Beugung, Interferenz und Spektrallinien

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1 Nebenfachpraktikum für Biologen und 2- Fächer-Bachelor Chemie Musterprotokoll Versuch 6: Beugung, Interferenz und Spektrallinien Sven Stephan

2 6.2.1 Beugung am Einfachspalt Bestimmung der Spaltbreite Aufbau und Durchführung Ziel des Versuches ist es, die Breite eines Spaltes durch die Untersuchung seines Beugungsbildes zu bestimmen. Hierzu dient ein grüner Laserpointer mit einer Wellenlänge von λ=532nm als Lichtquelle. Der Laser wird auf einer optischen Bank vor dem Spalt montiert und so justiert, dass beide auf der optischen Achse liegen. Hinter dem Spalt wird ein Schirm auf der optischen Bank angebracht, sodass auf diesem das Beugungsbild des Spaltes zu sehen ist. Dies ist schematisch in Abb. 1 zu sehen. Um die Intensitätsverteilung quantitativ vermessen zu können, wird der Schirm durch eine Photodiode ersetzt, welche auf einem Reiter sitzt und quer zur optischen Bank verschoben werden kann. Vor der Photodiode befindet sich eine Apertur (Metallplatte mit feiner Bohrung), die nur den Teil des Lichtes durchlässt, welcher direkt auf das Loch fällt. Die Photodiode wandelt die gemessene Intensität proportional in ein Spannungssignal um, welches mit einem Voltmeter erfasst wird. Abb.1: Schematischer Aufbau zur Beugung am Einfachspalt (Quelle: [1]) Anmerkung: Der Versuchsaufbau, wie oben beschrieben, stammt aus dem Skript. In der Version, wie er derzeit im Praktikum durchgeführt wird findet die Messung direkt mit der Photodiode statt, ohne vorher das Muster auf dem Schirm zu betrachten. Ebenfalls sind die Komponenten bereits vormontiert. Um die Intensitätsverteilung des Beugungsbildes zu vermessen, wird die Photodiode in die Mitte des Maximums 0. Ordnung gefahren. Hier ist die gemessene Spannung am größten. Dann wird die Photodiode entlang einer Richtung verfahren und der Spannungsverlauf aufgezeichnet. Anfangs werden mehr Werte genommen, um den Verlauf der Intensität genau rekonstruieren zu können, ab dem Maximum 2. Ordnung werden nur noch Minima und Maxima ausgemessen. Ebenfalls wird der Abstand l zwischen Spalt und Photodiode gemessen. Aus den Abständen x k der Maxima kann dann, zusammen mit dem Abstand l zwischen Spalt und Photodiode sowie der Wellenlänge des verwendeten Lichtes die Spaltbreite b berechnet werden. Die Intensitätsverteilung wird halblogarithmisch über dem Verstellweg der Photodiode aufgetragen. Anmerkung: Hierbei muss beachtet werden, dass sich die Diode, wenn sie mittig im Maximum 0. Ordnung steht nicht bei x=0mm befindet. Um die Werte über dem Verstellweg der Diode aufzutragen, muss die Differenz zwischen Messwert und Startwert gebildet werden Ergebnisse und Auswertung Die Ergebnisse für die Intensitätsverteilung sind in Tabelle 1 zu sehen. Hierbei wurden ab dem 1. Minimum nur noch die Minima bzw. Maxima vermessen, wobei die Maxima in der Tabelle fett gedruckt sind. Die Messunsicherheit für den Verstellweg beträgt ±0,01mm = ±10µm, die der Spannung ±2%. Der Abstand zwischen Spalt und Diode wurde bestimmt zu l=459,5mm ± 0,5mm.

3 U / V x/mm x'/mm U/V ΔU/V 26,2 0 1,857 0,037 26,45 0,25 1,644 0,032 26,8 0,6 0,863 0, ,8 0,441 0,008 27,52 1,32 0,036 0,001 27,93 1,73 0,09 0,001 28,7 2,5 0,009 0,001 29,24 3,04 0,028 0,001 29,87 3,67 0,005 0,001 30,44 4,24 0,012 0,001 Tab. 1: Gemessene Daten für die Position x der Photodiode, dem daraus resultierenden Verstellweg x vom Zentrum des Maximums 0. Ordnung sowie der zugehörigen, gemessenen Spannung U Abbildung 2 zeigt die logarithmisch aufgetragene Spannung U über dem Verstellweg x. Die Minima und Maxima sind deutlich zu erkennen ,1 0,01 0, ,25 0,6 0,8 1,32 1,73 2,5 3,04 3,67 4,24 x' / mm Abb. 2: Logarithmische Auftragung der gemessenen Spannung U über dem Verstellweg x der Photodiode, ausgehend von der Mitte des Maximums 0. Ordnung Mittels der Gleichung (6.3) kann nun der Winkel α aus den Größen x k und l bestimmt werden und hieraus, mittels Gleichung (6.2) die Spaltbreite b des verwendeten Spaltes.Es gilt mit (6.3) eingesetzt in (6.2) und umgestellt nach b: (2k + 1) λ b = 2 sin(tan 1 x l ) (1) Hieraus ergeben sich die in Tabelle 2 aufgelisteten Spaltbreiten b: k b/µm Tab. 2: Berechnete Spaltbreite b aus der Position des Maximums k-ter Ordnung

4 Aus den in Tabelle 2 aufgelisteten Werten für b ergibt sich ein Mittelwert b m=205 µm. Die Standardabweichung beträgt σ b=6 µm. Das Ergebnis lautet also: b = 205 µm ± 6 µm Diskussion und Fehlerbetrachtung Die aus den Werten für b berechnete Standardabweichung ist relativ gering, der relative Fehler beträgt ca. 2,9%. Da jedoch nur 3 Werte für b vorliegen, ist eine Berechnung der Standardabweichung recht ungenau. In diesem Versuch liegen die Werte zudem recht nah zusammen, was zunächst grobe Fehler ausschließen lässt, jedoch aufgrund der geringen Datenmenge kritisch zu beurteilen ist. Eine Möglichkeit, die Datenmenge zu erhöhen wäre, die vermessenen Minima ebenfalls für die Berechnung zu verwenden. Somit ständen insgesamt 5 Werte zur Verfügung. Die verwendete Spaltbreite im Versuch beträgt b orig = 200µm, was innerhalb der Fehlergrenzen liegt Bestimmung der Dicke eines Hindernisses Versuchsaufbau und Durchführung In diesem Versuch soll, basierend auf dem Babinetschen Theorem, die Breite eines Hindernisses (Draht) anhand der entstehenden Beugungsfigur bestimmt werden. Der Aufbau ähnelt dem in Abb.1 gezeigten, jedoch wird statt des Spaltes ein Draht verwendet, welcher vor dem Laser montiert ist. Als Lichtquelle dient hierbei ein Helium-Neon-Laser, der rotes Licht mit einer Wellenlänge von λ 633nm emittiert. Die Beugungsfigur fällt hier auf Millimeterpapier, auf welchem die Position der Intensitätsmaxima markiert und ausgemessen werden. Ebenfalls muss auch hier der Abstand l zwischen Schirm und Draht gemessen werden. Aus den Positionen x k der Maxima sowie dem Abstand l kann dann, analog zu Versuch die Dicke des Drahtes bestimmt werden. Aufgrund der Symmetrie des Beugungsbildes muss nur eine Seite vermessen werden. Da die Messungenauigkeit jedoch mit ±1mm sehr groß ist im Vergleich zu den gemessenen Abständen, bietet es sich an die Abstände zwischen zwei symmetrischen Maxima zu vermessen. Hierdurch ist der gemessene Abstand größer und der relative Messfehler damit kleiner. Anmerkung: Bei der Markierung der Maxima ist darauf zu achten, dass das Papier an manchen Stellen einen kleinen Abstand zum Schirm aufweist. Beim Beschriften wird es daher leicht verschoben, wodurch sich auch die Position des Maximums auf dem Papier leicht verschiebt Ergebnisse und Auswertung Der Abstand l zwischen Draht und Schirm beträgt l = 647 mm ± 1mm. Die Positionen der Maxima wurden direkt auf dem Papier markiert und ausgemessen. Nachfolgend sind in Tabelle 3 die jeweiligen Abstände x k/-k vom Maximum k-ter Ordnung zum Maximum k-ter Ordnung zusammen mit der jeweiligen Ordnung k aufgeführt. Die Breite b des Drahtes kann dann gemäß Formel (1) berechnet werden, wobei der Abstand zwischen den Maxima vorher halbiert werden muss. Der Messfehler für x k/-k beträgt σ x=±1mm.

5 k x k/-k / mm b / µm Tab. 3: Gemessener Abstand x k/-k von Maximum k-ter Ordnung zum Maximum k-ter Ordnung Der Mittelwert für b beträgt b m = 220 µm, die Standardabweichung beträgt σ b = ± 17 µm Diskussion und Fehlerbetrachtung Die berechnete Breite des Drahtes stimmt ungefähr mit der im vorherigen Versuch ausgemessenen/berechneten Breite des verwendeten Spaltes überein. Dies wird ebenfalls deutlich, wenn man die Abstände der Maxima von beiden Messungen vergleicht, da diese ähnlich weit auseinander liegen. Da jedoch bei beiden Versuchen Licht unterschiedlicher Wellenlänge verwendet wurde, stimmen die Abstände, obgleich der sehr ähnlich großen Spaltbreiten nicht genau überein. Insgesamt weist die Messung eine größere Streuung auf, als im vorherigen Versuch. Der relative Fehler beträgt ca. 7,7%. Dies liegt daran, dass die Maxima auf Millimeterpapier vermessen wurden und dementsprechend die Genauigkeit nur ±1mm beträgt. Bei der Vermessung der Spaltbreite in Versuch konnte mit einer Genauigkeit von ±10µm = ±1/100mm gemessen werden Gitterspektrometer: Wellenlängenmessung und spektrale Auflösung Versuchsaufbau und Durchführung Mit dem bereits aus der Versuchsreihe Brechung und Dispersion bekannten Goniometer sollen die Spektrallinien von Helium und von Natrium vermessen werden. Hierfür wird ein Gitter mit g 100 = 10µm und ein Gitter mit g 600 = 1,67 µm verwendet. Die Gitter besitzen je 100 bzw. 600 Linien pro Millimeter. Das Gitter wird in den Strahlengang in die Mitte des Goniometers positioniert. Es ist darauf zu achten, dass es senkrecht zum Strahlengang steht. Am Ende des Goniometers steht entweder die Natriumoder Heliumspektrallampe. Blickt man durch das Goniometer, wenn das Fernrohr in einer Flucht mit dem vorderen Teil ausgerichtet ist, so lässt sich das Spaltbild des vorderen Teils, beleuchtet von der Spektrallampe erkennen. Das Fadenkreuz des Goniometers wird nun in die Mitte des Spaltes gelegt und der Winkel als Referenz notiert. Dieser Winkel muss als Bezug für sämtliche weiteren gemessenen Winkel verwendet werden. 1) Im ersten Versuchsteil werden die sichtbaren Spektrallinien der Heliumspektrallampe vermessen. Diese Messung wird mit dem 600er Gitter durchgeführt. Das Fadenkreuz des Goniometers wird je in die Mitte der entsprechenden Linie gelegt und der Winkel notiert. Hieraus werden, unter Verwendung von Gleichung (6.5) (Skript) die Wellenlängen der Linien berechnet. 2) Im zweiten Versuchsteil wird das Emissionsspektrum von Natrium vermessen. Diese Messung wird mit dem 100er als auch mit dem 600er Gitter durchgeführt. Hierbei sollen die beiden Natrium D-Linien vermessen werden. Anmerkung: Bei Betrachtung der Linien fällt auf, dass das Fadenkreuz des Goniometers bei abgedunkeltem Raum kaum sichtbar ist. Um die Messung durchführen zu können, muss das Goniometer daher schwach diffus beleuchtet werden, sodass das Fadenkreuz deutlich erkennbar ist.

6 Ergebnisse und Auswertung Der Bezugswinkel wurde bestimmt zu α 0 = 22,4 ± 0,1. Die gemessenen Winkel der Spektrallinien sind nachfolgend in Tabelle 3 aufgeführt. Zusätzlich zu den gemessenen und daraus berechneten Werten für die Wellenlänge von Helium, λ He, sind auch die Literaturwerte [2] für die Wellenlänge und die daraus berechneten Winkel α Literatur angegeben. Die Spalte Δα gibt die Differenz zwischen dem gemessenen und dem Winkel gemäß Literaturangabe an. α / grad α korrigiert / grad λ He / nm λ Literatur / nm α Literatur / grad Δα / grad 6,6 15,8 453,8 447,1 15,56-0,23 5,7 16,7 478,9 471,2 16,42-0, ,4 498,4 492,1 17,17-0,22 4,6 17,8 509,5 501,5 17,51-0,28 1,6 20,8 591,8 587,4 20,64-0, ,4 661,9 667,6 23,61 0,21 356,9 25,5 717,5 706,3 25,07-0,42 Tab. 3: Gemessene Winkel α und daraus berechnete Wellenlänge λ He für die Spektrallinien von Helium mit oben beschriebenem Aufbau im Vergleich zu den Literaturwerten Gleichung (6.5) (Skript) umgestellt nach λ ergibt: λ = g sin α k (2) Um den Fehler σ λ auszurechnen wird die Gleichung partiell nach α abgeleitet und die die Formel für Fehlerfortpflanzung eingesetzt. Es ergibt sich für den Fehler: g cos α σ λ = ( ) k 2 (σ α ) 2 (3) Hierbei ist darauf zu achten, dass die Winkel in Bogenmaß eingegeben werden (Einstellung am Taschenrechner überprüfen) und der Fehler ebenfalls in Bogenmaß verwendet wird. Die Ablesegenauigkeit am Goniometer beträgt σ α = 0,1 = 0,0017 rad. Der so errechnete Fehler liegt zwischen σ λ = 2,73nm und σ λ = 2,56nm und nimmt mit steigendem α ab. Um die beiden D-Linien von Natrium voneinander trennen zu können, muss mit dem 600er Gitter in 2. Ordnung gemessen werden. Die Winkel der beiden Linien betragen hier α 1 = 46,0 und α 2 = 46,1. Hierbei handelt es sich bereits um die korrigierten Werte. Aus den gemessenen Werten ergeben sich nach Formel (2) die Wellenlänge zu λ 1 = 599,4 nm und λ 2 = 600,5 nm. Die Fehler werden nach Gleichung (3) berechnet, sodass sich als Gesamtergebnis ergibt: λ 1 = 599,4 nm ± 2,3 nm und λ 2 = 600,5 nm ± 2,3 nm. Um die beiden Linien bei Verwendung des 100er Gitters deutlich voneinander trennen zu können, muss mindestens in der 9. Ordnung gemessen werden. Ein Problem hierbei ist die sehr schwache Intensität der Linien.

7 Für die Auflösung eines Spektrometers gilt: A = λ k N Δλ (4) Um die Auflösung zu vergrößern kann demnach ein Gitter mit größerem Gitterparameter g verwendet werden oder in höherer Ordnung gemessen werden. Da bei dem experimentellen Aufbau das Gitter festgelegt war, muss daher in höherer Ordnung gemessen werden. Dies wird auch dadurch deutlich, dass beim Gitter mit niedrigerem g in einer weitaus höheren Ordnung gemessen werden musste, um die beiden D-Linien voneinander unterschieden zu können Diskussion und Fehlerbetrachtung Die gemessenen Wellenlänger der Spektrallinien von Helium stimmen in guter Näherung mit den Literaturwerten überein. Die größte Abweichung beträgt etwa 1,5%. Auffallend ist, dass der gemessene Winkel um etwa 0,2 vom berechneten Winkel abzuweichen scheint (mit kleinerer Streuung). Dies deutet entweder auf einen systematischen Fehler hin oder der Winkel α 0 wurde falsch abgelesen/bestimmt. Subjektive Fehler entstehen aus dem Festlegen der Position einer Linie, wobei hierbei nicht immer das Fadenkreuz exakt in der Mitte positioniert wurde. Weiterhin können subjektiv bedingte Fehler beim Ablesen des Winkels am Nonius entstehen. Bei der Vermessung der Natrium-D-Linien fällt auf, der beide Wellenlängen um etwa 10nm abweichen. Dies entspricht in der 2. Ordnung einem Winkelunterschied von etwa 1, daher ist anzunehmen, dass der Winkel falsch abgelesen wurde. Andernfalls deutet dies auf einen systematischen Fehler hin, möglicherweise auf den gleichen wie beim ersten Aufgabenteil CD oder DVD Versuchsaufbau und Durchführung Ziel des folgenden Versuches ist es, den Spurabstand je einer CD und einer DVD zu bestimmen und die beiden daran zu unterscheiden. Hierfür wird eine CD/DVD in einem Halter fixiert und im Abstand l vor einem Schirm platziert. Die CD/DVD wird im Halter parallel zum Schirm ausgerichtet. Im Schirm befindet sich ein Loch, durch welches ein grüner Laserpointer mit einer Wellenlänge von λ=532nm gesteckt wird. Der Laserstrahl trifft senkrecht auf die CD/DVD und erzeugt ein Beugungsmuster auf dem Schirm. Die Maxima werden direkt auf dem sich auf dem Schirm befindenden Blatt Papier markiert und ausgemessen. Aus dem Abstand der Maxima, der Wellenlänge des verwendeten Lichts sowie dem Abstand zwischen CD/DVD und Schirm lassen sich dann die Spurabstände berechnen. Anmerkung: Da sich CD und DVD im gleichen Halter befinden, haben beide einen unterschiedlichen Abstand zum Schirm, weshalb dieser auch für beide ausgemessen werden muss Ergebnisse und Auswertung a) Bei dem ersten verwendeten Rohling wurde nur ein Maximum beobachtet. Der Abstand zwischen den beiden Flecken des 1. Maximums beträgt x a,1 = 253mm ± 1mm, der Abstand zum Schirm beträgt l a = 121mm ± 1mm.

8 b) Bei dem zweiten verwendeten Rohling sind zwei Maxima beobachtbar. Der Abstand zwischen den beiden Flecken beträgt x b,1 = 91mm ± 1mm für das erste und x b,2 = 242mm ± 1mm für das zweite Maximum. Der Abstand zum Schirm beträgt l b = 118mm ± 1mm. Gemäß Formel (6.5) aus dem Skript lässt sich die Gitterkonstante, welche dem Spurabstand entspricht, berechnen. Hierfür muss der Winkel α gemäß Formel (6.3) berechnet werden. Einsetzen von (6.3) in (6.5) und umstellen nach g ergibt: g = k λ sin(tan 1 x l ) (5) Mittels Formel (2) lassen sich die Spurabstände der beiden Rohlinge berechnen. Für den ersten Rohling folgt hieraus g a = 0,736 µm. Für den zweiten Rohling, für den Messungen an zwei Maxima vorliegen, folgt g b,1 = 1,478 µm und g b,2 = 1,486 µm. Zur Berechnung des Fehlers wird von der Kleinwinkelnäherung ausgegangen, durch welche folgt: sin x tan x x (6) Anmerkung: Die Winkel, für die die Kleinwinkelnäherung verwendet wird, sind üblicherweise kleiner als in diesem Versuch. Der Winkel α beträgt hier etwas 45. Die Abweichung einer linearen Funktion zum Sinus beträgt an dieser Stelle etwa 10%. Dennoch soll hier diese Näherung verwendet werden, um die Fehlerrechnung stark zu vereinfachen. Die Berechnung von g mit dieser Näherung ergibt einen rel. Fehler von bis zu 32%! Aufgrund oben gemachter Vereinfachung gilt demnach für die Gitterkonstante: α = k λ g (7) Mit umstellen nach g und einsetzen von α = x/l folgt: g = k λ l x (8) Mit Gleichung (5) können nun wie üblich die partiellen Ableitungen gebildet werden, gemäß dem Gauß schen Fehlerfortpflanzungsgesetz. Messfehler entstehen hier für die Größen l und x. Ableiten, Einsetzen und Zusammenfassen ergibt für den Fehler insgesamt: 2 2 k λ σ g = ( x ) (1mm) 2 k λ l + ( x 2 ) (1mm) 2 (9)

9 Für den ersten Rohling ergibt sich damit ein Fehler von σ g,a = 0,006 µm. Für den zweiten Rohling wurden zwei Messungen durchgeführt. Zur Berechnung des Fehlers werden daher die Mittelwerte aus beiden Messungen verwendet. Es ergibt sich σ g,b = 0,011 µm. Es ergeben sich also insgesamt für die Spurabstände g a = 0,736 µm ± 0,006 µm und g a = 1,482 µm ± 0,011 µm Diskussion und Fehlerbetrachtung Bei dem ersten Rohling handelt es sich um die DVD, bei dem zweiten um die CD. Die gemessenen Spurabstände stimmen gut mit den angegeben Werten von 0,74 µm ± 0,01 µm für die DVD sowie 1,6 µm ± 0,1 µm für die CD überein. Der gemessene Wert für die DVD stimmt, innerhalb der Fehlergrenze, mit dem angegeben Wert überein. Für den Spurabstand der CD ergibt sich eine Abweichung von ca. 7,4%. Eine Schwierigkeit liegt darin, die Maxima korrekt zu markieren, da in diesem Versuch, wie auch in Versuch sich das Papier leicht verschieben kann, da es nicht genau am Schirm anliegt. Dies verschiebt ebenfalls die Position des Maximums. Zudem kann der Abstand zwischen Rohling und Schirm nicht exakt bestimmt werden, da sich auch hier der Schirm bewegen kann. Nicht zuletzt ist darauf zu achten, dass die Rohlinge wirklich parallel zum Schirm ausgerichtet werden, da eine nichtparallele Ausrichtung zu einer Verschiebung des Beugungsmusters auf dem Schirm führt Auflösungsvermögen des Mikroskops Bestimmung der Objektivapertur Versuchsaufbau und Durchführung In diesem Versuch wird die Objektivapertur und damit das Auflösungsvermögen eines Mikroskops bestimmt werden. Hierzu befindet sich vor einem Mikroskop, welches horizontal ausgerichtet ist, eine Metallplatte mit einer Bohrung. Im Abstand e vor der Platte befinden sich zwei rote Leuchtdioden, welche auf einem Reiter angebracht sind. Der Reiter ist senkrecht zur Blickrichtung/optischen Achse des Mikroskops ausgerichtet. Dieser Aufbau ist in Abbildung 3 zu sehen. Hierbei ist d der Abstand der Leuchtdioden auf dem Reiter zueinander und e der Abstand Schirm-Leuchtdioden. Abb. 3: Schematischer Aufbau zur Bestimmung der num. Apertur des Mikroskops (Quelle: [1]) Zunächst wird das Mikroskop auf den Rand der Bohrung scharf gestellt/fokussiert. Dann wird das Okular entfernt und aus einer Entfernung von mindestens 30cm in das Mikroskop geblickt. Die Leuchtdioden sollen dabei in der Mitte des Reiters stehen. Während eine Person durch das Mikroskop blickt, werden von einer zweiten Person die beiden Reiter auseinandergeschoben. An einem bestimmten Punkt sind die beiden Leuchtdioden nicht mehr zu sehen, sie wandern aus dem Blickfeld heraus. An dem Punkt, an dem beide gerade noch durch das Mikroskop zu sehen sind, wird der Abstand d der beiden Dioden zueinander gemessen. Ebenfalls wird der senkrechte Abstand e vom Schirm zu den Dioden gemessen.

10 Ergebnisse und Auswertung Der Abstand vom Schirm zu den Leuchtdioden beträgt e = 271mm ± 1mm, der Abstand zwischen den Leuchtdioden beträgt d = 143 mm ± 1mm. Für die numerische Apertur NA gilt: NA = n sin α n tan α = 1 2 d e (10) Wobei hier α dem halben Öffnungswinkel beträgt, unter dem die beiden Leuchtdioden gerade noch zu sehen sind. Die Größe n entspricht dem Brechungsindex von Luft und beträgt 1, Aus Gleichung (6) folgt für die numerische Apertur NA = 0,264. Wird statt der Näherung der Sinus verwendet, ergibt sich: NA = n sin α = d 2 ( d 2 )2 + (e 2 ) (11) Hieraus ergibt sich für die numerische Apertur NA = 0,255. Um den Fehler zu berechnen wird von Gleichung (6) ausgegangen. Gemäß dem Gauß schen Fehlerfortpflanzungsgesetz werden die partiellen Ableitungen gebildet und hieraus der Gesamtfehler berechnet. Dieser ergibt sich zu: σ NA = ( 1 2 e ) 2 (1mm) 2 + ( d 2 2 e 2) (1mm) 2 (12) Einsetzen der gemessenen Werte ergibt σ NA = 0,0019, woraus insgesamt folgt NA = 0,264 ± 0,002. Aufgaben: 1) Das Auflösungsvermögen A des Mikroskops ist definiert durch Gleichung (6.15) (Skript): A = 1 d = min n sin α 0,61 λ Vak (13) Hieraus resultiert, mit der zuvor bestimmten numerischen Apertur NA: A = 0,72 µm -1. Für λ Vak = 600nm = 6*10-7 m. 2) Mit Gleichung (9) und λ Vak = 420nm folgt d min = 9,7*10-7 m = 0,97 µm.

11 Diskussion und Fehlerbetrachtung Die numerische Apertur des verwendeten Mikroskops beträgt laut Hersteller NA = 0,25, was eine relative Abweichung von 5,6% bedeutet. Auffallend ist der sehr kleine Fehler, des gemessenen/berechneten Wertes. Dieser kommt durch die, im Vergleich kleinen Messfehler der Abstände. Hierbei wurde jedoch der kleinstmögliche Fehler verwendet. Es entstehen weitere Fehler durch das Messen an sich, da der Zollstock nicht genau angelegt werden kann. Somit ist der tatsächliche Fehler als größer anzunehmen. Ebenfalls fällt auf, dass der berechnete Wert für die numerische Apertur exakter ist, wenn nicht die Näherung aus Gleichung (6) sondern die exakte Berechnung mittels Gleichung (7) verwendet wird. Dies entspricht auch den Erwartungen Spektrallinien Die Balmer-Serie des Wasserstoffs Versuchsaufbau und Durchführung In diesem Versuch werden die Spektrallinien von Wasserstoff vermessen. Dazu ist eine Wasserstoff- Spektrallampe vor einem Gitter (Linien: 600/mm) aufgebaut, durch welches sie betrachtet wird. Unmittelbar hinter der Lampe befindet sich ein Millimeter-Maßstab mit zwei verschiebbaren Reitern im Abstand a zum Gitter. Die Anordnung ist in Abbildung 4 gezeigt, wobei G das Gitter, R die Spektrallampe und M den Maßstab markieren. Der Abstand 2x entspricht der Distanz zwischen den beiden Reitern auf dem Maßstab. Abb.4: Schematischer Aufbau zur Vermessung der Spektrallinien des Wasserstoffs (Quelle: [1] Während von der ersten Person durch das Gitter die Spektrallinien betrachtet werden, verschiebt die zweite Person die Reiter derart, dass die Kante des Reiters je auf einer Spektrallinie liegt. Dies wird auf beiden Seiten der Anordnung durchgeführt. Dabei ist darauf zu achten, dass jeweils die gleiche Spektrallinie vermessen wird. Mittels der notierten Abstände werden dann die Wellenlängen der jeweiligen Linien ausgerechnet und mit den theoretischen Werten, welche entsprechend des Bohr schen Atommodells berechnet werden, verglichen. Anmerkung: Aufgrund der großen Anzahl von Linien, die erkennbar sind, ist es nicht einfach, die letzten beiden, blauen Linien zu erkennen. Zudem ist das Spektrum auf der linken Seite dunkler, als das Spektrum auf der rechten Seite, was dies weiter erschwert. Die schlägt sich eindeutig in den Messungen für die beiden letzten Linien nieder Ergebnisse und Auswertung Der Abstand zwischen Maßstab und Gitter beträgt a = 456mm ± 1mm. Die gemessenen Abstände 2x zwischen den Reitern für die jeweiligen Linien sind in Tabelle 4 dargestellt, zusammen mit den berechneten Werten gemäß dem Bohr schen Atommodell (s.u.). Die Berechnung erfolgte für die Balmer-Serie mit n 2 = 2 gemäß Formel (15). Die Messunsicherheit für 2x beträgt σ 2x = ± 1mm.

12 2x / mm λ H / nm n 1 E Photon / ev λ berechnet / nm Δλ / nm ,3 3 1,89 657,5-2, ,0 4 2,54 487,0-1, ,9 5 2,85 434,8 22, ,4 6 3,02 410,9 16,5 Tab. 4: Gemessener Abstand 2x zwischen den Reitern, daraus berechnete Wellenlänge λ H, der berechneten Energie E Photon für einen Übergang von n 1 zu n 2, die hieraus berechnete Wellenlänge λ berechnet des abgestrahlten Photons sowie der Differenz Δλ zum gemessenen Wert Aus dem gemessenen Wert von 2x kann durch die geometrische Beziehung (siehe Abb. 4) der Sinus des Winkels φ berechnet werden. Zusammen mit Gleichung (2) ergibt sich dann: x k λ sin φ = = x 2 + a2 g (14) Hieraus kann mit k = 1 (es wird in 1. Ordnung gemessen) und Multiplizieren mit der Gitterkonstante g = 10 µm (s.o.) die Wellenlänge ausgerechnet werden. Die Energiedifferenz bei einem Übergang von 6 n 1 zu n 2 kann berechnet werden mit: E Photon = m e e 4 8 h 2 ε 0 2 ( 1 n n 1 2 ) (15) Hierbei steht m e für die Masse des Elektrons, e für dessen Elementarladung, h bezeichnet das Planck sche Wirkungsquantum, ε 0 die elektrische Feldkonstante und n 1/n 2 die Quantenzahlen des entsprechenden Übergangs. Um aus der Energie des Photons dessen Wellenlänge zu bestimmen, wird folgende Beziehung genutzt: λ = 1240,8 nm ev E (16) Für den Übergang von n 1 = 6 wird ein Photon Der Wellenlänge λ n=6 = 410,9 nm emittiert. Dieses liegt noch im sichtbaren Bereich. Für n 1 = 7 bzw. n 1 = 8 liegen die entsprechenden Wellenlängen bei λ n=7 = 397,0 nm bzw. λ n=8 = 388,8 nm. Diese sind, je nach Sehfähigkeit des Betrachters, noch zu sehen. Mit weiter ansteigendem n 1 liegen die Wellenlängen immer weiter im UV-Bereich und sind damit nicht mehr sichtbar. Für n 1 = folgt λ n= = 365,3 nm. Zur Berechnung des Fehlers σ λ wird von der Kleinwinkelnäherung ausgegangen, siehe Gleichung (6) bzw. (10). Hieraus folgt für die Wellenlänge: λ = g x a (17) Anmerkung: Die Abweichung vom exakten Wert ist beim größten Winkel am höchsten. Sie beträgt bei der ersten Linie (655,3nm) etwa 9%. Da diese Abweichung nicht zu groß ist, kann die Näherung verwendet werden.

13 Gemäß dem Gauß schen Fehlerfortpflanzungsgesetz gilt für den Gesamtfehler: σ λ = ( g a ) 2 (1mm) 2 g x 2 + ( a 2 ) (1mm) 2 (18) Der Hieraus berechnete Fehler beträgt zwischen 3,97 nm und 4,13 nm. Der Fehler wird zudem mit größerem Abstand x ebenfalls größer Diskussion und Fehlerbetrachtung Der berechnete Fehler für die gemessene Wellenlänge liegt bei rund 1%, was recht genau ist. Betrachtet man die ersten beiden Linien, so liegen die Abweichungen zu den Literaturwerten sogar noch darunter, sie betragen 2,2 nm bzw. 1,0 nm. Bei den beiden letzten Linien liegt die Abweichung jedoch weit höher. Die liegt vor allem an dem stark subjektiven Fehler der Zuordnung der korrekten Linie sowie der richtigen Positionierung des Reiters. Da die Linien im blauen schwer voneinander zu trennen sind und zudem die Intensität auf der linken Seite schwächer ist, als auf der rechten Seite, liegt vermutlich hier der Grund für die große Abweichung, die zwar nur rund 5% beträgt, eine exakte Messung der Linien jedoch nicht zulässt, da die Abweichung etwa 20nm beträgt. Die Positionierung der Reiter stellt ebenfalls eine große Fehlerquelle dar. Um den Reiter sehen zu können, muss der Maßstab beleuchtet werden. Bei Beleuchtung ist die Linie jedoch wiederum kaum zu sehen. Eine Möglichkeit zur Verbesserung der Messgenauigkeit wäre eine intensivere Lichtquelle, wodurch die Linien besser zu sehen wären. Durch die Wahl eines Gitters mit kleinerem Gitterparameter g wären die Linien deutlicher voneinander getrennt. Hierbei muss jedoch darauf geachtet werden, dass der Winkel α, unter dem die Linien erscheinen, nicht außerhalb des Maßstabs liegt. Ein genauer Bandpassfilter wäre ebenfalls eine Möglichkeit, zumindest die blauen Linien besser vermessen zu können. 6.3 Quellenangaben [1] Skript zum Physikpraktikum für 2FB Chemie und FB Biologie, CvO Universität Oldenburg, 2015 [2]