15 Spot-Diagramm Durchstoßpunkte in einer festen Ebene Kriterien für f r Größ öße e : 1. Rms-Wert ( Gaussmoment ) 2. Maximal-Durchmesser in beiden Richtungen y max y r rms x s, y s x x max Page No. 15

16 Beste Fokusebene Spot allgemein Funktion von Farbe und Feldposition Komplett- Darstellung axis field zone field z 1 = -100 µm z 2 = -50 µm z 3 = 0 z 4 = +50 µm z 5 = +100 µm Page No. 16

17 Spotdiagramme Artefakte durch reguläre Rasterung kartesisch hexagonal statistisch Page No. 17

18 Aberrations of a single lens Single plane-convex lens, BK7, f = 100 mm, λ = 500 nm Spot as a function of field position Blue lines: distortion Coma to axis oriented y x Page No. 18

20 Aperturabhängigkeit der Längsabweichung Typische Auftragung der Längsabweichungen L der Bildfehler : Schnittweite über der Apertur Korrektur am Rand : Restfehler ist maximal in der Zone bei 1/ 2 Extreme Gradienten am Aperturrand Gleichmäß äßigere Auftragung des Verlaufs über dem Quadrat der Apertur sin 2 u y p volle Apertur Zonenapertur s' s' Page No. 20

21 Längsabweichung Sphärische Aberration 4 Farben Koma in der Zone 4 Farben Koma am Feldrand 4 Farben Sekundärer Farbfehler Chromatische Vergrößerung Verzeichnung Hauptfarbe Schalen und Astigmatismus 4 Farben Page No. 21

23 Geometrische Aberrationen Aberrations of a single lens Single plane-convex lens, BK7, f = 100 mm, λ = 500 nm Performance as a function of field size and aperture Small NA: - only astigmatism - larger NA: coma Distortion not seen W rms 10 field w [ ] NA Page No. 23

24 Potenzreihen - Entwicklung Anschauliche Darstellung der r-y-taylorreihe. r Diagonalen haben konstante Exponentensumme und stellen eine Ordnung dar. Bildlage Primärfehler Seidel sekundäre Bildfehler Feld y Sphärisch Koma Astigmat. y 0 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 Verzeichnung r Kipp Verzeichnung primär 0 y y 3 r 1 Defokus Astigmatism. r 1 r 1 y 2 Feldwölbung Apertur r 2 y r r 2 Koma primär r 2 y 3 r 3 r 3 Sphärisch r 3 y 2 primär r 1 y 4 y 5 Verzeichnung 5. Ordnung r 4 r 4 y r 5 r 5 Sphärisch 5. Ordnung Page No. 24

25 Primäre Bildfehler Entwicklung Querabweichung nach Bildhöhe y' und Pupillenhöhe r p : Sphärische Aberration : S - nicht vom Feld abhängig - in 3. Potenz von Apertur abhängig Koma : K - linear vom Feld abhängig - in 2. Potenz von Apertur abhängig Astigmatismus : A - linear von Apertur abhängig - in 2. Potenz von Apertur abhängig Bildfeldwölbung : P - linear von Apertur abhängig - in 2. Potenz vom Feld abhängig Verzeichnung : V - Nicht von Apertur abhängig - in 3. Potenz von Feld abhängig r' = r p r S + p y' y' 3 V 2 r 2 p A + y' K r p y' 2 P Page No. 25

27 Flächenanteile der Bildfehler In 3. Ordnung ( Seidel) : Additive Beiträge der Flächen im System zu den gesamten Aberrationen Sphärische Aberration Koma Astigmatismus 2 4 n n n A = '( ' ) 1 1 n n n s s n R s ' R + ' s ' 2 8 ' ' p' A A c a R s' + p' = 4 As s' R R s' + p' = 4 A s' R 2 s Bildfeldwölbung lbung A p = 2 2 R s' + p' s' R A s n'( n' n) 2 4nRp' Verzeichnung A d = 4 3 R s' + p' s' R A s n'( n' n) 2 2nRp' R s' + p' s' R Page No. 27

28 Microscope objective lens spherical Seidel surface contributions for 100x/0.90 coma astigmatism curvature distortion axial chromatic lateral chromatic sum Page No. 28

29 Linsenanteile der Bildfehler In 3. Ordnung ( Seidel) : Additive Beiträge der Linsen im System zu den gesamten Aberrationen, Blende jeweils am Ort der Linse Sphärische Aberration A s = 3 n n X n n f n ( 1) 1 n 1 n ( n ) 2 n ( n 1) M n + 2 M 2 Koma Astigmatismus Bildfeldwölbunglbung A c = 1 4nf 2 A = 1 a 2 f s' n + 1 s' n 1 2 n A = + 1 p 4nf s' 2 X ( 2n + 1) M Verzeichnung A d = 0 Page No. 29

31 Sphärische Aberration Sphärische Aberration ( Öffnungsfehler ) : rotationssymmetrisch, für f r Achspunkt Idealer Schnittpunkt aller Öffnungsstrahlen : Paraxialfokus Realer Schnittpunkt der Randstrahlen Optimale Defokussierung : - Ebene des kleinsten Rms-Wertes - kleinster geometrischer Durchmesser Ebene der kleinsten Einschnürung Mittlere Bildebene A s 2 A s Randstrahl- Fokus Ebene des kleinsten rms-wertes Paraxialer Fokus Page No. 31

32 Spherical Aberration Primary spherical aberration at paraxial focus Wave aberration tangential sagittal 2λ 2λ At paraxial focus Transverse ray aberration y x y 0.01 mm 0.01 mm 0.01 mm Pupil: y-section x-section x-section Modulation Transfer Function MTF MTF at paraxial focus MTF through focus for 100 cycles per mm cyc/mm z/mm Geometrical spot through focus 0.02 mm z/mm From : H. Zügge Page No. 32

33 Spherical Aberration Primary spherical aberration with compensating defocus Wave aberration tangential sagittal 2λ 2λ At best plane Transverse ray aberration y x y 0.01 mm 0.01 mm 0.01 mm Pupil: y-section x-section x-section Modulation Transfer Function MTF MTF at paraxial focus MTF through focus for 100 cycles per mm cyc/mm z/mm Geometrical spot through focus 0.02 mm z/mm From : H. Zügge Page No. 33

34 Sphärische Aberration : Inzidenzwinkel Sphärische Aberration : Nichtlinearität t des Brechungsgesetzes für f r endliche Inzidenzwinkel i Einfachlinse plankonvex, falsch orientiert : sin i = i 3 i 6 Einfachlinse plankonvex, richtig orientiert, Brechzahl n = 1.5 : NäherungN i ϕ 2 sin 3 i 1 i = i = i 3 i 48 i 2 ϕ Dementsprechend ist der Öffnungsfehler etwa 4mal kleiner i 1 Page No. 34

35 Durchbiegung einer Linse Durchbiegung : Formfaktor einer Linse X = R R R Bei der Durchbiegung bleibt die Brennweite f näherungsweise konstant Die Hauptebenen der Linse werden verschoben Die Durchbiegung beeinflußt t die Bildfehler : die Inzidenzwinkel ändern sich 2 R 1 X<-1 X=-1 X=0 X=1 meniscus lens planconvex lens planconcave lens biconvex lens biconcave lens planconvex lens planconcave lens X>1 meniscus lens Page No. 35

36 Sphärische Aberration : Durchbiegung Optimale Durchbiegung für f r sphärische Aberration Sphärische Aberration verschwindet fürf Abhängigkeit der sphärische Aberration von (n = 1.5 ) 1. Durchbiegung X 2. Maßstab M Wsph X M sph min = 2 s= 0 = 2 ( n ) 2 1 n + 2 n( n + 2) 2 ( n 1) M M = - 3 M = 0 M = 3 M = - 6 M = 6 X Page No. 36

37 Sphärische Aberration : Durchbiegung Sphärische Aberration und Fokus- durchmesser als Funktion der Linsendurchbiegung object plane principal plane image plane 5 4 Durchmesser Sph X Page No. 37

38 Sphärische Aberration : aplanatische Flächen Aplanatische Flächen mit verschwindender sphärischer Aberration: 1. Im Scheitel 2. Konzentrisch 3. Aplanatisch Aplanatische Bedingung: r ns n' s' ss' = = = n + n ' n + n' s + s' s' = s = 0 s' = s und u = u' ns = n' s' hyperboloid oblate ellipsoid oblate ellipsoid prolate ellipsoid + power series + power series + power series + power series s' vertex sphere concentric sphere aplanatic S Virtuelle Abbildung Anwendungen: 1. Mikroskopobjektive 2. Interferometerobjektive Page No. 38

39 Aplanatische Linsen Aplanatische Linsen Kombination von konzentrischen und aplanatischen Flächen : Kein Beitrag zum Öffnungsfehler Ohne große e Bedeutung : - aplanatisch - aplanatisch - konzentrisch - konzentrisch A-A : parallel offset A-C : convergence enhanced C-A : convergence reduced C-C : no effect Page No. 39

40 Spherical Aberration of Higher Order Microscope Lens Zernike spectrum shows large higher contributions (a) wavefront surface wavefront section λ 0.1λ (b) (c) order sherical aberration From : H. Zügge Page No. 40

42 Astigmatismus Prinzipielle Entstehung : Hauptstrahl geht schief durch eine Fläche, Unterschiedliche Brechkraft in Tangential- und Sagittalschnitt Es entsteht eine tangentiale und eine sagittale Fokallinie In der Mitte liegt der Punkt kleinster Zerstreuung vor y HS B tan B sag B circle Tangentialer Differentialstrahl x Sagittaler Differentialstrahl O Achse Page No. 42

43 Astigmatism Focussing of a polar grid in different planes Bild Kreis Tangentiale Linie Sagittale Linie tangentialer Fokus Eintrittspupille Ausrittspupille bester Fokus sagittaler Fokus Objekt Page No. 43

44 Astigmatism Wave aberration tangential sagittal 2λ Primary astigmatism at medial focus 2λ At median focus Transverse ray aberration y x y 0.01 mm 0.01 mm 0.01 mm Pupil: y-section x-section x-section Modulation Transfer Function MTF MTF at paraxial focus MTF through focus for 100 cycles per mm tangential sagittal 0.5 tangential sagittal cyc/mm z/mm Geometrical spot through focus 0.02 mm From : H. Zügge z/mm Page No. 44

46 Bildschalen Abbildung mit Astigmatismus: Tangentiale und sagittale Bildschale je nach Azimut Differenz der Bildschalen in Achsrichtung: Astigmatismus Astigmatismus korrigiert: Es bleibt Bildfeldwölbung, lbung, gekrümmte Petzval-Bildschale System mit Astigmatismus: Petzvalschale ist keine reale Fläche mit scharfer Abbildung Bildschalen T S y' ideale Bildebene Page No. 46

47 Field Curvature Focussing into different planes of a system with field curvature Sharp imaged zone changes from centre to margin of the image field focused in center focused in field zone focused at field boundary Page No. 47

48 Astigmatismus und Bildfeldebnung Bildflächen: Gaußebene, tangentiale, sagittale, Petzvalschale, beste Auffangkugel Seidel-Theorie: s' best s' = sag + s 2 ( ) s' s' = 3 tan s' s' Astigmatismus: s' = s' s' ast pet sag pet tan Beste Bildschale: sag ' tan Tangentiale Schale Beste Schale Sagittale Schale 2 y' Gauss-Bildebene Petzval Schale z Page No. 48

49 Bildfeldebnung Das Bild entsteht auf einer gekrümmten Schale ( in Seideltheorie : Kugelfläche ) Brechende Einzelfläche: nr rp = Petzvalradius der Bildschale n ' n System aus mehreren Linsen mit korrigiertem Astigmatismus: Petzvalradius: 1 1 = n' r n f p k k k Objektebene Fläche Blende M n n' Petzval- Bildschale Page No. 49

51 Koma Blende Sagittalstrahlen oberer Komastrahl Tangentiale Koma Sagittale Koma S T Hilfsachse Hauptstrahl M unterer Komastrahl Astigmatische Differenz der Komastrahlen Strahldurchstosspunkte in der Pupille oberer Komastrahl n n' Entstehung der Koma : Schiefer Hauptstrahlverlauf bei endlich großer Öffnung Es entsteht eine schweif-artige Spotfigur Dominanter Bildfehler bei großen Bildfeldern Sagittalstrahl Hauptstrahl unterer Komastrahl Hilfsachse Page No. 51

52 Koma Koma-Abweichung, Azimut eliminieren: Kreisgleichung Kreisdurchmesser und -lage variiert mit r 2 p Jede Pupillenzone erzeut einen Kreis Alle Kreise zusammen bilden eine Kometenförmige Figur Hauptstrahl liegt in Kegelspitze Ausdehnung Komafigur : 2:3 tan 0 / r p =1.0 y' sag 90 r p = 0.75 r p = Page No. 52 x'

53 Einfluß der Blendenlage auf Koma Achromat 4/100, w = 10,, y y = 17.6 Queraberr w = 0 w= 10 y y y y Spot w = 10 Quelle : H. Zügge Page No. 53

55 Verzeichnung 10 %, Beispiel Quelle : H. Zügge Page No. 55

56 Verzeichnung Schematische Darstellung der Entstehung der Verzeichnung : y' y lens rear stop x' pincussion distortion V > 0 x y' image object y front stop x' barrel distortion V < 0 x Page No. 56

57 Verzeichnung Verzerrung des Maßstabs über das Bildfeld Grund : sphärische und Komaaberration des Hauptstrahls (Öffnungsfehler( der Pupillenabbildung ) y' Maß für r die Verzeichnung : relative Änderung der Bildhöhe he V y y real = y ideal ideal Keine Verbreiterung des Bildpunktes ideal image h 3 h 1 image height h2 h 3 h 2 h 1 aberration x' Tonnenverzeichnung : V < 0 Linse mit Vorderblende Kissenverzeichung : V > 0 Linse mit Hinterblende real image Page No. 57

58 Non-Axisymmetric Systems: General Distortion original Generalized distortion types anamorphism, a 10 x shear, a 01 y 1. order linear a 20 x 2 keystone, a 11 xy line bowing, a 02 y 2 2. order quadratic a 30 x 3 a 21 x 2 y a 12 xy 2 a 03 y 3 3. order cubic Page No. 58

59 Geometrische Aberrationen original 20% keystone barrel and pincushion 5% barrel 10% barrel 15% barrel 2% pincushion 5% pincushion 10% pincushion Verzeichnung Page No. 59